حل مستنقع كرامر. طريقة كريمر: حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (سلاو)

2. حل أنظمة المعادلات بطريقة المصفوفة (باستخدام المصفوفة العكسية).
3. طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات.

طريقة كريمر.

يتم استخدام طريقة كرامر لحل الأنظمة الخطية المعادلات الجبرية (SLAU).

الصيغ باستخدام مثال نظام من معادلتين بمتغيرين.
منح:حل النظام باستخدام طريقة كرامر

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:
لنجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات نظام حساب المحددات. :

دعونا نطبق صيغ كرامر ونجد قيم المتغيرات:
و .
مثال 1:
حل نظام المعادلات:

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:


دعونا نستبدل العمود الأول في هذا المحدد بعمود المعاملات من الجانب الأيمن للنظام ونوجد قيمته:

دعنا نقوم به عمل مماثل، استبدال العمود الثاني في المحدد الأول:

ملائم صيغ كريمروالعثور على قيم المتغيرات:
و .
إجابة:
تعليق:يمكن لهذه الطريقة حل الأنظمة ذات الأبعاد الأعلى.

تعليق:إذا اتضح أنه لا يمكن القسمة على صفر، فسيقولون أن النظام ليس لديه حل فريد. في هذه الحالة، النظام إما أن يكون لديه عدد لا نهائي من الحلول أو ليس لديه حلول على الإطلاق.

مثال 2(عدد لا نهائي من الحلول):

حل نظام المعادلات:

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:
دعونا نجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات النظام:

حل الأنظمة باستخدام طريقة الاستبدال.

أول معادلات النظام هي المساواة الصحيحة لأي قيم للمتغيرات (لأن 4 يساوي دائمًا 4). هذا يعني أنه لم يتبق سوى معادلة واحدة. هذه معادلة للعلاقة بين المتغيرات.
وجدنا أن حل النظام هو أي زوج من قيم المتغيرات المرتبطة ببعضها البعض بالمساواة.
سيتم كتابة الحل العام على النحو التالي:
يمكن تحديد حلول معينة عن طريق اختيار قيمة عشوائية لـ y وحساب x من مساواة الاتصال هذه.

إلخ.
هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.
إجابة: قرار مشترك
الحلول الخاصة:

مثال 3(لا توجد حلول، النظام غير متوافق):

حل نظام المعادلات:

حل:
دعونا نجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات النظام:

لا يمكن استخدام صيغ كريمر. دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة الاستبدال

المعادلة الثانية للنظام هي المساواة التي لا تنطبق على أي قيم للمتغيرات (طبعا، لأن -15 لا يساوي 2). إذا كانت إحدى معادلات النظام غير صحيحة لأي من قيم المتغيرات، فإن النظام بأكمله ليس لديه حلول.
إجابة:لا توجد حلول

طُرق كرامرو غاوس- إحدى طرق الحل الأكثر شعبية SLAU. بالإضافة إلى ذلك، يُنصح في بعض الحالات باستخدام طرق محددة. لقد انتهت الجلسة، والآن هو الوقت المناسب لتكرارها أو إتقانها من البداية. اليوم سنلقي نظرة على الحل باستخدام طريقة كريمر. بعد كل شيء، الحل للنظام المعادلات الخطيةتعتبر طريقة كريمر مهارة مفيدة للغاية.

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات الجبرية الخطية هو نظام معادلات من الشكل:

مجموعة القيمة س والتي تتحول فيها معادلات النظام إلى متطابقات، ويسمى حل النظام، أ و ب هي معاملات حقيقية. يمكن حل نظام بسيط يتكون من معادلتين بمجهولين في رأسك أو عن طريق التعبير عن متغير واحد بدلالة الآخر. ولكن من الممكن أن يكون هناك أكثر من متغيرين (xes) في SLAE، وهنا لا تكون التلاعبات المدرسية البسيطة كافية. ما يجب القيام به؟ على سبيل المثال، قم بحل SLAEs باستخدام طريقة Cramer!

لذا، دع النظام يتكون من ن المعادلات مع ن مجهول.

يمكن إعادة كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة

هنا أ - المصفوفة الرئيسية للنظام، X و ب على التوالي، مصفوفات الأعمدة ذات المتغيرات غير المعروفة والمصطلحات الحرة.

حل SLAEs باستخدام طريقة كرامر

إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر (المصفوفة غير مفردة)، فيمكن حل النظام باستخدام طريقة كرامر.

