بيت ألم أسنان حل المصفوفة باستخدام طريقة كرامر. طريقة كريمر: حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (سلاو)

ألم أسنان

حل المصفوفة باستخدام طريقة كرامر. طريقة كريمر: حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (سلاو)

تعتمد طريقة كرامر على استخدام المحددات في حل الأنظمة المعادلات الخطية. هذا يسرع بشكل كبير عملية الحل.

يمكن استخدام طريقة كرامر لحل نظام يتكون من عدد من المعادلات الخطية يساوي عدد المجهول في كل معادلة. إذا كانت محددات النظام لا تساوي الصفر فيمكن استخدام طريقة كرامر في الحل، أما إذا كانت تساوي الصفر فلا يمكن ذلك. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية التي لها حل فريد.

تعريف. يسمى المحدد المكون من معاملات المجهولين محدد النظام ويرمز له (دلتا).

المحددات

يتم الحصول عليها عن طريق استبدال معاملات المجهول المقابل بشروط مجانية:

;

نظرية كريمر. إذا كانت محددات النظام غير صفر، فإن نظام المعادلات الخطية له حل واحد فريد، والمجهول يساوي نسبة المحددات. يحتوي المقام على محدد النظام، ويحتوي البسط على المحدد الذي تم الحصول عليه من محدد النظام عن طريق استبدال معاملات هذا المجهول بشروط حرة. تنطبق هذه النظرية على نظام المعادلات الخطية من أي ترتيب.

مثال 1.حل نظام المعادلات الخطية:

وفق نظرية كريمرلدينا:

إذن حل النظام (2):

آلة حاسبة على الانترنت، طريقة حاسمةكرامر.

ثلاث حالات عند حل أنظمة المعادلات الخطية

كما هو واضح من نظرية كريمرعند حل نظام من المعادلات الخطية يمكن أن تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام ثابت ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية له عدد لا نهائي من الحلول

(النظام ثابت وغير مؤكد)

** ,

أولئك. معاملات المجهولين والحدود الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذلك النظام مالمعادلات الخطية مع نتسمى المتغيرات غير مشترك، إذا لم يكن لديها حل واحد، و مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات المتزامن الذي له حل واحد فقط تأكيد، وأكثر من واحد - غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر

دع النظام يعطى

بناء على نظرية كريمر

………….
,

أين
-

محدد النظام. نحصل على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بشروط حرة:

مثال 2.

ولذلك فإن النظام محدد. لإيجاد حلها، نحسب المحددات

باستخدام صيغ كريمر نجد:

إذن (1; 0; -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و4 × 4، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت باستخدام طريقة حل كرامر.

إذا لم يكن هناك متغيرات في معادلة واحدة أو أكثر في نظام المعادلات الخطية، فإن العناصر المقابلة في المحدد تساوي الصفر! هذا هو المثال التالي.

مثال 3.حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام :

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال الذي يكون فيه عنصر أو أكثر من عناصر المحدد يساوي الصفر. إذن، المحدد لا يساوي صفرًا، وبالتالي فإن النظام محدد. ولإيجاد حلها، نحسب محددات المجهولات

باستخدام صيغ كريمر نجد:

إذن حل النظام هو (2; -1; 1).

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و4 × 4، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت باستخدام طريقة حل كرامر.

أعلى الصفحة

نواصل حل الأنظمة باستخدام طريقة كرامر معًا

وكما ذكرنا سابقاً، إذا كانت محددات النظام تساوي صفراً، ومحددات المجهولات لا تساوي صفراً، فإن النظام غير متناسق، أي ليس له حلول. دعونا نوضح مع المثال التالي.

مثال 6.حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام :

محدد النظام يساوي الصفر، وبالتالي فإن نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ومحدد، أو غير متسق، أي ليس له حلول. للتوضيح، نحسب محددات المجهولات

محددات المجهولات لا تساوي الصفر، وبالتالي فإن النظام غير متناسق، أي ليس له حلول.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و4 × 4، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت باستخدام طريقة حل كرامر.

