الحدود القصوى لوظائف عدة متغيرات. شرط ضروري للأقصى. حالة كافية للأقصى. الحد الأقصى المشروط. طريقة لاغرانج المضاعف. العثور على أكبر وأصغر القيم.

محاضرة 5.

التعريف 5.1.نقطة م 0 (س 0، ص 0)مُسَمًّى النقطة القصوىالمهام ض = و (س، ص)،لو و (س س، ص س) > و (س، ص)لجميع النقاط (س، ص) م 0.

التعريف 5.2.نقطة م 0 (س 0، ص 0)مُسَمًّى نقطة الحد الأدنىالمهام ض = و (س، ص)،لو و (س س، ص س) < و (س، ص)لجميع النقاط (س، ص)من بعض المناطق المجاورة لنقطة ما م 0.

ملاحظة 1. يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوىوظائف العديد من المتغيرات.

الملاحظة 2. يتم تحديد النقطة القصوى لوظيفة أي عدد من المتغيرات بطريقة مماثلة.

نظرية 5.1 (الشروط اللازمةأقصى). لو م 0 (س 0، ص 0)- النقطة القصوى للوظيفة ض = و (س، ص)،عند هذه النقطة تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لهذه الدالة تساوي صفرًا أو لا وجود لها.

دليل.

دعونا إصلاح قيمة المتغير في، العد ص = ص 0. ثم الوظيفة و (س، ص 0)ستكون دالة لمتغير واحد X، لأي منهم س = س 0هي النقطة القصوى. لذلك، وفقا لنظرية فيرما، أو غير موجود. وقد ثبت نفس البيان بالمثل ل .

التعريف 5.3.تسمى النقاط التي تنتمي إلى مجال دالة ذات عدة متغيرات تكون عندها المشتقات الجزئية للدالة مساوية للصفر أو غير موجودة نقاط ثابتةهذه الوظيفة.

تعليق. وبالتالي، لا يمكن الوصول إلى الحد الأقصى إلا عند نقاط ثابتة، ولكن ليس بالضرورة أن يتم ملاحظته عند كل منها.

نظرية 5.2(شروط كافية للحد الأقصى). اسمحوا في بعض حي هذه النقطة م 0 (س 0، ص 0)، وهي نقطة ثابتة للدالة ض = و (س، ص)،هذه الدالة لها مشتقات جزئية متصلة حتى الدرجة الثالثة ضمنا. فلنشير إذن إلى:

1) و (س، ص)لديه عند النقطة م 0الحد الأقصى إذا أ-ب² > 0, أ < 0;

2) و (س، ص)لديه عند النقطة م 0الحد الأدنى إذا أ-ب² > 0, أ > 0;

3) لا يوجد حد أقصى عند النقطة الحرجة إذا أ-ب² < 0;

4) إذا أ-ب² = 0، هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

دليل.

دعونا نكتب صيغة تايلور من الدرجة الثانية للدالة و (س، ص)،تذكر أنه عند نقطة ثابتة تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى تساوي الصفر:

أين إذا كانت الزاوية بين القطعة م 0 م، أين م (× 0 +Δ س، ص 0 +Δ في) والمحور O Xتشير إلى φ، ثم Δ س =Δ ρ كوس φ, Δ ص =Δρالخطيئة. في هذه الحالة، صيغة تايلور سوف تأخذ الشكل: . دعونا بعد ذلك يمكننا قسمة وضرب التعبير بين قوسين أ. نحن نحصل:

دعونا الآن نفكر في أربعة الحالات المحتملة:

1) ايه سي-بي² > 0, أ < 0. Тогда , и في صغيرة بما فيه الكفاية Δρ. لذلك في بعض الأحياء م 0 و (س 0 + Δ س، ص 0 +Δ ذ)< و (س 0، ص 0)، إنه م 0- النقطة القصوى.

2) دع أ-ب² > 0, أ> 0.ثم ، و م 0- نقطة الحد الأدنى.

3) دع ايه سي-بي² < 0, أ> 0. ضع في اعتبارك زيادة الوسائط على طول الشعاع φ = 0. ثم من (5.1) يتبع ذلك أي أنه عند التحرك على طول هذا الشعاع تزداد الدالة. إذا تحركنا على طول شعاع بحيث tg φ 0 = -أ/ب،الذي - التي لذلك، عند التحرك على طول هذا الشعاع، تقل الدالة. لذا، الفترة م 0ليست نقطة متطرفة.

3`) متى أ-ب² < 0, أ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

مماثلة للسابقة.

3``) إذا أ-ب² < 0, أ= 0 ثم . حيث . ثم لصغير بما فيه الكفاية φ التعبير 2 بكوسφ + ج sinφ قريب من 2 فيأي أنها تحتفظ بإشارة ثابتة، ولكن علامة sinφ تغير بالقرب من النقطة م 0.وهذا يعني أن زيادة دالة التغييرات تشير إلى محيط نقطة ثابتة، وهي بالتالي ليست نقطة متطرفة.

4) إذا أ-ب² = 0، و , أي أن علامة الزيادة تتحدد بعلامة 2α 0. وفي الوقت نفسه، من الضروري إجراء مزيد من البحث لتوضيح مسألة وجود الحد الأقصى.

مثال. دعونا نجد النقاط القصوى للوظيفة ض = س² - 2 س ص + 2ذ² + 2 س.للعثور على نقاط ثابتة، نحل النظام . إذن النقطة الثابتة هي (-2،-1). حيث أ = 2, في = -2, مع= 4. ثم أ-ب² = 4 > 0، وبالتالي، عند نقطة ثابتة يتم الوصول إلى الحد الأقصى، أي الحد الأدنى (منذ أ > 0).

التعريف 5.4.إذا كانت الحجج الدالة و (× 1، × 2،…، × ن)متصل شروط إضافيةمثل مالمعادلات ( م< n) :

φ 1 ( × 1، × 2،…، × ن) = 0, φ 2 ( × 1، × 2،…، × ن) = 0، …، φ م ( × 1، × 2،…، × ن) = 0, (5.2)

حيث أن الدوال φ i لها مشتقات جزئية متصلة، فتسمى المعادلات (5.2). معادلات الاتصال.

التعريف 5.5.الحد الأقصى للوظيفة و (× 1، × 2،…، × ن)عند استيفاء الشروط (5.2)، يتم استدعاؤه أقصى مشروط.

تعليق. يمكننا تقديم التفسير الهندسي التالي للقيمة القصوى الشرطية لدالة ذات متغيرين: دع وسيطات الدالة و (س، ص)المرتبطة بالمعادلة φ (س، ص)= 0، تحديد بعض المنحنى في المستوى O xy. إعادة بناء الخطوط المتعامدة على المستوى O من كل نقطة من هذا المنحنى xyحتى يتقاطع مع السطح ض = و (س، ص)،نحصل على منحنى مكاني ملقى على السطح فوق المنحنى φ (س، ص)= 0. والمهمة هي العثور على النقاط القصوى للمنحنى الناتج، والتي، بطبيعة الحال، الحالة العامةلا تتزامن مع النقاط القصوى غير المشروطة للوظيفة و (س، ص).

