كمثال ملموس لجسم يدور حول محور، فكر في حركة البندول.
يسمى البندول الفيزيائي صلب، لها محور دوران أفقي تقوم حوله بحركات تذبذبية تحت تأثير وزنها (الشكل 119).
يتم تحديد موضع البندول بالكامل من خلال زاوية انحرافه عن موضع التوازن، وبالتالي لتحديد قانون حركة البندول، يكفي إيجاد اعتماد هذه الزاوية على الوقت.
معادلة النموذج:
تسمى معادلة (قانون) حركة البندول. يعتمد ذلك على الظروف الأولية، أي على الزاوية والسرعة الزاوية.
الحالة المحددة للبندول الفيزيائي هي البندول الرياضي، الذي يمثل (كما ذكرنا سابقًا - الفصل 2، الفقرة 3) نقطة مادية متصلة بالمحور الأفقي الذي تدور حوله بواسطة قضيب صلب عديم الوزن (الشكل 120). تسمى مسافة نقطة مادية من محور الدوران بطول البندول الرياضي.
معادلات حركة البندول الفيزيائي والرياضي
دعونا نختار نظام محاور الإحداثيات بحيث يمر المستوى xy عبر مركز ثقل الجسم C ويتزامن مع مستوى تأرجح البندول، كما هو موضح في الرسم (الشكل 119). لنوجه المحور العمودي على مستوى الرسم نحونا. ثم وبناء على نتائج الفقرة السابقة نكتب معادلة حركة البندول الفيزيائي على الصورة:
حيث يشير إلى لحظة القصور الذاتي للبندول بالنسبة لمحور دورانه و
لذلك يمكنك الكتابة:
القوة النشطة المؤثرة على البندول هي وزنه، وعزمه بالنسبة لمحور الوزن سيكون:
أين هي المسافة من محور دوران البندول إلى مركز كتلته C.
وبالتالي نصل إلى المعادلة التالية لحركة البندول الفيزيائي:
وبما أن البندول الرياضي هو حالة خاصة من الحالة الفيزيائية، فقد كتب ما سبق المعادلة التفاضليةوهذا ينطبق أيضًا على البندول الرياضي. إذا كان طول البندول الرياضي يساوي ووزنه فإن عزم القصور الذاتي بالنسبة لمحور الدوران يساوي
بما أن مسافة مركز ثقل البندول الرياضي عن المحور متساوية، فيمكن كتابة المعادلة التفاضلية النهائية لحركة البندول الرياضي على الصورة:
انخفاض طول البندول المادي
وبمقارنة المعادلتين (16.8) و (16.9)، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت معلمات البندول الفيزيائي والرياضي مرتبطة بالعلاقة
إذن قوانين حركة البندولات الفيزيائية والرياضية هي نفسها (تحت نفس الظروف الأولية).
تشير العلاقة الأخيرة إلى الطول الذي يجب أن يتمتع به البندول الرياضي حتى يتحرك بنفس طريقة البندول الفيزيائي المقابل. ويسمى هذا الطول الطول المخفض للبندول المادي. ومعنى هذا المفهوم هو أنه يمكن الاستعاضة عن دراسة حركة البندول الفيزيائي بدراسة حركة البندول الرياضي وهو عبارة عن دائرة ميكانيكية بسيطة.
التكامل الأول لمعادلة حركة البندول
إن معادلات حركة البندولات الفيزيائية والرياضية لها نفس الشكل، وبالتالي ستكون معادلة حركتها
وبما أن القوة الوحيدة التي تؤخذ في الاعتبار في هذه المعادلة هي قوة الجاذبية التي تنتمي إلى مجال القوة المحتملة، فإن قانون حفظ الطاقة الميكانيكية يحدث.
يمكن الحصول على هذا الأخير خدعة بسيطةفلنضرب المعادلة (16.10) بحلول ذلك الوقت
بدمج هذه المعادلة نحصل على
نجد ثابت التكامل Cu من الشروط الأولية
حل المعادلة الأخيرة للنسبية التي نحصل عليها
تمثل هذه العلاقة التكامل الأول للمعادلة التفاضلية (16.10).
