قيمة عشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، تكتسب قيمة لم تكن معروفة من قبل.

عدد الطلاب الحاضرين في المحاضرة

عدد المنازل التي تم تشغيلها خلال الشهر الحالي.

درجة الحرارة المحيطة.

وزن شظية قذيفة تنفجر.

وتنقسم المتغيرات العشوائية إلى منفصلة ومستمرة.

منفصل (متقطع) يسمى متغيرا عشوائيا يأخذ قيما منفصلة معزولة عن بعضها البعض باحتمالات معينة.

يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو قابلاً للعد.

مستمر يسمى متغير عشوائي يمكن أن يأخذ أي قيمة من فترة محدودة أو لا نهائية.

من الواضح أن عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.

في الأمثلة المذكورة: 1 و2 متغيران عشوائيان منفصلان، 3 و4 متغيران عشوائيان مستمران.

في المستقبل، بدلاً من عبارة "متغير عشوائي" سنستخدم غالبًا الاختصار c. الخامس.

كقاعدة عامة، سيتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة، ورمزها القيم الممكنة- صغير.

في التفسير النظري للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، المتغير العشوائي X هو دالة لحدث أولي: X =φ(ω)، حيث ω هو حدث أولي ينتمي إلى الفضاء Ω (ω  Ω). في هذه الحالة، المجموعة Ξ للقيم المحتملة لـ c. الخامس. يتكون X من جميع القيم التي تأخذها الدالة φ(ω).

قانون توزيع متغير عشوائي هي أي قاعدة (جدول، دالة) تسمح لك بإيجاد احتمالات جميع أنواع الأحداث المرتبطة بمتغير عشوائي (على سبيل المثال، احتمال أن يأخذ قيمة معينة أو يقع في فترة زمنية معينة).

نماذج لتحديد قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. سلسلة التوزيع.

هذا جدول في السطر العلوي يتم فيه إدراج جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي X بترتيب تصاعدي: x 1، x 2، ...، x n، وفي السطر السفلي - احتمالات هذه القيم: ص 1، ص 2، ...، ص ن، حيث ص i = Р(Х = x i ).

بما أن الأحداث (X = x 1 )، (X = x 2 )، ... غير متناسقة وتشكل مجموعة كاملة، فإن مجموع كل الاحتمالات في السطر الأخير من سلسلة التوزيع يساوي واحدًا

يتم استخدام سلسلة التوزيع لتحديد قانون التوزيع للمتغيرات العشوائية المنفصلة فقط.

مضلع التوزيع

يسمى التمثيل الرسومي لسلسلة التوزيع بمضلع التوزيع. يتم بناؤه على النحو التالي: لكل قيمة محتملة لـ c. الخامس. يتم استعادة عمودي على المحور السيني، حيث يتم رسم احتمالية قيمة معينة ج. الخامس. من أجل الوضوح (والوضوح فقط!) يتم توصيل النقاط الناتجة بقطاعات مستقيمة.

دالة التوزيع التراكمي (أو ببساطة دالة التوزيع).

هذه دالة، لكل قيمة من الوسيطة x، تساوي عدديًا احتمال أن يكون المتغير العشوائي  أقل من قيمة الوسيطة x.

تتم الإشارة إلى دالة التوزيع بواسطة F(x): F(x) = P (X  x).

الآن يمكنك إعطاء المزيد تعريف دقيقالمتغير العشوائي المستمر: يسمى المتغير العشوائي مستمرًا إذا كانت دالة توزيعه دالة مستمرة قابلة للتفاضل متعددة التعريف ومشتقة مستمرة.

دالة التوزيع هي الشكل الأكثر عالمية لتحديد ج. v.، والتي يمكن استخدامها لتحديد قوانين التوزيع لكل من s المنفصلة والمستمرة. الخامس.

المشكلة 14.في اليانصيب النقدي، يتم لعب فوز واحد بقيمة 1000000 روبل، و10 انتصارات بقيمة 100000 روبل. و 100 فوز بقيمة 1000 روبل لكل منهما. بإجمالي عدد التذاكر 10000 تذكرة، ابحث عن قانون توزيع المكاسب العشوائية Xلصاحب تذكرة يانصيب واحدة.

حل. القيم المحتملة ل X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. احتمالاتهما متساوية على التوالي: ر 2 = 0,01; ر 3 = 0,001; ر 4 = 0,0001; ر 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

لذلك قانون توزيع المكاسب Xيمكن إعطاؤها من خلال الجدول التالي:

بناء مضلع التوزيع.

