الأعداد المركبة تحل أمثلة المعادلات. التعبيرات والمعادلات وأنظمة المعادلات ذات الأعداد المركبة

الوكالة الفيدرالية للتعليم

مؤسسة تعليمية حكومية

التعليم المهني العالي

"جامعة فورونيج التربوية الحكومية"

قسم اجلبرا والهندسة

ارقام مركبة

(المهام المختارة)

العمل المؤهل للخريجين

تخصص 050201.65 رياضيات

(مع تخصص إضافي 050202.65 علوم حاسوب)

أكمله: طالب في السنة الخامسة

الجسدية والرياضية

كلية

المستشار العلمي:

فورونيج - 2008

1 المقدمة……………………………………………………...…………..…

2. الأعداد المركبة (مسائل مختارة)

2.1. الأعداد المركبة في شكل جبري….……...……….….

2.2. التفسير الهندسي للأعداد المركبة ............

2.3. الشكل المثلثي للأعداد المركبة

2.4. تطبيق نظرية الأعداد المركبة على حل معادلات الدرجة الثالثة والرابعة ...........................................................

2.5. الأعداد المركبة والمعلمات ……………………………….

3 - الخلاصة……………………………………………………………………………….

4. قائمة المراجع ……………………………………………

1 المقدمة

في برنامج الرياضيات دورة المدرسةيتم تقديم نظرية الأعداد باستخدام أمثلة لمجموعات الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والعقلانية، وغير العقلانية، أي. على مجموعة الأعداد الحقيقية، التي تملأ صورها خط الأعداد بأكمله. ولكن بالفعل في الصف الثامن، لا يوجد ما يكفي من الأعداد الحقيقية، وحل المعادلات التربيعية ذات التمييز السلبي. لذلك، كان من الضروري تجديد مخزون الأعداد الحقيقية بمساعدة الأعداد المركبة، والتي يكون الجذر التربيعي لها عدد السلبيله معنى.

اختيار موضوع "الأعداد المركبة" ليكون موضوع تخرجي العمل التأهيلي، هو أن مفهوم العدد المركب يوسع معرفة الطلاب حول أنظمة الأعداد، وحول حل فئة واسعة من المشكلات ذات المحتوى الجبري والهندسي، وحول حلها المعادلات الجبريةأي درجة وحول حل المشاكل مع المعلمات.

تتناول هذه الأطروحة حل 82 مشكلة.

يحتوي الجزء الأول من القسم الرئيسي "الأعداد المركبة" على حلول للمشكلات ارقام مركبةوفي الصورة الجبرية يتم تعريف عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، وعملية الاقتران للأعداد المركبة في الصورة الجبرية، وقوة الوحدة التخيلية، وتعريف معامل العدد المركب، كما يتم ذكر قاعدة الاستخراج الجذر التربيعيمن عدد مركب.

وفي الجزء الثاني تم حل المسائل المتعلقة بالتفسير الهندسي للأعداد المركبة على شكل نقاط أو متجهات المستوى المركب.

ويتناول الجزء الثالث العمليات على الأعداد المركبة في الصورة المثلثية. الصيغ المستخدمة هي: Moivre واستخراج جذر عدد مركب.

الجزء الرابع مخصص لحل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة.

عند حل المسائل في الجزء الأخير، "الأرقام والمعلمات المعقدة"، يتم استخدام المعلومات الواردة في الأجزاء السابقة وتوحيدها. تم تخصيص سلسلة من المسائل في هذا الفصل لتحديد عائلات الخطوط في المستوى المركب المحدد بواسطة المعادلات (المتباينات) ذات المعلمة. في جزء من التمارين، تحتاج إلى حل المعادلات ذات المعلمة (فوق الحقل C). هناك مهام حيث يفي متغير معقد في نفس الوقت بعدد من الشروط. من السمات الخاصة لحل المشكلات في هذا القسم اختزال العديد منها في حل المعادلات (المتباينات والأنظمة) من الدرجة الثانية وغير المنطقية والمثلثية ذات المعلمة.

من مميزات عرض المادة في كل جزء هو الإدخال الأولي الأسس النظريةومن ثم تطبيقها عمليا في حل المشكلات.

