طرق مختلفةإثبات نظرية فيثاغورس
طالب في الصف التاسع "أ".
المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 8
المستشار العلمي:
مدرس رياضيات,
المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 8
فن. نوفوروجديستفينسكايا
منطقة كراسنودار.
فن. نوفوروجديستفينسكايا
حاشية. ملاحظة.
تعتبر نظرية فيثاغورس بحق الأكثر أهمية في سياق الهندسة وتستحق اهتماما وثيقا. وهو الأساس لحل العديد من المسائل الهندسية، وهو الأساس لدراسة مقررات الهندسة النظرية والعملية في المستقبل. النظرية محاطة بثروة من المواد التاريخية المتعلقة بظهورها وطرق إثباتها. إن دراسة تاريخ تطور الهندسة تغرس حب هذا الموضوع، وتعزز تنمية الاهتمام المعرفي والثقافة العامة والإبداع، كما تطور مهارات البحث.
نتيجة لنشاط البحث تم تحقيق هدف العمل وهو تجديد وتعميم المعرفة حول إثبات نظرية فيثاغورس. كان من الممكن إيجاد ودراسة طرق مختلفة للإثبات وتعميق المعرفة حول الموضوع، بما يتجاوز صفحات الكتاب المدرسي.
تقنعنا المواد المجمعة أيضًا بأن نظرية فيثاغورس هي نظرية عظيمة في الهندسة ولها أهمية نظرية وعملية هائلة.
مقدمة. مرجع تاريخي 5 الجزء الرئيسي 8
3. الاستنتاج 19
4. الأدب المستخدم 20
1 المقدمة. مرجع تاريخي.
جوهر الحقيقة هو أنها لنا إلى الأبد،
عندما نرى النور مرة واحدة على الأقل في بصيرتها،
ونظرية فيثاغورس بعد سنوات عديدة
بالنسبة لنا، وبالنسبة له، لا يمكن إنكاره، لا تشوبها شائبة.
لكي يبتهج، تعهد فيثاغورس للآلهة:
للمس الحكمة اللانهائية ،
وذبح مائة ثور بفضل الأبديين.
وقدم الصلوات والثناء على الضحية.
منذ ذلك الحين، عندما تشتم الثيران ذلك، يندفعون،
أن الدرب يقود الناس مرة أخرى إلى حقيقة جديدة،
إنهم يزأرون بشدة، لذا لا فائدة من الاستماع،
مثل فيثاغورس غرس فيهم الرعب إلى الأبد.
الثيران، العاجزون عن مقاومة الحقيقة الجديدة،
ماذا تبقى؟ - مجرد إغلاق عينيك، هدير، يرتجف.
ومن غير المعروف كيف أثبت فيثاغورس نظريته. والمؤكد أنه اكتشفها تحت التأثير القوي للعلم المصري. حالة خاصة من نظرية فيثاغورس - خصائص المثلث ذو الجوانب 3 و 4 و 5 - كانت معروفة لبناة الأهرامات قبل وقت طويل من ولادة فيثاغورس، وقد درس هو نفسه مع الكهنة المصريين لأكثر من 20 عامًا. تم الحفاظ على أسطورة تقول إنه بعد إثبات نظريته الشهيرة، ضحى فيثاغورس بالثور للآلهة، ووفقًا لمصادر أخرى، حتى 100 ثور. لكن هذا يتعارض مع المعلومات المتعلقة بالآراء الأخلاقية والدينية لفيثاغورس. يمكنك أن تقرأ في المصادر الأدبية أنه "نهى عن قتل الحيوانات، ناهيك عن إطعامها، لأن الحيوانات لها أرواح، مثلنا تمامًا". أكل فيثاغورس فقط العسل والخبز والخضروات وأحيانًا الأسماك. فيما يتعلق بكل هذا، يمكن اعتبار الإدخال التالي أكثر منطقية: "... وحتى عندما اكتشف أن الوتر يتوافق مع الساقين في المثلث الأيمن، فقد ضحى بثور مصنوع من عجينة القمح."
إن شعبية نظرية فيثاغورس كبيرة جدًا لدرجة أن أدلةها موجودة حتى في الخيال، على سبيل المثال، في قصة "أرخميدس الشاب" للكاتب الإنجليزي الشهير هكسلي. نفس الدليل، لكن في حالة خاصة للمثلث متساوي الساقين، موجود في حوار أفلاطون "مينو".
حكاية خرافية "المنزل".
"بعيدًا جدًا، حيث لا تطير حتى الطائرات، هو بلد الهندسة. في هذا البلد غير العادي كانت هناك مدينة مذهلة - مدينة تيوريم. ذات يوم جئت إلى هذه المدينة فتاة جميلةاسمه الوتر. لقد حاولت استئجار غرفة، ولكن بغض النظر عن المكان الذي تقدمت فيه بطلب، فقد تم رفضها. وأخيراً اقتربت من المنزل المتهالك وطرقت الباب. فتح لها رجل أطلق على نفسه اسم Right Angle الباب، ودعا Hypotenuse للعيش معه. بقي الوتر في المنزل الذي يعيش فيه Right Angle وابنيه الصغيرين المسمى Katetes. منذ ذلك الحين، تغيرت الحياة في منزل Right Angle بطريقة جديدة. قام الوتر بزراعة الزهور على النافذة وزرع الورود الحمراء في الحديقة الأمامية. اتخذ المنزل شكل مثلث قائم الزاوية. كلتا الساقين أحببت حقًا الوتر وطلبت منها البقاء إلى الأبد في منزلهما. في المساء، تجتمع هذه العائلة الودية على مائدة العائلة. أحيانًا يلعب Right Angle الغميضة مع أطفاله. في أغلب الأحيان عليه أن يبحث، ويختبئ الوتر بمهارة شديدة بحيث يكون من الصعب جدًا العثور عليه. في أحد الأيام، أثناء اللعب، لاحظت Right Angle خاصية مثيرة للاهتمام: إذا تمكن من العثور على الساقين، فإن العثور على الوتر ليس بالأمر الصعب. لذا، يجب أن أقول إن الزاوية اليمنى تستخدم هذا النمط بنجاح كبير. وتستند نظرية فيثاغورس على خاصية هذا المثلث القائم الزاوية.
