فترة الثقة للتوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع تباين معروف. فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي

وغيرها، وكلها تقديرات لنظائرها النظرية، والتي كان من الممكن الحصول عليها لولا توفر عينة، ولكن مجتمعًا عامًا. ولكن للأسف، فإن عامة السكان مكلفون للغاية ولا يمكن الوصول إليهم في كثير من الأحيان.

مفهوم تقدير الفاصل الزمني

أي تقدير عينة له بعض الانتشار، لأن هو متغير عشوائي يعتمد على القيم الموجودة في عينة معينة. لذلك، للحصول على استنتاجات إحصائية أكثر موثوقية، ينبغي للمرء أن يعرف ليس فقط تقدير النقطة، ولكن أيضا الفاصل الزمني، والذي ذو احتمالية عالية γ (جاما) يغطي المؤشر الذي تم تقييمه θ (ثيتا).

رسميًا، هاتان القيمتان (إحصائيات) ت 1 (س)و ت 2 (س)، ماذا تي 1< T 2 ، والتي عند مستوى احتمال معين γ تم استيفاء الشرط:

باختصار، هذا محتمل γ أو أكثر يكون المؤشر الحقيقي بين النقاط ت 1 (س)و ت 2 (س)والتي تسمى الحدود الدنيا والعليا فاصل الثقة.

أحد شروط بناء فترات الثقة هو الحد الأقصى لضيقها، أي. يجب أن تكون قصيرة قدر الإمكان. الرغبة طبيعية تماماً، لأن... يحاول الباحث تحديد موقع المعلمة المطلوبة بشكل أكثر دقة.

ويترتب على ذلك أن فترة الثقة يجب أن تغطي الحد الأقصى لاحتمالات التوزيع. ويجب أن يكون التقييم نفسه في المركز.

أي أن احتمال الانحراف (المؤشر الحقيقي عن التقدير) للأعلى يساوي احتمال الانحراف للأسفل. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه بالنسبة للتوزيعات غير المتماثلة، فإن الفاصل الزمني الموجود على اليمين ليس كذلك يساوي الفاصل الزمنيغادر.

يوضح الشكل أعلاه بوضوح أنه كلما زاد احتمال الثقة، كلما اتسع الفاصل الزمني - علاقة مباشرة.

كانت هذه مقدمة قصيرة لنظرية تقدير الفاصل الزمني للمعلمات غير المعروفة. دعنا ننتقل إلى إيجاد حدود الثقة لـ توقع رياضي.

فاصل الثقة للتوقعات الرياضية

إذا تم توزيع البيانات الأصلية على، فإن المتوسط ​​سيكون قيمة عادية. يتبع هذا من القاعدة التي تنص على أن المجموعة الخطية من القيم العادية لها أيضًا توزيع طبيعي. ولذلك، لحساب الاحتمالات يمكننا استخدام الجهاز الرياضي لقانون التوزيع الطبيعي.

ومع ذلك، فإن هذا سيتطلب معرفة معلمتين - التوقع والتباين، والتي عادة ما تكون غير معروفة. يمكنك، بالطبع، استخدام التقديرات بدلا من المعلمات (المتوسط ​​الحسابي و )، ولكن بعد ذلك لن يكون توزيع المتوسط ​​طبيعيا تماما، وسيتم تسويته قليلا إلى الأسفل. وقد لاحظ المواطن الأيرلندي ويليام جوسيت هذه الحقيقة بذكاء، حيث نشر اكتشافه في عدد مارس 1908 من مجلة Biometrica. ولأغراض السرية، وقع جوسيت على نفسه كطالب. هكذا ظهر توزيع الطالب.

ومع ذلك، فإن التوزيع الطبيعي للبيانات المستخدمة من قبل K. Gauss في تحليل الأخطاء الملاحظات الفلكية، نادر للغاية في الحياة الأرضية ويصعب تحديده (يلزم حوالي 2 ألف ملاحظة للحصول على دقة عالية). ولذلك، فمن الأفضل تجاهل افتراض الحالة الطبيعية واستخدام الأساليب التي لا تعتمد على توزيع البيانات الأصلية.

