فاصل الثقة ل توقع رياضي - هذا هو الفاصل الزمني المحسوب من البيانات التي تحتوي، مع احتمال معروف، على التوقعات الرياضية لعامة السكان. والتقدير الطبيعي للتوقع الرياضي هو الوسط الحسابي لقيمه المرصودة. ولذلك، سنستخدم خلال الدرس مصطلحي "المتوسط" و"القيمة المتوسطة". في مسائل حساب فاصل الثقة، تكون الإجابة المطلوبة في أغلب الأحيان شيئًا مثل "فاصل الثقة للرقم المتوسط [القيمة في مشكلة معينة] يتراوح من [القيمة الأصغر] إلى [القيمة الأكبر]". باستخدام فاصل الثقة، لا يمكنك تقييم متوسط القيم فحسب، بل يمكنك أيضًا تقييم نسبة خاصية معينة في عموم السكان. القيم المتوسطة والتشتت والانحراف المعياري والخطأ والتي من خلالها سنصل إلى تعريفات وصيغ جديدة يناقشها الدرس خصائص العينة والسكان .
تقديرات النقطة والفاصل الزمني للمتوسط
إذا تم تقدير متوسط قيمة السكان برقم (نقطة)، فإن المتوسط المحدد، الذي يتم حسابه من عينة من الملاحظات، يؤخذ كتقدير لمتوسط قيمة السكان غير المعروفة. وفي هذه الحالة تكون قيمة متوسط العينة متغير عشوائي- لا يتطابق مع متوسط قيمة السكان. ولذلك، عند الإشارة إلى متوسط العينة، يجب الإشارة في نفس الوقت إلى خطأ أخذ العينات. مقياس خطأ أخذ العينات هو الخطأ المعياري، والذي يتم التعبير عنه بنفس وحدات المتوسط. ولذلك، غالبا ما يتم استخدام الترميز التالي: .
إذا كان تقدير المتوسط يحتاج إلى أن يرتبط باحتمال معين، فيجب تقييم المعلمة ذات الاهتمام بالسكان ليس برقم واحد، ولكن بفاصل زمني. فاصل الثقة هو الفاصل الزمني الذي يكون فيه احتمال معين صتم العثور على قيمة المؤشر السكاني المقدر. فترة الثقة التي من المحتمل أن يكون فيها ص = 1 - α تم العثور على المتغير العشوائي، ويتم حسابه على النحو التالي:
,
α = 1 - صوالتي يمكن العثور عليها في ملحق أي كتاب تقريبًا عن الإحصاء.
ومن الناحية العملية، لا يعرف متوسط المجتمع والتباين، لذلك يتم استبدال التباين السكاني بتباين العينة، ومتوسط السكان بمتوسط العينة. وبالتالي، يتم حساب فاصل الثقة في معظم الحالات على النحو التالي:
.
يمكن استخدام صيغة فاصل الثقة لتقدير متوسط عدد السكان إذا
- الانحراف المعياري للسكان معروف؛
- أو الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف، ولكن حجم العينة أكبر من 30.
متوسط العينة هو تقدير غير متحيز لمتوسط المجتمع. بدوره، تباين العينة 
ليس تقديرًا غير متحيز للتباين السكاني. للحصول على تقدير غير متحيز لتباين السكان في معادلة تباين العينة، حجم العينة نينبغي استبداله ب ن-1.
مثال 1.تم جمع المعلومات من 100 مقهى تم اختيارها عشوائياً في مدينة معينة أن متوسط عدد العاملين فيها هو 10.5 مع انحراف معياري قدره 4.6. يُعرِّف فاصل الثقة 95% من العاملين في المقاهي.
أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .
وهكذا، تراوحت فترة الثقة 95% لمتوسط عدد موظفي المقهى من 9.6 إلى 11.4.
مثال 2.بالنسبة لعينة عشوائية من مجتمع مكون من 64 ملاحظة، تم حساب القيم الإجمالية التالية:
مجموع القيم في الملاحظات،
مجموع الانحرافات التربيعية للقيم عن المتوسط 
.
احسب فترة الثقة 95% للتوقع الرياضي.
دعونا نحسب الانحراف المعياري:
,
دعونا نحسب القيمة المتوسطة:
.
نستبدل القيم في التعبير الخاص بفاصل الثقة:
أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .
نحن نحصل:
وبالتالي فإن فترة الثقة 95% للتوقع الرياضي لهذه العينة تراوحت من 7.484 إلى 11.266.
مثال 3.بالنسبة لعينة سكانية عشوائية مكونة من 100 ملاحظة، يكون المتوسط المحسوب هو 15.2 والانحراف المعياري هو 3.2. احسب فاصل الثقة 95% للقيمة المتوقعة، ثم فاصل الثقة 99%. إذا ظلت قوة العينة وتغيرها دون تغيير وزاد معامل الثقة، فهل ستضيق فترة الثقة أم تتسع؟
نستبدل هذه القيم في التعبير الخاص بفاصل الثقة:
أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,05 .
نحن نحصل:
.
وهكذا، تراوحت فترة الثقة 95% لمتوسط هذه العينة من 14.57 إلى 15.82.
نستبدل هذه القيم مرة أخرى في التعبير الخاص بفاصل الثقة:
أين هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي لمستوى الأهمية α = 0,01 .
نحن نحصل:
.
