بيت تجويف الفم أوجد الحل العام واكتبه بدلالة fsr. أوجد الحل العام للنظام وfsr

تجويف الفم

أوجد الحل العام واكتبه بدلالة fsr. أوجد الحل العام للنظام وfsr

تعريف. النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات (1) هو نظام مستقل خطيًا غير فارغ لحلوله، ويتزامن نطاقه الخطي مع مجموعة جميع الحلول للنظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي له حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي من الحلول.

الاقتراح 3.11. أي نظامين أساسيين من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية يتكونان من نفس عدد الحلول.

دليل. في الواقع، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك، بموجب الاقتراح 1.12، فإن رتبهم متساوية. وبالتالي فإن عدد الحلول المتضمنة في واحد النظام الأساسي، يساوي عدد الحلول المضمنة في أي نظام أساسي آخر من الحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A لنظام المعادلات المتجانس (1) تساوي صفرًا، فإن أي متجه منها هو حل للنظام (1)؛ في هذه الحالة، أي مجموعة خطية ناقلات مستقلة of هو نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A تساوي، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر؛ ولذلك، في هذه الحالة، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي من الحلول.

النظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات، فإن النظام (1) لديه نظام حل أساسي يتكون من حلول.

دليل. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفر أو فقد تبين أعلاه أن النظرية صحيحة. لذلك، من المفترض أدناه أنه بافتراض أننا سنفترض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة، تكون المصفوفة A مكافئة للمصفوفة المتدرجة المخفضة، والنظام (1) يعادل نظام المعادلات المتدرج المختزل التالي:

من السهل التحقق من أن أي نظام ذو قيم حرة متغيرات النظام(2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2)، وبالتالي، للنظام (1). على وجه الخصوص، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) فقط هو الذي يتوافق مع نظام ذي قيم صفرية.

في النظام (2) سوف نقوم بتخصيص واحدة من المجانية قيمة المتغيرات، يساوي 1، والمتغيرات المتبقية لها قيم صفر. وبالنتيجة نحصل على حلول نظام المعادلات (2) الذي نكتبه على شكل صفوف من المصفوفة C التالية:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطياً. في الواقع، لأي العددية من المساواة

يلي ذلك المساواة

وبالتالي المساواة

دعونا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتزامن مع مجموعة جميع الحلول للنظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضا حل للنظام (1)، و

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك!!!

لفهم ما هو عليه نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة فيديو تعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف الكل العمل الضروري. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيفية العثور على النظام الأساسي للحلول لمعادلة خطية؟

لنأخذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

دعونا نجد الحل لهذا النظام الخطي من المعادلات. بادئ ذي بدء، نحن تحتاج إلى كتابة مصفوفة المعاملات للنظام.

دعونا نحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول دون تغيير. وجميع العناصر الموجودة تحت $a_(11)$ يجب أن تكون أصفارًا. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(21)$، عليك طرح الأول من السطر الثاني، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(31)$، عليك طرح الأول من السطر الثالث وكتابة الفرق في السطر الثالث. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(41)$، عليك طرح الأول مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(31)$، عليك طرح الأول مضروبًا في 2 من السطر الخامس وكتابة الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة السطرين الأول والثاني دون تغيير. وجميع العناصر الموجودة تحت $a_(22)$ يجب أن تكون أصفارًا. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(32)$، عليك طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من السطر الثالث وكتابة الفرق في السطر الثالث. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(42)$، عليك طرح الثانية مضروبة في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(52)$، عليك طرح الثانية مضروبة في 3 من السطر الخامس وكتابة الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسهافإذا طرحت الثالث من الرابع والخامس أصبحا صفراً.

وفقا لهذه المصفوفة اكتب نظام جديدالمعادلات.

نلاحظ أن لدينا فقط ثلاث معادلات مستقلة خطيًا، وخمسة مجاهيل، وبالتالي فإن نظام الحلول الأساسي يتكون من متجهين. لذلك نحن نحن بحاجة إلى نقل المجهولين الأخيرين إلى اليمين.

