خطية متجانسة المعادلات التفاضليةالنظام الثاني مع معاملات ثابتةيبدو مثل
حيث p و q أعداد حقيقية. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.
يعتمد حل المعادلة التفاضلية المتجانسة الخطية من الدرجة الثانية على الجذور معادلة مميزة. المعادلة المميزة هي المعادلة k²+pk+q=0.
1) إذا كانت جذور المعادلة المميزة عبارة عن أرقام حقيقية مختلفة:
عندها يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة هو الشكل
2) إذا كانت جذور المعادلة المميزة أعدادا حقيقية متساوية
(على سبيل المثال، مع تمييز يساوي صفر)، فإن الحل العام لمعادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية هو
3) إذا كانت جذور المعادلة المميزة أعدادا مركبة
(على سبيل المثال، مع مميز يساوي رقمًا سالبًا)، يتم كتابة الحل العام لمعادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية بالصيغة
أمثلة على حل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة
أوجد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية:
نقوم بتكوين المعادلة المميزة: k²-7k+12=0. ومميزه هو D=b²-4ac=1>0، وبالتالي فإن الجذور عبارة عن أعداد حقيقية مختلفة.
ومن ثم، فإن الحل العام لهذا الترتيب الثاني المتجانس DE هو
دعونا نؤلف ونحل المعادلة المميزة:
الجذور حقيقية ومتميزة. وبالتالي لدينا حل عام لهذه المعادلة التفاضلية المتجانسة:
في هذه الحالة، المعادلة المميزة
الجذور مختلفة وصالحة. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية موجود هنا
معادلة مميزة
وبما أن الجذور حقيقية ومتساوية، فإننا نكتب الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية على النحو التالي:
المعادلة المميزة هنا
وبما أن التمييز هو رقم سلبي، جذور المعادلة المميزة هي أرقام مركبة.
الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية له الشكل
معادلة مميزة
ومن هنا نجد الحل العام لهذا التفاضل. المعادلات:
أمثلة للاختبار الذاتي.
تتناول هذه المقالة مسألة حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وستتم مناقشة النظرية مع أمثلة لمشاكل معينة. لفك رموز المصطلحات غير الواضحة، من الضروري الرجوع إلى موضوع التعريفات والمفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية.
لنفكر في معادلة تفاضلية خطية (LDE) من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة بالشكل y "" + p · y " + q · y = f (x)، حيث p و q أرقام عشوائية، والدالة الحالية f (x) مستمرة على فترة التكامل x.
دعنا ننتقل إلى صياغة نظرية الحل العام لـ LNDE.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
نظرية الحل العام لـ LDNU
النظرية 1حل عام يقع على الفترة x لمعادلة تفاضلية غير متجانسة على الصورة y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) مع معاملات التكامل المستمر على الفاصل الزمني x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , و ن - 1 (خ) و وظيفة مستمرة f (x) يساوي مجموع الحل العام y 0، الذي يتوافق مع LOD وبعض الحلول المحددة y ~، حيث المعادلة الأصلية غير المتجانسة هي y = y 0 + y ~.
يوضح هذا أن حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية له الصيغة y = y 0 + y ~ . تمت مناقشة خوارزمية إيجاد y 0 في المقالة حول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وبعد ذلك يجب أن ننتقل إلى تعريف y ~.
يعتمد اختيار حل معين لـ LPDE على نوع الدالة المتاحة f (x) الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة. للقيام بذلك، من الضروري النظر بشكل منفصل في حلول المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.
عندما تعتبر f (x) متعددة الحدود من الدرجة n f (x) = P n (x)، فإنه يترتب على ذلك أنه تم العثور على حل معين لـ LPDE باستخدام صيغة النموذج y ~ = Q n (x) ) x γ، حيث Q n ( x) هي متعددة الحدود من الدرجة n، r هو عدد الجذور الصفرية للمعادلة المميزة. القيمة y ~ هي حل معين y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، ثم المعاملات المتاحة التي يتم تعريفها بواسطة كثير الحدود
Q n (x) نجد باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة من المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
مثال 1
احسب باستخدام نظرية كوشي y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
حل
بمعنى آخر، من الضروري الانتقال إلى حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة y "" - 2 y " = x 2 + 1، والتي ستحقق الشروط المحددة y (0) = 2, ص " (0) = 1 4 .