وهكذا، تراوحت فترة الثقة 99% لمتوسط هذه العينة من 14.37 إلى 16.02.
وكما نرى، مع زيادة معامل الثقة، تزداد أيضًا القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري، وبالتالي، تقع نقطتي البداية والنهاية للفاصل الزمني بعيدًا عن المتوسط، وبالتالي يزداد فاصل الثقة للتوقع الرياضي .
تقديرات النقطة والفاصل الزمني للثقل النوعي
يمكن تفسير حصة بعض سمات العينة على أنها تقدير نقطي جاذبية معينة صمن نفس الخصائص في عموم السكان. إذا كانت هذه القيمة تحتاج إلى ربطها بالاحتمالية، فيجب حساب فاصل الثقة للثقل النوعي صمميزة في السكان مع الاحتمال ص = 1 - α :
.
مثال 4.في بعض المدن هناك مرشحان أو بيترشحون لمنصب رئيس البلدية. وقد تم استطلاع آراء 200 من سكان المدينة بشكل عشوائي، أجاب 46% منهم بأنهم سيصوتون للمرشح أ 26% - للمرشح بو28% لا يعرفون لمن سيصوتون. حدد فاصل الثقة 95% لنسبة سكان المدينة الذين يدعمون المرشح أ.
أي عينة تعطي فقط فكرة تقريبية عن عموم السكان، وجميع الخصائص الإحصائية للعينة (المتوسط، المنوال، التباين...) هي بعض التقريب أو قول تقدير للمعلمات العامة، والتي في معظم الحالات لا يمكن حسابها بسبب لعدم إمكانية الوصول إلى عامة السكان (الشكل 20).
الشكل 20. خطأ في أخذ العينات
ولكن يمكنك تحديد الفاصل الزمني الذي تكمن فيه القيمة الحقيقية (العامة) للخاصية الإحصائية بدرجة معينة من الاحتمال. يسمى هذا الفاصل د فاصل الثقة (CI).
وبالتالي فإن القيمة المتوسطة العامة باحتمال 95% تقع ضمنها
من إلى (20)
أين ر – قيمة الجدولاختبار الطالب ل α =0.05 و F= ن-1
ويمكن أيضًا العثور على فترة ثقة بنسبة 99% في هذه الحالة ر مختارة ل α =0,01.
ما هي الأهمية العملية لفترة الثقة؟
يشير فاصل الثقة الواسع إلى أن متوسط العينة لا يعكس بدقة متوسط السكان. ويعود هذا عادة إلى عدم كفاية حجم العينة، أو إلى عدم تجانسها، أي عدم تجانسها. تشتت كبير. يعطون كلاهما خطأ كبيرمتوسط، وبالتالي، CI أوسع. وهذا هو أساس العودة إلى مرحلة التخطيط للبحث.
توفر الحدود العليا والسفلى لـ CI تقديرًا لما إذا كانت النتائج ستكون ذات أهمية سريرية
دعونا نتناول بمزيد من التفصيل مسألة الأهمية الإحصائية والسريرية لنتائج دراسة خصائص المجموعة. دعونا نتذكر أن مهمة الإحصائيات هي اكتشاف بعض الاختلافات على الأقل في عموم السكان بناءً على بيانات العينة. التحدي الذي يواجه الأطباء هو اكتشاف الاختلافات (وليس الاختلافات فقط) التي من شأنها أن تساعد في التشخيص أو العلاج. والاستنتاجات الإحصائية ليست دائما الأساس للاستنتاجات السريرية. وبالتالي، فإن الانخفاض الكبير إحصائيًا في الهيموجلوبين بمقدار 3 جم / لتر ليس مدعاة للقلق. وعلى العكس من ذلك، إذا لم تكن بعض المشاكل في جسم الإنسان منتشرة على مستوى جميع السكان، فهذا ليس سببا لعدم التعامل مع هذه المشكلة.
|
دعونا ننظر إلى هذا الوضع مثال. تساءل الباحثون عما إذا كان الأولاد الذين عانوا من نوع ما من الأمراض المعدية يتخلفون عن أقرانهم في النمو. ولهذا الغرض تم تنفيذه عينة تفتيشوالتي شارك فيها 10 فتيان كانوا يعانون من هذا المرض. وترد النتائج في الجدول 23. الجدول 23. نتائج المعالجة الإحصائية
ويترتب على هذه الحسابات أن العينة ارتفاع متوسطالأولاد 10 سنوات الذين عانوا بعض عدوى، قريب من الطبيعي (132.5 سم). ومع ذلك، فإن الحد الأدنى لفترة الثقة (126.6 سم) يشير إلى أن هناك احتمالًا بنسبة 95% أن يتوافق متوسط الطول الحقيقي لهؤلاء الأطفال مع مفهوم "الطول القصير"، أي. هؤلاء الأطفال يعانون من التقزم. في هذا المثال، تكون نتائج حسابات فاصل الثقة ذات أهمية سريرية. |
|||||||||||||||||||
إحدى طرق حل المشكلات الإحصائية هي حساب فترة الثقة. يتم استخدامه كبديل أكثر تفضيلاً تقدير النقطةمع حجم عينة صغير. تجدر الإشارة إلى أن عملية حساب فاصل الثقة بحد ذاتها معقدة للغاية. لكن أدوات برنامج Excel تسمح لك بتبسيط الأمر إلى حد ما. دعونا معرفة كيف يتم ذلك في الممارسة العملية.