والآن، نبدأ في التعبير عن المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال المجهولات الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة، أولا نعبر عن $x_3$، ثم نعوض النتيجة الناتجة في المعادلة الثانية ونعبر عن $x_2$، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $x_1$. وبذلك عبرنا عن جميع المجهولات التي على الجانب الأيسر من خلال المجهولات التي على الجانب الأيمن.

وبعد ذلك، بدلاً من $x_4$ و$x_5$، يمكننا استبدال أي أرقام والعثور على $x_1$ و$x_2$ و$x_3$. كل خمسة من هذه الأعداد ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات المضمنة في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $x_4$، واستبدال 0 بدلاً من $x_5$، والعثور على $x_1$، و$x_2$، و$x_3$، ثم العكس بالعكس $x_4=0$ و$x_5=1$.

وسوف نستمر في تلميع التكنولوجيا لدينا التحولات الأوليةعلى نظام متجانس من المعادلات الخطية.
بناءً على الفقرات الأولى، قد تبدو المادة مملة ومتوسطة، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى مزيد من التطوير للتقنيات التقنية، سيكون هناك الكثير معلومات جديدةلذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان الحد الحر الجميعمعادلة النظام هي صفر. على سبيل المثال:

ومن الواضح تماما أن النظام المتجانس دائمًا متسقأي أن لديه دائمًا حلًا. وقبل كل شيء، ما يلفت انتباهك هو ما يسمى تافهحل . التافهة، لمن لا يفهم معنى الصفة مطلقًا، تعني بدون رياء. ليس أكاديميًا بالطبع، ولكنه واضح =) ... لماذا نلتف حول الأدغال، فلنكتشف ما إذا كان لهذا النظام أي حلول أخرى:

مثال 1

حل: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية، قم بإحضارها إلى شكل تدريجي. يرجى ملاحظة أنه ليست هناك حاجة هنا لكتابة الشريط العمودي والعمود الصفري للمصطلحات المجانية - بعد كل شيء، بغض النظر عما تفعله بالأصفار، ستبقى أصفارًا:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -3.

(2) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1.

تقسيم السطر الثالث على 3 ليس له معنى كبير.

نتيجة للتحولات الأولية، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ ، وتطبيق السكتة الدماغية العكسيةبطريقة غاوس، من السهل التحقق من أن الحل فريد.

إجابة:

دعونا صياغة معيار واضح: وجود نظام متجانس من المعادلات الخطية فقط حل تافه، لو رتبة مصفوفة النظام(الخامس في هذه الحالة 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة – 3 قطع).

دعونا نقوم بالإحماء وضبط الراديو الخاص بنا على موجة التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظام متجانس من المعادلات الخطية

لتوحيد الخوارزمية أخيرًا، دعنا نحلل المهمة النهائية:

مثال 7

حل نظامًا متجانسًا، واكتب الإجابة على الصورة المتجهة.

حل: دعونا نكتب مصفوفة النظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

(١) تم تغيير علامة السطر الأول. مرة أخرى، ألفت الانتباه إلى التقنية التي تمت مواجهتها عدة مرات، والتي تتيح لك تبسيط الإجراء التالي بشكل كبير.

(١) أضيف السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 2 إلى السطر الرابع.

(٣) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة، وقد حذف منها اثنان.

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على مصفوفة الخطوة القياسية، ويستمر الحل على طول المسار المخرش:

- المتغيرات الأساسية؛
– المتغيرات الحرة .

دعونا نعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغيرات الحرة. من المعادلة الثانية :

- عوض في المعادلة الأولى :

هكذا، قرار مشترك:

نظرًا لوجود ثلاثة متغيرات حرة في المثال قيد النظر، فإن النظام الأساسي يحتوي على ثلاثة متجهات.