(من كتاب أ. أوكونيف "شكرًا لكم على الدرس أيها الأطفال").
صياغة فكاهية للنظرية:
إذا أعطانا مثلثا
وعلاوة على ذلك، مع الزاوية اليمنى،
وهذا هو مربع الوتر
يمكننا دائمًا العثور بسهولة على:
نحن نربع الساقين
نجد مجموع القوى -
وبهذه الطريقة البسيطة
سوف نصل إلى النتيجة.
أثناء دراستي للجبر وبدايات التحليل والهندسة في الصف العاشر، اقتنعت أنه بالإضافة إلى طريقة إثبات نظرية فيثاغورس التي تمت مناقشتها في الصف الثامن، هناك طرق أخرى للبرهان. أقدمها للنظر فيها.
2. الجزء الرئيسي.
نظرية. في المثلث الأيمن يوجد مربع
الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين.
1 طريقة.
باستخدام خصائص مناطق المضلعات، سننشئ علاقة ملحوظة بين الوتر وأرجل المثلث القائم الزاوية.
دليل.
أ، جوالوتر مع(الشكل 1، أ).
دعونا نثبت ذلك ج²=أ²+ب².
دليل.
دعونا نكمل المثلث إلى مربع مع الجانب أ + بكما يظهر في الشكل. 1، ب. المساحة S لهذا المربع هي (أ + ب)². ومن ناحية أخرى، يتكون هذا المربع من أربعة مثلثات متساوية قائمة الزاوية، مساحة كل منها ½ فصيل عبد الواحد ومربع ذو ضلع مع،ولذلك س = 4 * ½ فصيل عبد الواحد + ج² = 2فصيل عبد الواحد + ج².
هكذا،
(أ + ب)² = 2 فصيل عبد الواحد + ج²,
ج²=أ²+ب².
تم إثبات النظرية.
2 طريقة.
بعد دراسة موضوع "المثلثات المتشابهة"، اكتشفت أنه يمكنك تطبيق تشابه المثلثات على إثبات نظرية فيثاغورس. أي أنني استخدمت عبارة أن ساق المثلث القائم الزاوية هي الوسط المتناسب مع الوتر وقطعة الوتر المحصورة بين الساق والارتفاع المرسوم من قمة الرأس زاوية مستقيمة.
النظر في مثلث قائم الزاوية مع C، CD - الارتفاع (الشكل 2). دعونا نثبت ذلك تكييف² + شمال شرق² = أ ب²
.
دليل.
بناءً على العبارة المتعلقة بساق المثلث القائم الزاوية:
أس = , SV = .
دعونا نقوم بالتربيع ونضيف المعادلات الناتجة:
AC² = AB * AD، CB² = AB * DB؛
AC² + CB² = AB * (AD + DB)، حيث AD+DB=AB، إذن
AC² + CB² = AB * AB،
AC² + CB² = AB².
الدليل كامل.
3 طريقة.
لإثبات نظرية فيثاغورس، يمكنك تطبيق تعريف جيب تمام الزاوية الحادة للمثلث القائم. دعونا ننظر إلى الشكل. 3.
دليل:
لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية مع زاوية قائمة C. دعونا نرسم قرص الارتفاع CD من قمة الزاوية القائمة C.
حسب تعريف جيب التمام للزاوية:
cos A = AD/AC = AC/AB. وبالتالي AB * AD = AC²
على نفس المنوال،
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
وبالتالي AB * BD = BC².
وبجمع المعادلات الناتجة حدًا تلو الآخر وملاحظة أن AD + DB = AB، نحصل على:
تكييف² + شمس² = AB (م + DB) = أ.ب²
الدليل كامل.
4 طريقة.
بعد دراسة موضوع "العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية"، أعتقد أنه يمكن إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة أخرى.
فكر في مثلث قائم الزاوية بأرجل أ، جوالوتر مع. (الشكل 4).
دعونا نثبت ذلك ج²=أ²+ب².
دليل.
خطيئة ب=جودة عالية ; كوس ب=مكيف الهواء , ثم بتربيع المساواة الناتجة نحصل على:
الخطيئة² ب=بوصة²/ثانية²؛ كوس² في= أ²/ج².
وبجمعهم نحصل على:
الخطيئة² في+cos² ب=в²/с²+ а²/с²، حيث الخطيئة² في+cos² ب = 1،
1= (в²+ а²) / с²، لذلك،
ج² = أ² + ب².
الدليل كامل.
5 طريقة.
يعتمد هذا البرهان على قطع المربعات المبنية على الأرجل (شكل 5) ووضع الأجزاء الناتجة على مربع مبني على الوتر.
6 طريقة.
للإثبات على الجانب شمسنحن نبني بي سي دي اي بي سي(الشكل 6). نحن نعلم أن مساحات الأشكال المتشابهة ترتبط ببعضها البعض كمربعات أبعادها الخطية المتشابهة:
وبطرح الثانية من المساواة الأولى نحصل على
ج2 = أ2 + ب2.
الدليل كامل.
7 طريقة.
منح(الشكل 7):
ABC,= 90 درجة ، شمس= أ، أس =ب، أ ب = ج.
يثبت:ج2 = أ2 +ب2.
دليل.
دع الساق ب أ.دعونا نواصل هذا الجزء شمال شرقلكل نقطة فيوبناء مثلث كثافة المعادن بالعظامبحيث النقاط مو أتقع على جانب واحد من الخط المستقيم قرص مضغوطبجانب ذلك، دينار بحريني =ب، بي دي إم= 90 درجة، مارك ألماني= أ إذن كثافة المعادن بالعظام= اي بي سيعلى الجانبين والزاوية بينهما. النقاط أ و متواصل مع القطاعات أكون.لدينا (دكتور في الطب) قرص مضغوطو مكيف الهواء قرص مضغوط,وهذا يعني أنه مستقيم تكييفبالتوازي مع الخط (دكتور في الطب)لأن (دكتور في الطب)< АС, ثم على التوالي قرص مضغوطو أكون.غير متوازي. لذلك، AMDC-شبه منحرف مستطيل.