يتم استخدام هذه الطريقة لتقدير الفاصل الزمني لمختلف الكميات الإحصائية. المهمة الرئيسية لهذا الحساب هي التخلص من عدم اليقين في تقدير النقطة.
في Excel، هناك خياران رئيسيان لإجراء العمليات الحسابية باستخدام هذه الطريقة: متى يكون التباين معلوما ومتى يكون مجهولا. في الحالة الأولى، يتم استخدام الدالة لإجراء العمليات الحسابية الثقة. نورم، وفي الثانية - الوصي.الطالب.
الطريقة الأولى: وظيفة معيار الثقة
المشغل أو العامل الثقة. نورم، الذي ينتمي إلى مجموعة الوظائف الإحصائية، ظهر لأول مرة في Excel 2010. الإصدارات السابقة من هذا البرنامج تستخدم نظيره يثق. الغرض من هذا العامل هو حساب فاصل الثقة الموزع بشكل طبيعي لمتوسط المحتوى.
بناء الجملة الخاص به هو كما يلي:
الثقة.NORM(alpha;standard_off;الحجم)
"ألفا"- وسيطة تشير إلى مستوى الأهمية المستخدم لحساب مستوى الثقة. مستوى الثقة يساوي التعبير التالي:
(1-"ألفا")*100
« الانحراف المعياري» - هذه حجة، جوهرها واضح من الاسم. هذا هو الانحراف المعياري للعينة المقترحة.
"مقاس"- الوسيطة التي تحدد حجم العينة.
كافة الوسائط لهذا المشغل مطلوبة.
وظيفة يثقلديه نفس الحجج والاحتمالات مثل سابقتها. بناء الجملة الخاص به هو:
الثقة (ألفا، Standard_off، الحجم)
كما ترون، الاختلافات هي فقط في اسم المشغل. وظيفة محددةلأسباب التوافق، تم تركه في Excel 2010 والإصدارات الأحدث في فئة خاصة "التوافق". وفي إصدارات Excel 2007 والإصدارات السابقة، يكون موجودًا في المجموعة الرئيسية من العوامل الإحصائية.
يتم تحديد حد فاصل الثقة باستخدام الصيغة التالية:
X+(-) معيار الثقة
أين Xهي متوسط قيمة العينة، والتي تقع في منتصف النطاق المحدد.
الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حساب فاصل الثقة باستخدام مثال محدد. تم إجراء 12 اختباراً، أسفرت عن نتائج مختلفة، كما هو موضح في الجدول. هذا هو مجملنا. الانحراف المعياري هو 8. نحتاج إلى حساب فاصل الثقة عند مستوى ثقة 97%.
- حدد الخلية التي سيتم عرض نتيجة معالجة البيانات فيها. انقر على الزر "إدراج وظيفة".
- يبدو معالج الوظائف. اذهب إلى الفئة "إحصائية"وتسليط الضوء على الاسم "الثقة. القاعدة". بعد ذلك، انقر على الزر "نعم".
- تفتح نافذة الوسيطات. تتوافق حقولها بشكل طبيعي مع أسماء الوسائط.
ضع المؤشر في الحقل الأول - "ألفا". وهنا يجب أن نشير إلى مستوى الأهمية. وكما نتذكر، فإن مستوى ثقتنا هو 97%. وفي نفس الوقت قلنا أنه يتم حسابه بهذه الطريقة:(1-مستوى الثقة)/100
أي أنه بالتعويض عن القيمة نحصل على:
وبعمليات حسابية بسيطة نكتشف أن الحجة "ألفا"يساوي 0,03 . أدخل هذه القيمة في الحقل.
وكما هو معروف، بشرط الانحراف المعياري يساوي 8 . ولذلك في الميدان "الانحراف المعياري"فقط أكتب هذا الرقم.
في الميدان "مقاس"تحتاج إلى إدخال عدد عناصر الاختبار التي تم إجراؤها. كما نتذكر، بهم 12 . ولكن من أجل أتمتة الصيغة وعدم تحريرها في كل مرة نجري فيها اختبارًا جديدًا، فلنقم بتعيين هذه القيمة ليس برقم عادي، ولكن باستخدام عامل التشغيل يفحص. لذلك، دعونا نضع المؤشر في هذا المجال "مقاس"، ثم انقر فوق المثلث الموجود على يسار شريط الصيغة.
تظهر قائمة بالوظائف المستخدمة مؤخرًا. إذا كان المشغل يفحصلقد استخدمته مؤخرًا، يجب أن يكون في هذه القائمة. في هذه الحالة، تحتاج فقط إلى النقر على اسمه. وإلا، إذا لم تجده، فانتقل إلى هذه النقطة "وظائف أخرى...".
- يظهر واحد مألوف بالفعل معالج الوظائف. دعنا نعود إلى المجموعة مرة أخرى "إحصائية". نسلط الضوء على الاسم هناك "يفحص". انقر على الزر "نعم".
- تظهر نافذة الوسيطة للبيان أعلاه. تم تصميم هذه الدالة لحساب عدد الخلايا في نطاق محدد يحتوي على قيم رقمية. بناء الجملة الخاص به هو كما يلي:
الكونت (القيمة 1، القيمة 2، ...)