حل. لنقم ببناء نظام إحداثيات مستطيل، وسنرسم القيم المحتملة على طول محور الإحداثيات س ط,وعلى طول المحور الإحداثي - الاحتمالات المقابلة باي. دعونا نرسم النقاط م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6;0.4) و م 4 (8;0.3). ومن خلال ربط هذه النقاط بقطع مستقيمة نحصل على مضلع التوزيع المطلوب.

§2. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية

يتميز المتغير العشوائي تمامًا بقانون التوزيع الخاص به. ويمكن الحصول على وصف متوسط ​​للمتغير العشوائي باستخدام خصائصه العددية

2.1. القيمة المتوقعة. تشتت.

دع المتغير العشوائي يأخذ القيم مع الاحتمالات وفقًا لذلك.

تعريف. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة والاحتمالات المقابلة:

.

خصائص التوقع الرياضي.

يتميز تشتت المتغير العشوائي حول القيمة المتوسطة بالتشتت والانحراف المعياري.

تباين المتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:

يتم استخدام الصيغة التالية لإجراء العمليات الحسابية

خصائص التشتت.

2. حيث توجد متغيرات عشوائية مستقلة بشكل متبادل.

3. الانحراف المعياري .

المشكلة 16.أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ز = X+ 2يإذا كانت التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية معروفة Xو ي: م(X) = 5, م(ي) = 3.

حل. نحن نستخدم خصائص التوقع الرياضي. ثم نحصل على:

م(X+ 2ي)= م(X) + م(2ي) = م(X) + 2م(ي) = 5 + 2 . 3 = 11.

المشكلة 17.تباين متغير عشوائي Xيساوي 3. أوجد تباين المتغيرات العشوائية: أ) -3 العاشر؛ب) 4 X + 3.

حل. دعونا نطبق خصائص التشتت 3 و 4 و 2. لدينا:

أ) د(–3X) = (–3) 2 د(X) = 9د(X) = 9 . 3 = 27;

ب) د(4X+ 3) = د(4X) + د(3) = 16د(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

المشكلة 18.نظرا لمتغير عشوائي مستقل ي- عدد النقاط التي سقطت عند الرمي حجر النرد. أوجد قانون التوزيع والتوقع الرياضي والتشتت والمتوسط الانحراف المعياريمتغير عشوائي ي.

حل.جدول توزيع المتغيرات العشوائية يلديه النموذج:

ي
ر	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

ثم م(ي) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5؛

د(ي) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 = 2.917؛ σ (ي) =Ö 2,917 = 1,708.

إجابة: النظر في متغير عشوائي متقطع Xمع القيم الممكنة كل من هذه القيم ممكنة، ولكن غير مؤكدة، وقيمتها Xيمكن قبول كل واحد منهم مع بعض الاحتمال. ونتيجة للتجربة، القيمة Xستأخذ إحدى هذه القيم، أي أنه سيحدث أحد المجموعة الكاملة للأحداث غير المتوافقة:

دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحروف رمع المؤشرات المقابلة:

أي أنه يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي للقيم المختلفة عن طريق جدول التوزيع، حيث تتم الإشارة في السطر العلوي إلى جميع القيم المأخوذة بواسطة متغير عشوائي منفصل معين، واحتمالات القيم المقابلة يشار إليها في الخلاصة. وبما أن الأحداث غير المتوافقة (3.1) تشكل مجموعة كاملة، فإن مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي يساوي واحدًا. لا يمكن عرض التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المستمرة على شكل جدول، حيث أن عدد قيم هذه المتغيرات العشوائية لا نهائي حتى في فترة زمنية محدودة. علاوة على ذلك، فإن احتمال الحصول على أي قيمة معينة هو صفر. سيتم وصف المتغير العشوائي بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية إذا حددنا هذا التوزيع، أي أننا نشير بالضبط إلى احتمالية كل حدث. وبهذا سنؤسس ما يسمى بقانون توزيع المتغير العشوائي. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. سنقول عن المتغير العشوائي أنه يخضع لقانون توزيع معين. دعونا نحدد الشكل الذي يمكن من خلاله تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي متقطع X. أبسط شكلتعريف هذا القانون عبارة عن جدول يسرد القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها:

× ط	س 1	س 2	× × ×	س ن
باي	ص 1	ص 2	× × ×	ص ن

سوف نسمي هذا الجدول سلسلة من توزيعات المتغير العشوائي X.

