وظيفةص = و (خ)هو قانون (قاعدة) بموجبه يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y.
العنصر س ∈ سمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
العنصر ذ ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.
تسمى المجموعة X مجال الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، التي تحتوي على صور أولية في المجموعة X، تسمى منطقة أو مجموعة من قيم الوظيفة.
يتم استدعاء الوظيفة الفعلية محدود من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M بحيث ينطبق عدم المساواة على الجميع:
.
يتم استدعاء وظيفة الرقم محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.
الحافة العلويةأو دقيق الحد الأعلى
تسمى الوظيفة الحقيقية أصغر رقم يحد نطاق قيمه من الأعلى. وهذا يعني أن هذا رقم s، بالنسبة للجميع ولأي شخص، هناك وسيطة تتجاوز قيمة دالتها s′: .
يمكن الإشارة إلى الحد الأعلى للدالة على النحو التالي:
.
على التوالى الحافة السفليةأو الحد الأدنى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية بالرقم الأكبر الذي يحد نطاق قيمه من الأسفل. وهذا يعني أن هذا هو الرقم i الذي يوجد له وسيطة لكل شخص ولأي شخص تكون قيمة دالته أقل من i′: .
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.
تحديد نهاية الوظيفة
تحديد نهاية الدالة حسب كوشي
الحدود المحدودة للوظيفة عند نقاط النهاية
دع الدالة يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة لنقطة النهاية، مع احتمال استثناء النقطة نفسها.
.
عند نقطة ما، إذا كان هناك شيء من هذا القبيل، اعتمادًا على، فإنه بالنسبة لجميع x، فإن عدم المساواة يحمل
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:
أو عند .
.
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف نهاية الدالة على النحو التالي:
الحد الأيسر عند نقطة ما (الحد الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة ما (الحد الأيمن):
.
غالبًا ما يُشار إلى الحدود اليسرى واليمنى على النحو التالي:
;
.
الحدود المحدودة للدالة عند نقاط اللانهاية
يتم تحديد الحدود عند نقاط اللانهاية بطريقة مماثلة.
.
.
.
وغالبا ما يشار إليهم على النحو التالي:
;
;
.
استخدام مفهوم حي النقطة
إذا قدمنا مفهوم الحي المثقوب لنقطة ما، فيمكننا إعطاء تعريف موحد للحد المحدود للدالة عند نقاط محدودة وبعيدة بشكل لا نهائي:
.
هنا لنقاط النهاية
;
;
.
يتم ثقب أي حي من النقاط عند اللانهاية:
;
;
.
حدود الوظيفة اللانهائية
تعريف
دع الوظيفة يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة لنقطة ما (محدودة أو لا نهاية لها). حد الوظيفة f (خ)مثل س → س 0
يساوي اللانهاية، إذا كان لأي عدد كبير بشكل تعسفي M > 0
، هناك رقم δ M > 0
، اعتمادًا على M، أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب δ M - للنقطة: فإن عدم المساواة التالي يحمل:
.
ويشار إلى الحد اللانهائي على النحو التالي:
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف الحد اللانهائي للدالة على النحو التالي:
.
يمكنك أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و :
.
.
التعريف العالمي لحد الوظيفة
باستخدام مفهوم جوار نقطة ما، يمكننا تقديم تعريف عالمي للحد المحدود وغير المحدود للدالة، والذي ينطبق على كل من النقاط المحدودة (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) والنقاط البعيدة بلا حدود:
.
تحديد نهاية الدالة حسب هاينه
دع الوظيفة يتم تعريفها على بعض المجموعة X: .
الرقم a يسمى حد الدالةعند النقطة:
,
إذا كان لأي تسلسل يتقارب إلى x 0
:
,
التي تنتمي عناصرها إلى المجموعة X : ,
.
ولنكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
إذا أخذنا الحي الأيسر للنقطة x كمجموعة X 0 ، ثم نحصل على تعريف الحد الأيسر. وإذا كانت أيمنًا، فسنحصل على تعريف النهاية اليمنى. إذا أخذنا جوار نقطة ما عند اللانهاية كمجموعة X، فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عند اللانهاية.
نظرية
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة متكافئة.
دليل
خصائص ونظريات نهاية الوظيفة
علاوة على ذلك، نفترض أن الدوال قيد النظر محددة في الحي المقابل للنقطة، وهو عدد منتهٍ أو أحد الرموز: .