دعونا نحدد الشروط اللازمة لحد أقصى مشروط لدالة ذات متغيرين من خلال تقديم التعريف التالي أولاً:

التعريف 5.6.وظيفة L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + lect 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ lect 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+lect m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

أين lecti –بعضها ثابت، يسمى وظيفة لاغرانج، والأرقام lecti– مضاعفات لاغرانج لأجل غير مسمى.

نظرية 5.3(الشروط اللازمة لحد أقصى مشروط). الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = و (س، ص)في وجود معادلة الاقتران φ ( س، ص)لا يمكن تحقيق = 0 إلا عند النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج L (س، ص) = و (س، ص) + φ (س، ص).

دليل. تحدد معادلة الاقتران علاقة ضمنية فيمن Xلذلك سنفترض ذلك فيهناك وظيفة من X: ص = ص(س).ثم ضهناك وظيفة معقدة من X، ويتم تحديد نقاطها الحرجة بالشرط: . (5.4) من معادلة الاقتران يتبع ذلك . (5.5)

دعونا نضرب المساواة (5.5) في عدد ما ونضيفه إلى (5.4). نحن نحصل:

، أو .

يجب تحقيق المساواة الأخيرة عند النقاط الثابتة، والتي منها يلي:

(5.6)

تم الحصول على نظام من ثلاث معادلات لثلاثة مجهولين: س، صو، والمعادلتان الأوليتان هما شروط النقطة الثابتة لدالة لاغرانج. من خلال استبعاد المجهول المساعد lect من النظام (5.6)، نجد إحداثيات النقاط التي يمكن أن يكون للدالة الأصلية عندها حد مشروط.

الملاحظة 1. يمكن التحقق من وجود الحد الأقصى الشرطي عند النقطة التي تم العثور عليها من خلال دراسة المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لدالة لاغرانج عن طريق القياس مع النظرية 5.2.

الملاحظة 2. النقاط التي يمكن عندها الوصول إلى الحد الأقصى المشروط للدالة و (× 1، × 2،…، × ن)عند استيفاء الشروط (5.2)، يمكن تعريفها كحلول للنظام (5.7)

مثال. دعونا نجد الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = صبشرط س + ص= 1. دعونا نؤلف دالة لاغرانج L(x, y) = xy + lect (x + y – 1). يبدو النظام (5.6) كما يلي:

حيث -2lect=1، lect=-0.5، س = ص = -π = 0.5. حيث ل (س، ص)يمكن تمثيلها في النموذج ل(س، ص) = - 0,5 (س – ص)² + 0.5 ≥ 0.5، وبالتالي عند النقطة الثابتة التي تم العثور عليها ل (س، ص)لديه الحد الأقصى، و ض = س ص –الحد الأقصى المشروط.

الحد الأقصى المشروط.

الحدود القصوى لدالة ذات عدة متغيرات

طريقة المربع الأصغر.

الحد الأقصى المحلي للحزب الوطني التقدمي

دع الوظيفة تعطى و= F(ف)، РÎDÌR نودع النقطة P 0 ( أ 1 , أ 2 , ..., ص) –داخلينقطة المجموعة د

التعريف 9.4.

1) يتم استدعاء النقطة P 0 النقطة القصوى المهام و= F(P)، إذا كان هناك جوار لهذه النقطة U(P 0) М D بحيث يكون لأي نقطة P( X 1 , X 2 , ..., س ن)O U(P 0) , Р¹Р 0 , الشرط مستوفي F(ف) جنيه استرليني F(ف0) . معنى Fيتم استدعاء الدالة (P0) عند النقطة القصوى الحد الأقصى للوظيفة ويتم تعيينه F(P0) = الحد الأقصى F(ف) .

2) يتم استدعاء النقطة P 0 نقطة الحد الأدنى المهام و= F(P)، إذا كان هناك جوار لهذه النقطة U(P 0)Ì D بحيث يكون لأي نقطة P( X 1 , X 2 , ..., س ن)ОU(P 0), Р¹Р 0 ، الشرط مستوفي F(ف)³ F(ف0) . معنى Fيتم استدعاء الدالة (P0) عند النقطة الدنيا وظيفة الحد الأدنى ويتم تعيينه F(ف 0) = دقيقة F(ع).

يتم استدعاء الحد الأدنى والحد الأقصى لنقاط الوظيفة النقاط القصوى، يتم استدعاء قيم الدالة عند النقاط القصوى الحد الأقصى للوظيفة.

على النحو التالي من التعريف، وعدم المساواة F(ف) جنيه استرليني F(ف 0) , F(ف)³ F(P 0) يجب أن تتحقق فقط في منطقة معينة من النقطة P 0، وليس في مجال تعريف الدالة بأكمله، مما يعني أن الدالة يمكن أن يكون لها عدة نقاط متطرفة من نفس النوع (عدة حدود صغرى، عدة حدود قصوى) . لذلك، تسمى الحدود القصوى المحددة أعلاه محلي(المحلية) المتطرفة.

نظرية 9.1 (شرط ضروري لأقصى FNP)

إذا كانت الوظيفة و= F(X 1 , X 2 , ..., س ن) له حد أقصى عند النقطة P 0 ، فإن مشتقاته الجزئية من الدرجة الأولى عند هذه النقطة إما تساوي الصفر أو غير موجودة.

دليل.دع عند النقطة P 0 ( أ 1 , أ 2 , ..., ص) وظيفة و= F(P) لها حد أقصى، على سبيل المثال، حد أقصى. دعونا إصلاح الحجج X 2 , ..., س ن، وضع X 2 =أ 2 ,..., س ن = ص. ثم و= F(ف) = F 1 ((X 1 , أ 2 , ..., ص) هي دالة لمتغير واحد X 1 . منذ هذه الوظيفة لديها X 1 = أ 1 أقصى (الحد الأقصى)، ثم F 1 ¢ = 0 أو غير موجود متى X 1 =أ 1 (شرط ضروري لوجود أقصى دالة لمتغير واحد). لكن هذا يعني أو أنه غير موجود عند النقطة P 0 - النقطة القصوى. وبالمثل، يمكننا النظر في المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات الأخرى. CTD.

تسمى النقاط في مجال الدالة التي تكون فيها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر أو غير موجودة نقاط حرجة هذه الوظيفة.

كما يلي من النظرية 9.1، يجب البحث عن النقاط القصوى للـ FNP من بين النقاط الحرجة للوظيفة. ولكن، بالنسبة لدالة ذات متغير واحد، ليست كل نقطة حرجة هي نقطة متطرفة.

نظرية 9.2 (شرط كاف لأقصى FNP)

اجعل P 0 هي النقطة الحرجة للدالة و= F(ع) و هو التفاضل من الدرجة الثانية لهذه الوظيفة. ثم

و إذا د 2 ش(P 0) > 0 عند، ثم P 0 نقطة الحد الأدنىالمهام و= F(ف)؛

ب) إذا د 2 ش(ف0)< 0 при , то Р 0 – точка أقصىالمهام و= F(ف)؛

ج) إذا د 2 ش(P 0) غير محدد بالعلامة، وبالتالي فإن P 0 ليست نقطة متطرفة؛

سننظر في هذه النظرية بدون دليل.

