المحددات وخصائصها. محددات الدرجة الثانية وخصائصها

الموضوع 1. المصفوفات والأنظمة

مفهوم المصفوفة

التعريف 1.مصفوفة

.

هنا، أ ط ي (أنا=1,2,...,م; ي=1,2,...ن) - عناصر المصفوفة، أنا- رقم السطر، ي م = نتسمى المصفوفة مربعمصفوفة النظام ن.

ط¹يتساوي الصفر، ويسمى قطري:

أعزب

باطلويشار إليه بـ θ.

- صف المصفوفة; - عمود المصفوفة.

المحدد(أو المحدد).

محددات الدرجة الثانية

التعريف 2. عن محدد الترتيب الثانيالمصفوفات ، إنه

. (3)

تسميات أخرى : .

وبالتالي، فإن مفهوم المحدد يفترض في نفس الوقت طريقة لحسابه. تسمى الأرقام عناصر المحدد. يسمى القطر الذي تشكله العناصر رئيسيوالعناصر - جانب

مثال 1.محدد المصفوفة يساوي

.

محددات الدرجة الثالثة

التعريف 2. عن محدد الترتيب الثالثهو الرقم الذي يشير إليه الرمز

,

وتعريفها بالمساواة

أعداد - عناصرالمحدد. شكل العناصر بيتعناصر قطرية - جانب.

عند حساب المحدد، لكي تتذكر أي الحدود على الجانب الأيمن من المساواة (4) تؤخذ بعلامة "+" وأيها بعلامة "-"، استخدم القاعدة الرمزية للمثلثات (قاعدة ساروس):

باستخدام علامة "+" يتم أخذ منتجات عناصر القطر الرئيسي والعناصر الموجودة عند رؤوس المثلثات ذات القواعد الموازية للقطر الرئيسي؛ متبوعة بعلامة "-" – حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي والعناصر الموجودة عند رؤوس المثلثات ذات القواعد الموازية للقطر الثانوي.

حساب المحدد باستخدام قاعدة تخصيص العمود.

1. نقوم بتعيين العمودين الأول والثاني بالتتابع على يمين المحدد.

2. نحسب حاصل ضرب ثلاثة عناصر قطريًا من اليسار إلى اليمين، ومن الأعلى إلى الأسفل من أ 11 ل أ 13 وأخذهم بعلامة "+". ثم نحسب حاصل ضرب ثلاثة عناصر قطريًا من اليسار إلى اليمين، ومن الأسفل إلى الأعلى أ 31 ل أ 13 وأخذهم بعلامة "-".

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

مثال 2. احسب المحدد باستخدام قاعدة تخصيص العمود.

3. المحددات ن- الترتيب. قاصرون و الإضافات الجبرية. حساب المحددات عن طريق توسيع الصف (العمود).

دعونا نفكر في مفهوم المحدد ن-لا طلب. محدد ن-الترتيب العالي هو الرقم المرتبط بالمصفوفة ن-بترتيب معين وتحسب وفقا لقانون معين.

,

وهنا عناصر المحدد. لبيان القاعدة التي يتم بها الكشف عن المحدد نالأمر الأول، دعونا نلقي نظرة على بعض المفاهيم.

تعريف 4. صغيرالعنصر المحدد ن-الترتيب يسمى المحدد ( ن- 1) يتم الحصول على الترتيب عن طريق شطب صف وعمود المحدد عند التقاطع الذي يقع فيه هذا العنصر.

تعريف 5. تكملة جبريةبعض عناصر المحدد نيُسمى الترتيب الأصغر لهذا العنصر مضروبًا في , أي .

في محدد من الدرجة الثالثة يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار، على سبيل المثال،

, .

, .

تعريف 6. المحدد ن-من الرتبة الأعلى هو رقم يساوي مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المحدد مضروبًا في مكملاتها الجبرية.

تسمى هذه القاعدة لحساب المحدد التوسع على طول الصف الأول.