وفقا لطريقة كريمر، تم إيجاد الحل باستخدام الصيغ:

هنا دلتا هو المحدد للمصفوفة الرئيسية، و دلتا س ن - المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد المصفوفة الرئيسية عن طريق استبدال العمود ن بعمود المصطلحات الحرة.

هذا هو جوهر طريقة كريمر. استبدال القيم الموجودة باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه س في النظام المطلوب، نحن مقتنعون بصحة (أو العكس) حلنا. ولمساعدتك على فهم الجوهر بسرعة، نقدم أدناه مثالاً لحل تفصيلي لـ SLAE باستخدام طريقة Cramer:

حتى لو لم تنجح في المرة الأولى، فلا تثبط عزيمتك! مع القليل من الممارسة، سوف تبدأ في كسر وحدات SLAU مثل المكسرات. علاوة على ذلك، الآن ليس من الضروري على الإطلاق التنقيب في دفتر الملاحظات، وحل الحسابات المرهقة وكتابة النواة. يمكنك بسهولة حل SLAEs باستخدام طريقة Cramer عبر الإنترنت، فقط عن طريق الاستبدال نموذج جاهزمعاملات. جربها آلة حاسبة على الانترنتيمكن العثور على الحلول باستخدام طريقة كرامر، على سبيل المثال، على هذا الموقع.

وإذا تبين أن النظام عنيد ولا يستسلم، فيمكنك دائما الاتصال بمؤلفينا للحصول على المساعدة، على سبيل المثال،. إذا كان هناك ما لا يقل عن 100 مجهول في النظام، فسنقوم بالتأكيد بحلها بشكل صحيح وفي الوقت المحدد!

النظر في نظام من 3 معادلات مع ثلاثة مجهولين

باستخدام محددات الدرجة الثالثة، يمكن كتابة حل هذا النظام بنفس صيغة نظام من معادلتين، أي.

(2.4)

إذا 0. هنا

إنه هناك حكم كريمر حل نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل.

مثال 2.3.حل نظام المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر:

حل . العثور على محدد المصفوفة الرئيسية للنظام

بما أن 0، لإيجاد حل للنظام يمكننا تطبيق قاعدة كرامر، لكن أولًا نحسب ثلاثة محددات أخرى:

فحص:

ولذلك تم العثور على الحل بشكل صحيح. 

قواعد كريمر مشتقة من الأنظمة الخطيةيشير الترتيبان الثاني والثالث إلى أنه يمكن صياغة نفس القواعد للأنظمة الخطية من أي ترتيب. يحدث حقا

نظرية كريمر. النظام التربيعي للمعادلات الخطية ذات المحدد غير الصفري للمصفوفة الرئيسية للنظام (0) له حل واحد فقط ويتم حساب هذا الحل باستخدام الصيغ

(2.5)

أين  – محدد المصفوفة الرئيسية,  أنا – محدد المصفوفة, تم الحصول عليها من الرئيسي، واستبدالأناالعمود الرابع من المصطلحات المجانية.

لاحظ أنه إذا كانت =0، فإن قاعدة كرامر لا تنطبق. وهذا يعني أن النظام إما ليس لديه حلول على الإطلاق أو لديه عدد لا نهائي من الحلول.

بعد صياغة نظرية كرامر، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بطبيعة الحال هو حساب محددات الرتب العليا.

2.4. محددات الترتيب ن

قاصر إضافية م اي جايعنصر أ اي جايهو محدد تم الحصول عليه من معين عن طريق الحذف أناالسطر و يالعمود العاشر. تكملة جبرية أ اي جايعنصر أ اي جايويسمى الجزء الأصغر من هذا العنصر المأخوذ بالعلامة (-1). أنا + ي، أي. أ اي جاي = (–1) أنا + ي م اي جاي .

على سبيل المثال، دعونا نجد القصر و الإضافات الجبريةعناصر أ 23 و أ 31 التصفيات

نحن نحصل



باستخدام مفهوم المكمل الجبري يمكننا صياغة نظرية التوسع المحددن-الترتيب حسب الصف أو العمود.