والسؤال الذي يطرح نفسه: ما هو توزيع الوسط الحسابي إذا تم حسابه من البيانات توزيع غير معروف؟ الجواب من النظرية المعروفة في نظرية الاحتمالات نظرية الحد المركزي(كبت). في الرياضيات هناك العديد من المتغيرات منه (في جميع أنحاء لسنوات طويلةتم تنقيح الصياغات)، ولكن جميعها تقريبًا تتلخص في العبارة التي مفادها أن مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة يخضع لقانون التوزيع الطبيعي.

عند حساب الوسط الحسابي، يتم استخدام مجموع المتغيرات العشوائية. ومن هنا يتبين أن الوسط الحسابي له توزيع طبيعي، حيث التوقع هو توقع البيانات الأصلية، والتباين هو .

ناس اذكياءنعرف كيفية إثبات CLT، لكننا سنتحقق من ذلك بمساعدة تجربة أجريت في برنامج Excel. لنقم بمحاكاة عينة مكونة من 50 متغيرًا عشوائيًا موزعة بشكل موحد (باستخدام دالة Excel RANDBETWEEN). ثم سنقوم بعمل 1000 عينة من هذه العينات ونحسب الوسط الحسابي لكل منها. دعونا نلقي نظرة على توزيعها.

ويمكن ملاحظة أن توزيع المتوسط ​​قريب من القانون الطبيعي. وإذا تم زيادة حجم العينة وعددها، فسيكون التشابه أفضل.

الآن بعد أن رأينا بأعيننا صحة CLT، يمكننا، باستخدام، حساب فترات الثقة للوسط الحسابي، والتي تغطي المتوسط ​​الحقيقي أو التوقع الرياضي مع احتمال معين.

لتعيين الحدود العليا والدنيا، تحتاج إلى معرفة المعلمات التوزيع الطبيعي. كقاعدة عامة، لا يوجد شيء، لذلك يتم استخدام التقديرات: المتوسط ​​الحسابيو تباين العينة. وأكرر أن هذه الطريقة تعطي تقديرًا جيدًا فقط مع العينات الكبيرة. عندما تكون العينات صغيرة، يوصى غالبًا باستخدام توزيعة الطالب. لا تصدق ذلك! يحدث توزيع الطالب للمتوسط ​​فقط عندما يتم توزيع البيانات الأصلية بشكل طبيعي، أي تقريبًا لا يحدث أبدًا. ولذلك فمن الأفضل أن تضع على الفور شريط الحد الأدنىوفقًا لكمية البيانات المطلوبة واستخدام الطرق الصحيحة المقاربة. يقولون 30 ملاحظة كافية. خذ 50 - لن تخطئ.

تي 1.2- الحدود الدنيا والعليا لفترة الثقة

- عينة المتوسط ​​الحسابي

س 0– الانحراف المعياري للعينة (غير متحيزة)

ن - حجم العينة

γ - احتمالية الثقة (عادة تساوي 0.9 أو 0.95 أو 0.99)

ج γ =Φ -1 ((1+γ)/2)- القيمة العكسية لدالة التوزيع الطبيعي القياسية. ببساطة، هذا هو عدد الأخطاء المعيارية من الوسط الحسابي إلى الأقل أو الحد الأعلى(الاحتمالات الثلاثة المشار إليها تتوافق مع القيم 1.64 و1.96 و2.58).

جوهر الصيغة هو أن الوسط الحسابي يؤخذ ثم يخصص منه مبلغ معين ( مع γ) الأخطاء القياسية ( ق 0 /√ن). كل شيء معروف، خذه واعتبره.

قبل الاستخدام الشاملتم استخدام جهاز الكمبيوتر للحصول على قيم دالة التوزيع الطبيعي وعكسها. لا تزال تستخدم حتى يومنا هذا، ولكن من الأكثر فعالية استخدام صيغ Excel الجاهزة. يمكن حساب جميع العناصر من الصيغة أعلاه ( و ) بسهولة في برنامج Excel. ولكن هناك صيغة جاهزة لحساب فاصل الثقة - الثقة. نورم. بناء الجملة الخاص به هو كما يلي.

