لنستبدل المعادلة الأصلية بمعادلة مكافئة ونبني التكرارات وفقًا للقاعدة 
. وبالتالي، فإن طريقة التكرار البسيطة هي عملية تكرارية من خطوة واحدة. من أجل البدء في هذه العملية، عليك أن تعرف التقريب الأولي. دعونا نتعرف على شروط تقارب الطريقة واختيار التقريب الأولي.
التذكرة رقم 29
طريقة سيدل
طريقة Seidel (تسمى أحيانًا طريقة Gauss-Seidel) هي تعديل لطريقة التكرار البسيطة، والتي تتكون من حقيقة أنه عند حساب التقريب التالي x (k+1) (انظر الصيغ (1.13)، (1.14)) المكونات التي تم الحصول عليها بالفعل x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) تستخدم على الفور لحساب x i (k+1) .
في صيغة التدوين الإحداثي، تكون طريقة Seidel بالشكل التالي:
X 1 (ك+1) = ج 11 × 1 (ك) + ج 12 × 2 (ك) + ... + ج 1ن-1 × ن-1 (ك) + ج 1ن × ن (ك) + د 1
× 2 (ك+1) = ج 21 × 1 (ك+1) + ج 22 × 2 (ك) + ... + ج 2ن-1 × ن-1 (ك) + ج 2ن × ن (ك) + د 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + د
حيث x (0) هو تقريب أولي للحل.
وبالتالي، يتم حساب المكون i للتقريب (k+1) بواسطة الصيغة
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
شرط نهاية عملية Seidel التكرارية عندما يتم تحقيق الدقة ε في شكل مبسط له الشكل:
|| س (ك+1) - س (ك) || ≥ ε.
التذكرة رقم 30
طريقة التمرير
لحل الأنظمة A x = b بمصفوفة ثلاثية الأقطار، يتم استخدام طريقة الاجتياح في أغلب الأحيان، وهي عبارة عن تعديل لطريقة Gauss لهذه الحالة.
دعونا نكتب نظام المعادلات
د 1 × 1 + ه 1 × 2 = ب 1
ج 2 × 1 + د 2 × 2 + ه 2 × 3 = ب 2
ج 3 × 2 + د 3 × 3 + ه 3 × 4 = ب 3
... ... ...
ج ن-1 × ن-2 + د ن-1 × ن-1 + ه ن-1 × ن = ب ن-1
ج ن × ن-1 + د ن × ن = ب ن
في شكل مصفوفة: أ س = ب حيث
أ= 
دعونا نكتب صيغ طريقة الاجتياح حسب ترتيب تطبيقها.
1. الضربة المباشرة لطريقة الكنس (حساب الكميات المساعدة):
| أ 2 = -e 1 / د 1 ب 2 = ب 1 / د 1 أ i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , ط=2، ...، ن-1 | (1.9) |
2. يعكسطريقة الاجتياح (إيجاد الحل):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
التذكرة رقم 31
طريقة التكرار البسيطة
جوهر الطريقة تكرارات بسيطةيتكون من الانتقال من المعادلة
و (خ)= 0 (*)
إلى المعادلة المكافئة
س=φ(خ). (**)
يمكن إجراء هذا التحول طرق مختلفة، حسب النوع و (خ). على سبيل المثال، يمكنك وضع
φ(س) = س+فرنك بلجيكي (خ),(***)
أين ب= const، والجذور المعادلة الأصليةلن تتغير.
إذا كان التقريب الأولي للجذر معروفا × 0ثم التقريب الجديد
× 1=φx(0),
أولئك. المخطط العام للعملية التكرارية:
س ك+1=φ(س ك).(****)
أبسط معيار لإنهاء العملية
|x ك +1 -x ك |<ε.
معيار التقاربطريقة التكرار البسيطة:
إذا كان بالقرب من الجذر | φ/(س)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого س، ثم تتقارب التكرارات لأي تقريب أولي.