تحديد ردود الفعل الداعمة للبندولات الفيزيائية والرياضية
التكامل الأول لمعادلات الحركة يسمح لنا بتحديد ردود الفعل الداعمة للبندول. وكما هو مبين في الفقرة السابقة، يتم تحديد تفاعلات الدعم من المعادلات (16.5). في حالة البندول الفيزيائي، فإن مكونات القوة الفعالة على طول محاور الإحداثيات وعزومها بالنسبة للمحاور هي:
يتم تحديد إحداثيات مركز الكتلة بواسطة الصيغ:
ثم تأخذ معادلات تحديد تفاعلات الدعامات الشكل:
يجب معرفة لحظات القصور الذاتي الطاردة للجسم والمسافات بين الدعامات حسب ظروف المشكلة. التسارع الزاوي في و السرعة الزاويةс يتم تحديدها من المعادلتين (16.9) و (16.4) بالشكل:
وهكذا فإن المعادلات (16.12) تحدد بشكل كامل مكونات تفاعلات الدعم للبندول الفيزيائي.
يتم تبسيط المعادلات (16.12) بشكل أكبر إذا أخذنا في الاعتبار البندول الرياضي. وبالفعل، بما أن النقطة المادية للبندول الرياضي تقع في المستوى، فبالإضافة إلى ذلك، وبما أن نقطة واحدة ثابتة، فإن المعادلات (16.12) تتحول إلى معادلات من الشكل:
من المعادلات (16.13) باستخدام المعادلة (16.9)، يترتب على ذلك أن رد فعل الدعم يتم توجيهه على طول الخيط I (الشكل 120). وهذا الأخير هو نتيجة واضحة. وبالتالي، بإسقاط مكونات المساواة (16.13) على اتجاه الخيط، نجد معادلة لتحديد رد فعل دعم النموذج (الشكل 120):
استبدال القيمة هنا مع مراعاة أن نكتب:
تحدد العلاقة الأخيرة الاستجابة الديناميكية للبندول الرياضي. لاحظ أن رد فعله الثابت سيكون
دراسة نوعية لطبيعة حركة البندول
التكامل الأول لمعادلة حركة البندول يسمح لنا بإجراء دراسة نوعية لطبيعة حركته. أي أننا نكتب هذا التكامل (16.11) بالصيغة:
أثناء الحركة، يجب أن يكون التعبير الراديكالي إما إيجابيًا أو يختفي في بعض النقاط. لنفترض أن الشروط الأولية هي هكذا
في هذه الحالة، التعبير الراديكالي لا يختفي في أي مكان. وبالتالي، عند التحرك، سوف يمر البندول بجميع قيم الزاوية وتكون السرعة الزاوية من البندول لها نفس الإشارة، والتي يتم تحديدها من خلال اتجاه السرعة الزاوية الأولية، أو أن الزاوية إما أن تزيد كل الوقت أو يتناقص طوال الوقت، أي أن البندول سوف يدور في جانب واحد.
ستتوافق اتجاهات الحركة مع علامة أو أخرى في التعبير (16.11). شرط ضروريإن تحقيق مثل هذه الحركة هو وجود سرعة زاوية أولية، لأنه من عدم المساواة (16.14) فمن الواضح أنه إذا كان ذلك عند أي زاوية انحراف أولية فمن المستحيل الحصول على مثل هذه الحركة للبندول.
دعونا الآن تكون الظروف الأولية على هذا النحو
في هذه الحالة، هناك قيمتان للزاوية يصبح عندهما التعبير الجذري صفرًا. دعهم يتوافقون مع الزوايا المحددة بالمساواة
علاوة على ذلك، سيكون في مكان ما في النطاق من 0 إلى . علاوة على ذلك، فمن الواضح أنه متى
فالتعبير الجذري (16.11) سيكون موجبًا، وإذا تجاوزناه قليلًا بشكل تعسفي سيكون سالبًا.
