8 માં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. આઈ

લક્ષ્યો:

• શૈક્ષણિક: મૂળભૂત સૂત્રો અને તફાવતના નિયમોનું પુનરાવર્તન કરો, વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ; કુશળતા રચે છે જટિલ એપ્લિકેશનજ્ઞાન, કૌશલ્ય, ક્ષમતાઓ અને નવી પરિસ્થિતિઓમાં તેમનું સ્થાનાંતરણ; યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં આ વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન, કૌશલ્ય અને ક્ષમતાઓનું પરીક્ષણ કરો.
• વિકાસલક્ષીમાનસિક કામગીરીના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો: વિશ્લેષણ, સંશ્લેષણ, સામાન્યીકરણ; આત્મસન્માન કુશળતાની રચના.
• શૈક્ષણિક: કોઈના જ્ઞાનમાં સતત સુધારો કરવાની ઈચ્છાને પ્રોત્સાહન આપો

સાધન:

• મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર.

પાઠનો પ્રકાર:વ્યવસ્થિતકરણ અને સામાન્યીકરણ.
જ્ઞાનનો વ્યાપ:બે પાઠ (90 મિનિટ)
અપેક્ષિત પરિણામ:સંચાર, સર્જનાત્મક અને શોધ કૌશલ્ય અને પ્રાપ્ત કાર્યનું વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવતી વખતે શિક્ષકો પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો વ્યવહારિક ઉપયોગમાં ઉપયોગ કરે છે.

પાઠ માળખું:

1. સંસ્થા. ક્ષણ, ઉકેલ માટે જરૂરી જ્ઞાન અપડેટ કરવું વ્યવહારુ કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સામગ્રીમાંથી.
2. વ્યવહારુ ભાગ (વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું પરીક્ષણ).
3. પ્રતિબિંબ, સર્જનાત્મક હોમવર્ક

પરામર્શ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

પાઠ વિષયનો સંદેશ, પાઠના લક્ષ્યો, પ્રેરણા શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ(સમસ્યાયુક્ત સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન આધારની રચના દ્વારા).

II. વિદ્યાર્થીઓના વ્યક્તિલક્ષી અનુભવ અને તેમના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું.

નિયમો અને વ્યાખ્યાઓની સમીક્ષા કરો.

1) જો કોઈ બિંદુ પર કાર્ય સતત હોય અને તેના પર વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન હોય, તો તે મહત્તમ બિંદુ છે;

2) જો કોઈ બિંદુ પર કાર્ય સતત હોય અને તેના પર વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તામાં ચિહ્ન હોય, તો તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

• જટિલ મુદ્દાઓ - આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનના આંતરિક બિંદુઓ છે કે જેના પર ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી અથવા શૂન્યની બરાબર છે.
• વધારોનો પૂરતો સંકેત, ઉતરતા કાર્યો .
• જો અંતરાલ (a; b) માંથી તમામ x માટે f "(x)>0 હોય, તો અંતરાલ (a; b) પર કાર્ય વધે છે.
• જો f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• સૌથી મોટું શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ અને સેગમેન્ટ [a;b] પર ફંક્શનના સૌથી નાના મૂલ્યો, જો ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ આપવામાં આવે તો:

જો સેગમેન્ટ પરનું વ્યુત્પન્ન ધન છે, તો a એ સૌથી નાનું મૂલ્ય છે, b એ સૌથી મોટું મૂલ્ય છે.

જો સેગમેન્ટ પરનું વ્યુત્પન્ન ઋણ છે, તો a એ સૌથી મોટું છે અને b એ સૌથી નાનું મૂલ્ય છે.

ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન નીચે મુજબ છે. જો y-અક્ષની સમાંતર ન હોય તેવા એબ્સીસા x0 સાથેના બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો f "(x0) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે: κ = f "(x0). κ = tanα હોવાથી, સમાનતા f "(x0) = tanα સાચી છે

ચાલો ત્રણ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1. ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક OX અક્ષ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે, એટલે કે. α< 90º. Производная положительная.
2. સ્પર્શરેખા OX અક્ષ સાથે સ્થૂળ કોણ બનાવે છે, એટલે કે. α > 90º. વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.
3. સ્પર્શક OX અક્ષની સમાંતર છે. વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે.