دعونا نستكشف اختيار الثابت بمن وجهة نظر ضمان أقصى سرعة التقارب. وفقا لمعيار التقارب، يتم ضمان أعلى سرعة للتقارب عندما |φ / (س)| = 0. وفي الوقت نفسه، استنادا إلى (***)، ب = -1/و / (س)،وتدخل صيغة التكرار (****). x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-أولئك. في صيغة طريقة نيوتن. وبالتالي فإن طريقة نيوتن هي حالة خاصة من طريقة التكرار البسيطة، حيث توفر أعلى سرعة تقارب لجميع الخيارات الممكنة لاختيار دالة φ(x).
التذكرة رقم 32
طريقة نيوتن
الفكرة الرئيسية للطريقة هي كما يلي: يتم تحديد تقريب أولي بالقرب من الجذر الافتراضي، وبعد ذلك يتم إنشاء مماس للدالة قيد الدراسة عند نقطة التقريب، والتي يوجد لها التقاطع مع محور الإحداثي السيني. يتم أخذ هذه النقطة على أنها التقريب التالي. وهكذا حتى الوصول إلى الدقة المطلوبة.
دع دالة ذات قيمة حقيقية محددة على فترة زمنية وقابلة للتمييز عليها. ثم يمكن اشتقاق صيغة حساب التفاضل والتكامل التقريبي التكراري على النحو التالي:
حيث α هي زاوية ميل المماس عند النقطة.
ولذلك، فإن التعبير المطلوب لـ له النموذج:
التذكرة رقم 33
طريقة النسبة الذهبية
تسمح لك طريقة النسبة الذهبية بإزالة الفواصل الزمنية عن طريق حساب قيمة دالة واحدة فقط في كل تكرار. ونتيجة لقيمتي الدالة المدروستين، يتم تحديد الفاصل الزمني الذي ينبغي استخدامه في المستقبل. سيحتوي هذا الفاصل الزمني على إحدى النقاط السابقة والنقطة التالية موضوعة بشكل متماثل عليها. تقسم النقطة الفاصل إلى جزأين بحيث تكون نسبة الكل إلى الجزء الأكبر تساوي نسبة الجزء الأكبر إلى الأصغر، أي تساوي ما يسمى "بالنسبة الذهبية".
يتيح لك تقسيم الفاصل الزمني إلى أجزاء غير متساوية إيجاد طريقة أكثر فعالية. دعونا نحسب الدالة في نهايات المقطع [ أ,ب] و ضع أ=س 1 , ب=س 2. دعونا أيضًا نحسب الدالة عند نقطتين داخليتين س 3 , س 4 . دعونا نقارن القيم الأربع للدالة ونختار الأصغر بينها. دعونا، على سبيل المثال، أصغرها F(× 3). ومن الواضح أن الحد الأدنى يجب أن يكون في أحد الأجزاء المجاورة له. ولذلك فإن الجزء [ س 4 ,ب] يمكن التخلص منه وترك المقطع . 
لقد تم اتخاذ الخطوة الأولى. في المقطع، تحتاج مرة أخرى إلى تحديد نقطتين داخليتين، وحساب قيم الوظائف فيهما وفي النهايات واتخاذ الخطوة التالية. لكن في خطوة الحسابات السابقة وجدنا بالفعل الدالة في نهايات القطعة الجديدة وفي إحدى نقاطها الداخلية س 4 . لذلك، يكفي تحديد نقطة أخرى في الداخل × 5وتحديد قيمة الدالة فيه وإجراء المقارنات اللازمة. يؤدي هذا إلى مضاعفة مقدار الحساب المطلوب لكل خطوة عملية أربع مرات. ما هي أفضل طريقة لوضع النقاط؟ وفي كل مرة يتم تقسيم الجزء المتبقي إلى ثلاثة أجزاء ثم يتم التخلص من أحد الأجزاء الخارجية.
دعونا نشير إلى فترة عدم اليقين الأولية بواسطة د.
