عادةً ما يسبب إنشاء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدات صعوبات كبيرة لأطفال المدارس. ومع ذلك، كل شيء ليس سيئا للغاية. يكفي أن تتذكر بعض الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات، ويمكنك بسهولة إنشاء رسم بياني حتى لأكثرها ظاهريًا وظيفة معقدة. دعونا نتعرف على نوع هذه الخوارزميات.
1. رسم رسم بياني للدالة y = |f(x)|
لاحظ أن مجموعة قيم الدالة y = |f(x)| : y ≥ 0. وبالتالي، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تقع دائمًا بالكامل في النصف العلوي من المستوى.
رسم رسم بياني للدالة y = |f(x)| يتكون من الخطوات الأربع البسيطة التالية.
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) بعناية ودقة.
2) اترك جميع النقاط على الرسم البياني الموجودة أعلى أو على المحور 0x دون تغيير.
3) اعرض جزء الرسم البياني الذي يقع أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
مثال 1. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = |x 2 – 4x + 3|
1) قمنا ببناء رسم بياني للدالة y = x 2 – 4x + 3. من الواضح أن الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ. لنجد إحداثيات جميع نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات وإحداثيات رأس القطع المكافئ.
س 2 - 4س + 3 = 0.
× 1 = 3، × 2 = 1.
ولذلك، فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور 0x عند النقطتين (3، 0) و (1، 0).
ص = 0 2 - 4 0 + 3 = 3.
ولذلك فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور 0y عند النقطة (0، 3).
إحداثيات قمة القطع المكافئ:
س في = -(-4/2) = 2، ص في = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
وبالتالي فإن النقطة (2، -1) هي رأس هذا القطع المكافئ.
ارسم قطعًا مكافئًا باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها (الشكل 1)
2) يتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
3) نحصل على رسم بياني للوظيفة الأصلية ( أرز. 2، موضحة بالخط المنقط).
2. رسم الدالة y = f(|x|)
لاحظ أن دوال النموذج y = f(|x|) زوجية:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). وهذا يعني أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف متناظرة حول المحور 0y.
رسم رسم بياني للدالة y = f(|x|) يتكون من سلسلة الإجراءات البسيطة التالية.
1) ارسم بيانيًا الدالة y = f(x).
2) اترك ذلك الجزء من الرسم البياني الذي تكون فيه x ≥ 0، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
3) عرض جزء الرسم البياني المحدد في النقطة (2) بشكل متماثل مع المحور 0y.
4) في الرسم البياني النهائي، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في النقطتين (2) و (3).
مثال 2. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = x 2 – 4 · |x| + 3
بما أن x 2 = |x| 2، فيمكن إعادة كتابة الدالة الأصلية بالشكل التالي: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. الآن يمكننا تطبيق الخوارزمية المقترحة أعلاه.
1) قمنا ببناء رسم بياني للدالة y = x 2 – 4 x + 3 بعناية ودقة (انظر أيضًا أرز. 1).
2) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني الذي تكون فيه x ≥ 0، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
3) العرض الجانب الأيمنالرسومات متناظرة مع المحور 0y.
(الشكل 3).
مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = log 2 |x|
نحن نطبق المخطط المذكور أعلاه.
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = log 2 x (الشكل 4).
3. رسم الدالة y = |f(|x|)|
لاحظ أن دوال النموذج y = |f(|x|)| هي أيضا حتى. في الواقع، y(-x) = y = |f(|-x|)| = ص = |f(|x|)| = y(x)، وبالتالي فإن رسومهم البيانية متناظرة حول المحور 0y. مجموعة قيم هذه الوظائف: y ≥ 0. وهذا يعني أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تقع بالكامل في النصف العلوي من المستوى.
لرسم الدالة y = |f(|x|)|، عليك أن:
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = f(|x|) بعناية.
2) اترك جزء الرسم البياني الموجود أعلى أو على المحور 0x دون تغيير.
3) اعرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
4) في الرسم البياني النهائي، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في النقطتين (2) و (3).
مثال 4. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) لاحظ أن x 2 = |x| 2. وهذا يعني أنه بدلاً من الدالة الأصلية y = -x 2 + 2|x| – 1
يمكنك استخدام الدالة y = -|x| 2 + 2|س| - 1 لأن رسومهما البيانية متطابقة.
نقوم ببناء رسم بياني y = -|x| 2 + 2|س| – 1. لهذا نستخدم الخوارزمية 2.
أ) ارسم بيانيًا الدالة y = -x 2 + 2x - 1 (الشكل 6).
ب) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
ج) نعرض الجزء الناتج من الرسم البياني بشكل متناظر مع المحور 0y.
د) يظهر الرسم البياني الناتج في الخط المنقط في الشكل (الشكل 7).
2) لا توجد نقاط فوق المحور 0x، ونترك النقاط على المحور 0x دون تغيير.
3) يتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.
4) يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل بخط منقط (الشكل 8).
مثال 5. ارسم بيانيًا الدالة y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) تحتاج أولاً إلى رسم الدالة y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). للقيام بذلك، نعود إلى الخوارزمية 2.
أ) ارسم الدالة بعناية y = (2x - 4) / (x + 3) (الشكل 9).
