لا يوجد الكثير من الأشخاص في العالم الذين لم يسمعوا من قبل عن نظرية فيرما الأخيرة - ربما تكون هذه هي المشكلة الرياضية الوحيدة التي أصبحت معروفة على نطاق واسع وأصبحت أسطورة حقيقية. تم ذكرها في العديد من الكتب والأفلام، والسياق الرئيسي لجميع الإشارات تقريبًا هو استحالة إثبات النظرية.
نعم، هذه النظرية معروفة جدًا، وبمعنى ما، أصبحت "صنمًا" يعبده علماء الرياضيات الهواة والمحترفون، لكن قلة من الناس يعرفون أنه تم العثور على دليل عليها، وقد حدث هذا في عام 1995. ولكن أول الأشياء أولا.
لذلك، فإن نظرية فيرما الأخيرة (غالبًا ما تسمى نظرية فيرما الأخيرة)، التي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي اللامع بيير فيرما عام 1637، بسيطة جدًا في جوهرها ومفهومة لأي شخص حاصل على تعليم ثانوي. تنص على أن الصيغة a أس n + b أس n = c أس n ليس لها حلول طبيعية (أي ليست كسرية) لـ n > 2. كل شيء يبدو بسيطًا وواضحًا، لكن لقد ناضل أفضل علماء الرياضيات والهواة العاديين في البحث عن حل لأكثر من ثلاثة قرون ونصف.
لماذا هي مشهورة جدا؟ والآن سنكتشف...
هل هناك العديد من النظريات المثبتة وغير المثبتة وغير المثبتة حتى الآن؟ النقطة هنا هي أن نظرية فيرما الأخيرة تمثل التناقض الأكبر بين بساطة الصياغة وتعقيد الإثبات. تعتبر نظرية فيرما الأخيرة مسألة صعبة للغاية، ومع ذلك يمكن لأي شخص في الصف الخامس من المدرسة الثانوية أن يفهم صياغتها، ولكن حتى كل عالم رياضيات محترف يمكنه فهم الدليل. لا في الفيزياء ولا في الكيمياء ولا في الأحياء ولا في الرياضيات، لا توجد مشكلة واحدة يمكن صياغتها بهذه البساطة، ولكنها ظلت دون حل لفترة طويلة. 2. مما تتكون؟
لنبدأ بسراويل فيثاغورس، فالصياغة بسيطة للغاية - للوهلة الأولى. وكما نعلم منذ الصغر أن "بنطال فيثاغورس متساوي من جميع الجوانب". تبدو المشكلة بسيطة جدًا لأنها كانت مبنية على عبارة رياضية يعرفها الجميع - نظرية فيثاغورس: في أي مثلث قائم الزاوية، المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الساقين.
في القرن الخامس قبل الميلاد. أسس فيثاغورس أخوية فيثاغورس. درس الفيثاغوريون، من بين أمور أخرى، الأعداد الثلاثية الصحيحة التي تحقق المساواة x²+y²=z². لقد أثبتوا أن هناك عددًا لا نهائيًا من ثلاثيات فيثاغورس وحصلوا على صيغ عامة للعثور عليها. ربما حاولوا البحث عن درجات C ودرجات أعلى. واقتناعا منه بأن هذا لم ينجح، تخلى الفيثاغوريون عن محاولاتهم غير المجدية. كان أعضاء الأخوة فلاسفة وجماليات أكثر من علماء الرياضيات.
أي أنه من السهل اختيار مجموعة من الأرقام التي تحقق المساواة تمامًا x²+y²=z²
بدءًا من 3، 4، 5 - في الواقع، يفهم الطالب المبتدئ أن 9 + 16 = 25.
أو 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عظيم.
لذلك، اتضح أنهم ليسوا كذلك. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه الخدعة. البساطة واضحة، لأنه من الصعب إثبات عدم وجود شيء ما، بل على العكس من ذلك، عدم وجوده. عندما تحتاج إلى إثبات وجود حل، يمكنك ويجب عليك ببساطة تقديم هذا الحل.
وإثبات الغياب أصعب: فمثلاً يقول أحدهم: معادلة كذا وكذا ليس لها حل. أضعه في بركة؟ سهل: بام - وها هو الحل! (أعط الحل). وهذا كل شيء، هزم الخصم. كيفية إثبات الغياب؟
قل: "لم أجد مثل هذه الحلول"؟ أو ربما لم تكن تبدو جيدًا؟ ماذا لو كانت موجودة، فقط كبيرة جدًا، كبيرة جدًا، لدرجة أنه حتى الكمبيوتر فائق القوة لا يزال لا يتمتع بالقوة الكافية؟ وهذا هو ما هو صعب.
