نظرية الوظيفة التربيعية. الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية

- — [] دالة تربيعية دالة على الشكل y=ax2 + bx + c (a ? 0). الرسم البياني ك.ف. - قطع مكافئ، رأسه له إحداثيات [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a]، مع a>0 فروع القطع المكافئ ... ...

الدالة التربيعية، دالة رياضية تعتمد قيمتها على مربع المتغير المستقل x، ويتم الحصول عليها، على التوالي، بواسطة دالة تربيعية كثيرة الحدود، على سبيل المثال: f(x) = 4x2 + 17 أو f(x) = x2 + 3x + 2. انظر أيضًا تربيع المعادلة … القاموس الموسوعي العلمي والتقني

وظيفة من الدرجة الثانية- دالة تربيعية - دالة على الشكل y=ax2 + bx + c (a ≠ 0). الرسم البياني ك.ف. - قطع مكافئ، رأسه له إحداثيات [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a]، لـ a> 0 يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى، لـ a< 0 –вниз… …

- (تربيعي) دالة لها الشكل التالي: y=ax2+bx+c، حيث a≠0 وأعلى درجة لـ x هي مربع. معادلة من الدرجة الثانيةيمكن أيضًا حل y=ax2 +bx+c=0 باستخدام الصيغة التالية: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. هذه الجذور حقيقية.. القاموس الاقتصادي

دالة تربيعية متقاربة على مساحة متقاربة S هي أي دالة Q: S → K لها الشكل Q(x)=q(x)+l(x)+c في شكل متجه، حيث q هي دالة تربيعية، l هي دالة خطية، c ثابت. المحتويات 1 تحويل النقطة المرجعية 2 ... ... ويكيبيديا

الدالة التربيعية المتقاربة في الفضاء المتقارب هي أي دالة لها الشكل في شكل متجه، حيث تكون مصفوفة متماثلة، أو دالة خطية، أو ثابتًا. المحتويات...ويكيبيديا

دالة على مساحة متجهة محددة بواسطة متعددة الحدود متجانسة من الدرجة الثانية في إحداثيات المتجه. المحتويات 1 التعريف 2 التعريفات ذات الصلة... ويكيبيديا

- هي وظيفة من الناحية النظرية الحلول الإحصائيةيصف الخسائر الناجمة عن اتخاذ القرارات غير الصحيحة بناءً على البيانات المرصودة. إذا تم حل مشكلة تقدير معلمة الإشارة على خلفية من الضوضاء، فإن دالة الخسارة هي مقياس للتناقض... ... ويكيبيديا

دالة الهدف- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وهندسة الطاقة، موسكو، 1999] دالة الهدففي المسائل القصوى، دالة يجب إيجاد الحد الأدنى أو الأقصى لها. هذا… … دليل المترجم الفني

دالة الهدف- في المسائل القصوى، دالة يجب إيجاد الحد الأدنى أو الأقصى لها. هذا المفهوم الرئيسيالبرمجة الأمثل. بعد أن وجدت أقصى C.f. وبالتالي بعد تحديد قيم المتغيرات المتحكم بها التي تذهب إليه... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

كتب

• مجموعة من الجداول. الرياضيات. الرسوم البيانية للوظائف (10 جداول)، . ألبوم تعليمي مكون من 10 أوراق. دالة خطية. التعيين الرسومي والتحليلي للوظائف. وظيفة من الدرجة الثانية. تحويل الرسم البياني وظيفة من الدرجة الثانية. الدالة y=sinx. الدالة y=cosx....
• إن أهم وظيفة في الرياضيات المدرسية هي الوظيفة التربيعية - في المشكلات والحلول، بيتروف ن.ن.. الوظيفة التربيعية هي الوظيفة الرئيسية لدورة الرياضيات المدرسية. لا عجب. من ناحية بساطة هذه الوظيفة، ومن ناحية أخرى، المعنى العميق. العديد من المهام المدرسية...

في دروس الرياضيات في المدرسة، لقد تعرفت بالفعل على أبسط الخصائص والرسم البياني للدالة ص = س 2. دعونا توسيع معرفتنا على وظيفة من الدرجة الثانية.

التمرين 1.

