بيت تجويف الفم فترة الثقة للتوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع تباين معروف. فاصل الثقة للتوقعات الرياضية

تجويف الفم

فترة الثقة للتوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع تباين معروف. فاصل الثقة للتوقعات الرياضية

دعونا نبني في MS EXCEL فاصل الثقةلتقدير القيمة المتوسطة للتوزيع في هذه الحالة قيمة معروفةالفروق.

بالطبع الاختيار مستوى الثقةيعتمد كليا على المشكلة التي يتم حلها. وبالتالي، فإن درجة ثقة الراكب الجوي في موثوقية الطائرة يجب أن تكون بلا شك أعلى من درجة ثقة المشتري في موثوقية المصباح الكهربائي.

صياغة المشكلة

ولنفترض ذلك من سكانبعد أن تم اتخاذها عينةالحجم ن. يفترض أن الانحراف المعياري وهذا التوزيع معروف. ومن الضروري على هذا الأساس عيناتتقييم المجهول يعني التوزيع(μ,) وبناء المقابلة بجانبين فاصل الثقة.

تقدير النقطة

كما هو معروف من إحصائيات(دعونا نشير إلى ذلك متوسط X) يكون تقدير غير متحيز للمتوسطهذا سكانولها توزيع N(μ;σ 2 /n).

ملحوظة: ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى البناء فاصل الثقةفي حالة التوزيع ذلك ليس طبيعي؟في هذه الحالة، يأتي الإنقاذ الذي يقول ذلك بما فيه الكفاية حجم كبير عيناتن من التوزيع لا يجري طبيعي, توزيع عينة من الإحصائيات X المتوسطسوف تقريبًاتطابق التوزيع الطبيعيمع المعلمات N(μ;σ 2 /n).

لذا، تقدير النقطة متوسط قيم التوزيعلدينا - هذا متوسط العينة، أي. متوسط X. الآن دعونا نبدأ فاصل الثقة.

بناء فاصل الثقة

عادة، بمعرفة التوزيع ومعلماته، يمكننا حساب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة من الفاصل الزمني الذي نحدده. والآن لنفعل العكس: أوجد الفترة التي يقع فيها المتغير العشوائي باحتمال معين. على سبيل المثال، من الخصائص التوزيع الطبيعيومن المعروف أنه باحتمال 95%، يتم توزيع المتغير العشوائي القانون العادي، سوف تقع ضمن نطاق +/- 2 تقريبًا من متوسط القيمة(انظر المقال حول). سيكون هذا الفاصل الزمني بمثابة نموذج أولي بالنسبة لنا فاصل الثقة.

الآن دعونا نرى ما إذا كنا نعرف التوزيع , لحساب هذه الفترة؟ للإجابة على السؤال يجب أن نشير إلى شكل التوزيع ومعلماته.

نحن نعرف شكل التوزيع - هذا هو التوزيع الطبيعي (تذكر أننا نتحدث عن توزيع العينات إحصائيات متوسط X).

المعلمة μ غير معروفة لنا (تحتاج فقط إلى تقديرها باستخدام فاصل الثقة)، ولكن لدينا تقدير لذلك متوسط X،محسوبة على أساس عينات,والتي يمكن استخدامها.

المعلمة الثانية - الانحراف المعياري لمتوسط العينة سوف نعتبرها معروفة، فهو يساوي σ/√n.

لأن نحن لا نعرف μ، ثم سنبني الفاصل الزمني +/- 2 انحرافات معياريةليس من متوسط القيمة، ومن تقديره المعروف متوسط X. أولئك. عند الحساب فاصل الثقةلن نفترض ذلك متوسط Xيقع ضمن النطاق +/- 2 انحرافات معياريةمن μ باحتمال 95%، وسنفترض أن الفاصل الزمني هو +/- 2 انحرافات معياريةمن متوسط Xمع احتمال 95٪ أنها سوف تغطي μ - متوسط إجمالي عدد السكان،الذي تم أخذه منه عينة. هاتان العبارتان متكافئتان، لكن العبارة الثانية تسمح لنا بالبناء فاصل الثقة.