يمكن إظهار ذلك بصريًا على النحو التالي: إذا أخذت مربعين بأحجام مناسبة وقمت بتفكيكهما إلى مربعات وحدة، فمن مجموعة مربعات الوحدات هذه تحصل على مربع ثالث (الشكل 2): 
ولكن دعونا نفعل الشيء نفسه مع البعد الثالث (الشكل 3) - فهو لا يعمل. ليس هناك مكعبات كافية، أو هناك مكعبات إضافية متبقية:
لكن عالم الرياضيات الفرنسي في القرن السابع عشر بيير دي فيرما درس بحماس المعادلة العامة x n + y n = z n. وأخيرا، خلصت إلى أنه بالنسبة لـ n>2 لا توجد حلول صحيحة. لقد ضاع دليل فيرما بشكل لا رجعة فيه. المخطوطات تحترق! كل ما تبقى هو ملاحظته في كتاب ديوفانتوس الحسابي: "لقد وجدت دليلاً رائعًا حقًا على هذا الاقتراح، لكن الهوامش هنا ضيقة جدًا بحيث لا تحتوي عليه".
في الواقع، النظرية التي ليس لها دليل تسمى فرضية. لكن فيرما يتمتع بسمعة طيبة لأنه لا يرتكب الأخطاء أبدًا. وحتى لو لم يترك دليلا على أقواله، فقد تم تأكيدها فيما بعد. علاوة على ذلك، أثبت فيرما أطروحته لـ n=4. وهكذا دخلت فرضية عالم الرياضيات الفرنسي التاريخ باعتبارها نظرية فيرما الأخيرة.
بعد فيرما، عملت عقول عظيمة مثل ليونارد أويلر على البحث عن دليل (في عام 1770 اقترح حلاً لـ n = 3)،
أدريان ليجيندر ويوهان ديريشليت (هؤلاء العلماء وجدوا بشكل مشترك دليلاً على n = 5 في عام 1825)، وغابرييل لامي (الذي وجد دليلاً على n = 7) وغيرهم الكثير. بحلول منتصف الثمانينيات من القرن الماضي، أصبح من الواضح أن العالم العلمي كان في طريقه إلى الحل النهائي لنظرية فيرما الأخيرة، ولكن فقط في عام 1993 رأى علماء الرياضيات واعتقدوا أن ملحمة البحث عن برهان استمرت ثلاثة قرون انتهت نظرية فيرما الأخيرة عمليا.
من الواضح أنه يكفي إثبات نظرية فيرما فقط من أجل n البسيط: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... بالنسبة إلى n المركب، يظل الدليل صالحًا. ولكن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية..
في عام 1825، وباستخدام طريقة صوفي جيرمان، أثبت عالما الرياضيات وديركليت وليجيندر بشكل مستقل نظرية n = 5. وفي عام 1839، وباستخدام نفس الطريقة، أظهر الفرنسي غابرييل لامي حقيقة نظرية n=7. تدريجيًا تم إثبات النظرية لجميع العدد الأقل من مائة تقريبًا.
وأخيرا، أظهر عالم الرياضيات الألماني إرنست كومر في دراسة رائعة أن النظرية بشكل عام لا يمكن إثباتها باستخدام أساليب الرياضيات في القرن التاسع عشر. ظلت جائزة الأكاديمية الفرنسية للعلوم، التي تأسست عام 1847 لإثبات نظرية فيرما، غير مُنحت.
في عام 1907، قرر رجل الصناعة الألماني الثري بول وولفسكيل الانتحار بسبب الحب غير المتبادل. مثل ألماني حقيقي، حدد تاريخ ووقت الانتحار: بالضبط عند منتصف الليل. وفي اليوم الأخير كتب وصية وكتب رسائل إلى الأصدقاء والأقارب. انتهت الأمور قبل منتصف الليل. ويجب القول أن بولس كان مهتماً بالرياضيات. ولما لم يكن لديه أي شيء آخر ليفعله، ذهب إلى المكتبة وبدأ في قراءة مقال كومر الشهير. وفجأة بدا له أن كومر قد ارتكب خطأً في تفكيره. بدأ وولفسكيل بتحليل هذا الجزء من المقال بقلم رصاص في يديه. لقد مر منتصف الليل، وجاء الصباح. لقد تم ملء الفجوة في الدليل. والآن يبدو سبب الانتحار سخيفًا تمامًا. مزق بولس رسائل الوداع وأعاد كتابة وصيته.