رسم بياني للوظيفة ص = س 2. المقياس: 1 = 2 سم حدد نقطة على محور أوي F(0 ؛ 1/4). باستخدام البوصلة أو شريط من الورق، قم بقياس المسافة من النقطة Fإلى حد ما مالقطع المكافئة. ثم قم بتثبيت الشريط عند النقطة M وقم بتدويره حول تلك النقطة حتى يصبح عموديًا. سوف تقع نهاية الشريط أسفل المحور السيني قليلاً (رسم بياني 1). حدد على الشريط مدى امتداده خارج المحور السيني. الآن خذ نقطة أخرى على القطع المكافئ وكرر القياس مرة أخرى. إلى أي مدى سقطت حافة الشريط أسفل المحور السيني؟

نتيجة:مهما كانت النقطة على القطع المكافئ y = x 2، فإن المسافة من هذه النقطة إلى النقطة F(0; 1/4) ستكون المزيد من المسافةمن نفس النقطة إلى المحور السيني دائمًا بنفس الرقم - بمقدار 1/4.

يمكننا أن نقول ذلك بشكل مختلف: المسافة من أي نقطة من القطع المكافئ إلى النقطة (0؛ 1/4) تساوي المسافة من نفس نقطة القطع المكافئ إلى الخط المستقيم y = -1/4. تسمى هذه النقطة الرائعة F(0; 1/4). ركزالقطع المكافئ y = x 2، والخط المستقيم y = -1/4 - ناظرة المدرسةهذا القطع المكافئ. كل قطع مكافئ له دليل وبؤرة.

خصائص مثيرة للاهتمام من القطع المكافئ:

1. تكون أي نقطة من القطع المكافئ على مسافة متساوية من نقطة ما تسمى بؤرة القطع المكافئ، ومن نقطة أخرى من الخط المستقيم تسمى دليله.

2. إذا قمت بتدوير قطع مكافئ حول محور التماثل (على سبيل المثال، القطع المكافئ y = x 2 حول محور Oy)، فسوف تحصل على سطح مثير للاهتمام للغاية يسمى القطع المكافئ للثورة.

سطح السائل في وعاء دوار له شكل القطع المكافئ للثورة. يمكنك رؤية هذا السطح إذا قمت بالتحريك بقوة باستخدام ملعقة في كوب شاي غير مكتمل، ثم قم بإزالة الملعقة.

3. إذا رميت حجرًا في الفراغ بزاوية معينة مع الأفق، فسوف يطير في شكل قطع مكافئ (الصورة 2).

4. إذا تقاطعت سطح المخروط مع مستوى موازي لأي من مولداته، فإن المقطع العرضي سينتج عنه قطع مكافئ (تين. 3).

5. تتمتع المتنزهات الترفيهية أحيانًا برحلة ممتعة تسمى Paraboloid of Wonders. يبدو لكل من يقف داخل القطع المكافئ الدوار أنه يقف على الأرض، بينما يتمسك بقية الأشخاص بطريقة ما بأعجوبة بالجدران.

6. في التلسكوبات العاكسة، تُستخدم أيضًا المرايا المكافئة: يتم تجميع ضوء نجم بعيد، يأتي في شعاع متوازي، يسقط على مرآة التلسكوب، في التركيز.

7. تحتوي الأضواء الكاشفة عادة على مرآة على شكل قطع مكافئ. إذا قمت بوضع مصدر ضوء في بؤرة القطع المكافئ، فإن الأشعة المنعكسة من المرآة ذات القطع المكافئ تشكل شعاعًا متوازيًا.

رسم بياني للدالة التربيعية

درست في دروس الرياضيات كيفية الحصول على الرسوم البيانية لدوال النموذج من الرسم البياني للدالة y = x 2:

1) ص = الفأس 2– تمديد الرسم البياني y = x 2 على طول محور Oy في |a| مرات (مع |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, أرز. 4).

2) ص = س 2 + ن- إزاحة الرسم البياني بمقدار n من الوحدات على طول محور Oy، وإذا كانت n > 0، فإن الإزاحة تكون للأعلى، وإذا كانت n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) ص = (س + م) 2- إزاحة الرسم البياني بوحدات م على طول محور الثور: إذا م< 0, то вправо, а если m >0 ثم غادر (الشكل 5).

4) ص = -س 2– عرض متماثل بالنسبة لمحور الثور في الرسم البياني y = x 2 .

دعونا نلقي نظرة فاحصة على رسم الوظيفة ص = أ(س – م) 2 + ن.

يمكن دائمًا اختزال الدالة التربيعية بالصيغة y = ax 2 + bx + c إلى الصورة

ص = أ(س – م) 2 + ن، حيث م = -ب/(2أ)، ن = -(ب 2 – 4أ)/(4أ).

دعونا نثبت ذلك.