لاحظ أن النظرية لا تأخذ في الاعتبار الحالة عندما د 2 ش(ف 0) = 0 أو غير موجود. هذا يعني أن مسألة وجود الحد الأقصى عند النقطة P 0 في ظل هذه الظروف تظل مفتوحة - نحتاجها أبحاث إضافيةعلى سبيل المثال، دراسة زيادة دالة عند هذه النقطة.

في دورات الرياضيات الأكثر تفصيلا ثبت ذلك، ولا سيما بالنسبة للوظيفة ض = و(س,ذ) من متغيرين، التفاضل من الدرجة الثانية هو مجموع النموذج

يمكن تبسيط دراسة وجود الحد الأقصى عند النقطة الحرجة P 0.

دعونا نشير ، ، . دعونا نؤلف المحدد

.

يتحول:

د 2 ض> 0 عند النقطة P 0، أي. P 0 – النقطة الدنيا إذا أ(ف 0) > 0 و د(ف 0) > 0؛

د 2 ض < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если أ(ف0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

إذا د(ف 0)< 0, то د 2 ضفي محيط النقطة P 0 تتغير الإشارة ولا يوجد حد أقصى عند النقطة P 0؛

وإذا كانت D(Р 0) = 0، يلزم أيضًا إجراء دراسات إضافية للوظيفة بالقرب من النقطة الحرجة Р 0.

وهكذا بالنسبة للوظيفة ض = و(س,ذ) لمتغيرين لدينا الخوارزمية التالية (دعنا نسميها "الخوارزمية D") لإيجاد الحد الأقصى:

1) ابحث عن مجال التعريف D( F) المهام.

2) البحث عن النقاط الحرجة، أي. نقاط من د( F)، والتي وتساوي الصفر أو غير موجودة.

3) عند كل نقطة حرجة P 0، تحقق من الشروط الكافية للحد الأقصى. للقيام بذلك، ابحث عن ، حيث ، وحساب D(P 0) و أ(ف0).ثم:

إذا كان D(P 0) >0، عند النقطة P 0 يوجد حد أقصى، وإذا أ(P 0) > 0 – فهذا هو الحد الأدنى، وإذا أ(ف 0)< 0 – максимум;

إذا د(ف 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

إذا كان D(P 0) = 0، فستكون هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

4) عند النقاط القصوى التي تم العثور عليها، احسب قيمة الدالة.

مثال 1.

أوجد الحد الأقصى للدالة ض = س 3 + 8ذ 3 – 3xy .

حل.مجال تعريف هذه الوظيفة هو المستوى الإحداثي بأكمله. دعونا نجد النقاط الحرجة.

, , Þ ف 0 (0,0) , .

دعونا نتحقق من استيفاء الشروط الكافية للحد الأقصى. سوف نجد

6X, = -3, = 48فيو = 288xy – 9.

ثم D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - عند النقطة Р 1 يوجد حد أقصى، ومنذ ذلك الحين أ(P 1) = 3 >0، فهذا الحد الأقصى هو الحد الأدنى. دقيقة جدا ض=ض(ف1) = .

مثال 2.

أوجد الحد الأقصى للدالة .

الحل: د( F) = ر 2 . نقاط حرجة: ; غير موجود عندما في= 0، مما يعني أن P 0 (0,0) هي النقطة الحرجة لهذه الوظيفة.

2, = 0, = , = ، لكن D(P 0) غير محددة، لذا فإن دراسة إشارتها مستحيلة.

لنفس السبب، من المستحيل تطبيق النظرية 9.2 مباشرة - د 2 ضغير موجود في هذه المرحلة.

دعونا نفكر في زيادة الوظيفة F(س, ذ) عند النقطة P 0 . إذا د F =F(ف) – F(P 0)>0 "P، فإن P 0 هي النقطة الدنيا، ولكن إذا كانت D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

في حالتنا لدينا

د F = F(س, ذ) – F(0, 0) = F(0+د س,0+د ذ) – F(0, 0) = .

عند د س= 0.1 و د ذ= -0.008 نحصل على D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dس= 0.1 و د ذ= 0.001 د F= 0.01 + 0.1 > 0، أي وفي محيط النقطة P 0 لا يتم استيفاء أي شرط D F <0 (т.е. F(س, ذ) < F(0، 0) وبالتالي فإن P 0 ليست نقطة عظمى)، ولا الشرط D F>0 (أي F(س, ذ) > F(0، 0) ثم P 0 ليست نقطة دنيا). وهذا يعني، حسب تعريف القيمة القصوى، أن هذه الدالة ليس لها قيمة قصوى.

الحد الأقصى المشروط.

يسمى الحد الأقصى للوظيفة غير مشروط، نظرًا لعدم فرض أي قيود (شروط) على وسيطات الوظيفة.

التعريف 9.2.الحد الأقصى للوظيفة و = F(X 1 , X 2 , ... , س ن)، وجدت بشرط أن حججها X 1 , X 2 , ... , س نحقق المعادلات ي 1 ( X 1 , X 2 , ... , س ن) = 0، …، ي ت(X 1 , X 2 , ... , س ن) = 0، حيث P ( X 1 , X 2 , ... , س ن) يا د( F)، مُسَمًّى أقصى مشروط .

المعادلات ي ك(X 1 , X 2 , ... , س ن) = 0 , ك = 1, 2,..., م، وتسمى معادلات الاتصال.

دعونا نلقي نظرة على الوظائف ض = و(س,ذ) متغيرين. إذا كانت معادلة الاتصال واحدة، أي. ، فإن العثور على الحد الأقصى الشرطي يعني أنه لا يتم البحث عن الحد الأقصى في مجال تعريف الوظيفة بالكامل، ولكن على بعض المنحنى الموجود في D( F) (أي أنه ليس أعلى أو أدنى نقطة من السطح هي التي يتم البحث عنها ض = و(س,ذ)، وأعلى أو أدنى النقاط بين نقاط تقاطع هذا السطح مع الاسطوانة، شكل 5).

الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = و(س,ذ) من متغيرين يمكن العثور عليهما بالطريقة التالية ( طريقة القضاء). من المعادلة، عبر عن أحد المتغيرات كدالة لمتغير آخر (على سبيل المثال، اكتب ) وبعد استبدال قيمة المتغير هذه في الدالة، اكتب الأخير كدالة لمتغير واحد (في الحالة المعنية ). أوجد الحد الأقصى للدالة الناتجة لمتغير واحد.

تعريف1: يقال أن الدالة لها قيمة عظمى محلية عند نقطة ما إذا كان هناك جوار للنقطة مثل أي نقطة ممع الإحداثيات (س، ص)يحمل عدم المساواة: . في هذه الحالة، أي زيادة الوظيفة< 0.