بالإضافة إلى ذلك، دعونا نوضح الفترة: متغير عشوائي موزع على القانون العادي، مع احتمال 95% يقع ضمن الفاصل الزمني +/- 1.960 انحرافات معيارية،ليس +/- 2 انحرافات معيارية. يمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة =NORM.ST.REV((1+0.95)/2)، سم. مثال على الفاصل الزمني لملف الملف.

الآن يمكننا صياغة عبارة احتمالية من شأنها أن تساعدنا في تكوينها فاصل الثقة:
"احتمال ذلك متوسط التعدادتقع من متوسط العينةضمن 1,960 " الانحرافات المعيارية لمتوسط العينة"أي ما يعادل 95%".

قيمة الاحتمال المذكورة في العبارة لها اسم خاص ، والذي يرتبطمستوى الأهمية α (ألفا) بتعبير بسيط مستوى الثقة =1 -α . في حالتنا هذه مستوى الأهمية α =1-0,95=0,05 .

والآن، استنادًا إلى هذه العبارة الاحتمالية، نكتب تعبيرًا للحساب فاصل الثقة:

حيث Z α/2 – معيار التوزيع الطبيعي(هذه قيمة المتغير العشوائي ض, ماذا ص(ض>=ض α/2 )=α/2).

ملحوظة: الجزء العلوي من الكمية α/2يحدد العرض فاصل الثقةالخامس انحرافات معيارية متوسط العينة. الجزء العلوي من الكمية α/2 معيار التوزيع الطبيعيدائما أكبر من 0، وهو أمر مريح للغاية.

في حالتنا، مع α=0.05، الجزء العلوي من الكمية α/2 يساوي 1.960. لمستويات الأهمية الأخرى α (10%؛ 1%) الجزء العلوي من الكمية α/2 ض α/2 يمكن حسابها باستخدام الصيغة =NORM.ST.REV(1-α/2) أو إذا كانت معروفة مستوى الثقة, =NORM.ST.OBR((1+مستوى الثقة)/2).

عادة عند البناء فترات الثقة لتقدير المتوسطاستخدم فقط العلوي ألفا/2-الكميةولا تستخدم أقل ألفا/2-الكمية. هذا ممكن لأن معيار التوزيع الطبيعيبشكل متماثل حول المحور x ( كثافة توزيعهامتناظرة حول متوسط، أي. 0). ولذلك، ليست هناك حاجة لحساب أقل α/2-الكمية(ويسمى ببساطة α /2-كمية)، لأن إنه متساوي العلوي ألفا/2-الكميةمع علامة ناقص.

ولنتذكر أنه على الرغم من شكل توزيع القيمة x فإن المتغير العشوائي المقابل لها متوسط Xوزعت تقريبًا بخير N(μ;σ 2 /n) (انظر المقال حول). لذلك، في الحالة العامة، التعبير أعلاه ل فاصل الثقةهو مجرد تقريب. إذا تم توزيع القيمة x القانون العادي N(μ;σ 2 /n)، ثم التعبير عن فاصل الثقةانها صحيحة.

حساب فترة الثقة في MS EXCEL

دعونا نحل المشكلة.
زمن استجابة المكون الإلكتروني لإشارة الدخل هو خاصية مهمةالأجهزة. يريد أحد المهندسين إنشاء فاصل ثقة لمتوسط وقت الاستجابة عند مستوى ثقة يبلغ 95%. ومن الخبرة السابقة يعرف المهندس أن الانحراف المعياري لزمن الاستجابة هو 8 مللي ثانية. ومن المعروف أنه لتقييم زمن الاستجابة قام المهندس بإجراء 25 قياساً، كان متوسط القيمة 78 مللي ثانية.

حل: المهندس يريد معرفة زمن الاستجابة جهاز الكترونيلكنه يفهم أن زمن الاستجابة ليس قيمة ثابتة، بل هو متغير عشوائي له توزيعه الخاص. لذا، فإن أفضل ما يمكن أن يأمل فيه هو تحديد معالم هذا التوزيع وشكله.