الحل العام للخطية معادلة متجانسةهو مجموع الحل العام الذي يتوافق مع المعادلة y 0 أو حل معين معادلة غير متجانسة y ~ ، أي y = y 0 + y ~ .
أولاً، سنجد حلاً عامًا لوحدة LNDU، ثم حلًا خاصًا.
دعنا ننتقل إلى إيجاد y 0. ستساعدك كتابة المعادلة المميزة في العثور على الجذور. لقد حصلنا على ذلك
ك 2 - 2 ك = 0 ك (ك - 2) = 0 ك 1 = 0، ك 2 = 2
لقد وجدنا أن الجذور مختلفة وحقيقية. لذلك، دعونا نكتب
ص 0 = ج 1 ه 0 س + ج 2 ه 2 س = ج 1 + ج 2 ه 2 س.
دعونا نجد y ~ . يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة المعطاة هو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، وأن أحد الجذور يساوي صفرًا. من هذا نحصل على حل معين لـ y ~ سيكون
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x، حيث تأخذ قيم A، B، C معاملات غير محددة.
لنوجدها من المساواة بالشكل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
ثم نحصل على ذلك:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) "" - 2 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) " = x 2 + 1 3 أ س 2 + 2 ب س + ج " - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 6 أ س + 2 ب - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 - 6 أ × 2 + س (6 أ - 4 ب) + 2 ب - 2 ج = س 2 + 1
بمساواة المعاملات بنفس أسس x، نحصل على نظام من التعبيرات الخطية - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. عند الحل بأي من الطرق، سنوجد المعاملات ونكتب: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 و y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 × 3 - 1 4 × 2 - 3 4 × .
يُسمى هذا الإدخال بالحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية الأصلية ذات المعاملات الثابتة.
لإيجاد حل معين يحقق الشروط y (0) = 2, y "(0) = 1 4، من الضروري تحديد القيم ج1و ج2, على أساس المساواة في الصيغة y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
لقد حصلنا على ذلك:
ص (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 س 3 + 1 4 س 2 + 3 4 س س = 0 = ج 1 + ج 2 ذ " (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
نحن نعمل مع نظام المعادلات الناتج من الصيغة C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4، حيث C 1 = 3 2، C 2 = 1 2.
وبتطبيق نظرية كوشي، نحصل على ذلك
ص = ج 1 + ج 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
إجابة: 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
عندما يتم تمثيل الدالة f (x) على أنها حاصل ضرب كثيرة الحدود بالدرجة n والأس f (x) = P n (x) · e a x ، فإننا نحصل على أن الحل المعين لـ LPDE من الدرجة الثانية سيكون معادلة من الشكل y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ، حيث Q n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n، و r هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي α.
تم العثور على المعاملات التي تنتمي إلى Q n (x) بالمساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
مثال 2
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
حل
المعادلة العامة هي y = y 0 + y ~ . المعادلة المشار إليها تتوافق مع LOD y "" - 2 y " = 0. من المثال السابق يمكن ملاحظة أن جذورها متساوية ك 1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x بالمعادلة المميزة.
يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة هو x 2 + 1 · e x . من هنا يتم العثور على LPDE من خلال y ~ = e a x · Q n (x) · x γ، حيث Q n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، حيث α = 1 و r = 0، لأن المعادلة المميزة لا لها جذر يساوي 1. من هنا حصلنا على ذلك
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A، B، C هي معاملات غير معروفة يمكن إيجادها بالمساواة y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
تلقيت ذلك
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ه × أ × 2 + × 4 أ + ب + 2 أ + 2 ب + ج
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + ب + ج = س 2 + 1 · ه س ⇔ ه س · - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = (س 2 + 1) · ه س ⇔ - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = س 2 + 1 ⇔ - أ × 2 - ب × + 2 أ - ج = 1 × 2 + 0 × + 1
نحن نساوي المؤشرات بنفس المعاملات ونحصل على النظام المعادلات الخطية. ومن هنا نجد أ، ب، ج:
أ = 1 - ب = 0 2 أ - ج = 1 ⇔ أ = - 1 ب = 0 ج = - 3
إجابة:من الواضح أن y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 هو حل خاص لـ LNDDE، و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - حل عام لمعادلة dif غير المتجانسة من الدرجة الثانية.
