5.2. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع
للوهلة الأولى، قد يبدو أنه لتحديد متغير عشوائي منفصل يكفي إدراج جميع قيمه المحتملة. في الواقع، الأمر ليس كذلك: يمكن للمتغيرات العشوائية أن تحتوي على نفس القوائم القيم الممكنة، واحتمالاتها مختلفة. لذلك، لتحديد متغير عشوائي منفصل، لا يكفي إدراج جميع قيمه المحتملة، بل تحتاج أيضًا إلى الإشارة إلى احتمالاتها.
قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصلاستدعاء المراسلات بين القيم المحتملة واحتمالاتها؛ ويمكن تحديدها بشكل جدولي وتحليلي (في شكل صيغة) ورسوم بيانية.
تعريف.أي قاعدة (جدول، دالة، رسم بياني) تسمح لك بإيجاد احتمالات الأحداث العشوائية أ س (س- - جبر الأحداث في الفضاء )، على وجه الخصوص، يشير إلى احتمالات القيم الفردية لمتغير عشوائي أو مجموعة من هذه القيم، ويسمى قانون التوزيع المتغير العشوائي(أو ببساطة: توزيع). حول إس. يقولون أنه "يخضع لقانون توزيع معين".
يترك X– d.s.v.، الذي يأخذ القيم X 1 , X 2 , …, س ن،… (مجموعة هذه القيم منتهية أو قابلة للعد) مع بعض الاحتمال ص أنا، أين أنا = 1,2,…, ن،… قانون التوزيع d.s.v. مريحة للضبط باستخدام الصيغة ص أنا = ص{X = س أنا)أين أنا = 1,2,…, ن،...، الذي يحدد احتمالية أنه نتيجة للتجربة r.v. Xسوف تأخذ القيمة س أنا. ل d.s.v. Xيمكن إعطاء قانون التوزيع في النموذج جداول التوزيع:
|
س ن | |||||
|
ر ن |
عند تحديد قانون توزيع متغير عشوائي منفصل في الجدول، يحتوي الصف الأول من الجدول على القيم المحتملة، والثاني - احتمالاتها. يسمى هذا الجدول بالقرب من التوزيع.
مع الأخذ في الاعتبار أنه في تجربة واحدة يأخذ المتغير العشوائي قيمة واحدة فقط، نستنتج أن الأحداث X = س 1 , X = س 2 , ..., X = س نتشكيل مجموعة كاملة؛ وبالتالي فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث، أي. مجموع احتمالات الصف الثاني من الجدول يساوي واحدًا، أي .
إذا كانت مجموعة القيم الممكنة Xإلى ما لا نهاية (معدودة)، ثم السلسلة ر 1 + ر 2 + ... متقاربان ومجموعهما يساوي واحدًا.
مثال.تم إصدار 100 تذكرة لليانصيب النقدي. يتم سحب فوز واحد بقيمة 50 روبل. وعشرة مكاسب من 1 فرك. أوجد قانون توزيع المتغير العشوائي X– تكلفة المكاسب المحتملة لصاحب تذكرة يانصيب واحدة.
حل.دعونا نكتب القيم المحتملة X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. احتمالات هذه القيم المحتملة هي: ر 1 = 0,01, ر 2 = 0,01, ر 3 = 1 – (ر 1 + ر 2)=0,89.
دعونا نكتب قانون التوزيع المطلوب:
التحكم: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.
مثال.يوجد في الجرة 8 كرات، 5 منها بيضاء والباقي سوداء. يتم سحب 3 كرات عشوائيا منه. أوجد قانون توزيع عدد الكرات البيضاء في العينة.
حل.القيم المحتملة لـ r.v. X– وجود أعداد من الكرات البيضاء في العينة X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. ستكون احتمالاتهم وفقًا لذلك
;
;
.
دعونا نكتب قانون التوزيع على شكل جدول.
|
|
|
|
|
يتحكم: 
.
قانون التوزيع d.s.v. يمكن تحديدها بيانياً إذا تم رسم القيم المحتملة لـ r.v على محور الإحداثي، وتم رسم احتمالات هذه القيم على المحور الإحداثي. خط متقطع يربط النقاط على التوالي ( X 1 , ر 1), (X 2 , ر 2)... دعا مضلع(أو مضلع) توزيع(انظر الشكل 5.1).