دعونا نستبدل ثلاثية من القيم في الحل العام واحصل على متجه تلبي إحداثياته كل معادلة من معادلة النظام المتجانس. ومرة أخرى، أكرر أنه من المستحسن للغاية التحقق من كل ناقل تم استلامه - لن يستغرق الأمر الكثير من الوقت، ولكنه سيحميك تمامًا من الأخطاء.

لثلاثية من القيم العثور على ناقلات

وأخيرا بالنسبة للثلاثة نحصل على المتجه الثالث:

إجابة: ، أين

يمكن لأولئك الذين يرغبون في تجنب القيم الكسرية التفكير في التوائم الثلاثية والحصول على الإجابة بشكل مكافئ:

الحديث عن الكسور. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة التي تم الحصول عليها في المشكلة ودعونا نسأل أنفسنا: هل من الممكن تبسيط الحل الإضافي؟ بعد كل شيء، هنا قمنا أولاً بالتعبير عن المتغير الأساسي من خلال الكسور، ثم من خلال الكسور المتغير الأساسي، ويجب أن أقول إن هذه العملية لم تكن الأبسط وليست الأكثر متعة.

الحل الثاني:

الفكرة هي المحاولة اختر متغيرات أساسية أخرى. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة ونلاحظ وجود مصفوفتين في العمود الثالث. فلماذا لا يكون هناك صفر في الأعلى؟ لنقم بإجراء تحويل أولي آخر:

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي تكون فيه جميع الحدود الحرة مساوية للصفر متجانس :

إن أي نظام متجانس دائمًا ما يكون متسقًا، لأنه كان دائمًا كذلك صفر (تافه ) حل. السؤال الذي يطرح نفسه هو تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يكون للنظام المتجانس حل غير بديهي إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد مجاهيلها.

عاقبة. النظام المتجانس المربع له حل غير بديهي إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.تحديد قيم المعلمة l التي يوجد عندها النظام حلول غير بديهية، وإيجاد هذه الحلول:

حل. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر:

وبالتالي، فإن النظام يكون غير تافه عندما يكون l=3 أو l=2. بالنسبة لـ l=3، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم نترك معادلة واحدة فقط ونفترض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س = ب-أ، أي.

بالنسبة لـ l=2، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الثانوية كأساس:

نحصل على نظام مبسط

ومن هنا نجد ذلك س=ض/4، ص=ض/2. الاعتقاد ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة X 1 وX 2 - حلول لنظام متجانس AX = 0, ثم أي مجموعة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا حلاً لهذا النظام. بالفعل منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، الذي - التي أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = أ · 0 + ب · 0 = 0. وبسبب هذه الخاصية، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيا ه 1 , ه 2 , إيكتسمى حلول النظام المتجانس النظام الأساسي للحلول نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان من الممكن كتابة الحل العام لهذا النظام كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان هناك نظام متجانس نالمتغيرات، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، الذي - التي ك = ن-ر.

مثال 5.7.العثور على النظام الأساسي للحلول النظام القادمالمعادلات الخطية:

حل. لنجد رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي، فإن مجموعة الحلول لهذا النظام من المعادلات تشكل فضاء فرعي خطي ذو بعد ن-ر= 5 - 2 = 3. لنختار الأساس الصغير

بعد ذلك، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (سيكون الباقي مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (ننقل الباقي، ما يسمى بالمتغيرات الحرة إلى اليمين)، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

الاعتقاد س 3 = أ, س 4 = ب, س 5 = ج، نجد

, .

