روش تکرارهای ساده به شکل کلی. روش تکرار ساده

بیایید معادله اصلی را با یک معادل جایگزین کنیم و تکرارها را طبق قانون بسازیم . بنابراین، روش تکرار ساده یک فرآیند تکراری یک مرحله‌ای است. برای شروع این فرآیند، باید تقریب اولیه را بدانید. اجازه دهید شرایط همگرایی روش و انتخاب تقریب اولیه را دریابیم.

بلیط شماره 29

روش سیدل

روش سیدل (گاهی اوقات روش گاوس-سایدل نامیده می شود) اصلاح روش تکرار ساده است، که شامل این واقعیت است که هنگام محاسبه تقریب بعدی x (k+1) (به فرمول های (1.13، (1.14) مراجعه کنید) مولفه های قبلاً بدست آمده x 1 (k+1) , ...,x i - 1 (k+1) بلافاصله برای محاسبه x i (k+1) استفاده می شوند.

در شکل مختصات، روش سیدل دارای شکل زیر است:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
که در آن x (0) مقداری تقریب اولیه برای حل است.

بنابراین، مولفه i-ام تقریب (k+1) -ام با فرمول محاسبه می شود

x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n

(1.20)

شرط پایان فرآیند تکراری Seidel هنگامی که دقت ε به شکل ساده شده به دست می آید به شکل زیر است:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

بلیط شماره 30

روش پاس کردن

برای حل سیستم‌های A x = b با ماتریس سه‌ضلعی، اغلب از روش جابجایی استفاده می‌شود که انطباق روش گاوس با این مورد است.

بیایید سیستم معادلات را بنویسیم

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

به شکل ماتریس: A x = b که در آن

A=

اجازه دهید فرمول های روش sweep را به ترتیب کاربرد آنها بنویسیم.

1. ضربه مستقیم روش جارو (محاسبه مقادیر کمکی):

a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i /، i=2، ...، n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] /، i=2، ...، n-1

(1.9)

2. سکته مغزی معکوسروش جارو کردن (یافتن راه حل):

x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1، i = n-1، ...، 1

بلیط شماره 31

روش تکرار ساده

ماهیت روش تکرارهای سادهشامل حرکت از معادله است

f(x)= 0 (*)

به معادله معادل

x=φ(x). (**)

این انتقال می تواند انجام شود به روش های مختلف، بسته به نوع f(x). به عنوان مثال می توانید قرار دهید

φ(x) = x+bf(x),(***)

کجا ب= const و ریشه ها معادله اصلیتغییر نخواهد کرد.

اگر تقریب اولیه به ریشه معلوم باشد x 0، سپس تقریب جدید

x 1=φx(0),

آن ها طرح کلی فرآیند تکراری:

x k+1=φ(x k).(****)

ساده ترین معیار برای پایان دادن به فرآیند

|x k +1 -x k |<ε.

معیار همگراییروش تکرار ساده:

اگر نزدیک ریشه | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x، سپس تکرارها برای هر تقریب اولیه همگرا می شوند.

بیایید انتخاب ثابت را بررسی کنیم باز نقطه نظر اطمینان از حداکثر سرعت همگرایی. مطابق با معیار همگرایی، بیشترین سرعت همگرایی زمانی ارائه می شود که |φ / (x)| = 0. در عین حال، بر اساس (***)، b = -1/f / (x)،و فرمول تکرار (****) وارد می شود x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-آن ها به فرمول روش نیوتن. بنابراین، روش نیوتن یک مورد خاص از روش تکرار ساده است که بالاترین سرعت همگرایی را از همه گزینه های ممکن برای انتخاب یک تابع ارائه می دهد. φ(x).

بلیط شماره 32

روش نیوتن

ایده اصلی روش به شرح زیر است: یک تقریب اولیه در نزدیکی ریشه فرضی مشخص می شود، پس از آن یک مماس بر تابع مورد مطالعه در نقطه تقریب ساخته می شود که برای آن تقاطع با محور آبسیسا پیدا می شود. این نقطه به عنوان تقریب بعدی در نظر گرفته می شود. و به همین ترتیب تا رسیدن به دقت مورد نیاز.

اجازه دهید یک تابع با ارزش واقعی باشد که روی یک بازه تعریف شده و روی آن قابل تفکیک باشد. سپس فرمول حساب تقریبی تکراری را می توان به صورت زیر بدست آورد:

که α زاویه میل مماس در نقطه است.