نظرية 2.1. محدد المصفوفةأيساوي مجموع منتجات جميع عناصر صف (أو عمود) معين من خلال مكملاتها الجبرية:

(2.6)

تشكل هذه النظرية أساس إحدى الطرق الرئيسية لحساب المحددات، ما يسمى. طريقة تخفيض الطلب. نتيجة لتوسيع المحدد نالترتيب الرابع على أي صف أو عمود، نحصل على محددات n ( ن– 1) الترتيب . للحصول على عدد أقل من هذه المحددات، من المستحسن تحديد الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. من الناحية العملية، عادة ما يتم كتابة صيغة التوسع للمحدد على النحو التالي:

أولئك. تتم كتابة الإضافات الجبرية بشكل صريح من حيث القصر.

أمثلة 2.4.احسب المحددات عن طريق فرزها أولًا في صف أو عمود. عادةً، في مثل هذه الحالات، حدد العمود أو الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. سيتم الإشارة إلى الصف أو العمود المحدد بواسطة سهم.



2.5. الخصائص الأساسية للمحددات

بتوسيع المحدد على أي صف أو عمود، نحصل على محددات n ( ن– 1) الترتيب . ثم كل من هذه المحددات ( ن–1) يمكن أيضًا تقسيم الترتيب إلى مجموع المحددات ( ن– 2) الترتيب . وباستمرار هذه العملية يمكن الوصول إلى محددات الدرجة الأولى، أي. لعناصر المصفوفة التي يتم حساب محددها. لذلك، لحساب محددات الدرجة الثانية، سيتعين عليك حساب مجموع حدين، لمحددات الدرجة الثالثة - مجموع 6 حدود، لمحددات الدرجة الرابعة - 24 حدًا. سيزداد عدد المصطلحات بشكل حاد مع زيادة ترتيب المحدد. وهذا يعني أن حساب محددات الطلبات العالية جدًا يصبح مهمة كثيفة العمالة إلى حد ما، بما يتجاوز قدرات الكمبيوتر. ومع ذلك، يمكن حساب المحددات بطريقة أخرى، باستخدام خصائص المحددات.

الخاصية 1 . لن يتغير المحدد إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه، أي. عند نقل المصفوفة:

.

تشير هذه الخاصية إلى تساوي صفوف وأعمدة المحدد. بمعنى آخر، أي عبارة عن أعمدة المحدد صحيحة أيضًا بالنسبة لصفوفه، والعكس صحيح.

الملكية 2 . يتم تسجيل التغييرات المحددة عند تبادل صفين (أعمدة).

عاقبة . إذا كان للمحدد صفين (أعمدة) متطابقتين، فهو يساوي الصفر.

الملكية 3 . يمكن إخراج العامل المشترك لجميع العناصر في أي صف (عمود) من علامة المحدد.

على سبيل المثال،

عاقبة . إذا كانت جميع عناصر صف (عمود) معين من المحدد تساوي صفرًا، فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا.

الخاصية 4 . لن يتغير المحدد إذا أضيفت عناصر صف (عمود) إلى عناصر صف (عمود) آخر مضروبة في أي رقم.

على سبيل المثال،

العقار 5 . محدد منتج المصفوفات يساوي منتج محددات المصفوفات:

مع نفس عدد المعادلات مثل عدد المجهولين مع المحدد الرئيسي للمصفوفة، والذي لا يساوي الصفر، معاملات النظام (لمثل هذه المعادلات يوجد حل وهناك واحد فقط).

نظرية كريمر.

عندما تكون محدد مصفوفة النظام المربع غير صفر فهذا يعني أن النظام متسق وله حل واحد ويمكن إيجاده عن طريق صيغ كريمر:

حيث Δ - محدد مصفوفة النظام,

Δ أناهو المحدد لمصفوفة النظام، حيث بدلا من أنايحتوي العمود الرابع على عمود الجوانب اليمنى.

عندما يكون محدد النظام صفراً، فهذا يعني أن النظام يمكن أن يصبح متعاوناً أو غير متوافق.

عادة ما تستخدم هذه الطريقة ل أنظمة صغيرةمع الحسابات الحجمية وإذا كان من الضروري تحديد أحد المجهولين. تعقيد الطريقة هو أنه يجب حساب العديد من المحددات.

وصف طريقة كرامر.

هناك نظام المعادلات:

يمكن حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر، والتي تمت مناقشتها أعلاه لنظام من معادلتين.

نؤلف محددًا من معاملات المجهول:

سيكون ذلك محدد النظام. متى د≠0مما يعني أن النظام متسق. لنقم الآن بإنشاء 3 محددات إضافية:

,,

نحن نحل النظام عن طريق صيغ كريمر:

أمثلة على حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة كرامر.