ويمكن أيضًا أن تكون نقطة حد أحادية الجانب، أي أن يكون لها النموذج أو .
والمجاورة ذات طرفين لحد من جانبين، وجانب واحد لحد من جانب واحد. (خ)الخصائص الأساسية إذا كانت قيم الدالة fتغيير (أو جعل غير محدد) عدد محدود من النقاط x 0 .
1، × 2، × 3، ... × ن 0
فإن هذا التغيير لن يؤثر على وجود وقيمة نهاية الدالة عند نقطة عشوائية x (خ)إذا كان هناك نهاية منتهية، فهناك حي مثقوب للنقطة x
.
، حيث تكون الدالة f 0
محدود:
.
دع الدالة تكون عند النقطة x 0
الحد المحدود غير الصفري:
ثم، بالنسبة لأي رقم c من الفاصل الزمني، يوجد حي مثقوب للنقطة x
، لماذا ،
، لو ؛
، لو . 0
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
الذي - التي .
,
إذا , وعلى بعض أحياء هذه النقطة
على وجه الخصوص، إذا كان في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما
ثم إذا، ثم و؛ 0
:
,
إذا ، ثم و .
إذا كان على بعض الحي المثقوب للنقطة x
.
وهناك حدود متساوية محدودة (أو لا نهائية لعلامة معينة):
، الذي - التي
يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية على الصفحة
"الخصائص الأساسية لحدود الدالة."
الخصائص الحسابية لنهاية الدالة
دع الوظائف يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة من النقطة.
;
;
;
، لماذا ،
وليكن هناك حدود محدودة:
و .
وليكن C ثابتًا، أي رقمًا محددًا. ثم
إذا، ثم.
نظرية
يتم تقديم البراهين على الخصائص الحسابية على الصفحة 0
“الخصائص الحسابية لحدود الدالة”. > 0
معيار كوشي لوجود نهاية الدالة 0
من أجل تحديد دالة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة محدودة أو عند نقطة اللانهاية x
.
، كان لها حد محدود في هذه المرحلة، فمن الضروري والكافي لأي ε
كان هناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x ، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي، فإن التباين التالي يحمل:
حدود وظيفة معقدة
نظرية الحد
وظيفة معقدة
.
يتم تطبيق نظرية النهاية لدالة معقدة عندما لا تكون الدالة معرفة عند نقطة ما أو تكون لها قيمة مختلفة عن النهاية.
.
لتطبيق هذه النظرية يجب أن يكون هناك حي مثقوب للنقطة التي لا تحتوي فيها مجموعة قيم الدالة على النقطة: إذا كانت الدالة متصلة عند النقطة، فيمكن تطبيق علامة النهاية على الوسيطة:
.
وظيفة مستمرة
وفيما يلي نظرية المقابلة لهذه الحالة.
نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة يجب أن يكون هناك حد للدالة g(ر) 0
كما ر → ر 0
:
.
، وهو يساوي x 0
هنا النقطة ر
يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: . (خ)ودع الدالة f 0
.
مستمر عند النقطة x ثم هناك حد للوظيفة المعقدة f(ز (ر)) ، وهو يساوي f:
.
(×0)
يتم تقديم البراهين على النظريات على الصفحة
“الحد واستمرارية وظيفة معقدة”.
وظائف متناهية الصغر وكبيرة بلا حدود
تعريف
وظائف متناهية الصغر
.
يقال أن الدالة متناهية الصغر إذاالمجموع والفرق والمنتج
من عدد محدود من الوظائف متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في .منتج دالة محدودة
على بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في.
,
لكي يكون للدالة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن يكون ذلك أين - إلى ما لا نهايةوظيفة صغيرة
في .
“خصائص الوظائف متناهية الصغر”.
تعريف
وظائف كبيرة بلا حدود
.
يقال أن الدالة كبيرة بلا حدود إذا مجموع أو اختلاف الدالة المحدودة، في بعض المناطق المجاورة المثقوبة للنقطة، ودالة كبيرة بلا حدود عند، هو لانهائيوظيفة صغيرة
وظيفة عظيمة
.
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي وكانت الدالة محصورة في منطقة مثقوبة من النقطة، إذن
,
إذا كانت الدالة، في بعض المناطق المثقوبة من النقطة، تلبي عدم المساواة:
والدالة متناهية الصغر في:
.
، و (على بعض الحي المثقوب من النقطة)، إذن
يتم عرض الأدلة على الخصائص في القسم
“خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود”.