أرز. 5.1. مضلع التوزيع
الآن يمكنك إعطاء المزيد تعريف دقيق d.s.v.
تعريف.قيمة عشوائية X منفصل، إذا كان هناك مجموعة محدودة أو قابلة للعد من الأرقام X 1 , X 2،...كذلك ص{X = س أنا } = ص أنا > 0 (أنا= 1،2،...) و ص 1 + ص 2 + ر 3 +… = 1.
دعونا نحدد العمليات الرياضية على r.v المنفصلة.
تعريف.كمية (اختلاف, عمل) د.س.ف. X، أخذ القيم س أنامع الاحتمالات ص أنا = ص{X = س أنا }, أنا = 1, 2, …, ن، و د.س.ف. ي، أخذ القيم ذ ي مع الاحتمالات ص ي = ص{ي = ذ ي }, ي = 1, 2, …, م، يسمى d.s.v. ز = X + ي (ز = X – ي, ز = X ي)، أخذ القيم ض اي جاي = س أنا + ذ ي (ض اي جاي = س أنا – ذ ي , ض اي جاي = س أنا ذ ي) مع الاحتمالات ص اي جاي = ص{X = س أنا , ي = ذ ي) لجميع القيم المحددة أناو ي. إذا تطابقت بعض المبالغ س أنا + ذ ي (اختلافات س أنا – ذ ييعمل س أنا ذ ي) تتم إضافة الاحتمالات المقابلة.
تعريف.عمل d.s.v. على أعداددعا d.s.v. cX، أخذ القيم معس أنامع الاحتمالات ص أنا = ص{X = س أنا }.
تعريف.اثنان د.س.ف. Xو يوتسمى مستقلإذا الأحداث ( X = س أنا } = أ أناو ( ي = ذ ي } = ب يمستقلة عن أي أنا = 1, 2, …, ن, ي = 1, 2, …, م، إنه
خلاف ذلك ر.ف. مُسَمًّى متكل. عدة r.v. تسمى مستقلة بشكل متبادل إذا كان قانون التوزيع لأي منها لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها الكميات الأخرى.
دعونا نفكر في العديد من قوانين التوزيع الأكثر استخدامًا.
في قسم الدورة المخصص للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، قدمنا بالفعل مفهومًا بالغ الأهمية للمتغير العشوائي. هنا سوف نعطي مزيد من التطويرهذا المفهوم وبيان الطرق التي يمكن من خلالها وصف وتوصيف المتغيرات العشوائية.
كما ذكرنا سابقًا، فإن المتغير العشوائي هو الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولكن من غير المعروف مسبقًا أي منها. واتفقنا أيضًا على التمييز بين المتغيرات العشوائية المستمرة (المنفصلة) و نوع مستمر. يمكن إدراج القيم المحتملة للكميات المتقطعة مسبقًا. لا يمكن إدراج القيم المحتملة للكميات المستمرة مسبقًا وتسد فجوة معينة بشكل مستمر.
أمثلة على المتغيرات العشوائية المتقطعة:
1) عدد مرات ظهور شعار النبالة خلال ثلاث رميات للعملة المعدنية (القيم المحتملة 0، 1، 2، 3)؛
2) تكرار ظهور شعار النبالة في نفس التجربة (القيم المحتملة)؛
3) عدد العناصر الفاشلة في جهاز يتكون من خمسة عناصر (القيم المحتملة هي 0، 1، 2، 3، 4، 5)؛
4) عدد الضربات على الطائرة الكافية لتعطيلها (القيم المحتملة 1، 2، 3، ...، ن، ...)؛
5) عدد الطائرات التي تم إسقاطها في القتال الجوي (القيم المحتملة 0، 1، 2، ...، N، حيث إجمالي عدد الطائرات المشاركة في المعركة).
أمثلة على المتغيرات العشوائية المستمرة:
1) الإحداثي الإحداثي لنقطة التأثير عند إطلاق النار؛
2) المسافة من نقطة التأثير إلى مركز الهدف؛
3) خطأ في قياس الارتفاع؛
4) وقت التشغيل الخالي من الفشل لأنبوب الراديو.