عندما يتم كتابة الدالة بالشكل f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x، و أ 1و في 1هي أرقام، فإن الحل الجزئي لـ LPDE يعتبر معادلة من الشكل y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ، حيث A و B تعتبر معاملات غير محددة، و r هو عدد الجذور المترافقة المعقدة المتعلقة بالمعادلة المميزة، تساوي ± i β . في هذه الحالة، يتم البحث عن المعاملات باستخدام المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
مثال 3
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
حل
قبل كتابة المعادلة المميزة نجد y 0. ثم
ك 2 + 4 = 0 ك 2 = - 4 ك 1 = 2 ط , ك 2 = - 2 ط
لدينا زوج من الجذور المترافقة المعقدة. دعونا نتحول ونحصل على:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
تعتبر جذور المعادلة المميزة هي الزوج المترافق ± 2 i، ثم f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). هذا يوضح أن البحث عن y ~ سيتم من y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. سوف نبحث عن المعاملين A و B من المساواة في الصيغة y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
دعونا تحويل:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = (- 2 A cos (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
ثم فمن الواضح أن
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 ب cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 ب جتا (٢ س) = جتا (٢ س) + ٣ جا (٢ س)
من الضروري مساواة معاملات الجيب وجيب التمام. نحصل على نظام من النموذج:
4 أ = 3 4 ب = 1 ⇔ أ = - 3 4 ب = 4 1
ويترتب على ذلك أن y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
إجابة:تم النظر في الحل العام لـ LDDE من الدرجة الثانية الأصلية بمعاملات ثابتة
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
عندما f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x)، ثم y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. لدينا أن r هو عدد الأزواج المترافقة المعقدة من الجذور المتعلقة بالمعادلة المميزة، ويساوي α ± i β، حيث P n (x)، Q k (x)، ل م (س) و نانومتر (خ)هي متعددات الحدود من الدرجة n، k، m، m، أين م = م أ س (ن، ك). إيجاد المعاملات م (خ)و نانومتر (خ)يتم على أساس المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
مثال 4
أوجد الحل العام y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
حل
ووفقا للشرط فمن الواضح أن
α = 3، β = 5، P n (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1
ثم م = م أ س (ن، ك) = 1. نجد y 0 عن طريق كتابة معادلة مميزة من النموذج أولاً:
ك 2 - 3 ك + 2 = 0 د = 3 2 - 4 1 2 = 1 ك 1 = 3 - 1 2 = 1، ك 2 = 3 + 1 2 = 2
وجدنا أن الجذور حقيقية ومتميزة. وبالتالي y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. بعد ذلك، من الضروري البحث عن حل عام يعتمد على المعادلة غير المتجانسة y ~ للنموذج
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
ومن المعروف أن A، B، C هي معاملات r = 0، لأنه لا يوجد زوج من الجذور المترافقة المتعلقة بالمعادلة المميزة مع α ± i β = 3 ± 5 · i. نجد هذه المعاملات من المساواة الناتجة:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - ه 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( أ x + ب) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (ه 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + د) الخطيئة (5 س))) = - ه 3 س ((38 س + 45) الخطيئة (5 س) + (8 س - 5) جتا (5 س))
العثور على المشتقات والمصطلحات المشابهة يعطي
هـ ٣ × ((١٥ أ + ٢٣ ج) × جا (٥ ×) + + (١٠ أ + ١٥ ب - ٣ ج + ٢٣ د) جا (٥ ×) + + (٢٣ أ - ١٥ ج) · x · cos (5 س) + (- 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د) · جتا (5 س)) = = - ه 3 س · (38 · س · خطيئة (5 س) + 45 · خطيئة (5 س) ) + + 8 x جتا (5 س) - 5 جتا (5 س))
بعد معادلة المعاملات، نحصل على نظام النموذج
15 أ + 23 ج = 38 10 أ + 15 ب - 3 ج + 23 د = 45 23 أ - 15 ج = 8 - 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د = - 5 ⇔ أ = 1 ب = 1 ج = 1 د = 1
من كل شيء يترتب على ذلك
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (س + ١) الخطيئة (٥ س))
إجابة:لقد حصلنا الآن على حل عام للمعادلة الخطية المعطاة:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
خوارزمية لحل LDNU
التعريف 1أي نوع آخر من الوظائف f (x) للحل يتطلب الامتثال لخوارزمية الحل:
- إيجاد حل عام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة، حيث y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2، حيث ذ 1و ذ 2هي حلول جزئية مستقلة خطيا من LODE، ج1و ج2تعتبر ثوابت اعتباطية؛
- اعتماد كحل عام لـ LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ؛
- تحديد مشتقات الدالة من خلال نظام من الشكل C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) وإيجاد الدوال ج 1 (خ)وC 2 (x) من خلال التكامل.