بنابراین، عبارت مورد نیاز for به شکل زیر است:

بلیط شماره 33

روش نسبت طلایی
روش نسبت طلایی به شما این امکان را می دهد که با محاسبه تنها یک مقدار تابع در هر تکرار، فواصل را حذف کنید. در نتیجه دو مقدار در نظر گرفته شده تابع، فاصله ای تعیین می شود که باید در آینده استفاده شود. این بازه شامل یکی از نقاط قبلی و نقطه بعدی به صورت متقارن با آن خواهد بود. نقطه فاصله را به دو قسمت تقسیم می کند به طوری که نسبت کل به قسمت بزرگتر برابر با نسبت قسمت بزرگتر به کوچکتر است، یعنی برابر با اصطلاح "نسبت طلایی".

تقسیم فاصله به قسمت های نابرابر به شما امکان می دهد روش موثرتری پیدا کنید. اجازه دهید تابع را در انتهای بخش محاسبه کنیم [ الف,ب] و قرار دهید الف=x 1 , ب=x 2. اجازه دهید تابع را در دو نقطه داخلی نیز محاسبه کنیم x 3 , x 4. بیایید هر چهار مقدار تابع را با هم مقایسه کنیم و از بین آنها کوچکترین را انتخاب کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید کوچکترین تبدیل شود f(x 3). بدیهی است که حداقل باید در یکی از بخش های مجاور آن باشد. بنابراین بخش [ x 4 ,ب] را می توان دور انداخت و بخش را ترک کرد.

قدم اول برداشته شده است. در قسمت، دوباره باید دو نقطه داخلی را انتخاب کنید، مقادیر تابع را در آنها و در انتها محاسبه کنید و مرحله بعدی را بردارید. اما در مرحله قبل از محاسبات، تابع را در انتهای بخش جدید و در یکی از نقاط داخلی آن پیدا کردیم. x 4. بنابراین کافی است یک نقطه دیگر در داخل انتخاب کنید x 5مقدار تابع موجود در آن را تعیین کرده و مقایسه های لازم را انجام دهید. این مقدار محاسبات مورد نیاز در هر مرحله فرآیند را چهار برابر می کند. بهترین راه برای قرار دادن امتیاز چیست؟ هر بار بخش باقی مانده به سه قسمت تقسیم می شود و سپس یکی از بخش های بیرونی دور ریخته می شود.
اجازه دهید بازه عدم قطعیت اولیه را با علامت گذاری کنیم دی.

از آنجایی که در حالت کلی می توان هر یک از بخش ها را کنار گذاشت X 1، X 3یا X 4، X 2سپس نقاط را انتخاب کنید X 3و X 4به طوری که طول این بخش ها یکسان است:

x 3 -x 1 =x 4 -x 2.

پس از دور انداختن، یک بازه عدم قطعیت طول جدید دریافت می کنیم د.
اجازه دهید رابطه را نشان دهیم دی/دحرف φ:

یعنی، اجازه دهید که بازه عدم قطعیت بعدی را تعیین کنیم. اما

از نظر طول برابر با بخش حذف شده در مرحله قبل است، یعنی

بنابراین دریافت می کنیم:

.
این منجر به معادله یا معادل آن می شود
.

ریشه مثبت این معادله می دهد

.

بلیط شماره 34

درونیابی توابع، به عنوان مثال. با استفاده از یک تابع داده شده، ساخت تابع دیگری (معمولا ساده تر) که مقادیر آن با مقادیر تابع داده شده در تعداد معینی از نقاط منطبق است. علاوه بر این، درونیابی دارای اهمیت عملی و نظری است.

روش تکرار ساده که روش تقریب متوالی نیز نامیده می شود، یک الگوریتم ریاضی برای یافتن مقدار یک کمیت مجهول با پالایش تدریجی آن است. ماهیت این روش این است که همانطور که از نام آن پیداست، با بیان تدریجی موارد بعدی از تقریب اولیه، نتایج بیشتر و دقیق تری به دست می آید. این روش برای یافتن مقدار یک متغیر در یک تابع معین و همچنین هنگام حل سیستم معادلات خطی و غیرخطی استفاده می شود.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه این روش هنگام حل SLAE ها اجرا می شود. روش تکرار ساده دارای الگوریتم زیر است:

1. بررسی تحقق شرط همگرایی در ماتریس اصلی. قضیه همگرایی: اگر ماتریس اصلی سیستم دارای غلبه مورب باشد (یعنی در هر ردیف، عناصر مورب اصلی باید از نظر قدر مطلق بزرگتر از مجموع عناصر قطرهای ثانویه در مقدار مطلق باشند)، آنگاه ماتریس ساده روش تکرار همگرا است.