العلاقة بين الوظائف الكبيرة والمتناهية الصغر
من الخاصيتين السابقتين يتبع العلاقة بين الدوال الكبيرة والمتناهية الصغر.
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند , فإن الدالة تكون متناهية الصغر عند .
إذا كانت الدالة متناهية الصغر بالنسبة لـ و، فإن الدالة تكون كبيرة بلا حدود بالنسبة لـ .
,
.
إذا كانت دالة متناهية الصغر لها إشارة معينة عند، أي أنها موجبة (أو سالبة) على بعض المناطق المثقوبة للنقطة، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبنفس الطريقة، إذا كانت دالة كبيرة بشكل لا نهائي لها إشارة معينة عند، فإنهم يكتبون:
.
ومن ثم يمكن استكمال العلاقة الرمزية بين الوظائف المتناهية الصغر والوظائف الكبيرة بلا حدود بالعلاقات التالية:
,
,
,
.
يمكن العثور على صيغ إضافية تتعلق برموز اللانهاية على الصفحة
"النقاط إلى اللانهاية وخصائصها."
حدود الوظائف الرتيبة
تعريف
يتم استدعاء دالة محددة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X زيادة صارمة، إذا كان للجميع أن عدم المساواة التالية تحمل:
.
وفقا لذلك، ل يتناقص بشدةوظيفة تحمل عدم المساواة التالية:
.
ل غير متناقصة:
.
ل غير متزايدة:
.
ويترتب على ذلك أن الدالة المتزايدة بشكل صارم هي أيضًا غير متناقصة. الدالة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير متزايدة.
يتم استدعاء الدالة رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.
نظرية
دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث .
وإذا كان محدداً من الأعلى بالرقم M: فإن هناك حداً منتهياً.
إذا لم يقتصر على ما سبق، ثم.
وإذا كان محدوداً من الأسفل بالرقم م: فهناك حد منتهٍ.
إذا لم يقتصر من الأسفل، ثم .
إذا كانت النقطتان a وb عند اللانهاية، فإن علامات النهاية في التعبيرات تعني ذلك.
;
.
يمكن صياغة هذه النظرية بشكل أكثر إحكاما.
دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث .
;
.
ثم هناك حدود أحادية الجانب عند النقطتين أ و ب:
نظرية مماثلة لوظيفة غير متزايدة.
دع الدالة لا تزيد في الفاصل الزمني حيث .
ثم هناك حدود من جانب واحد: يتم تقديم إثبات النظرية على الصفحة“حدود الوظائف الرتيبة”.
الأدب المستخدم:
إل دي. كودريافتسيف. حسنًا التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003. سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.حل حدود الوظائف عبر الإنترنت. أوجد القيمة الحدية لدالة أو تسلسل وظيفي عند نقطة ما، واحسبها ذروةقيمة الدالة عند اللانهاية تحديد تقارب سلسلة الأرقام ويمكن القيام بالمزيد بفضل لدينا الخدمة عبر الإنترنتيمكنك إدخال كل من السلاسل العددية والدوال التحليلية التي تحتوي على ثوابت في التعبير الحرفي. في هذه الحالة، سيحتوي الحد الموجود للدالة على هذه الثوابت كوسائط ثابتة في التعبير. خدمتنا تحل أي مشاكل معقدة في البحث حدود على الانترنت، يكفي الإشارة إلى الوظيفة والنقطة التي يجب حسابها عندها قيمة الحد من الوظيفة. حساب حدود الانترنت، يمكنك استخدام طرق مختلفةوقواعد حلها مع التحقق من النتيجة حل الحدود على الانترنتعلى الموقع www.site، الأمر الذي سيؤدي إلى إكمال المهمة بنجاح - سوف تتجنب أخطائك وأخطاءك الكتابية. أو يمكنك الوثوق بنا تمامًا واستخدام نتائجنا في عملك، دون إنفاق المزيد من الجهد والوقت في حساب حد الدالة بشكل مستقل. نحن نسمح بإدخال القيم الحدية مثل اللانهاية. من الضروري إدخال عضو مشترك في تسلسل رقمي و www.siteسوف يحسب القيمة الحد على الانترنتإلى زائد أو ناقص اللانهاية.
أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هو حد الوظيفةو حد التسلسلعند نقطة ما وعند اللانهاية، من المهم أن تكون قادرًا على الحل بشكل صحيح حدود. مع خدمتنا لن يكون هذا صعبا. يتم اتخاذ القرار حدود على الانترنتوفي غضون ثوانٍ قليلة، تكون الإجابة دقيقة وكاملة. تبدأ دراسة التحليل الرياضي ب الانتقال إلى الحد, حدودتُستخدم في جميع مجالات الرياضيات العليا تقريبًا، لذلك من المفيد أن يكون لديك خادم في متناول اليد حلول الحد على الانترنت، وهو الموقع.
نهاية الدالة عند نقطة وعند
حد الوظيفة هو الجهاز الرئيسي للتحليل الرياضي. وبمساعدتها، يتم تحديد استمرارية الوظيفة والمشتق والتكامل ومجموع السلسلة لاحقًا.
دع الدالة y=و(س)المحددة في بعض أحياء هذه النقطة 
، ربما باستثناء النقطة نفسها 
.
دعونا نقوم بصياغة تعريفين متكافئين لنهاية الدالة عند نقطة ما.
التعريف 1 (في “لغة المتتابعات” أو بحسب هاينه). رقم بمُسَمًّى حد الوظيفة
ذ=و(س)
عند هذه النقطة
(أو متى 
)، إذا كان لأي تسلسل لقيم الوسيطات الصالحة 
تتقارب ل
(أولئك. 
)، تسلسل قيم الوظائف المقابلة 
يتقارب إلى عدد ب(أولئك. 
).
في هذه الحالة يكتبون 
أو 
في 
. المعنى الهندسي لحد الدالة: 
يعني أنه لجميع النقاط X، قريبة بما فيه الكفاية من هذه النقطة
، تختلف القيم المقابلة للدالة قليلاً عن الرقم المطلوب ب.
التعريف 2 (في "اللغة"، أو حسب كوشي). رقم بمُسَمًّى حد الوظيفة
ذ=و(س)
عند هذه النقطة
(أو متى 
) ، إذا كان لأي رقم موجب يوجد رقم موجب بحيث يكون للجميع 
إرضاء عدم المساواة 
، يستمر عدم المساواة 
.
اكتب 
.
ويمكن كتابة هذا التعريف بإيجاز على النحو التالي:
لاحظ أن 
يمكن كتابتها مثل هذا 
.
ز 
المعنى الهندسي لنهاية الدالة: 
، إذا كان لأي حي النقطة بهناك مثل هذا حي النقطة
هذا للجميع 
من هذا الحي القيم المقابلة للوظيفة و
(س) تقع في جوار النقطة ب. وبعبارة أخرى، النقاط على الرسم البياني للوظيفة ذ
=
و
(س) يقع داخل شريط عرضه 2 يحده خطوط مستقيمة في
= ب + ,
في = ب (الشكل 17). ومن الواضح أن قيمة تعتمد على اختيار ، ولذلك يكتبون = ().
مثالاثبات ذلك 
حل
. لنأخذ قيمة 0 ونجد = () 0 بحيث تكون للجميع X 
، يستمر عدم المساواة 
. منذ من 
أولئك. 
، ثم أخذ 
، نرى ذلك للجميع X، إرضاء عدم المساواة 
، يستمر عدم المساواة 
. لذلك، 
مثالاثبات ذلك إذا و
(س) =
مع، الذي - التي 
.
حل
. ل 
يمكنك أن تأخذ ذلك 
. ثم في 
لدينا. لذلك، 
.
في تحديد نهاية الوظيفة 
ويعتقد أن Xيسعى ل
بأي حال من الأحوال: البقاء أقل من
(على يسار
)، أكبر من
(على يمين
) أو متقلبة حول نقطة ما
.
هناك حالات تكون فيها طريقة تقريب الحجة Xل
يؤثر بشكل كبير على قيمة حد الوظيفة. ولذلك، تم تقديم مفاهيم الحدود من جانب واحد.
تعريف. رقم 
مُسَمًّى حد الوظيفة
ذ=و(س)
غادر
عند هذه النقطة
، إذا كان لأي رقم 0 رقم = () 0 بحيث يكون لـ 
، يستمر عدم المساواة 
.
الحد على اليسار مكتوب على النحو التالي 
أو لفترة وجيزة 
(تدوين ديريشليت) (الشكل 18).
تعريف بالمثل حد الدالة على اليمين لنكتبها باستخدام الرموز:
باختصار، تتم الإشارة إلى الحد الموجود على اليمين 
.