لأنه في الحالة العامة يمكن التخلص من أي من الأجزاء × 1، × 3أو × 4، × 2ثم حدد النقاط × 3و × 4بحيث تكون أطوال هذه الأجزاء متساوية:
س 3 - س 1 = س 4 - س 2.
بعد التخلص، نحصل على فترة عدم اليقين طول جديدة د'.
دعونا نشير إلى العلاقة د/د'بالحرف φ :
أي دعونا نحدد أين تقع فترة عدم اليقين التالية. لكن
يساوي طول الجزء الذي تم التخلص منه في المرحلة السابقة، أي
لذلك نحصل على:
.
وهذا يؤدي إلى المعادلة أو ما يعادلها 
.
الجذر الإيجابي لهذه المعادلة يعطي
.
التذكرة رقم 34
استيفاء الوظائف، أي باستخدام دالة معينة، يتم إنشاء دالة أخرى (عادةً ما تكون أبسط) تتطابق قيمها مع قيم الدالة المعطاة عند عدد معين من النقاط. علاوة على ذلك، فإن الاستيفاء له أهمية عملية ونظرية.
طريقة التكرار البسيطة، وتسمى أيضًا طريقة التقريب المتتابع، هي خوارزمية رياضية لإيجاد قيمة كمية غير معروفة عن طريق تحسينها تدريجيًا. جوهر هذه الطريقة هو أنه، كما يوحي الاسم، فإن التعبير التدريجي عن النتائج اللاحقة من التقريب الأولي، يتم الحصول على المزيد والمزيد من النتائج المكررة. تُستخدم هذه الطريقة للعثور على قيمة متغير في دالة معينة، وكذلك عند حل أنظمة المعادلات الخطية وغير الخطية.
دعونا نفكر في كيفية تنفيذ هذه الطريقة عند حل SLAEs. تحتوي طريقة التكرار البسيطة على الخوارزمية التالية:
1. التحقق من تحقق شرط التقارب في المصفوفة الأصلية. نظرية التقارب: إذا كانت المصفوفة الأصلية للنظام لها سيادة قطرية (أي في كل صف، يجب أن تكون عناصر القطر الرئيسي أكبر في القيمة المطلقة من مجموع عناصر الأقطار الثانوية في القيمة المطلقة)، فإن المصفوفة البسيطة طريقة التكرار متقاربة.
2. لا تتمتع مصفوفة النظام الأصلي دائمًا بغلبة قطرية. في مثل هذه الحالات، يمكن تحويل النظام. تُترك المعادلات التي تستوفي شرط التقارب دون تغيير، ويتم إجراء تركيبات خطية مع تلك التي لا تستوفي شرط التقارب، أي. ضرب، طرح، إضافة المعادلات لبعضها البعض حتى يتم الحصول على النتيجة المرجوة.
إذا كانت هناك معاملات غير ملائمة على القطر الرئيسي في النظام الناتج، فسيتم إضافة شروط النموذج مع i * x i إلى طرفي هذه المعادلة، والتي يجب أن تتزامن علاماتها مع علامات العناصر القطرية.
3. تحويل النظام الناتج إلى الشكل الطبيعي:
س - =β - +α*x -
يمكن القيام بذلك بعدة طرق، على سبيل المثال، مثل هذا: من المعادلة الأولى، عبر عن x 1 بدلالة المجهولات الأخرى، من الثانية - x 2، من الثالثة - x 3، إلخ. في هذه الحالة نستخدم الصيغ:
α ي = -(أ ي / أ الثاني)
أنا = ب أنا /أ ثانيا
يجب عليك مرة أخرى التأكد من أن النظام الناتج ذو الشكل العادي يلبي شرط التقارب:
∑ (ي=1) |α آي | ≥ 1، بينما أنا= 1,2,...n
4. نبدأ في الواقع باستخدام طريقة التقريبات المتعاقبة نفسها.
x (0) هو التقريب الأولي، نعبر عن x (1) به، ثم نعبر عن x (2) إلى x (1). تبدو الصيغة العامة في شكل مصفوفة كما يلي:
س (ن) = β - +α*x (ن-1)
نقوم بالحساب حتى نحقق الدقة المطلوبة:
الحد الأقصى |x i (k)-x i (k+1) ≥ ε
لذلك، دعونا نضع طريقة التكرار البسيطة موضع التنفيذ. مثال:
حل SLAE:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 بدقة ε=10 -3
دعونا نرى ما إذا كانت العناصر القطرية هي السائدة في المعامل.
نرى أن المعادلة الثالثة فقط هي التي تحقق شرط التقارب. لنحول الأول والثاني ونضيف الثاني إلى المعادلة الأولى:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
ومن الثالث نطرح الأول:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
قمنا بتحويل النظام الأصلي إلى نظام مكافئ:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
الآن دعونا نعيد النظام إلى شكله الطبيعي:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
نتحقق من تقارب العملية التكرارية:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≥ 1، أي. تم استيفاء الشرط.
0,3947
التخمين الأولي x(0) = 0.4762
0,8511
وبتعويض هذه القيم في معادلة الصيغة العادية نحصل على القيم التالية:
0,08835
س(1) = 0.486793
0,446639
وبالتعويض بقيم جديدة نحصل على:
0,215243
س(2) = 0.405396
0,558336
نواصل الحسابات حتى نقترب من القيم التي تستوفي الشرط المحدد.
س (7) = 0.441091
دعونا نتحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال القيم التي تم العثور عليها في المعادلات الأصلية تلبي شروط المعادلة بالكامل.
كما نرى، فإن طريقة التكرار البسيطة تعطي نتائج دقيقة إلى حد ما، ولكن لحل هذه المعادلة كان علينا قضاء الكثير من الوقت وإجراء حسابات مرهقة.
دع نظام المعادلات الجبرية n مع المجهولين يعطى:
خوارزمية طريقة التكرار البسيطة:
لاحظ أنه هنا ومن الآن فصاعدا، يشير المؤشر السفلي إلى المكون المقابل لمتجه المجهول، ويشير المؤشر العلوي إلى رقم التكرار (التقريب).
ثم يتم تشكيل عملية رياضية دورية، تمثل كل دورة منها تكرارًا واحدًا. نتيجة لكل تكرار، يتم الحصول على قيمة جديدة لمتجه المجهول. لتنظيم العملية التكرارية نكتب النظام (1) بالشكل المختصر. في هذه الحالة، يتم تسوية الحدود الموجودة على القطر الرئيسي وتبقى على يسار علامة المساواة، ويتم نقل الباقي إلى الجانب الأيمن. نظام المعادلات المخفضلديه النموذج:
لاحظ أن لن يتم تحقيقه أبدًا، ولكن مع كل تكرار لاحق يقترب متجه المجهول من الحل الدقيق.
12. صيغة التكرار الأساسية المستخدمة في طريقة التكرار البسيطة لحل معادلة غير خطية:
13. معيار إيقاف العملية التكرارية بطريقة التكرار البسيطة لحل المعادلة غير الخطية:
تنتهي العملية التكرارية إذا تم استيفاء شرط تحقيق الدقة لكل مكون i من متجه المجهول.
لاحظ أن الحل الدقيق في طريقة التكرار البسيطةومع ذلك، لن يتم تحقيقه أبدًا، ومع كل تكرار لاحق، يقترب متجه المجهول أكثر فأكثر من الحل الدقيق
14. معيار اختيار الوظيفة المساعدة F(x) للقطعة التكرارية للفاصل الزمني:
عند إجراء اختبار في الرياضيات على حل طريقة التكرار البسيطة، يجب أولا التحقق من شرط التقارب. لكي تتقارب الطريقة، من الضروري والكافي أن تكون القيم المطلقة لجميع العناصر القطرية في المصفوفة A أكبر من مجموع معاملات جميع العناصر الأخرى في الصف المقابل:
مساوئ الأساليب التكراريةهذا شرط تقارب صارم إلى حد ما، وهو غير راضٍ عن جميع أنظمة المعادلات.
إذا تم استيفاء شرط التقارب، فمن الضروري في المرحلة التالية تحديد تقريب أولي لمتجه المجهول، والذي عادة ما يكون المتجه الصفري:
15. توفر طريقة غاوس المستخدمة لحل أنظمة المعادلات الخطية ما يلي:
تعتمد الطريقة على تحويل المصفوفة إلى شكل مثلث. يتم تحقيق ذلك من خلال إزالة المجهولات من معادلات النظام بشكل تسلسلي.
تعتمد طريقة التكرار البسيطة على استبدال المعادلة الأصلية بمعادلة مكافئة:
دع التقريب الأولي للجذر معروف س = س 0. وبالتعويض في الجانب الأيمن من المعادلة (2.7)، نحصل على تقريب جديد 
، ثم نحصل على نفس الطريقة 
إلخ.:
. (2.8)
 |
ليس في جميع الظروف تتقارب العملية التكرارية مع جذر المعادلة X. دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذه العملية. يوضح الشكل 2.6 تفسيرًا رسوميًا لعملية متقاربة ومتباعدة في اتجاه واحد. يوضح الشكل 2.7 العمليات المتقاربة والمتباعدة في الاتجاهين. تتميز العملية المتباينة بالزيادة السريعة في قيم الوسيطة والوظيفة والإنهاء غير الطبيعي للبرنامج المقابل.
 |
من خلال عملية ثنائية الاتجاه، يكون التدوير ممكنًا، أي التكرار اللانهائي لنفس قيم الوظيفة والوسيطة. التكرار يفصل العملية المتباعدة عن العملية المتقاربة.
يتضح من الرسوم البيانية أنه بالنسبة لكل من العمليات أحادية الجانب والثنائية، يتم تحديد التقارب مع الجذر من خلال ميل المنحنى بالقرب من الجذر. كلما كان المنحدر أصغر، كان التقارب أفضل. وكما هو معروف فإن ظل ميل المنحنى يساوي مشتقة المنحنى عند نقطة معينة.
لذلك، كلما كان الرقم بالقرب من الجذر أصغر، كلما تقاربت العملية بشكل أسرع.
لكي تكون عملية التكرار متقاربة، يجب تحقيق عدم المساواة التالية في جوار الجذر:
يمكن إجراء الانتقال من المعادلة (2.1) إلى المعادلة (2.7) بطرق مختلفة حسب نوع الدالة و (خ).في مثل هذا التحول، من الضروري بناء الدالة بحيث يتم استيفاء شرط التقارب (2.9).
لنفكر في إحدى الخوارزميات العامة للانتقال من المعادلة (2.1) إلى المعادلة (2.7).
دعونا نضرب الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة (2.1) بثابت اعتباطي بوإضافة المجهول إلى كلا الجزأين X.في هذه الحالة لن تتغير جذور المعادلة الأصلية:
دعونا نقدم التدوين 
ولننتقل من العلاقة (2.10) إلى المعادلة (2.8).
 |
الاختيار التعسفي للثابت بسيضمن استيفاء شرط التقارب (2.9). سيكون معيار إنهاء العملية التكرارية هو الشرط (2.2). يوضح الشكل 2.8 تفسيرًا رسوميًا لطريقة التكرارات البسيطة باستخدام طريقة التمثيل الموصوفة (تختلف المقاييس على طول المحورين X وY).
إذا تم اختيار دالة في الصورة فإن مشتقة هذه الدالة ستكون . أعلى سرعة للتقارب ستكون عند 
وتدخل صيغة التكرار (2.11) في صيغة نيوتن. وهكذا، فإن طريقة نيوتن تتمتع بأعلى درجة من التقارب بين جميع العمليات التكرارية.
يتم تنفيذ البرنامج لطريقة التكرار البسيطة في شكل إجراء روتيني فرعي إيتيراس(البرنامج 2.1).
يتكون الإجراء بأكمله عمليا من تكرار واحد ... حتى الدورة، وتنفيذ الصيغة (2.11) مع مراعاة شرط إيقاف العملية التكرارية (الصيغة (2.2)).
يحتوي الإجراء على حماية حلقة مضمنة عن طريق حساب عدد الحلقات باستخدام متغير Niter. في الفصول العملية، تحتاج إلى التأكد من خلال تشغيل البرنامج من كيفية تأثير اختيار المعامل بوالتقريب الأولي في عملية البحث عن الجذر. عند تغيير المعامل بتتغير طبيعة عملية التكرار للوظيفة قيد الدراسة. يصبح أولا على الوجهين، ثم الحلقات (الشكل 2.9). موازين المحور Xو يمختلفة. وتؤدي القيمة الأكبر للمعامل b إلى عملية متباينة.
مقارنة طرق الحل التقريبي للمعادلات
تم إجراء مقارنة بين الطرق الموضحة أعلاه للحل العددي للمعادلات باستخدام برنامج يسمح بمراقبة عملية العثور على الجذر في شكل رسومي على شاشة الكمبيوتر. الإجراءات المتضمنة في هذا البرنامج وتنفيذ الطرق المقارنة مذكورة أدناه (البرنامج 2.1).
أرز. 2.3-2.5، 2.8، 2.9 هي نسخ من شاشة الكمبيوتر في نهاية عملية التكرار.
في جميع الحالات، تم أخذ المعادلة التربيعية x 2 -x-6 = 0 كدالة قيد الدراسة، ولها حل تحليلي x 1 = -2 و x 2 = 3. وافترض أن الخطأ والتقديرات التقريبية الأولية متساوية لجميع الطرق. نتائج البحث عن الجذر س= 3، المبينة في الأشكال، هي على النحو التالي. تتقارب طريقة الانقسام مع الأبطأ - 22 تكرارًا، والأسرع هي طريقة التكرار البسيطة مع b = -0.2 - 5 تكرارات. ولا تناقض هنا مع القول بأن طريقة نيوتن هي الأسرع.
مشتق من الوظيفة قيد الدراسة عند هذه النقطة X= 3 تساوي -0.2، أي أن الحساب في هذه الحالة تم عملياً بطريقة نيوتن بقيمة المشتقة عند نقطة جذر المعادلة. عند تغيير المعامل بينخفض معدل التقارب وتسير عملية التقارب التدريجي أولاً في دورات ثم تصبح متباعدة.
وقياساً على (2.1)، يمكن تمثيل النظام (5.1) بالشكل المكافئ التالي:
حيث g(x) هي دالة متجهة تكرارية للوسيطة المتجهة. غالبًا ما تنشأ أنظمة المعادلات غير الخطية مباشرة في الشكل (5.2) (على سبيل المثال، في المخططات العددية للمعادلات التفاضلية، في هذه الحالة، لا يلزم بذل جهد إضافي لتحويل المعادلات (5.1) إلى نظام (5.2)؛ إذا واصلنا التشبيه بأسلوب التكرار البسيط لمعادلة واحدة، فيمكن تنظيم عملية التكرار بناءً على المعادلة (5.2) على النحو التالي:
- 1) بعض المتجهات الأولية x ((,) e 5 o (x 0, أ)(من المفترض أن x* e 5″(x 0, أ))؛
- 2) يتم حساب التقريبات اللاحقة باستخدام الصيغة
ثم تكتمل عملية التكرار و
كما كان من قبل، نحن بحاجة لمعرفة تحت أي ظروف
دعونا نناقش هذه المشكلة من خلال إجراء تحليل بسيط. أولاً نقدم خطأ التقريب رقم e(^ = x(i) - x*. ثم يمكننا الكتابة
دعونا نستبدل هذه التعبيرات في (5.3) ونوسع g(x* + e (/i)) في القوى ه(ك>في حي x* كدالة للوسيطة المتجهة (بافتراض أن جميع المشتقات الجزئية للدالة g(x) مستمرة). مع الأخذ في الاعتبار أيضًا أن x* = g(x*)، نحصل على
أو في شكل مصفوفة
ب = (مليار مليون)= أنا (x*)1 - مصفوفة التكرار.
