حل اللوغاريتم الطبيعي. اللوغاريتم

غالبا ما تأخذ رقما ه = 2,718281828 . اللوغاريتمات بواسطة هذا الأساسوتسمى طبيعي. عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية، فمن الشائع العمل بالعلامة لن، لكن لا سجل; بينما الرقم 2,718281828 ، تحديد الأساس، لم تتم الإشارة إليها.

بمعنى آخر ستكون الصيغة كما يلي: اللوغاريتم الطبيعيأعداد X- هذا هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه ه، ليحصل س.

لذا، قانون الجنسية (7,389...)= 2 منذ ذلك الحين ه 2 =7,389... . اللوغاريتم الطبيعي للرقم نفسه ه= 1 لأن ه 1 =ه، واللوغاريتم الطبيعي للوحدة هو صفر، منذ ذلك الحين ه 0 = 1.

الرقم نفسه هيحدد حد التسلسل الرتيب المحدود

يتم حساب ذلك ه = 2,7182818284... .

في كثير من الأحيان، من أجل إصلاح الرقم في الذاكرة، ترتبط أرقام الرقم المطلوب ببعض التاريخ المعلق. سرعة حفظ الأرقام التسعة الأولى من الرقم هبعد العلامة العشرية ستزداد إذا لاحظت أن عام 1828 هو عام ميلاد ليو تولستوي!

اليوم هناك ما يكفي جداول كاملةاللوغاريتمات الطبيعية.

الرسم البياني اللوغاريتم الطبيعي(المهام ص=لن س) هو نتيجة للرسم البياني الأسي كصورة معكوسة للخط المستقيم ص = سولها النموذج:

يمكن إيجاد اللوغاريتم الطبيعي لكل عدد حقيقي موجب أكالمساحة تحت المنحنى ذ = 1/سمن 1 قبل أ.

إن الطبيعة الأولية لهذه الصيغة، والتي تتفق مع العديد من الصيغ الأخرى التي يدخل فيها اللوغاريتم الطبيعي، كانت السبب في تكوين اسم "طبيعي".

إذا قمت بتحليل اللوغاريتم الطبيعي، كدالة حقيقية لمتغير حقيقي، ثم يعمل وظيفة عكسيةإلى وظيفة الأسية، مما يقلل إلى الهويات:

ه قانون الجنسية (أ) =أ (أ>0)

سجل (ه أ) = أ

قياسًا على جميع اللوغاريتمات، يقوم اللوغاريتم الطبيعي بتحويل الضرب إلى جمع، والقسمة إلى طرح:

ln(xy) = ln(س) + ln(ذ)

ln(س / ص) = lnx - lny

ويمكن إيجاد اللوغاريتم لكل قاعدة موجبة لا تساوي واحدًا، وليس لـ فقط هلكن اللوغاريتمات للقواعد الأخرى تختلف عن اللوغاريتم الطبيعي فقط بعامل ثابت، وعادة ما يتم تعريفها من حيث اللوغاريتم الطبيعي.

وقد تم تحليلها الرسم البياني اللوغاريتم الطبيعي,فنجد أنه موجود للقيم الموجبة للمتغير س. ويزداد رتابة في مجال تعريفه.

في س → 0 حد اللوغاريتم الطبيعي هو ناقص اللانهاية ( -∞ ).في س → +∞ نهاية اللوغاريتم الطبيعي زائد اللانهاية ( + ∞ ). ككل سيزداد اللوغاريتم ببطء شديد. أي وظيفة السلطة xaمع الأس الإيجابي أيزيد بشكل أسرع من اللوغاريتم. اللوغاريتم الطبيعيهي دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط نهاية.

الاستخدام اللوغاريتمات الطبيعيةعقلاني جدًا عند اجتياز الرياضيات العليا. وبالتالي، فإن استخدام اللوغاريتم مناسب للعثور على إجابة المعادلات التي تظهر فيها المجهولات كأسس. إن استخدام اللوغاريتمات الطبيعية في الحسابات يجعل من الممكن تبسيط عدد كبير من العمليات الحسابية بشكل كبير الصيغ الرياضية. اللوغاريتمات للقاعدة ه موجودة في حل عدد كبير من المشكلات الفيزيائية ويتم تضمينها بشكل طبيعي في الوصف الرياضي للعمليات الكيميائية والبيولوجية وغيرها من العمليات الفردية. وبالتالي، يتم استخدام اللوغاريتمات لحساب ثابت الاضمحلال لنصف عمر معروف، أو لحساب وقت الاضمحلال في حل مسائل النشاط الإشعاعي. يؤدون في دور قياديوفي العديد من فروع الرياضيات والعلوم العملية، يتم استخدامها في مجال التمويل لحل عدد كبير من المسائل، بما في ذلك حساب الفائدة المركبة.

