Jedan od znakova paralelograma je da ako su dvije stranice četverougla jednake i paralelne, onda je takav četverokut paralelogram. Odnosno, ako četverokut ima dvije stranice jednake i paralelne, onda se i druge dvije stranice ispostavljaju jednake i paralelne jedna s drugom, jer je ta činjenica definicija i svojstvo paralelograma.
Dakle, paralelogram se može definirati samo s dvije strane koje su jednake i paralelne jedna s drugom.
Ova karakteristika paralelograma može se formulisati kao teorema i dokazati. U ovom slučaju, dat nam je četverougao čije su dvije stranice jednake i paralelne jedna s drugom. Potrebno je dokazati da je takav četverougao paralelogram (odnosno da su mu druge dvije stranice jednake i paralelne jedna drugoj).
Neka je dati četverougao ABCD i njegove stranice AB || CD i AB = CD.
Po uslovu nam je dat četvorougao. Ništa se ne govori o tome da li je konveksan ili ne (iako samo konveksni četvorouglovi mogu biti paralelogrami). Međutim, čak i u nekonveksnom četverokutu uvijek postoji jedna dijagonala koja ga dijeli na dva trougla. Ako je ovo dijagonala AC, onda dobijamo dva trokuta ABC i ADC. Ako je ovo dijagonala BD, tada će postojati ∆ABD i ∆BCD.
Recimo da smo dobili trouglove ABC i ADC. Imaju zajedničku stranu (dijagonala AC), stranica AB jednog trougla jednaka je strani CD drugog (po uslovu), ugao BAC jednak je uglu ACD (kao što leži poprečno između poprečnih i paralelnih pravih). To znači ∆ABC = ∆ADC na dvije strane i ugao između njih.
Iz jednakosti trokuta proizilazi da su im ostale stranice i uglovi jednaki. Ali stranica BC trougla ABC odgovara strani AD trougla ADC, što znači BC = AD. Ugao B odgovara uglu D, što znači ∠B = ∠D. Ovi uglovi mogu biti jednaki jedan drugom ako je BC || AD (pošto AB || CD, ove linije se mogu kombinovati paralelnim prevođenjem, tada će ∠B postati unakrsno ležeći ∠D, a njihova jednakost se može desiti samo ako BC || AD).
Po definiciji, paralelogram je četverougao čije su suprotne strane jednake i paralelne jedna s drugom.
Dakle, dokazano je da ako četverougao ABCD ima stranice AB i CD jednake i paralelne, a dijagonala AC ga dijeli na dva trokuta, onda se ispostavlja da su njegove druge stranice jednake jedna drugoj i paralelne.
Kada bi se četverougao ABCD podijelio na dva trougla drugom dijagonalom (BD), tada bi se razmatrali trouglovi ABD i BCD. Njihova jednakost bi se dokazala slično prethodnoj. Ispostavilo bi se da je BC = AD i ∠A = ∠C, što bi impliciralo da je BC || A.D.
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definicija i osnovna svojstva paralelograma
Počnimo tako što ćemo se prisjetiti definicije para-ral-le-lo-grama.
Definicija. Paralelogram- what-you-rekh-gon-nick, koji ima svake dvije pro-ti-false strane koje su paralelne (vidi Sl. 1).
Rice. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Podsjetimo se osnovna svojstva pa-ral-le-lo-gram-ma:
Da biste mogli koristiti sva ova svojstva, morate biti sigurni da je fi-gu-ra, o nekom -roy o kome govorimo, - par-ral-le-lo-gram. Da biste to učinili, potrebno je znati takve činjenice kao znakove pa-ral-le-lo-gram-ma. Sada gledamo prva dva od njih.
2. Prvi znak paralelograma
Teorema. Prvi znak pa-ral-le-lo-gram-ma. Ako su u četiri uglja dvije suprotne strane jednake i paralelne, onda je ovaj nadimak s četiri uglja - paralelogram. 
.
Rice. 2. Prvi znak pa-ral-le-lo-gram-ma
Dokaz. Stavimo dijagonal u četiri-reh-coal-ni-ka (vidi sliku 2), ona ga je podijelila na dva tri-uglja-ni-ka. Hajde da zapišemo šta znamo o ovim trouglovima:
prema prvom znaku jednakosti trouglova.
Iz jednakosti navedenih trouglova slijedi da, znakom paralelizma pravih linija pri prelasku ch-nii njihov s-ku-shchi. imamo to:
Do-ka-za-ali.
3. Drugi znak paralelograma
Teorema. Drugi znak je pa-ral-le-lo-gram-ma. Ako su u četiri ugla svake dvije pro-ti-lažne strane jednake, onda je ovaj četverougao paralelogram. 
.
Rice. 3. Drugi znak pa-ral-le-lo-gram-ma
Dokaz. Dijagonalu stavljamo u četvorougao (vidi sl. 3), ona ga deli na dva trougla. Hajde da zapišemo šta znamo o ovim trouglovima, na osnovu forme teorije:
prema trećem znaku jednakosti trouglova.
Iz jednakosti trokuta slijedi da, znakom paralelnih linija, kada ih sijeku s-ku-shchey. Idemo jesti:
par-ral-le-lo-gram po definiciji. Q.E.D.
Do-ka-za-ali.
4. Primjer korištenja prve karakteristike paralelograma
Pogledajmo primjer upotrebe znakova pa-ral-le-lo-grama.
Primjer 1. U ispupčenju nema uglja Nađite: a) uglove uglja; b) sto-ro-bunar.
Rješenje. Ilustracija Sl. 4.
pa-ral-le-lo-gram prema prvom znaku pa-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
svojstvom par-ral-le-lo-grama o pro-ti-lažnim uglovima, svojstvom par-ral-le-lo-grama o zbiru uglova, kada leži na jednoj strani.
B. 
po prirodi jednakosti pro-lažnih strana.
re-tiy znak pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Pregled: Definicija i svojstva paralelograma
Zapamtimo to paralelogram- ovo je ugao od četiri kvadrata, koji ima pro-ti-lažne strane u parovima. To jest, ako - par-ral-le-lo-gram, onda 
(vidi sliku 1).
Paralelni-le-lo-gram ima niz svojstava: pro-ti-lažni uglovi su jednaki (), pro-ti-lažni uglovi -mi smo jednaki ( 
). Osim toga, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram u tački re-se-che-niya je podijeljen prema zbiru uglova, pri-le-pritiskom prema bilo kojoj strani pa -ral-le-lo-gram-ma, jednako, itd.
Ali da biste iskoristili sva ova svojstva, potrebno je biti potpuno siguran da je ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. U tu svrhu postoje znakovi par-ral-le-lo-grama: to jest, one činjenice iz kojih se može izvući jednovrijedan zaključak, da je ono-vi-rekh-ugalj-nick para-ral- le-lo-gram-mama. U prethodnoj lekciji već smo pogledali dva znaka. Sada gledamo treći put.
6. Treći znak paralelograma i njegov dokaz
Ako u četiri uglja postoji dija-go-on na tački re-se-che-niya oni rade-by-lams, onda je data četiri-you Roh-coal-nick pa-ral-le -lo-gram-mama.
Dato:
What-you-re-coal-nick; ; .
dokazati:
Paralelogram.
dokaz:
Da bi se dokazala ova činjenica, potrebno je pokazati paralelizam strana u par-le-lo-gramu. A paralelizam pravih linija najčešće se postiže jednakošću unutrašnjih poprečno ležećih uglova kod ovih pravih uglova. Dakle, evo sljedeće metode za dobijanje trećeg znaka par-ral -le-lo-gram-ma: kroz jednakost trokuta 
.
Hajde da vidimo koliko su ti trouglovi jednaki. Zaista, iz uslova slijedi: . Osim toga, pošto su uglovi vertikalni, oni su jednaki. To je:
(prvi znak jednakostitri-coal-ni-cov- uz dvije strane i ugao između njih).
Iz jednakosti trouglova: (pošto su unutrašnji poprečni uglovi kod ovih pravih i separatora jednaki). Osim toga, iz jednakosti trokuta slijedi da je . To znači da razumijemo da je u četiri uglja dvije stotine jednake i paralelne. Prema prvom znaku, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-ali.
7. Primjer zadatka na trećem znaku paralelograma i generalizacija
Pogledajmo primjer korištenja trećeg znaka pa-ral-le-lo-grama.
Primjer 1
Dato:
- paralelogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (vidi sliku 2).
dokazati:- pa-ral-le-lo-gram.
dokaz:
To znači da u četiri-uglja-no-dia-go-on-bilo na mjestu re-se-che-niya oni rade-by-lam. Po trećem znaku pa-ral-le-lo-grama, iz ovoga slijedi da - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-ali.
Ako analizirate treći znak pa-ral-le-lo-grama, onda možete primijetiti da ovaj znak sa-vet- ima svojstvo par-ral-le-lo-grama. To jest, činjenica da dia-go-na-li de-la-xia nije samo svojstvo par-le-lo-grama, već i njegov karakterističan, kha-rak-te-ri-sti-che- svojstva, po kojoj se može razlikovati od skupa šta-vi-rekh-ugalj-ni-cov.
IZVOR
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Ovo je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima.
Nekretnina 1. Bilo koja dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trougla.
Dokaz. Prema II karakteristici (poprečni uglovi i zajednička stranica).
Teorema je dokazana.
Nekretnina 2. U paralelogramu suprotstavljene strane su jednaki, suprotni uglovi su jednaki.
Dokaz.
Isto tako,
Teorema je dokazana.
Svojstvo 3. U paralelogramu, dijagonale su prepolovljene tačkom preseka.
Dokaz.
Teorema je dokazana.
Nekretnina 4. Simetrala ugla paralelograma, koja prelazi suprotnu stranu, dijeli ga na jednakokraki trokut i trapez. (pog. riječi - vrh - dva jednakokraka? -ka).
Dokaz.
Teorema je dokazana.
Svojstvo 5. U paralelogramu, odsječak linije sa krajevima na suprotnim stranama koji prolazi kroz točku presjeka dijagonala prepolovljen je ovom tačkom.
Dokaz.
Teorema je dokazana.
Nekretnina 6. Ugao između visina spuštenih iz vrha tupog ugla paralelograma jednak je oštrom uglu paralelograma.
Dokaz.
Teorema je dokazana.
Nekretnina 7. Zbir uglova paralelograma uz jednu stranu je 180°.
Dokaz.
Teorema je dokazana.
Konstruisanje simetrale ugla. Svojstva simetrale ugla trougla.
1) Konstruirajte proizvoljni zrak DE.
2) Na datom zraku konstruirajte proizvoljan krug sa centrom na vrhu i istim
sa centrom na početku konstruisane zrake.
3) F i G - tačke preseka kružnice sa stranicama datog ugla, H - tačka preseka kružnice sa konstruisanim zrakom
Konstruišite kružnicu sa centrom u tački H i poluprečnikom jednakim FG.
5) I je tačka preseka kružnica konstruisane grede.
6) Povucite pravu liniju kroz vrh i I.
IDH je traženi ugao.
)
Nekretnina 1. Simetrala ugla trougla deli suprotnu stranu proporcionalno susednim stranicama.
Dokaz. Neka su x, y segmenti stranice c. Nastavimo gredu BC. Na zraku BC crtamo iz C segment CK jednak AC.