مجموعة الحجة "قيم"هو مرجع إلى النطاق الذي تريد حساب عدد الخلايا المملوءة بالبيانات الرقمية فيه. يمكن أن يكون هناك ما يصل إلى 255 وسيطة من هذا القبيل في المجمل، ولكن في حالتنا نحتاج إلى واحدة فقط.
ضع المؤشر في الحقل "القيمة1"ومن خلال الضغط باستمرار على زر الماوس الأيسر، حدد على الورقة النطاق الذي يحتوي على مجموعتنا. ثم سيتم عرض عنوانه في الميدان. انقر على الزر "نعم".
- بعد ذلك، سيقوم التطبيق بإجراء الحساب وعرض النتيجة في الخلية التي يوجد بها. في حالتنا الخاصة، تبدو الصيغة كما يلي:
معيار الثقة(0.03,8,COUNT(B2:B13))
وكانت النتيجة الإجمالية للحسابات 5,011609 .
- ولكن هذا ليس كل شيء. وكما نتذكر، يتم حساب حد فترة الثقة عن طريق إضافة وطرح نتيجة الحساب من متوسط العينة الثقة. نورم. وبهذه الطريقة، يتم حساب الحدود اليمنى واليسرى لفاصل الثقة، على التوالي. ويمكن حساب متوسط العينة نفسه باستخدام عامل التشغيل متوسط.
تم تصميم هذا العامل لحساب الوسط الحسابي لنطاق محدد من الأرقام. لديه بناء الجملة التالي بسيط إلى حد ما:
المتوسط (رقم 1، رقم 2،...)
دعوى "رقم"يمكن أن تكون منفصلة القيمة العدديةورابط للخلايا أو حتى النطاقات الكاملة التي تحتوي عليها.
لذا، حدد الخلية التي سيتم عرض حساب القيمة المتوسطة فيها، وانقر فوق الزر "إدراج وظيفة".
- يفتح معالج الوظائف. العودة إلى الفئة "إحصائية"وحدد اسمًا من القائمة "متوسط". كما هو الحال دائمًا، انقر فوق الزر "نعم".
- تفتح نافذة الوسيطات. ضع المؤشر في الحقل "رقم 1"والضغط باستمرار على زر الفأرة الأيسر، حدد نطاق القيم بأكمله. بعد عرض الإحداثيات في الحقل، انقر فوق الزر "نعم".
- بعد ذلك متوسطيعرض نتيجة الحساب في عنصر الورقة.
- نحن نجري عملية حسابية الحدود اليمنىفاصل الثقة. للقيام بذلك، حدد خلية منفصلة ووضع العلامة «=»
وأضف محتويات عناصر الورقة التي توجد بها نتائج حسابات الوظائف متوسطو الثقة. نورم. لإجراء الحساب، اضغط على الزر يدخل. وفي حالتنا حصلنا على الصيغة التالية:
نتيجة الحساب: 6,953276
- بنفس الطريقة نحسب الحد الأيسر لفاصل الثقة، هذه المرة فقط من نتيجة الحساب متوسططرح نتيجة حساب المشغل الثقة. نورم. الصيغة الناتجة لمثالنا هي من النوع التالي:
نتيجة الحساب: -3,06994
- لقد حاولنا وصف جميع خطوات حساب فاصل الثقة بالتفصيل، لذلك قمنا بوصف كل صيغة بالتفصيل. ولكن يمكنك الجمع بين جميع الإجراءات في صيغة واحدة. يمكن كتابة حساب الحد الأيمن لفترة الثقة على النحو التالي:
المتوسط(B2:B13)+الثقة.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
- ستبدو عملية حسابية مماثلة للحد الأيسر كما يلي:
المتوسط(B2:B13)-الثقة.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
الطريقة الثانية: الدالة TRUST.STUDENT
بالإضافة إلى ذلك، لدى Excel وظيفة أخرى مرتبطة بحساب فاصل الثقة - الوصي.الطالب. لقد ظهر فقط في Excel 2010. يقوم عامل التشغيل هذا بحساب فاصل ثقة المحتوى باستخدام توزيع الطالب. إنه مناسب جدًا للاستخدام عندما يكون التباين، وبالتالي الانحراف المعياري غير معروف. بناء جملة المشغل هو:
CONFIDENCE.STUDENT(alpha,standard_off,size)
كما ترون، ظلت أسماء المشغلين دون تغيير في هذه الحالة.
دعونا نرى كيفية حساب حدود فاصل الثقة مع انحراف معياري غير معروف باستخدام مثال نفس المجموعة السكانية التي أخذناها في الاعتبار في الطريقة السابقة. لنأخذ مستوى الثقة كما في المرة الأخيرة بنسبة 97%.
- حدد الخلية التي سيتم إجراء الحساب فيها. انقر على الزر "إدراج وظيفة".
- في المفتوحة معالج الوظائفاذهب إلى الفئة "إحصائية". حدد اسمًا "طالب موثوق". انقر على الزر "نعم".
- يتم تشغيل نافذة الوسائط للمشغل المحدد.
في الميدان "ألفا"وبما أن نسبة الثقة 97% نكتب الرقم 0,03 . للمرة الثانية لن نتناول مبادئ حساب هذه المعلمة.
بعد ذلك، ضع المؤشر في الحقل "الانحراف المعياري". هذه المرة هذا المؤشر غير معروف لنا ويجب حسابه. ويتم ذلك باستخدام وظيفة خاصة - STDEV.V. لفتح نافذة هذا العامل، انقر فوق المثلث الموجود على يسار شريط الصيغة. إذا لم نجد الاسم المطلوب في القائمة التي تفتح، فانتقل إلى العنصر "وظائف أخرى...".