وسرعان ما توفي لأسباب طبيعية. تفاجأ الورثة تمامًا: تم تحويل 100000 علامة تجارية (أكثر من 1000000 جنيه إسترليني حالي) إلى حساب الجمعية العلمية الملكية في غوتنغن، التي أعلنت في نفس العام عن مسابقة لجائزة Wolfskehl. مُنحت 100000 علامة للشخص الذي أثبت نظرية فيرما. لم يتم منح وسام فنيج لدحض النظرية...
اعتبر معظم علماء الرياضيات المحترفين أن البحث عن دليل على نظرية فيرما الأخيرة مهمة ميؤوس منها ورفضوا بشدة إضاعة الوقت في مثل هذا التمرين عديم الفائدة. لكن الهواة تعرضوا للانفجار. وبعد أسابيع قليلة من الإعلان، ضرب سيل من "الأدلة" جامعة غوتنغن. قام البروفيسور إي إم لانداو، الذي كانت مسؤوليته تحليل الأدلة المرسلة، بتوزيع البطاقات على طلابه:
عزيزي. . . . . . . .
شكرًا لك على إرسال المخطوطة لي مع إثبات نظرية فيرما الأخيرة. الخطأ الأول موجود في الصفحة ... في السطر ... . وبسببه يفقد الدليل كله صحته.
البروفيسور إي إم لانداو
في عام 1963، أثبت بول كوهين، بالاعتماد على النتائج التي توصل إليها جودل، عدم قابلية حل إحدى مسائل هيلبرت الثلاثة والعشرين - فرضية الاستمرارية. ماذا لو كانت نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحسم أيضًا؟! لكن المتعصبين الحقيقيين للنظرية الكبرى لم يشعروا بخيبة أمل على الإطلاق. لقد أعطى ظهور أجهزة الكمبيوتر فجأة لعلماء الرياضيات طريقة جديدة للإثبات. بعد الحرب العالمية الثانية، أثبتت فرق من المبرمجين وعلماء الرياضيات نظرية فيرما الأخيرة لجميع القيم التي تصل إلى n حتى 500، ثم حتى 1000، وبعد ذلك حتى 10000.
وفي الثمانينيات، رفع صموئيل واجستاف الحد إلى 25000، وفي التسعينيات، أعلن علماء الرياضيات أن نظرية فيرما الأخيرة كانت صحيحة لجميع قيم n حتى 4 ملايين. لكن إذا طرحت حتى تريليون تريليون من اللانهاية، فلن تصبح أصغر. علماء الرياضيات غير مقتنعين بالإحصاءات. إن إثبات النظرية الكبرى يعني إثباتها للجميع وإلى ما لا نهاية.
في عام 1954، بدأ صديقان شابان من علماء الرياضيات اليابانيين في البحث عن الأشكال المعيارية. تولد هذه النماذج سلسلة من الأرقام، ولكل منها سلسلة خاصة به. عن طريق الصدفة، قارن تانياما هذه المتسلسلة مع المتسلسلة الناتجة عن المعادلات الإهليلجية. لقد تطابقوا! لكن الأشكال المعيارية هي كائنات هندسية، والمعادلات الإهليلجية هي جبرية. لم يتم العثور على أي اتصال بين هذه الكائنات المختلفة.
ومع ذلك، بعد اختبار دقيق، طرح الأصدقاء فرضية: كل معادلة إهليلجية لها توأم - نموذج معياري، والعكس صحيح. كانت هذه الفرضية هي التي أصبحت أساس الاتجاه بأكمله في الرياضيات، ولكن حتى يتم إثبات فرضية تانياما-شيمورا، يمكن أن ينهار المبنى بأكمله في أي لحظة.
في عام 1984، أظهر جيرهارد فراي أن حل معادلة فيرما، إذا كان موجودًا، يمكن تضمينه في بعض المعادلات الإهليلجية. وبعد عامين، أثبت البروفيسور كين ريبيت أن هذه المعادلة الافتراضية لا يمكن أن يكون لها نظير في العالم المعياري. من الآن فصاعدًا، أصبحت نظرية فيرما الأخيرة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بحدسية تانياما-شيمورا. بعد أن أثبتنا أن أي منحنى إهليلجي هو منحنى معياري، نستنتج أنه لا توجد معادلة إهليلجية مع حل لمعادلة فيرما، وسيتم إثبات نظرية فيرما الأخيرة على الفور. لكن لمدة ثلاثين عامًا، لم يكن من الممكن إثبات فرضية تانياما-شيمورا، وكان الأمل في النجاح أقل فأقل.