أرز. 3.1

لإعطاء سلسلة التوزيع مظهرًا أكثر وضوحًا، غالبًا ما يلجأون إلى تمثيلها الرسومي: يتم رسم القيم المحتملة للمتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، ويتم رسم احتمالات هذه القيم على طول المحور الإحداثي. من أجل الوضوح، يتم توصيل النقاط الناتجة عن طريق قطاعات مستقيمة. يسمى هذا الشكل مضلع التوزيع (الشكل 3.1). يميز مضلع التوزيع، وكذلك سلسلة التوزيع، المتغير العشوائي بشكل كامل. إنه أحد أشكال قانون التوزيع. في بعض الأحيان يكون ما يسمى بالتفسير "الميكانيكي" لسلسلة التوزيع مناسبًا. دعونا نتخيل أن كتلة معينة تساوي الوحدة يتم توزيعها على طول محور الإحداثي السيني بحيث تكون في نوتتركز الجماهير في نقاط فردية، على التوالي . ثم يتم تفسير سلسلة التوزيع على أنها نظام من النقاط المادية مع وجود بعض الكتل على محور الإحداثي السيني.

التجربة هي أي تنفيذ لشروط وإجراءات معينة يتم في ظلها ملاحظة الظاهرة العشوائية التي تتم دراستها. يمكن وصف التجارب نوعيا وكميا. الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولا يعرف مقدما أي منها.

ويرمز للمتغيرات العشوائية عادة (X,Y,Z) والقيم المقابلة لها (x,y,z)

المنفصلة هي متغيرات عشوائية تأخذ قيمًا فردية معزولة عن بعضها البعض والتي يمكن المبالغة في تقديرها. كميات مستمرةالقيم المحتملة التي تملأ نطاقًا معينًا بشكل مستمر. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تقيم علاقة بين القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية والاحتمالات المقابلة لها. صف التوزيع والمضلع. أبسط شكل لقانون التوزيع لكمية منفصلة هو سلسلة التوزيع. التفسير الرسومي لسلسلة التوزيع هو مضلع التوزيع.

يمكنك أيضًا العثور على المعلومات التي تهمك في محرك البحث العلمي Otvety.Online. استخدم نموذج البحث:

المزيد عن الموضوع 13. المتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال:

1. 13. المتغير العشوائي المتقطع وقانون توزيعه. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية. مثال.
2. مفهوم المتغير العشوائي ووصفه. المتغير العشوائي المنفصل وقانون (سلسلة) التوزيع الخاص به. المتغيرات العشوائية المستقلة. أمثلة.
3. 14. المتغيرات العشوائية وأنواعها. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل (DRV). طرق بناء المتغيرات العشوائية (SV).
4. 16. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. الخصائص العددية للمتغير العشوائي المنفصل: التوقع الرياضي، التشتت، والانحراف المعياري.
5. العمليات الرياضية على المتغيرات العشوائية المنفصلة وأمثلة لبناء قوانين التوزيع لـ KX، X"1، X + K، XV بناءً على توزيعات معينة للمتغيرات العشوائية المستقلة X و Y.
6. مفهوم المتغير العشوائي. قانون توزيع الحالات المنفصلة. كميات. العمليات الحسابية على العشوائية كميات.