في المسائل التي تتضمن أنظمة المعادلات الخطية، هناك أيضًا تلك التي، بالإضافة إلى الحروف التي تشير إلى المتغيرات، هناك أيضًا أحرف أخرى. تمثل هذه الحروف رقمًا حقيقيًا في أغلب الأحيان. ومن الناحية العملية، فإن مثل هذه المعادلات وأنظمة المعادلات تؤدي إلى مشاكل البحث عن الخصائص العامة لأي ظاهرة أو كائنات. وهذا هو، هل اخترعت أي مواد جديدةأو جهاز، ولوصف خصائصه الشائعة بغض النظر عن حجم أو عدد المثيل، تحتاج إلى حل نظام من المعادلات الخطية، حيث توجد أحرف بدلاً من بعض معاملات المتغيرات. ليس عليك البحث بعيدًا عن الأمثلة.

المثال التالي مخصص لمشكلة مشابهة، حيث يزداد فقط عدد المعادلات والمتغيرات والحروف التي تشير إلى عدد حقيقي معين.

مثال 8.حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام :

إيجاد محددات للمجهول

يتم استخدام طريقة كرامر لحل الأنظمة الخطية المعادلات الجبرية(SLAE)، حيث يكون عدد المتغيرات المجهولة مساوياً لعدد المعادلات ومحدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر. في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل كيفية العثور على المتغيرات غير المعروفة باستخدام طريقة كرامر والحصول على الصيغ. بعد ذلك، دعنا ننتقل إلى الأمثلة ونصف بالتفصيل حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر.

التنقل في الصفحة.

طريقة كريمر - اشتقاق الصيغ.

دعونا نحتاج إلى حل نظام المعادلات الخطية من النموذج

حيث x 1، x 2، …، x n متغيرات غير معروفة، a i j، ط = 1، 2، …، ن، ي = 1، 2، …، ن- المعاملات العددية، ب 1، ب 2، ...، ب ن - شروط حرة. الحل لـ SLAE هو مجموعة من القيم x 1 , x 2 , …, x n التي تصبح فيها جميع معادلات النظام هويات.

في شكل مصفوفة، يمكن كتابة هذا النظام على النحو A ⋅ X = B، حيث - المصفوفة الرئيسية للنظام، عناصرها هي معاملات المتغيرات المجهولة، - المصفوفة عبارة عن عمود من الحدود الحرة، و - المصفوفة عبارة عن عمود من المتغيرات غير المعروفة. بعد إيجاد المتغيرات المجهولة x 1, x 2, …, x n، تصبح المصفوفة حلاً لنظام المعادلات والمساواة A ⋅ X = B تصبح هوية.

سنفترض أن المصفوفة A غير فردية، أي أن محددها غير صفر. في هذه الحالة، نظام المعادلات الجبرية الخطية لديه حل فريد يمكن إيجاده بطريقة كرامر. (تتم مناقشة طرق حل الأنظمة في قسم حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية).

تعتمد طريقة كرامر على خاصيتين لمحدد المصفوفة:

فلنبدأ بإيجاد المتغير المجهول x 1. للقيام بذلك، نضرب جزأي المعادلة الأولى للنظام في A 1 1، وجزأي المعادلة الثانية في A 2 1، وهكذا، كلا جزأي المعادلة النونية في A n 1 (أي أننا اضرب معادلات النظام بالمكملات الجبرية المقابلة لعمود المصفوفة الأول A):

لنجمع كل الأطراف اليسرى من معادلة النظام، ونجمع حدود المتغيرات غير المعروفة x 1، x 2، ...، x n، ونساوي هذا المجموع بمجموع كل الأطراف اليمنى من المعادلات:

إذا انتقلنا إلى خصائص المحدد المذكورة سابقًا، فلدينا

والمساواة السابقة تأخذ الشكل

أين

وبالمثل، نجد × 2. للقيام بذلك، نضرب طرفي معادلات النظام في المكملات الجبرية للعمود الثاني من المصفوفة A:

نقوم بجمع جميع معادلات النظام، ونجمع حدود المتغيرات المجهولة x 1، x 2، ...، x n ونطبق خصائص المحدد:

أين
.