التعريف2: يقال أن الدالة لها قيمة صغرى محلية عند نقطة ما إذا كان هناك جوار للنقطة مثل أي نقطة ممع الإحداثيات (س، ص)يحمل عدم المساواة: . في هذه الحالة، أي زيادة الدالة > 0.

التعريف 3: يتم استدعاء نقاط الحد الأدنى والحد الأقصى المحلية النقاط القصوى.

النهايات الشرطية

عند العثور على القيم القصوى لدالة العديد من المتغيرات، غالبا ما تنشأ مشاكل تتعلق بما يسمى أقصى مشروط.يمكن شرح هذا المفهوم باستخدام مثال دالة ذات متغيرين.

دع الوظيفة والخط يعطى لعلى السطح 0xy. المهمة هي الوصول إلى الخط لالعثور على مثل هذه النقطة ف(س، ص)،حيث تكون قيمة الدالة هي الأكبر أو الأصغر مقارنة بقيم هذه الدالة عند نقاط على الخط ل، يقع بالقرب من النقطة ص. مثل هذه النقاط صوتسمى النقاط القصوى المشروطةوظائف على الخط ل. وعلى النقيض من نقطة النهاية المعتادة، تتم مقارنة قيمة الدالة عند نقطة النهاية الشرطية مع قيم الدالة ليس في جميع النقاط المجاورة لها، ولكن فقط عند تلك التي تقع على الخط ل.

من الواضح تمامًا أن نقطة الحد الأقصى المعتادة (يقولون أيضًا أقصى غير مشروط) هي أيضًا نقطة قصوى مشروطة لأي خط يمر عبر هذه النقطة. والعكس بالطبع ليس صحيحا: فالنقطة القصوى المشروطة قد لا تكون هي النقطة القصوى العادية. اسمحوا لي أن أشرح ما قلته بمثال بسيط. الرسم البياني للوظيفة هو نصف الكرة العلوي (الملحق 3 (الشكل 3)).

هذه الدالة لها حد أقصى عند نقطة الأصل؛ الرأس يتوافق معها منصفي الكرة الأرضية. إذا كان الخط لهناك خط يمر عبر النقاط أو في(معادلة لها س+ص-1=0)، فمن الواضح هندسيًا أنه بالنسبة لنقاط هذا الخط أعلى قيمةتتحقق الوظيفة عند نقطة تقع في المنتصف بين النقاط أو في.هذه هي نقطة الحد الأقصى الشرطي (الحد الأقصى) للدالة على هذا الخط؛ إنه يتوافق مع النقطة M 1 في نصف الكرة الأرضية، ومن الشكل يتضح أنه لا يمكن الحديث عن أي طرف عادي هنا.

لاحظ أنه في الجزء الأخير من مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة، علينا إيجاد القيم القصوى للدالة على حدود هذه المنطقة، أي. على سطر ما، وبالتالي حل مشكلة الحدود القصوى المشروطة.

لننتقل الآن إلى البحث العملي عن النقاط القصوى الشرطية للدالة Z= f(x, y) بشرط أن يكون المتغيران x وy مرتبطان بالمعادلة (x, y) = 0. وسوف نسمي هذه العلاقة معادلة الاتصال. إذا كان من الممكن التعبير عن y من معادلة الاقتران بشكل صريح من حيث x: y=(x)، فسنحصل على دالة لمتغير واحد Z= f(x, (x)) = Ф(x).

بعد العثور على القيمة x التي تصل عندها هذه الدالة إلى الحد الأقصى، ثم تحديد قيم y المقابلة من معادلة الاتصال، نحصل على النقاط المطلوبة من الحد الأقصى الشرطي.

لذا، في المثال أعلاه، من معادلة العلاقة x+y-1=0 لدينا y=1-x. من هنا

من السهل التحقق من أن z يصل إلى الحد الأقصى عند x = 0.5؛ ولكن بعد ذلك من معادلة الاتصال y = 0.5، نحصل بالضبط على النقطة P، التي تم العثور عليها من الاعتبارات الهندسية.

يمكن حل مشكلة الحد الأقصى الشرطي بسهولة شديدة حتى عندما يكون من الممكن تمثيل معادلة الاتصال المعادلات البارامتريةس=س(ر)، ص=ص(ر). استبدال تعبيرات x و y في هذه الوظيفة، نأتي مرة أخرى إلى مشكلة إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغير واحد.

إذا كانت معادلة الاقتران تحتوي على أكثر من نظرة معقدةونحن غير قادرين على التعبير بشكل صريح عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، أو استبداله بمعادلات بارامترية، فإن مهمة إيجاد الحد الأقصى الشرطي تصبح أكثر صعوبة. سنستمر في افتراض أنه في تعبير الدالة z= f(x, y) المتغير (x, y) = 0. المشتق الإجمالي للدالة z= f(x, y) يساوي:

حيث تم العثور على المشتق y باستخدام قاعدة اشتقاق الدالة الضمنية. عند نقاط الحد الأقصى الشرطي، يجب أن يكون المشتق الإجمالي الموجود مساويًا للصفر؛ هذا يعطي معادلة واحدة تتعلق بـ x و y. نظرًا لأنه يجب عليهم أيضًا تحقيق معادلة الاقتران، فسنحصل على نظام من معادلتين بمجهولين

دعونا نحول هذا النظام إلى نظام أكثر ملاءمة من خلال كتابة المعادلة الأولى في شكل نسبة وإدخال مجهول مساعد جديد:

(علامة الطرح الموجودة في المقدمة هي من أجل الراحة). ومن هذه المساواة يسهل الانتقال إلى النظام التالي:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

والتي، مع معادلة الاتصال (x، y) = 0، تشكل نظامًا من ثلاث معادلات ذات مجاهيل x، y و.

من الأسهل تذكر هذه المعادلات (*) باستخدام القاعدة التالية: للعثور على النقاط التي يمكن أن تكون نقاط الحد الأقصى الشرطي للدالة

Z= f(x, y) مع معادلة الاتصال (x, y) = 0، تحتاج إلى تكوين دالة مساعدة

و(س،ص)=و(س،ص)+(س،ص)

أين يوجد بعض الثوابت، وقم بإنشاء معادلات للعثور على النقاط القصوى لهذه الدالة.

يوفر نظام المعادلات المشار إليه، كقاعدة عامة، الشروط الضرورية فقط، أي. ليس كل زوج من القيم x و y الذي يرضي هذا النظام هو بالضرورة نقطة متطرفة مشروطة. لن أعطي شروطًا كافية لنقاط الحد الأقصى المشروط؛ في كثير من الأحيان، يشير المحتوى المحدد للمشكلة نفسها إلى النقطة التي تم العثور عليها. تسمى التقنية الموصوفة لحل المشكلات على الحد الأقصى المشروط بطريقة لاغرانج المضاعف.