ص 
يتم استدعاء أجزاء الدالة الموجودة على اليسار واليمين حدود في اتجاه واحد
. ومن الواضح، إذا كان هناك 
، فإن كلا النهايتين من جانب واحد موجودان، و 
.
والعكس صحيح أيضًا: إذا وجد كلا الحدين 
و 
وهم متساوون، ثم هناك حد 
و .
لو 
، الذي - التي 
غير موجود.
تعريف. دع الوظيفة ذ=و(س) يتم تعريفه في الفاصل الزمني 
. رقم بمُسَمًّى حد الوظيفة
ذ=و(س)
في
X ، إذا كان لأي رقم 0 يوجد مثل هذا الرقم م
= م() 0 وهي للجميع X، إرضاء عدم المساواة 
عدم المساواة يحمل 
. باختصار يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:
ه 
لو X +، ثم يكتبون 
، لو X ، ثم يكتبون 
، لو 
=
، ثم يُشار عادةً إلى معناها العام 
.
المعنى الهندسي لهذا التعريف هو كما يلي: ل 
، أنه عند 
و 
قيم الوظيفة المقابلة ذ=و(س) تقع في حي النقطة ب، أي. تقع نقاط الرسم البياني في شريط عرضه 2، ويحده خطوط مستقيمة 
و 
(الشكل 19).
حد الوظيفة- رقم أسيكون حدًا لبعض الكمية المتغيرة إذا اقتربت هذه الكمية المتغيرة إلى أجل غير مسمى أثناء عملية تغييرها أ.
أو بمعنى آخر العدد أهو الحد من الوظيفة ص = و(س)عند هذه النقطة × 0، إذا كان لأي تسلسل من النقاط من مجال تعريف الدالة، لا يساوي × 0، والذي يتقارب إلى هذه النقطة × 0 (ليم × ن = ×0)، فإن تسلسل قيم الوظيفة المقابلة يتقارب مع الرقم أ.
الرسم البياني للدالة التي يكون حدها يساوي ل:
معنى أيكون الحد (القيمة الحدية) للوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0في حالة وجود أي تسلسل من النقاط 
، الذي يتقارب × 0ولكن الذي لا يحتوي × 0كأحد عناصرها (أي في الجوار المثقوب × 0)، تسلسل قيم الوظائف 
يتقارب ل أ.
حد دالة كوشي
معنى أسوف يكون حد الوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0إذا كان لأي رقم غير سالب تم أخذه مسبقًا ε سيتم العثور على الرقم المقابل غير السالب δ = δ(ε) بحيث لكل حجة س، استيفاء الشرط 0 < | x - x0 | < δ ، سيتم تلبية عدم المساواة | و(خ)أ |< ε .
سيكون الأمر بسيطًا جدًا إذا فهمت جوهر الحد والقواعد الأساسية للعثور عليه. ما هو الحد من الدالة و (س)في ستسعى ل أيساوي أ، مكتوب هكذا:
علاوة على ذلك القيمة التي يميل إليها المتغير س، لا يمكن أن يكون رقمًا فحسب، بل قد يكون أيضًا ما لا نهاية (∞)، وأحيانًا +∞ أو -∞، أو قد لا يكون هناك حد على الإطلاق.
لفهم كيف العثور على حدود وظيفةفمن الأفضل أن ننظر إلى أمثلة الحلول.
من الضروري العثور على حدود الوظيفة و (س) = 1/سفي:
س→ 2, س→ 0, س→ ∞.
دعونا نجد حل للحد الأول. للقيام بذلك، يمكنك ببساطة استبدال سالعدد الذي يميل إليه، أي. 2 نحصل على:
دعونا نجد الحد الثاني للدالة. استبدل هنا في شكل نقي 0 بدلا من ذلك سفمن المستحيل، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. ولكن يمكننا أن نأخذ القيم القريبة من الصفر، على سبيل المثال 0.01؛ 0.001; 0.0001; 0.00001 وهكذا، وقيمة الدالة و (س)سيزيد: 100؛ 1000؛ 10000؛ 100.000 وهكذا. وهكذا يمكن أن نفهم أنه متى س→ 0 قيمة الدالة الموجودة تحت علامة الحد ستزداد بلا حدود، أي. نسعى نحو اللانهاية. وهو ما يعني:
فيما يتعلق بالحد الثالث. نفس الوضع كما في الحالة السابقة، فمن المستحيل أن يحل محل ∞ في أنقى صوره. نحن بحاجة إلى النظر في حالة الزيادة غير المحدودة س. نعوض بـ 1000 واحدًا تلو الآخر؛ 10000؛ 100000 وهكذا، لدينا قيمة الدالة و (س) = 1/سسوف تنخفض: 0.001؛ 0.0001; 0.00001; وهكذا، تميل إلى الصفر. لهذا السبب:
من الضروري حساب حد الوظيفة 
وبالبدء في حل المثال الثاني، نرى عدم اليقين. من هنا نجد أعلى درجة للبسط والمقام - هذه هي × 3، نخرجها من الأقواس في البسط والمقام ثم نختصرها بالآتي:
إجابة 
الخطوة الأولى في العثور على هذا الحد، استبدل القيمة 1 بدلاً من ذلك س، مما أدى إلى عدم اليقين. لحلها، دعونا نحلل البسط ونفعل ذلك باستخدام طريقة إيجاد الجذور معادلة تربيعية × 2 + 2س - 3:
د = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ د =√16 = 4
× 1.2 = (-2±4)/2→ س 1 = -3؛× 2= 1.