وبالتالي، عندما يتحرك البندول، تتغير زاويته في المدى:
عندما تنخفض السرعة الزاوية للبندول إلى الصفر وتبدأ الزاوية في الانخفاض إلى القيمة. وفي هذه الحالة ستتغير إشارة السرعة الزاوية أو الإشارة التي أمام الجذر في التعبير (16.11). عندما تصل السرعة الزاوية للبندول إلى الصفر مرة أخرى وتبدأ الزاوية في الزيادة مرة أخرى إلى القيمة
وبالتالي فإن البندول سوف يقوم بحركات تذبذبية
سعة تذبذبات البندول
عندما يتأرجح البندول، فإن الحد الأقصى لانحرافه عن الوضع العمودي يسمى سعة التذبذب. ومن يساوي الذي يحدد من المساواة
على النحو التالي من الصيغة الأخيرة، يعتمد سعة التذبذب على البيانات الأولية للخصائص الرئيسية للبندول أو طوله المنخفض.
في الحالة الخاصة، عندما ينحرف البندول عن موضع التوازن ويتم تحريره بدون سرعة أولية، فإنه سيكون مساويًا لـ، وبالتالي، لا تعتمد السعة على الطول المخفض.
معادلة حركة البندول في صورتها النهائية
إذا كانت السرعة الابتدائية للبندول صفرًا، فإن التكامل الأول لمعادلة حركته سيكون:
وبتكامل هذه المعادلة نجد
سنحسب الوقت من موضع البندول الموافق لذلك
دعونا نحول التكامل باستخدام الصيغة:
ثم نحصل على:
ويسمى التكامل الناتج بالتكامل الإهليلجي من النوع الأول. ولا يمكن التعبير عنها باستخدام عدد محدود من الوظائف الأولية.
إن انقلاب التكامل الإهليلجي (16.15) بالنسبة إلى حده الأعلى يمثل معادلة حركة البندول:
ستكون هذه هي دالة جاكوبي الإهليلجية المدروسة جيدًا.
فترة تذبذب البندول
الوقت الذي يستغرقه البندول لاهتزاز كامل يسمى فترة التذبذب. دعونا نرمز لها بـ T. وبما أن زمن حركة البندول من موضع إلى موضع هو نفس زمن الحركة منذ ذلك الحين، فسيتم تحديد T بالصيغة:
دعونا نجعل تغيير المتغيرات عن طريق وضع
عندما تختلف من 0 إلى سوف تتغير من 0 إلى . إضافي،
وبالتالي
يسمى التكامل الأخير بالتكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول (ترد قيمه في جداول خاصة).
عندما يميل التكامل إلى الوحدة و .
الصيغ التقريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول
في الحالة التي يكون فيها لتذبذبات البندول سعة صغيرة (يجب ألا تتجاوز 20 درجة عمليًا)، يمكنك وضعها
ثم تأخذ المعادلة التفاضلية لحركة البندول الشكل:
بندول الرياضيات
مقدمة
فترة التذبذب
الاستنتاجات
الأدب
مقدمة
الآن لم يعد من الممكن التحقق من الأسطورة حول كيف كان غاليليو يقف للصلاة في الكاتدرائية يراقب بعناية تأرجح الثريات البرونزية. لقد لاحظت وحددت الوقت الذي تستغرقه الثريا وهي تتحرك ذهابًا وإيابًا. هذه المرة سميت فيما بعد بفترة التذبذب. لم يكن لدى غاليليو ساعة، ولمقارنة فترة تذبذب الثريات المعلقة بسلاسل ذات أطوال مختلفة، استخدم تردد نبضه.
يتم استخدام البندول لضبط سرعة الساعات، حيث أن أي بندول له فترة محددة جدًا من التذبذب. كما يجد البندول تطبيق مهمفي الاستكشاف الجيولوجي. ومن المعروف أن القيم موجودة في أماكن مختلفة حول العالم زمختلفة. إنهما مختلفان لأن الأرض ليست كرة منتظمة تمامًا. بالإضافة إلى ذلك، في المناطق التي تتواجد فيها صخور كثيفة، مثل بعض خامات المعادن، تكون القيمة زعالية بشكل غير طبيعي. قياسات دقيقة زوبمساعدة بندول رياضي من الممكن في بعض الأحيان اكتشاف مثل هذه الرواسب.