نظرية (حول توسيع المحدد).يمكن حساب المحدد عن طريق التوسيع فوق أي صف أو عمود.

- مجموع منتجات عناصر العمود الأول من خلال المكملات الجبرية للعمود الثاني.

مثال 3. حساب محدد الدرجة الرابعة .

حل.نضرب السطر الثالث في (-1) ونضيفه إلى الرابع، ثم نوسع المحدد على طول السطر الرابع:

تم توسيع المحدد من الدرجة الثالثة على طول الصف الأول.

طريقة غاوس.

طريقة غاوسهو أن النظام الأصلي، من خلال القضاء على المجهول، يتحول إلى خطوة بخطوةعقل. في هذه الحالة، يتم إجراء التحويلات على الصفوف في المصفوفة الموسعة، حيث أن التحويلات التي تستبعد المجهولات تعادل التحويلات الأولية لصفوف المصفوفة.

تتكون الطريقة الغوسية من السكتة الدماغية إلى الأمام و يعكس. النهج المباشر لطريقة غاوس هو تقليل المصفوفة الموسعة للنظام (1) إلى شكل تدريجي عن طريق التحويلات الأولية عبر الصفوف. وبعد ذلك يتم فحص النظام للتأكد من اتساقه وتأكده. ثم يتم إعادة بناء نظام المعادلات باستخدام مصفوفة الخطوة. الحل لهذا النظام المتدرج من المعادلات هو عكس الطريقة الغوسية، حيث، بدءًا من المعادلة الأخيرة، يتم تحديد المجهولات ذات الحجم الكبير رقم سري، ويتم استبدال قيمها في المعادلة السابقة للنظام.

نحن ندرس النظام في نهاية التحرك للأمام باستخدام نظرية كرونيكر-كابيلي من خلال مقارنة صفوف مصفوفة النظام A والمصفوفة الموسعة A´. الحالات التالية ممكنة.

1) إذا ، فإن النظام غير متناسق (حسب نظرية كرونيكر-كابيلي).

2) إذا كان النظام (1) محدداً، والعكس صحيح (بدون برهان).

3) إذا كان النظام (1) غير مؤكد، والعكس صحيح (بدون برهان).

عدم المساواة لا تصمد، بما أن المصفوفة A هي جزء من المصفوفة A'، فإن المتراجحة لا تصمد، لأن عدد أعمدة المصفوفة A متساوي ص. علاوة على ذلك، بالنسبة للنظام ذو المصفوفة المربعة، هذا هو، إذا ص = ت، فإن المساواة تعادل حقيقة أن .

إذا كان النظام غير مؤكد، أي أنه تم تنفيذه، فسيتم إعلان بعض مجاهيله حرة، ويتم التعبير عن الباقي من خلالها. عدد المجهولين الحرة هو . عند إجراء عكس الطريقة الغوسية، إذا بقي في المعادلة التالية، بعد استبدال المتغيرات الموجودة مسبقًا، أكثر من مجهول واحد، فسيتم إعلان أي مجهول باستثناء واحد مجهولًا حرًا.

دعونا نلقي نظرة على تنفيذ طريقة غاوس باستخدام الأمثلة.

مثال 4. حل نظام المعادلات

حل.دعونا نحل النظام باستخدام الطريقة الغوسية. لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام تحويلات الصف الأولية (الحركة المباشرة).

~ ~ ~

~ ~ .

ولذلك فإن النظام متسق وله حل فريد، أي. هو مؤكد.

دعونا ننشئ نظامًا متدرجًا ونحله (عكسيًا).

يمكن إجراء الفحص بسهولة عن طريق الاستبدال.

إجابة: .

الموضوع 2. الجبر المتجه.

إسقاط المتجه على المحور.

تعريف 2. الإسقاط المتجهلكل محور لهو رقم يساوي طول القطعة أ.بهذا المحور، محصور بين إسقاطات بداية ونهاية المتجه، مأخوذ بعلامة "+"، إذا كان الجزء أ.بالموجهة (العد من أل في) الخامس جانب إيجابيمحاور لوالعلامة "-" - خلاف ذلك (انظر الشكل 2).

تعيين: .

النظرية 1.إن إسقاط المتجه على المحور يساوي منتج معامله وجيب تمام الزاوية بين المتجه والاتجاه الإيجابي للمحور (الشكل 3):

. (1)

تين. 3. الشكل 4.

دليل. من (الشكل 3) نحصل على . اتجاه القطعة يتطابق مع الاتجاه الموجب للمحور، وبالتالي فإن المساواة صحيحة. في حالة الاتجاه المعاكس (الشكل 4) لدينا . لقد تم إثبات النظرية.

دعونا ننظر في خصائص الإسقاطات.

ملكية 1. إن إسقاط مجموع متجهين على المحور يساوي مجموع إسقاطاتهما على نفس المحور، أي.

الشكل 5.

الدليل في حالة أحد الترتيبات المحتملة للمتجهات يأتي من الشكل 5. في الواقع، حسب التعريف 2

الخاصية 1 صحيحة لأي عدد محدود من حدود المتجهات.

ملكية 2. عندما يتم ضرب المتجه برقم l، يتم ضرب إسقاطه بهذا الرقم

. (2)

فلنثبت المساواة (٢). عندما تكون المتجهات وتشكل نفس الزاوية مع المحور. بواسطة النظرية 1

عندما تكون المتجهات وزوايا الشكل ومع المحور على التوالي. النظرية 1

لأننا نحصل على المساواة الواضحة

نتيجة طبيعية من الخصائص 1 و 2. إن إسقاط مجموعة خطية من المتجهات يساوي نفس المجموعة الخطية من إسقاطات هذه المتجهات، أي.

الموضوع 1. المصفوفات والأنظمة

مفهوم المصفوفة

التعريف 1.مصفوفةالحجم هو جدول مستطيل من الأرقام أو التعبيرات الأبجدية المكتوبة في النموذج

.

هنا، أ ط ي (أنا=1,2,...,م; ي=1,2,...ن) - عناصر المصفوفة، أنا- رقم السطر، ي- رقم العمود. عادة ما يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة الأبجدية اللاتينيةأ، ب، ج، وما إلى ذلك، وكذلك أو. في م = نتسمى المصفوفة مربعمصفوفة النظام ن.

مصفوفة مربعة جميع عناصرها لها مؤشرات غير متساوية ط¹يتساوي الصفر، ويسمى قطري:

إذا كانت جميع العناصر غير الصفرية في المصفوفة القطرية تساوي واحدًا، فتسمى المصفوفة أعزب. يُشار إلى مصفوفة الهوية عادةً بالحرف E.

تسمى المصفوفة التي عناصرها كلها صفر باطلويشار إليه بـ θ.

هناك أيضًا مصفوفات تتكون من صف واحد أو عمود واحد.

- صف المصفوفة; - عمود المصفوفة.

الخاصية العددية للمصفوفة المربعة هي المحدد(أو المحدد).

محددات الدرجة الثانية والثالثة، خصائصها.

محددات الدرجة الثانية

التعريف 2. عن محدد الترتيب الثانيالمصفوفات (أو ببساطة محدد من الدرجة الثانية) هو رقم يُشار إليه برمز ويُعرف بالمساواة ، إنه

. (3)

تسميات أخرى : .

للعثور على محدد المصفوفة، عليك استخدام الصيغ الصالحة للمحددات من الرتبة الثانية والثالثة.

معادلة

اسمح بمصفوفة من الدرجة الثانية $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. ثم يتم حساب محدده باستخدام الصيغة:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ كدوت أ_(21) $$

من حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر الرئيسي $ a_(11)\cdot a_(22) $، يتم طرح حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر الثانوي $ a_(12)\cdot a_(21) $. هذه القاعدة صحيحة فقط (!) بالنسبة لمحدد الدرجة الثانية.