لسوء الحظ، من ظروف المشكلة لا نعرف شكل توزيع وقت الاستجابة (ليس من الضروري أن يكون كذلك طبيعي). ، وهذا التوزيع غير معروف أيضًا. لا يعرفه إلا هو الانحراف المعياريσ = 8. لذلك، في حين أننا لا نستطيع حساب الاحتمالات والبناء فاصل الثقة.

ومع ذلك، على الرغم من أننا لا نعرف التوزيع وقت استجابة منفصلة، ونحن نعلم أنه وفقا ل CPT, توزيع العينات متوسط زمن الاستجابةتقريبا طبيعي(سوف نفترض أن الشروط CPTيتم تنفيذها، لأن مقاس عيناتكبير جدًا (ن = 25)) .

علاوة على ذلك، متوسطهذا التوزيع يساوي متوسط القيمةتوزيع استجابة واحدة، أي. μ. أ الانحراف المعيارييمكن حساب هذا التوزيع (σ/√n) باستخدام الصيغة =8/ROOT(25) .

ومن المعروف أيضًا أن المهندس تلقى تقدير النقطةالمعلمة μ تساوي 78 مللي ثانية (متوسط X). لذلك، الآن يمكننا حساب الاحتمالات، لأن نحن نعرف شكل التوزيع ( طبيعي) ومعلماتها (X avg و σ/√n).

المهندس يريد أن يعرف القيمة المتوقعة μ توزيعات زمن الاستجابة. كما ذكر أعلاه، هذا μ يساوي التوقع الرياضي لتوزيع العينة لمتوسط زمن الاستجابة. إذا استخدمنا التوزيع الطبيعي N(X avg; σ/√n)، فإن μ المطلوبة ستكون في النطاق +/-2*σ/√n مع احتمال يبلغ حوالي 95%.

مستوى الأهميةيساوي 1-0.95=0.05.

وأخيرا، دعونا نجد الحدود اليمنى واليسرى فاصل الثقة.
الحد الأيسر: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
الحدود اليمنى: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

الحد الأيسر: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
الحدود اليمنى: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

إجابة: فاصل الثقةفي مستوى ثقة 95% وσ=8ميللي ثانيةيساوي 78+/-3.136 مللي ثانية.

في ملف المثال على ورقة سيجماالمعروف، أنشأ نموذجا للحساب والبناء بجانبين فاصل الثقةللتعسف عيناتمع إعطاء σ و مستوى الدلالة او الاهميه.

الدالة CONFIDENCE.NORM()

إذا كانت القيم عيناتهم في النطاق ب20:ب79 ، أ مستوى الأهميةيساوي 0.05؛ ثم صيغة MS EXCEL:
=المتوسط(B20:B79)-الثقة.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
سوف يعود الحدود اليسرى فاصل الثقة.

يمكن حساب نفس الحد باستخدام الصيغة:
=المتوسط(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

ملحوظة: ظهرت الدالة CONFIDENCE.NORM() في MS EXCEL 2010. في الإصدارات السابقة من MS EXCEL، تم استخدام الدالة TRUST().

فاصل الثقة للتوقعات الرياضية - هذا هو الفاصل الزمني المحسوب من البيانات التي تحتوي، مع احتمال معروف، على التوقعات الرياضية لعامة السكان. والتقدير الطبيعي للتوقع الرياضي هو الوسط الحسابي لقيمه المرصودة. ولذلك، سنستخدم خلال الدرس مصطلحي "المتوسط" و"القيمة المتوسطة". في مسائل حساب فاصل الثقة، تكون الإجابة المطلوبة في أغلب الأحيان شيئًا مثل "فاصل الثقة للرقم المتوسط [القيمة في مشكلة معينة] يتراوح من [القيمة الأصغر] إلى [القيمة الأكبر]". باستخدام فاصل الثقة، لا يمكنك تقييم متوسط القيم فحسب، بل يمكنك أيضًا تقييم نسبة خاصية معينة في عموم السكان. القيم المتوسطة والتشتت والانحراف المعياري والخطأ والتي من خلالها سنصل إلى تعريفات وصيغ جديدة يناقشها الدرس خصائص العينة والسكان .