الثقة.NORM(alpha;standard_off;الحجم)

ألفا- مستوى الأهمية أو مستوى الثقة، والذي يساوي في الترميز المعتمد أعلاه 1- γ، أي. احتمال أن الرياضيةسيكون التوقع خارج فترة الثقة. في احتمال الثقة 0.95، ألفا 0.05، الخ.

Standard_off- الانحراف المعياري لبيانات العينة. ليست هناك حاجة لحساب الخطأ القياسي؛ إذ سيقسم برنامج Excel نفسه على جذر n.

مقاس- حجم العينة (ن).

نتيجة الدالة CONFIDENCE NORM هي الحد الثاني من صيغة حساب فاصل الثقة، أي. نصف فاصل وبناء على ذلك، فإن النقاط السفلية والعليا هي متوسط ​​± القيمة التي تم الحصول عليها.

وبالتالي، من الممكن بناء خوارزمية عالمية لحساب فترات الثقة للوسط الحسابي، والتي لا تعتمد على توزيع البيانات الأصلية. ثمن العالمية هو طبيعتها المقاربة، أي. الحاجة إلى استخدام عينات كبيرة نسبيا. ومع ذلك، في العمر التقنيات الحديثةجمع الكمية المطلوبة من البيانات عادة ليس بالأمر الصعب.

اختبار الفرضيات الإحصائية باستخدام فترات الثقة

(الوحدة 111)

واحدة من المشاكل الرئيسية التي تم حلها في الإحصاء هي. جوهرها هو لفترة وجيزة على النحو التالي. ومن المفترض، على سبيل المثال، أن التوقع سكانيساوي بعض القيمة. ثم يتم بناء توزيع العينة التي يمكن ملاحظتها لتوقع معين. بعد ذلك، ينظرون إلى مكان وجود المتوسط ​​الحقيقي في هذا التوزيع الشرطي. فإذا تجاوزت الحدود المقبولة فإن ظهور مثل هذا المتوسط ​​أمر مستبعد جداً، وإذا تكررت التجربة مرة واحدة يكاد يكون مستحيلاً، وهو ما يتناقض مع الفرضية المطروحة والتي تم رفضها بنجاح. إذا كان المتوسط ​​لا يتجاوز مستوى حرج، إذن الفرضية لم يتم رفضها (ولكنها لم تثبت أيضًا!).

لذا، بمساعدة فترات الثقة، في حالتنا الخاصة بالتوقع، يمكنك أيضًا اختبار بعض الفرضيات. فإنه من السهل جدا القيام به. لنفترض أن المتوسط ​​الحسابي لعينة معينة يساوي 100. ويتم اختبار الفرضية بأن القيمة المتوقعة هي، على سبيل المثال، 90. أي أننا إذا طرحنا السؤال بشكل بدائي، يبدو الأمر كما يلي: هل يمكن أن يكون ذلك مع الحقيقة قيمة المتوسط ​​تساوي 90، المتوسط ​​الملاحظ تبين أنه 100؟

للإجابة على هذا السؤال، ستحتاج بالإضافة إلى ذلك إلى معلومات حول المتوسط انحراف مربعوحجم العينة. لنفترض أن الانحراف المعياري هو 30 وعدد الملاحظات هو 64 (لاستخراج الجذر بسهولة). ثم الخطأ المعياري للوسط هو 30/8 أو 3.75. لحساب فاصل ثقة بنسبة 95%، ستحتاج إلى إضافة خطأين قياسيين إلى كل جانب من المتوسط ​​(على نحو أكثر دقة، 1.96). سيكون فاصل الثقة حوالي 100±7.5 أو من 92.5 إلى 107.5.