إذا أعطيت مصفوفة من الدرجة الثالثة $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $، فيجب حساب محدده باستخدام الصيغة:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) أ_(31)-أ_(23)أ_(32)أ_(11)-أ_(12)أ_(21)أ_(33) $$

أمثلة على الحلول

مثال 1

دع المصفوفة $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ تحسب محددها.

حل

كيفية العثور على محدد المصفوفة؟ ولننتبه إلى أن المصفوفة مربعة من الرتبة الثانية، أي أن عدد الأعمدة يساوي عدد الصفوف ويحتوي كل منها على عنصرين. لذلك، دعونا نطبق الصيغة الأولى. لنضرب العناصر الموجودة على القطر الرئيسي ونطرح منها حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر الثانوي: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!

إجابة

$$ \دلتا = -2 $$

مثال 2

بالنظر إلى المصفوفة $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. نحن بحاجة لحساب المحدد.

حل

بما أن المشكلة عبارة عن مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة، فيجب إيجاد المحدد باستخدام الصيغة الثانية. لتبسيط حل المشكلة، يكفي استبدال القيم من مصفوفة مشكلتنا بدلاً من المتغيرات $ a_(ij) $ في الصيغة: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ ومن الجدير بالذكر أنه عندما نجد حواصل عناصر على القطر الثانوي وما شابهها، يتم وضع علامة الطرح أمام حواصل الضرب.

إجابة

$$ \دلتا = 31 $$

التعريف 6. محدد الدرجة الثالثة المقابل لمصفوفة النظام (1.4) هو الرقم D الذي يساوي

من أجل حساب المحددات من الدرجة الثالثة، يتم استخدام نظامين حسابيين يجعلان من الممكن حساب المحددات من الدرجة الثالثة دون الكثير من المتاعب. تُعرف هذه المخططات باسم " حكم المثلث" (أو "قاعدة النجمة") و" حكم ساروس ".

وفقًا لقاعدة المثلث، يتم أولاً ضرب العناصر المتصلة بخطوط في المخطط وإضافتها

أولئك. نحصل على مجموع المنتجات: أ 11 أ 22 أ 33 + أ 12 أ 23 أ 31 + أ 21 أ 13 أ 32.

يرجى ملاحظة أنه يتم ضرب العناصر المتصلة بخط واحد، مستقيمة أو متقطعة، ثم يتم إضافة المنتجات الناتجة.

ثم يتم ضرب العناصر المتصلة في المخطط وإضافتها

أولئك. نحصل على مجموع آخر من المنتجات أ 13 أ 22 أ 31 + أ 12 أ 21 أ 33 + أ 11 أ 23 أ 32. وأخيرًا، لحساب المحدد، يتم طرح الثاني من المجموع الأول. ثم نحصل أخيرًا على صيغة حساب محدد الدرجة الثالثة:

د=(أ 11 أ 22 أ 33 + أ 12 أ 23 أ 31 + أ 21 أ 13 أ 32)-( أ 13 أ 22 أ 31 + أ 12 أ 21 أ 33 + أ 11 أ 23 أ 32).

وفقا لقاعدة ساروس، يتم إضافة العمودين الأولين إلى المحدد الموجود على اليمين، ومن ثم يتم حساب مجموع حاصل ضرب عناصر المحدد في اتجاه واحد ومجموع حاصل ضرب العناصر في الاتجاه الآخر يتم طرح منه (انظر الرسم البياني):

يمكنك التأكد من أن النتيجة ستكون هي نفسها عند حساب المحدد باستخدام قاعدة المثلث.

مثال. المحدد الحسابي

حل. دعونا نحسب المحدد باستخدام قاعدة النجمة

ووفقا لقاعدة ساروس

أولئك. نحصل على نفس النتيجة لكلا المخططين الحسابيين، كما هو متوقع.