تم العثور على المتغيرات غير المعروفة المتبقية بالمثل.

إذا قمنا بتعيين

ثم نحصل صيغ لإيجاد المتغيرات غير المعروفة باستخدام طريقة كرامر .

تعليق.

إذا كان نظام المعادلات الجبرية الخطية متجانسًا، فهذا يعني ، فليس لديه سوى حل تافه (في ). في الواقع، بالنسبة للشروط الحرة الصفرية، جميع المحددات ستكون مساوية للصفر، لأنها ستحتوي على عمود من العناصر الصفرية. لذلك الصيغ سنعطي .

خوارزمية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر.

دعونا نكتبها خوارزمية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر.

دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.

مثال.

أوجد حلاً لنظام غير متجانس من المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر .

حل.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل . دعونا نحسب محدده باستخدام الصيغة :

وبما أن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام يختلف عن الصفر، فإن SLAE لديه حل فريد، ويمكن إيجاده بطريقة كرامر. دعونا نكتب المحددات و . نستبدل العمود الأول من المصفوفة الرئيسية للنظام بعمود المصطلحات الحرة ونحصل على المحدد . وبالمثل، نستبدل العمود الثاني من المصفوفة الرئيسية بعمود المصطلحات الحرة، ونحصل على .

نحسب هذه المحددات:

أوجد المتغيرين المجهولين x 1 وx 2 باستخدام الصيغ :

دعونا تحقق. لنستبدل القيمتين اللتين تم الحصول عليهما x 1 و x 2 في نظام المعادلات الأصلي:

تصبح معادلتا النظام متطابقتين، وبالتالي تم إيجاد الحل بشكل صحيح.

إجابة:

قد تكون بعض عناصر المصفوفة الرئيسية لـ SLAE مساوية للصفر. في هذه الحالة، ستكون المتغيرات غير المعروفة المقابلة غائبة عن معادلات النظام. لنلقي نظرة على مثال.

مثال.

إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر .

حل.

دعونا نعيد كتابة النظام في النموذج ، بحيث تصبح المصفوفة الرئيسية للنظام مرئية . دعونا نوجد محدده باستخدام الصيغة

لدينا

محدد المصفوفة الرئيسية غير صفري، لذلك فإن نظام المعادلات الخطية له حل فريد. دعونا نجدها باستخدام طريقة كريمر. دعونا نحسب المحددات :

هكذا،

إجابة:

قد تختلف تسميات المتغيرات غير المعروفة في معادلات النظام عن x 1، x 2، ...، x n. وهذا لا يؤثر على عملية اتخاذ القرار. لكن ترتيب المتغيرات المجهولة في معادلات النظام مهم جداً عند تجميع المصفوفة الرئيسية والمحددات الضرورية لطريقة كرامر. دعونا نوضح هذه النقطة بمثال.

مثال.

باستخدام طريقة كرامر، أوجد حلاً لنظام من ثلاث معادلات جبرية خطية في ثلاثة مجاهيل .

حل.

في هذا المثال، المتغيرات غير المعروفة لها رموز مختلفة (x وy وz بدلاً من x1 وx2 وx3). لا يؤثر هذا على الحل، لكن كن حذرًا مع التسميات المتغيرة. لا يمكنك اعتبارها المصفوفة الرئيسية للنظام . من الضروري أولاً ترتيب المتغيرات المجهولة في جميع معادلات النظام. للقيام بذلك، نعيد كتابة نظام المعادلات على النحو التالي: . الآن أصبحت المصفوفة الرئيسية للنظام مرئية بوضوح . دعونا نحسب محدده:

محدد المصفوفة الرئيسية غير صفري، لذلك فإن نظام المعادلات له حل فريد. دعونا نجدها باستخدام طريقة كريمر. دعونا نكتب المحددات (انتبه إلى التدوين) واحسبها:

يبقى العثور على المتغيرات غير المعروفة باستخدام الصيغ :

دعونا تحقق. للقيام بذلك، اضرب المصفوفة الرئيسية بالحل الناتج (إذا لزم الأمر، راجع القسم):

ونتيجة لذلك، حصلنا على عمود من الحدود الحرة لنظام المعادلات الأصلي، وبالتالي تم العثور على الحل بشكل صحيح.