ولنتفق فيما يلي على الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف الكبيرة، وقيمها المحتملة بالأحرف الصغيرة المقابلة لها. على سبيل المثال، - عدد الضربات بثلاث طلقات؛ القيم الممكنة: .
دعونا نفكر في متغير عشوائي متقطع مع القيم المحتملة. كل قيمة من هذه القيم ممكنة ولكنها غير مؤكدة، والقيمة X يمكن أن تأخذ كل واحدة منها مع بعض الاحتمال. ونتيجة التجربة فإن القيمة X ستأخذ إحدى هذه القيم، أي. سيحدث أحد المجموعة الكاملة من الأحداث غير المتوافقة:
دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحروف p مع المؤشرات المقابلة:
وبما أن الأحداث غير المتوافقة (5.1.1) تشكل مجموعة كاملة، إذن
أولئك. مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي يساوي واحدًا. يتم توزيع هذا الاحتمال الإجمالي بطريقة ما بين القيم الفردية. سيتم وصف المتغير العشوائي بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية إذا حددنا هذا التوزيع، أي. دعونا نشير بالضبط إلى احتمالية كل حدث (5.1.1). وبهذا سنؤسس ما يسمى بقانون توزيع المتغير العشوائي.
قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. سنقول عن المتغير العشوائي أنه يخضع لقانون توزيع معين.
دعونا نحدد الشكل الذي يمكن من خلاله تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي متقطع. أبسط شكلتعريف هذا القانون عبارة عن جدول يسرد القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها:
سوف نسمي هذا الجدول سلسلة توزيع لمتغير عشوائي.
لإعطاء سلسلة التوزيع مظهرًا أكثر وضوحًا، غالبًا ما يلجأون إلى تمثيلها الرسومي: يتم رسم القيم المحتملة للمتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، ويتم رسم احتمالات هذه القيم على طول المحور الإحداثي. من أجل الوضوح، يتم توصيل النقاط الناتجة عن طريق قطاعات مستقيمة. يسمى هذا الشكل مضلع التوزيع (الشكل 5.1.1). مضلع التوزيع، مثل سلسلة التوزيع، يميز المتغير العشوائي بشكل كامل؛ إنه أحد أشكال قانون التوزيع.
في بعض الأحيان يكون ما يسمى بالتفسير "الميكانيكي" لسلسلة التوزيع مناسبًا. دعونا نتخيل أن كتلة معينة تساوي واحدًا يتم توزيعها على طول محور الإحداثي السيني بحيث تتركز الكتل في نقاط فردية، على التوالي. ثم يتم تفسير سلسلة التوزيع على أنها نظام من النقاط المادية مع وجود بعض الكتل على محور الإحداثي السيني.
دعونا نفكر في عدة أمثلة للمتغيرات العشوائية المتقطعة مع قوانين التوزيع الخاصة بها.
مثال 1. تم إجراء تجربة واحدة قد يظهر فيها الحدث أو لا يظهر. احتمال الحدث هو 0.3. يتم اعتبار المتغير العشوائي - عدد تكرارات حدث ما في تجربة معينة (أي متغير عشوائي مميز لحدث ما، يأخذ القيمة 1 إذا ظهر، و0 إذا لم يظهر). إنشاء سلسلة توزيع ومضلع توزيع الحجم.
حل. تحتوي القيمة على قيمتين فقط: 0 و1.
يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.2.
مثال 2. يطلق مطلق النار ثلاث طلقات على الهدف. احتمال إصابة الهدف بكل طلقة هو 0.4. لكل ضربة يحصل مطلق النار على 5 نقاط. بناء سلسلة توزيع لعدد النقاط المسجلة.
حل. دعونا نشير إلى عدد النقاط المسجلة. القيم الممكنة: .
نجد احتمالية هذه القيم باستخدام نظرية تكرار التجارب:
سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:
يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.3.
مثال 3. احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة يساوي . يتم إجراء سلسلة من التجارب المستقلة، والتي تستمر حتى وقوع الحدث لأول مرة، وبعد ذلك يتم إيقاف التجارب. متغير عشوائي – عدد التجارب المنجزة. بناء سلسلة توزيع القيمة.