حقًا،

ص = الفأس 2 + ب س + ج = أ(س 2 + (ب/أ) س + ج/أ) =

أ(س 2 + 2س · (ب/أ) + ب 2 /(4أ 2) – ب 2 /(4أ 2) + ج/أ) =

أ((x + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ 2)) = أ(س + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ).

دعونا نقدم رموزا جديدة.

يترك م = -ب/(2أ)، أ ن = -(ب2 – 4أ)/(4أ),

ثم نحصل على y = a(x – m) 2 + n أو y – n = a(x – m) 2.

لنجري المزيد من البدائل: دع y – n = Y، x – m = X (*).

ثم نحصل على الدالة Y = aX 2، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ.

قمة القطع المكافئ تقع في نقطة الأصل. س = 0؛ ص = 0.

باستبدال إحداثيات الرأس في (*)، نحصل على إحداثيات قمة الرسم البياني y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

وبالتالي، من أجل رسم دالة تربيعية ممثلة بـ

ص = أ(س – م) 2 + ن

من خلال التحولات، يمكنك المتابعة على النحو التالي:

أ)ارسم الدالة y = x 2 ;

ب)عن طريق الترجمة المتوازية على طول محور الثور بوحدات m وعلى طول محور Oy بوحدات n - نقل قمة القطع المكافئ من الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات (m؛ n) (الشكل 6).

تسجيل التحولات:

ص = س 2 → ص = (س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 + ن.

مثال.

باستخدام التحويلات، أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = 2(x – 3) 2 في نظام الإحداثيات الديكارتية – 2.

حل.

سلسلة التحولات:

ص = س 2 (1) → ص = (س – 3) 2 (2) → ص = 2(س – 3) 2 (3) → ص = 2(س – 3) 2 – 2 (4) .

يظهر التخطيط في أرز. 7.

يمكنك التدرب على رسم الدوال التربيعية بيانيًا بنفسك. على سبيل المثال، قم ببناء رسم بياني للدالة y = 2(x + 3) 2 + 2 في نظام إحداثي واحد باستخدام التحويلات. إذا كانت لديك أي أسئلة أو ترغب في الحصول على نصيحة من أحد المعلمين، فلديك الفرصة لإجراء درس مجاني مدته 25 دقيقة مع مدرس عبر الإنترنتبعد . لمزيد من العمل مع المعلم، يمكنك اختيار الشخص الذي يناسبك

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية رسم دالة تربيعية؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

كما تبين الممارسة، فإن المهام المتعلقة بالخصائص والرسوم البيانية للدالة التربيعية تسبب صعوبات خطيرة. هذا غريب جدًا، لأنهم يدرسون الدالة التربيعية في الصف الثامن، ثم طوال الربع الأول من الصف التاسع "يعذبون" خصائص القطع المكافئ ويبنون رسومهم البيانية لمعلمات مختلفة.

ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه عند إجبار الطلاب على بناء القطع المكافئة، فإنهم لا يكرسون وقتًا عمليًا لـ "قراءة" الرسوم البيانية، أي أنهم لا يمارسون فهم المعلومات الواردة من الصورة. على ما يبدو، من المفترض أنه بعد إنشاء عشرات أو اثنين من الرسوم البيانية، سوف يكتشف الطالب الذكي نفسه ويصوغ العلاقة بين المعاملات في الصيغة و مظهرالفنون التصويرية. في الممارسة العملية هذا لا يعمل. يتطلب مثل هذا التعميم خبرة جادة في الأبحاث الرياضية المصغرة، وهو ما لا يمتلكه معظم طلاب الصف التاسع بالطبع. وفي الوقت نفسه، تقترح مفتشية الدولة تحديد علامات المعاملات باستخدام الجدول الزمني.

لن نطلب المستحيل من تلاميذ المدارس وسنقدم ببساطة إحدى الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات.

لذلك، وظيفة النموذج ص = الفأس 2 + ب س + جتسمى المعادلة التربيعية، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ. كما يوحي الاسم، فإن المصطلح الرئيسي هو الفأس 2. إنه ألا ينبغي أن تكون تساوي الصفر، والمعاملات المتبقية ( بو مع) يمكن أن يساوي الصفر.

دعونا نرى كيف تؤثر علامات معاملاتها على ظهور القطع المكافئ.

أبسط الاعتماد على المعامل أ. يجيب معظم تلاميذ المدارس بثقة: "إذا". أ> 0، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، و if أ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой أ > 0.