في المثلثات القائمة ABC و كثافة المعادن بالعظام 1 + 2 = 90° و3 + 4 = 90°، ولكن بما أن = =، فإن 3 + 2 = 90°؛ ثم التشوه الشرياني الوريدي=180° - 90° = 90°. اتضح أن شبه منحرف AMDCمقسمة إلى ثلاثة مثلثات قائمة غير متداخلة، ثم حسب بديهيات المساحة
(أ+ب)(أ+ب)
بقسمة جميع شروط عدم المساواة على ، نحصل على
أب + ج2 + أب = (أ +ب) , 2 أب+ ج2 = a2+ 2 أب+ ب2,
ج2 = أ2 + ب2.
الدليل كامل.
8 طريقة.
تعتمد هذه الطريقة على الوتر وأرجل المثلث القائم الزاوية اي بي سي.قام ببناء المربعات المتناظرة وأثبت أن المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الأرجل (الشكل 8).
دليل.
1) دي بي سي= FBA= 90 درجة؛
دي بي سي+ اي بي سي= فبا + ABC,وسائل، إف بي سي = ديسيبل.
هكذا، FBC=عبد(على الجانبين والزاوية بينهما).
2) 
,
حيث AL DE، بما أن BD قاعدة مشتركة، DL-الإرتفاع الإجمالي.
3) 
نظرًا لأن الفيسبوك هو الأساس، أ.ب- الإرتفاع الإجمالي.
4) 
5) وكذلك يمكن إثبات ذلك 
6) بإضافة مصطلح بعد مصطلح نحصل على:
, قبل الميلاد2
= AB2 + AC2
.
الدليل كامل.
9 طريقة.
دليل.
1) دع أبدي- مربع (الشكل 9) يساوي ضلعه الوتر في المثلث القائم الزاوية اي بي سي= ق، قبل الميلاد = أ، أس =ب).
2) دع لا أعرف قبل الميلادو DK = الشمس،بما أن 1 + 2 = 90 درجة (مثل الزوايا الحادة في المثلث القائم)، 3 + 2 = 90 درجة (مثل زاوية المربع)، أ.ب= دينار بحريني(جوانب المربع).
وسائل، اي بي سي= بي دي كيه(عن طريق الوتر والزاوية الحادة).
3) دع إل د.ك.، أ.م. إل.يمكن بسهولة إثبات أن ABC = BDK =DEL = EAM (بأرجل أو ب).ثم كانساس= سم= م.= إل.ك.= أ -ب.
4) سك = 4S + إس كيه إل إم سي= 2ab+ (أ - ب)،مع2 = 2ab + a2 - 2ab + b2،ج2 = أ2 + ب2.
الدليل كامل.
10 طريقة.
يمكن إجراء الإثبات على شخصية تسمى مازحا "بنطال فيثاغورس" (الشكل 10). وتتمثل فكرتها في تحويل المربعات المبنية على الجوانب إلى مثلثات متساوية تشكل معًا مربع الوتر.
اي بي سيحركه كما هو موضح بالسهم، وسيأخذ مكانه KDN.بقية الشكل AKDCBمساحة متساوية للمربع AKDCهذا متوازي الأضلاع أكنب.
لقد تم صنع نموذج متوازي الأضلاع أكنب. نقوم بإعادة ترتيب متوازي الأضلاع كما هو موضح في محتويات العمل. لإظهار تحول متوازي الأضلاع إلى مثلث متساوي المساحة، أمام أعين الطلاب، نقطع مثلثًا في النموذج ونحركه للأسفل. وبالتالي مساحة الساحة AKDCتبين أنها تساوي مساحة المستطيل. وبالمثل، نقوم بتحويل مساحة المربع إلى مساحة المستطيل.
لنقم بإجراء تحويل لمربع مبني على أحد الجوانب أ(الشكل 11،أ):
أ) يتحول المربع إلى متوازي أضلاع متساوي (الشكل 11.6):
ب) يدور متوازي الأضلاع ربع دورة (الشكل 12):
ج) يتحول متوازي الأضلاع إلى مستطيل متساوي (الشكل 13): 11 طريقة.
دليل:
PCL -مستقيم (الشكل 14)؛
كلوا= ACPF= ACED= أ2؛
إل جي بي أو= سفمر =سي بي إن كيو= ب 2;
أكغب= أكلو +إل جي بي أو= ج2؛
ج2 = أ2 + ب2.
انتهى الدليل .
12 طريقة.
أرز. يوضح الشكل 15 دليلاً أصليًا آخر لنظرية فيثاغورس.
هنا: المثلث ABC ذو الزاوية القائمة C؛ القطعة المستقيمة ب.ف.عمودي شمال شرقويساويها المقطع يكونعمودي أ.بويساويها المقطع إعلانعمودي تكييفويساويها؛ نقاط ف، ج،دتنتمي إلى نفس الخط. رباعيات ADFBو ASVEمتساوية في الحجم، إذًا ABF = البنك المركزي الأوروبي؛مثلثات وحدة التغذية التلقائية للمستنداتو بارِعمتساوية في الحجم اطرح من الشكلين الرباعيين المتساويين المثلث الذي يشتركان فيه ABC,نحن نحصل
, ج2 = أ2 +
ب2.
الدليل كامل.
13 طريقة.
مساحة المثلث القائم الزاوية المعطى من أحد ضلعيه تساوي ,
مع آخر، ,
3 - الخلاصة.
نتيجة لنشاط البحث تم تحقيق هدف العمل وهو تجديد وتعميم المعرفة حول إثبات نظرية فيثاغورس. كان من الممكن إيجاد ودراسة طرق مختلفة لإثبات ذلك وتعميق المعرفة بالموضوع، بما يتجاوز صفحات الكتاب المدرسي.
إن المواد التي جمعتها تقنعني أكثر بأن نظرية فيثاغورس هي نظرية عظيمة في الهندسة ولها أهمية نظرية وعملية هائلة. وفي الختام أود أن أقول: إن سبب شهرة نظرية فيثاغورس التثليثية هو جمالها وبساطتها وأهميتها!
4. الأدبيات المستخدمة.
1. الجبر الترفيهي. . موسكو "العلم"، 1978.
2. الملحق التربوي والمنهجي الأسبوعي لصحيفة “الأول من سبتمبر” 24/2001.
3. الهندسة 7-9. وإلخ.
4. الهندسة 7-9. وإلخ.
(حسب البردية رقم 6619 من متحف برلين). وفقًا كانتور، قامت harpedonaptes، أو "ساحبات الحبال"، ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة بأضلاع 3 و4 و5.