مزيد من المنطق على النحو التالي. إذا كانت القيمة التي يتم اختبارها تقع ضمن فترة الثقة، فإنها لا تتعارض مع الفرضية، لأن يقع ضمن حدود التقلبات العشوائية (باحتمال 95%). إذا كانت النقطة التي يتم فحصها تقع خارج نطاق الثقة، فإن احتمال حدوث مثل هذا الحدث يكون صغيرًا جدًا، وعلى أي حال أقل من المستوى المقبول. وهذا يعني رفض الفرضية لأنها تتعارض مع البيانات المرصودة. في حالتنا، فإن الفرضية الخاصة بالقيمة المتوقعة تقع خارج فترة الثقة (القيمة المختبرة 90 غير متضمنة في الفترة 100±7.5)، لذلك يجب رفضها. الإجابة على السؤال البدائي أعلاه، ينبغي أن يقال: لا، لا يمكن، في أي حال، يحدث هذا نادرا للغاية. في كثير من الأحيان، فهي تشير إلى الاحتمال المحدد لرفض الفرضية بشكل خاطئ (المستوى p)، وليس المستوى المحدد الذي تم بناء فاصل الثقة عليه، ولكن المزيد عن ذلك في وقت آخر.

كما ترون، فإن إنشاء فاصل ثقة للمتوسط ​​(أو التوقعات الرياضية) ليس بالأمر الصعب. الشيء الرئيسي هو فهم الجوهر، وبعد ذلك سوف تتحرك الأمور. ومن الناحية العملية، تستخدم معظم الحالات فاصل ثقة بنسبة 95%، وهو عبارة عن خطأين معياريين تقريبًا على جانبي المتوسط.

هذا كل شئ حتى الان. أتمنى لك كل خير!

دع المتغير العشوائي (يمكننا التحدث عن مجتمع عام) يتم توزيعه وفقًا للقانون الطبيعي، والذي يُعرف التباين فيه D = 2 (> 0). من عامة السكان (على مجموعة الكائنات التي يتم تحديد متغير عشوائي لها)، يتم إجراء عينة بالحجم n. تعتبر العينة x 1 , x 2 ,..., x n بمثابة مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة n الموزعة بنفس الطريقة (الطريقة الموضحة أعلاه في النص).

تمت أيضًا مناقشة المساواة التالية وإثباتها مسبقًا:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M؛

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

يكفي أن نثبت ببساطة (نحذف الدليل) أن المتغير العشوائي موجود في هذه الحالةويتم توزيعها أيضًا وفقًا للقانون العادي.

دعونا نشير إلى الكمية غير المعروفة M بواسطة a ونختار، بناءً على الموثوقية المحددة، الرقم d > 0 بحيث يتم استيفاء الشرط:

ف(- أ< d) = (1)

وبما أن المتغير العشوائي موزع وفق القانون العادي مع التوقع الرياضي M = M = a والتباين D = D /n = 2 /n، نحصل على:

ف(- أ< d) =P(a - d < < a + d) =

يبقى أن نختار د بحيث تكون المساواة قائمة

بالنسبة لأي رقم، يمكنك استخدام الجدول للعثور على رقم t بحيث يكون (t)= / 2. ويسمى هذا الرقم t أحيانًا الكمية.

الآن من المساواة

دعونا نحدد قيمة د:

نحصل على النتيجة النهائية من خلال تقديم الصيغة (1) في النموذج:

معنى الصيغة الأخيرة هو كما يلي: مع الموثوقية، فاصل الثقة

يغطي المعلمة غير المعروفة a = M من السكان. يمكنك أن تقول ذلك بشكل مختلف: تقدير النقطةيحدد قيمة المعلمة M بدقة d= t / والموثوقية.

مهمة. ليكن هناك مجتمع عام ذو صفة معينة موزعة وفق قانون عادي بتباين يساوي 6.25. تم أخذ حجم عينة n = 27 وتم الحصول على متوسط ​​قيمة العينة للخاصية = 12. أوجد فاصل ثقة يغطي التوقع الرياضي غير المعروف للخاصية المدروسة لعامة السكان مع موثوقية = 0.99.