حل. القيم المحتملة: 1، 2، 3، ... (من الناحية النظرية ليست محدودة بأي شيء). لكي تأخذ الكمية القيمة 1، من الضروري أن يقع الحدث في التجربة الأولى؛ احتمال هذا متساوي. لكي تأخذ الكمية القيمة 2، من الضروري ألا يظهر الحدث في التجربة الأولى، بل يظهر في الثانية؛ احتمال ذلك يساوي ، أين ، إلخ. سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:
تظهر الإحداثيات الخمسة الأولى لمضلع التوزيع للحالة في الشكل. 5.1.4.
مثال 4. يطلق مطلق النار النار على الهدف حتى الإصابة الأولى، بأربع طلقات من الذخيرة. احتمال الإصابة لكل طلقة هو 0.6. إنشاء سلسلة توزيع لكمية الذخيرة المتبقية غير المنفقة.
حل. المتغير العشوائي - عدد الخراطيش غير المنفقة - له أربع قيم محتملة: 0، 1، 2 و 3. احتمالات هذه القيم متساوية على التوالي:
سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:
يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.5.
مثال 5. يمكن استخدام جهاز تقني في ظروف مختلفة، وبناءً على ذلك، يتطلب التعديل من وقت لآخر. عند استخدام الجهاز مرة واحدة، قد يدخل بشكل عشوائي في وضع مناسب أو غير مناسب. في الوضع المفضل، يمكن للجهاز أن يتحمل ثلاثة استخدامات دون تعديل؛ قبل الرابع يجب تعديله. في الوضع غير المناسب، يجب ضبط الجهاز بعد الاستخدام الأول. احتمال وقوع الجهاز في وضع مناسب هو 0.7، واحتمال وقوعه في وضع غير مناسب هو 0.3. يتم أخذ المتغير العشوائي في الاعتبار - عدد استخدامات الجهاز قبل التعديل. بناء سلسلة توزيعها.
حل. يحتوي المتغير العشوائي على ثلاث قيم محتملة: 1 و 2 و 3. احتمال أن، يساوي احتمال أن يقع الجهاز في وضع غير مناسب في المرة الأولى التي يتم فيها استخدام الجهاز، أي. . لكي تأخذ القيمة القيمة 2، يجب أن يكون الجهاز في وضع مناسب أثناء الاستخدام الأول، وفي وضع غير مناسب أثناء الاستخدام الثاني؛ احتمالية هذا 
. لكي تأخذ القيمة القيمة 3، يجب أن يكون الجهاز في الوضع المناسب في أول مرتين (بعد المرة الثالثة، لا يزال يتعين ضبطه). احتمال هذا متساوي 
.
سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:
يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.6.
وظيفة التوزيع
في العدد السابق قدمنا سلسلة التوزيع كخاصية شاملة (قانون التوزيع) لمتغير عشوائي متقطع. إلا أن هذه الخاصية ليست عالمية؛ إنه موجود فقط للمتغيرات العشوائية المتقطعة. ومن السهل أن نرى أنه من المستحيل بناء مثل هذه الخاصية لمتغير عشوائي مستمر. في الواقع، يحتوي المتغير العشوائي المستمر على عدد لا نهائي من القيم المحتملة، مما يملأ فترة زمنية معينة بالكامل (ما يسمى بـ "المجموعة القابلة للعد"). من المستحيل إنشاء جدول يسرد جميع القيم الممكنة لمثل هذا المتغير العشوائي. علاوة على ذلك، كما سنرى لاحقًا، فإن كل قيمة فردية للمتغير العشوائي المستمر عادة لا يكون لها أي احتمال غير الصفر. وبالتالي، بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر لا توجد سلسلة توزيع بالمعنى الذي توجد به للمتغير غير المستمر. ومع ذلك، فإن المجالات المختلفة للقيم المحتملة للمتغير العشوائي لا تزال غير محتملة على قدم المساواة، وبالنسبة للمتغير المستمر يوجد "توزيع احتمالي"، على الرغم من أنه ليس بنفس المعنى كما هو الحال بالنسبة للمتغير المستمر.