من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار من أحد الطرفين و4 أمتار من الطرف الآخر. ستكون الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. يمكن الاعتراض على Harpedonaptians بأن أسلوبهم في البناء يصبح غير ضروري إذا استخدمنا، على سبيل المثال، مربعًا خشبيًا يستخدمه جميع النجارين. وبالفعل فإن الرسومات المصرية معروفة حيث توجد مثل هذه الأداة، على سبيل المثال، رسومات تصور ورشة نجارة.
يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. وفي أحد النصوص يعود تاريخه إلى زمن حمورابي، أي إلى عام 2000 قبل الميلاد. ه. ، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. واستنادا، من ناحية، على المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، وعلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، خلص فان دير وايردن (عالم رياضيات هولندي) إلى أن هناك احتمالا كبيرا بأن كانت نظرية مربع الوتر معروفة في الهند في حوالي القرن الثامن عشر قبل الميلاد. ه.
حوالي 400 قبل الميلاد. قبل الميلاد، وفقا لبروكلس، أعطى أفلاطون طريقة للعثور على ثلاثة توائم فيثاغورس، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد. ه. ظهر أقدم دليل بديهي لنظرية فيثاغورس في كتاب العناصر لإقليدس.
تركيبات
صياغة هندسية:
تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:
الصيغة الجبرية:
وهذا يعني أن طول وتر المثلث بـ و أطوال الأرجل بـ و :
كلتا صيغتي النظرية متكافئتان، لكن الصيغة الثانية أكثر أولية؛ فهي لا تتطلب مفهوم المساحة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة، وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.
نظرية فيثاغورس العكسية:
دليل
على هذه اللحظةتم تسجيل 367 دليلاً على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الهائل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة.
وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة، والبراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال، باستخدام المعادلات التفاضلية).
من خلال مثلثات مماثلة
البرهان التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين، وقد تم إنشاؤه مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل.
يترك اي بي سيهناك مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم الارتفاع من جوالدلالة على قاعدته ب ح. مثلث أشيشبه المثلث اي بي سيفي زاويتين. وكذلك المثلث CBHمشابه اي بي سي. من خلال إدخال التدوين
نحن نحصل
ما يعادل
بإضافة ذلك، نحصل على
، وهو ما يحتاج إلى إثباتالبراهين باستخدام طريقة المنطقة
البراهين أدناه، على الرغم من بساطتها الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. جميعهم يستخدمون خصائص المساحة، والتي يكون إثباتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.
إثبات عن طريق التكامل المتساوي
- لنرتب أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل 1.
- رباعية الجوانب جهو مربع، لأن مجموع الزاويتين الحادتين هو 90 درجة، والزاوية المستقيمة هي 180 درجة.
- مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموع مساحات المثلثات الأربعة والضلع (أ + ب) مساحة المربع الداخلي .
Q.E.D.
برهان اقليدس
فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان.
دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها.
دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. وللقيام بذلك، سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة المستطيل المعطى يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.
لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة: المثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK، AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة).
إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا.
وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر من خلال الرسوم المتحركة أعلاه.
إثبات ليوناردو دافنشي
العناصر الرئيسية للإثبات هي التماثل والحركة.
دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة تقطع المربع إلى جزأين متطابقين (نظرًا لأن المثلثين متساويان في البناء).
وباستخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول النقطة، نرى تساوي الأشكال المظللة و.
الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات الصغيرة (المبنية على الأرجل) ومساحة المثلث الأصلي. ومن ناحية أخرى، فهو يساوي نصف مساحة المربع الكبير (المبني على الوتر) بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. وبالتالي فإن نصف مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي نصف مساحة المربع الكبير، وبالتالي فإن مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل يساوي مساحة المربع المبني على الأرجل الوتر.
الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر
غالبًا ما يُنسب الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.
النظر إلى الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغير في جانبه أيمكننا كتابة العلاقة التالية للزيادات الجانبية المتناهية الصغر معو أ(باستخدام تشابه المثلث):
وباستخدام طريقة الفصل بين المتغيرات نجد
أكثر التعبير العاملتغيير الوتر في حالة زيادات كلا الساقين
بدمج هذه المعادلة وباستخدام الشروط الأولية نحصل على
وبذلك نصل إلى الإجابة المطلوبة
وكما هو واضح فإن الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية يظهر بسبب التناسب الخطي بين أضلاع المثلث والزيادات، في حين أن المجموع يرتبط بمساهمات مستقلة من زيادة الأضلاع المختلفة.
يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن أحد الساقين لا يعاني من زيادة (في في هذه الحالةرجل). ثم للحصول على ثابت التكامل نحصل عليه
الاختلافات والتعميمات
أشكال هندسية متشابهة من ثلاث جهات
تعميم للمثلثات المتشابهة مساحة الأشكال الخضراء A + B = مساحة الأشكال الزرقاء C
نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات القائمة المتشابهة
قام إقليدس بتعميم نظرية فيثاغورس في عمله البداياتتوسيع مساحات المربعات من الجوانب إلى مساحات الأشكال الهندسية المتشابهة:
إذا قمت ببناء مماثلة أشكال هندسية(انظر الهندسة الإقليدية) على جوانب المثلث القائم، فإن مجموع الشكلين الأصغر سيكون مساوياً لمساحة الشكل الأكبر.
الفكرة الرئيسية لهذا التعميم هي أن مساحة هذا الشكل الهندسي تتناسب مع مربع أي من أبعاده الخطية، وعلى وجه الخصوص، مع مربع طول أي ضلع. لذلك، لشخصيات مماثلة مع المناطق أ, بو جمبنية على جوانب ذات طول أ, بو ج، لدينا:
ولكن حسب نظرية فيثاغورس أ 2 + ب 2 = ج 2 ثم أ + ب = ج.