حل. أولاً، باستخدام جدول دالة لابلاس، نجد قيمة t من المساواة (t) = / 2 = 0.495. بناءً على القيمة التي تم الحصول عليها t = 2.58، نحدد دقة التقدير (أو نصف طول فترة الثقة) d: d = 2.52.58 / 1.24. ومن هنا نحصل على فترة الثقة المطلوبة: (10.76؛ 13.24).

الفرضية الإحصائية التباين العام

فترة الثقة للتوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع تباين غير معروف

ليكن متغيرا عشوائيا موزعا وفق قانون عادي مع توقع رياضي مجهول M والذي نرمز له بالحرف a. لنقم بعمل عينة من المجلد n. دعونا نحدد متوسط ​​​​العينة ونصحح تباين العينة s 2 باستخدام الصيغ المعروفة.

قيمة عشوائية

موزعة وفقًا لقانون الطالب بدرجات حرية n - 1.

وتتمثل المهمة في العثور على رقم t لموثوقية معينة وعدد درجات الحرية n - 1 بحيث تكون متساوية

أو ما يعادلها من المساواة

هنا مكتوب بين قوسين الشرط أن قيمة المعلمة غير المعروفة a تنتمي إلى فترة زمنية معينة، وهي فترة الثقة. تعتمد حدودها على الموثوقية بالإضافة إلى معلمات أخذ العينات و s.

لتحديد قيمة t من حيث الحجم، نحول المساواة (2) إلى النموذج:

الآن حسب الجدول متغير عشوائي t، موزعة حسب قانون الطالب، وباستخدام الاحتمال 1 - وعدد درجات الحرية n - 1 نجد t. الصيغة (3) تعطي الإجابة على المشكلة المطروحة.

مهمة. أثناء اختبارات التحكم لـ 20 مصباحًا كهربائيًا متوسط ​​مدةوكان عملهم يساوي 2000 ساعة مع انحراف معياري (محسوب على أنه الجذر التربيعي لتباين العينة المصحح) يساوي 11 ساعة. من المعروف أن زمن تشغيل المصباح هو متغير عشوائي موزع توزيعاً طبيعياً. حدد بموثوقية 0.95 فترة ثقة للتوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي.

حل. القيمة 1 - في هذه الحالة تساوي 0.05. وحسب جدول توزيع الطلاب، حيث أن عدد درجات الحرية يساوي 19 نجد: t = 2.093. دعونا الآن نحسب دقة التقدير: 2.093121/ = 56.6. ومن هنا نحصل على فترة الثقة المطلوبة: (1943.4; 2056.6).

لتؤخذ عينة من عامة السكان الخاضعين للقانون طبيعيتوزيع Xن( م;  ). يعتمد هذا الافتراض الأساسي للإحصاء الرياضي على نظرية الحد المركزي. وليكن معروفا الانحراف المعياري العام  , لكن التوقع الرياضي للتوزيع النظري غير معروف م(متوسط ​​القيمة ).

في هذه الحالة، العينة تعني ، التي تم الحصول عليها خلال التجربة (القسم 3.4.2)، ستكون أيضًا متغيرًا عشوائيًا م;
). ثم الانحراف "المطبيع".
N(0;1) – هو متغير عشوائي عادي قياسي.

المهمة هي العثور على تقدير الفاصل الزمني ل م. دعونا نبني فترة ثقة ذات وجهين لـ م بحيث يكون التوقع الرياضي الحقيقي له باحتمال معين (الموثوقية)  .

قم بتعيين مثل هذا الفاصل الزمني للقيمة
- وهذا يعني إيجاد القيمة القصوى لهذه الكمية
والحد الأدنى
، وهي حدود المنطقة الحرجة:
.

لأن هذا الاحتمال متساوي
ثم جذر هذه المعادلة
يمكن العثور عليها باستخدام جداول دالة لابلاس (الجدول 3، الملحق 1).