لتوصيف هذا التوزيع الاحتمالي كميًا، من المناسب استخدام عدم احتمالية الحدث، واحتمالية الحدث، حيث يوجد بعض المتغيرات الحالية. من الواضح أن احتمال هذا الحدث يعتمد على وجود وظيفة ما. تسمى هذه الدالة دالة توزيع المتغير العشوائي ويرمز لها بالرمز التالي:
. (5.2.1)
تسمى دالة التوزيع أحيانًا أيضًا بوظيفة التوزيع التراكمي أو قانون التوزيع التراكمي.
دالة التوزيع هي الخاصية الأكثر عالمية للمتغير العشوائي. إنه موجود لجميع المتغيرات العشوائية: المتقطعة والمستمرة. تصف دالة التوزيع بشكل كامل المتغير العشوائي من وجهة نظر احتمالية، أي. هو أحد أشكال قانون التوزيع.
دعونا صياغة بعض الخصائص العامة لوظيفة التوزيع.
1. دالة التوزيع هي دالة غير تناقصية لوسيطتها، أي. في .
2. عند علامة ناقص اللانهاية، تكون دالة التوزيع تساوي الصفر: .
3. عند علامة الزائد اللانهاية، تكون دالة التوزيع تساوي واحدًا: .
وبدون تقديم دليل صارم على هذه الخصائص، سنقوم بتوضيحها باستخدام تفسير هندسي بصري. للقيام بذلك، سننظر إلى المتغير العشوائي كنقطة عشوائية على محور الثور (الشكل 5.2.1)، والتي نتيجة للتجربة يمكن أن تتخذ موضعًا أو آخر. ثم دالة التوزيع هي احتمال سقوط نقطة عشوائية نتيجة التجربة على يسار النقطة.
سنزيد، أي تحريك النقطة إلى اليمين على طول محور الإحداثي السيني. من الواضح، في هذه الحالة، أن احتمال سقوط نقطة عشوائية إلى اليسار لا يمكن أن ينخفض؛ ولذلك فإن دالة التوزيع لا يمكن أن تتناقص مع الزيادة.
للتأكد من ذلك، سنقوم بتحريك النقطة إلى اليسار على طول الإحداثي الإحداثي إلى أجل غير مسمى. في هذه الحالة، يصبح ضرب نقطة عشوائية إلى اليسار في الحد حدثا مستحيلا؛ ومن الطبيعي الاعتقاد بأن احتمالية هذا الحدث تميل إلى الصفر، أي. .
وبطريقة مماثلة، عند تحريك النقطة إلى اليمين دون حد، نتأكد من ذلك، حيث يصبح الحدث موثوقًا في الحد.
الرسم البياني لوظيفة التوزيع الحالة العامةعبارة عن رسم بياني لدالة غير متناقصة (الشكل 5.2.2)، تبدأ قيمها من 0 وتصل إلى 1، وفي نقاط معينة قد يكون للدالة قفزات (انقطاعات).
بمعرفة سلسلة التوزيع لمتغير عشوائي متقطع، يمكن بسهولة بناء دالة التوزيع لهذا المتغير. حقًا،
,
حيث تشير عدم المساواة تحت علامة المجموع إلى أن الجمع ينطبق على كل تلك القيم التي تكون أقل من .
عندما يمر المتغير الحالي بأي من القيم المحتملة للقيمة المتقطعة، تتغير دالة التوزيع فجأة، ويكون حجم القفزة مساويًا لاحتمال هذه القيمة.
مثال 1. تم إجراء تجربة واحدة قد يظهر فيها الحدث أو لا يظهر. احتمال الحدث هو 0.3. متغير عشوائي – عدد مرات حدوث حدث في التجربة (المتغير العشوائي المميز للحدث). بناء وظيفة التوزيع الخاصة بها.
التجربة هي أي تنفيذ لشروط وإجراءات معينة يتم في ظلها ملاحظة الظاهرة العشوائية التي تتم دراستها. يمكن وصف التجارب نوعيا وكميا. الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولا يعرف مقدما أي منها.