- يبدأ معالج الوظائف. الانتقال إلى الفئة "إحصائية"ووضع علامة على الاسم فيه "STDEV.B". ثم انقر على الزر "نعم".
- تفتح نافذة الوسيطات. مهمة المشغل STDEV.Vهو تحديد الانحراف المعياري للعينة. يبدو بناء الجملة الخاص به كما يلي:
الانحراف المعياري.ب(number1;number2;...)
ليس من الصعب تخمين هذه الحجة "رقم"هو عنوان عنصر التحديد. إذا تم وضع التحديد في مصفوفة واحدة، فيمكنك استخدام وسيطة واحدة فقط لتوفير رابط لهذا النطاق.
ضع المؤشر في الحقل "رقم 1"وكما هو الحال دائمًا، اضغط باستمرار على زر الماوس الأيسر، وحدد المجموعة. بعد الإحداثيات في الميدان، لا تتعجل للضغط على الزر "نعم"لأن النتيجة ستكون غير صحيحة. نحتاج أولاً إلى العودة إلى نافذة وسيطات المشغل الوصي.الطالبلإضافة الحجة النهائية. للقيام بذلك، انقر فوق الاسم المقابل في شريط الصيغة.
- يتم فتح نافذة الوسيطة للوظيفة المألوفة بالفعل مرة أخرى. ضع المؤشر في الحقل "مقاس". مرة أخرى، انقر فوق المثلث الذي نعرفه بالفعل للانتقال إلى اختيار العوامل. كما تفهم، نحن بحاجة إلى اسم "يفحص". منذ أن استخدمنا هذه الوظيفةعند الحساب بالطريقة السابقة فهو موجود في هذه القائمة، فما عليك سوى الضغط عليه. إذا لم تجده، فاتبع الخوارزمية الموضحة في الطريقة الأولى.
- مرة واحدة في نافذة الحجج يفحص، ضع المؤشر في الحقل "رقم 1"ومع الضغط باستمرار على زر الماوس، حدد المجموعة. ثم انقر على الزر "نعم".
- بعد ذلك، يقوم البرنامج بإجراء عملية حسابية ويعرض قيمة فاصل الثقة.
- لتحديد الحدود، سنحتاج مرة أخرى إلى حساب متوسط العينة. ولكن، بالنظر إلى أن خوارزمية الحساب تستخدم الصيغة متوسطكما في الطريقة السابقة وحتى النتيجة لم تتغير فلن نتطرق إلى هذا بالتفصيل مرة ثانية.
- إضافة نتائج الحساب متوسطو الوصي.الطالب، نحصل على الحد الصحيح لفترة الثقة.
- الطرح من نتائج الحساب للمشغل متوسطنتيجة الحساب الوصي.الطالب، لدينا الحد الأيسر لفترة الثقة.
- إذا تمت كتابة الحساب في صيغة واحدة، فإن حساب الحد الأيمن في حالتنا سيبدو كما يلي:
المتوسط(B2:B13)+الثقة.الطالب(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))
- وبناء على ذلك، فإن صيغة حساب الحد الأيسر ستبدو كما يلي:
المتوسط(B2:B13)-الثقة.الطالب(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))
كما ترون، الأدوات برامج اكسلتجعل من الممكن تبسيط حساب فترة الثقة وحدودها بشكل كبير. ولهذه الأغراض، يتم استخدام عوامل تشغيل منفصلة للعينات التي يكون تباينها معروفًا وغير معروف.
هدف– تعليم الطلاب خوارزميات حساب فترات الثقة للمعلمات الإحصائية.
عند معالجة البيانات إحصائيًا، يجب أن يتلقى المتوسط الحسابي المحسوب ومعامل التباين ومعامل الارتباط ومعايير الفرق وإحصائيات النقاط الأخرى حدود ثقة كمية، والتي تشير إلى التقلبات المحتملة للمؤشر في اتجاهات أصغر وأكبر خلال فترة الثقة.
مثال 3.1
.
يتميز توزيع الكالسيوم في مصل دم القرود، كما تم تحديده مسبقًا، بمؤشرات العينة التالية: = 11.94 ملجم٪؛ 
= 0.127 ملغ%؛ ن= 100. مطلوب تحديد فترة الثقة للمعدل العام ( 
) مع احتمال الثقة ص
= 0,95.
يقع المتوسط العام مع احتمال معين في الفترة:
، أين 
- المتوسط الحسابي للعينة؛ ر- اختبار الطالب؛ 
– خطأ في الوسط الحسابي .
باستخدام جدول "قيم اختبار t للطالب" نجد القيمة
باحتمال ثقة 0.95 وعدد درجات الحرية ك= 100-1 = 99. ويساوي 1.982. جنبا إلى جنب مع قيم الوسط الحسابي والخطأ الإحصائي، نستبدله في الصيغة:
أو 11.69 
12,19
وبذلك وباحتمال 95% يمكن القول أن المتوسط العام لهذا التوزيع الطبيعي يتراوح بين 11.69 و12.19 مليجرام%.
مثال 3.2
. حدد حدود فترة الثقة 95% لـ التباين العام (
) توزيع الكالسيوم في دم القرود إذا عرف ذلك 
= 1.60، عند ن
= 100.
