حل كريمر. طريقة كريمر: حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (سلاو)

مع نفس عدد المعادلات مثل عدد المجهولين مع المحدد الرئيسي للمصفوفة، والذي لا يساوي الصفر، معاملات النظام (لمثل هذه المعادلات يوجد حل وهناك واحد فقط).

نظرية كريمر.

عندما تكون محدد مصفوفة النظام المربع غير صفر فهذا يعني أن النظام متسق وله حل واحد ويمكن إيجاده عن طريق صيغ كريمر:

حيث Δ - محدد مصفوفة النظام,

Δ أناهو المحدد لمصفوفة النظام، حيث بدلا من أنايحتوي العمود الرابع على عمود الجوانب اليمنى.

عندما يكون محدد النظام صفراً، فهذا يعني أن النظام يمكن أن يصبح متعاوناً أو غير متوافق.

عادة ما تستخدم هذه الطريقة ل أنظمة صغيرةمع الحسابات الحجمية وإذا كان من الضروري تحديد أحد المجهولين ومتى. تعقيد الطريقة هو أنه يجب حساب العديد من المحددات.

وصف طريقة كرامر.

هناك نظام المعادلات:

يمكن حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر، والتي تمت مناقشتها أعلاه لنظام من معادلتين.

نؤلف محددًا من معاملات المجهول:

سيكون ذلك محدد النظام. متى د≠0مما يعني أن النظام متسق. لنقم الآن بإنشاء 3 محددات إضافية:

,,

نحن نحل النظام عن طريق صيغ كريمر:

أمثلة على حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة كرامر.

مثال 1.

النظام المعطى:

دعونا نحلها باستخدام طريقة كريمر.

تحتاج أولاً إلى حساب محدد مصفوفة النظام:

لأن Δ≠0، مما يعني أنه من نظرية كرامر يكون النظام متسقًا وله حل واحد. نحسب محددات إضافية. يتم الحصول على المحدد Δ 1 من المحدد Δ، مع استبدال عموده الأول بعمود من المعاملات الحرة. نحن نحصل:

بنفس الطريقة، نحصل على محدد Δ 2 من محدد مصفوفة النظام عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من المعاملات الحرة:

2. حل أنظمة المعادلات بطريقة المصفوفة (باستخدام المصفوفة العكسية).
3. طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات.

طريقة كريمر.

يتم استخدام طريقة كرامر لحل الأنظمة الخطية المعادلات الجبرية (SLAU).

الصيغ باستخدام مثال نظام من معادلتين بمتغيرين.
منح:حل النظام باستخدام طريقة كرامر

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:
لنجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات نظام حساب المحددات. :

دعونا نطبق صيغ كرامر ونجد قيم المتغيرات:
و .
مثال 1:
حل نظام المعادلات:

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:


دعونا نستبدل العمود الأول في هذا المحدد بعمود المعاملات من الجانب الأيمن للنظام ونوجد قيمته:

دعنا نقوم به عمل مماثل، استبدال العمود الثاني في المحدد الأول:

ملائم صيغ كريمروالعثور على قيم المتغيرات:
و .
إجابة:
تعليق:يمكن لهذه الطريقة حل الأنظمة ذات الأبعاد الأعلى.

تعليق:إذا اتضح أنه لا يمكن القسمة على صفر، فسيقولون أن النظام ليس لديه حل فريد. في هذه الحالة، النظام إما أن يكون لديه عدد لا نهائي من الحلول أو ليس لديه حلول على الإطلاق.

مثال 2(عدد لا نهائي من الحلول):

حل نظام المعادلات:

فيما يتعلق بالمتغيرات Xو في.
حل:
دعونا نجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات النظام:

حل الأنظمة باستخدام طريقة الاستبدال.

أول معادلات النظام هي المساواة الصحيحة لأي قيم للمتغيرات (لأن 4 يساوي دائمًا 4). هذا يعني أنه لم يتبق سوى معادلة واحدة. هذه معادلة للعلاقة بين المتغيرات.
وجدنا أن حل النظام هو أي زوج من قيم المتغيرات المرتبطة ببعضها البعض بالمساواة.
قرار مشتركسيتم كتابتها مثل هذا:
يمكن تحديد حلول معينة عن طريق اختيار قيمة عشوائية لـ y وحساب x من مساواة الاتصال هذه.