لاحظ أن جميع الخصائص المصاغة للمحددات من الدرجة الثانية صالحة للمحددات من الدرجة الثالثة، كما يمكنك التحقق من ذلك بنفسك. وعلى أساس هذه الخصائص نقوم بصياغة الخصائص العامة للمحددات من أي ترتيب.

محدد المصفوفة المربعة هي رقم يتم حسابه على النحو التالي:

أ) إذا كان ترتيب المصفوفة المربعة هو 1، أي. ويتكون من رقم واحد، فإن المحدد يساوي هذا الرقم؛

ب) إذا كان ترتيب المصفوفة المربعة هو 2، أي. ويتكون من 4 أرقام، فإن المحدد يساوي الفرق بين منتج عناصر القطر الرئيسي ومنتج عناصر القطر الثانوي؛

ج) إذا كان ترتيب المصفوفة المربعة هو 3، أي. ويتكون من 9 أرقام، ثم المحدد يساوي المبلغحاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي ومثلثين موازيين لهذا القطر، ومنه طرح مجموع حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي ومثلثين موازيين لهذا القطر.

أمثلة

خصائص المحددات

1. لن يتغير المحدد إذا تم استبدال الصفوف بأعمدة والأعمدة بصفوف

1. المحدد الذي له سلسلتين متطابقتين يساوي صفرًا
2. يمكن إخراج العامل المشترك لأي صف (صف أو عمود) من المحدد من إشارة المحدد

4. عند إعادة ترتيب سلسلتين متوازيتين فإن التغييرات المحددة تشير إلى السلسلة المقابلة لها

5. إذا كانت عناصر أي سلسلة من المحددات عبارة عن مجموع حدين، فيمكن توسيع المحدد إلى مجموع محددين متقابلين

6. لن يتغير المحدد إذا أضيفت العناصر المتناظرة في سلسلة متوازية إلى عناصر سلسلة واحدة مضروبة في أي رقم

العنصر الأصغر للمحدد ومكمله الجبري

عنصر ثانوي IJمحدد الترتيب n هو محدد الترتيب n-1 الذي تم الحصول عليه من المحدد الأصلي عن طريق شطب الصف i والعمود j

المكمل الجبري للعنصر IJالمحدد هو القاصر مضروبا في (-1) i+ j

مثال

مصفوفة معكوسة

المصفوفة تسمى غير منحط، إذا كان محددها لا يساوي الصفر، وإلا تسمى المصفوفة مفردة

المصفوفة تسمى اتحاد، إذا كان يتكون من المكملات الجبرية المقابلة وتم نقله

المصفوفة تسمى يعكسإلى مصفوفة معينة إذا كان منتجها يساوي مصفوفة الهوية بنفس ترتيب المصفوفة المحددة

نظرية الوجود مصفوفة معكوسة

أي مصفوفة غير مفردة لها معكوس يساوي المصفوفة المتحالفة مقسومًا على محدد هذه المصفوفة

خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية A

1. المحدد الحسابي

1. تبديل المصفوفة

1. أنشئ مصفوفة موحدة، واحسب جميع المكملات الجبرية للمصفوفة المنقولة

1. استخدم الصيغة:

مصفوفة طفيفةهو محدد يتكون من عناصر تقع عند تقاطع صفوف k المحددة وأعمدة k لمصفوفة معينة بحجم mxn

رتبة المصفوفةهو أعلى ترتيب للمصفوفة الثانوية غير الصفر

تدوين ص (أ)، رانجا

رتبةيساوي عدد الصفوف غير الصفرية لمصفوفة الخطوة.

مثال

الأنظمة المعادلات الخطية.

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على معادلات m وn مجهولة بنظام النموذج

أين الأرقام أ IJ - معاملات النظام والأرقام ب - المصطلحات المجانية

نموذج تسجيل المصفوفةأنظمة المعادلات الخطية

حل النظاميتم استدعاء قيم n للمجاهول c 1، c 2،…، c n، عند استبدالها في النظام، تتحول جميع معادلات النظام إلى متساويات حقيقية. يمكن كتابة حل النظام كمتجه عمود.