لحل المشكلة يمكنك استخدام الصيغة التالية:
أين 
- الخطأ الإحصائي للتشتت.
نجد خطأ تباين العينات باستخدام الصيغة: 
. وهو يساوي 0.11. معنى ر- معيار احتمال الثقة 0.95 وعدد درجات الحرية ك= 100–1 = 99 معروف من المثال السابق.
دعنا نستخدم الصيغة ونحصل على:
أو 1.38 
1,82
وبشكل أكثر دقة، يمكن بناء فترة الثقة للتباين العام باستخدام 
(مربع كاي) - اختبار بيرسون. وترد النقاط الحرجة لهذا المعيار في جدول خاص. عند استخدام المعيار 
لبناء فاصل الثقة، يتم استخدام مستوى الأهمية على الوجهين. بالنسبة للحد الأدنى، يتم حساب مستوى الأهمية باستخدام الصيغة 
، للأعلى – 
. على سبيل المثال، لمستوى الثقة 
=
0,99
= 0,010,
= 0.990. وعليه حسب جدول توزيع القيم الحرجة 
مع مستويات الثقة المحسوبة وعدد درجات الحرية ك= 100 – 1= 99، أوجد القيم 
و 
. نحن نحصل 
يساوي 135.80، و 
يساوي 70.06.
لإيجاد حدود الثقة للتباين العام باستخدام 
دعونا نستخدم الصيغ: للحد الأدنى 
، للحد الأعلى 
. لنستبدل القيم الموجودة ببيانات المشكلة 
في الصيغ: 
=
1,17;
= 2.26. وهكذا، مع احتمال الثقة ص= 0.99 أو 99% تباين عام سيقع في النطاق من 1.17 إلى 2.26 ملجم% شاملاً.
مثال 3.3 . من بين 1000 بذرة قمح من الدفعة التي تم استلامها في المصعد، تم العثور على 120 بذرة مصابة بالإرجوت. ومن الضروري تحديد الحدود المحتملة للنسبة العامة للبذور المصابة في دفعة معينة من القمح.
يُنصح بتحديد حدود الثقة للحصة العامة لجميع قيمها المحتملة باستخدام الصيغة:
,
أين ن - عدد الملاحظات؛ م- الحجم المطلق لإحدى المجموعات؛ ر- الانحراف الطبيعي.
نسبة العينة من البذور المصابة 
أو 12%. مع احتمال الثقة ر= 95% انحراف طبيعي ( ر-اختبار الطالب في ك
=
)ر
= 1,960.
نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:
ومن ثم فإن حدود فترة الثقة تساوي 
= 0.122–0.041 = 0.081 أو 8.1%؛ 
= 0.122 + 0.041 = 0.163 أو 16.3%.
وبذلك وباحتمال ثقة 95% يمكن القول أن النسبة العامة للبذور المصابة تتراوح بين 8.1 و16.3%.
مثال 3.4 . وكان معامل التباين الذي يميز تباين الكالسيوم (ملجم%) في مصل دم القرود يساوي 10.6%. حجم العينة ن= 100. من الضروري تحديد حدود فترة الثقة 95% للمعلمة العامة السيرة الذاتية.
حدود فترة الثقة للمعامل العام للتباين السيرة الذاتية يتم تحديدها من خلال الصيغ التالية:
و 
، أين ك
القيمة المتوسطة المحسوبة بواسطة الصيغة 
.
مع العلم أن مع احتمال الثقة ر= 95% انحراف طبيعي (اختبار الطالب في ك
=
)ر
= 1.960، فلنحسب القيمة أولًا ل:
.
أو 9.3%
أو 12.3%
وبالتالي، فإن معامل الاختلاف العام بمستوى ثقة 95% يقع في النطاق من 9.3 إلى 12.3%. ومع تكرار العينات فإن معامل الاختلاف لن يتجاوز 12.3% ولن يقل عن 9.3% في 95 حالة من أصل 100.
أسئلة لضبط النفس:
مشاكل للحل المستقل.
1. كان متوسط نسبة الدهون في الحليب أثناء الرضاعة لأبقار هجين خلموغوري كما يلي: 3.4؛ 3.6؛ 3.2؛ 3.1؛ 2.9؛ 3.7؛ 3.2؛ 3.6؛ 4.0; 3.4؛ 4.1؛ 3.8؛ 3.4؛ 4.0; 3.3؛ 3.7؛ 3.5؛ 3.6؛ 3.4؛ 3.8. إنشاء فترات ثقة للمتوسط العام عند مستوى ثقة 95% (20 نقطة).
2. في 400 نبات جاودار هجين، ظهرت الأزهار الأولى في المتوسط بعد 70.5 يومًا من الزراعة. وكان الانحراف المعياري 6.9 يوما. تحديد خطأ المتوسط وفترات الثقة للمتوسط العام والتباين عند مستوى الأهمية دبليو= 0.05 و دبليو= 0.01 (25 نقطة).
3. عند دراسة طول أوراق 502 عينة من فراولة الحديقة تم الحصول على البيانات التالية:
= 7.86 سم؛ σ = 1.32 سم، 
=± 0.06 سم تحديد فترات الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع بمستويات دلالة 0.01؛ 0.02؛ 0.05. (25 نقطة).