إلخ.
هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.
إجابة:قرار مشترك
الحلول الخاصة:

مثال 3(لا توجد حلول، النظام غير متوافق):

حل نظام المعادلات:

حل:
دعونا نجد محدد المصفوفة المكونة من معاملات النظام:

لا يمكن استخدام صيغ كريمر. دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة الاستبدال

المعادلة الثانية للنظام هي المساواة التي لا تنطبق على أي قيم للمتغيرات (بالطبع لأن -15 لا يساوي 2). إذا كانت إحدى معادلات النظام غير صحيحة لأي من قيم المتغيرات، فإن النظام بأكمله ليس لديه حلول.
إجابة:لا توجد حلول

طُرق كرامرو غاوس- واحدة من طرق الحل الأكثر شعبية SLAU. بالإضافة إلى ذلك، يُنصح في بعض الحالات باستخدام طرق محددة. لقد انتهت الجلسة، والآن هو الوقت المناسب لتكرارها أو إتقانها من البداية. اليوم سنلقي نظرة على الحل باستخدام طريقة كريمر. بعد كل شيء، الحل للنظام المعادلات الخطيةتعتبر طريقة كريمر مهارة مفيدة للغاية.

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات الجبرية الخطية هو نظام معادلات من الشكل:

مجموعة القيمة س والتي تتحول فيها معادلات النظام إلى متطابقات، ويسمى حل النظام، أ و ب هي معاملات حقيقية. يمكن حل نظام بسيط يتكون من معادلتين بمجهولين في رأسك أو عن طريق التعبير عن متغير واحد بدلالة الآخر. ولكن من الممكن أن يكون هناك أكثر من متغيرين (xes) في SLAE، وهنا لا تكون التلاعبات المدرسية البسيطة كافية. ما يجب القيام به؟ على سبيل المثال، قم بحل SLAEs باستخدام طريقة Cramer!

لذا، دع النظام يتكون من ن المعادلات مع ن مجهول.

يمكن إعادة كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة

هنا أ - المصفوفة الرئيسية للنظام، X و ب على التوالي، مصفوفات الأعمدة ذات المتغيرات غير المعروفة والمصطلحات الحرة.

حل SLAEs باستخدام طريقة كرامر

إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر (المصفوفة غير مفردة)، فيمكن حل النظام باستخدام طريقة كرامر.

وفقا لطريقة كريمر، تم إيجاد الحل باستخدام الصيغ:

هنا دلتا هو المحدد للمصفوفة الرئيسية، و دلتا س ن - المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد المصفوفة الرئيسية عن طريق استبدال العمود ن بعمود المصطلحات الحرة.

هذا هو جوهر طريقة كريمر. استبدال القيم الموجودة باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه س في النظام المطلوب، نحن مقتنعون بصحة (أو العكس) حلنا. ولمساعدتك على فهم الجوهر بسرعة، نقدم أدناه مثالاً لحل تفصيلي لـ SLAE باستخدام طريقة Cramer:

حتى لو لم تنجح في المرة الأولى، فلا تثبط عزيمتك! مع القليل من الممارسة، سوف تبدأ في كسر وحدات SLAU مثل المكسرات. علاوة على ذلك، الآن ليس من الضروري على الإطلاق التفكير في دفتر ملاحظات وحل العمليات الحسابية المرهقة وملء اللب. يمكنك بسهولة حل SLAEs باستخدام طريقة Cramer عبر الإنترنت، فقط عن طريق الاستبدال نموذج جاهزمعاملات جربها آلة حاسبة على الانترنتيمكن العثور على الحلول باستخدام طريقة كرامر، على سبيل المثال، على هذا الموقع.

وإذا تبين أن النظام عنيد ولا يستسلم، فيمكنك دائما الاتصال بمؤلفينا للحصول على المساعدة، على سبيل المثال،. إذا كان هناك ما لا يقل عن 100 مجهول في النظام، فسنقوم بالتأكيد بحلها بشكل صحيح وفي الوقت المحدد!

تناولنا في الجزء الأول بعض المواد النظرية، وطريقة التعويض، وكذلك طريقة جمع معادلات النظام حداً تلو الآخر. وأوصي كل من دخل الموقع من خلال هذه الصفحة بقراءة الجزء الأول. ربما يجد بعض الزوار أن المادة بسيطة للغاية، ولكن في عملية حل أنظمة المعادلات الخطية، قدمت عددًا من التعليقات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

الآن سوف نقوم بتحليل قاعدة كرامر، وكذلك حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام مصفوفة معكوسة(طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة وتفصيل ووضوح، وسيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ - بعد كل ذلك أبسط نظاميمكن حلها طريقة المدرسة، عن طريق طريقة إضافة مصطلح على حدة!

والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان، ولكن في بعض الأحيان تكون هناك مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك المثال الأبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر بشكل أكبر حالة معقدة- أنظمة من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوسية.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى التصفيات المذكورة أعلاه حرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا، وعلى الجانب الأيمن يوجد الكسور العشريةمع فاصلة. الفاصلة ضيف نادر إلى حد ما المهام العمليةفي الرياضيات، أخذت هذا النظام من مسألة الاقتصاد القياسي.

كيفية حل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، ولكن في هذه الحالة، من المحتمل أن ينتهي بك الأمر إلى كسور خيالية فظيعة غير مريحة للغاية للعمل معها، وسيبدو تصميم الحل فظيعًا بكل بساطة. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد تلو الآخر، لكن نفس الكسور ستظهر هنا أيضًا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. متى يجب استخدام هذه الطريقة, إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فإن المراجع قد يعاقبك على عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما هو مناسب لتنفيذه على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجهه اليسرىكل معادلة للنظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانبين الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال ل قرار مستقل(مثال التشطيب والإجابة في نهاية الدرس).

دعنا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متناسق (ليس لديه حلول). في هذه الحالة، لن تساعد قاعدة كريمر، تحتاج إلى استخدامها طريقة غاوسية.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا، يتم حساب الإجابة باستخدام الصيغ:

كما ترون، فإن حالة "ثلاثة في ثلاثة" لا تختلف بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين"؛ حيث "يسير" عمود المصطلحات الحرة بالتتابع من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

مثال 9

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع، هنا مرة أخرى لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه، نظرًا لأن الحل يتبع الصيغ الجاهزة. ولكن هناك بضعة تعليقات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال، على سبيل المثال: .
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فافعل ما يلي:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تواجه جزءًا "سيئًا"، عليك التحقق على الفور هل تمت إعادة كتابة الشرط بشكل صحيح؟. إذا تمت إعادة كتابة الشرط دون أخطاء، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم تحديد أي أخطاء نتيجة للتدقيق، فمن المرجح أن يكون هناك خطأ مطبعي في شروط المهمة. في هذه الحالة، بهدوء وحذر، قم بتنفيذ المهمة حتى النهاية، وبعد ذلك تأكد من التحققونخرجها بشباك نظيفة بعد القرار. بالطبع، يعد التحقق من الإجابة الكسرية مهمة غير سارة، ولكنها ستكون حجة مقنعة للمعلم، الذي يحب حقًا إعطاء علامة ناقص لأي هراء مثل . تم توضيح كيفية التعامل مع الكسور بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فاستخدم برنامجا آليا للتحقق، والذي يمكن تنزيله مجانا في بداية الدرس. بالمناسبة، من الأكثر ربحية استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل)، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب الحل للنظام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. بين الحين والآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير، وفي الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات، من المهم جدًا كتابة المحدد الرئيسي بشكل صحيح وبعناية:
– يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يوجد فيه الصفر، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من الحسابات.

مثال 10

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة وجود نظام مكون من 4 معادلات مع 4 مجهولين، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك رؤية مثال حي في الدرس. خصائص المحدد. تقليل ترتيب المحدد- خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل النظام باستخدام مصفوفة معكوسة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة (أنظر المثال رقم 3 من الدرس المخصص).

لدراسة هذا القسم، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات، وإيجاد معكوس المصفوفة، وإجراء ضرب المصفوفات. سيتم توفير الروابط ذات الصلة مع تقدم التوضيحات.

مثال 11

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: لنكتب النظام في شكل مصفوفة:
، أين

يرجى إلقاء نظرة على نظام المعادلات والمصفوفات. أعتقد أن الجميع يفهم المبدأ الذي نكتب به العناصر في المصفوفات. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة من المعادلات، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين المصفوفة المنقولة الإضافات الجبريةعناصر المصفوفة المقابلة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا كانت المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة، يتم حل النظام طريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في 3 صفوف وعمودين