2.1. التردد النسبي. استقرار التردد النسبي

2.2. حدود التعريف الكلاسيكي للاحتمال. الاحتمالية الإحصائية

2.3. الاحتمالات الهندسية

2.4. نظرية إضافة الاحتمال

2.5. مجموعة كاملة من الأحداث

2.6. الأحداث المعاكسة

2.7. مبدأ الاستحالة العملية للأحداث غير المتوقعة

2.8. إنتاج الأحداث. احتمال مشروط

2.9. نظرية الضرب الاحتمالية

2.10. أحداث مستقلة. نظرية الضرب للأحداث المستقلة

2.10. احتمال وقوع حدث واحد على الأقل

المحاضرة رقم 3 نتائج نظريات الجمع والضرب

3.1. نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة

3.2. صيغة الاحتمال الإجمالي

3.3. احتمالية الفرضيات. صيغ بايز

4. تكرار الاختبارات

4.1. صيغة برنولي

4.2. نظريات الحد في مخطط برنولي

4.3. النظريات المحلية والتكاملية لموافر لابلاس

4.3. احتمال انحراف التردد النسبي عن الاحتمال الثابت في التجارب المستقلة

5. المتغيرات العشوائية

5.1. مفهوم المتغير العشوائي. قانون التوزيع للمتغير العشوائي

5.2. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع

5.3. توزيع ثنائي

5.4. توزيع السم

5.5. التوزيع الهندسي

5.6. التوزيع الهندسي الزائد

6. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع

6.1. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية المنفصلة

6.2. توقع وجود متغير عشوائي منفصل

6.3. المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي

6.4. خصائص التوقع الرياضي

6.5. التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في التجارب المستقلة

7. تشتت متغير عشوائي منفصل

7.1. جدوى إدخال الخاصية العددية لتشتت المتغير العشوائي

7.2. انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي

7.3. تباين المتغير العشوائي المنفصل

7.4. صيغة لحساب التباين

7.5. خصائص التشتت

7.6. تباين عدد تكرارات الحدث في التجارب المستقلة

7.7. الانحراف المعياري

7.8. الانحراف المعياري لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل

7.9. متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل متماثل

7.10. النقاط النظرية الأولية والمركزية

8. قانون الأعداد الكبيرة

8.1. ملاحظات أولية

8.2. عدم المساواة في تشيبيشيف

8.3. نظرية تشيبيشيف

8.4. جوهر نظرية تشيبيشيف

8.5. أهمية نظرية تشيبيشيف للممارسة

8.6. نظرية برنولي

دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي

9.1. تعريف وظيفة التوزيع

9.2. خصائص وظيفة التوزيع

9.3. الرسم البياني لوظيفة التوزيع

10. الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر

10.1. تحديد كثافة التوزيع

10.2. احتمال وقوع متغير عشوائي مستمر في فترة زمنية معينة

10.3. قانون التوزيع الاحتمالي الموحد

11. التوزيع الطبيعي

11.1. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية المستمرة

11.2. التوزيع الطبيعي

11.3. منحنى عادي

11.4. تأثير معلمات التوزيع الطبيعي على شكل المنحنى الطبيعي

11.5. احتمال الوقوع في فترة معينة من المتغير العشوائي العادي

11.6. حساب احتمالية انحراف معين

11.7. قاعدة ثلاثة سيجما

11.8. مفهوم نظرية ليابونوف. بيان نظرية الحد المركزي

11.9. تقدير انحراف التوزيع النظري عن التوزيع الطبيعي. الانحراف والتفرطح

11.10. وظيفة وسيطة عشوائية واحدة وتوزيعها

11.11. التوقع الرياضي لدالة وسيطة عشوائية واحدة

11.12. وظيفة وسيطتين عشوائيتين. توزيع مجموع المصطلحات المستقلة. استقرار التوزيع الطبيعي

11.13. توزيع مربع تشي

11.14. توزيع الطلاب

11.15. توزيع فيشر-سنديكور إف

12. التوزيع الأسي

12.1. تعريف التوزيع الأسي

12.2. احتمال الوقوع في فترة زمنية معينة لمتغير عشوائي موزع بشكل أسي

§ 3. الخصائص العددية للتوزيع الأسي

12.4. وظيفة الموثوقية

12.5. قانون الموثوقية الأسي

12.6. خاصية مميزة لقانون الموثوقية الأسية

5.2. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع

للوهلة الأولى، قد يبدو أنه لتحديد متغير عشوائي منفصل يكفي إدراج جميع قيمه المحتملة. في الواقع، الأمر ليس كذلك: يمكن للمتغيرات العشوائية أن تحتوي على نفس قوائم القيم المحتملة، ولكن احتمالاتها يمكن أن تكون مختلفة. لذلك، لتحديد متغير عشوائي منفصل، لا يكفي إدراج جميع قيمه المحتملة؛ بل تحتاج أيضًا إلى الإشارة إلى احتمالاتها.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصلاستدعاء المراسلات بين القيم المحتملة واحتمالاتها؛ ويمكن تحديدها بشكل جدولي وتحليلي (في شكل صيغة) ورسوم بيانية.

تعريف.أي قاعدة (جدول، دالة، رسم بياني) تسمح لك بإيجاد احتمالات الأحداث العشوائية أ س (س- - جبر الأحداث في الفضاء )، على وجه الخصوص، يشير إلى احتمالات القيم الفردية لمتغير عشوائي أو مجموعة من هذه القيم، ويسمى قانون التوزيع المتغير العشوائي(أو ببساطة: توزيع). حول إس. يقولون أنه "يخضع لقانون توزيع معين".

يترك X– d.s.v.، الذي يأخذ القيم X 1 , X 2 , …, س ن،... (مجموعة هذه القيم محدودة أو قابلة للعد) مع بعض الاحتمال ص أنا، أين أنا = 1,2,…, ن،… قانون التوزيع d.s.v. مريحة للضبط باستخدام الصيغة ص أنا = ص{X = س أنا)أين أنا = 1,2,…, ن،...، الذي يحدد احتمالية أنه نتيجة للتجربة r.v. Xسوف تأخذ القيمة س أنا. ل d.s.v. Xيمكن إعطاء قانون التوزيع في النموذج جداول التوزيع:

				س ن
				ر ن

عند تحديد قانون توزيع متغير عشوائي منفصل في الجدول، يحتوي الصف الأول من الجدول على القيم المحتملة، والثاني - احتمالاتها. يسمى هذا الجدول بالقرب من التوزيع.