في عام 1963، عندما كان عمره عشر سنوات فقط، كان أندرو وايلز مفتونًا بالرياضيات. عندما علم عن النظرية الكبرى، أدرك أنه لا يستطيع التخلي عنها. كتلميذ وطالب وطالب دراسات عليا، أعد نفسه لهذه المهمة.
بعد أن علم وايلز بالنتائج التي توصل إليها كين ريبيت، انغمس في إثبات فرضية تانياما-شيمورا. فقرر العمل في عزلة وسرية تامة. "لقد أدركت أن كل ما له علاقة بنظرية فيرما الأخيرة يثير الكثير من الاهتمام... من الواضح أن الكثير من المتفرجين يتدخلون في تحقيق الهدف." أثمرت سبع سنوات من العمل الشاق، وأكمل ويلز أخيرًا إثبات حدسية تانياما-شيمورا.
في عام 1993، قدم عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو ويلز للعالم برهانه على نظرية فيرما الأخيرة (قرأ ويلز ورقته المثيرة في مؤتمر في معهد السير إسحاق نيوتن في كامبريدج)، والذي استمر العمل فيه أكثر من سبع سنوات.
وبينما استمرت الضجة في الصحافة، بدأ العمل الجاد للتحقق من الأدلة. يجب فحص كل دليل بعناية قبل اعتبار الأدلة صارمة ودقيقة. قضى وايلز صيفًا مضطربًا في انتظار تعليقات المراجعين، على أمل أن يتمكن من الفوز بموافقتهم. وفي نهاية أغسطس/آب، وجد الخبراء أن الحكم غير مدعوم بأدلة كافية.
وتبين أن هذا القرار فيه خطأ فادح، رغم أنه صحيح بشكل عام. لم يستسلم ويلز، ودعا إلى مساعدة المتخصص الشهير في نظرية الأعداد ريتشارد تايلور، وفي عام 1994 نشروا دليلا مصححا وموسعا للنظرية. الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن هذا العمل احتل ما يصل إلى 130 (!) صفحة في المجلة الرياضية "حوليات الرياضيات". لكن القصة لم تنته عند هذا الحد أيضًا - فلم يتم الوصول إلى النقطة النهائية إلا في العام التالي، 1995، عندما نُشرت النسخة النهائية و"المثالية" من وجهة نظر رياضية من الدليل.
"... بعد نصف دقيقة من بدء العشاء الاحتفالي بمناسبة عيد ميلادها، قدمت لنادية مخطوطة الإثبات الكامل" (أندرو ويلز). ألم أقل بعد أن علماء الرياضيات أناس غريبون؟
هذه المرة لم يكن هناك شك في الأدلة. خضعت مقالتان للتحليل الأكثر دقة وتم نشرهما في مايو 1995 في حوليات الرياضيات.
لقد مر الكثير من الوقت منذ تلك اللحظة، ولكن لا يزال هناك رأي في المجتمع بأن نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحل. لكن حتى أولئك الذين يعرفون الدليل الذي تم العثور عليه يواصلون العمل في هذا الاتجاه - قليلون مقتنعون بأن النظرية الكبرى تتطلب حلاً مكونًا من 130 صفحة!
لذلك، يتم الآن بذل جهود العديد من علماء الرياضيات (معظمهم من الهواة، وليس العلماء المحترفين) في البحث عن دليل بسيط وموجز، ولكن هذا الطريق، على الأرجح، لن يؤدي إلى أي مكان...
مصدر
المحاضرة 6. تطبيق المشتقات لدراسة الدوال
إذا كانت الوظيفة F(س) لديه مشتق في كل نقطة من القطعة [ أ, ب]، فيمكن دراسة سلوكه باستخدام المشتق F"(X).
دعونا نلقي نظرة على النظريات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل التي تكمن وراء التطبيقات المشتقة.
نظرية فيرما
نظرية(مزرعة) ( حول مساواة المشتقة بالصفر ). إذا كانت الدالة f(س), قابلة للتمييز على الفاصل الزمني (أ, ب) ويصل إلى قيمته الأكبر أو الأصغر عند النقطة ج є ( أ, ب), فإن مشتقة الدالة عند هذه النقطة هي صفر، أي. F"(مع) = 0.
دليل. دع الوظيفة F(س) قابل للتمييز على الفاصل الزمني ( أ, ب) وعند هذه النقطة X = معيأخذ القيمة الأكبر مفي مع є ( أ, ب) (الشكل 1)، أي.
F(مع) ≥ F(س) أو F(س) – F(ج) ≥ 0 أو F(ق +Δ X) – F(مع) ≤ 0.
المشتق F"(س) عند نقطة X = مع: .
لو س> ج, Δ X> 0 (أي Δ X→ 0 على يمين النقطة مع)، الذي - التي 
وبالتالي F"(مع) ≤ 0.
لو س< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 على يسار النقطة مع)، الذي - التي 
، ومنه يترتب على ذلك F"(مع) ≥ 0.
بالشرط F(س) قابل للتمييز عند هذه النقطة معوبالتالي فإن حده عند س→ معلا يعتمد على اختيار اتجاه نهج الحجة سالى حد، الى درجة مع، أي. .
نحصل على النظام الذي يتبعه F"(مع) = 0.
في حال F(مع) = ت(أولئك. F(س) يأخذ عند هذه النقطة معأصغر قيمة)، والدليل مماثل. لقد تم إثبات النظرية.
المعنى الهندسي لنظرية فيرما: عند نقطة أكبر أو أصغر قيمة تم تحقيقها خلال الفترة، يكون مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للمحور السيني.
لذلك، فإن نظرية فيرما الأخيرة (غالبًا ما تسمى نظرية فيرما الأخيرة)، التي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي اللامع بيير فيرما عام 1637، بسيطة جدًا بطبيعتها ومفهومة لأي شخص حاصل على تعليم ثانوي. تنص على أن الصيغة a أس n + b أس n = c أس n ليس لها حلول طبيعية (أي ليست كسرية) لـ n > 2. كل شيء يبدو بسيطًا وواضحًا، لكن لقد ناضل أفضل علماء الرياضيات والهواة العاديين في البحث عن حل لأكثر من ثلاثة قرون ونصف.
لماذا هي مشهورة جدا؟ والآن سنكتشف...
هل هناك العديد من النظريات المثبتة وغير المثبتة وغير المثبتة حتى الآن؟ النقطة هنا هي أن نظرية فيرما الأخيرة تمثل التناقض الأكبر بين بساطة الصياغة وتعقيد الإثبات. تعتبر نظرية فيرما الأخيرة مسألة صعبة للغاية، ومع ذلك يمكن لأي شخص في الصف الخامس من المدرسة الثانوية أن يفهم صياغتها، ولكن حتى كل عالم رياضيات محترف يمكنه فهم الدليل. لا في الفيزياء ولا في الكيمياء ولا في الأحياء ولا في الرياضيات، لا توجد مشكلة واحدة يمكن صياغتها بهذه البساطة، ولكنها ظلت دون حل لفترة طويلة. 2. مما تتكون؟
لنبدأ بسراويل فيثاغورس، فالصياغة بسيطة للغاية - للوهلة الأولى. وكما نعلم منذ الصغر أن "بنطال فيثاغورس متساوي من جميع الجوانب". تبدو المشكلة بسيطة جدًا لأنها كانت مبنية على عبارة رياضية يعرفها الجميع - نظرية فيثاغورس: في أي مثلث قائم الزاوية، المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الساقين.
في القرن الخامس قبل الميلاد. أسس فيثاغورس أخوية فيثاغورس. درس الفيثاغوريون، من بين أمور أخرى، الأعداد الثلاثية الصحيحة التي تحقق المساواة x²+y²=z². لقد أثبتوا أن هناك عددًا لا نهائيًا من ثلاثيات فيثاغورس وحصلوا على صيغ عامة للعثور عليها. ربما حاولوا البحث عن درجات C ودرجات أعلى. واقتناعا منه بأن هذا لم ينجح، تخلى الفيثاغوريون عن محاولاتهم غير المجدية. كان أعضاء الأخوة فلاسفة وجماليات أكثر من علماء الرياضيات.
أي أنه من السهل اختيار مجموعة من الأرقام التي تحقق المساواة تمامًا x²+y²=z²
بدءًا من 3، 4، 5 - في الواقع، يفهم الطالب المبتدئ أن 9 + 16 = 25.
أو 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عظيم.
وما إلى ذلك وهلم جرا. ماذا لو أخذنا معادلة مماثلة x³+y³=z³؟ ربما هناك مثل هذه الأرقام أيضا؟
وهكذا (الشكل 1).