إجابة:

س = 0، ص = -2، ض = 3.

مثال.

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر ، حيث a وb عبارة عن أرقام حقيقية.

حل.

إجابة:

مثال.

أوجد حل نظام المعادلات بطريقة كريمر، - بعض الأعداد الحقيقية.

حل.

دعونا نحسب محدد المصفوفة الرئيسية للنظام: . التعبير هو فترة زمنية، وبالتالي لأي قيم حقيقية. وبالتالي فإن نظام المعادلات له حل فريد يمكن إيجاده بطريقة كرامر. نحسب و:

لكي تتقن هذه الفقرة، عليك أن تكون قادراً على الكشف عن المحددات "اثنان في اثنين" و"ثلاثة في ثلاثة". إذا كنت سيئا مع التصفيات، يرجى دراسة الدرس كيفية حساب المحدد؟

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ - بعد كل ذلك أبسط نظاميمكن حلها طريقة المدرسة، عن طريق طريقة إضافة مصطلح على حدة!

والحقيقة هي أنه، وإن كان في بعض الأحيان، تحدث مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك المثال الأبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر بشكل أكبر حالة معقدة- أنظمة من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى التصفيات المذكورة أعلاه حرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا، وعلى الجانب الأيمن يوجد الكسور العشريةمع فاصلة. الفاصلة ضيف نادر إلى حد ما المهام العمليةفي الرياضيات، أخذت هذا النظام من مسألة الاقتصاد القياسي.

كيفية حل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، ولكن في هذه الحالة، من المحتمل أن ينتهي بك الأمر إلى الحصول على كسور رهيبة غير مريحة للغاية للعمل معها، وسيبدو تصميم الحل فظيعًا بكل بساطة. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد تلو الآخر، لكن نفس الكسور ستظهر هنا أيضًا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. متى يجب استخدام هذه الطريقة, إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فقد يعاقبك المراجع بسبب عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما هو مناسب لتنفيذه على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجهه اليسرىكل معادلة للنظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانبين الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال ل قرار مستقل(مثال التشطيب والإجابة في نهاية الدرس).

دعنا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متناسق (ليس لديه حلول). في هذه الحالة، لن تساعد قاعدة كرامر، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا، يتم حساب الإجابة باستخدام الصيغ:

كما ترون، فإن حالة "ثلاثة في ثلاثة" لا تختلف بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين"، حيث "يسير" عمود المصطلحات الحرة بالتتابع من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

مثال 9

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع، هنا مرة أخرى لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه، نظرًا لأن الحل يتبع الصيغ الجاهزة. ولكن هناك بضعة تعليقات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال، على سبيل المثال: .
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فافعل ما يلي:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تواجه جزءًا "سيئًا"، عليك التحقق على الفور هل تمت إعادة كتابة الشرط بشكل صحيح؟. إذا تمت إعادة كتابة الشرط دون أخطاء، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم تحديد أي أخطاء نتيجة للتدقيق، فمن المرجح أن يكون هناك خطأ مطبعي في شروط المهمة. في هذه الحالة، بهدوء وحذر، قم بتنفيذ المهمة حتى النهاية، وبعد ذلك تأكد من التحققونخرجها بشباك نظيفة بعد القرار. بالطبع، يعد التحقق من الإجابة الكسرية مهمة غير سارة، ولكنها ستكون حجة مقنعة للمعلم، الذي يحب حقًا إعطاء علامة ناقص لأي هراء مثل . كيفية التعامل مع الكسور موصوفة بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فاستخدم برنامجا آليا للتحقق، والذي يمكن تنزيله مجانا في بداية الدرس. بالمناسبة، من الأكثر ربحية استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل)، وسترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب الحل للنظام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. بين الحين والآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير، وفي الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات، من المهم جدًا كتابة المحدد الرئيسي بشكل صحيح وبعناية:
– يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يقع فيه الصفر، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من الحسابات.

