"إن عالم الرياضيات، مثله مثل الفنان أو الشاعر، يخلق الأنماط. وإذا كانت أنماطه أكثر استقرارا، فذلك فقط لأنها مكونة من أفكار... أنماط عالم الرياضيات، تماما مثل أنماط الفنان أو الشاعر، يجب أن تكون جميلة؛ الأفكار، مثل الألوان أو الكلمات، يجب أن تتوافق مع بعضها البعض. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».
جي إتش هاردي
في الفصل الأول لوحظ أن هناك بدائيات تماما وظائف بسيطةوالتي لم يعد من الممكن التعبير عنها من خلال وظائف أولية. في هذا الصدد، فإن فئات الدوال التي يمكننا أن نقول عنها بدقة أن مشتقاتها العكسية هي دوال أولية، تكتسب أهمية عملية هائلة. تتضمن هذه الفئة من الوظائف وظائف عقلانية، تمثل نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.
2.1.1. وظائف عقلانية كسرية
جزء عقلاني(أو دالة عقلانية كسرية) تسمى العلاقة بين اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:
أين و هي كثيرات الحدود.
دعونا نذكركم بذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, وظيفة عقلانية كاملة) نالدرجة العاشرةتسمى وظيفة النموذج
أين 
- أرقام حقيقية. على سبيل المثال،
- كثيرة الحدود من الدرجة الأولى؛
- متعدد الحدود من الدرجة الرابعة، الخ.
يسمى الكسر العقلاني (2.1.1). صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة، أي. ن<موإلا يسمى الكسر خطأ.
يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (الجزء الكامل) وكسر حقيقي (الجزء الكسري).يمكن فصل الأجزاء الكاملة والكسرية للكسر غير الحقيقي وفقًا لقاعدة تقسيم كثيرات الحدود بـ "الزاوية".
مثال 2.1.1.حدد الأجزاء الكاملة والكسرية للكسور النسبية غير الحقيقية التالية:
أ) 
، ب) 
.
حل . أ) باستخدام خوارزمية القسمة "الزاوية"، نحصل على
وهكذا نحصل
.
ب) نستخدم هنا أيضًا خوارزمية التقسيم "الزاوية":
ونتيجة لذلك، نحصل على
.
دعونا نلخص. في الحالة العامة، يمكن تمثيل التكامل غير المحدد للكسر الكسرى كمجموع تكاملات كثير الحدود والكسر الكسرى المناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك، فيما يلي سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية الصحيحة.
2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها
من بين الكسور المنطقية المناسبة، هناك أربعة أنواع، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):
|
3) |
4) |
,
,أين هو عدد صحيح، 
، أي. ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية 
ليس له جذور حقيقية.
لا يمثل دمج الكسور البسيطة من النوعين الأول والثاني أي صعوبات كبيرة:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
دعونا الآن نفكر في تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث، لكننا لن نفكر في الكسور من النوع الرابع.
لنبدأ بتكاملات النموذج
.
عادة ما يتم حساب هذا التكامل عن طريق العزل مربع كاملفي القاسم. والنتيجة هي جدول متكامل من النموذج التالي
أو 
.
مثال 2.1.2.أوجد التكاملات:
أ) 
، ب) 
.
حل . أ) اختر مربعًا كاملاً من ثلاثية الحدود التربيعية:
من هنا نجد
ب) بعزل مربع كامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية نحصل على:
هكذا،
.
للعثور على التكامل
يمكنك عزل مشتقة المقام في البسط وتوسيع التكامل إلى مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض 
يأتي إلى المظهر
,
والثاني - لتلك التي تمت مناقشتها أعلاه.
مثال 2.1.3.أوجد التكاملات:
.
حل
. لاحظ أن 
. دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط:
يتم حساب التكامل الأول باستخدام الاستبدال 
:
في التكامل الثاني، نختار المربع الكامل في المقام
وأخيراً وصلنا
2.1.3. توسيع الكسر العقلاني السليم
لمجموع الكسور البسيطة
أي جزء عقلاني مناسب 
يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك، يجب أن يتم تحليل المقام. ومن المعروف من الجبر الأعلى أن كل كثيرة حدود لها معاملات حقيقية
الدالة الكسرية هي جزء من الشكل، بسطه ومقامه كثيرات الحدود أو نواتج كثيرات الحدود.