لذلك سيكون البسط:
إجابة 
وهذا هو تعريف قيمته المحددة أو منطقة معينة تقع فيها الدالة، وهي محدودة بالحد.
لحل الحدود، اتبع القواعد:
بعد أن فهمت الجوهر والرئيسي قواعد حل الحد، سوف تحصل على فهم أساسي لكيفية حلها.
رقم ثابت أمُسَمًّى حد تسلسلات(x n )، إذا كان لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفيε > 0 يوجد رقم N يحتوي على جميع القيم س ن، والتي n>N تحقق عدم المساواة
|x ن - أ|< ε. (6.1)
اكتبها على النحو التالي: أو x n →أ.
عدم المساواة (6.1) يعادل عدم المساواة المزدوجة
أ- ε< x n < a + ε, (6.2)
وهو ما يعني أن النقاط س ن، بدءًا من رقم ما n>N، يقع داخل الفترة (a-ε، أ+ ε )، أي. تقع في أي صغيرةε -جوار نقطة أ.
يتم استدعاء تسلسل له حد متقاربة، خلاف ذلك - متباعدة.
مفهوم حد الوظيفة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل، حيث يمكن اعتبار حد التسلسل حدًا للدالة x n = f(n) لوسيطة عدد صحيح ن.
دع الوظيفة f (x) تُعطى ودعها أ - نقطة الحدمجال تعريف هذه الوظيفة D(f)، أي. مثل هذه النقطة، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D(f) بخلاف أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D(f).
التعريف 1.يسمى الرقم الثابت A حد وظائفو (خ) فيس →a، إذا كان لأي تسلسل (x n) لقيم الوسيطة يميل إلى أ، فإن التسلسلات المقابلة (f(x n)) لها نفس الحد A.
ويسمى هذا التعريف من خلال تحديد نهاية الدالة وفقًا لـ Heine،أو " في لغة التسلسل”.
التعريف 2. يسمى الرقم الثابت A حد وظائفو (خ) فيس →أ، إذا، عن طريق تحديد رقم موجب صغير تعسفيًا ε، يمكن للمرء أن يجد مثل δ>0 (اعتمادًا على ε)، وهو للجميع س، الكذب فيε-أحياء العدد أ، أي. ل س، إرضاء عدم المساواة
0 <
س-أ< ε
، ستكون قيم الدالة f(x) موجودةε-حي الرقم A، أي.|f(x)-أ|<
ε.
ويسمى هذا التعريف من خلال تحديد نهاية الدالة وفقا لكوشي،أو "في اللغة ε - δ “.
التعريفان 1 و 2 متساويان. إذا كانت الدالة f(x) كـ x →لديه حد، يساوي A، وهذا مكتوب في النموذج
. (6.3)
في حالة زيادة (أو نقصان) التسلسل (f(x n)) بلا حدود لأي طريقة تقريبية سإلى الحد الخاص بك أ، فسنقول أن الدالة f(x) لها الحد اللانهائي،واكتبها على الشكل:
يسمى المتغير (أي تسلسل أو دالة) الذي حده صفر صغيرة بلا حدود.
يسمى المتغير الذي حده اللانهاية كبيرة بلا حدود.
لإيجاد النهاية عمليًا، يتم استخدام النظريات التالية.
النظرية 1 . إذا كان كل حد موجودا
(6.4)
(6.5)
(6.6)
تعليق. تعبيرات مثل 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - غير مؤكدة، على سبيل المثال، النسبة بين كميتين صغيرتين بشكل لا نهائي أو كبيرتين بشكل لا نهائي، وإيجاد حد لهذا النوع يسمى "كشف الشكوك".