على العكس من ذلك، إذا تمكنا من إثبات ذلك أ + ب = جلثلاثة أشكال هندسية متشابهة دون استخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إثبات النظرية نفسها، والتحرك في الاتجاه المعاكس. على سبيل المثال، يمكن إعادة استخدام مثلث مركز البداية كمثلث جعلى الوتر، ومثلثين قائمين متشابهين ( أو ب) ، مبنية على الجانبين الآخرين، والتي تتكون من قسمة المثلث المركزي على ارتفاعه. ومن الواضح أن مجموع مساحتي المثلثين الأصغر يساوي مساحة المثلث الثالث، وبالتالي أ + ب = جواستيفاء البرهان السابق في ترتيب عكسي, نحصل على نظرية فيثاغورس a 2 + b 2 = c 2 .
نظرية جيب التمام
نظرية فيثاغورس هي حالة خاصةنظرية أكثر عمومية لجيب التمام، والتي تربط أطوال الجوانب في مثلث عشوائي:
حيث θ هي الزاوية بين الجانبين أو ب.
إذا كانت θ تساوي 90 درجة، فإن cos θ = 0 ويتم تبسيط الصيغة إلى نظرية فيثاغورس المعتادة.
المثلث الحر
إلى أي زاوية محددة لمثلث عشوائي ذو جوانب أ، ب، جدعونا نرسم مثلثًا متساوي الساقين بحيث تكون الزوايا المتساوية عند قاعدته θ مساوية للزاوية المختارة. لنفترض أن الزاوية المحددة θ تقع مقابل الجانب المحدد ج. ونتيجة لذلك، حصلنا على مثلث ABD ذو الزاوية θ، والذي يقع مقابل الجانب أوالحفلات ص. يتكون المثلث الثاني من الزاوية θ التي تقع مقابل الجانب بوالحفلات معطول س، كما هو موضح في الصورة. وذهب ثابت بن قرة إلى أن أضلاع هذه المثلثات الثلاثة مرتبطة على النحو التالي:
عندما تقترب الزاوية θ من π/2، تصبح قاعدة المثلث متساوي الساقين أصغر ويتداخل الجانبان r وs مع بعضهما البعض بشكل أقل فأقل. عندما θ = π/2، يصبح ADB مثلثًا قائمًا، ص + س = جونحصل على نظرية فيثاغورس الأولية.
دعونا نفكر في إحدى الحجج. المثلث ABC له نفس زوايا المثلث ABD، ولكن بترتيب عكسي. (هناك مثلثان زاوية مشتركةعند الرأس B، كلاهما لهما زاوية θ ولهما أيضًا نفس الزاوية الثالثة، بمجموع زوايا المثلث) وبناءً على ذلك، ABC يشبه الانعكاس ABD للمثلث DBA، كما هو موضح في الشكل السفلي. دعونا نكتب العلاقة بين الأضلاع المتقابلة وتلك المجاورة للزاوية θ،
وأيضا انعكاس لمثلث آخر،
دعونا نضرب الكسور ونضيف هاتين النسبتين:
Q.E.D.
تعميم المثلثات التعسفية عبر متوازي الأضلاع
تعميم للمثلثات التعسفية،
المنطقة الخضراء قطعة الأرض = المنطقةأزرق
دليل على الأطروحة التي في الشكل أعلاه
لنقم بتعميم إضافي للمثلثات غير القائمة باستخدام متوازيات الأضلاع على ثلاثة جوانب بدلاً من المربعات. (المربعات حالة خاصة.) يوضح الشكل العلوي أنه بالنسبة للمثلث الحاد، فإن مساحة متوازي الأضلاع على الضلع الطويل تساوي مجموع متوازي الأضلاع على الضلعين الآخرين، بشرط أن يكون متوازي الأضلاع على الضلع الطويل تم إنشاء الجانب كما هو موضح في الشكل (الأبعاد المشار إليها بواسطة الأسهم هي نفسها وتحدد جوانب متوازي الأضلاع السفلي). هذا الاستبدال للمربعات بمتوازيات الأضلاع يحمل تشابهًا واضحًا مع نظرية فيثاغورس الأولية، التي يُعتقد أن بابوس السكندري صاغها في عام 4 بعد الميلاد. ه.
ويبين الشكل السفلي التقدم المحرز في الإثبات. دعونا ننظر إلى الجانب الأيسر من المثلث. متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس المساحة الجهه اليسرىمتوازي الأضلاع الأزرق لأن لهما نفس القاعدة بوالارتفاع ح. وأيضًا، فإن متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر في الصورة العلوية لأنهما يشتركان في قاعدة مشتركة (أعلى الجانب الأيسرالمثلث) والارتفاع الإجمالي العمودي على هذا الجانب من المثلث. باستخدام منطق مماثل للجانب الأيمن من المثلث، سنثبت أن متوازي الأضلاع السفلي له نفس مساحة متوازيي الأضلاع الأخضرين.
ارقام مركبة
تستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات الديكارتية، وهذه النظرية صالحة لجميع الإحداثيات الحقيقية: المسافة سبين نقطتين ( أ، ب) و ( ج، د) يساوي
لا توجد مشاكل في الصيغة إذا تم التعامل مع الأعداد المركبة على أنها متجهات ذات مكونات حقيقية س + أنا ذ = (س, ذ). . على سبيل المثال، المسافة سبين 0+1 أناو1 + 0 أناتحسب كمعامل المتجه (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), أو
ومع ذلك، بالنسبة للعمليات مع المتجهات ذات الإحداثيات المعقدة، فمن الضروري إجراء بعض التحسينات على صيغة فيثاغورس. المسافة بين النقاط مع ارقام مركبة (أ, ب) و ( ج, د); أ, ب, ج، و دكلها معقدة، دعونا صياغة باستخدام القيم المطلقة. مسافة سعلى أساس الفرق ناقلات (أ − ج, ب − د) على الشكل التالي : دع الفرق أ − ج = ص+أنا س، أين ص- الجزء الحقيقي من الفرق، سهو الجزء التخيلي، وi = √(−1). وبالمثل، دعونا ب − د = ص+أنا س. ثم:
أين هو الرقم المرافق المعقد ل . على سبيل المثال، المسافة بين النقاط (أ, ب) = (0, 1) و (ج, د) = (أنا, 0) ، دعونا نحسب الفرق (أ − ج, ب − د) = (−أنا, 1) وستكون النتيجة 0 إذا لم يتم استخدام الاقترانات المعقدة. لذلك، باستخدام الصيغة المحسنة، نحصل على
يتم تعريف الوحدة على النحو التالي:
القياس المجسم
من التعميمات الهامة لنظرية فيثاغورس للفضاء ثلاثي الأبعاد هي نظرية دي غوي، التي سميت على اسم جيه بي. دي غويس: إذا كان لرباعي الوجوه زاوية قائمة (كما في المكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعات مساحات الوجوه الثلاثة الأخرى. ويمكن تلخيص هذا الاستنتاج على النحو التالي " ننظرية فيثاغورس ذات الأبعاد:
نظرية فيثاغورس مساحة ثلاثية الأبعاديربط AD قطريًا بثلاثة جوانب.
تعميم آخر: يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على القياس الفراغي بالشكل التالي. خذ بعين الاعتبار متوازي السطوح المستطيل كما هو موضح في الشكل. دعنا نوجد طول القطر BD باستخدام نظرية فيثاغورس:
حيث تشكل الجوانب الثلاثة مثلثًا قائمًا. نستخدم القطر الأفقي BD والحافة الرأسية AB لإيجاد طول القطر AD، ولهذا نستخدم مرة أخرى نظرية فيثاغورس:
أو إذا كتبنا كل شيء في معادلة واحدة:
هذه النتيجة عبارة عن تعبير ثلاثي الأبعاد لتحديد حجم المتجه الخامس(قطري AD) ، معبراً عنه من حيث مكوناته المتعامدة ( الخامسك ) (ثلاثة جوانب متعامدة بشكل متبادل):
يمكن اعتبار هذه المعادلة بمثابة تعميم لنظرية فيثاغورس للفضاء متعدد الأبعاد. ومع ذلك، فإن النتيجة في الواقع ليست أكثر من تطبيق متكرر لنظرية فيثاغورس على سلسلة من المثلثات القائمة في مستويات متعامدة على التوالي.
مساحة المتجهات
في حالة وجود نظام متعامد من المتجهات، هناك مساواة، والتي تسمى أيضًا نظرية فيثاغورس:
إذا كانت هذه إسقاطات للمتجه على محاور الإحداثيات، فإن هذه الصيغة تتزامن مع المسافة الإقليدية - وتعني أن طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته.
إن نظير هذه المساواة في حالة وجود نظام لا نهائي من المتجهات يسمى مساواة بارسيفال.
الهندسة غير الإقليدية
نظرية فيثاغورس مشتقة من بديهيات الهندسة الإقليدية، وهي في الواقع غير صالحة للهندسة غير الإقليدية، بالشكل الذي كتبت به أعلاه. (أي أن نظرية فيثاغورس تبين أنها نوع من المكافئ لمسلمة إقليدس للتوازي). وبعبارة أخرى، في الهندسة غير الإقليدية، ستكون العلاقة بين أضلاع المثلث بالضرورة في شكل مختلف عن نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، في الهندسة الكروية، جميع الجوانب الثلاثة للمثلث القائم الزاوية (على سبيل المثال أ, بو ج)، التي تحدد الثماني (الجزء الثامن) من كرة الوحدة، يبلغ طولها π/2، وهو ما يتعارض مع نظرية فيثاغورس، لأن أ 2 + ب 2 ≠ ج 2 .
دعونا نفكر هنا في حالتين من الهندسة غير الإقليدية - الهندسة الكروية والزائدية؛ وفي كلتا الحالتين، أما بالنسبة للمساحة الإقليدية للمثلثات القائمة، فإن النتيجة التي تحل محل نظرية فيثاغورس، تتبع نظرية جيب التمام.
ومع ذلك، تظل نظرية فيثاغورس صالحة للهندسة الزائدية والإهليلجية إذا تم استبدال شرط أن يكون المثلث مستطيلًا بشرط أن مجموع زاويتين للمثلث يجب أن يكون مساويًا للثالثة، على سبيل المثال أ+ب = ج. فتبدو العلاقة بين الجوانب كما يلي: مجموع مساحات الدوائر التي لها أقطار أو بيساوي مساحة الدائرة التي يبلغ قطرها ج.
الهندسة الكروية
لأي مثلث قائم الزاوية على كرة نصف قطرها ر(على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية γ في المثلث قائمة) مع الجوانب أ, ب, جوستكون العلاقة بين الطرفين على النحو التالي:
ويمكن استخلاص هذه المساواة كما حالة خاصةنظرية جيب التمام الكروية، والتي تنطبق على جميع المثلثات الكروية:
حيث cosh هو جيب التمام الزائدي. هذه الصيغة هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام الزائدي، وهي صالحة لجميع المثلثات:
حيث γ هي الزاوية التي رأسها مقابل الجانب ج.
أين ز اي جاييسمى الموتر المتري. قد تكون وظيفة الموقف. مثل هذه المساحات المنحنية تشمل الهندسة الريمانية مثل مثال عام. هذه الصيغة مناسبة أيضًا للفضاء الإقليدي عند استخدام الإحداثيات المنحنية. على سبيل المثال، للإحداثيات القطبية:
ناقلات العمل الفني
تربط نظرية فيثاغورس بين تعبيرين لحجم منتج متجه. يتطلب أحد الأساليب لتحديد المنتج المتقاطع أن يفي بالمعادلة:
تستخدم هذه الصيغة المنتج النقطي. الجانب الأيمنالمعادلة تسمى محدد الجرام أو بوهي تساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يتكون من هذين المتجهين. وبناء على هذا الشرط، وكذلك اشتراط أن يكون المنتج المتجه متعامدا مع مكوناته أو بويترتب على ذلك أنه، باستثناء الحالات التافهة من الفضاء ذي البعدين 0 و1، يتم تعريف المنتج المتقاطع فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. نستخدم تعريف الزاوية في ن-مساحة الأبعاد:
هذه الخاصية للمنتج المتقاطع تعطي حجمها كما يلي:
ومن خلال الهوية المثلثية الأساسية لفيثاغورس نحصل على شكل آخر لكتابة قيمتها:
هناك طريقة بديلة لتحديد حاصل الضرب الاتجاهي وهي استخدام تعبير يعبر عن حجمه. ثم، بالتفكير بترتيب عكسي، نحصل على اتصال مع المنتج القياسي:
أنظر أيضا
ملحوظات
- موضوع التاريخ: نظرية فيثاغورس في الرياضيات البابلية
- ( ، ص 351) ص 351
- (، المجلد الأول، ص 144)
- مناقشة حقائق تاريخيةتقدم في (، ص 351) ص 351
- كيرت فون فريتز (أبريل 1945). “اكتشاف عدم القابلية للقياس بواسطة هيباسوس من ميتابونتوم”. حوليات الرياضيات، السلسلة الثانية(حوليات الرياضيات) 46 (2): 242–264.