مثال 10

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة وجود نظام مكون من 4 معادلات مع 4 مجهولين، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في الدرس خصائص المحددات. تقليل ترتيب المحدد - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل النظام باستخدام مصفوفة معكوسة

طريقة مصفوفة معكوسة- وهذا في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(أنظر المثال رقم 3 من الدرس المخصص).

لدراسة هذا القسم، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات، وإيجاد معكوس المصفوفة، وإجراء ضرب المصفوفات. سيتم توفير الروابط ذات الصلة مع تقدم التوضيحات.

مثال 11

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: لنكتب النظام في شكل مصفوفة:
، أين

يرجى إلقاء نظرة على نظام المعادلات والمصفوفات. أعتقد أن الجميع يفهم المبدأ الذي نكتب به العناصر في المصفوفات. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة من المعادلات، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين المصفوفة المنقولة الإضافات الجبريةعناصر المصفوفة المقابلة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا كانت المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة يتم حل النظام بطريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في 3 صفوف وعمودين

أثناء الحل، من الأفضل وصف حساب القاصرين بالتفصيل، على الرغم من أنه مع بعض الخبرة يمكنك التعود على حسابهم مع وجود أخطاء شفهيًا.

طريقة كرامر أو ما يسمى بقاعدة كرامر هي طريقة للبحث عن الكميات المجهولة من أنظمة المعادلات. ولا يمكن استخدامه إلا إذا كان عدد القيم المطلوبة مساويا لعدد المعادلات الجبرية في النظام، أي أن المصفوفة الرئيسية المتكونة من النظام يجب أن تكون مربعة ولا تحتوي على صفوف صفرية، وأيضا إذا كان محددها يجب أن يكون لا يكون صفر.

النظرية 1

نظرية كريمرإذا كان المحدد الرئيسي $D$ للمصفوفة الرئيسية، والذي تم تجميعه على أساس معاملات المعادلات، لا يساوي الصفر، فإن نظام المعادلات متسق، وله حل فريد. يتم حساب حل مثل هذا النظام من خلال ما يسمى بصيغ كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية: $x_i = \frac(D_i)(D)$

ما هي طريقة كريمر؟

جوهر طريقة كريمر هو كما يلي:

لإيجاد حل للنظام باستخدام طريقة كرامر، نقوم أولاً بحساب المحدد الرئيسي للمصفوفة $D$. عندما يتبين أن المحدد المحسوب للمصفوفة الرئيسية، عند حسابه بطريقة كرامر، يساوي الصفر، فإن النظام ليس لديه حل واحد أو لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة، للعثور على إجابة عامة أو أساسية للنظام، يوصى باستخدام الطريقة الغوسية.
ثم تحتاج إلى استبدال العمود الخارجي للمصفوفة الرئيسية بعمود من المصطلحات الحرة وحساب المحدد $D_1$.
كرر نفس الشيء مع جميع الأعمدة، واحصل على المحددات من $D_1$ إلى $D_n$، حيث $n$ هو رقم العمود الموجود في أقصى اليمين.
بعد العثور على جميع المحددات $D_1$...$D_n$، يمكن حساب المتغيرات غير المعروفة باستخدام الصيغة $x_i = \frac(D_i)(D)$.

تقنيات لحساب محدد المصفوفة

لحساب محدد مصفوفة ذات بعد أكبر من 2 في 2، يمكنك استخدام عدة طرق:

قاعدة المثلثات، أو قاعدة ساروس، تذكرنا بنفس القاعدة. جوهر طريقة المثلث هو أنه عند حساب المحدد، تتم كتابة منتجات جميع الأرقام المتصلة في الشكل بالخط الأحمر على اليمين بعلامة زائد، وجميع الأرقام متصلة بطريقة مماثلة في الشكل على اليسار مكتوبة بعلامة ناقص. كلتا القاعدتين مناسبتان للمصفوفات ذات الحجم 3 × 3. في حالة قاعدة ساروس، تتم إعادة كتابة المصفوفة نفسها أولاً، وبجانبها تتم إعادة كتابة العمودين الأول والثاني مرة أخرى. يتم رسم الأقطار من خلال المصفوفة وهذه الأعمدة الإضافية، حيث تكتب أعضاء المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي أو الموازي له بعلامة زائد، والعناصر الواقعة على القطر الثانوي أو الموازية له تكتب بعلامة ناقص.