مثال 1.

النظام المعطى:

دعونا نحلها باستخدام طريقة كريمر.

تحتاج أولاً إلى حساب محدد مصفوفة النظام:

لأن Δ≠0، مما يعني أنه من نظرية كرامر يكون النظام متسقًا وله حل واحد. نحسب محددات إضافية. يتم الحصول على المحدد Δ 1 من المحدد Δ عن طريق استبدال عموده الأول بعمود من المعاملات الحرة. نحن نحصل:

بنفس الطريقة، نحصل على محدد Δ 2 من محدد مصفوفة النظام عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من المعاملات الحرة:

دع نظام المعادلات الخطية يحتوي على عدد من المعادلات يساوي عدد المتغيرات المستقلة، أي. يشبه

تسمى أنظمة المعادلات الخطية هذه بالمعادلات التربيعية. محدد يتكون من معاملات مستقلة متغيرات النظام(1.5) يسمى المحدد الرئيسي للنظام. وسوف نشير إليها بالحرف اليوناني D. وهكذا،

. (1.6)

إذا كان المحدد الرئيسي يحتوي على تعسفي ( يث) ، استبدله بعمود شروط النظام المجانية (1.5) ، ثم يمكنك الحصول عليه نالتصفيات المساعدة:

(ي = 1, 2, …, ن). (1.7)

حكم كريمرحل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية هو كما يلي. إذا كان المحدد الرئيسي D للنظام (1.5) مختلفًا عن الصفر، فإن النظام لديه حل فريد يمكن إيجاده باستخدام الصيغ:

(1.8)

مثال 1.5.حل نظام المعادلات باستخدام طريقة كرامر

.

دعونا نحسب المحدد الرئيسي للنظام:

منذ D¹0، أصبح لدى النظام حل فريد، والذي يمكن العثور عليه باستخدام الصيغ (1.8):

هكذا،

الإجراءات على المصفوفات

1. ضرب مصفوفة بعدد.يتم تعريف عملية ضرب المصفوفة برقم على النحو التالي.

2. لضرب مصفوفة في رقم، عليك أن تضرب جميع عناصرها في هذا الرقم. إنه

. (1.9)

مثال 1.6. .

إضافة مصفوفة.

يتم تقديم هذه العملية فقط للمصفوفات ذات الترتيب نفسه.

من أجل إضافة مصفوفتين، من الضروري إضافة العناصر المقابلة لمصفوفة أخرى إلى عناصر مصفوفة واحدة:

(1.10)
عملية إضافة المصفوفة لها خصائص الترابط والإبدال.

مثال 1.7. .

ضرب المصفوفة.

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيتزامن مع عدد صفوف المصفوفة في، ثم يتم تقديم عملية الضرب لمثل هذه المصفوفات:

2

وهكذا، عند ضرب المصفوفة أأبعاد م´ نإلى المصفوفة فيأبعاد ن´ كنحصل على مصفوفة معأبعاد م´ ك. في هذه الحالة، عناصر المصفوفة معيتم حسابها باستخدام الصيغ التالية:

المشكلة 1.8.أوجد حاصل ضرب المصفوفات إن أمكن أ.بو بكالوريوس.:

حل. 1) من أجل العثور على عمل أ.ب، أنت بحاجة إلى صفوف المصفوفة أاضرب بأعمدة المصفوفة ب:

2) العمل بكالوريوس.غير موجود، وذلك لأن عدد أعمدة المصفوفة بلا يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة أ.

مصفوفة معكوسة. حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة

مصفوفة أ- 1 يسمى معكوس المصفوفة المربعة أ، إذا تم استيفاء المساواة:

حيث من خلال أنايشير إلى مصفوفة الهوية بنفس ترتيب المصفوفة أ:

.

لكي يكون للمصفوفة المربعة معكوس، من الضروري والكافي أن يكون محددها مختلفا عن الصفر. تم العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:

, (1.13)

أين ا ج- الإضافات الجبرية للعناصر آي جيالمصفوفات أ(لاحظ أن الإضافات الجبرية إلى صفوف المصفوفة أتقع في المصفوفة العكسية على شكل أعمدة مقابلة).