ص = 0.5س 2 - 3س + 1

في في هذه الحالة أ = 0,5

والآن ل أ < 0:

ص = - 0.5x2 - 3x + 1

في هذه الحالة أ = - 0,5

تأثير المعامل معمن السهل أيضًا متابعته. لنتخيل أننا نريد إيجاد قيمة دالة عند نقطة ما X= 0. استبدل الصفر في الصيغة:

ذ = أ 0 2 + ب 0 + ج = ج. لقد أتضح أن ص = ج. إنه معهي إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y. عادة، من السهل العثور على هذه النقطة على الرسم البياني. وتحديد هل يقع فوق الصفر أم تحته. إنه مع> 0 أو مع < 0.

مع > 0:

ص = س 2 + 4س + 3

مع < 0

ص = س 2 + 4س - 3

وبناء على ذلك، إذا مع= 0، فإن القطع المكافئ سيمر بالضرورة عبر نقطة الأصل:

ص = س 2 + 4س

أكثر صعوبة مع المعلمة ب. النقطة التي سنجدها لا تعتمد عليها فقط بولكن أيضا من أ. هذا هو الجزء العلوي من القطع المكافئ. الإحداثي المحوري (إحداثيات المحور X) تم العثور عليها بواسطة الصيغة س في = - ب/(2أ). هكذا، ب = - 2ax في. أي أننا نتصرف على النحو التالي: نجد قمة القطع المكافئ على الرسم البياني، ونحدد علامة الإحداثي، أي أننا ننظر إلى يمين الصفر ( × في> 0) أو إلى اليسار ( × في < 0) она лежит.

ومع ذلك، هذا ليس كل شيء. علينا أيضًا الانتباه إلى إشارة المعامل أ. أي انظر إلى أين تتجه فروع القطع المكافئ. وفقط بعد ذلك حسب الصيغة ب = - 2ax فيتحديد العلامة ب.

لنلقي نظرة على مثال:

يتم توجيه الفروع إلى الأعلى، مما يعني أ> 0، القطع المكافئ يتقاطع مع المحور فيتحت الصفر، أي مع < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, × في> 0. إذن ب = - 2ax في = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: أ > 0, ب < 0, مع < 0.

دالة النموذج حيث يتم استدعاؤها وظيفة من الدرجة الثانية.

الرسم البياني للدالة التربيعية – القطع المكافئ.

دعونا ننظر في الحالات:

أنا أعتبر القطع المكافئ الكلاسيكي

إنه ، ،

للبناء، املأ الجدول عن طريق استبدال قيم x في الصيغة:

ضع علامة على النقاط (0؛0)؛ (1؛1)؛ (-1؛1)، الخ. على المستوى الإحداثي (كلما كانت الخطوة التي نتخذها لقيم x أصغر (في هذه الحالة، الخطوة 1)، وكلما زادت قيم x التي نتخذها، كلما كان المنحنى أكثر سلاسة)، نحصل على القطع المكافئ:

من السهل أن نرى أنه إذا أخذنا الحالة، فسنحصل على قطع مكافئ متماثل حول المحور (أوه). من السهل التحقق من ذلك عن طريق ملء جدول مماثل:

الحالة الثانية، "أ" تختلف عن الوحدة

ماذا سيحدث لو أخذنا ،،؟ كيف سيتغير سلوك القطع المكافئ؟ مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

في الصورة الأولى (أنظر أعلاه) يظهر بوضوح أن النقاط من الجدول الخاص بالقطع المكافئ (1;1)، (-1;1) قد تم تحويلها إلى نقاط (1;4)، (1;-4)، أي أنه مع نفس القيم، يتم ضرب إحداثيات كل نقطة في 4. سيحدث هذا لجميع النقاط الرئيسية في الجدول الأصلي. نحن نفكر بالمثل في حالتي الصورتين 2 و 3.

وعندما "يصبح القطع المكافئ أوسع" من القطع المكافئ:

دعونا نلخص:

1)تحدد علامة المعامل اتجاه الفروع. مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) قيمه مطلقه المعامل (المعامل) هو المسؤول عن "تمدد" و"ضغط" القطع المكافئ. كلما كان القطع المكافئ أكبر، كان القطع المكافئ أضيق؛ وكلما كان |a| أصغر، كان القطع المكافئ أوسع.

الحالة الثالثة، تظهر "C".

الآن دعونا ندخل في اللعبة (أي، النظر في الحالة عندما)، سننظر في القطع المكافئة من النموذج . ليس من الصعب التخمين (يمكنك دائمًا الرجوع إلى الجدول) أن القطع المكافئ سيتحرك لأعلى أو لأسفل على طول المحور اعتمادًا على الإشارة:

الحالة الرابعة، تظهر "ب".