تقديرات النقطة والفاصل الزمني للمتوسط

إذا تم تقدير متوسط قيمة السكان برقم (نقطة)، فإن المتوسط المحدد، الذي يتم حسابه من عينة من الملاحظات، يؤخذ كتقدير لمتوسط قيمة السكان غير المعروفة. وفي هذه الحالة فإن قيمة متوسط العينة - وهو متغير عشوائي - لا تتطابق مع القيمة المتوسطة لعموم المجتمع. ولذلك، عند الإشارة إلى متوسط العينة، يجب الإشارة في نفس الوقت إلى خطأ أخذ العينات. مقياس خطأ أخذ العينات هو الخطأ المعياري، والذي يتم التعبير عنه بنفس وحدات المتوسط. ولذلك، غالبا ما يتم استخدام الترميز التالي: .

إذا كان تقدير المتوسط يحتاج إلى أن يرتبط باحتمال معين، فيجب تقييم المعلمة ذات الاهتمام بالسكان ليس برقم واحد، ولكن بفاصل زمني. فاصل الثقة هو الفاصل الزمني الذي يكون فيه احتمال معين صتم العثور على قيمة المؤشر السكاني المقدر. فترة الثقة التي من المحتمل أن يكون فيها ص = 1 - α تم العثور على المتغير العشوائي، ويتم حسابه على النحو التالي:

α = 1 - صوالتي يمكن العثور عليها في ملحق أي كتاب تقريبًا عن الإحصاء.

ومن الناحية العملية، لا يعرف متوسط المجتمع والتباين، لذلك يتم استبدال التباين السكاني بتباين العينة، ومتوسط السكان بمتوسط العينة. وبالتالي، يتم حساب فاصل الثقة في معظم الحالات على النحو التالي:

يمكن استخدام صيغة فاصل الثقة لتقدير متوسط عدد السكان إذا

الانحراف المعياري للسكان معروف؛
أو الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف، ولكن حجم العينة أكبر من 30.

متوسط العينة هو تقدير غير متحيز لمتوسط المجتمع. بدوره، تباين العينة ليس تقديرًا غير متحيز للتباين السكاني. للحصول على تقدير غير متحيز لتباين السكان في معادلة تباين العينة، حجم العينة نينبغي استبداله ب ن-1.

مثال 1.تم جمع المعلومات من 100 مقهى تم اختيارها عشوائياً في مدينة معينة أن متوسط عدد العاملين فيها هو 10.5 مع انحراف معياري قدره 4.6. تحديد فترة الثقة 95% لعدد موظفي المقهى.

أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .

وهكذا، تراوحت فترة الثقة 95% لمتوسط عدد موظفي المقهى من 9.6 إلى 11.4.

مثال 2.بالنسبة لعينة عشوائية من مجتمع مكون من 64 ملاحظة، تم حساب القيم الإجمالية التالية:

مجموع القيم في الملاحظات،

مجموع الانحرافات التربيعية للقيم عن المتوسط .

احسب فترة الثقة 95% للتوقع الرياضي.

دعونا نحسب الانحراف المعياري:

دعونا نحسب القيمة المتوسطة:

نستبدل القيم في التعبير الخاص بفاصل الثقة:

أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .

نحن نحصل:

وبالتالي فإن فترة الثقة 95% للتوقع الرياضي لهذه العينة تراوحت من 7.484 إلى 11.266.

مثال 3.بالنسبة لعينة سكانية عشوائية مكونة من 100 ملاحظة، يكون المتوسط المحسوب هو 15.2 والانحراف المعياري هو 3.2. احسب فاصل الثقة 95% للقيمة المتوقعة، ثم فاصل الثقة 99%. إذا ظلت قوة العينة وتغيرها دون تغيير وزاد معامل الثقة، فهل ستضيق فترة الثقة أم تتسع؟

نستبدل هذه القيم في التعبير الخاص بفاصل الثقة:

أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .

نحن نحصل:

وهكذا، تراوحت فترة الثقة 95% لمتوسط هذه العينة من 14.57 إلى 15.82.

نستبدل هذه القيم مرة أخرى في التعبير الخاص بفاصل الثقة:

أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,01 .