مثال 1. الخطوة 2.
.
نقوم بضرب المعاملات غير المحددة في كثيرات الحدود غير الموجودة في هذا الكسر الفردي، ولكنها موجودة في الكسور الناتجة الأخرى:
نفتح الأقواس ونساوي بسط التكامل الأصلي بالتعبير الناتج:
في كلا طرفي المساواة نبحث عن حدود لها نفس قوى x ونؤلف منها نظام المعادلات:
.
نلغي جميع علامات x ونحصل على نظام معادل من المعادلات:
.
وبالتالي، فإن الموسع النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة هو:
.
مثال 2. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
.
الآن نبدأ في البحث عن معاملات غير مؤكدة. للقيام بذلك، نقوم بمساواة بسط الكسر الأصلي في تعبير الدالة ببسط التعبير الذي تم الحصول عليه بعد تقليل مجموع الكسور إلى مقام مشترك:
أنت الآن بحاجة إلى إنشاء وحل نظام المعادلات. للقيام بذلك، نقوم بمساواة معاملات المتغير بالدرجة المقابلة في بسط التعبير الأصلي للدالة والمعاملات المماثلة في التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة:
نحن نحل النظام الناتج:
لذلك، من هنا
.
مثال 3. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
نبدأ في البحث عن معاملات غير مؤكدة. للقيام بذلك، نقوم بمساواة بسط الكسر الأصلي في تعبير الدالة ببسط التعبير الذي تم الحصول عليه بعد تقليل مجموع الكسور إلى مقام مشترك:
كما في الأمثلة السابقة، نقوم بتكوين نظام من المعادلات:
نقوم بتقليل x ونحصل على نظام معادلات مكافئ:
بحل النظام نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:
نحصل على التحلل النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:
.
مثال 4. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
.
نحن نعلم بالفعل من الأمثلة السابقة كيفية مساواة بسط الكسر الأصلي بالتعبير الموجود في البسط الذي تم الحصول عليه بعد تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة وإحضار هذا المجموع إلى قاسم مشترك. لذلك، ولأغراض التحكم فقط، نقدم نظام المعادلات الناتج:
بحل النظام نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:
نحصل على التحلل النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:
مثال 5. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
.
نقوم بشكل مستقل بتقليل هذا المجموع إلى مقام مشترك، مع مساواة بسط هذا التعبير ببسط الكسر الأصلي. يجب أن تكون النتيجة نظام المعادلات التالي:
بحل النظام نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:
.
نحصل على التحلل النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:
.
مثال 6. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
نقوم بنفس الإجراءات بهذا المبلغ كما في الأمثلة السابقة. يجب أن تكون النتيجة نظام المعادلات التالي:
بحل النظام نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:
.
نحصل على التحلل النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:
.
مثال 7. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
.
بعد إجراءات معينة بالمبلغ الناتج، ينبغي الحصول على نظام المعادلات التالي:
بحل النظام نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:
نحصل على التحلل النهائي للتكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:
.
مثال 8. الخطوة 2.في الخطوة 1، حصلنا على التحليل التالي للكسر الأصلي إلى مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:
.
لنقم بإجراء بعض التغييرات على الإجراءات التي تم تفعيلها تلقائيًا للحصول على نظام المعادلات. هناك تقنية اصطناعية تساعد في بعض الحالات على تجنب الحسابات غير الضرورية. بجلب مجموع الكسور إلى قاسم مشترك، نحصل على ومساواة بسط هذا التعبير ببسط الكسر الأصلي، نحصل عليه.
الموضوع: تكامل الكسور النسبية.
انتباه! عند دراسة إحدى الطرق الأساسية للتكامل: تكامل الكسور المنطقية، من الضروري مراعاة كثيرات الحدود في المجال المعقد لإجراء براهين صارمة. ولذلك فمن الضروري الدراسة مقدما بعض خواص الأعداد المركبة والعمليات عليها.
تكامل الكسور المنطقية البسيطة.
لو ص(ض) و س(ض) هي كثيرات الحدود في المجال المركب، فهي كسور كسرية. تسمى صحيح، إذا كانت درجة ص(ض) درجة أقل س(ض) ، و خطأ، إذا كانت درجة ر لا تقل عن درجة س.