مثال 1.9.أوجد المصفوفة العكسية أ- 1 إلى المصفوفة

.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة (1.13)، والتي لهذه الحالة ن= 3 له النموذج:

.

دعونا نجد ديت أ = | أ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. بما أن محدد المصفوفة الأصلية غير صفر، فإن المصفوفة العكسية موجودة.

1) البحث عن المكملات الجبرية ا ج:

لسهولة تحديد الموقع مصفوفة معكوسة، قمنا بوضع الإضافات الجبرية لصفوف المصفوفة الأصلية في الأعمدة المقابلة.

من الإضافات الجبرية التي تم الحصول عليها نقوم بتكوين مصفوفة جديدة ونقسمها على المحدد المحدد أ. وهكذا نحصل على المصفوفة العكسية:

يمكن حل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية ذات المحدد الرئيسي غير الصفري باستخدام المصفوفة العكسية. للقيام بذلك، يتم كتابة النظام (1.5) في شكل مصفوفة:

أين

ضرب طرفي المساواة (1.14) من اليسار ب أ- 1- نحصل على حل النظام:

، أين

وبالتالي، من أجل إيجاد حل لنظام مربع، تحتاج إلى العثور على المصفوفة العكسية للمصفوفة الرئيسية للنظام وضربها على اليمين في مصفوفة الأعمدة ذات الحدود الحرة.

المشكلة 1.10.حل نظام المعادلات الخطية

باستخدام المصفوفة العكسية.

حل.لنكتب النظام على شكل مصفوفة : ,

أين - المصفوفة الرئيسية للنظام، - عمود المجهول و - عمود المصطلحات الحرة. منذ المحدد الرئيسي للنظام ثم المصفوفة الرئيسية للنظام ألديه مصفوفة معكوسة أ-1 . للعثور على المصفوفة العكسية أ-1 نحسب المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة أ:

من الأرقام التي تم الحصول عليها سنقوم بتكوين مصفوفة (وإضافات جبرية إلى صفوف المصفوفة أاكتبه في الأعمدة المناسبة) وقسمه على المحدد D. وبذلك نكون قد وجدنا المصفوفة العكسية:

نجد حل النظام باستخدام الصيغة (1.15):

هكذا،

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة الحذف الأردنية العادية

دعونا نعطي نظامًا تعسفيًا (ليس بالضرورة تربيعيًا) من المعادلات الخطية:

(1.16)

مطلوب إيجاد حل للنظام، أي. مثل هذه المجموعة من المتغيرات التي تحقق جميع مساواة النظام (1.16). في الحالة العامةالنظام (1.16) لا يمكن أن يحتوي على حل واحد فقط، بل أيضًا على عدد لا يحصى من الحلول. وقد لا يكون لها حلول على الإطلاق.

عند حل مثل هذه المشكلات يتم استخدام طريقة الدورة المدرسية المعروفة لإزالة المجهول، والتي تسمى أيضًا طريقة القضاء الأردنية العادية. الجوهر هذه الطريقةيكمن في حقيقة أنه في إحدى معادلات النظام (1.16) يتم التعبير عن أحد المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى. ثم يتم استبدال هذا المتغير بمعادلات أخرى في النظام. والنتيجة هي نظام يحتوي على معادلة واحدة ومتغير واحد أقل من النظام الأصلي. يتم تذكر المعادلة التي تم التعبير عن المتغير منها.

تتكرر هذه العملية حتى تبقى معادلة أخيرة في النظام. من خلال عملية حذف المجهولات، قد تصبح بعض المعادلات هويات حقيقية، على سبيل المثال. يتم استبعاد مثل هذه المعادلات من النظام، لأنها تتحقق لأي قيم للمتغيرات، وبالتالي لا تؤثر على حل النظام. إذا أصبحت معادلة واحدة على الأقل، أثناء عملية حذف المجهولات، مساواة لا يمكن تحقيقها لأي قيم للمتغيرات (على سبيل المثال)، فإننا نستنتج أن النظام ليس له حل.

إذا لم تنشأ معادلات متناقضة أثناء الحل، فيوجد أحد المتغيرات المتبقية فيه من المعادلة الأخيرة. إذا كان هناك متغير واحد فقط متبقي في المعادلة الأخيرة، فسيتم التعبير عنه كرقم. إذا بقيت متغيرات أخرى في المعادلة الأخيرة، فإنها تعتبر معلمات، والمتغير المعبر عنه من خلالها سيكون دالة لهذه المعلمات. ثم ما يسمى " السكتة الدماغية العكسية" يتم استبدال المتغير الموجود في آخر معادلة متذكرة ويتم العثور على المتغير الثاني. ثم يتم استبدال المتغيرين الموجودين في المعادلة المحفوظة قبل الأخيرة ويتم إيجاد المتغير الثالث وهكذا حتى المعادلة المحفوظة الأولى.