لاحظ أن هذه الوظيفةخطي كسري ورسمه البياني عبارة عن قطع زائد. لرسم منحنى، عليك أولاً العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني. أفقي - y = 2/1 (نسبة معاملات x في بسط ومقام الكسر)، عمودي - x = -3.
2) سنترك هذا الجزء من الرسم البياني الموجود أعلى المحور 0x أو عليه دون تغيير.
3) سيتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.
4) يظهر الرسم البياني النهائي في الشكل (الشكل 11).
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
درس حول الموضوع: "الرسم البياني وخصائص الدالة $y=x^3$. أمثلة على الرسم البياني"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف السابع
الكتاب المدرسي الإلكتروني للصف السابع "الجبر في 10 دقائق"
المجمع التعليمي 1C "الجبر، الصفوف 7-9"
خصائص الدالة $y=x^3$
دعونا نصف خصائص هذه الوظيفة:
1.x متغير مستقل، y متغير تابع.
2. مجال التعريف: من الواضح أنه لأي قيمة للوسيط (x) يمكن حساب قيمة الدالة (y). وبناء على ذلك، فإن مجال تعريف هذه الدالة هو خط الأعداد بأكمله.
3. نطاق القيم: y يمكن أن يكون أي شيء. وبناء على ذلك، فإن نطاق القيم هو أيضا خط الأعداد بأكمله.
4. إذا كانت x = 0، فإن y = 0.
رسم بياني للدالة $y=x^3$
1. لنقم بإنشاء جدول القيم:
2. بالنسبة للقيم الموجبة لـ x، فإن الرسم البياني للدالة $y=x^3$ يشبه إلى حد كبير القطع المكافئ، حيث يتم "ضغط" فروعه بشكل أكبر على محور OY.
3. نظرًا لأن القيم السالبة لـ x فإن الدالة $y=x^3$ لها قيم معاكسة، فإن الرسم البياني للدالة يكون متماثلًا بالنسبة إلى الأصل.
الآن دعونا نحدد النقاط على المستوى الإحداثي ونبني رسمًا بيانيًا (انظر الشكل 1).
ويسمى هذا المنحنى القطع المكافئ المكعب.
أمثلة
1. على متن سفينة صغيرة، انتهى الأمر تمامًا المياه العذبة. من الضروري إحضار كمية كافية من الماء من المدينة. يتم طلب الماء مقدمًا ودفع ثمن مكعب كامل، حتى لو قمت بملئه بكمية أقل قليلاً. كم عدد المكعبات التي يجب أن أطلبها حتى لا أدفع مبالغ زائدة مقابل مكعب إضافي وأملأ الخزان بالكامل؟ ومن المعروف أن الخزان له نفس الطول والعرض والارتفاع، وهو ما يساوي 1.5 متر، دعونا نحل هذه المشكلة دون إجراء حسابات.
حل:
1. لنقم ببناء رسم بياني للدالة $y=x^3$.
2. ابحث عن النقطة A، الإحداثي x، الذي يساوي 1.5. نرى أن إحداثيات الدالة تقع بين القيمتين 3 و 4 (انظر الشكل 2). لذلك عليك أن تطلب 4 مكعبات.
تسمى الدالة y=x^2 دالة تربيعية. الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. منظر عاميظهر القطع المكافئ في الشكل أدناه.
دالة تربيعية
الشكل 1. منظر عام للقطع المكافئ
كما يتبين من الرسم البياني، فهو متماثل حول محور أوي. يُسمى محور أوي بمحور تناظر القطع المكافئ. وهذا يعني أنه إذا قمت برسم خط مستقيم على الرسم البياني موازيا لمحور الثور فوق هذا المحور. وبعد ذلك سوف يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين. ستكون المسافة من هذه النقاط إلى محور أوي هي نفسها.
يقسم محور التماثل الرسم البياني للقطع المكافئ إلى قسمين. وتسمى هذه الأجزاء فروع القطع المكافئ. ونقطة القطع المكافئ التي تقع على محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ. أي أن محور التماثل يمر عبر قمة القطع المكافئ. إحداثيات هذه النقطة هي (0;0).
الخصائص الأساسية للدالة التربيعية
1. عند x =0، وy=0، وy>0 عند x0
2. تصل الدالة التربيعية إلى أدنى قيمة لها عند رأسها. يمين عند x=0; تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الدالة ليس لها قيمة قصوى.
3. الدالة تتناقص على الفترة (-∞;0] وتزيد على الفترة، لأن الخط المستقيم y=kx سوف يتطابق مع الرسم البياني y=|x-3|-|x+3| في هذا القسم. الخيار غير مناسب لنا. 
إذا كانت k أقل من -2، فإن الخط المستقيم y=kx مع الرسم البياني y=|x-3|-|x+3| سيكون لدينا تقاطع واحد وهذا الخيار يناسبنا. 
إذا كانت k=0، فإن تقاطع الخط المستقيم y=kx مع الرسم البياني y=|x-3|-|x+3| سيكون هناك أيضًا خيار يناسبنا. 
الإجابة: بالنسبة لـ k التي تنتمي إلى المجال (-∞;-2)U)