معادلة حركة البندول الرياضي
البندول الرياضي هو نقطة مادية ثقيلة تتحرك إما على طول دائرة عمودية (البندول الرياضي المسطح) أو على طول الكرة (البندول الكروي). للتقريب الأول، يمكن اعتبار البندول الرياضي حمولة صغيرة معلقة على خيط مرن غير قابل للتمدد.
دعونا نفكر في حركة البندول الرياضي المسطح على طول دائرة نصف قطرها لتتمركز في نقطة ما عن(رسم بياني 1). سنحدد موضع النقطة م(البندول) زاوية الانحراف ي نصف القطر أوممن العمودي. توجيه الظل م t نحو الزاوية الموجبة j، سنؤلف معادلة طبيعية للحركة. هذه المعادلة تتشكل من معادلة الحركة
ميغاواط=F+ن, (1)
أين Fهي القوة النشطة المؤثرة على هذه النقطة، و ن- رد فعل الاتصالات.
الصورة 1
حصلنا على المعادلة (1) حسب قانون نيوتن الثاني وهو القانون الأساسي للديناميكا وينص على أن المشتقة الزمنية لزخم نقطة مادية تساوي القوة المؤثرة عليها، أي.
بافتراض أن الكتلة ثابتة، يمكننا تمثيل المعادلة السابقة بالصورة
أين دبليوهو تسارع النقطة.
لذا فإن المعادلة (1) في الإسقاط على المحور t ستعطينا إحدى المعادلات الطبيعية لحركة نقطة على طول منحنى سلس ثابت معين:
في حالتنا، نحصل على الإسقاط على المحور t
,
أين مهناك كتلة البندول.
منذ أو ، من هنا نجد
.
التخفيض بنسبة موالاعتقاد
, (3)
سيكون لدينا أخيرًا:
,
,
,
. (4)
دعونا نفكر أولاً في حالة التذبذبات الصغيرة. اتركه لحظة البدايةينحرف البندول عن الوضع الرأسي بزاوية يوخفضت دون السرعة الأولية. ثم الشروط الأولية ستكون:
في ر= 0, 
. (5)
من تكامل الطاقة:
, (6)
أين الخامس- الطاقة الكامنة، و حهو ثابت التكامل، ويترتب على ذلك أنه في ظل هذه الظروف في أي وقت زاوية jЈj 0 . قيمة ثابتة حيتم تحديدها من البيانات الأولية. لنفترض أن الزاوية j 0 صغيرة (j 0 Ј1)؛ عندها ستكون الزاوية j صغيرة أيضًا ويمكننا ضبط sinj»j تقريبًا. وفي هذه الحالة تأخذ المعادلة (4) الشكل
. (7)
المعادلة (7) هي المعادلة التفاضلية للتذبذب التوافقي البسيط. قرار مشتركهذه المعادلة لها الشكل
, (8)
أين أو بأو أو e هي ثوابت التكامل.
من هنا نجد على الفور الفترة ( ت) التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي (الفترة - الفترة الزمنية التي تعود خلالها النقطة إلى موضعها السابق بنفس السرعة)
و 
,
لأن الخطيئة لها فترة تساوي 2p، ثم ث ت=2 ع يو
(9)
للعثور على قانون الحركة في ظل الظروف الأولية (5)، نحسب:
. (10)
بتعويض القيم (5) في المعادلتين (8) و (10) نحصل على:
ي 0 = أ، 0 = ث ب,
أولئك. ب=0. وبالتالي فإن قانون الحركة للاهتزازات الصغيرة في ظل الظروف (5) سيكون:
ي = ي 0 كوس بالوزن. (أحد عشر)
دعونا الآن نجد الحل الدقيق لمشكلة البندول الرياضي المسطح. دعونا أولا نحدد التكامل الأول لمعادلة الحركة (4). لأن
,
ثم (4) يمكن تمثيلها كـ
.