يسمى نظام المعادلات مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير متوافق، إذا لم تكن هناك حلول.

نظرية كرونيكر-كابيلي

يكون نظام LU ثابتًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الموسعة

طرق حل نظام LU

1. طريقة غاوس(باستخدام التحويلات الأولية، قم بتقليل المصفوفة الموسعة إلى مصفوفة خطوة ثم إلى مصفوفة أساسية)

تشمل التحولات الأولية ما يلي:

إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)

إضافة إلى صف (عمود) آخر، مضروبًا في رقم غير 0.

لنقم بإنشاء مصفوفة موسعة:

دعونا نختار العنصر البادئ في العمود الأول والصف الأول، العنصر 1.، ونطلق عليه اسم البادئة. لن يتغير السطر الذي يحتوي على العنصر الرئيسي. دعونا نعيد ضبط العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي. للقيام بذلك، أضف السطر الأول إلى السطر الثاني، مضروبًا في (-2). أضف السطر الأول إلى السطر الثالث، مضروبًا في (-1)، نحصل على:

دعونا نتبادل السطرين الثاني والثالث. قم بشطب العمود الأول والصف الأول عقليًا، ثم تابع الخوارزمية الخاصة بالمصفوفة المتبقية. إلى السطر الثالث نضيف الثاني مضروبا في 5.

لقد أحضرنا المصفوفة الموسعة إلى شكل متدرج. وبالعودة إلى معادلات النظام، بدءًا من السطر الأخير وصعودًا، نحدد المجهولات واحدًا تلو الآخر.

2. طريقة المصفوفة (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B؛ مصفوفة معكوسة للمصفوفة الرئيسية مضروبة في عمود المصطلحات الحرة)

3. طريقة كريمر.

تم العثور على حل النظام بالصيغة:

أين هو محدد المصفوفة الرئيسية المعدلة، حيث يتم تغيير العمود i إلى عمود المصطلحات الحرة، وهو المحدد الرئيسي، ويتكون من معاملات المجهولات.

ثلاثة أبعاد.

المتجههو جزء موجه

يتم إعطاء أي متجه بالطول (المعامل) والاتجاه.

التسمية: أو

حيث A هو بداية المتجه، B هو نهاية المتجه، وهو طول المتجه.

تصنيف المتجهات

ناقل صفرهو متجه طوله صفر

حتى النصرهو متجه طوله يساوي واحدًا

ناقلات متساوية- هذان متجهان لهما نفس الطول والاتجاه

ناقلات متضادة- هذان متجهان أطوالهما متساوية واتجاهاتهما متضادة

المتجهات الخطية- هذان متجهان يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين

مشترك الاتجاهالمتجهات هما متجهان على خط واحد لهما نفس الاتجاه

الاتجاه المعاكسالمتجهات هما متجهان على خط واحد لهما اتجاهان متعاكسان

متحد المستوىالمتجهات هي ثلاثة متجهات تقع في نفس المستوى أو على مستويات متوازية

نظام مستطيلالإحداثيات على المستوى عبارة عن خطين متعامدين مع اتجاه وأصل محددين، ويسمى الخط الأفقي محور الإحداثي، والخط العمودي يسمى المحور الإحداثي

لكل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيل نقوم بتعيين رقمين: الإحداثي والإحداثي

نظام مستطيلالإحداثيات في الفضاء هي ثلاثة خطوط مستقيمة متعامدة بشكل متبادل لها اتجاه وأصل مختار، بينما الخط المستقيم الأفقي الموجه نحونا يسمى محور الإحداثي، والخط المستقيم الأفقي الموجه إلى يميننا هو المحور الإحداثي، والخط المستقيم العمودي الموجه للأعلى يسمى المحور المطبق

لكل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيل نقوم بتعيين ثلاثة أرقام: الإحداثي الإحداثي والإحداثي والتطبيق