في نهايةالمطاف أُطرُوحَةيتم عرض قائمة الأدبيات المستخدمة. يقدم معظمهم المواد النظرية بتفاصيل كافية وبطريقة يسهل الوصول إليها، ويفكرون في حلول لبعض المشكلات، ويقدمون المهام العمليةل قرار مستقل. انتباه خاصأود أن أشير إلى مصادر مثل:

1. جوردينكو N.A.، Belyaeva E.S.، Firstov V.E.، Serebryakova I.V. الأعداد المركبة وتطبيقاتها: كتاب مدرسي. . مادة مساعدة تعليميةيتم تقديمها على شكل محاضرات وتمارين عملية.

2. شكليارسكي دي أو، تشينتسوف إن إن، ياجلوم آي إم. مشاكل ونظريات مختارة من الرياضيات الابتدائية. الحساب والجبر. يحتوي الكتاب على 320 مسألة تتعلق بالجبر والحساب ونظرية الأعداد. تختلف هذه المهام بشكل كبير في طبيعتها عن المهام المدرسية القياسية.

2. الأعداد المركبة (مسائل مختارة)

2.1. الأعداد المركبة في الصورة الجبرية

حل العديد من المشاكل في الرياضيات والفيزياء يأتي في حل المعادلات الجبرية، أي. معادلات النموذج

,

حيث a0، a1، ...، هي أعداد حقيقية. ولذلك فإن دراسة المعادلات الجبرية هي واحدة من القضايا الحرجةفي الرياضيات. على سبيل المثال، المعادلة التربيعية مع التمييز السلبي. أبسط هذه المعادلة هي المعادلة

.

لكي يكون لهذه المعادلة حل، من الضروري توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية بإضافة جذر المعادلة إليها

.

دعونا نشير إلى هذا الجذر بواسطة

. وهكذا، بحكم التعريف، أو،

لذلك،

. تسمى الوحدة التخيلية بمساعدتها وبمساعدة زوج من الأرقام الحقيقية، يتم تجميع تعبير النموذج.

وقد سمي التعبير الناتج بالأرقام المركبة لأنها تحتوي على أجزاء حقيقية وتخيلية.

إذن، الأعداد المركبة هي تعبيرات عن الصورة

، وهي أعداد حقيقية، وهي رمز معين يحقق الشرط. يسمى الرقم الجزء الحقيقي من العدد المركب، والرقم هو الجزء التخيلي منه. الرموز، تستخدم للدلالة عليها.

الأعداد المركبة للنموذج

هي أعداد حقيقية، وبالتالي فإن مجموعة الأعداد المركبة تحتوي على مجموعة الأعداد الحقيقية.

الأعداد المركبة للنموذج

تسمى خيالية بحتة. عددان مركبان على الصورة ويقال أنهما متساويان إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. إذا كانت المساواة .

يسمح التدوين الجبري للأعداد المركبة بإجراء العمليات عليها وفقًا لقواعد الجبر المعتادة.

لحل المسائل المتعلقة بالأعداد المركبة، عليك أن تفهم التعاريف الأساسية. الهدف الرئيسي من مقالة المراجعة هذه هو شرح ماهية الأعداد المركبة وتقديم طرق لحل المشكلات الأساسية المتعلقة بالأعداد المركبة. لذلك، سيتم استدعاء الرقم المركب رقم النموذج ض = أ + ثنائية، أين أ، ب- الأعداد الحقيقية، والتي تسمى الأجزاء الحقيقية والتخيلية من عدد مركب، على التوالي، وتدل على ذلك أ = إعادة (ض)، ب = إم (ض).
أناتسمى الوحدة التخيلية ط 2 = -1. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار أي رقم حقيقي معقدًا: أ = أ + 0i، حيث a حقيقي. لو أ = 0و ب ≠ 0، فعادةً ما يُطلق على الرقم اسم وهمي بحت.

الآن دعونا نقدم العمليات على الأعداد المركبة.
النظر في رقمين معقدين ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 ط.

دعونا نفكر ض = أ + ثنائية.

مجموعة الأعداد المركبة توسع مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي بدورها توسع المجموعة أرقام نسبيةإلخ. يمكن رؤية سلسلة الاستثمارات هذه في الشكل: N – الأعداد الصحيحة، Z - أعداد صحيحة، Q - عقلاني، R - حقيقي، C - معقد.

تمثيل الأعداد المركبة

التدوين الجبري.

النظر في عدد مركب ض = أ + ثنائية، يسمى هذا النوع من كتابة العدد المركب جبري. لقد ناقشنا بالفعل هذا النوع من التسجيل بالتفصيل في القسم السابق. يتم استخدام الرسم المرئي التالي في كثير من الأحيان

الشكل المثلثي.

ومن الشكل يتبين أن الرقم ض = أ + ثنائيةيمكن كتابتها بشكل مختلف. من الواضح أن أ = ركوس (φ), ب = رسين (φ), ص=|ض|، لذلك z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) تسمى حجة العدد المركب. يسمى هذا التمثيل لعدد مركب شكل مثلثي. أحيانًا يكون الشكل المثلثي للتدوين مناسبًا جدًا. على سبيل المثال، من الملائم استخدامه لرفع عدد مركب إلى قوة عدد صحيح، أي إذا z = rcos(φ) + rsin(φ)i، الذي - التي ض n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i، تسمى هذه الصيغة صيغة موافر.

شكل توضيحي.

دعونا نفكر z = rcos(φ) + rsin(φ)i- عدد مركب على الصورة المثلثية، يكتبه على شكل آخر z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = إعادة iφ، المساواة الأخيرة تتبع صيغة أويلر، هكذا حصلنا زي جديدتدوين الأعداد المركبة: ض = إعادة طφ، من اتصل إرشادية. هذا النوع من الترميز مناسب أيضًا لرفع عدد مركب إلى قوة: ض ن = ص ن ه فيφ، هنا نليس بالضرورة عددًا صحيحًا، ولكن يمكن أن يكون عددًا حقيقيًا عشوائيًا. غالبًا ما يستخدم هذا النوع من التدوين لحل المشكلات.

النظرية الأساسية للجبر العالي

لنتخيل أن لدينا معادلة تربيعية x 2 + x + 1 = 0. من الواضح أن مميز هذه المعادلة سالب وليس له جذور حقيقية، لكن يتبين أن هذه المعادلة لها جذرين معقدين مختلفين. لذا، تنص النظرية الأساسية للجبر الأعلى على أن أي كثيرة حدود من الدرجة n لها جذر مركب واحد على الأقل. ويترتب على ذلك أن أي كثيرة الحدود من الدرجة n لها بالضبط n جذور معقدة، مع الأخذ في الاعتبار تعددها. هذه النظرية هي نتيجة مهمة جدًا في الرياضيات وتستخدم على نطاق واسع. والنتيجة الطبيعية البسيطة لهذه النظرية هي أن هناك بالضبط n جذور مختلفةدرجة ن من الوحدة.

أنواع المهام الرئيسية

سيغطي هذا القسم الأنواع الرئيسية مهام بسيطةإلى أرقام معقدة. تقليديًا، يمكن تقسيم المسائل التي تتضمن أعدادًا مركبة إلى الفئات التالية.

• إجراء العمليات الحسابية البسيطة على الأعداد المركبة.
• إيجاد جذور كثيرات الحدود في الأعداد المركبة.
• رفع الأعداد المركبة إلى القوى.
• استخراج الجذور من الأعداد المركبة
• استخدام الأعداد المركبة لحل مسائل أخرى.

الآن دعونا نفكر التقنيات العامةحلول لهذه المشاكل.

يتم تنفيذ أبسط العمليات الحسابية مع الأعداد المركبة وفقًا للقواعد الموضحة في القسم الأول، ولكن إذا تم تقديم الأعداد المركبة في أشكال مثلثية أو أسية، ففي هذه الحالة يمكنك تحويلها إلى صيغة جبرية وإجراء العمليات وفقًا للقواعد المعروفة.

عادةً ما يكون العثور على جذور كثيرات الحدود مرتبطًا بإيجاد جذور المعادلة التربيعية. لنفترض أن لدينا معادلة تربيعية، إذا كان مميزها غير سالب، فإن جذورها ستكون حقيقية ويمكن إيجادها وفق صيغة معروفة. إذا كان المميز سالباً، د = -1∙أ2، أين أهو عدد معين، ثم يمكن تمثيل المميز على النحو التالي د = (يا) 2، لذلك √د = أنا|أ|، ومن ثم يمكنك استخدامها صيغة معروفةلجذور المعادلة التربيعية.