يمكن تمثيل أي كسر غير حقيقي على النحو التالي: 
,
ف(ض) = س(ض) ق(ض) + ر(ض)،
أ ر(ض) – كثير الحدود الذي درجته أقل من الدرجة س(ض).
وبالتالي، فإن تكامل الكسور المنطقية يعود إلى تكامل كثيرات الحدود، أي دوال القوة، والكسور الصحيحة، لأنه كسر حقيقي.
التعريف 5. الكسور الأبسط (أو الأولية) هي الأنواع التالية من الكسور:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
دعونا معرفة كيفية دمجها.
3) 
(درس سابقا).
النظرية 5. يمكن تمثيل كل كسر حقيقي كمجموع كسور بسيطة (بدون دليل).
النتيجة الطبيعية 1. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك جذور حقيقية بسيطة فقط بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة لن يكون هناك سوى كسور بسيطة من النوع الأول:
مثال 1.
النتيجة الطبيعية 2. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك جذور حقيقية متعددة فقط بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوعين الأول والثاني :
مثال 2.
النتيجة الطبيعية 3. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك فقط جذور مترافقة معقدة بسيطة بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوع الثالث:
مثال 3.
النتيجة الطبيعية 4. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك فقط عدة جذور مترافقة معقدة بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من الثالث والرابع أنواع:
لتحديد المعاملات المجهولة في التوسعات المعطاة، اتبع ما يلي. يتم ضرب الجانبين الأيسر والأيمن للتوسع الذي يحتوي على معاملات غير معروفة في الحصول على مساواة بين كثيرتي الحدود. ومنه يتم الحصول على معادلات المعاملات المطلوبة باستخدام:
1. المساواة صحيحة لأي قيم X (طريقة القيمة الجزئية). في هذه الحالة، يتم الحصول على أي عدد من المعادلات، أي م منها يسمح بإيجاد المعاملات المجهولة.
2. تطابق المعاملات لنفس درجات X (طريقة معاملات غير مؤكدة). في هذه الحالة، يتم الحصول على نظام م - معادلات مع م - مجهولة، والتي يتم العثور على المعاملات المجهولة منها.
3. الطريقة المجمعة.
مثال 5. قم بتوسيع الكسر 
إلى أبسط.
حل:
لنجد المعاملين A و B.
الطريقة الأولى - طريقة القيمة الخاصة:
الطريقة الثانية - طريقة المعاملات غير المحددة:
إجابة: 
دمج الكسور العقلانية.
النظرية 6. التكامل غير المحدد لأي كسر كسري في أي فترة لا يساوي مقامها الصفر موجودًا ويتم التعبير عنه من خلال وظائف أولية، وهي الكسور المنطقية واللوغاريتمات وظل الزوايا.
دليل.
لنتخيل كسرًا عقلانيًا في النموذج: 
. في هذه الحالة، الحد الأخير هو كسر مناسب، ووفقًا للنظرية 5 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من الكسور البسيطة. وهكذا، فإن تكامل الكسر العقلاني يتحول إلى تكامل كثير الحدود س(س)
والكسور البسيطة، التي يكون لمشتقاتها العكسية، كما هو موضح، الشكل المشار إليه في النظرية.
تعليق. وتتمثل الصعوبة الرئيسية في هذه الحالة في تحلل المقام إلى عوامل، أي البحث عن جميع جذوره.
مثال 1. أوجد التكامل
كل ما سبق في الفقرات السابقة يسمح لنا بصياغة القواعد الأساسية لتكامل الكسور النسبية.
1. إذا كان الكسر العقلاني غير صحيح، فسيتم تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر كسري مناسب (انظر الفقرة 2).
يؤدي هذا إلى تقليل تكامل الكسر المنطقي غير الحقيقي إلى تكامل كثير الحدود والكسر المنطقي الصحيح.
2. قم بتحليل مقام الكسر المناسب.
3. يتم تحليل الكسر المنطقي الصحيح إلى مجموع الكسور البسيطة. وهذا يقلل من تكامل الكسر الصحيح إلى تكامل الكسور البسيطة.
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.
مثال 1. ابحث عن .