درس وعرض حول موضوعات: "اللوغاريتمات الطبيعية. قاعدة اللوغاريتم الطبيعي. لوغاريتم العدد الطبيعي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الحادي عشر
الدليل التفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
الدليل التفاعلي للصفوف 10-11 "اللوغاريتمات"

ما هو اللوغاريتم الطبيعي

يا رفاق، تعلمنا في الدرس الأخير رقمًا خاصًا جديدًا - واليوم سنواصل العمل بهذا الرقم.
لقد درسنا اللوغاريتمات ونعلم أن أساس اللوغاريتم يمكن أن يكون عدة أرقام أكبر من 0. اليوم سننظر أيضًا إلى اللوغاريتم الذي قاعدته هو الرقم e. يُطلق على هذا اللوغاريتم عادةً اسم اللوغاريتم الطبيعي. وله تدوين خاص به: $\ln(n)$ هو اللوغاريتم الطبيعي. هذا الإدخال يعادل الإدخال: $\log_e(n)=\ln(n)$.
الدوال الأسية واللوغاريتمية معكوسة، فاللوغاريتم الطبيعي هو معكوس الدالة: $y=e^x$.
الدوال العكسية متماثلة بالنسبة للخط المستقيم $y=x$.
دعونا نرسم اللوغاريتم الطبيعي عن طريق رسم الدالة الأسية بالنسبة للخط المستقيم $y=x$.

تجدر الإشارة إلى أن زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة $y=e^x$ عند النقطة (0;1) هي 45°. ثم زاوية ميل المماس إلى الرسم البياني للوغاريتم الطبيعي عند النقطة (1;0) ستكون أيضًا مساوية لـ 45°. كلا هذين المماسين سيكونان موازيين للخط $y=x$. دعونا نرسم الظلال:

خصائص الدالة $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ليست زوجية ولا فردية.
3. الزيادات في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله.
4. غير محدود من أعلى، وغير محدود من أسفل.
5. أعظم قيمةلا، أدنى قيمةلا.
6. مستمر.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. محدب للأعلى.
9. قابلة للتمييز في كل مكان.

وقد ثبت ذلك في سياق الرياضيات العليا مشتق دالة معكوسة هو معكوس مشتقة دالة معينة.
ليس هناك فائدة كبيرة من الخوض في الدليل، فلنكتب فقط الصيغة: $y"=(\ln(x)"=\frac(1)(x)$.

مثال.
احسب قيمة مشتقة الدالة: $y=\ln(2x-7)$ عند النقطة $x=4$.
حل.
في منظر عاميتم تمثيل وظيفتنا بالدالة $y=f(kx+m)$، ويمكننا حساب مشتقات هذه الوظائف.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
لنحسب قيمة المشتقة عند النقطة المطلوبة: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
الجواب: 2.

مثال.
ارسم مماسًا للرسم البياني للدالة $y=ln(x)$ عند النقطة $x=е$.
حل.
نتذكر جيدًا معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
نقوم بحساب القيم المطلوبة بالتتابع.
$أ=ه$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
معادلة الظل عند النقطة $x=e$ هي الدالة $y=\frac(x)(e)$.
دعونا نرسم اللوغاريتم الطبيعي وخط المماس.

مثال.
افحص دالة الرتابة والحدود القصوى: $y=x^6-6*ln(x)$.
حل.
مجال تعريف الدالة $D(y)=(0;+∞)$.
لنجد مشتقة الدالة المعطاة:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
المشتق موجود لجميع x من مجال التعريف، وبالتالي لا توجد نقاط حرجة. لنجد النقاط الثابتة:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*س^6-6=0$.
$س^6-1=0$.
$س^6=1$.
$س=±1$.
النقطة $x=-1$ لا تنتمي إلى مجال التعريف. ثم لدينا نقطة ثابتة واحدة $x=1$. لنجد فترات الزيادة والتناقص:

النقطة $x=1$ هي الحد الأدنى للنقطة، ثم $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
الإجابة: تقل الدالة على المقطع (0;1)، وتزداد الدالة على الشعاع $ (\displaystyle ). إن بساطة هذا التعريف، والذي يتوافق مع العديد من الصيغ الأخرى التي تستخدم هذا اللوغاريتم، تفسر أصل الاسم "طبيعي".