ونتيجة لذلك، نحصل على حل للنظام. سيكون هذا الحل فريدًا إذا كانت المتغيرات الموجودة عبارة عن أرقام. إذا تم العثور على المتغير الأول، ثم جميع المتغيرات الأخرى، اعتمادًا على المعلمات، فسيكون لدى النظام عدد لا حصر له من الحلول (كل مجموعة من المعلمات تتوافق مع حل جديد). تسمى الصيغ التي تسمح لك بإيجاد حل لنظام ما اعتمادًا على مجموعة معينة من المعلمات بالحل العام للنظام.

مثال 1.11.

س

بعد حفظ المعادلة الأولى وبإحضار مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة نصل إلى النظام:

دعونا نعرب ذمن المعادلة الثانية ونعوض بها في المعادلة الأولى:

ولنتذكر المعادلة الثانية ومن الأولى نجدها ض:

وبالعمل إلى الوراء، نجد باستمرار ذو ض. للقيام بذلك، نعوض أولًا في المعادلة الأخيرة التي تذكرناها، حيث نجدها ذ:

.

ثم نعوض به في المعادلة الأولى المحفوظة حيث يمكننا العثور عليه س:

المشكلة 1.12.حل نظام المعادلات الخطية عن طريق حذف المجهولات:

. (1.17)

حل.دعونا نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى سونعوض به في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

دعونا نتذكر المعادلة الأولى

في هذا النظام تتعارض المعادلتان الأولى والثانية مع بعضهما البعض. بالفعل معربا ذ فنحصل على 14 = 17. وهذه المساواة لا تنطبق على أي قيم للمتغيرات س, ذ، و ض. وبالتالي فإن النظام (1.17) غير متناسق، أي. ليس لديه حل.

ونحن ندعو القراء إلى التحقق بأنفسهم من أن المحدد الرئيسي للنظام الأصلي (1.17) يساوي الصفر.

ولننظر إلى نظام يختلف عن النظام (1.17) بمدة حرة واحدة فقط.

المشكلة 1.13.حل نظام المعادلات الخطية عن طريق حذف المجهولات:

. (1.18)

حل.كما في السابق، نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى سونعوض به في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

دعونا نتذكر المعادلة الأولى وتقديم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة. وصلنا للنظام:

تعبير ذمن المعادلة الأولى وتعويضها في المعادلة الثانية ، نحصل على الهوية 14 = 14، والتي لا تؤثر على حل النظام، وبالتالي يمكن استبعادها من النظام.

في المساواة الأخيرة التي تم تذكرها، المتغير ضسوف نعتبرها معلمة. نعتقد. ثم

دعونا نستبدل ذو ضفي أول المساواة وتذكرها والعثور عليها س:

.

وبالتالي فإن النظام (1.18) لديه عدد لا نهائي من الحلول، وأي حل يمكن إيجاده باستخدام الصيغ (1.19)، واختيار قيمة اختيارية للمعلمة ر:

(1.19)
لذا فإن حلول النظام، على سبيل المثال، هي مجموعات المتغيرات التالية (1؛ 2؛ 0)، (2؛ 26؛ 14)، إلخ. الصيغ (1.19) تعبر عن الحل العام (أي) للنظام (1.18) ).

في الحالة التي يكون فيها النظام الأصلي (1.16) يحتوي على عدد كبير بما فيه الكفاية من المعادلات والمجهولات، فإن الطريقة المشار إليها لحذف جوردان العادي تبدو مرهقة. ومع ذلك، فهو ليس كذلك. يكفي استخلاص خوارزمية لإعادة حساب معاملات النظام في خطوة واحدة منظر عاموصياغة حل المشكلة على شكل جداول خاصة بالأردن.