حل. يوجد أسفل التكامل كسر نسبي غير حقيقي. اختيار الجزء كله، نحصل عليه
لذلك،
مع ملاحظة ذلك، دعونا نوسع الكسر العقلاني المناسب
إلى الكسور البسيطة:
(انظر الصيغة (18)). لهذا
وهكذا، لدينا أخيرا
مثال 2. البحث
حل. يوجد أسفل التكامل كسر منطقي مناسب.
بتوسيعها إلى كسور بسيطة (انظر الصيغة (16)) نحصل عليها
تعتمد المادة المقدمة في هذا الموضوع على المعلومات المقدمة في موضوع "الكسور المنطقية. تحليل الكسور المنطقية إلى كسور أولية (بسيطة)". أوصي بشدة بتصفح هذا الموضوع على الأقل قبل الانتقال إلى قراءة هذه المادة. بالإضافة إلى ذلك، سنحتاج إلى جدول التكاملات غير المحددة.
اسمحوا لي أن أذكركم ببعض المصطلحات. لقد تمت مناقشتها في الموضوع المقابل، لذلك سأقتصر هنا على صياغة موجزة.
النسبة بين كثيرتي الحدود $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ تسمى دالة عقلانية أو كسر عقلاني. يسمى الكسر العقلاني صحيح، إذا $ن< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется خطأ.
الكسور الأولية (الأبسط) هي كسور كسرية من أربعة أنواع:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار/إخفاء
لماذا هناك حاجة إلى الشرط $p^2-4q؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
على سبيل المثال، بالنسبة للتعبير $x^2+5x+10$ نحصل على: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. منذ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
بالمناسبة، لإجراء هذا التحقق، ليس من الضروري على الإطلاق أن يكون المعامل قبل $x^2$ مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، بالنسبة إلى $5x^2+7x-3=0$ نحصل على: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 دولارات. بما أن $D > 0$، فإن التعبير $5x^2+7x-3$ قابل للتحليل.
يمكن العثور على أمثلة للكسور المنطقية (الصحيحة وغير الصحيحة)، بالإضافة إلى أمثلة لتحلل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية. هنا سنهتم فقط بمسائل تكاملهم. لنبدأ بتكامل الكسور الأولية. لذلك، من السهل دمج كل نوع من الأنواع الأربعة للكسور الأولية المذكورة أعلاه باستخدام الصيغ أدناه. اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند تكامل الكسور من النوعين (2) و (4)، يتم افتراض $n=2,3,4,\ldots$. تتطلب الصيغتان (3) و (4) استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$.
\begin(معادلة) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ فارك (2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادلة)
بالنسبة إلى $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$، يتم إجراء الاستبدال $t=x+\frac(p)(2)$، وبعد ذلك يكون الفاصل الزمني الناتج هو وتنقسم الى مجموعتين. سيتم حساب الأول عن طريق الإدخال تحت العلامة التفاضلية، والثاني سيكون له النموذج $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. يتم أخذ هذا التكامل باستخدام علاقة التكرار
\begin(المعادلة) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(معادلة)
تمت مناقشة حساب هذا التكامل في المثال رقم 7 (انظر الجزء الثالث).
مخطط لحساب تكاملات الوظائف العقلانية (الكسور المنطقية):
- إذا كان التكامل أوليًا، فقم بتطبيق الصيغ (1)-(4).
- إذا لم يكن التكامل أوليًا، فقم بتمثيله كمجموع كسور أولية، ثم قم بالتكامل باستخدام الصيغ (1)-(4).
تتمتع الخوارزمية المذكورة أعلاه لدمج الكسور المنطقية بميزة لا يمكن إنكارها - فهي عالمية. أولئك. باستخدام هذه الخوارزمية يمكنك التكامل أيجزء عقلاني. هذا هو السبب في أن جميع تغييرات المتغيرات تقريبًا في التكامل غير المحدد (أويلر، تشيبيشيف، الاستبدال المثلثي العالمي) تتم بطريقة نحصل بعد هذا التغيير على جزء عقلاني تحت الفاصل الزمني. ثم قم بتطبيق الخوارزمية عليها. سنقوم بتحليل التطبيق المباشر لهذه الخوارزمية باستخدام الأمثلة، بعد تقديم ملاحظة صغيرة.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
من حيث المبدأ، من السهل الحصول على هذا التكامل دون التطبيق الميكانيكي للصيغة. إذا أخذنا الثابت $7$ من علامة التكامل وأخذنا في الاعتبار $dx=d(x+9)$، فسنحصل على:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
للحصول على معلومات مفصلة، أوصي بالنظر إلى الموضوع. ويشرح بالتفصيل كيفية حل هذه التكاملات. وبالمناسبة، يتم إثبات الصيغة بنفس التحويلات التي تم تطبيقها في هذه الفقرة عند حلها "يدويا".