دع الوظيفة z - /(x, y) يتم تعريفها في بعض المجالات D ودع Mo(xo, Vo) تكون نقطة داخلية لهذا المجال. تعريف. إذا كان هناك رقم يكون فيه عدم المساواة صحيحًا لجميع الشروط المستوفاة، فإن النقطة Mo(xo, y) تسمى النقطة القصوى المحلية للدالة f(x, y); إذا كان لجميع DX، دو، استيفاء الشروط | عندها تسمى النقطة Mo(xo,yo) بالحد الأدنى المحلي الرفيع. بمعنى آخر، النقطة M0(x0, y0) هي نقطة الحد الأقصى أو الأدنى للدالة f(x, y) إذا كان هناك جوار 6 للنقطة A/o(x0, y0) بحيث لا يكون ذلك على الإطلاق النقاط M(x, y) من هذا في الحي، فإن زيادة الدالة تحافظ على علامتها. أمثلة. 1. بالنسبة لنقطة الوظيفة - النقطة الدنيا (الشكل 17). 2. بالنسبة للدالة، النقطة 0(0,0) هي النقطة القصوى (الشكل 18). 3. بالنسبة للدالة، النقطة 0(0,0) هي نقطة عظمى محلية. 4 في الواقع، هناك جوار للنقطة 0(0,0)، على سبيل المثال، دائرة نصف قطرها j (انظر الشكل 19)، عند أي نقطة منها، تختلف عن النقطة 0(0,0)، قيمة الدالة /(x,y) أقل من 1 = سننظر فقط في نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى الصارمة للدوال عندما يتم استيفاء المتباينة الصارمة أو عدم المساواة الصارمة لجميع النقاط M(x) y) من بعض المناطق المثقوبة 6 من النقطة Mq. تسمى قيمة الدالة عند النقطة القصوى بالحد الأقصى، وتسمى قيمة الدالة عند النقطة الدنيا بالحد الأدنى لهذه الوظيفة. تسمى النقاط القصوى والصغرى للدالة بالنقاط القصوى للدالة، وتسمى النقاط القصوى والصغرى للدالة نفسها بالنقاط القصوى. النظرية 11 (شرط ضروري لحد أقصى). إذا كانت الدالة القصوى هي دالة لعدة مفهوم المتغيراتالحد الأقصى لوظيفة عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية لحد أقصى مشروط القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة لها حد أقصى عند هذه النقطة عند هذه النقطة كل مشتق جزئي u إما يختفي أو لا يوجد. دع عند النقطة M0(x0, yо) الدالة z = f(x) y) لها حد أقصى. لنعطي المتغير y القيمة yo. إذن فإن الدالة z = /(x, y) ستكون دالة لمتغير واحد x\ حيث أنه عند x = xo لها حد أقصى (الحد الأقصى أو الأدنى، الشكل 20)، ثم مشتقتها بالنسبة إلى x = "o, | (*o,l>)" يساوي صفرًا أو غير موجود. وبالمثل، نحن مقتنعون بأن) إما يساوي صفرًا أو غير موجود. تسمى النقاط التي = 0 و χ = 0 أو غير موجودة بالحرجة نقاط الدالة z = Dx, y). النقاط التي عندها $ £ = φ = 0 تسمى أيضًا النقاط الثابتة للدالة 11 تعبر فقط عن الشروط الضرورية للطرف، وهي غير كافية (مثال). 20 مشتقة تختفي عند. لكن هذه الدالة رقيقة على حافة العزف. في الواقع، تساوي الدالة صفرًا عند النقطة 0(0,0) وتأخذ قيمًا موجبة عند النقاط M(x,y). قريب بشكل تعسفي من النقطة 0(0,0) والقيم السلبية لذلك بحيث عند النقاط عند النقاط (0, y) للنقطة الصغيرة بشكل تعسفي تسمى النقطة 0(0,0) من النوع المشار إليه بنقطة الحد الأدنى ( الشكل 21). يتم التعبير عن الشروط الكافية لأقصى دالة لمتغيرين على النحو التالي النظرية 12 (شروط كافية لأقصى دالة لمتغيرين). للدالة f(x, y)، وفي بعض جوار النقطة /، بما في ذلك النقطة Mo نفسها، فإن الدالة /(r, y ) لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الترتيب الثاني شاملاً. ثم". عند النقطة Mo(xo, V0) لا تحتوي الدالة /(xo, y) على حد أقصى إذا كان D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>الحد الأقصى للدالة f(x, y) قد يكون أو لا يكون موجودًا. وفي هذه الحالة، هناك حاجة إلى مزيد من البحث. م نقتصر على إثبات الجملتين 1) و2) من النظرية. دعونا نكتب صيغة تايلور من الدرجة الثانية للدالة /(i, y): أين. وبموجب الشرط يتبين أن إشارة الزيادة D/ تتحدد بإشارة الثلاثية على الجانب الأيمن من (1)، أي إشارة التفاضل الثاني d2f. دعنا نشير إلى ذلك للإيجاز. ثم يمكن كتابة المساواة (l) على النحو التالي: دعونا عند النقطة MQ(هكذا، V0) لدينا... بما أن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة f(s, y) متصلة، حسب الشرط، سوف يستمر عدم المساواة (3) أيضًا عند بعض المناطق المجاورة للنقطة M0(s0,yo). إذا تم استيفاء الشرط (عند النقطة А/0، وبحكم الاستمرارية، فإن المشتق /,z(s,y) سيحتفظ بإشارته في منطقة معينة من النقطة Af0. في المنطقة حيث А Ф 0، يتضح من هذا أنه إذا كانت ЛС - В2 > 0 في بعض المناطق المجاورة للنقطة M0(x0) y0)، فإن إشارة ثلاثي الحدود AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 تتزامن مع إشارة A عند هذه النقطة. (لذا، V0) (وكذلك مع علامة C، لأنه بالنسبة لـ AC - B2 > 0 A وC لا يمكن أن يكون لهما إشارات مختلفة). بما أن إشارة المجموع AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 عند النقطة (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) تحدد إشارة الفرق، فإننا نصل إلى الاستنتاج التالي: إذا كانت الدالة /(s,y) عند حالة النقطة الثابتة (s0, V0)، ثم صغيرة بما فيه الكفاية || سيتم تلبية عدم المساواة. وبالتالي، عند النقطة (sq، V0) يكون للدالة /(s، y) حد أقصى. إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة الثابتة (s0, y0)، فبالنسبة للجميع صغيرين بما فيه الكفاية |Dr| و |دو| عدم المساواة صحيح، مما يعني أنه عند النقطة (so،yo) فإن الدالة /(s, y) لها قيمة دنيا. أمثلة. 1. التحقق من الدالة لأقصى حد 4 باستخدام الشروط اللازمة لأقصى حد، نبحث عن نقاط ثابتة للدالة. للقيام بذلك، نوجد المشتقات الجزئية u ونساويها بالصفر. نحصل على نظام المعادلات من أين - نقطة ثابتة. دعونا الآن نستخدم النظرية 12. لدينا هذا يعني أن هناك نقطة قصوى عند النقطة Ml. لأن هذا هو الحد الأدنى. إذا قمنا بتحويل الدالة g إلى النموذج، فمن السهل أن نرى ذلك الجزء الأيمن(“) سيكون الحد الأدنى عندما يكون الحد الأدنى المطلق لهذه الوظيفة. 