ثم مع الاحتمال  ويمكن القول أن المتغير العشوائي
أي أن المتوسط ​​العام المطلوب ينتمي إلى الفترة
. (3.13)

مقاس
(3.14)

مُسَمًّى دقةالتقييمات.

رقم
– الكميةالتوزيع الطبيعي - يمكن العثور عليه كوسيطة لدالة لابلاس (الجدول 3، الملحق 1)، مع مراعاة العلاقة 2Ф( ش)=، أي. F( ش)=
.

عكس، وفقا لقيمة الانحراف المحددة  يمكن العثور على احتمالية أن ينتمي المتوسط ​​العام غير المعروف إلى الفترة
. للقيام بذلك تحتاج إلى حساب

. (3.15)

دع عينة عشوائية يتم استخراجها من عامة السكان باستخدام طريقة الاختيار المتكرر. من مكافئ.
يمكن ايجاده الحد الأدنىحجم إعادة التشكيل ن، ضروري لفترة الثقة مع موثوقية معينة لم تتجاوز القيمة المحددة مسبقا  . يتم تقدير حجم العينة المطلوب باستخدام الصيغة:

. (3.16)

دعنا نستكشف دقة التقدير
:

1) كلما زاد حجم العينة نضخامة  يتناقص، وبالتالي دقة التقدير يزيد.

2) ج يزيدموثوقية التقييم تزداد قيمة الحجة ش(لأن F(ش) يزيد رتابة) وبالتالي يزيد  . في هذه الحالة، زيادة في الموثوقية يقللدقة تقييمها  .

تقييم
(3.17)

مُسَمًّى كلاسيكي(أين ر- معلمة معينة اعتمادا على و ن)، لأن فهو يصف قوانين التوزيع الأكثر شيوعًا.

3.5.3 فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع انحراف معياري غير معروف 

وليعلم أن السكان يخضعون لقانون التوزيع الطبيعي Xن( م; )، حيث القيمة معدل الجذر التربيعيالانحرافات مجهول.

ولإنشاء فاصل الثقة لتقدير المتوسط ​​العام في هذه الحالة، يتم استخدام الإحصائيات
، وجود توزيع الطلاب مع ك= ن– 1 درجات الحرية . وهذا يأتي من حقيقة ذلك N(0;1) (انظر القسم 3.5.2)، و
(انظر القسم 3.5.3) ومن تعريف توزيع الطلاب (الجزء 1. القسم 2.11.2).

دعونا نجد دقة التقدير الكلاسيكي لتوزيع الطلاب: أي. سوف نجد رمن الصيغة (3.17). دع احتمال تحقيق عدم المساواة
نظرا للموثوقية  :

. (3.18)

بسبب ال تSt( ن-1) فالظاهر ذلك ريعتمد على  و ن، لذلك يكتبون عادة
.

(3.19)

أين
– وظيفة توزيع الطلاب مع ن-1 درجات الحرية.

حل هذه المعادلة ل م، نحصل على الفاصل الزمني
والتي تغطي بشكل موثوق  المعلمة غير المعروفة م.

ضخامة ر  , ن-1، يستخدم لتحديد فاصل الثقة لمتغير عشوائي ت(ن-1), موزعة حسب اختبار t مع ن-1 درجة الحرية تسمى معامل الطالب. يجب العثور عليه من خلال القيم المعطاة نو  من جداول "النقاط الحرجة لتوزيع الطلاب". (الجدول 6، الملحق 1)، والتي تمثل حلول المعادلة (3.19).

ونتيجة لذلك، نحصل على التعبير التالي دقة فترة الثقة لتقدير التوقع الرياضي (المتوسط ​​العام) إذا كان التباين غير معروف:

(3.20)

وبالتالي، هناك صيغة عامة لبناء فترات الثقة للتوقع الرياضي للسكان:

أين هي دقة فاصل الثقة  اعتمادا على التشتت المعروف أو غير المعروف تم العثور عليه وفقا للصيغ، على التوالي 3.16. و3.20.