ويرمز للمتغيرات العشوائية عادة (X,Y,Z) والقيم المقابلة لها (x,y,z)
المنفصلة عبارة عن متغيرات عشوائية تأخذ قيمًا فردية معزولة عن بعضها البعض والتي يمكن المبالغة في تقديرها. كميات مستمرةالقيم المحتملة التي تملأ نطاقًا معينًا بشكل مستمر. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تقيم علاقة بين القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية والاحتمالات المقابلة لها. صف التوزيع والمضلع. أبسط شكل لقانون التوزيع قيمة منفصلةهي سلسلة التوزيع. التفسير الرسومي لسلسلة التوزيع هو مضلع التوزيع.
يمكنك أيضًا العثور على المعلومات التي تهمك في محرك البحث العلمي Otvety.Online. استخدم نموذج البحث:
المزيد عن الموضوع 13. المتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال:
- 13. المتغير العشوائي المتقطع وقانون توزيعه. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية. مثال.
- مفهوم المتغير العشوائي ووصفه. المتغير العشوائي المنفصل وقانون (سلسلة) التوزيع الخاص به. المتغيرات العشوائية المستقلة. أمثلة.
- 14. المتغيرات العشوائية وأنواعها. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل (DRV). طرق بناء المتغيرات العشوائية (SV).
- 16. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. الخصائص العددية للمتغير العشوائي المنفصل: التوقع الرياضي، التشتت، والانحراف المعياري.
- العمليات الرياضية على المتغيرات العشوائية المنفصلة وأمثلة لبناء قوانين التوزيع لـ KX، X"1، X + K، XV بناءً على توزيعات معينة للمتغيرات العشوائية المستقلة X و Y.
- مفهوم المتغير العشوائي. قانون توزيع الحالات المنفصلة. كميات. العمليات الحسابية على العشوائية كميات.
المتغيرات العشوائية: منفصلة ومستمرة.
عند إجراء تجربة عشوائية، يتم تشكيل مساحة من الأحداث الأولية - النتائج الممكنةهذه التجربة. ويعتقد أن هذا الفضاء من الأحداث الأولية موجود قيمة عشوائية X، إذا تم تقديم قانون (قاعدة) يرتبط بموجبه كل حدث أولي برقم. وبذلك يمكن اعتبار المتغير العشوائي X دالة محددة على فضاء الأحداث الأولية.
■ متغير عشوائي- الكمية التي تأخذ واحدة أو أخرى في كل اختبار قيمة عددية(لا يُعرف مسبقاً أي منها)، وذلك اعتماداً على أسباب عشوائية لا يمكن أخذها بعين الاعتبار مسبقاً. يشار إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة الأبجدية اللاتينيةوالقيم المحتملة للمتغير العشوائي صغيرة. لذا، عند رمي حجر النرد، يحدث حدث مرتبط بالرقم x، حيث x هو عدد النقاط التي تم رميها. عدد النقاط هو متغير عشوائي، والأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6 هي القيم المحتملة لهذه القيمة. المسافة التي ستقطعها المقذوفة عند إطلاقها من مسدس هي أيضًا متغيرة عشوائية (اعتمادًا على تركيب المنظار وقوة واتجاه الريح ودرجة الحرارة وعوامل أخرى)، وتنتمي القيم المحتملة لهذه القيمة إلى فترة معينة (أ ؛ ب).
■ متغير عشوائي منفصل- متغير عشوائي يأخذ قيمًا محتملة منفصلة ومعزولة باحتمالات معينة. يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو لا نهائيًا.
■ المتغير العشوائي المستمر- متغير عشوائي يمكنه أخذ جميع القيم من فترة محدودة أو لا نهائية. عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.
على سبيل المثال، عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي النرد، ودرجة الاختبار هي متغيرات عشوائية منفصلة؛ المسافة التي تطير بها المقذوفة عند إطلاق النار من مسدس، وخطأ قياس مؤشر الوقت لإتقان المواد التعليمية، وطول ووزن الشخص هي متغيرات عشوائية مستمرة.
قانون التوزيع للمتغير العشوائي- المراسلات بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي واحتمالاتها، أي ترتبط كل قيمة محتملة x i بالاحتمال p i الذي يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ هذه القيمة من خلاله. يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي بشكل جدولي (في شكل جدول)، وتحليلياً (في شكل صيغة)، ورسمياً.