دعونا نعطي نظام الأشكال الخطية (المعادلات):

, (1.20)
أين س ي- المتغيرات المستقلة (المطلوبة)، آي جي- احتمالات ثابتة
(أنا = 1, 2,…, م; ي = 1, 2,…, ن). الأجزاء الصحيحة من النظام ذ ط (أنا = 1, 2,…, م) يمكن أن تكون إما متغيرات (تابعة) أو ثوابت. والمطلوب إيجاد حلول لهذا النظام من خلال إزالة المجهول.

دعونا ننظر في العملية التالية، والتي تسمى من الآن فصاعدا "خطوة واحدة من عمليات التصفية العادية للأردن". من التعسفي ( صث) المساواة نعبر عن متغير تعسفي ( xs) واستبدالها في جميع المساواة الأخرى. وبطبيعة الحال، هذا ممكن فقط إذا روبية¹ 0. المعامل روبيةيُطلق عليه عنصر الحل (أحيانًا التوجيهي أو الرئيسي).

سوف نحصل النظام التالي:

. (1.21)

من س- مساواة النظام (1.21) ونجد بعد ذلك المتغير xs(بعد العثور على المتغيرات المتبقية). سيتم تذكر السطر -th ثم استبعاده من النظام. سيحتوي النظام المتبقي على معادلة واحدة ومتغير واحد أقل استقلالية من النظام الأصلي.

فلنحسب معاملات النظام الناتج (1.21) من خلال معاملات النظام الأصلي (1.20). دعنا نبدء ب صالمعادلة الرابعة والتي بعد التعبير عن المتغير xsومن خلال المتغيرات المتبقية سيبدو كما يلي:

وبالتالي فإن المعاملات الجديدة صيتم حساب المعادلات باستخدام الصيغ التالية:

(1.23)
دعونا الآن نحسب المعاملات الجديدة ب ي(أنا¹ ص) معادلة تعسفية. للقيام بذلك، دعونا نعوض بالمتغير المعبر عنه بـ (1.22) xsالخامس أناالمعادلة الرابعة للنظام (1.20):

وبعد جلب المصطلحات المتشابهة نحصل على:

(1.24)
ومن المساواة (1.24) نحصل على صيغ يتم من خلالها حساب المعاملات المتبقية للنظام (1.21) (باستثناء صالمعادلة الرابعة):

(1.25)
يتم عرض تحويل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الحذف الأردني العادي على شكل جداول (مصفوفات). تسمى هذه الجداول "جداول الأردن".

وبذلك ترتبط المشكلة (1.20) بجدول الأردن التالي:

الجدول 1.1

	س 1	س 2	…	س ي	…	xs	…	س ن
ذ 1 =	أ 11	أ 12		أ 1ي		أ 1س		أ 1ن
…………………………………………………………………..
ذ ط=	أ 1	أ 2		آي جي		هو		في
…………………………………………………………………..
ص ص=	ص 1	ص 2		آر جي		روبية		آرن
………………………………………………………………….
ذ ن=	أكون 1	أكون 2		مللي جي		مللي		دقيقة

يحتوي جدول الأردن 1.1 على عمود رأسي أيسر تكتب فيه الأجزاء اليمنى من النظام (1.20) وصف رأس علوي تكتب فيه المتغيرات المستقلة.

تشكل العناصر المتبقية من الجدول المصفوفة الرئيسية لمعاملات النظام (1.20). إذا قمت بضرب المصفوفة أإلى المصفوفة التي تتكون من عناصر صف العنوان العلوي، تحصل على مصفوفة تتكون من عناصر عمود العنوان الأيسر. أي أن جدول الأردن هو في الأساس شكل مصفوفة لكتابة نظام من المعادلات الخطية: . النظام (1.21) يتوافق مع جدول الأردن التالي:

الجدول 1.2

	س 1	س 2	…	س ي	…	ص ص	…	س ن
ذ 1 =	ب 11	ب 12		ب 1 ي		ب 1 س		ب 1 ن
…………………………………………………………………..
ذ أنا =	ب ط 1	ب ط 2		ب ي		ب هو		سلة مهملات
…………………………………………………………………..
س س =	ب ر 1	ب ر 2		ب آر جي		ب روبية		brn
………………………………………………………………….
ص ن =	بي ام 1	بي ام 2		ب مج		bms		ب مليون

العنصر المسموح روبية وسوف نسلط الضوء عليها بالخط العريض. تذكر أنه لتنفيذ خطوة واحدة من إزالة الأردن، يجب أن يكون عنصر الحل غير صفر. يسمى صف الجدول الذي يحتوي على عنصر التمكين بصف التمكين. يسمى العمود الذي يحتوي على عنصر التمكين عمود التمكين. عند الانتقال من جدول معين إلى الجدول التالي، متغير واحد ( xs) من صف الرأس العلوي للجدول يتم نقله إلى عمود الرأس الأيسر، وعلى العكس من ذلك، يتم نقل أحد الأعضاء الأحرار في النظام ( ص ص) ينتقل من عمود الرأس الأيسر للجدول إلى صف الرأس العلوي.