المشكلة 10.تم إجراء بعض الاختبارات، ونتائجها موضحة في الجدول:

س أنا

ومن المعروف أنهم يخضعون لقانون التوزيع الطبيعي مع
. البحث عن التقييم م* للتوقع الرياضي م، قم ببناء فاصل ثقة 90% لذلك.

حل:

لذا، م(2.53;5.47).

المشكلة 11.يتم قياس عمق البحر بواسطة جهاز خطأه المنهجي 0، وتتوزع الأخطاء العشوائية حسب القانون العادي، مع انحراف معياري  = 15 م. ما هو عدد القياسات المستقلة التي يجب إجراؤها لتحديد العمق بأخطاء لا تزيد عن 5 أمتار عند مستوى ثقة 90%؟

حل:

وفقا لظروف المشكلة لدينا Xن( م;  )، أين  = 15 م،  =5 م،  =0.9. دعونا نجد الحجم ن.

1) مع موثوقية معينة = 0.9 نجد من الجدول 3 (الملحق 1) وسيطة دالة لابلاس ش  = 1.65.

2) معرفة دقة التقدير المحددة  =ش  =5، دعونا نجد
. لدينا

. وبالتالي عدد الاختبارات ن25.

المشكلة 12.أخذ عينات درجة الحرارة ريتم عرض الأيام الستة الأولى من شهر يناير في الجدول:

أوجد فترة الثقة للتوقع الرياضي مالسكان مع احتمال الثقة
وتقييم العام الانحراف المعياري س.

حل:

و
.

2) تقدير غير متحيز العثور عليه باستخدام الصيغة
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) بما أن التباين العام غير معروف ولكن تقديره معروف، فتقدير التوقع الرياضي منستخدم توزيع الطلاب (الجدول 6، الملحق 1) والصيغة (3.20).

لأن ن 1 =ن 2 = 6، إذن،
, س 1 = 6.85 لدينا:
، وبالتالي -29.2-4.1<م 1 < -29.2+4.1.

لذلك -33.3<م 1 <-25.1.

وبالمثل لدينا،
, س 2 = 4.8

–34.9< م 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: م 1 (-33.3;-25.1) و م 2 (-34.9;-29.1).

في العلوم التطبيقية، على سبيل المثال، في تخصصات البناء، يتم استخدام جداول فترات الثقة لتقييم دقة الأشياء، والتي يتم تقديمها في الأدبيات المرجعية ذات الصلة.

دع CB X يشكل المجتمع العام ودع β هي المعلمة غير المعروفة CB X. إذا كان التقدير الإحصائي في * متسقًا، فكلما زاد حجم العينة، كلما حصلنا على قيمة β بشكل أكثر دقة. ومع ذلك، من الناحية العملية، ليس لدينا عينات كبيرة جدًا، لذلك لا يمكننا ضمان دقة أكبر.

دع b* يكون تقديرًا إحصائيًا لـ c. القيمة |في* - في| تسمى دقة التقدير ومن الواضح أن الدقة هي CB، حيث أن β* متغير عشوائي. دعونا نحدد رقمًا موجبًا صغيرًا 8 ونشترط دقة التقدير |в* - в| كان أقل من 8، أي | في* - في |< 8.

الموثوقية g أو احتمال الثقة للتقدير في * هو الاحتمال g الذي به عدم المساواة |in * - in|< 8, т. е.

عادةً، يتم تحديد الموثوقية g مسبقًا، ويُؤخذ g كرقم قريب من 1 (0.9؛ 0.95؛ 0.99؛ ...).

منذ عدم المساواة |في * - في|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

يُطلق على الفاصل الزمني (في * - 8، في * + 5) فاصل الثقة، أي أن فاصل الثقة يغطي المعلمة غير المعروفة باحتمال y. لاحظ أن نهايات فاصل الثقة عشوائية وتختلف من عينة إلى أخرى، لذا فمن الأدق القول أن الفاصل الزمني (في * - 8، في * + 8) يغطي المعلمة غير المعروفة في، وليس في ينتمي إلى هذا فاصلة.