دع المتغير العشوائي المنفصل X يأخذ القيم x 1 , x 2 , …, x n مع الاحتمالات p 1 , p 2 , …, p n على التوالي، أي. P(X=x 1) = p 1، P(X=x 2) = p 2، …، P(X=x n) = p n. عند تحديد قانون توزيع هذه الكمية في جدول، يحتوي الصف الأول من الجدول على القيم المحتملة x 1 , x 2 , ..., x n ، والصف الثاني يحتوي على احتمالاتها
| X | × 1 | × 2 | … | س ن |
| ص | ص 1 | ص2 | … | ص ن |
نتيجة للاختبار، يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X واحدة فقط من القيم المحتملة، وبالتالي فإن الأحداث X=x 1، X=x 2، ...، X=x n تشكل مجموعة كاملة من القيم الزوجية غير المتوافقة الأحداث، وبالتالي فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي واحدًا، أي. ع 1 + ع 2 +… + ع ن =1.
قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع (المضلع).
كما تعلم، المتغير العشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيمًا معينة حسب الحالة. تشير المتغيرات العشوائية بالحروف الكبيرةالأبجدية اللاتينية (X، Y، Z)، ومعانيها - بالأحرف الصغيرة المقابلة (x، y، z). تنقسم المتغيرات العشوائية إلى متقطعة (منفصلة) ومستمرة.
المتغير العشوائي المنفصل هو متغير عشوائي يأخذ فقط مجموعة منتهية أو لا نهائية (قابلة للعد) من القيم مع احتمالات معينة غير الصفر.
قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصلهي دالة تربط قيم المتغير العشوائي بالاحتمالات المقابلة لها. يمكن تحديد قانون التوزيع بإحدى الطرق التالية.
1. يمكن إعطاء قانون التوزيع من خلال الجدول:
حيث 0>0، ك = 0، 1، 2، … .
ج) باستخدام دالة التوزيع F(x)، التي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x، أي. و(س) = ف(س< x).
 |
خصائص الدالة F(x)
3. يمكن تحديد قانون التوزيع بيانياً - من خلال مضلع التوزيع (المضلع) (انظر المهمة 3).
لاحظ أنه لحل بعض المشاكل ليس من الضروري معرفة قانون التوزيع. وفي بعض الحالات، يكفي معرفة رقم أو أكثر من الأرقام التي تعكس أكثر من غيرها الميزات الهامةقانون التوزيع. قد يكون هذا رقمًا يحمل معنى "المتوسط" لمتغير عشوائي، أو رقمًا يشير إلى متوسط الحجمانحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة. تسمى الأرقام من هذا النوع بالخصائص العددية للمتغير العشوائي.
الخصائص العددية الأساسية للمتغير العشوائي المنفصل:
- التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي المنفصل M(X)=Σ x i p i .
بالنسبة للتوزيع ذي الحدين M(X)=np، بالنسبة لتوزيع بواسون M(X)=α - تشتت متغير عشوائي منفصل D(X)= M 2 أو D(X) = M(X 2)− 2. يسمى الفرق X – M (X) بانحراف المتغير العشوائي عنه توقع رياضي.
للتوزيع ذي الحدين D(X)=npq، لتوزيع بواسون D(X)=α - الانحراف المعياري ( الانحراف المعياري) σ(X)=√D(X).
· لوضوح عرض سلسلة الاختلافات أهمية عظيمةلديك صور بيانية لها. بيانياً، يمكن تصوير سلسلة التباين كمضلع، ورسم بياني وتراكمي.
· يسمى مضلع التوزيع (حرفياً مضلع التوزيع) بالخط المتقطع، والذي يتم إنشاؤه في نظام إحداثيات مستطيل. يتم رسم قيمة السمة على الإحداثي السيني، والترددات المقابلة (أو الترددات النسبية) - على الإحداثي. ترتبط النقاط (أو) بقطع خط مستقيم ويتم الحصول على مضلع التوزيع. في أغلب الأحيان، يتم استخدام المضلعات لتصوير المنفصلة سلسلة الاختلاف، ولكن يمكن استخدامها أيضًا سلسلة الفاصلة. في هذه الحالة، يتم رسم النقاط المقابلة لمنتصف هذه الفترات على محور الإحداثي السيني.