2. ماتریس سیستم اصلی همیشه دارای برتری مورب نیست. در چنین مواردی می توان سیستم را تبدیل کرد. معادلاتی که شرایط همگرایی را برآورده می‌کنند دست نخورده باقی می‌مانند، و ترکیب‌های خطی با آن‌هایی که این شرایط را ندارند، یعنی. ضرب، تفریق، معادلات را به یکدیگر اضافه کنید تا نتیجه دلخواه به دست آید.

اگر در سیستم حاصل ضرایب نامناسبی در مورب اصلی وجود داشته باشد، آنگاه شرایط شکل با i * x i به هر دو طرف چنین معادله ای اضافه می شود که علائم آن باید با علائم عناصر مورب مطابقت داشته باشد.

3. تبدیل سیستم حاصل به حالت عادی:

x - =β - +α*x -

این را می توان به روش های مختلفی انجام داد، به عنوان مثال، مانند این: از معادله اول، x 1 را بر حسب مجهولات دیگر بیان کنید، از دوم - x 2، از سوم - x 3، و غیره. در این مورد از فرمول های زیر استفاده می کنیم:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
باید دوباره مطمئن شوید که سیستم حاصل از فرم معمولی شرایط همگرایی را برآورده می کند:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1، در حالی که i= 1،2،...n

4. ما شروع به اعمال، در واقع، خود روش تقریب های متوالی می کنیم.

x (0) تقریب اولیه است، x (1) را از طریق آن بیان می کنیم، سپس x (2) را تا x (1) بیان می کنیم. فرمول کلی در قالب ماتریس به صورت زیر است:

x (n) = β - +α*x (n-1)

ما محاسبه می کنیم تا زمانی که به دقت مورد نیاز دست پیدا کنیم:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

بنابراین، بیایید روش تکرار ساده را عملی کنیم. مثال:
حل SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 با دقت ε=10 -3

بیایید ببینیم که آیا عناصر مورب در مدول غالب هستند یا خیر.

می بینیم که تنها معادله سوم شرط همگرایی را برآورده می کند. اول و دوم را تبدیل می کنیم و دومی را به معادله اول اضافه می کنیم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

از سومی اولی را کم می کنیم:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

ما سیستم اصلی را به یک معادل تبدیل کردیم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

حال بیایید سیستم را به شکل عادی خود بیاوریم:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

ما همگرایی فرآیند تکراری را بررسی می کنیم:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1، یعنی. شرط برقرار است

0,3947
حدس اولیه x(0) = 0.4762
0,8511

با جایگزینی این مقادیر به معادله معمولی، مقادیر زیر را بدست می آوریم:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

با جایگزینی مقادیر جدید، دریافت می کنیم:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

ما محاسبات را ادامه می دهیم تا زمانی که به مقادیری نزدیک شویم که شرایط داده شده را برآورده می کنند.

x(7) = 0.441091

بیایید صحت نتایج به دست آمده را بررسی کنیم:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

نتایج به دست آمده با جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات اصلی شرایط معادله را کاملاً برآورده می کند.

همانطور که می بینیم، روش تکرار ساده نتایج نسبتاً دقیقی به دست می دهد، اما برای حل این معادله مجبور شدیم زمان زیادی را صرف کنیم و محاسبات دست و پا گیر کنیم.

اجازه دهید یک سیستم از n معادله جبری با n مجهول داده شود:

الگوریتم روش تکرار ساده:

توجه داشته باشید که در اینجا و در ادامه، زیرنویس مؤلفه متناظر بردار مجهولات را نشان می‌دهد و رونوشت نشان‌دهنده عدد تکرار (تقریبی) است.

سپس یک فرآیند ریاضی چرخه ای شکل می گیرد که هر چرخه آن نشان دهنده یک تکرار است. در نتیجه هر تکرار، مقدار جدیدی از بردار مجهولات به دست می آید. برای سازماندهی فرآیند تکراری، سیستم (1) را به شکل کاهش یافته می نویسیم. در این حالت، عبارات روی مورب اصلی نرمال می شوند و در سمت چپ علامت مساوی باقی می مانند و بقیه به سمت راست منتقل می شوند. سیستم معادلات کاهش یافته استدارای فرم:

توجه داشته باشید که هرگز به دست نخواهد آمد، اما با هر تکرار بعدی، بردار مجهولات به جواب دقیق نزدیکتر می شود.