الاعتقاد أ= 1, ب = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الأول؛ الاعتقاد ب= 1, أ = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الثاني؛ الاعتقاد ج= 1, أ = ب= 0، نحصل على الحل الأساسي الثالث. ونتيجة لذلك، فإن النظام الأساسي الطبيعي للحلول سوف يأخذ الشكل

باستخدام النظام الأساسي، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس على النحو التالي:

X = أ 1 + يكون 2 + م 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص الحلول لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية الفأس = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل الفأس = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 والحل الخاص التعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع، اسمحوا ي 0 هو حل خاص تعسفي لنظام غير متجانس، أي. AY 0 = ب، و ي- الحل العام لنظام غير متجانس، أي. AY = ب. بطرح مساواة واحدة من الأخرى، نحصل على
أ(ص-ص 0) = 0، أي ص-ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس=0. لذلك، ص-ص 0 = X، أو ص=ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس يكون على الشكل AX = B 1 + ب 2 . ومن ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام على النحو X = X 1 + X 2 , حيث الفأس 1 = ب 1 و الفأس 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن الملكية العالمية لأي الأنظمة الخطية(جبري، تفاضلي، وظيفي، الخ). في الفيزياء تسمى هذه الخاصية مبدأ التراكب- في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال، في نظرية الدوائر الكهربائية الخطية، يمكن الحصول على التيار في أي دائرة كمجموع جبري للتيارات الناتجة عن كل مصدر طاقة على حدة.

النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا وله حل تافه
. لكي يوجد حل غير بديهي، من الضروري أن تكون رتبة المصفوفة كان أقل من عدد المجهولين:

النظام الأساسي للحلول نظام متجانس
استدعاء نظام من الحلول في شكل ناقلات الأعمدة
، والتي تتوافق مع الأساس القانوني، أي. الأساس الذي الثوابت التعسفية
يتم تعيينها بالتناوب على واحد، في حين يتم تعيين الباقي على الصفر.

ثم الحل العام للنظام المتجانس له الشكل:

أين
- الثوابت التعسفية. بمعنى آخر، الحل الشامل هو مزيج خطي من نظام الحلول الأساسي.

وبالتالي، يمكن الحصول على الحلول الأساسية من الحل العام إذا أعطيت المجهولات الحرة قيمة واحد على التوالي، مع مساواة جميع الآخرين بالصفر.

مثال. دعونا نجد حلا للنظام

لنقبل، ثم نحصل على الحل في الصورة:

دعونا الآن نبني نظامًا أساسيًا للحلول:

سيتم كتابة الحل العام على النحو التالي:

تتميز حلول نظام المعادلات الخطية المتجانسة بالخصائص التالية:

بمعنى آخر، أي مجموعة خطية من الحلول لنظام متجانس هي مرة أخرى حل.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

لقد أثار حل أنظمة المعادلات الخطية اهتمام علماء الرياضيات لعدة قرون. تم الحصول على النتائج الأولى في القرن الثامن عشر. في عام 1750، نشر ج. كرامر (1704-1752) أعماله حول محددات المصفوفات المربعة واقترح خوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية. في عام 1809، أوضح غاوس طريقة حل جديدة تُعرف باسم طريقة الإزالة.

الطريقة الغوسية، أو طريقة الحذف المتسلسل للمجهول، هي أنه بمساعدة التحويلات الأولية، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ لشكل خطوة (أو مثلث). تتيح مثل هذه الأنظمة العثور على جميع الأشياء المجهولة بالتسلسل وبترتيب معين.

لنفترض أنه في النظام (1)
(وهو أمر ممكن دائما).

(1)

ضرب المعادلة الأولى واحدة تلو الأخرى بما يسمى أرقام مناسبة

وبجمع نتيجة الضرب مع معادلات النظام المقابلة نحصل على نظام مكافئ لن يكون فيه مجهول في جميع المعادلات باستثناء الأولى X 1

(2)

دعونا الآن نضرب المعادلة الثانية للنظام (2) في الأعداد المناسبة، بافتراض ذلك

وإضافتها إلى العناصر السفلية نحذف المتغير من جميع المعادلات ابتداء من الثالثة.

مواصلة هذه العملية بعد
الخطوة التي نحصل عليها:

(3)

إذا كان واحدا على الأقل من الأرقام
لا يساوي الصفر، فإن المساواة المقابلة متناقضة والنظام (1) غير متسق. على العكس من ذلك، لأي نظام رقم مشترك
تساوي الصفر. رقم ليس أكثر من رتبة مصفوفة النظام (1).