مثال 5
أوجد الحل العام لـ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
حل
ننتقل إلى كتابة المعادلة المميزة، بعد أن كتبنا سابقًا y 0, y "" + 36 y = 0. لنكتب ونحل:
ك 2 + 36 = 0 ك 1 = 6 i , ك 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , ص 2 (س) = الخطيئة (6 س)
لدينا أن الحل العام للمعادلة المعطاة سيتم كتابته بالشكل y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . من الضروري الانتقال إلى تعريف الوظائف المشتقة ج 1 (خ)و C2(خ)وفقا لنظام المعادلات:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (الخطيئة (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) الخطيئة (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 الخطيئة (6 x) + C 2 "(س) (6 جتا (6 س)) = = 24 جا (6 س) - 12 جتا (6 س) + 36 ه 6 س
يجب اتخاذ قرار بشأن ج 1" (خ)و ج 2" (خ)باستخدام أي وسيلة. ثم نكتب:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) كوس (6 س) - 2 كوس 2 (6 س) + 6 ه 6 س كوس (6 س)
يجب أن تكون كل من المعادلات متكاملة. ثم نكتب المعادلات الناتجة:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ه 6 × الخطيئة (6 ×) + ج 4
ويترتب على ذلك أن الحل العام سيكون له الشكل:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 cos (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 س) + ج 4 خطيئة (6 س)
إجابة: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 ×)
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
أين صو س- هي أرقام حقيقية تعسفية، والدالة و (خ)- مستمرة على فترة التكامل X.
دعونا نعبر عن نظرية توضح الشكل الذي من الضروري العثور عليه الحل العام هو معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة.
نظرية.
الحل العام على الفاصل الزمني Xالمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة: ذات متواصلة على فترة التكامل Xالمعاملات والدالة المستمرة و (خ)يساوي مجموع الحل العام ص 0ملائم المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسةوأي حل معين للمعادلة الأصلية غير المتجانسة، أي .
إذن الحل العام LNDUالدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة هي مجموع الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة الخطية المقابلة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة وحل معين: .
عملية حسابية ص 0تم وصف المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة في المقالة، والآن سننظر في طريقة إيجادها.
هناك بعض طرق تحديد حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. يتم تعريف هذه الطرق مع الأخذ بعين الاعتبار نوع الوظيفة و (خ)، والذي يقع على الجانب الأيمن من المعادلة. دعنا نسميها وفي المقالات اللاحقة سننظر في حلول لكل LDDE من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة:
2. إذا كانت الوظيفة و (خ)ويمثلها منتج كثير الحدود من الدرجة نوالعارضين 
، وهو ما يعني أنه تم العثور على حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية كما يلي 
,
أين كيو (خ)هو كثير الحدود ن-الدرجة الرابعة،
ص- عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي .
معاملات متعددة الحدود كيو (خ)يمكن تحديدها من المساواة.
3. إذا كانت الوظيفة و (خ)يبدو مثل هذا: أين أ 1و في 1تتحول إلى أرقام، مما يعني أن حل معين للمعادلة التفاضلية الخطية غير المحددة يتم تمثيله على النحو التالي:
أين أو فيهي معاملات غير محددة،
ص- هو عدد الأزواج المترافقة المعقدة لجذور المعادلة المميزة التي تساوي . معاملات متعددة الحدود أو فييتم تحديدها على أساس المساواة.
4. إذاً،
أين صهو عدد الأزواج المترافقة المعقدة لجذور المعادلة المميزة، والتي تساوي،
ع (خ),كيو ك (خ), م (خ)و نانومتر (خ)هي كثيرات الحدود من الدرجة ن, ك, مو معلى التوالى، م = ماكس (ن، ك).
أوجد معاملات كثيرات الحدود م (خ)و نانومتر (خ)يمكنك استخدام المساواة.
5. لجميع أنواع الوظائف الأخرى و (خ)يتم استخدام الإجراء التالي:
- الخطوة الأولى هي تحديد الحل العام للمعادلة المتجانسة الخطية المطلوبة ص 0 = ج 1 ⋅ ص 1 + ج 2 ⋅ ص 2، أين ذ 1و ذ 2هي حلول جزئية مستقلة خطيا للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة، و ج1و ج2هي ثوابت اعتباطية؛
- بعد ذلك، نقوم بتغيير الثوابت التعسفية، أي كحل عام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة الأصلية التي نقبلها ص = ج 1 (س) ⋅ ص 1 + ج 2 (س) ⋅ ص 2;
- والخطوة الأخيرة هي تحديد مشتقات الوظائف ج 1 (خ)و ج 2 (خ)من نظام المعادلات :
,
والوظائف ج 1 (خ)و C2(خ)يتم تحديدها عند مزيد من التكامل.
المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة النموذج
,
حيث p و q دالتان للمتغير x.
معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الأولى هي معادلة النموذج
معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى هي معادلة النموذج
مصطلح ف (خ)يسمى الجزء غير المتجانس من المعادلة
خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى:
(1)
.
هناك ثلاث طرق لحل هذه المعادلة:
- طريقة العامل التكاملي؛
حل معادلة تفاضلية خطية باستخدام عامل التكامل
دعونا نفكر في طريقة لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى باستخدام عامل التكامل.
دعونا نضرب كلا الجانبين المعادلة الأصلية (1)
من خلال عامل التكامل
:
(2)
بعد ذلك، نلاحظ أن مشتقة التكامل تساوي التكامل:
وفقا لقاعدة التفاضل وظيفة معقدة:
وفقا لقاعدة تمايز المنتج:
بدل في (2)
:
دعونا ندمج:
اضرب ب . نحن نحصل الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى:
مثال على حل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى
حل المعادلة
حل
لنقسم طرفي المعادلة الأصلية على x:
(أنا) .
ثم
;
.
عامل التكامل:
يمكن حذف إشارة المعامل، حيث يمكن ضرب عامل التكامل بأي ثابت (بما في ذلك ± 1).
دعونا نتضاعف (أنا)بواسطة س 3
:
.
نختار المشتق.
;
.
نقوم بالتكامل باستخدام جدول التكاملات:
.
القسمة على س 3
:
.
إجابة
مراجع:
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.
أساسيات حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDE-2) ذات المعاملات الثابتة (PC)
LDDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة $p$ و $q$ له الشكل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، حيث $f\left(x) \right)$ هي دالة مستمرة.
فيما يتعلق بـ LNDU 2 مع الكمبيوتر الشخصي، فإن العبارتين التاليتين صحيحتان.
لنفترض أن بعض الوظائف $U$ هي حل جزئي تعسفي لمعادلة تفاضلية غير متجانسة. لنفترض أيضًا أن بعض الوظائف $Y$ هي الحل العام (GS) للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة المقابلة (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. ثم GR لـ LHDE-2 يساوي مجموع الخاص المشار إليه و حلول عامة، أي $y=U+Y$.
إذا كان الجانب الأيمن من LMDE من الرتبة الثانية عبارة عن مجموع الوظائف، أي $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$، ثم يمكننا أولاً العثور على PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ التي تتوافق إلى كل من الوظائف $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$، وبعد ذلك اكتب CR LNDU-2 بالصيغة $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
حل مشكلة LPDE من الدرجة الثانية مع الكمبيوتر
من الواضح أن نوع واحد أو آخر من PD $U$ لوحدة LNDU-2 معينة يعتمد على الشكل المحدد لجانبها الأيمن $f\left(x\right)$. تتم صياغة أبسط حالات البحث عن PD LNDU-2 في شكل القواعد الأربع التالية.
المادة 1.
الجزء الأيمن LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، أي أنه يسمى متعدد الحدود من الدرجة $ ن $. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $، حيث $Q_(n) \left(x\right)$ هو شكل آخر متعدد الحدود بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة والتي تساوي الصفر. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بطريقة المعاملات غير المحددة (المملكة المتحدة).
القاعدة رقم 2.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left( x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $n$. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $، حيث $Q_(n ) \ left(x\right)$ هي كثيرة حدود أخرى بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة يساوي $\alpha $. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.
القاعدة رقم 3.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $، حيث يوجد $a$ و$b$ و$\beta$ أرقام معروفة. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $، حيث $A$ و$B$ معاملات غير معروفة، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لمعادلة LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $i\cdot \ بيتا $. تم العثور على المعاملين $A$ و $B$ باستخدام الطريقة غير المدمرة.
القاعدة رقم 4.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$، حيث $P_(n) \left(x\right)$ هو كثيرة الحدود من الدرجة $ n$، و$P_(m) \left(x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $m$. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $، حيث $Q_(s) \left(x\right)$ و $ R_(s) \left(x\right)$ هي متعددات حدود من الدرجة $s$، والرقم $s$ هو الحد الأقصى لعددين $n$ و$m$، و$r$ هو عدد الجذور من المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $\alpha +i\cdot \beta $. تم العثور على معاملات كثيرات الحدود $Q_(s) \left(x\right)$ و$R_(s) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.
تتكون طريقة NK من تطبيق القاعدة التالية. من أجل إيجاد المعاملات المجهولة لكثيرة الحدود التي تشكل جزءاً من الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة LNDU-2، من الضروري:
- استبدل PD $U$ المكتوب منظر عام، الخامس الجهه اليسرى LNDU-2؛
- على الجانب الأيسر من LNDU-2، قم بإجراء عمليات التبسيط وجمع المصطلحات بنفس الصلاحيات $x$؛
- في الهوية الناتجة، قم بمساواة معاملات الحدود بنفس القوى $x$ للجانبين الأيسر والأيمن؛
- حل النظام الناتج من المعادلات الخطية ذات المعاملات المجهولة.
مثال 1
المهمة: ابحث عن OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. ابحث أيضًا عن PD ، مع استيفاء الشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$.
نكتب LOD-2 المقابل: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
المعادلة المميزة: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. جذور المعادلة المميزة هي: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. هذه الجذور صالحة ومتميزة. وبالتالي، فإن OR الخاص بـ LODE-2 المقابل له الصيغة: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. من الضروري النظر في معامل الأس $\alpha =3$. لا يتطابق هذا المعامل مع أي من جذور المعادلة المميزة. لذلك، فإن PD الخاص بـ LNDU-2 له الشكل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
سوف نبحث عن المعاملات $A$، $B$ باستخدام طريقة NC.
نجد المشتق الأول لجمهورية التشيك:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
نجد المشتق الثاني لجمهورية التشيك:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
نقوم باستبدال الوظائف $U""$ و$U"$ و$U$ بدلاً من $y""$ و $y"$ و $y$ في NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ علاوة على ذلك، بما أن الأس $e^(3\cdot x)$ تم تضمينه كعامل في جميع المكونات فيمكن حذفه فنحصل على:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
نقوم بتنفيذ الإجراءات على الجانب الأيسر من المساواة الناتجة:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
نحن نستخدم طريقة NDT. نحصل على نظام المعادلات الخطية مع مجهولين:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
الحل لهذا النظام هو: $A=-2$، $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ تبدو مشكلتنا كما يلي: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
يبدو OR $y=Y+U$ لمشكلتنا كما يلي: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ يسار(-2\cdot x-1\يمين)\cdot e^(3\cdot x) $.
من أجل البحث عن PD الذي يلبي الشروط الأولية المحددة، نجد المشتق $y"$ من OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
نعوض في $y$ و $y"$ بالشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
دعونا حلها. نجد $C_(1) $ باستخدام صيغة كرامر، و$C_(2) $ نحددها من المعادلة الأولى:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ البدء (المصفوفة)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
وبالتالي، فإن احتمالية الاحتمال لهذه المعادلة التفاضلية لها الشكل: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