2) مرة أخرى، هناك طريقتان: استخدام التركيبة الجاهزة أو الاستغناء عنها. إذا قمت بتطبيق الصيغة، فيجب أن تأخذ في الاعتبار أنه يجب إزالة المعامل الموجود أمام $x$ (الرقم 4). للقيام بذلك، دعونا ببساطة نخرج هذه الأربعة من الأقواس:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\يسار (x+\frac(19)(4)\يمين)^8). $$
الآن حان الوقت لتطبيق الصيغة:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \يمين )^7)+ج. $$
يمكنك الاستغناء عن استخدام الصيغة. وحتى بدون إخراج مبلغ 4$ الثابت من بين قوسين. إذا أخذنا في الاعتبار $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$، فسنحصل على:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ فارك(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
توجد شرح تفصيلي لإيجاد مثل هذه التكاملات في موضوع "التكامل بالتعويض (التعويض تحت العلامة التفاضلية)".
3) نحتاج إلى تكامل الكسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. يحتوي هذا الكسر على البنية $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$، حيث $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. ومع ذلك، للتأكد من أن هذا هو بالفعل كسر أولي من النوع الثالث، فأنت بحاجة إلى التحقق من استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
دعونا نحل نفس المثال، ولكن دون استخدام صيغة جاهزة. دعونا نحاول عزل مشتقة المقام في البسط. ماذا يعني هذا؟ نحن نعلم أن $(x^2+10x+34)"=2x+10$. إنه التعبير $2x+10$ الذي يتعين علينا عزله في البسط. حتى الآن يحتوي البسط على $4x+7$ فقط، ولكن هذا لن يدوم طويلا، فلنطبق التحويل التالي على البسط:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
الآن يظهر التعبير المطلوب $2x+10$ في البسط. ويمكن إعادة كتابة التكامل الخاص بنا على النحو التالي:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
دعونا نقسم التكامل إلى قسمين. حسنًا ، وبناءً على ذلك ، فإن التكامل نفسه "منقسم" أيضًا:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \يمين)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
دعونا نتحدث أولا عن التكامل الأول، أي. حول $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. بما أن $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، فإن بسط التكامل يحتوي على تفاضل المقام. باختصار، بدلاً من ذلك من التعبير $( 2x+10)dx$ نكتب $d(x^2+10x+34)$.
الآن دعنا نقول بضع كلمات عن التكامل الثاني. لنختار مربعًا كاملاً في المقام: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. بالإضافة إلى ذلك، نأخذ في الاعتبار $dx=d(x+5)$. الآن يمكن إعادة كتابة مجموع التكاملات التي حصلنا عليها سابقًا بشكل مختلف قليلاً:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
إذا أجرينا الاستبدال $u=x^2+10x+34$ في التكامل الأول، فسيأخذ الشكل $\int\frac(du)(u)$ ويأخذ سهل الاستخدامالصيغة الثانية من . أما التكامل الثاني فمن الممكن أن يتغير $u=x+5$، وبعد ذلك سيأخذ الشكل $\int\frac(du)(u^2+9)$. هذا ماء نقيالصيغة الحادية عشرة من جدول التكاملات غير المحددة. وبالعودة إلى مجموع التكاملات، نجد أن:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
لقد حصلنا على نفس الإجابة التي حصلنا عليها عند تطبيق الصيغة، وهو أمر ليس مفاجئًا بالمعنى الدقيق للكلمة. بشكل عام، يتم إثبات الصيغة بنفس الطرق التي استخدمناها لإيجاد هذا التكامل. وأعتقد أن القارئ اليقظ قد يكون لديه هنا سؤال واحد، لذلك سأصيغه:
السؤال رقم 1
إذا طبقنا الصيغة الثانية من جدول التكاملات غير المحددة على التكامل $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$، فسنحصل على ما يلي:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
لماذا لم تكن هناك وحدة في الحل؟
الإجابة على السؤال رقم 1
السؤال طبيعي تماما. كانت الوحدة مفقودة فقط لأن التعبير $x^2+10x+34$ لأي $x\in R$ أكبر من الصفر. من السهل جدًا إظهار ذلك بعدة طرق. على سبيل المثال، بما أن $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و$(x+5)^2 ≥ 0$، فإن $(x+5)^2+9 > 0$ . يمكنك التفكير بشكل مختلف، دون استخدام اختيار مربع كامل. منذ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ لأي $x\in R$ (إذا كان هذا سلسلة منطقيةإنه مذهل، أنصح بمشاهدته طريقة الرسمحلول المتباينات التربيعية). على أية حال، بما أن $x^2+10x+34 > 0$، ثم $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، أي. بدلاً من الوحدة النمطية، يمكنك استخدام الأقواس العادية.