ومن ثم، ضرب طرفي المعادلة في د j وبالتكامل نحصل على:
. (12)
دعونا نشير هنا إلى j 0 زاوية الانحراف الأقصى للبندول؛ ثم لj = j 0 سيكون لدينا، من أين ج= ث 2 كوسج 0 . ونتيجة لذلك، التكامل (12) يعطي:
, (13)
حيث يتم تحديد w بالمساواة (3).
هذا التكامل هو تكامل الطاقة ويمكن الحصول عليه مباشرة من المعادلة
, (14)
أين العمل على التحرك م 0 مالقوة النشطة F، إذا أخذنا ذلك في الاعتبار في حالتنا الخامس 0 =0، و (انظر الشكل).
من المعادلة (13) يتضح أنه عندما يتحرك البندول فإن الزاوية j ستتغير بين القيمتين +j 0 و -j 0 (|j|Јj 0، منذ ذلك الحين)، أي. سوف يقوم البندول بحركة تذبذبية. دعونا نتفق على العد التنازلي للوقت رمن لحظة مرور البندول بالعمودي الزراعة العضوية.عندما يتحرك إلى اليمين (انظر الشكل). ثم سيكون لدينا الشرط الأولي:
في ر=0، ي=0. (15)
بالإضافة إلى ذلك، عند الانتقال من نقطة ما أسوف ؛ المستمدة من التساوي بين الجانبين (13) الجذر التربيعي، نحن نحصل:
.
وبفصل المتغيرات هنا نجد:
. (16)
, 
,
الذي - التي
.
وبتعويض هذه النتيجة في المعادلة (16) نحصل عليها.
حركة متذبذبة- حركة دورية أو شبه دورية لجسم تأخذ إحداثياتها وسرعتها وتسارعها على فترات زمنية متساوية نفس القيم تقريبًا.
تحدث الاهتزازات الميكانيكية عندما يتم إزالة الجسم من وضع التوازن، وتظهر قوة تميل إلى إعادة الجسم مرة أخرى.
الإزاحة x هي انحراف الجسم عن موضع التوازن.
السعة A هي وحدة الحد الأقصى للإزاحة للجسم.
فترة التذبذب T - زمن التذبذب الواحد:
تردد التذبذب
عدد الاهتزازات التي يؤديها الجسم في وحدة الزمن: أثناء الاهتزازات تتغير السرعة والتسارع بشكل دوري. في وضع التوازن، تكون السرعة القصوى والتسارع صفرًا. عند نقاط الإزاحة القصوى، يصل التسارع إلى الحد الأقصى وتصبح السرعة صفرًا.
جدول الاهتزاز التوافقي
متناسقتسمى الاهتزازات التي تحدث وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام:
حيث x(t) هي إزاحة النظام في الوقت t، A هي السعة، ω هو التردد الدوري للتذبذبات.
إذا قمت برسم انحراف الجسم عن موضع التوازن على طول المحور الرأسي، والوقت على طول المحور الأفقي، فستحصل على رسم بياني للتذبذب x = x(t) - اعتماد إزاحة الجسم على الوقت المناسب. بالنسبة للتذبذبات التوافقية الحرة، فهي موجة جيبية أو موجة جيب التمام. يوضح الشكل الرسوم البيانية لاعتماد الإزاحة x وإسقاطات السرعة V x والتسارع x في الوقت المحدد.
كما يتبين من الرسوم البيانية، عند أقصى إزاحة x، تكون السرعة V للجسم المتأرجح صفرًا، والتسارع a، وبالتالي القوة المؤثرة على الجسم، تكون قصوى وموجهة عكس الإزاحة. وفي وضع التوازن تصبح الإزاحة والتسارع صفراً، وتكون السرعة القصوى. دائمًا ما يكون لإسقاط التسارع إشارة معاكسة للإزاحة.
طاقة الحركة الاهتزازية
الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز تساوي مجموع طاقاته الحركية وطاقاته الكامنة، وفي غياب الاحتكاك تبقى ثابتة:
في اللحظة التي يصل فيها الإزاحة إلى الحد الأقصى x = A، تنخفض السرعة ومعها الطاقة الحركية إلى الصفر.