إذا كان معدل الخطأ ||е®|| صغير بما فيه الكفاية، فيمكن إهمال الحد الثاني على الجانب الأيمن من التعبير (5.4)، ومن ثم يتطابق مع التعبير (2.16). وبالتالي، فإن شرط تقارب العملية التكرارية (5.3) بالقرب من الحل الدقيق تم وصفه في النظرية 3.1.
تقارب طريقة التكرار البسيطة. ضروري و شرط كافلتقارب العملية التكرارية (5.3): 
وشرط كاف:
هذه الشروط لها أهمية نظرية وليست عملية، لأننا لا نعرف x'. وقياسا على (1.11)، نحصل على شرط يمكن أن يكون مفيدا. دع x* e 5 o (x 0, أ)والمصفوفة اليعقوبية للدالة g(x)
موجود للجميع x e ق ن (س 0 ، أ) (لاحظ أن C(x*) = B). إذا كانت عناصر المصفوفة C(x) تحقق المتراجحة
للجميع x e 5″(x 0, أ)،ثم يتم أيضًا استيفاء الشرط الكافي (5.5) لأي قاعدة مصفوفة.
المثال 5.1 (طريقة التكرار البسيطة) خذ بعين الاعتبار النظام التاليالمعادلات:
أحد الاحتمالات لتمثيل هذا النظام في شكل مكافئ (5.2) هو التعبير Xمن المعادلة الأولى و × 2من المعادلة الثانية : 
ثم يحتوي مخطط التكرار على النموذج
الحل الدقيق هو x*e 5″((2، 2)، 1). دعونا نختار المتجه الأولي x (0) = (2,2) و ؟ ع =ط 5. يتم عرض نتائج الحساب في الجدول. 5.1.
الجدول 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
تظهر هذه النتائج أن التقارب بطيء جدًا. من أجل الحصول على الخاصية الكمية للتقارب، قمنا بإجراء تحليل بسيط، معتبرين أن x (1/) هو الحل الدقيق. المصفوفة اليعقوبية C(x) للدالة التكرارية لها الشكل
ثم يتم تقدير المصفوفة B تقريبًا كـ
من السهل التحقق من عدم استيفاء الشرط (5.5) أو الشرط (5.6)، ولكن يحدث التقارب، حيث أن 5(B) ~ 0.8.
غالبًا ما يكون من الممكن تسريع تقارب طريقة التكرار البسيطة عن طريق تغيير عملية الحساب قليلاً. فكرة هذا التعديل بسيطة للغاية: الحساب صمكونات المتجهات × (أ+1)يمكن استخدامها ليس فقط (ر = ن,..., ن)، ولكن أيضًا المكونات المحسوبة بالفعل لمتجه التقريب التالي س ك ^ (/= 1،ف - 1). وبالتالي، يمكن تمثيل طريقة التكرار البسيطة المعدلة بمخطط التكرار التالي:
إذا تقاربت التقريبات الناتجة عن العملية التكرارية (5.3)، فإن العملية التكرارية (5.8) تميل إلى التقارب بشكل أسرع بسبب الاستخدام الأكثر اكتمالا للمعلومات.
مثال 5.2 (طريقة التكرار البسيطة المعدلة) يتم تمثيل التكرار البسيط المعدل للنظام (5.7) على النحو التالي
كما كان من قبل، نختار المتجه الأولي x (0) = (2، 2) و ز ص = = 10-5. يتم عرض نتائج الحساب في الجدول. 5.2.
الجدول 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
لقد أدى التغيير الكبير في ترتيب الحسابات إلى انخفاض عدد التكرارات إلى النصف، وبالتالي انخفاض عدد العمليات إلى النصف.