4. في دراسة أجريت على 150 رجلاً بالغًا، كان متوسط الطول 167 سم، و σ = 6 سم ما هي حدود المتوسط العام والتشتت العام باحتمال ثقة 0.99 و 0.95؟ (25 نقطة).
5. يتميز توزيع الكالسيوم في مصل دم القرود بالمؤشرات الانتقائية التالية:
= 11.94 ملجم%، σ
= 1,27, ن
= 100. أنشئ فترة ثقة 95% للمتوسط العام لهذا التوزيع. احسب معامل الاختلاف (25 نقطة).
6. تمت دراستها المحتوى العامالنيتروجين في بلازما الدم لدى الجرذان البيضاء بعمر 37 و 180 يومًا. يتم التعبير عن النتائج بالجرام لكل 100 سم 3 من البلازما. في عمر 37 يومًا، كان لدى 9 فئران: 0.98؛ 0.83؛ 0.99؛ 0.86؛ 0.90؛ 0.81؛ 0.94؛ 0.92؛ 0.87. في عمر 180 يومًا، كان لدى 8 فئران: 1.20؛ 1.18؛ 1.33؛ 1.21؛ 1.20؛ 1.07؛ 1.13؛ 1.12. قم بتعيين فترات الثقة للفرق عند مستوى ثقة 0.95 (50 نقطة).
7. تحديد حدود فترة الثقة 95% للتباين العام لتوزيع الكالسيوم (مجم%) في مصل دم القردة، إذا كان حجم العينة لهذا التوزيع ن = 100، خطأ إحصائي لتباين العينة س σ 2 = 1.60 (40 نقطة).
8. تحديد حدود فترة الثقة 95% للتباين العام لتوزيع 40 سنيبلة قمح على طول (σ 2 = 40.87 مم2). (25 نقطة).
9. يعتبر التدخين العامل الرئيسي الذي يؤدي إلى الإصابة بأمراض الانسداد الرئوي. ولا يعتبر التدخين السلبي عاملاً من هذا القبيل. شكك العلماء في عدم ضرر التدخين السلبي وفحصوا النفاذية الجهاز التنفسيلدى غير المدخنين، المدخنين السلبيين والنشطين. لتوصيف حالة الجهاز التنفسي، أخذنا أحد مؤشرات الوظيفة التنفس الخارجي– الحد الأقصى لمعدل التدفق في منتصف الزفير. الانخفاض في هذا المؤشر هو علامة على انسداد مجرى الهواء. وتظهر بيانات المسح في الجدول.
|
عدد الأشخاص الذين تم فحصهم |
الحد الأقصى لمعدل التدفق في منتصف الزفير، لتر/ثانية |
||
|
الانحراف المعياري |
|||
|
غير المدخنين |
|||
|
العمل في منطقة خالية من التدخين | |||
|
العمل في غرفة مدخنة | |||
|
التدخين |
|||
|
تدخين عدد قليل من السجائر | |||
|
متوسط عدد مدخني السجائر | |||
|
تدخين عدد كبير من السجائر | |||
باستخدام بيانات الجدول، أوجد فواصل الثقة 95% للمتوسط الإجمالي والتباين الإجمالي لكل مجموعة. ما هي الاختلافات بين المجموعات؟ اعرض النتائج بيانياً (25 نقطة).
10. تحديد حدود فترات الثقة 95% و 99% للتباين العام في عدد الخنازير في 64 مزرعة إذا كان الخطأ الإحصائي لتباين العينة س σ 2 = 8.25 (30 نقطة).
11. من المعروف أن متوسط وزن الأرانب 2.1 كجم. حدد حدود فترات الثقة 95% و99% للمتوسط العام والتباين عند ن= 30، σ = 0.56 كجم (25 نقطة).
12. تم قياس محتوى الحبوب في الأذن لـ 100 سنبلة ( X)، طول الأذن ( ي) وكتلة الحبوب في السنبل ( ز). أوجد فترات الثقة للمتوسط العام والتباين عند ص 1
= 0,95, ص 2
= 0,99, ص 3
= 0.999 إذا
= 19، = 6.766 سم، = 0.554 جم؛ σ x 2 = 29.153، σ y 2 = 2.111، σ z 2 = 0.064. (25 نقطة).
13. في 100 سنبلة من القمح الشتوي تم اختيارها عشوائياً، تم حساب عدد السنيبلات. وقد تميز مجتمع العينة بالمؤشرات التالية:
= 15 سنيبلات و σ = 2.28 قطعة. تحديد مدى دقة الحصول على النتيجة المتوسطة ( 
) وإنشاء فاصل ثقة للمتوسط العام والتباين عند مستويات أهمية 95% و99% (30 نقطة).
14. عدد الأضلاع الموجودة على أصداف الرخويات الأحفورية أورثامبونيت calligramma:
ومن المعروف أن ن = 19, σ = 4.25. تحديد حدود فترة الثقة للمتوسط العام والتباين العام عند مستوى الأهمية دبليو = 0.01 (25 نقطة).
15. لتحديد إنتاجية الحليب في مزرعة ألبان تجارية، تم تحديد إنتاجية 15 بقرة يومياً. وفقا لبيانات العام، أعطت كل بقرة في المتوسط الكمية التالية من الحليب يوميا (لتر): 22؛ 19؛ 25؛ 20؛ 27؛ 17؛ ثلاثون؛ 21؛ 18؛ 24؛ 26؛ 23؛ 25؛ 20؛ 24. بناء فترات الثقة للتباين العام والوسط الحسابي. هل يمكننا أن نتوقع أن يكون متوسط إنتاج الحليب السنوي لكل بقرة 10000 لتر؟ (50 نقطة).