نحن نحصل:

وهكذا، تراوحت فترة الثقة 99% لمتوسط هذه العينة من 14.37 إلى 16.02.

وكما نرى، مع زيادة معامل الثقة، تزداد أيضًا القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري، وبالتالي، تقع نقطتي البداية والنهاية للفاصل الزمني بعيدًا عن المتوسط، وبالتالي يزداد فاصل الثقة للتوقع الرياضي .

تقديرات النقطة والفاصل الزمني للثقل النوعي

يمكن تفسير حصة بعض خصائص العينة على أنها تقدير النقطة جاذبية معينة صمن نفس الخصائص في عموم السكان. إذا كانت هذه القيمة تحتاج إلى ربطها بالاحتمالية، فيجب حساب فاصل الثقة للثقل النوعي صمميزة في السكان مع الاحتمال ص = 1 - α :

مثال 4.في بعض المدن هناك مرشحان أو بيترشحون لمنصب رئيس البلدية. وقد تم استطلاع آراء 200 من سكان المدينة بشكل عشوائي، أجاب 46% منهم بأنهم سيصوتون للمرشح أ 26% - للمرشح بو28% لا يعرفون لمن سيصوتون. حدد فاصل الثقة 95% لنسبة سكان المدينة الذين يدعمون المرشح أ.

في البداية، دعونا نذكر التعريف التالي:

دعونا نفكر في الوضع التالي. دع المتغيرات السكانية لها توزيع طبيعي مع التوقع الرياضي $a$ والانحراف المعياري $\sigma$. العينة تعني في في هذه الحالةسيتم التعامل معه كمتغير عشوائي. عندما يتم توزيع الكمية $X$ بشكل طبيعي، سيتم أيضًا توزيع متوسط العينة بشكل طبيعي مع المعلمات

دعنا نجد فاصل الثقة الذي يغطي القيمة $a$ بموثوقية $\gamma $.

للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى المساواة

منه نحصل

من هنا يمكننا بسهولة العثور على $t$ من جدول قيم الوظائف $Ф\left(t\right)$، ونتيجة لذلك، ابحث عن $\delta $.

لنتذكر جدول قيم الدالة $Ф\left(t\right)$:

الشكل 1. جدول قيم الوظائف $Ф\left(t\right).$

تكامل الثقة لتقدير التوقع الرياضي لمجهول $(\mathbf \sigma )$

في هذه الحالة، سوف نستخدم قيمة التباين المصححة $S^2$. باستبدال $\sigma $ بـ $S$ في الصيغة أعلاه، نحصل على:

أمثلة على المشاكل لإيجاد فاصل الثقة

مثال 1

دع الكمية $X$ لها توزيع طبيعي مع التباين $\sigma =4$. ليكن حجم العينة $n=64$ والموثوقية $\gamma =0.95$. أوجد فترة الثقة لتقدير التوقع الرياضي لهذا التوزيع.

نحن بحاجة إلى العثور على الفاصل الزمني ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

كما رأينا أعلاه

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

يمكن العثور على المعلمة $t$ من الصيغة

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

من الجدول 1 نجد أن $t=1.96$.

دع CB X يشكل المجتمع العام ودع β هي المعلمة غير المعروفة CB X. إذا كان التقدير الإحصائي في * متسقًا، فكلما زاد حجم العينة، كلما حصلنا على قيمة β بشكل أكثر دقة. ومع ذلك، من الناحية العملية، ليس لدينا عينات كبيرة جدًا، لذلك لا يمكننا ضمان دقة أكبر.

الموثوقية ز أو احتمال الثقةالتقديرات بـ بـ في * هي الاحتمال g الذي به عدم المساواة |in * - in|< 8, т. е.

عادةً، يتم تحديد الموثوقية g مسبقًا، ويُؤخذ g كرقم قريب من 1 (0.9؛ 0.95؛ 0.99؛ ...).