2. افحص الدالة من أجل الحد الأقصى نجد النقاط الثابتة للدالة، والتي نؤلف لها نظامًا من المعادلات، بحيث تكون النقطة ثابتة. وبما أنه، بموجب النظرية 12، لا يوجد حد أقصى عند النقطة M. * 3. افحص أقصى الدالة. أوجد النقاط الثابتة للدالة. ومن نظام المعادلات نحصل على ذلك، وبالتالي فإن النقطة ثابتة. بعد ذلك لدينا أن النظرية 12 لا تجيب على السؤال المتعلق بوجود أو عدم وجود حد متطرف. دعونا نفعل ذلك بهذه الطريقة. بالنسبة لدالة حول جميع النقاط المختلفة عن النقطة، بحكم التعريف، والنقطة A/o(0,0) فإن الدالة r لها حد أدنى مطلق. وبحسابات مماثلة نثبت أن الدالة لها قيمة عظمى عند هذه النقطة، ولكن الدالة ليس لها حد أقصى عند هذه النقطة. دع دالة n من المتغيرات المستقلة تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة ما. تسمى النقطة Mo بالنقطة الثابتة للدالة إذا كانت النظرية 13 (حتى الشروط الكافية للحد الأقصى). دع الدالة يتم تعريفها ولها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية في بعض أحياء الدقيقة Mt(xi...)، وهي دالة دقيقة ثابتة إذا كان الشكل التربيعي (التفاضل الثاني للدالة f في الغرامة موجب محدد (محدد سالب)، النقطة الدنيا (على التوالي، الحد الأقصى الدقيق) للدالة f جيدة إذا كان الشكل التربيعي (4) متناوبًا للإشارة، فلا يوجد حد أقصى في LG0 الدقيق الصيغة التربيعية (4) إيجابية أو سلبية محددة، يمكنك استخدام، على سبيل المثال، معيار سيلفستر لليقين الإيجابي (السلبي) للصيغة التربيعية 15.2 التطرف المحلي دالة في كامل نطاق تعريفها، عندما لا تكون وسيطات الدالة مقيدة بأي شروط إضافية. تسمى هذه الحدود القصوى غير المشروطة. ومع ذلك، غالبًا ما تكون هناك مشاكل في العثور على ما يسمى بالحدود القصوى المشروطة. دع الدالة z = /(x, y) يتم تعريفها في المجال D. لنفترض أن المنحنى L معطى في هذا المجال، ونحتاج إلى إيجاد الحدود القصوى للدالة f(x> y) فقط بين تلك من قيمها التي تتوافق مع نقاط المنحنى L. تسمى نفس الحدود القصوى الشرطية للدالة z = f(x) y) على المنحنى L. التعريف يقولون أنه عند نقطة تقع على المنحنى L ، الدالة f(x, y) لها حد أقصى مشروط (أدنى) إذا تم استيفاء عدم المساواة في جميع النقاط منحنى M (s, y) y) L، الذي ينتمي إلى بعض المناطق المجاورة للنقطة M0(x0, V0) ومختلفة من النقطة M0 (إذا تم إعطاء المنحنى L بواسطة معادلة، فيمكن صياغة مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة r - f(x,y) على المنحنى! على النحو التالي: العثور على الحد الأقصى للدالة x = /(z, y) في المنطقة D، بشرط أنه عند العثور على الحدود القصوى الشرطية للدالة z = y)، لم يعد من الممكن اعتبار حجج الحيوانات البرية كمتغيرات مستقلة: فهي مرتبطة ببعضها البعض بواسطة العلاقة y) = 0، والتي تسمى معادلة الاتصال. لتوضيح الفرق بين الحد الأقصى غير المشروط والشرطي، دعونا ننظر إلى مثال حيث الحد الأقصى غير المشروط للدالة (الشكل 23) يساوي واحد ويتحقق عند النقطة (0،0). وهو يتوافق مع النقطة M - قمة pvvboloid دعونا نضيف معادلة الاتصال y = j. فمن الواضح أن الحد الأقصى المشروط سيكون مساوياً له ويتم الوصول إليه عند النقطة (o,|)، وهو يتوافق مع قمة الكرة Afj، وهو خط تقاطع الكرة مع المستوى y = j. في حالة mvximum غير المشروط، لدينا تطبيق mvximum بين جميع vpplicvt للسطح * = 1 - l;2 ~ y1; summvv شرطي - فقط بين جميع نقاط pvraboloidv، المقابلة للنقطة * من الخط المستقيم y = j وليس من المستوى xOy. إحدى طرق العثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة في الحضور والاتصال هي كما يلي. دع معادلة الاتصال y) - O تحدد y كدالة فريدة قابلة للتفاضل للوسيطة x: باستبدال دالة بدلاً من y في الدالة، نحصل على دالة لوسيطة واحدة يتم فيها أخذ شرط الاتصال في الاعتبار بالفعل. الحد الأقصى (غير المشروط) للدالة هو الحد الأقصى المشروط المطلوب. مثال. أوجد الحد الأقصى لدالة في حالة الحد الأقصى لدالة ذات عدة متغيرات مفهوم الحد الأقصى لدالة ذات عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية للأقصى الشرطي القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة A من معادلة الاتصال (2") نجد y = 1-x. باستبدال هذه القيمة y في (V)، نحصل على دالة ذات وسيطة واحدة x: دعونا نتفحصها من أجل الحد الأقصى: حيث x = 1 هي النقطة الحرجة؛ ، بحيث يوفر الحد الأدنى المشروط للدالة r (الشكل 24). دعونا نشير إلى طريقة أخرى لحل مسألة الحدود القصوى المشروطة، تسمى طريقة مضاعف لاغرانج. لنفترض أن هناك نقطة قصوى مشروطة للدالة في وجود اتصال، لنفترض أن معادلة الاتصال تحدد دالة فريدة قابلة للتمييز بشكل مستمر في حي معين من النقطة xx. مع الأخذ في الاعتبار أننا حصلنا على أن المشتقة فيما يتعلق بـ x للدالة /(r, ip(x)) عند النقطة xq يجب أن تكون مساوية للصفر أو، وهو ما يعادل ذلك، تفاضل f(x, y) عند يجب أن تكون النقطة Mo" O مساوية للصفر) من معادلة الاتصال لدينا (5) ضرب المساواة الأخيرة بعامل رقمي غير محدد حتى الآن A وإضافة حد تلو الآخر مع المساواة (4)، سيكون لدينا (نفترض ذلك ) ومن ثم، وبسبب اعتباطية dx، حصلنا على المتساويتين (6) و (7) اللتين تعبران عن الشروط الضرورية لقيمة قصوى غير مشروطة عند نقطة من دالة تسمى دالة لاغرانج الدالة /(x, y) إذا كانت بالضرورة نقطة ثابتة لدالة لاغرانج حيث A هو معامل عددي معين، من هنا نحصل على قاعدة للعثور على النقاط القصوى الشرطية: العثور على النقاط التي يمكن أن تكون نقاط الحد الأقصى الوظيفي في وجود اتصال: 1) نؤلف دالة لاغرانج، 2) من خلال مساواة المشتقات و U لهذه الدالة بالصفر وإضافة معادلة الاتصال إلى المعادلات الناتجة، نحصل على نظام من ثلاث معادلات منها ابحث عن قيم A والإحداثيات x، y والنقاط القصوى المحتملة. يتم حل مسألة وجود وطبيعة الحد الأقصى الشرطي على أساس دراسة إشارة التفاضل الثاني لدالة لاغرانج لنظام القيم المعتبر x0, V0, A المتحصل عليها من (8) بشرط أنه إذا ، عند النقطة (x0, V0) يكون للدالة /(x, y ) حد أقصى شرطي؛ إذا d2F > 0 - ثم الحد الأدنى المشروط. على وجه الخصوص، إذا كان المحدد D للدالة F(x, y) عند نقطة ثابتة (xo, J/o) موجبًا، عند النقطة (®o, V0) يوجد حد أقصى مشروط للدالة f( x, y)، if والحد الأدنى المشروط للدالة /(x, y)، إذا مثال. لنعد مرة أخرى إلى شروط المثال السابق: أوجد الحد الأقصى للدالة بشرط أن x + y = 1. وسنحل المشكلة باستخدام طريقة مضاعف لاغرانج. وظيفة لاغرانج في في هذه الحالة له الشكل للعثور على نقاط ثابتة، نقوم بتكوين نظام من المعادلتين الأوليين للنظام، نحصل على أن x = y. ومن المعادلة الثالثة للنظام (معادلة الاتصال) نجد أن x - y = j هي إحداثيات النقطة القصوى المحتملة. في هذه الحالة (يشار إلى أن A = -1. وبالتالي فإن دالة لاغرانج. هي النقطة الدنيا المشروطة للدالة * = x2 + y2 تحت الشرط لا يوجد حد أقصى غير مشروط لدالة لاغرانج. P(x, y) ) لا يعني بعد غياب الحد الأقصى الشرطي للدالة /(x, y) في وجود اتصال مثال: ابحث عن الحد الأقصى للدالة تحت الشرط y 4 نقوم بتكوين دالة لاغرانج ونكتب نظامًا لها تحديد A وإحداثيات النقاط القصوى المحتملة: من المعادلتين الأوليين نحصل على x + y = 0 ونأتي إلى النظام من حيث x = y = A = 0. وبالتالي فإن دالة لاغرانج المقابلة لها الشكل عند النقطة (0,0)، الدالة F(x, y; 0) ليس لها حد غير مشروط، ولكن هناك حد أقصى مشروط للدالة r = xy عندما تكون y = x في الواقع، في هذه الحالة r = x2 هنا يتضح أنه عند النقطة (0,0) يوجد حد أدنى مشروط "يتم نقل طريقة مضاعفات لاغرانج إلى حالة الدوال لأي عدد من الوسائط. دعونا نبحث عن الحد الأقصى للدالة في وجود معادلات الاتصال دعونا نؤلف دالة لاغرانج حيث A|، Az،...، A، هي عوامل ثابتة غير محددة. بمساواة جميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة F بصفر وإضافة معادلات الاتصال (9) إلى المعادلات الناتجة، نحصل على نظام من معادلات n + m، نحدد منه Ab A3|...، عند وإحداثيات x \) ×2). » xn من النقاط المحتملة للحدود القصوى المشروطة. إن مسألة ما إذا كانت النقاط التي تم العثور عليها باستخدام طريقة لاغرانج هي في الواقع نقاط ذات حد مشروط يمكن حلها في كثير من الأحيان بناءً على اعتبارات ذات طبيعة فيزيائية أو هندسية. 15.3. أكبر وأصغر قيم للدوال المستمرة فليكن مطلوبًا العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة z = /(x, y) مستمرة في بعض المجالات المحدودة المغلقة D. حسب النظرية 3، في هذا المجال هناك هي النقطة (xo، V0) التي تأخذ فيها الدالة القيمة الأكبر (الأصغر). إذا كانت النقطة (xo, y0) تقع داخل المنطقة D، فإن الدالة / بها حد أقصى (أدنى)، ففي هذه الحالة تكون النقطة التي تهمنا موجودة ضمن النقاط الحرجة للدالة /(x, ذ). ومع ذلك، يمكن للدالة /(x, y) أن تصل إلى قيمتها الكبرى (الأصغر) عند حدود المنطقة. لذلك، من أجل العثور على أكبر (أصغر) قيمة مأخوذة بواسطة الدالة z = /(x، y) في منطقة مغلقة محدودة 2)، تحتاج إلى العثور على كل الحد الأقصى (الحد الأدنى) للدالة التي تم تحقيقها داخل هذه المنطقة، بالإضافة إلى أكبر (أصغر) قيمة للدالة في حدود هذه المنطقة. ستكون أكبر (أصغر) جميع هذه الأرقام هي القيمة الأكبر (الأصغر) المطلوبة للدالة z = /(x,y) في المنطقة 27. دعونا نوضح كيف يتم ذلك في حالة وجود دالة قابلة للتفاضل. برمر. أوجد أكبر وأصغر قيم دالة المنطقة 4. نجد النقاط الحرجة للدالة داخل المنطقة D. للقيام بذلك، نؤلف نظام المعادلات من هنا نحصل على x = y « 0، بحيث النقطة 0 (0,0) هي النقطة الحرجة للدالة x. بما أننا الآن سنجد القيم الأكبر والأصغر للدالة على حدود Г للمجال D. في جزء من الحدود لدينا أن y = 0 هي نقطة حرجة، ومنذ = ثم عند هذه النقطة الدالة z = 1 + y2 لديه حد أدنى يساوي واحدًا. في نهايات المقطع Г"، عند النقاط (، لدينا. وباستخدام اعتبارات التماثل، نحصل على نفس النتائج لأجزاء أخرى من الحدود. وأخيرا نحصل على: أصغر قيمةالدالة z = x2+y2 في المنطقة "B تساوي صفراً وتتحقق عند النقطة الداخلية 0(0,0) للمنطقة، وأقصى قيمة لهذه الدالة تساوي اثنين تتحقق عند أربع نقاط الحدود (الشكل 25) الشكل 25 تمارين ابحث عن مجال تعريف الوظائف: قم ببناء خطوط مستوى الوظائف: 9 ابحث عن أسطح مستويات الوظائف لثلاثة متغيرات مستقلة: احسب حدود الوظائف: ابحث عن المشتقات الجزئية للوظائف ومشتقاتها الفروق الكاملة : البحث عن مشتقات الدوال المعقدة: 3 البحث عن J. أقصى دالة من عدة متغيرات مفهوم الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية للأقصى الشرطي القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة 34. باستخدام صيغة مشتق دالة معقدة لمتغيرين ، ابحث عن الوظائف: 35. باستخدام صيغة مشتقة معقدة دالة لمتغيرين، ابحث عن |J والدوال: ابحث عن دوال jj المعطاة ضمنيًا: 40. أوجد المعامل الزاوي لمنحنى المماس عند نقطة تقاطعه مع الخط المستقيم x = 3. 41. أوجد النقاط التي عندها المماس المنحنى x يوازي محور الثور. . في المسائل التالية أوجد T: اكتب معادلات مستوى المماس وعمود السطح: 49. اكتب معادلات مستويات مماس السطح x2 + 2y2 + 3z2 = 21، الموازية للمستوى x + 4y + 6z = 0. أوجد الحدود الثلاثة أو الأربعة الأولى للمفكوك باستخدام صيغة تايلور: 50.y بالقرب من النقطة (0، 0). باستخدام تعريف الحد الأقصى للدالة، افحص الوظائف التالية لمعرفة الحد الأقصى :). باستخدام الشروط الكافية للحد الأقصى لدالة ذات متغيرين، افحص الحد الأقصى للدالة: 84. ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة z = x2 - y2 في دائرة مغلقة 85. ابحث عن القيم الأكبر والأصغر ​​للدالة * = x2y(4-x-y) في مثلث محدود بخطوط مستقيمة x = 0، y = 0، x + y = b. 88. حدد أبعاد حوض سباحة مفتوح مستطيل له أصغر سطح، بشرط أن يكون حجمه يساوي V. 87. أوجد أبعاد متوازي السطوح المستطيل الذي له أكبر حجم بمعلومية السطح الإجمالي 5. الإجابات 1. و | مربع مكون من قطع مستقيمة x بما في ذلك جوانبه. 3. عائلة الحلقات متحدة المركز 2= 0,1,2,... .4. المستوى بأكمله ما عدا النقاط الواقعة على الخطوط المستقيمة. جزء من المستوى يقع فوق القطع المكافئ y = -x?. 8. نقاط الدائرة x. المستوى بأكمله باستثناء الخطوط المستقيمة x التعبير الجذري غير سلبي في حالتين j * ^ أو j x ^ ^ وهو ما يعادل سلسلة لا حصر لها من المتباينات، على التوالي، مجال التعريف هو المربعات المظللة (الشكل 26)؛ l وهو ما يعادل سلسلة لا نهائية يتم تعريف الوظيفة بالنقاط. أ) خطوط مستقيمة موازية لخط مستقيم x ب) دوائر متحدة المركز مركزها نقطة الأصل. 10. أ) القطع المكافئ y) القطع المكافئ y أ) القطع المكافئ ب) القطع الزائد | .الطائرات XC. 13.Prime - الأجسام الزائدية أحادية التجويف للدوران حول محور أوز؛ عندما تكون السطوح الزائدية ذات صفحتين تدور حول محور أوز، يتم فصل كلا العائلتين من الأسطح بواسطة مخروط؛ لا يوجد حد، ب) 0. 18. لنضع y = kxt ثم z lim z = -2، وبالتالي فإن الدالة المعطاة عند النقطة (0,0) ليس لها حد. 19. أ) النقطة (0،0)؛ ب) النقطة (0,0). 20. أ) خط فاصل - الدائرة x2 + y2 = 1؛ ب) خط الكسر هو الخط المستقيم y = x. 21. أ) كسر الخطوط - تنسيق محاور الثور وأوي؛ ب) 0 (مجموعة فارغة). 22. جميع النقاط (م، ن)، حيث و ن هي أعداد صحيحة