16. من أجل تحديد متوسط إنتاجية القمح للمشروع الزراعي، تم إجراء عملية الحش على قطع أراضي تجريبية بمساحات 1، 3، 2، 5، 2، 6، 1، 3، 2، 11 و2 هكتار. بلغت الإنتاجية (ج/هك) من قطع الأراضي 39.4؛ 38؛ 35.8؛ 40؛ 35؛ 42.7؛ 39.3؛ 41.6؛ 33؛ 42؛ 29 على التوالي. بناء فترات الثقة للتباين العام والمتوسط الحسابي. هل يمكننا أن نتوقع أن متوسط الإنتاج الزراعي سيكون 42 سنت/هك؟ (50 نقطة).
يأتي فاصل الثقة إلينا من مجال الإحصاء. هذا نطاق معين يعمل على تقدير معلمة غير معروفة بدرجة عالية من الموثوقية. أسهل طريقة لشرح ذلك هي بمثال.
لنفترض أنك بحاجة إلى دراسة بعض المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال، سرعة استجابة الخادم لطلب العميل. في كل مرة يقوم المستخدم بكتابة عنوان موقع معين، يستجيب الخادم بسرعات مختلفة. وبالتالي فإن زمن الاستجابة قيد الدراسة عشوائي. لذا، يسمح لنا فاصل الثقة بتحديد حدود هذه المعلمة، وبعد ذلك يمكننا القول أنه مع احتمال 95%، سيكون الخادم في النطاق الذي حسبناه.
أو تحتاج إلى معرفة عدد الأشخاص الذين يعرفون ذلك علامة تجاريةشركات. عند حساب فاصل الثقة، سيكون من الممكن القول، على سبيل المثال، أنه مع احتمال 95% فإن حصة المستهلكين الذين يدركون ذلك تتراوح بين 27% إلى 34%.
ترتبط الكمية ارتباطًا وثيقًا بهذا المصطلح احتمال الثقة. وهو يمثل احتمال إدراج المعلمة المطلوبة في فاصل الثقة. يعتمد حجم النطاق المطلوب على هذه القيمة. كلما كانت القيمة أكبر، كلما أصبح فاصل الثقة أضيق، والعكس صحيح. عادةً ما يتم ضبطه على 90% أو 95% أو 99%. القيمة 95% هي الأكثر شعبية.
ويتأثر هذا المؤشر أيضًا بتشتت الملاحظات ويعتمد تعريفه على افتراض أن الخاصية قيد الدراسة تخضع، ويعرف هذا البيان أيضًا بقانون غاوس. ووفقا له، الطبيعي هو توزيع جميع احتمالات المتغير العشوائي المستمر الذي يمكن وصفه بكثافة الاحتمال. إذا كان الافتراض حول التوزيع الطبيعيإذا تبين أنه خاطئ، فقد يكون التقييم غير صحيح.
أولاً، دعونا نتعرف على كيفية حساب فاصل الثقة. هناك حالتان محتملتان هنا. التشتت (درجة انتشار المتغير العشوائي) قد يكون أو لا يكون معروفًا. إذا كان معروفًا، فسيتم حساب فترة الثقة لدينا باستخدام الصيغة التالية:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - علامة،
t - معلمة من جدول توزيع لابلاس،
σ هو الجذر التربيعي للتباين.
إذا كان التباين غير معروف فيمكن حسابه إذا عرفنا جميع قيم الميزة المطلوبة. يتم استخدام الصيغة التالية لهذا:
σ2 = н2сн - (xсн)2، حيث
kh2сп - متوسط قيمة مربعات الخاصية المدروسة،
(×)2 هو مربع هذه الخاصية.
تتغير الصيغة التي يتم من خلالها حساب فاصل الثقة في هذه الحالة قليلاً:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - متوسط العينة،
α - علامة،
t عبارة عن معلمة تم العثور عليها باستخدام جدول توزيع الطلاب t = t(ɣ;n-1)،
sqrt(n) - الجذر التربيعي لإجمالي حجم العينة،
s هو الجذر التربيعي للتباين.
النظر في هذا المثال. لنفترض أنه بناءً على نتائج 7 قياسات، تم تحديد الخاصية المدروسة بأنها تساوي 30 وتباين العينة يساوي 36. من الضروري إيجاد، باحتمال 99%، فترة ثقة تحتوي على القيمة الحقيقية قيمة المعلمة المقاسة.
أولاً، دعونا نحدد ما يساوي t: t = t (0.99; 7-1) = 3.71. باستخدام الصيغة أعلاه نحصل على:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (جذر(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
يتم حساب فاصل الثقة للتباين في حالة وجود متوسط معروف وعندما لا توجد بيانات عن التوقع الرياضي، ولا تُعرف سوى قيمة النقطة التقديرية غير المتحيزة للتباين. لن نعطي صيغ لحسابها هنا، لأنها معقدة للغاية، وإذا رغبت في ذلك، يمكن العثور عليها دائما على الإنترنت.
دعونا نلاحظ فقط أنه من المناسب تحديد فاصل الثقة باستخدام برنامج Excel أو خدمة الشبكة، والتي تسمى بهذه الطريقة.