في هذه الحالة، الطاقة الإجمالية تساوي الطاقة الكامنة:
تتناسب الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز مع مربع سعة اهتزازاته.
عندما يتجاوز النظام وضع التوازن، تكون الإزاحة والطاقة الكامنة صفرًا: x = 0، E p = 0. وبالتالي، فإن الطاقة الإجمالية تساوي الطاقة الحركية:
تتناسب الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز مع مربع سرعته في وضع الاتزان. لذلك:
البندول الرياضي
1. بندول الرياضياتهي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد.
في وضع التوازن، يتم تعويض قوة الجاذبية عن طريق شد الخيط. إذا انحرف البندول وتحرر، فإن القوى ستتوقف عن تعويض بعضها البعض، وستنشأ قوة محصلة موجهة نحو موضع التوازن. قانون نيوتن الثاني:
بالنسبة للتذبذبات الصغيرة، عندما تكون الإزاحة x أقل بكثير من l، فإن نقطة المادة ستتحرك تقريبًا المحور الافقي X. ثم من المثلث MAB نحصل على:
لأن الخطيئة أ = س/ل، فإن إسقاط القوة الناتجة R على المحور x يساوي
تشير علامة الطرح إلى أن القوة R موجهة دائمًا عكس الإزاحة x.
2. لذلك، أثناء تذبذبات البندول الرياضي، وكذلك أثناء تذبذبات البندول الزنبركي، تتناسب قوة الاستعادة مع الإزاحة ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس.
دعونا نقارن التعبيرات الخاصة بقوة الاستعادة للبندول الرياضي والربيعي:
يمكن ملاحظة أن mg/l هو نظير لـ k. استبدال k بـ mg/l في صيغة فترة البندول الربيعي
نحصل على صيغة فترة البندول الرياضي:
فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي لا تعتمد على السعة.
يستخدم البندول الرياضي لقياس الوقت وتحديد تسارع الجاذبية في موقع معين على سطح الأرض.
تعتبر التذبذبات الحرة للبندول الرياضي عند زوايا انحراف صغيرة توافقية. تحدث بسبب قوة الجاذبية الناتجة وقوة شد الخيط، بالإضافة إلى القصور الذاتي للحمل. محصلة هذه القوى هي قوة الاستعادة.
مثال.أوجد عجلة الجاذبية على كوكب حيث بندول طوله 6.25 m، وزمن اهتزاز حر قدره 3.14 s.
تعتمد فترة تذبذب البندول الرياضي على طول الخيط وتسارع الجاذبية:
وبتربيع طرفي المساواة نحصل على:
إجابة:عجلة الجاذبية الأرضية 25 م/ث 2 .
المهام والاختبارات حول موضوع "الموضوع 4. "الميكانيكا. التذبذبات والأمواج."
- الموجات المستعرضة والطولية. الطول الموجي
الدروس: 3 واجبات: 9 اختبارات: 1
- موجات صوتية. سرعة الصوت - الاهتزازات والموجات الميكانيكية. الصوت الصف التاسع
ما هو البندول الرياضي؟
من الدروس السابقة، يجب أن تعرف بالفعل أن البندول، كقاعدة عامة، يعني الجسم الذي يتأرجح تحت تأثير تفاعل الجاذبية. أي أنه يمكننا القول أنه في الفيزياء، يعتبر هذا المفهوم عمومًا جسمًا صلبًا يقوم، تحت تأثير الجاذبية، بحركات تذبذبية تحدث حول نقطة أو محور ثابت.
مبدأ تشغيل البندول الرياضي
الآن دعونا نلقي نظرة على مبدأ تشغيل البندول الرياضي ومعرفة ما هو عليه.
مبدأ تشغيل البندول الرياضي هو أنه عندما تنحرف نقطة مادية عن موضع التوازن بزاوية صغيرة a، أي الزاوية التي يتحقق عندها الشرط sina=a، فإن القوة F = -mgsina = - سوف تعمل على الجسم.