النظرية 2. (6.7)
أولئك. يمكن للمرء أن يذهب إلى الحد بناءً على القوة ذات الأس الثابت، على وجه الخصوص، 
;
(6.8)
(6.9)
النظرية 3.
(6.10)
(6.11)
أين ه » 2.7 - قاعدة اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغ (6.10) و (6.11) بالصيغة الأولى حد رائعوالحد الثاني الملحوظ.
يتم أيضًا استخدام نتائج الصيغة (6.11) عمليًا:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
وخاصة الحد
إذا س → a وفي نفس الوقت x > a، ثم اكتب x→a + 0. إذا كانت a = 0، فبدلاً من الرمز 0+0 اكتب +0. وبالمثل إذا كان x→أ وفي نفس الوقت س 
ويتم استدعاؤهم وفقًا لذلك الحد الصحيحو الحد الأيسر وظائفو (خ) عند هذه النقطة أ. لكي يكون هناك حد للدالة f(x) كـ x→وهو ضروري وكافي لذلك 
. يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند هذه النقطة× 0 إذا كان الحد
. (6.15)
يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:
,
أي أن المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة ممكن إذا كانت مستمرة عند نقطة معينة.
إذا تم انتهاك المساواة (6.15)، فإننا نقول ذلك فيس = س س وظيفةو (خ) لديه فجوةخذ بعين الاعتبار الدالة y = 1/x. مجال تعريف هذه الوظيفة هو المجموعة ر، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة النهاية للمجموعة D(f)، لأنه في أي حي منها، أي. في أي فترة مفتوحة تحتوي على النقطة 0، توجد نقاط من D(f)، ولكنها في حد ذاتها لا تنتمي إلى هذه المجموعة. القيمة f(x o)= f(0) غير محددة، لذا عند النقطة x o = 0 تكون الدالة متقطعة.
يتم استدعاء الدالة f(x). مستمرة على اليمين عند هذه النقطةس س إذا كان الحد
,
و المستمر على اليسار عند هذه النقطةس س، إذا كان الحد
.
استمرارية الدالة عند نقطة ما س سيعادل استمرارها عند هذه النقطة إلى اليمين وإلى اليسار.
لكي تكون الدالة متصلة عند نقطة ما س سعلى سبيل المثال، على اليمين، من الضروري أولاً أن يكون هناك حد منتهٍ، وثانيًا، أن يكون هذا الحد مساويًا لـ f(x o). لذلك، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل، فستكون الدالة منقطعة.
1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f(x o) فإنهم يقولون ذلك وظيفةو (خ) عند هذه النقطةس لديه التمزق من النوع الأول،أو خطوة.
2. إذا كان الحد+∞ أو -∞ أو غير موجود فيقولون ذلك نقطة xo الدالة لديها انقطاع النوع الثاني.
على سبيل المثال، الدالة y = المهد x عند x→ +0 له حد يساوي +∞مما يعني أنه عند النقطة x=0 يوجد انقطاع من النوع الثاني. الدالة y = E(x) (جزء صحيح من س) في النقاط ذات الإحداثيات الكاملة يوجد انقطاعات من النوع الأول، أو قفزات.
تسمى الدالة المستمرة عند كل نقطة في الفترة مستمرخامسا . يتم تمثيل الوظيفة المستمرة بمنحنى متصل.
العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الملحوظ الثاني. وتشمل هذه المهام، على سبيل المثال: نمو الودائع وفقا لقانون الفائدة المركبة، ونمو سكان البلاد، واضمحلال المواد المشعة، وانتشار البكتيريا، وما إلى ذلك.
دعونا نفكر مثال يا.بيرلمان، وإعطاء تفسير للرقم هفي مسألة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد 
. في بنوك الادخار، يتم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الانضمام في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ أكبر في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع 100 منكر تودع في البنك. وحدات على أساس 100% سنويا. إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، ففي هذه الفترة 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 وحدة نقدية. الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 دينيز. وحدات، إذا تم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. وبعد ستة أشهر 100 دن. وحدات سوف تنمو إلى 100×
1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - 150×
1.5 = 225 (الوحدات). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات سوف يتحول إلى 100× (1 +1/3) 3 " 237 (دن. الوحدات). سنزيد شروط إضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، وحتى 0.01 سنة، وحتى 0.001 سنة، وما إلى ذلك. ثم من أصل 100 دن. وحدات وبعد عام يصبح:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (الوحدات)،
100 × (1+1/100) 100 » 270 (الوحدات)،
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (الوحدات).