الشكل 1. قاعدة المثلث لحساب المحدد لطريقة كريمر

باستخدام طريقة تعرف باسم طريقة غاوس، تسمى هذه الطريقة أيضًا أحيانًا بتقليل ترتيب المحدد. في هذه الحالة، يتم تحويل المصفوفة وتقليلها إلى عرض الثلاثي، ثم يتم ضرب جميع الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي. يجب أن نتذكر أنه عند البحث عن محدد بهذه الطريقة، لا يمكنك ضرب أو قسمة الصفوف أو الأعمدة على أرقام دون إخراجها كمضاعف أو مقسوم عليه. في حالة البحث عن محدد، لا يمكن طرح وإضافة صفوف وأعمدة لبعضها البعض إلا بعد ضرب الصف المطروح مسبقًا بعامل غير الصفر. وأيضًا، عندما تقوم بإعادة ترتيب صفوف أو أعمدة المصفوفة، يجب أن تتذكر الحاجة إلى تغيير العلامة النهائية للمصفوفة.
عند حل SLAE مع 4 مجهولات باستخدام طريقة Cramer، فمن الأفضل استخدام طريقة Gauss للبحث وإيجاد المحددات أو تحديد المحدد من خلال البحث عن العناصر الصغرى.

حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة كرامر

دعونا نطبق طريقة كرامر لنظام مكون من معادلتين وكميتين مطلوبتين:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

دعونا نعرضها في شكل موسع للراحة:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

دعونا نجد محدد المصفوفة الرئيسية، ويسمى أيضًا المحدد الرئيسي للنظام:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

إذا كان المحدد الرئيسي لا يساوي الصفر، فمن أجل حل المستنقع باستخدام طريقة كرامر، من الضروري حساب محددين إضافيين من مصفوفتين مع استبدال أعمدة المصفوفة الرئيسية بصف من الحدود الحرة:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

لنبحث الآن عن المجهولين $x_1$ و$x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

مثال 1

طريقة كريمر لحل SLAEs باستخدام مصفوفة رئيسية من الدرجة الثالثة (3 × 3) وثلاثة مجهولة.

حل نظام المعادلات:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

لنحسب المحدد الرئيسي للمصفوفة باستخدام القاعدة المذكورة أعلاه تحت النقطة رقم 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

والآن ثلاثة محددات أخرى:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ كدوت 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 دولارًا

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 دولار

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 دولارًا

لنجد الكميات المطلوبة:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

تناولنا في الجزء الأول بعض المواد النظرية، وطريقة التعويض، بالإضافة إلى طريقة جمع معادلات النظام حداً تلو الآخر. وأوصي كل من دخل الموقع من خلال هذه الصفحة بقراءة الجزء الأول. ربما يجد بعض الزوار أن المادة بسيطة للغاية، ولكن في عملية حل أنظمة المعادلات الخطية، قدمت عددًا من التعليقات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

سنقوم الآن بتحليل قاعدة كرامر، وكذلك حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة وتفصيل ووضوح، وسيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ - ففي نهاية المطاف، يمكن حل أبسط نظام باستخدام الطريقة المدرسية، وهي طريقة الجمع فصلًا بفصل!

والحقيقة هي أنه، وإن كان في بعض الأحيان، تحدث مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك مثال أبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر في حالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بحرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا، وعلى الجانب الأيمن توجد كسور عشرية بفاصلة. الفاصلة ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات، لقد أخذت هذا النظام من مشكلة الاقتصاد القياسي.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. عند استخدام هذه الطريقة، إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فقد يعاقبك المراجع بسبب عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما يمكن إجراؤه بسهولة على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانبين الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال عليك حله بنفسك (مثال للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

دعنا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين: