У дома Протезиране и имплантиране Координати на точка, симетрична на точка спрямо права онлайн. Най-прости задачи с права на равнина

Протезиране и имплантиране

Координати на точка, симетрична на точка спрямо права онлайн. Най-прости задачи с права на равнина

Формулиране на проблема. Намерете координатите на точка, симетрична на точка спрямо самолета.

План за решение.

1. Намерете уравнението на права линия, която е перпендикулярна на дадена равнина и минава през точката . Тъй като правата линия е перпендикулярна на дадена равнина, тогава нормалният вектор на равнината може да се приеме за неин насочващ вектор, т.е.

Следователно уравнението на правата линия ще бъде

2. Намерете точката пресечна точка на права линия и равнини (вижте задача 13).

3. Точка е средата на сегмента, където точката е точка, симетрична на точката , Ето защо

Проблем 14. Намерете точка, симетрична на точката спрямо равнината.

Уравнението на права линия, която минава през точка, перпендикулярна на дадена равнина, ще бъде:

Нека намерим пресечната точка на правата и равнината.

Където – пресечната точка на права и равнина е средата на отсечката, следователно

Тези. .

Хомогенни равнинни координати. Афинни трансформации на равнината.

Позволявам М хИ при

М(х, приМей (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

Мей (х, при

Мей (х, при ху.

(hx, hy, h), h  0,

Коментирайте

ч(Например, ч

Всъщност, като се има предвид ч

Коментирайте

Пример 1.

b) до ъгъл (фиг. 9).

1-ва стъпка.

2-ра стъпка.Завъртете под ъгъл 

матрица на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърляне към вектор A(a, б)

матрица на съответното преобразуване.

Пример 3

 по оста x и

1-ва стъпка.

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.

3-та стъпка.

ще го получим най-накрая

Коментирайте

[R], [D], [M], [T],

Позволявам М- произволна точка от равнината с координати хИ при, изчислена спрямо дадена праволинейна координатна система. Еднородните координати на тази точка са всяка тройка от едновременно ненулеви числа x 1, x 2, x 3, свързани с дадените числа x и y със следните отношения:

При решаване на задачи с компютърна графика хомогенните координати обикновено се въвеждат по следния начин: до произволна точка М(х, при) на равнината е приписана точка Мей (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

Обърнете внимание, че произволна точка на линията, свързваща началото, точка 0(0, 0, 0), с точката Мей (х, при, 1), може да бъде дадено от тройка числа от вида (hx, hy, h).

Векторът с координати hx, hy е насочващият вектор на правата, свързваща точки 0 (0, 0, 0) и Мей (х, при, 1). Тази права пресича равнината z = 1 в точката (x, y, 1), която уникално определя точката (x, y) на координатната равнина ху.

Така между произволна точка с координати (x, y) и набор от тройки числа от вида

(hx, hy, h), h  0,

се установява (едно към едно) съответствие, което ни позволява да разглеждаме числата hx, hy, h като новите координати на тази точка.

Коментирайте

Широко използвани в проективната геометрия, хомогенните координати позволяват ефективно да се опишат така наречените неправилни елементи (по същество тези, в които проективната равнина се различава от познатата Евклидова равнина). Повече подробности за новите възможности, предоставени от въведените хомогенни координати, са разгледани в четвъртия раздел на тази глава.

В проективната геометрия за хомогенни координати се приема следната нотация:

x:y:1 или по-общо x1:x2:x3

(не забравяйте, че тук е абсолютно задължително числата x 1, x 2, x 3 да не се обръщат към нула едновременно).

Използването на хомогенни координати се оказва удобно дори при решаване на най-простите задачи.

Помислете например за въпроси, свързани с промени в мащаба. Ако устройството за показване работи само с цели числа (или ако трябва да работите само с цели числа), тогава за произволна стойност ч(Например, ч= 1) точка с хомогенни координати

невъзможно да си представим. Въпреки това, с разумен избор на h, е възможно да се гарантира, че координатите на тази точка са цели числа. По-специално, за h = 10 за разглеждания пример имаме

Да разгледаме друг случай. За да предотвратите резултатите от трансформацията да доведат до аритметично препълване, за точка с координати (80000 40000 1000) можете да вземете например h=0,001. В резултат на това получаваме (80 40 1).

Дадените примери показват полезността на използването на хомогенни координати при извършване на изчисления. Въпреки това, основната цел на въвеждането на хомогенни координати в компютърната графика е безспорното им удобство при прилагане към геометрични трансформации.

Използвайки тройки от хомогенни координати и матрици от трети ред, всяка афинна трансформация на равнина може да бъде описана.

Всъщност, като се има предвид ч= 1, сравнете два записа: маркирани със символа * и следната матрица:

Лесно се вижда, че след умножаването на изразите от дясната страна на последното съотношение се получават както формулите (*), така и правилното числово равенство 1=1.

Коментирайте

Понякога в литературата се използва друга нотация - колонна нотация:

Тази нотация е еквивалентна на горната нотация ред по ред (и се получава от нея чрез транспониране).

Елементите на матрицата на произволна афинна трансформация нямат изрично геометрично значение. Следователно, за да се приложи това или онова картографиране, т.е. да се намерят елементите на съответната матрица според дадено геометрично описание, са необходими специални техники. Обикновено изграждането на тази матрица, в съответствие със сложността на разглеждания проблем и описаните по-горе специални случаи, се разделя на няколко етапа.

На всеки етап се търси матрица, която съответства на един или друг от горните случаи A, B, C или D, които имат добре дефинирани геометрични свойства.

Нека запишем съответните матрици от трети ред.

A. Матрица на въртене

Б. Дилатационна матрица

Б. Отражателна матрица

Г. Трансферна матрица (превод)

Нека разгледаме примери за афинни трансформации на равнината.

Пример 1.

Конструирайте ротационна матрица около точка A (a,b) до ъгъл (фиг. 9).

1-ва стъпка.Прехвърляне към вектор – A (-a, -b) за подравняване на центъра на въртене с началото на координатите;

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Завъртете под ъгъл 

матрица на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърляне към вектор A(a, б)за връщане на центъра на въртене в предишното му положение;

матрица на съответното преобразуване.

Нека умножим матриците в същия ред, в който са записани:

В резултат откриваме, че желаната трансформация (в матрична нотация) ще изглежда така:

Елементите на получената матрица (особено в последния ред) не са толкова лесни за запомняне. В същото време всяка от трите умножени матрици може лесно да бъде конструирана от геометричното описание на съответното картографиране.

Пример 3

Конструирайте матрица на разтягане с коефициенти на разтягане по оста x и по ординатната ос и с център в точка A(a, b).

1-ва стъпка.Прехвърлете към вектор -A(-a, -b), за да подравните центъра на разтягане с началото на координатите;

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Разтягане по координатните оси съответно с коефициенти  и ; трансформационната матрица има формата

3-та стъпка.Прехвърлете към вектор A(a, b), за да върнете центъра на опън в предишната му позиция; матрица на съответното преобразуване –

Умножение на матрици в същия ред

ще го получим най-накрая

Коментирайте

Разсъждение по подобен начин, тоест разбиване на предложената трансформация на етапи, поддържани от матрици[R], [D], [M], [T], може да се конструира матрица на всяка афинна трансформация от нейното геометрично описание.

Преместването се осъществява чрез добавяне, а мащабирането и завъртането се осъществяват чрез умножение.

Мащабираща трансформация (дилатация) спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

Където дх,дгса коефициентите на мащабиране по осите, и

- матрица за мащабиране.

Когато D > 1, се получава разширение, когато 0<=D<1- сжатие

Трансформация на ротация спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

където φ е ъгълът на въртене и

- ротационна матрица.

коментар:Колоните и редовете на ротационната матрица са взаимно ортогонални единични вектори. Всъщност квадратите на дължините на редовите вектори са равни на едно:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 и (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

а скаларното произведение на редови вектори е

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Тъй като скаларното произведение на векторите А · б = |А| ·| б| ·cosψ, където | А| - дължина на вектора А, |б| - дължина на вектора б, а ψ е най-малкият положителен ъгъл между тях, тогава от равенството 0 на скаларното произведение на два вектора ред с дължина 1 следва, че ъгълът между тях е 90 °.

Нека ни е дадена определена права линия, дефинирана от линейно уравнение, и точка, дефинирана от нейните координати (x0, y0) и не лежаща на тази права. Необходимо е да се намери точка, която би била симетрична на дадена точка спрямо дадена права линия, т.е. би съвпаднала с нея, ако равнината е мислено огъната наполовина по тази права линия.

Инструкции

1. Ясно е, че и двете точки - дадената и желаната - трябва да лежат на една права и тази права да е перпендикулярна на дадената. По този начин, първата част от проблема е да се открие уравнението на права, която би била перпендикулярна на дадена права и в същото време минава през дадена точка.

2. Правата линия може да бъде определена по два начина. Каноничното уравнение на права изглежда така: Ax + By + C = 0, където A, B и C са константи. Можете също така да определите права линия, като използвате линейна функция: y = kx + b, където k е ъгловата степен, b е изместването. Тези два метода са взаимозаменяеми и можете да преминавате от един към друг. Ако Ax + By + C = 0, тогава y = – (Ax + C)/B. С други думи, в линейна функция y = kx + b, ъгловата експонента k = -A/B и изместването b = -C/B. За настоящата задача е по-удобно да се разсъждава въз основа на каноничното уравнение на правата линия.

3. Ако две прави са перпендикулярни една на друга и уравнението на първата линия е Ax + By + C = 0, тогава уравнението на втората линия трябва да изглежда като Bx – Ay + D = 0, където D е константа. За да се открие определена стойност на D, е необходимо допълнително да се знае през коя точка минава перпендикулярната линия. В този случай това е точката (x0, y0).Следователно D трябва да удовлетворява равенството: Bx0 – Ay0 + D = 0, тоест D = Ay0 – Bx0.

4. След откриването на перпендикуляра е необходимо да се изчислят координатите на пресечната му точка с дадената. За да направите това, трябва да решите система от линейни уравнения: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Нейното решение ще даде числата (x1, y1), които служат като координати на точката на пресичане на линиите.

5. Желаната точка трябва да лежи върху откритата линия и нейното разстояние до пресечната точка трябва да е равно на разстоянието от пресечната точка до точката (x0, y0). Така координатите на точка, симетрична на точката (x0, y0), могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Но можете да го направите по-лесно. Ако точките (x0, y0) и (x, y) са на равни разстояния от точка (x1, y1) и всичките три точки лежат на една и съща права линия, тогава: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Следователно x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Чрез заместване на тези стойности във второто уравнение на първата система и опростяване на изразите е лесно да се уверите, че дясната му страна става същата като лявата. Освен това няма смисъл да се разглежда допълнително първото уравнение, тъй като е известно, че точките (x0, y0) и (x1, y1) го удовлетворяват, а точката (x, y) очевидно лежи на същата права .

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислявате обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:

В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

Във вашия отговор ние посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "отвиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Няма да го скрия, сам избирам правите линии в реда, така че ъгълът да се окаже положителен. По-красиво е, но нищо повече.

За да проверите решението си, можете да вземете транспортир и да измерите ъгъла.

Метод втори

Ако правите линии са дадени чрез уравнения с наклон и не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се намери по формулата:

Условието за перпендикулярност на правите се изразява с равенството, от което, между другото, следва много полезна връзка между ъгловите коефициенти на перпендикулярните прави: , която се използва в някои задачи.

Алгоритъмът за решение е подобен на предишния параграф. Но първо, нека пренапишем нашите прави линии в необходимата форма:

Така наклоните са:

1) Нека проверим дали линиите са перпендикулярни:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Използвайте формулата:

Отговор:

Вторият метод е подходящ за използване, когато уравненията на прави линии първоначално са зададени с ъглов коефициент. Трябва да се отбележи, че ако поне една права линия е успоредна на ординатната ос, тогава формулата изобщо не е приложима, тъй като за такива прави линии наклонът не е дефиниран (вижте статията Уравнение на права на равнина).

Има и трето решение. Идеята е да се изчисли ъгълът между векторите на посоката на линиите, като се използва формулата, разгледана в урока Точково произведение на вектори:

Тук вече не говорим за ориентиран ъгъл, а „само за ъгъл“, тоест резултатът със сигурност ще бъде положителен. Уловката е, че може да се окажете с тъп ъгъл (не този, от който се нуждаете). В този случай ще трябва да направите уговорка, че ъгълът между прави линии е по-малък ъгъл и да извадите получения арккосинус от "пи" радиани (180 градуса).

Желаещите могат да решат проблема и по трети начин. Но все пак препоръчвам да се придържате към първия подход с ориентиран ъгъл, поради причината, че е широко разпространен.

Пример 11

Намерете ъгъла между линиите.

Това е пример, който можете да решите сами. Опитайте се да го решите по два начина.

Някак си приказката угасна по пътя... Защото няма Кашчей Безсмъртния. Има ме и не съм особено задушен. Честно казано, мислех, че статията ще е много по-дълга. Но все пак ще взема наскоро закупената си шапка и очила и ще отида да плувам във водата на септемврийското езеро. Перфектно облекчава умората и отрицателната енергия.

Ще се видим скоро!

И не забравяйте, че Баба Яга не е отменена =)

Решения и отговори:

Пример 3:Решение : Нека намерим насочващия вектор на правата :

Нека съставим уравнението на желаната права с помощта на точката и вектор на посоката . Тъй като една от координатите на вектора на посоката е нула, ур. нека го пренапишем във формата:

Отговор :

Пример 5:Решение :
1) Уравнение на права нека измислим две точки :

2) Уравнение на права нека измислим две точки :

3) Съответни коефициенти за променливи не е пропорционално: , което означава, че линиите се пресичат.
4) Намерете точка :

Забележка : тук първото уравнение на системата се умножава по 5, след което второто се изважда член по член от 1-вото уравнение.
Отговор :

Правата линия в пространството винаги може да се определи като пресечната линия на две неуспоредни равнини. Ако уравнението на една равнина е уравнението на втората равнина, тогава уравнението на правата е дадено като

Тук неколинеарни
. Тези уравнения се наричат общи уравнения право в космоса.

Канонични уравнения на правата

Всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея, се нарича насочващ вектор на тази права.

Ако точката е известна
права линия и нейния насочващ вектор
, тогава каноничните уравнения на правата имат формата:

. (9)

Параметрични уравнения на права

Нека са дадени каноничните уравнения на правата

От тук получаваме параметричните уравнения на линията:

(10)

Тези уравнения са полезни за намиране на пресечната точка на права и равнина.

Уравнение на права, минаваща през две точки
И
има формата:

Ъгъл между прави

Ъгъл между прави

равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Следователно може да се изчисли по формула (4):

Условие за успоредни прави:

Условие равнините да са перпендикулярни:

Разстояние на точка от права

П да кажем, че точката е дадена
и прав

От каноничните уравнения на правата знаем точката
, принадлежаща на права, и нейния насочващ вектор
. След това разстоянието на точката
от права линия е равна на височината на успоредник, изграден върху вектори И
. следователно

Условие за пресичане на прави

Две неуспоредни прави

се пресичат тогава и само ако

Относителното положение на права и равнина.

Нека е дадена правата линия
и самолет. Ъгъл между тях може да се намери по формулата

Задача 73.Напишете каноничните уравнения на правата

(11)

Решение. За да се запишат каноничните уравнения на правата (9), е необходимо да се знае всяка точка, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на правата.

Нека намерим вектора , успоредна на тази права. Тъй като тя трябва да е перпендикулярна на нормалните вектори на тези равнини, т.е.

,
, Че

От общите уравнения на правата линия имаме това
,
. Тогава

Тъй като точката
всяка точка на линия, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията на линията и едно от тях може да бъде посочено, например,
, намираме другите две координати от система (11):

Оттук,
.

Така каноничните уравнения на желаната линия имат формата:

или
.

Задача 74.

И
.

Решение.От каноничните уравнения на първия ред са известни координатите на точката
принадлежащи на правата, и координатите на вектора на посоката
. От каноничните уравнения на втория ред са известни и координатите на точката
и координати на вектора на посоката
.

Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на точката
от втората права линия. Това разстояние се изчислява по формулата

Нека намерим координатите на вектора
.

Нека изчислим векторното произведение
:

Задача 75.Намерете точка симетрична точка
относително прав

Решение. Нека напишем уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права и минаваща през точка . Като нормален вектор можете да вземете насочващия вектор на права линия. Тогава
. следователно

Да намерим точка
точката на пресичане на тази права и равнината P. За да направим това, ние пишем параметричните уравнения на правата, използвайки уравнения (10), получаваме

следователно
.

Позволявам
точка, симетрична на точка
спрямо тази линия. След това точка
средна точка
. За намиране на координатите на точка Използваме формулите за координатите на средата на сегмента:

,
,
.

Така,
.

Задача 76.Напишете уравнението на равнина, минаваща през права
И

а) през точка
;

б) перпендикулярна на равнината.

Решение.Нека запишем общите уравнения на тази линия. За да направите това, разгледайте две равенства:

Това означава, че желаната равнина принадлежи на сноп от равнини с образуващи и нейното уравнение може да се запише във формата (8):

а) Да намерим
И от условието, че равнината минава през точката
, следователно нейните координати трябва да отговарят на уравнението на равнината. Нека заместим координатите на точката
в уравнението на куп равнини:

Намерена стойност
Нека го заместим в уравнение (12). получаваме уравнението на желаната равнина:

б) Да намерим
И от условието желаната равнина да е перпендикулярна на равнината. Нормалният вектор на дадена равнина
, нормален вектор на желаната равнина (вижте уравнението на куп равнини (12).