تم حل جميع نقاط المثال رقم 1، ولم يتبق سوى كتابة الإجابة.
إجابة:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
المثال رقم 2
أوجد التكامل $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
للوهلة الأولى، يبدو الكسر التكاملي $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ مشابهًا جدًا لكسر أولي من النوع الثالث، أي. بواسطة $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. يبدو أن الاختلاف الوحيد هو المعامل $3$ أمام $x^2$، لكن إزالة المعامل لا تستغرق وقتًا طويلاً (أخرجه من الأقواس). ومع ذلك، فإن هذا التشابه واضح. بالنسبة للكسر $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ الشرط $p^2-4q إلزامي< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
معاملنا قبل $x^2$ لا يساوي واحدًا، لذا تحقق من الشرط $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант معادلة من الدرجة الثانية$x^2+px+q=0$. إذا كان المميز أقل من الصفر، فلا يمكن تحليل التعبير $x^2+px+q$. دعونا نحسب مميز كثير الحدود $3x^2-5x-2$ الموجود في مقام الكسر: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. لذا، $D > 0$، وبالتالي يمكن تحليل التعبير $3x^2-5x-2$. هذا يعني أن الكسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ليس كسرًا عنصريًا من النوع الثالث، وقم بتطبيق $\int\frac(7x+12)(3x^2-) ) إلى صيغة التكامل 5x-2)dx$ غير ممكنة.
حسنًا، إذا لم يكن الكسر النسبي المعطى كسرًا أوليًا، فيجب تمثيله كمجموع كسور أولية ثم تكامله. باختصار، الاستفادة من الدرب. كيفية تحليل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية مكتوبة بالتفصيل. لنبدأ بتحليل المقام:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(محاذاة)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
نقدم الكسر الفرعي في هذا النموذج:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
الآن دعونا نحلل الكسر $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ إلى أجزاء أولية:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\يمين)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\صحيح). $$
للعثور على المعاملين $A$ و$B$ هناك طريقتان قياسيتان: طريقة المعاملات غير المحددة وطريقة استبدال القيم الجزئية. دعونا نطبق طريقة استبدال القيمة الجزئية، مع استبدال $x=2$ ثم $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\يمين); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
منذ أن تم العثور على المعاملات، كل ما تبقى هو كتابة التوسع النهائي:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
من حيث المبدأ، يمكنك ترك هذا الإدخال، لكني أحب الخيار الأكثر دقة:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
وبالعودة إلى التكامل الأصلي، نعوض بالمفكوك الناتج فيه. ثم نقسم التكامل إلى قسمين، ونطبق الصيغة على كل منهما. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ فارك(1)(x+\frac(1)(3))\يمين)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+ج. $$
إجابة: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
المثال رقم 3
أوجد التكامل $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
نحتاج إلى تكامل الكسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. يحتوي البسط على كثيرة حدود من الدرجة الثانية، ويحتوي المقام على كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. حيث أن درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام، أي. 2 دولار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
كل ما علينا فعله هو تقسيم التكامل المعطى إلى ثلاثة وتطبيق الصيغة على كل منها. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+ج. $$
إجابة: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
استمرار تحليل أمثلة هذا الموضوع موجود في الجزء الثاني.