مع الأخذ في الاعتبار أنه في تجربة واحدة يأخذ المتغير العشوائي قيمة واحدة فقط، نستنتج أن الأحداث X = س 1 , X = س 2 , ..., X = س نتشكيل مجموعة كاملة؛ وبالتالي فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث، أي. مجموع احتمالات الصف الثاني من الجدول يساوي واحدًا، أي .

إذا كانت مجموعة القيم الممكنة Xإلى ما لا نهاية (معدودة)، ثم السلسلة ر 1 + ر 2 + ... متقاربان ومجموعهما يساوي واحدًا.

مثال.تم إصدار 100 تذكرة لليانصيب النقدي. يتم سحب فوز واحد بقيمة 50 روبل. وعشرة مكاسب من 1 فرك. أوجد قانون توزيع المتغير العشوائي X– تكلفة المكاسب المحتملة لصاحب تذكرة يانصيب واحدة.

حل.دعونا نكتب القيم المحتملة X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. احتمالات هذه القيم المحتملة هي: ر 1 = 0,01, ر 2 = 0,01, ر 3 = 1 – (ر 1 + ر 2)=0,89.

دعونا نكتب قانون التوزيع المطلوب:

التحكم: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.

مثال.يوجد في الجرة 8 كرات، 5 منها بيضاء والباقي سوداء. يتم سحب 3 كرات عشوائيا منه. أوجد قانون توزيع عدد الكرات البيضاء في العينة.

حل.القيم المحتملة لـ r.v. X– وجود أعداد من الكرات البيضاء في العينة X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. ستكون احتمالاتهم وفقًا لذلك

;
;
.

دعونا نكتب قانون التوزيع على شكل جدول.

يتحكم:
.

قانون التوزيع d.s.v. يمكن تحديدها بيانياً إذا تم رسم القيم المحتملة لـ r.v على محور الإحداثي، وتم رسم احتمالات هذه القيم على المحور الإحداثي. خط متقطع يربط النقاط على التوالي ( X 1 , ر 1), (X 2 , ر 2)... دعا مضلع(أو مضلع) توزيع(انظر الشكل 5.1).

أرز. 5.1. مضلع التوزيع

الآن يمكننا تقديم تعريف أكثر دقة لـ d.s.v.

تعريف.قيمة عشوائية X منفصل، إذا كان هناك مجموعة محدودة أو قابلة للعد من الأرقام X 1 , X 2،...كذلك ص{X = س أنا } = ص أنا > 0 (أنا= 1،2،...) و ص 1 + ص 2 + ر 3 +… = 1.

دعونا نحدد العمليات الرياضية على r.v المنفصلة.

تعريف.كمية (اختلاف, عمل) د.س.ف. X، أخذ القيم س أنامع الاحتمالات ص أنا = ص{X = س أنا }, أنا = 1, 2, …, ن، و د.س.ف. ي، أخذ القيم ذ ي مع الاحتمالات ص ي = ص{ي = ذ ي }, ي = 1, 2, …, م، يسمى d.s.v. ز = X + ي (ز = X – ي, ز = X ي)، أخذ القيم ض اي جاي = س أنا + ذ ي (ض اي جاي = س أنا – ذ ي , ض اي جاي = س أنا  ذ ي) مع الاحتمالات ص اي جاي = ص{X = س أنا , ي = ذ ي) لجميع القيم المحددة أناو ي. إذا تطابقت بعض المبالغ س أنا + ذ ي (اختلافات س أنا – ذ ييعمل س أنا  ذ ي) تتم إضافة الاحتمالات المقابلة.

تعريف.عمل d.s.v. على أعداددعا d.s.v. cX، أخذ القيم معس أنامع الاحتمالات ص أنا = ص{X = س أنا }.

تعريف.اثنان د.س.ف. Xو يوتسمى مستقلإذا الأحداث ( X = س أنا } = أ أناو ( ي = ذ ي } = ب يمستقلة عن أي أنا = 1, 2, …, ن, ي = 1, 2, …, م، إنه

خلاف ذلك ر.ف. مُسَمًّى متكل. عدة r.v. تسمى مستقلة بشكل متبادل إذا كان قانون التوزيع لأي منها لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها الكميات الأخرى.

دعونا نفكر في العديد من قوانين التوزيع الأكثر استخدامًا.