مثال. ولنعد إلى ما ذكر أعلاه. معادلة من الدرجة الثانيةس 2 + س + 1 = 0 .
المميز - د = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
الآن يمكننا بسهولة العثور على الجذور:

يمكن رفع الأعداد المركبة إلى القوى بعدة طرق. إذا كنت بحاجة إلى رفع رقم مركب في الصورة الجبرية إلى قوة صغيرة (2 أو 3)، فيمكنك القيام بذلك عن طريق الضرب المباشر، ولكن إذا كانت القوة أكبر (في المسائل غالبًا ما تكون أكبر بكثير)، فأنت بحاجة إلى اكتب هذا الرقم في أشكال مثلثية أو أسية واستخدم الطرق المعروفة بالفعل.

مثال. خذ بعين الاعتبار z = 1 + i وارفعه إلى القوة العاشرة.
لنكتب z في الصورة الأسية: z = √2 e iπ/4.
ثم ض 10 = (√2 هـ iπ/4) 10 = 32 ه 10iπ/4.
لنعد إلى الصيغة الجبرية: z 10 = -32i.

إن استخراج الجذور من الأعداد المركبة هو عملية عكسية للأس، وبالتالي يتم إجراؤها بطريقة مماثلة. لاستخراج الجذور، غالبا ما يتم استخدام الشكل الأسي لكتابة الرقم.

مثال. دعونا نجد جميع جذور الدرجة 3 من الوحدة. للقيام بذلك، سوف نجد جميع جذور المعادلة ض 3 = 1، وسوف نبحث عن الجذور في الصورة الأسية.
لنعوض في المعادلة: r 3 e 3iφ = 1 أو r 3 e 3iφ = e 0 .
بالتالي: r = 1، 3φ = 0 + 2πk، وبالتالي φ = 2πk/3.
يتم الحصول على جذور مختلفة عند φ = 0، 2π/3، 4π/3.
وبالتالي فإن 1، e i2π/3، e i4π/3 هي جذور.
أو على الصورة الجبرية:

يتضمن النوع الأخير من المشكلات مجموعة كبيرة ومتنوعة من المشكلات ولا توجد طرق عامة لحلها. دعونا نعطي مثالا بسيطا لهذه المهمة:

العثور على المبلغ الخطيئة(س) + الخطيئة(2x) + الخطيئة(2x) + … + الخطيئة(nx).

على الرغم من أن صياغة هذه المشكلة لا تتضمن أرقامًا معقدة، إلا أنه يمكن حلها بسهولة بمساعدتها. لحلها، يتم استخدام التمثيلات التالية:


إذا قمنا الآن باستبدال هذا التمثيل في المجموع، فسيتم تقليل المشكلة إلى جمع التقدم الهندسي المعتاد.

خاتمة

تستخدم الأعداد المركبة على نطاق واسع في الرياضيات، وقد تناولت هذه المقالة المراجعة العمليات الأساسية على الأعداد المركبة، ووصفت عدة أنواع من المسائل القياسية، ووصفت بإيجاز الأساليب العامةحلولهم، للحصول على دراسة أكثر تفصيلا لقدرات الأعداد المركبة، يوصى باستخدام الأدبيات المتخصصة.

الأدب

استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. استخدم الإنسان المعادلات في العصور القديمة، ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. من أجل الوضوح، دعونا نحل المشكلة التالية:

احسب \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] إذا \

بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى حقيقة أن أحد الأرقام يتم تقديمه بشكل جبري، والآخر بشكل مثلثي. يجب تبسيطها وتقديمها إلى النموذج التالي

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

يقول التعبير \ أننا نقوم أولاً بالضرب والرفع إلى القوة العاشرة باستخدام صيغة Moivre. تمت صياغة هذه الصيغة للشكل المثلثي للرقم المركب. نحن نحصل:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

باتباع قواعد ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية، نقوم بما يلي:

في حالتنا هذه:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ بي)(3).\]

بجعل الكسر \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] صحيحًا، نصل إلى استنتاج مفاده أنه يمكننا "لف" 4 دورات \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

الإجابة: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة أخرى، والتي تتلخص في تحويل الرقم الثاني إلى الصورة الجبرية، ثم إجراء الضرب على الصورة الجبرية، وتحويل النتيجة إلى الصورة المثلثية وتطبيق صيغة موافر:

أين يمكنني حل نظام المعادلات ذات الأعداد المركبة عبر الإنترنت؟

يمكنكم حل نظام المعادلات على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كان لا يزال لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة VKontakte الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.