ومع التخفيض غير المحدود في شروط إضافة الفائدة، فإن رأس المال المتراكم لا ينمو إلى أجل غير مسمى، بل يقترب من حد معين يساوي حوالي 271. ولا يمكن لرأس المال المودع بنسبة 100% سنويا أن يزيد بأكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تمت إضافتها إلى رأس المال في كل ثانية لأن الحد
مثال 3.1.باستخدام تعريف نهاية التسلسل الرقمي، أثبت أن التسلسل x n =(n-1)/n له نهاية تساوي 1.
حل.وعلينا أن نثبت ذلك مهما حدثε > 0 مهما أخذنا، هناك شيء له عدد طبيعي N، بحيث ينطبق عدم المساواة على جميع n N|x ن -1|< ε.
لنأخذ أي e > 0. منذ؛ x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، إذن لإيجاد N يكفي حل المتراجحة 1/n< ه. ومن ثم ن> 1/ ه وبالتالي، يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1/ه , ن = ه(1/ ه ). وبذلك أثبتنا أن الحد .
مثال 3.2
. أوجد نهاية المتتابعة المعطاة بمصطلح مشترك 
.
حل.دعونا نطبق نهاية نظرية المجموع ونوجد نهاية كل حد. عندما ن→ ∞ يميل البسط والمقام لكل حد إلى ما لا نهاية، ولا يمكننا تطبيق نظرية نهاية القسمة بشكل مباشر. لذلك، أولا نقوم بالتحول س ن، قسمة بسط ومقام الحد الأول على ن 2، والثاني على ن. وبعد ذلك، وبتطبيق نهاية القسمة ونهاية نظرية المجموع نجد:
.
مثال 3.3. 
. يجد .
حل. 
.
استخدمنا هنا نظرية نهاية الدرجة: نهاية الدرجة تساوي درجة نهاية القاعدة.
مثال 3.4
. يجد ( 
).
حل.من المستحيل تطبيق نظرية نهاية الفرق، لأن لدينا عدم يقين في النموذج ∞-∞ . دعونا نحول صيغة المصطلح العام:
.
مثال 3.5 . تم إعطاء الدالة f(x)=2 1/x. إثبات أنه لا يوجد حد.
حل.دعونا نستخدم التعريف 1 لحد الدالة من خلال التسلسل. لنأخذ التسلسل ( x n ) المتقارب إلى 0، أي. دعونا نبين أن القيمة f(x n)= تتصرف بشكل مختلف بالنسبة للتسلسلات المختلفة. دع س ن = 1/ن. ومن الواضح، ثم الحد 
دعونا الآن نختار كما س نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1/n، ويميل أيضًا إلى الصفر. 
ولذلك ليس هناك حد.
مثال 3.6 . إثبات أنه لا يوجد حد.
حل.دع x 1 , x 2 ,..., x n ,... يكون تسلسلاً له
. كيف يتصرف التسلسل (f(x n)) = (sin x n) لمختلف x n → ∞
إذا كان x n = p n، فإن sin x n = sin p ن = 0 للجميع نوالحد إذا
س ن =2 p n+ p /2، ثم sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 للجميع نوبالتالي الحد. لذلك فهو غير موجود.
القطعة لحساب الحدود على الانترنت
في النافذة العلوية، بدلاً من sin(x)/x، أدخل الدالة التي تريد العثور على حدها. في النافذة السفلية، أدخل الرقم الذي يميل إليه x وانقر فوق الزر "حسابي"، واحصل على الحد المطلوب. وإذا نقرت في نافذة النتائج على "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا، فستحصل على حل مفصل.
قواعد إدخال الوظائف: sqrt(x)- الجذر التربيعي، cbrt(x) - الجذر التكعيبي، exp(x) - الأس، ln(x) - اللوغاريتم الطبيعي, sin(x) - جيب التمام، cos(x) - جيب التمام، tan(x) - ظل، cot(x) - ظل التمام، arcsin(x) - arcsine، arccos(x) - arccosine، arctan(x) - ظل قوسي. العلامات: * الضرب، / القسمة، ^ الأس، بدلا من ذلك إنفينيتيإنفينيتي. مثال: تم إدخال الدالة بالشكل sqrt(tan(x/2)).