- لويس كارول، "القصة ذات العقد"، م. مير، 1985، ص. 7
- اصغر عبويحلقات من التاريخ المبكر للرياضيات. - الجمعية الرياضية الأمريكية، 1997. - ص 51. - ISBN 0883856131
- اقتراح بايثونبواسطة إليشا سكوت لوميس
- إقليدس عناصر: الكتاب السادس، الاقتراح السادس 31: “في المثلثات القائمة الزاوية، يكون الشكل الموجود على الجانب الذي يقابل الزاوية القائمة مساويا للأشكال المماثلة والموصوفة بشكل مماثل على الجوانب التي تحتوي على الزاوية القائمة.”
- لورانس س. ليف العمل المذكور. - سلسلة بارون التعليمية - ص 326. - ISBN 0764128922
- هوارد وايتلي إيفز§4.8:...تعميم نظرية فيثاغورس // لحظات عظيمة في الرياضيات (قبل 1650). - الجمعية الرياضية الأمريكية، 1983. - ص 41. - ISBN 0883853108
- ثابت بن قرة (الاسم الكامل: ثابت بن قرة بن مروان السبع الحراني) (826-901 م) كان طبيبًا يعيش في بغداد وكتب على نطاق واسع عن عناصر إقليدس ومواضيع رياضية أخرى.
- أيدين سايلي (مارس 1960). "تعميم ثابت بن قرة لنظرية فيثاغورس." مشاكل 51 (١): ٣٥-٣٧. دوى:10.1086/348837.
- جوديث د. سالي، بول ساليالتمرين 2.10 (ii) // العمل المستشهد به. - ص 62. - ISBN 0821844032
- للحصول على تفاصيل مثل هذا البناء، انظر جورج جينينغزالشكل 1.32: نظرية فيثاغورس المعممة // الهندسة الحديثة مع التطبيقات: مع 150 شكلاً. - الثالث. - سبرينغر، 1997. - ص 23. - ISBN 038794222X
- ارلين براون، كارل م. بيرسيغرض ج: القاعدة التعسفية ن-tuple ... // مقدمة في التحليل . - سبرينغر، 1995. - ص 124. - ISBN 0387943692انظر أيضاً الصفحات 47-50.
- ألفريد جراي، إلسا أبينا، سيمون سالامونالهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام Mathematica. - الثالث. - مطبعة اتفاقية حقوق الطفل، 2006. - ص 194. - ISBN 1584884487
- راجيندرا بهاتياتحليل المصفوفة. - سبرينغر، 1997. - ص 21. - ISBN 0387948465
- ستيفن دبليو هوكينج العمل المذكور. - 2005. - ص 4. - ISBN 0762419229
- إريك دبليو فايستين CRC موسوعة موجزة للرياضيات. - الثاني. - 2003. - ص 2147. - ISBN 1584883472
- ألكسندر ر. بروس
عندما بدأت التعرف على الجذور التربيعية وكيفية حل المعادلات غير المنطقية (المساواة التي تتضمن مجهولًا تحت علامة الجذر)، ربما تكون قد تذوقت للمرة الأولى استخداماتها العملية. القدرة على الاستخراج الجذر التربيعيمن الأرقام ضروري أيضًا لحل المشكلات باستخدام نظرية فيثاغورس. تربط هذه النظرية أطوال أضلاع أي مثلث قائم الزاوية.
دع أطوال أرجل المثلث القائم (هذان الضلعان اللذان يلتقيان بزوايا قائمة) يتم تحديدهما بالحروف و، وسيتم تحديد طول الوتر (أطول ضلع في المثلث الواقع مقابل الزاوية القائمة) بواسطة الرسالة. ثم ترتبط الأطوال المتناظرة بالعلاقة التالية:
تتيح لك هذه المعادلة إيجاد طول أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية عندما يكون طول ضلعيه الآخرين معروفًا. بالإضافة إلى ذلك، فهو يسمح لك بتحديد ما إذا كان المثلث المعني مثلثًا قائمًا، بشرط أن تكون أطوال أضلاعه الثلاثة معروفة مسبقًا.
حل المسائل باستخدام نظرية فيثاغورس
لتوحيد المادة، سوف نقوم بحل المسائل التالية باستخدام نظرية فيثاغورس.
لذلك، نظرا:
- طول إحدى الساقين 48، والوتر 80.
- طول الساق 84 والوتر 91.
هيا بنا إلى الحل:
أ) استبدال البيانات في المعادلة أعلاه يعطي النتائج التالية:
48 2 + ب 2 = 80 2
2304 + ب 2 = 6400
ب 2 = 4096
ب= 64 أو ب = -64
وبما أنه لا يمكن التعبير عن طول أحد أضلاع المثلث عدد السلبي، فسيتم تجاهل الخيار الثاني تلقائيًا.
الجواب على الصورة الأولى: ب = 64.
ب) يتم إيجاد طول ساق المثلث الثاني بنفس الطريقة:
84 2 + ب 2 = 91 2
7056 + ب 2 = 8281
ب 2 = 1225
ب= 35 أو ب = -35
كما في الحالة السابقة، يتم تجاهل القرار السلبي.
الرد على الصورة الثانية : ب = 35
لقد تم منحنا:
- أطوال الضلعين الأصغر للمثلث هي 45 و55 على التوالي، والضلع الأكبر هو 75.
- أطوال الضلعين الأصغر للمثلث هي 28 و45 على التوالي، والضلع الأكبر هو 53.
دعونا نحل المشكلة:
أ) من الضروري التحقق مما إذا كان مجموع مربعات أطوال الأضلاع الأقصر لمثلث معين يساوي مربع طول الأضلاع الأكبر:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
وبالتالي فإن المثلث الأول ليس مثلثًا قائمًا.
ب) يتم تنفيذ نفس العملية:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
وبالتالي فإن المثلث الثاني هو مثلث قائم الزاوية.