ليتحدد المجتمع بالمتغير العشوائي X، الموزع وفق قانون عادي، ويكون الانحراف المعياري a معروفا. المجهول هو التوقع الرياضي a = M (X). مطلوب العثور على فاصل الثقة لـ a لموثوقية معينة y.

متوسط ​​العينة

هو تقدير إحصائي لـ xr = a.

نظرية. المتغير العشوائي xB له توزيع طبيعي إذا كان X له توزيع طبيعي وM (XB) = a،

أ (XB) = أ، حيث أ = ص/ب (X)، أ = م (X). ل / ط

فاصل الثقة لـ a له الشكل:

نجد 8.

باستخدام النسبة

حيث Ф(r) هي دالة لابلاس، لدينا:

ف ( | XB - أ |<8} = 2Ф

في جدول قيم دالة لابلاس نجد قيمة t.

وقد عين

T، نحصل على F(t) = g بما أن g معطى، ثم بواسطة

ومن المساواة نجد أن التقدير دقيق.

هذا يعني أن فترة الثقة لـ a لها الشكل:

نظرا لعينة من السكان X

نانوغرام	ل"	X2	XM
ن.	ن1	ن2	نانومتر

n = U1 + ... + nm، فإن فترة الثقة ستكون:

مثال 6.35. أوجد فاصل الثقة لتقدير التوقع الرياضي a للتوزيع الطبيعي بموثوقية 0.95، مع العلم متوسط ​​العينة Xb = 10.43 وحجم العينة n = 100 والانحراف المعياري s = 5.

دعونا نستخدم الصيغة

ليكن المتغير العشوائي X للمجتمع موزعا توزيعا طبيعيا، مع مراعاة أن يكون التباين والانحراف المعياري لهذا التوزيع معروفا. مطلوب تقدير التوقع الرياضي المجهول باستخدام متوسط ​​العينة. في هذه الحالة، تتلخص المهمة في إيجاد فترة ثقة للتوقع الرياضي ذي الموثوقية ب. إذا حددت قيمة احتمال الثقة (الموثوقية) ب، فيمكنك العثور على احتمال الوقوع في الفاصل الزمني للتوقع الرياضي غير المعروف باستخدام الصيغة (6.9 أ):

حيث Ф(t) هي دالة لابلاس (5.17a).

ونتيجة لذلك، يمكننا صياغة خوارزمية لإيجاد حدود فترة الثقة للتوقع الرياضي إذا كان التباين D = s 2 معروفًا:

1. ضبط قيمة الموثوقية - ب.
2. من (6.14) صريح Ф(t) = 0.5× ب. حدد قيمة t من الجدول الخاص بوظيفة Laplace بناءً على القيمة Ф(t) (انظر الملحق 1).
3. احسب الانحراف e باستخدام الصيغة (6.10).
4. اكتب فاصل الثقة باستخدام الصيغة (6.12) بحيث يكون الاحتمال ب هو:

.

مثال 5.

المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي. أوجد فترات الثقة لتقدير بموثوقية b = 0.96 للتوقع الرياضي غير المعروف a، إذا تم إعطاؤه:

1) الانحراف المعياري العام = 5؛

2) متوسط ​​العينة؛

3) حجم العينة ن = 49.

في الصيغة (6.15) لتقدير الفترة للتوقع الرياضي أ مع الموثوقية ب جميع الكميات باستثناء ر معروفة. يمكن إيجاد قيمة t باستخدام (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(ر) = 0.48.

باستخدام الجدول الموجود في الملحق 1 لدالة لابلاس Ф(t) = 0.48، أوجد القيمة المقابلة t = 2.06. لذلك، . من خلال استبدال القيمة المحسوبة لـ e في الصيغة (6.12)، يمكنك الحصول على فاصل ثقة: 30-1.47< a < 30+1,47.

فترة الثقة المطلوبة لتقدير ذو وثوقية ب = 0.96 من التوقع الرياضي المجهول تساوي: 28.53< a < 31,47.