دعونا نصف خوارزمية إعادة حساب المعاملات عند الانتقال من جدول الأردن (1.1) إلى الجدول (1.2) الذي يتبع الصيغتين (1.23) و (1.25).

1. يتم استبدال عنصر الحل بالرقم العكسي:

2. يتم تقسيم العناصر المتبقية من سلسلة الحل إلى عنصر الحل وتغيير الإشارة إلى العكس:

3. يتم تقسيم العناصر المتبقية من عمود الدقة إلى عنصر الدقة:

4. تتم إعادة حساب العناصر غير المضمنة في صف السماح وعمود السماح باستخدام الصيغ:

من السهل تذكر الصيغة الأخيرة إذا لاحظت أن العناصر التي يتكون منها الكسر ، عند التقاطع أنا-أوه و صالخطوط ال و يعشر و سالأعمدة (حل الصف، وحل العمود، والصف والعمود عند التقاطع الذي يقع فيه العنصر المعاد حسابه). بتعبير أدق، عند حفظ الصيغة يمكنك استخدام الرسم البياني التالي:

-21 -26 -13 -37

عند تنفيذ الخطوة الأولى من استثناءات الأردن، يمكنك تحديد أي عنصر من عناصر الجدول 1.3 الموجود في الأعمدة كعنصر حل س 1 ,…, س 5 (جميع العناصر المحددة ليست صفراً). فقط لا تحدد عنصر التمكين في العمود الأخير، لأنه تحتاج إلى العثور على متغيرات مستقلة س 1 ,…, س 5 . على سبيل المثال، نختار المعامل 1 مع متغير س 3 في السطر الثالث من الجدول 1.3 (يظهر عنصر التمكين بالخط العريض). عند الانتقال إلى الجدول 1.4، المتغير سيتم تبديل الرقم 3 من صف الرأس العلوي بالثابت 0 من عمود الرأس الأيسر (الصف الثالث). في هذه الحالة المتغير سيتم التعبير عن 3 من خلال المتغيرات المتبقية.

خيط س 3 (الجدول 1.4) يمكن استبعادها من الجدول 1.4 بعد التذكر المسبق. يتم أيضًا استبعاد العمود الثالث الذي يحتوي على صفر في سطر العنوان العلوي من الجدول 1.4. النقطة المهمة هي أنه بغض النظر عن معاملات عمود معين ب ط 3 جميع الحدود المقابلة لكل معادلة 0 ب ط 3 أنظمة ستكون تساوي الصفر. ولذلك، لا يلزم حساب هذه المعاملات. القضاء على متغير واحد س 3 وبتذكر إحدى المعادلات، نصل إلى النظام المقابل للجدول 1.4 (مع شطب الخط س 3). الاختيار في الجدول 1.4 كعنصر حل ب 14 = -5، اذهب إلى الجدول 1.5. في الجدول 1.5، تذكر الصف الأول واستبعده من الجدول مع العمود الرابع (مع وجود صفر في الأعلى).

الجدول 1.5 الجدول 1.6

ومن الجدول الأخير 1.7 نجد: س 1 = - 3 + 2س 5 .

باستبدال المتغيرات الموجودة بالفعل في الأسطر التي تم تذكرها باستمرار، نجد المتغيرات المتبقية:

وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول. عامل س 5، يمكن تعيين قيم تعسفية. يعمل هذا المتغير كمعلمة س 5 = ر. لقد أثبتنا توافق النظام ووجدنا الحل العام له:

س 1 = - 3 + 2ر

س 2 = - 1 - 3ر

س 3 = - 2 + 4ر . (1.27)
س 4 = 4 + 5ر

س 5 = ر

إعطاء المعلمة ربقيم مختلفة، سنحصل على عدد لا نهائي من الحلول للنظام الأصلي. لذلك، على سبيل المثال، حل النظام هو مجموعة المتغيرات التالية (- 3؛ - 1؛ - 2؛ 4؛ 0).