أنت وأنا نرى أن القوة F موجودة مؤشر سلبيويترتب على ذلك أن علامة الطرح تخبرنا أن هذه القوة موجهة في الاتجاه المعاكس للإزاحة. وبما أن القوة F تتناسب مع الإزاحة S، فإنه يترتب على ذلك أنه تحت تأثير هذه القوة، ستؤدي نقطة المادة اهتزازات توافقية.
خصائص البندول
إذا أخذنا أي بندول آخر، فإن فترة تذبذبه تعتمد على عوامل كثيرة. وتشمل هذه العوامل:
أولاً، حجم الجسم وشكله؛
ثانياً: المسافة الموجودة بين نقطة التعليق ومركز الثقل؛
ثالثًا، أيضًا توزيع وزن الجسم بالنسبة إلى نقطة معينة.
فيما يتعلق بهذه الظروف المختلفة للبندول، فإن تحديد فترة الجسم المعلق أمر صعب للغاية.
وإذا أخذنا البندول الرياضي، فهو يحتوي على كل تلك الخصائص التي يمكن إثباتها باستخدام المعلومات المعروفة القوانين الفيزيائيةويمكن حساب دورتها بسهولة باستخدام الصيغة.
وبعد إجراء العديد من الملاحظات المختلفة على هذه الأنظمة الميكانيكية، تمكن الفيزيائيون من تحديد أنماط مثل:
أولا، فترة البندول لا تعتمد على كتلة الحمل. وهذا يعني أنه إذا قمنا، بنفس طول البندول، بتعليق أوزان لها كتل مختلفة عنه، فإن فترة اهتزازاتها ستظل كما هي، حتى لو كانت كتلتها مختلفة تمامًا.
ثانيًا، إذا قمنا بتحريف البندول بزوايا صغيرة ولكن مختلفة عند بدء تشغيل النظام، فستكون لتذبذباته نفس الفترة، لكن السعات ستكون مختلفة. مع انحرافات صغيرة عن مركز التوازن، فإن الاهتزازات في شكلها سيكون لها طابع توافقي تقريبًا. وهذا يعني أنه يمكننا القول أن فترة هذا البندول لا تعتمد على سعة التذبذبات. تُسمى هذه الخاصية لهذا النظام الميكانيكي، المترجمة من اليونانية، بـ "isochronism"، حيث تعني كلمة "isos" يساوي، و"chronos" تعني الوقت.
الاستخدام العملي لذبذبات البندول
البندول الرياضي ل دراسات مختلفةيستخدمه الفيزيائيون وعلماء الفلك والمساحون وغيرهم من العلماء. بمساعدة هذا البندول يبحثون عن المعادن. من خلال مراقبة تسارع البندول الرياضي وحساب عدد تذبذباته، من الممكن العثور على رواسب الفحم والخام في أحشاء أرضنا.
ادعى K. Flammarion، عالم الفلك والطبيعة الفرنسي الشهير، أنه بمساعدة البندول الرياضي تمكن من إنجاز العديد من اكتشافات مهمةبما في ذلك ظهور نيزك تونغوسكا واكتشاف كوكب جديد.
في الوقت الحاضر، يستخدم العديد من الوسطاء وعلماء التنجيم مثل هذا النظام الميكانيكي للبحث عن الأشخاص المفقودين وإجراء تنبؤات نبوية.
تعريف
بندول الرياضيات- هذا حالة خاصةالبندول المادي الذي تقع كتلته في نقطة واحدة.
عادة، يعتبر البندول الرياضي عبارة عن كرة صغيرة (نقطة مادية) لها كتلة كبيرة، معلقة على خيط طويل غير قابل للتمدد (تعليق). هذا نظام مثالي يتأرجح تحت تأثير الجاذبية. فقط في الزوايا التي تتراوح بين 50 و 100، يكون البندول الرياضي مذبذبًا توافقيًا، أي أنه يؤدي تذبذبات توافقية.
من خلال دراسة تأرجح الثريا على سلسلة طويلة، درس جاليليو خصائص البندول الرياضي. لقد أدرك أن فترة تذبذب نظام معين لا تعتمد على السعة عند زوايا انحراف صغيرة.