لذلك، اتضح أنهم ليسوا كذلك. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه الخدعة. البساطة واضحة، لأنه من الصعب إثبات عدم وجود شيء ما، بل على العكس من ذلك، عدم وجوده. عندما تحتاج إلى إثبات وجود حل، يمكنك ويجب عليك ببساطة تقديم هذا الحل.
وإثبات الغياب أصعب: فمثلاً يقول أحدهم: معادلة كذا وكذا ليس لها حل. أضعه في بركة؟ سهل: بام - وها هو الحل! (أعط الحل). وهذا كل شيء، هزم الخصم. كيفية إثبات الغياب؟
قل: "لم أجد مثل هذه الحلول"؟ أو ربما لم تكن تبدو جيدًا؟ ماذا لو كانت موجودة، فقط كبيرة جدًا، كبيرة جدًا، لدرجة أنه حتى الكمبيوتر فائق القوة لا يزال لا يتمتع بالقوة الكافية؟ وهذا هو ما هو صعب.
يمكن إظهار ذلك بصريًا على النحو التالي: إذا أخذت مربعين بأحجام مناسبة وقمت بتفكيكهما إلى مربعات وحدة، فمن مجموعة مربعات الوحدات هذه تحصل على مربع ثالث (الشكل 2):
ولكن دعونا نفعل الشيء نفسه مع البعد الثالث (الشكل 3) – فهو لا يعمل. ليس هناك مكعبات كافية، أو هناك مكعبات إضافية متبقية:
لكن عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرما في القرن السابع عشر درس بحماس المعادلة العامة xن +ص ن =ض ن . وأخيرا، خلصت إلى أنه بالنسبة لـ n>2 لا توجد حلول صحيحة. لقد ضاع دليل فيرما بشكل لا رجعة فيه. المخطوطات تحترق! كل ما تبقى هو ملاحظته في كتاب ديوفانتوس الحسابي: "لقد وجدت دليلاً رائعًا حقًا على هذا الاقتراح، لكن الهوامش هنا ضيقة جدًا بحيث لا تحتوي عليه".
في الواقع، النظرية التي ليس لها دليل تسمى فرضية. لكن فيرما يتمتع بسمعة طيبة لأنه لا يرتكب الأخطاء أبدًا. وحتى لو لم يترك دليلا على أقواله، فقد تم تأكيدها فيما بعد. علاوة على ذلك، أثبت فيرما أطروحته لـ n=4. وهكذا دخلت فرضية عالم الرياضيات الفرنسي التاريخ باعتبارها نظرية فيرما الأخيرة.
بعد فيرما، عملت عقول عظيمة مثل ليونارد أويلر على البحث عن دليل (في عام 1770 اقترح حلاً لـ n = 3)،
أدريان ليجيندر ويوهان ديريشليت (هؤلاء العلماء وجدوا بشكل مشترك دليلاً على n = 5 في عام 1825)، وغابرييل لامي (الذي وجد دليلاً على n = 7) وغيرهم الكثير. بحلول منتصف الثمانينيات من القرن الماضي، أصبح من الواضح أن العالم العلمي كان في طريقه إلى الحل النهائي لنظرية فيرما الأخيرة، ولكن فقط في عام 1993 رأى علماء الرياضيات واعتقدوا أن ملحمة البحث عن برهان استمرت ثلاثة قرون انتهت نظرية فيرما الأخيرة عمليا.
من الواضح أنه يكفي إثبات نظرية فيرما فقط من أجل n البسيط: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... بالنسبة إلى n المركب، يظل الدليل صالحًا. ولكن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية..
في عام 1825، وباستخدام طريقة صوفي جيرمان، أثبت عالما الرياضيات وديركليت وليجيندر بشكل مستقل نظرية n = 5. وفي عام 1839، وباستخدام نفس الطريقة، أظهر الفرنسي غابرييل لامي حقيقة نظرية n=7. تدريجيًا تم إثبات النظرية لجميع العدد الأقل من مائة تقريبًا.
وأخيرا، أظهر عالم الرياضيات الألماني إرنست كومر في دراسة رائعة أن النظرية بشكل عام لا يمكن إثباتها باستخدام أساليب الرياضيات في القرن التاسع عشر. ظلت جائزة الأكاديمية الفرنسية للعلوم، التي تأسست عام 1847 لإثبات نظرية فيرما، غير مُنحت.