12. فرمول تکرار پایه که در روش تکرار ساده برای حل یک معادله غیرخطی استفاده می شود:

13. معیار توقف فرآیند تکراری در روش تکرار ساده برای حل معادله غیرخطی:

اگر برای هر i ام مولفه بردار مجهولات شرط دستیابی به دقت برقرار باشد، فرآیند تکراری پایان می یابد.
توجه داشته باشید که راه حل دقیق در روش تکرار سادههرگز به دست نخواهد آمد، با این حال، با هر تکرار بعدی، بردار مجهولات به جواب دقیق نزدیک و نزدیکتر می شود.

14. معیار انتخاب تابع کمکی F(x) برای بخش تکرار شونده بازه:

هنگام امتحان ریاضی در حل روش تکرار ساده، ابتدا باید شرط همگرایی بررسی شود. برای همگرا شدن روش، لازم و کافی است که در ماتریس A مقادیر مطلق همه عناصر مورب بزرگتر از مجموع مدول های همه عناصر دیگر در ردیف مربوطه باشد:

معایب روش های تکرار شوندهاین یک شرایط همگرایی نسبتاً دقیق است که برای همه سیستم های معادلات برآورده نمی شود.

اگر شرط همگرایی برآورده شود، در مرحله بعد باید یک تقریب اولیه از بردار مجهولات را مشخص کرد که معمولاً به عنوان بردار صفر انتخاب می شود:

15. روش گاوس که برای حل سیستم های معادلات خطی استفاده می شود، ارائه می دهد:

این روش مبتنی بر تبدیل یک ماتریس به شکل مثلثی است. این امر با حذف متوالی مجهولات از معادلات سیستم به دست می آید.

روش تکرار ساده مبتنی بر جایگزینی معادله اصلی با یک معادله معادل است:

اجازه دهید تقریب اولیه با ریشه مشخص شود x = x 0. با جایگزینی آن در سمت راست معادله (2.7)، یک تقریب جدید به دست می آوریم ، سپس به روشی مشابه دریافت می کنیم و غیره:

. (2.8)

تحت همه شرایط، فرآیند تکراری به ریشه معادله همگرا نمی شود X. بیایید نگاهی دقیق تر به این روند بیندازیم. شکل 2.6 یک تفسیر گرافیکی از یک فرآیند همگرا و واگرا یک طرفه را نشان می دهد. شکل 2.7 فرآیندهای همگرا و واگرا دو طرفه را نشان می دهد. یک فرآیند واگرا با افزایش سریع مقادیر آرگومان و تابع و خاتمه غیرعادی برنامه مربوطه مشخص می شود.

با یک فرآیند دو طرفه، چرخه امکان پذیر است، یعنی تکرار بی پایان همان تابع و مقادیر آرگومان. حلقه کردن یک فرآیند واگرا را از یک فرآیند همگرا جدا می کند.

از نمودارها مشخص است که برای هر دو فرآیند یک طرفه و دو طرفه، همگرایی به ریشه توسط شیب منحنی نزدیک ریشه تعیین می شود. هرچه شیب کمتر باشد، همگرایی بهتر است. همانطور که مشخص است، مماس شیب یک منحنی برابر با مشتق منحنی در یک نقطه معین است.

بنابراین، هرچه عدد نزدیک به ریشه کوچکتر باشد، روند سریعتر همگرا می شود.

برای اینکه فرآیند تکرار همگرا باشد، نابرابری زیر باید در مجاورت ریشه برآورده شود:

انتقال از معادله (2.1) به معادله (2.7) بسته به نوع تابع می تواند به روش های مختلفی انجام شود. f(x).در چنین انتقالی، لازم است تابع به گونه ای ساخته شود که شرط همگرایی (2.9) برآورده شود.

بیایید یکی از الگوریتم های کلی برای انتقال از معادله (2.1) به معادله (2.7) را در نظر بگیریم.

اجازه دهید سمت چپ و راست معادله (2.1) را در یک ثابت دلخواه ضرب کنیم بو مجهول را به هر دو قسمت اضافه کنید Xدر این حالت، ریشه های معادله اصلی تغییر نمی کند:

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم و اجازه دهید از رابطه (2.10) به معادله (2.8) برویم.

انتخاب خودسرانه ثابت بتحقق شرط همگرایی (2.9) را تضمین خواهد کرد. ملاک پایان دادن به فرآیند تکراری شرط (2.2) خواهد بود. شکل 2.8 یک تفسیر گرافیکی از روش تکرارهای ساده با استفاده از روش نمایش توصیف شده را نشان می دهد (مقیاس ها در امتداد محورهای X و Y متفاوت هستند).

اگر تابعی به شکل انتخاب شود، مشتق این تابع خواهد بود. بالاترین سرعت همگرایی در آن صورت خواهد بود و فرمول تکرار (2.11) وارد فرمول نیوتن می شود. بنابراین، روش نیوتن دارای بالاترین درجه همگرایی در بین تمام فرآیندهای تکراری است.

پیاده سازی نرم افزاری روش تکرار ساده در قالب یک رویه زیر روال انجام می شود Iteras(برنامه 2.1).

کل روش عملاً شامل یک تکرار ... تا چرخه، اجرای فرمول (2.11) با در نظر گرفتن شرط توقف فرآیند تکراری (فرمول (2.2)) است.

این روش دارای محافظت از حلقه داخلی با شمارش تعداد حلقه ها با استفاده از متغیر Niter است. در کلاس های عملی باید با اجرای برنامه مطمئن شوید که انتخاب ضریب چه تاثیری دارد بو تقریب اولیه در فرآیند جستجوی ریشه. هنگام تغییر ضریب بماهیت فرآیند تکرار برای تابع مورد مطالعه تغییر می کند. ابتدا دو طرفه می شود و سپس حلقه می شود (شکل 2.9). ترازوهای محوری Xو Yمتفاوت هستند. یک مقدار حتی بزرگتر از مدول b منجر به یک فرآیند واگرا می شود.

مقایسه روش های حل تقریبی معادلات

مقایسه روش های توضیح داده شده در بالا برای حل عددی معادلات با استفاده از برنامه ای انجام شد که به شما امکان می دهد روند پیدا کردن ریشه را به صورت گرافیکی در صفحه رایانه شخصی مشاهده کنید. رویه های موجود در این برنامه و اجرای روش های مقایسه شده در زیر آورده شده است (برنامه 2.1).

برنج. 2.3-2.5، 2.8، 2.9 کپی هایی از صفحه کامپیوتر در پایان فرآیند تکرار هستند.

در همه موارد، معادله درجه دوم x 2 -x-6 = 0 به عنوان تابع مورد مطالعه در نظر گرفته شد که دارای یک راه حل تحلیلی x 1 = -2 و x 2 = 3 است. خطا و تقریب های اولیه برای همه روش ها برابر در نظر گرفته شد. نتایج جستجوی ریشه x= 3 که در شکل های ارائه شده به شرح زیر است. روش دوگانگی کندترین - 22 تکرار را همگرا می کند، سریعترین روش تکرار ساده با b = -0.2 - 5 تکرار است. در اینجا هیچ تناقضی با این جمله که روش نیوتن سریعترین است وجود ندارد.

مشتق تابع مورد مطالعه در نقطه X= 3 برابر با 0.2- است، یعنی محاسبه در این مورد عملاً با روش نیوتن با مقدار مشتق در نقطه ریشه معادله انجام شده است. هنگام تغییر ضریب بسرعت همگرایی کاهش می یابد و روند همگرای تدریجی ابتدا به صورت چرخه ای می رود و سپس واگرا می شود.

بر اساس قیاس با (2.1)، سیستم (5.1) را می توان به شکل معادل زیر نشان داد:

که در آن g(x) یک تابع بردار تکراری آرگومان برداری است. سیستم های معادلات غیرخطی اغلب مستقیماً به شکل (5.2) بوجود می آیند (به عنوان مثال، در طرح های عددی برای معادلات دیفرانسیل، هیچ تلاش اضافی برای تبدیل معادلات (5.1) به سیستم (5.2) لازم نیست. اگر قیاس را با روش تکرار ساده برای یک معادله ادامه دهیم، فرآیند تکرار بر اساس معادله (5.2) را می توان به صورت زیر سازماندهی کرد:

• 1) چند بردار اولیه x ((،) e 5 o (x 0، الف)(فرض می شود که x* e 5"(x 0, الف))؛
• 2) تقریب های بعدی با استفاده از فرمول محاسبه می شوند

سپس فرآیند تکرار تکمیل می شود و

مثل قبل باید بفهمیم در چه شرایطی

بیایید با انجام یک تحلیل ساده این موضوع را مورد بحث قرار دهیم. ابتدا خطای تقریب ith را e(^ = x(i) - x* معرفی می کنیم سپس می توانیم بنویسیم.