الشروط الضرورية والكافية لأقصى دوال لمتغيرين.تسمى النقطة الحد الأدنى (الحد الأقصى) للدالة إذا تم تعريف الوظيفة في حي معين من النقطة وتلبي عدم المساواة (على التوالي، تسمى النقاط القصوى والدنيا النقاط القصوى للدالة.

شرط ضروري للأقصى. إذا كانت الدالة عند نقطة قصوى لها مشتقات جزئية أولًا، فإنها تختفي عند هذه النقطة. ويترتب على ذلك أنه للعثور على النقاط القصوى لهذه الوظيفة، يجب على المرء حل نظام من المعادلات تسمى النقاط التي تلبي إحداثياتها هذا النظام النقاط الحرجة للدالة. من بينها قد يكون هناك الحد الأقصى للنقاط والحد الأدنى من النقاط وأيضًا النقاط التي ليست نقاطًا متطرفة.

يتم استخدام الظروف القصوى الكافية لتحديد النقاط القصوى من مجموعة من النقاط الحرجة وهي مدرجة أدناه.

دع الدالة لها مشتقات جزئية ثانية متصلة عند النقطة الحرجة. إذا في هذه المرحلة

الشرط فهو نقطة صغرى عند ونقطة عظمى عند إذا كان عند نقطة حرجة فهي ليست نقطة متطرفة. في هذه الحالة، يلزم إجراء دراسة أكثر دقة لطبيعة النقطة الحرجة، والتي قد تكون أو لا تكون نقطة متطرفة في هذه الحالة.

الحدود القصوى لوظائف ثلاثة متغيرات.في حالة وجود دالة مكونة من ثلاثة متغيرات، فإن تعريفات النقاط القصوى تكرر حرفيًا التعريفات المقابلة لدالة مكونة من متغيرين. نحن نقتصر على تقديم الإجراء الخاص بدراسة وظيفة الحد الأقصى. عند حل نظام من المعادلات، يجب إيجاد النقاط الحرجة للدالة، ثم عند كل نقطة حرجة يتم حساب القيم

إذا كانت الكميات الثلاثة موجبة، فإن النقطة الحرجة المعنية هي النقطة الدنيا؛ إذا كانت هذه النقطة الحرجة هي النقطة القصوى.

الحد الأقصى الشرطي لدالة ذات متغيرين.تسمى النقطة نقطة الحد الأدنى (الحد الأقصى) المشروط للدالة بشرط أن يكون هناك جوار للنقطة التي يتم تعريف الوظيفة فيها والتي (على التوالي) لجميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة

للعثور على النقاط القصوى الشرطية، استخدم دالة لاغرانج

حيث يسمى الرقم مضاعف لاغرانج. حل نظام من ثلاث معادلات

ابحث عن النقاط الحرجة لدالة لاغرانج (بالإضافة إلى قيمة العامل المساعد A). في هذه النقاط الحرجة قد يكون هناك حد مشروط. يوفر النظام المذكور أعلاه فقط الشروط الضرورية للنقطة القصوى، ولكنها ليست كافية: يمكن استيفائها بإحداثيات النقاط التي ليست نقاطًا للنقطة القصوى المشروطة. ومع ذلك، بناءً على جوهر المشكلة، غالبًا ما يكون من الممكن تحديد طبيعة النقطة الحرجة.

الحد الأقصى الشرطي لدالة ذات عدة متغيرات.دعونا نفكر في وظيفة المتغيرات بشرط أن تكون مرتبطة بالمعادلات