في عام 1907، قرر رجل الصناعة الألماني الثري بول وولفسكيل الانتحار بسبب الحب غير المتبادل. مثل ألماني حقيقي، حدد تاريخ ووقت الانتحار: بالضبط عند منتصف الليل. وفي اليوم الأخير كتب وصية وكتب رسائل إلى الأصدقاء والأقارب. انتهت الأمور قبل منتصف الليل. ويجب القول أن بولس كان مهتماً بالرياضيات. ولما لم يكن لديه أي شيء آخر ليفعله، ذهب إلى المكتبة وبدأ في قراءة مقال كومر الشهير. وفجأة بدا له أن كومر قد ارتكب خطأً في تفكيره. بدأ وولفسكيل بتحليل هذا الجزء من المقال بقلم رصاص في يديه. لقد مر منتصف الليل، وجاء الصباح. لقد تم ملء الفجوة في الدليل. والآن يبدو سبب الانتحار سخيفًا تمامًا. مزق بولس رسائل الوداع وأعاد كتابة وصيته.
وسرعان ما توفي لأسباب طبيعية. تفاجأ الورثة تمامًا: تم تحويل 100000 علامة تجارية (أكثر من 1000000 جنيه إسترليني حالي) إلى حساب الجمعية العلمية الملكية في غوتنغن، التي أعلنت في نفس العام عن مسابقة لجائزة Wolfskehl. مُنحت 100000 علامة للشخص الذي أثبت نظرية فيرما. لم يتم منح وسام فنيج لدحض النظرية...
اعتبر معظم علماء الرياضيات المحترفين أن البحث عن دليل على نظرية فيرما الأخيرة مهمة ميؤوس منها ورفضوا بشدة إضاعة الوقت في مثل هذا التمرين عديم الفائدة. لكن الهواة تعرضوا للانفجار. وبعد أسابيع قليلة من الإعلان، ضرب سيل من "الأدلة" جامعة غوتنغن. قام البروفيسور إي إم لانداو، الذي كانت مسؤوليته تحليل الأدلة المرسلة، بتوزيع البطاقات على طلابه:
عزيزي. . . . . . . .
شكرًا لك على إرسال المخطوطة لي مع إثبات نظرية فيرما الأخيرة. الخطأ الأول موجود في الصفحة ... في السطر ... . وبسببه يفقد الدليل كله صحته.
البروفيسور إي إم لانداو
في عام 1963، أثبت بول كوهين، بالاعتماد على النتائج التي توصل إليها جودل، عدم قابلية حل إحدى مسائل هيلبرت الثلاثة والعشرين - فرضية الاستمرارية. ماذا لو كانت نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحسم أيضًا؟! لكن المتعصبين الحقيقيين للنظرية الكبرى لم يشعروا بخيبة أمل على الإطلاق. لقد أعطى ظهور أجهزة الكمبيوتر فجأة لعلماء الرياضيات طريقة جديدة للإثبات. بعد الحرب العالمية الثانية، أثبتت فرق من المبرمجين وعلماء الرياضيات نظرية فيرما الأخيرة لجميع القيم التي تصل إلى n حتى 500، ثم حتى 1000، وبعد ذلك حتى 10000.
وفي الثمانينيات، رفع صموئيل واجستاف الحد إلى 25000، وفي التسعينيات، أعلن علماء الرياضيات أن نظرية فيرما الأخيرة كانت صحيحة لجميع قيم n حتى 4 ملايين. لكن إذا طرحت حتى تريليون تريليون من اللانهاية، فلن تصبح أصغر. علماء الرياضيات غير مقتنعين بالإحصاءات. إن إثبات النظرية الكبرى يعني إثباتها للجميع وإلى ما لا نهاية.
في عام 1954، بدأ صديقان شابان من علماء الرياضيات اليابانيين في البحث عن الأشكال المعيارية. تولد هذه النماذج سلسلة من الأرقام، ولكل منها سلسلة خاصة به. عن طريق الصدفة، قارن تانياما هذه المتسلسلة مع المتسلسلة الناتجة عن المعادلات الإهليلجية. لقد تطابقوا! لكن الأشكال المعيارية هي كائنات هندسية، والمعادلات الإهليلجية هي جبرية. لم يتم العثور على أي اتصال بين هذه الكائنات المختلفة.
ومع ذلك، بعد اختبار دقيق، طرح الأصدقاء فرضية: كل معادلة إهليلجية لها توأم - نموذج معياري، والعكس صحيح. كانت هذه الفرضية هي التي أصبحت أساس الاتجاه بأكمله في الرياضيات، ولكن حتى يتم إثبات فرضية تانياما-شيمورا، يمكن أن ينهار المبنى بأكمله في أي لحظة.
في عام 1984، أظهر جيرهارد فراي أن حل معادلة فيرما، إذا كان موجودًا، يمكن تضمينه في بعض المعادلات الإهليلجية. وبعد عامين، أثبت البروفيسور كين ريبيت أن هذه المعادلة الافتراضية لا يمكن أن يكون لها نظير في العالم المعياري. من الآن فصاعدًا، أصبحت نظرية فيرما الأخيرة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بحدسية تانياما-شيمورا. بعد أن أثبتنا أن أي منحنى إهليلجي هو منحنى معياري، نستنتج أنه لا توجد معادلة إهليلجية مع حل لمعادلة فيرما، وسيتم إثبات نظرية فيرما الأخيرة على الفور. لكن لمدة ثلاثين عامًا، لم يكن من الممكن إثبات فرضية تانياما-شيمورا، وكان الأمل في النجاح أقل فأقل.
في عام 1963، عندما كان عمره عشر سنوات فقط، كان أندرو وايلز مفتونًا بالرياضيات. عندما علم عن النظرية الكبرى، أدرك أنه لا يستطيع التخلي عنها. كتلميذ وطالب وطالب دراسات عليا، أعد نفسه لهذه المهمة.
بعد أن علم وايلز بالنتائج التي توصل إليها كين ريبيت، انغمس في إثبات حدسية تانياما-شيمورا. فقرر العمل في عزلة وسرية تامة. "لقد أدركت أن كل ما له علاقة بنظرية فيرما الأخيرة يثير الكثير من الاهتمام... من الواضح أن الكثير من المتفرجين يتدخلون في تحقيق الهدف." أثمرت سبع سنوات من العمل الشاق؛ وأكمل ويلز أخيرًا إثبات حدسية تانياما-شيمورا.
في عام 1993، قدم عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو ويلز للعالم برهانه على نظرية فيرما الأخيرة (قرأ ويلز ورقته المثيرة في مؤتمر في معهد السير إسحاق نيوتن في كامبريدج)، والذي استمر العمل فيه أكثر من سبع سنوات.
وبينما استمرت الضجة في الصحافة، بدأ العمل الجاد للتحقق من الأدلة. يجب فحص كل دليل بعناية قبل اعتبار الأدلة صارمة ودقيقة. قضى وايلز صيفًا مضطربًا في انتظار تعليقات المراجعين، على أمل أن يتمكن من الفوز بموافقتهم. وفي نهاية أغسطس/آب، وجد الخبراء أن الحكم غير مدعوم بأدلة كافية.
وتبين أن هذا القرار فيه خطأ فادح، رغم أنه صحيح بشكل عام. لم يستسلم ويلز، ودعا إلى مساعدة المتخصص الشهير في نظرية الأعداد ريتشارد تايلور، وفي عام 1994 نشروا دليلا مصححا وموسعا للنظرية. الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن هذا العمل احتل ما يصل إلى 130 (!) صفحة في المجلة الرياضية "حوليات الرياضيات". لكن القصة لم تنته عند هذا الحد أيضًا - فلم يتم الوصول إلى النقطة النهائية إلا في العام التالي، 1995، عندما نُشرت النسخة النهائية و"المثالية" من وجهة نظر رياضية من الدليل.
"... بعد نصف دقيقة من بدء العشاء الاحتفالي بمناسبة عيد ميلادها، قدمت لنادية مخطوطة الإثبات الكامل" (أندرو ويلز). ألم أقل بعد أن علماء الرياضيات أناس غريبون؟
هذه المرة لم يكن هناك شك في الأدلة. خضعت مقالتان للتحليل الأكثر دقة وتم نشرهما في مايو 1995 في حوليات الرياضيات.
لقد مر الكثير من الوقت منذ تلك اللحظة، ولكن لا يزال هناك رأي في المجتمع بأن نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحل. لكن حتى أولئك الذين يعرفون الدليل الذي تم العثور عليه يواصلون العمل في هذا الاتجاه - قليلون مقتنعون بأن النظرية الكبرى تتطلب حلاً مكونًا من 130 صفحة!
لذلك، يتم الآن بذل جهود العديد من علماء الرياضيات (معظمهم من الهواة، وليس العلماء المحترفين) في البحث عن دليل بسيط وموجز، ولكن هذا الطريق، على الأرجح، لن يؤدي إلى أي مكان...