اجازه دهید این عبارات را در (5.3) جایگزین کنیم و g(x* + e (/i)) را در توان ها گسترش دهیم. e(k>در همسایگی x* به عنوان تابعی از آرگومان برداری (با فرض اینکه تمام مشتقات جزئی تابع g(x) پیوسته هستند). همچنین با در نظر گرفتن x* = g(x*)، دریافت می کنیم

یا به صورت ماتریسی

B = (bnm)= I (x*)1 - ماتریس تکرار.

اگر میزان خطا ||e®|| به اندازه کافی کوچک است، سپس عبارت دوم در سمت راست عبارت (5.4) را می توان نادیده گرفت و سپس با عبارت (2.16) منطبق می شود. در نتیجه، شرط همگرایی فرآیند تکراری (5.3) نزدیک به جواب دقیق توسط قضیه 3.1 توضیح داده شده است.

همگرایی روش تکرار ساده. لازم و شرایط کافیبرای همگرایی فرآیند تکراری (5.3):

و شرط کافی:

این شرایط اهمیت نظری دارند تا عملی، زیرا ما x' را نمی‌دانیم. با قیاس با (1.11)، شرطی را به دست می آوریم که می تواند مفید باشد. اجازه دهید x* e 5 o (x 0, الف)و ماتریس ژاکوبین برای تابع g(x)

برای همه x e وجود دارد S n (x 0 , a) (توجه داشته باشید که C(x*) = B). اگر عناصر ماتریس C(x) نابرابری را برآورده کنند

برای همه x e 5"(x 0, الف)سپس شرط کافی (5.5) نیز برای هر هنجار ماتریسی برآورده می شود.

مثال 5.1 (روش تکرار ساده) در نظر بگیرید سیستم زیرمعادلات:

یک امکان برای نشان دادن این سیستم به شکل معادل (5.2) بیان است Xاز معادله اول و x 2از معادله دوم:

سپس طرح تکرار شکل می گیرد

راه حل دقیق x* e 5"((2، 2)، 1) است. بیایید بردار اولیه x (0) = (2,2) و را انتخاب کنیم ? p =سی تی 5. نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 5.1.

جدول 5.1

		||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2
	1.50000 1.73205
	1.69258 1.34646
	1.71914 1.40036
	1.71642 1.39483
	1.71669 1.39536
	1.71667 1.39532

این نتایج نشان می دهد که همگرایی بسیار کند است. برای به دست آوردن یک مشخصه کمی همگرایی، یک تحلیل ساده انجام می دهیم و x (1/) را به عنوان یک راه حل دقیق در نظر می گیریم. ماتریس ژاکوبین C(x) برای تابع تکراری ما شکل دارد

سپس ماتریس B تقریباً به صورت تخمین زده می شود

بررسی اینکه نه شرط (5.5) و نه شرط (5.6) برآورده نمی شود آسان است، اما همگرایی صورت می گیرد، زیرا 5 (B) ~ 0.8 است.

اغلب می توان با تغییر جزئی در فرآیند محاسبه، سرعت همگرایی روش تکرار ساده را افزایش داد. ایده این اصلاح بسیار ساده است: محاسبه nمولفه های بردار x (A+1)نه تنها می توان استفاده کرد (t = n,..., ن) و همچنین مولفه های محاسبه شده قبلی بردار تقریب بعدی x k^ (/= 1، p - 1). بنابراین، روش تکرار ساده اصلاح شده را می توان به صورت طرح تکرار زیر نشان داد:

اگر تقریب های تولید شده توسط فرآیند تکراری (5.3) همگرا شوند، آنگاه فرآیند تکراری (5.8) به دلیل استفاده کاملتر از اطلاعات، تمایل به همگرایی سریعتر دارد.

مثال 5.2 (روش تکرار ساده اصلاح شده) تکرار ساده اصلاح شده برای سیستم (5.7) به صورت نمایش داده می شود

مانند قبل، بردار اولیه x (0) = (2، 2) و را انتخاب می کنیم g r = = 10 -5. نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 5.2.

جدول 5.2

	1.50000 1.11803
	1.72076 1.40036
	1.71671 1.39538
	1.71667 1.39533

I تغییر بزرگ در ترتیب محاسبات منجر به نصف شدن تعداد تکرارها و در نتیجه نصف شدن تعداد عملیات شد.