أولًا، دعونا نوجد طول أكبر قطعة مكونة من نقاط ذات إحداثيات (-2، -3) و (5، -2). لهذا نستخدم صيغة معروفةللعثور على المسافة بين النقاط في نظام الإحداثيات المستطيل:
وبالمثل، نجد طول القطعة المحصورة بين النقاط ذات الإحداثيات (-2، -3) و (2، 1):
وأخيرًا، نحدد طول القطعة بين النقاط ذات الإحداثيات (2، 1) و (5، -2):
وبما أن المساواة تحمل:
فإن المثلث المقابل قائم الزاوية.
وهكذا، يمكننا صياغة إجابة للمسألة: بما أن مجموع مربعات الأضلاع ذات الطول الأقصر يساوي مربع الضلع ذو الطول الأطول، فإن النقاط هي رؤوس المثلث القائم الزاوية.
تشكل القاعدة (الموجودة بشكل أفقي تمامًا) والدعامة (الموجودة رأسيًا بشكل صارم) والكابل (الممتد قطريًا) مثلثًا قائمًا على التوالي للعثور على طول الكابل يمكن استخدام نظرية فيثاغورس:
وبالتالي فإن طول الكابل سيكون حوالي 3.6 متر.
معطى: المسافة من النقطة R إلى النقطة P (ضلع المثلث) هي 24، ومن النقطة R إلى النقطة Q (الوتر) هي 26.
لذا، دعونا نساعد Vita على حل المشكلة. بما أن أضلاع المثلث الموضحة في الشكل من المفترض أن تشكل مثلثًا قائمًا، فيمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث:
وبالتالي فإن عرض البركة هو 10 أمتار.
سيرجي فاليريفيتش
نظرية فيثاغورس- إحدى النظريات الأساسية في الهندسة الإقليدية التي تحدد العلاقة
بين جانبي المثلث الأيمن.
ويعتقد أنه تم إثبات ذلك من قبل عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس، الذي سُميت باسمه.
الصياغة الهندسية لنظرية فيثاغورس.
تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:
في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات المربعين،
بنيت على الساقين.
الصياغة الجبرية لنظرية فيثاغورس.
في المثلث القائم، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي أطوال الساقين.
أي أنه يدل على طول وتر المثلث بـ ج، وأطوال الساقين من خلال أو ب:
كلا الصيغتين نظرية فيثاغورسمتكافئة، ولكن الصيغة الثانية أكثر أولية، فهي لا تفعل ذلك
يتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التأكد من البيان الثاني دون معرفة أي شيء عن المنطقة و
عن طريق قياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.
نظرية فيثاغورس العكسية.
إذا كان مربع أحد ضلعي المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فإن
مثلث قائم.
أو بمعنى آخر:
لكل ثلاثية من الأرقام الإيجابية أ, بو ج، مثل ذلك
هناك مثلث قائم بأرجل أو بوالوتر ج.
نظرية فيثاغورس للمثلث متساوي الساقين.
نظرية فيثاغورس للمثلث متساوي الأضلاع.
البراهين على نظرية فيثاغورس.
حاليًا، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما النظرية
فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي لديها هذا العدد الهائل من البراهين. مثل هذا التنوع
لا يمكن تفسيره إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة.
وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. أشهرهم:
دليل طريقة المنطقة, بديهيو أدلة غريبة(على سبيل المثال،
باستخدام المعادلات التفاضلية).
1. إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات المتشابهة.
البرهان التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين التي تم إنشاؤها
مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل.
يترك اي بي سيهناك مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم الارتفاع من جوتدل
أساسها من خلال ح.
مثلث أشيشبه المثلث أ.بج على زاويتين. وكذلك المثلث CBHمشابه اي بي سي.
من خلال تقديم التدوين:
نحن نحصل:
,
الذي يتوافق مع -
مطوية أ 2 و ب 2 نحصل على:
أو، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
2. إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة المساحة.
البراهين أدناه، على الرغم من بساطتها الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كل منهم
استخدم خصائص المساحة، التي تكون إثباتاتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.
- إثبات من خلال التكامل المتساوي.
دعونا نرتب أربعة مستطيلات متساوية
المثلث كما هو موضح في الشكل
على اليمين.
رباعية الجوانب ج- مربع،
وبما أن مجموع الزاويتين الحادتين هو 90 درجة، و
زاوية مكشوفة - 180 درجة.
مساحة الشكل بأكمله هي، من ناحية،
مساحة المربع مع الجانب ( أ + ب)، ومن ناحية أخرى، مجموع مساحات أربعة مثلثات و
Q.E.D.
3. إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة متناهية الصغر.
بالنظر إلى الرسم الموضح في الشكل و
مشاهدة التغيير الجانبيأ، في وسعنا
أكتب العلاقة التالية من أجل ما لا نهاية
صغير زيادات جانبيةمعو أ(باستخدام التشابه
مثلثات):
وباستخدام طريقة الفصل المتغير نجد:
تعبير أكثر عمومية عن تغير الوتر في حالة الزيادات على الجانبين:
بدمج هذه المعادلة وباستخدام الشروط الأولية نحصل على:
وبذلك نصل إلى الإجابة المطلوبة:
كما هو واضح، يظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب الخطي
التناسب بين أضلاع المثلث والزيادات، أما المجموع فيتعلق بالمستقل
مساهمات من زيادة أرجل مختلفة.
ويمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن أحد الساقين لا يعاني من زيادة
(في هذه الحالة الساق ب). ثم للحصول على ثابت التكامل نحصل على:
نظرية فيثاغورس
وبالمثل، فإن المثلث CBH يشبه ABC. من خلال إدخال التدوين 
1. ضع أربعة مثلثات متساوية الزاوية كما هو موضح في الشكل. 
فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان. دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها. دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. وللقيام بذلك، سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة المستطيل المعطى يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK. لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة، فالمثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK,AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة). إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا. وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين. 
دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة CI تقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (نظرًا لأن المثلثين ABC وJHI متساويان في البناء). وباستخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة، نرى تساوي الأشكال المظللة CAJI وGDAB. الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. وفي المقابل، فهو يساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر، بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات تُترك للقارئ.