صيغة لفترة تذبذب البندول الرياضي
دع نقطة تعليق البندول تكون ثابتة. يتحرك الحمل المعلق من خيط البندول على طول قوس دائري (الشكل 1 (أ)) بتسارع، ويتم التأثير عليه بواسطة قوة استعادة معينة ($\overline(F)$). تتغير هذه القوة مع تحرك الحمل. ونتيجة لذلك، يصبح حساب الحركة معقدا. دعونا نقدم بعض التبسيطات. دع البندول لا يتأرجح في مستوى، بل قم بوصف المخروط (الشكل 1 (ب)). في هذه الحالة، يتحرك الحمل في دائرة. ستتزامن فترة التذبذبات التي تهمنا مع فترة الحركة المخروطية للحمل. فترة دوران البندول المخروطي حول دائرة تساوي الزمن الذي يقضيه الحمل في دورة واحدة حول الدائرة:
حيث $L$ هو المحيط؛ $v$ هي سرعة حركة الحمل. إذا كانت زوايا انحراف الخيط عن الوضع الرأسي صغيرة (سعات اهتزاز صغيرة)، فمن المفترض أن يتم توجيه قوة الاستعادة ($F_1$) على طول نصف قطر الدائرة التي يصفها الحمل. إذن هذه القوة تساوي القوة الجاذبة المركزية:
دعونا نفكر مثلثات متشابهة: AOB وDBC (الشكل 1 (ب)).
نساوي الجانبين الأيمنين من التعبيرين (2) و (3) للتعبير عن سرعة حركة الحمولة:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
نعوض بالسرعة الناتجة في الصيغة (1) فيصبح لدينا:
\ \
من الصيغة (5) نرى أن الزمن الدوري للبندول الرياضي يعتمد فقط على طول تعليقه (المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمل) وتسارع السقوط الحر. الصيغة (5) للدورة الدورية للبندول الرياضي تسمى صيغة هويجنز، وتكون متحققة عندما لا تتحرك نقطة تعليق البندول.
باستخدام اعتماد فترة تذبذب البندول الرياضي على تسارع الجاذبية، يتم تحديد حجم هذا التسارع. للقيام بذلك، قم بقياس طول البندول، مع الأخذ في الاعتبار عدد كبير من التذبذبات، أوجد الفترة $T$، ثم احسب تسارع الجاذبية.
أمثلة على المشاكل مع الحلول
مثال 1
يمارس.وكما هو معروف فإن مقدار تسارع الجاذبية يعتمد على خط العرض. ما هو تسارع الجاذبية عند خط عرض موسكو إذا كانت فترة تذبذب بندول رياضي طوله $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m يساوي T=1 s?\textit()
حل.كأساس لحل المشكلة نأخذ صيغة زمن البندول الرياضي:
دعونا نعبر من (1.1) عن تسارع السقوط الحر:
دعونا نحسب التسارع المطلوب:
إجابة.$g=9.81\frac(m)(s^2)$
مثال 2
يمارس.ما هي فترة اهتزاز البندول الرياضي إذا تحركت نقطة تعليقه عموديا إلى أسفل 1) مع سرعة ثابتة؟ 2) مع تسارع $a$؟ طول خيط هذا البندول هو $l.$
حل.دعونا نجعل الرسم.
1) الزمن الدوري للبندول الرياضي الذي تتحرك نقطة تعليقه بشكل منتظم يساوي الزمن الدوري للبندول ذو نقطة التعليق الثابتة:
2) يمكن اعتبار تسارع نقطة تعليق البندول بمثابة ظهور قوة إضافية تساوي $F=ma$، موجهة ضد التسارع. أي أنه إذا تم توجيه التسارع لأعلى، فإن القوة الإضافية يتم توجيهها لأسفل، مما يعني أنها تضيف إلى قوة الجاذبية ($mg$). إذا تحركت نقطة التعليق بتسارع لأسفل، فسيتم طرح القوة الإضافية من قوة الجاذبية.
نجد الدورة الزمنية للبندول الرياضي الذي يهتز وتتحرك نقطة تعليقه بتسارع كما يلي:
إجابة. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