متى "ينفصل" القطع المكافئ عن المحور ويسير في النهاية على طول المستوى الإحداثي بأكمله؟ متى سيتوقف عن المساواة؟

هنا لبناء القطع المكافئ الذي نحتاجه صيغة لحساب قمة الرأس: , .

إذن عند هذه النقطة (كما في النقطة (0؛0) نظام جديدالإحداثيات) سنقوم ببناء القطع المكافئ، وهو ما يمكننا القيام به بالفعل. إذا كنا نتعامل مع هذه الحالة، فمن الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، وواحدة لأعلى، - النقطة الناتجة هي نقطتنا (وبالمثل، خطوة إلى اليسار، خطوة لأعلى هي نقطتنا)؛ إذا كنا نتعامل، على سبيل المثال، فمن الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، واثنين - لأعلى، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، قمة القطع المكافئ:

الآن الشيء الرئيسي الذي يجب أن نفهمه هو أننا في هذه القمة سنبني قطعًا مكافئًا وفقًا لنمط القطع المكافئ، لأنه في حالتنا.

عند بناء القطع المكافئ بعد العثور على إحداثيات قمة الرأس جدامن الملائم مراعاة النقاط التالية:

1) القطع المكافئ سوف تمر بالتأكيد من خلال هذه النقطة . في الواقع، باستبدال x=0 في الصيغة، نحصل على ذلك. أي أن إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) هي . في مثالنا (أعلاه)، يتقاطع القطع المكافئ مع الإحداثي عند النقطة .

2) محاور التماثل القطع المكافئة هو خط مستقيم، لذا فإن جميع نقاط القطع المكافئ ستكون متماثلة حوله. في مثالنا، نأخذ النقطة (0؛ -2) على الفور ونبنيها متناظرة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ، نحصل على النقطة (4؛ -2) التي سيمر من خلالها القطع المكافئ.

3) وبمساواة نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (يا). للقيام بذلك، قمنا بحل المعادلة. اعتمادًا على المُميز، سنحصل على واحد (، ) ، اثنان ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . في المثال السابق، جذر المميز ليس عددًا صحيحًا؛ عند البناء، ليس من المنطقي بالنسبة لنا إيجاد الجذور، لكننا نرى بوضوح أنه سيكون لدينا نقطتا تقاطع مع المحور (أوه). (منذ العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

لذلك دعونا نعمل على حل هذه المشكلة

خوارزمية بناء القطع المكافئ إذا تم تقديمها في النموذج

1) تحديد اتجاه الفروع (أ>0 – أعلى، أ<0 – вниз)

2) نجد إحداثيات رأس القطع المكافئ باستخدام الصيغة .

3) نجد نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) باستخدام المصطلح الحر، وننشئ نقطة متناظرة لهذه النقطة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ (تجدر الإشارة إلى أنه يحدث أنه من غير المربح تحديد هذه النقطة مثلا لأن القيمة كبيرة...نتخطى هذه النقطة...)

4) عند النقطة التي تم العثور عليها - قمة القطع المكافئ (كما هو الحال عند النقطة (0؛0) من نظام الإحداثيات الجديد) نقوم ببناء القطع المكافئ. إذا كان العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) (إذا لم "تظهر" بعد) عن طريق حل المعادلة

مثال 1

مثال 2

ملاحظة 1.إذا تم إعطاء القطع المكافئ لنا في البداية في النموذج، حيث توجد بعض الأرقام (على سبيل المثال، )، فسيكون من الأسهل بناءه، لأننا حصلنا بالفعل على إحداثيات الرأس. لماذا؟

لنأخذ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةوحدد مربعًا كاملاً فيه: انظر، لقد حصلنا على ذلك، . لقد قمنا أنا وأنت سابقًا بتسمية قمة القطع المكافئ، أي الآن.

على سبيل المثال، . نحدد قمة القطع المكافئ على المستوى، ونفهم أن الفروع موجهة نحو الأسفل، ويتم توسيع القطع المكافئ (بالنسبة إلى ). أي أننا ننفذ النقاط 1؛ 3؛ 4؛ 5 من خوارزمية بناء القطع المكافئ (انظر أعلاه).

ملاحظة 2.إذا تم إعطاء القطع المكافئ في شكل مشابه لهذا (أي يتم تقديمه كمنتج لعاملين خطيين)، فإننا نرى على الفور نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (الثور). في هذه الحالة – ​​(0;0) و (4;0). بالنسبة للباقي، نتصرف وفقًا للخوارزمية، ونفتح الأقواس.