منذ عدم المساواة |في * - في|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

يُطلق على الفاصل الزمني (في * - 8، في * + 5) فاصل الثقة، أي أن فاصل الثقة يغطي المعلمة غير المعروفة باحتمال y. لاحظ أن نهايات فاصل الثقة عشوائية وتختلف من عينة إلى أخرى، لذا فمن الأدق القول أن الفاصل الزمني (في * - 8، في * + 8) يغطي المعلمة غير المعروفة في، وليس في ينتمي إلى هذا فاصلة.

يترك سكانيعطى بواسطة متغير عشوائي X، موزع وفق قانون عادي، والانحراف المعياري a معروف. المجهول هو التوقع الرياضي a = M (X). مطلوب العثور على فاصل الثقة لـ a لموثوقية معينة y.

متوسط العينة

هو تقدير إحصائي لـ xr = a.

نظرية. قيمة عشوائية xB له توزيع طبيعي إذا كان X له توزيع طبيعي وM(XB) = a،

أ (XB) = أ، حيث أ = ص/ب (X)، أ = م (X). ل / ط

فاصل الثقة لـ a له الشكل:

نجد 8.

باستخدام النسبة

حيث Ф(r) هي دالة لابلاس، لدينا:

ف ( | XB - أ |<8} = 2Ф

في جدول قيم دالة لابلاس نجد قيمة t.

وقد عين

T، نحصل على F(t) = g بما أن g معطى، ثم بواسطة

ومن المساواة نجد أن التقدير دقيق.

هذا يعني أن فترة الثقة لـ a لها الشكل:

نظرا لعينة من السكان X

نانوغرام	ل"	X2	XM
ن.	ن1	ن2	نانومتر

n = U1 + ... + nm، فإن فترة الثقة ستكون:

مثال 6.35. أوجد فاصل الثقة لتقدير التوقع الرياضي a للتوزيع الطبيعي بموثوقية 0.95، مع العلم متوسط العينة Xb = 10.43 وحجم العينة n = 100 والانحراف المعياري s = 5.

دعونا نستخدم الصيغة

ليكن المتغير العشوائي X للمجتمع موزعا توزيعا طبيعيا، مع مراعاة أن يكون التباين والانحراف المعياري لهذا التوزيع معروفا. مطلوب تقدير التوقع الرياضي المجهول باستخدام متوسط العينة. في هذه الحالة، تتلخص المهمة في إيجاد فترة ثقة للتوقع الرياضي ذي الموثوقية ب. إذا حددت قيمة احتمال الثقة (الموثوقية) ب، فيمكنك العثور على احتمال الوقوع في الفاصل الزمني للتوقع الرياضي غير المعروف باستخدام الصيغة (6.9 أ):

حيث Ф(t) هي دالة لابلاس (5.17a).

ونتيجة لذلك، يمكننا صياغة خوارزمية لإيجاد حدود فترة الثقة للتوقع الرياضي إذا كان التباين D = s 2 معروفًا:

ضبط قيمة الموثوقية - ب.
من (6.14) صريح Ф(t) = 0.5× ب. حدد قيمة t من الجدول الخاص بوظيفة Laplace بناءً على القيمة Ф(t) (انظر الملحق 1).
احسب الانحراف e باستخدام الصيغة (6.10).
اكتب فاصل الثقة باستخدام الصيغة (6.12) بحيث يكون الاحتمال ب هو:

مثال 5.

المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي. أوجد فترات الثقة لتقدير ذي موثوقية b = 0.96 للتوقع الرياضي غير المعروف a، إذا تم إعطاؤه:

1) الانحراف المعياري العام = 5؛

2) متوسط العينة؛

3) حجم العينة ن = 49.

في الصيغة (6.15) لتقدير الفترة للتوقع الرياضي أ مع الموثوقية ب جميع الكميات باستثناء ر معروفة. يمكن إيجاد قيمة t باستخدام (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(ر) = 0.48.

باستخدام الجدول الموجود في الملحق 1 لدالة لابلاس Ф(t) = 0.48، أوجد القيمة المقابلة t = 2.06. لذلك، . من خلال استبدال القيمة المحسوبة لـ e في الصيغة (6.12)، يمكنك الحصول على فاصل الثقة: 30-1.47< a < 30+1,47.