વ્યાયામ 1.આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે કાર્યો y = f(x) અને abscissa -1 સાથે બિંદુ પર દોરેલા આ ગ્રાફની સ્પર્શક. x0 = -1 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો

ઉકેલ: a) ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક OX અક્ષ સાથે સ્થૂળ કોણ બનાવે છે. ઘટાડા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ કોણ tg(180º - α) = - tanα ની સ્પર્શક શોધીએ છીએ. આનો અર્થ છે f "(x) = - tanα. આપણે અગાઉ જે અભ્યાસ કર્યો છે તેના પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

આ કરવા માટે, આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ જેથી ત્રિકોણના શિરોબિંદુ કોષોના શિરોબિંદુઓ પર હોય. અમે વિરુદ્ધ બાજુના કોષો અને નજીકના એકની ગણતરી કરીએ છીએ. વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુથી વિભાજીત કરો. (સ્લાઇડ 44)

b) ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક OX અક્ષ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે.

f "(x)= tgα. જવાબ હકારાત્મક હશે. (સ્લાઇડ 30)

કસરત 2. આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે વ્યુત્પન્નફંક્શન f(x), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (-4; 13). અંતરાલો શોધો જેમાં કાર્ય ઘટે છે. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.

ઉકેલ: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

વ્યવહારુ ભાગ.
35 મિનિટ તૈયાર કરેલ સ્લાઇડ્સને પાઠના વિષય પર સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનની જરૂર છે. સ્લાઇડ્સનો હેતુ વિદ્યાર્થીઓને જ્ઞાન સુધારવા અને વ્યવહારિક રીતે લાગુ કરવા સક્ષમ બનાવવાનો છે.
સ્લાઇડ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે આ કરી શકો છો:
- આગળનો સર્વે (વિદ્યાર્થીઓની વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે);
- મુખ્ય ખ્યાલો, ગુણધર્મો, વ્યાખ્યાઓની માહિતીની રચના સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે;
- સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે અલ્ગોરિધમનો. વિદ્યાર્થીઓએ સ્લાઇડ્સનો જવાબ આપવો પડશે.

IV. વ્યક્તિગત કાર્ય. સ્લાઇડ્સનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

વી. પાઠનો સારાંશ, પ્રતિબિંબ.

ઉકેલ. મહત્તમ બિંદુઓ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે. સેગમેન્ટ પર, ફંક્શનમાં બે મહત્તમ બિંદુઓ x = 4 અને x = 4 છે. જવાબ: 2. આકૃતિ f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (10; 8) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) ના મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ. આકૃતિ y=f(x) કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (1; 12) પર વ્યાખ્યાયિત છે. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તે અંતરાલો પર નકારાત્મક છે કે જેના પર કાર્ય ઘટે છે, એટલે કે અંતરાલો પર (0.5; 3), (6; 10) અને (11; 12). તેમાં સંપૂર્ણ પોઈન્ટ 1, 2, 7, 8 અને 9 છે. કુલ 5 પોઈન્ટ છે. જવાબ: 5.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (10; 4) પર વ્યાખ્યાયિત છે. ફંક્શન f(x) ના ઘટાડાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો. ઉકેલ. ફંક્શન f(x) ના ઘટતા અંતરાલો એવા અંતરાલોને અનુરૂપ છે કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, એટલે કે, લંબાઈ 3 નું અંતરાલ (9; 6) અને લંબાઈ 5 નું અંતરાલ (2; 3) તેમાંથી સૌથી મોટી લંબાઈ 5 છે. જવાબ: 5.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (7; 14) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) ના મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો. ઉકેલ. મહત્તમ બિંદુઓ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન હકારાત્મકથી નકારાત્મકમાં બદલાય છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનમાં એક મહત્તમ બિંદુ x = 7 છે. જવાબ: 1.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (8; 6) પર વ્યાખ્યાયિત છે. ફંક્શન f(x) ના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો. ઉકેલ. ફંક્શન f(x) ના વધારાના અંતરાલો એવા અંતરાલોને અનુરૂપ છે કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ધન છે, એટલે કે અંતરાલો (7; 5), (2; 5). તેમાંથી સૌથી મોટું અંતરાલ (2; 5) છે, જેની લંબાઈ 3 છે.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (7; 10) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) ના ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો. ઉકેલ. ન્યૂનતમ પોઈન્ટ તે પોઈન્ટને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન માઈનસથી પ્લસમાં બદલાય છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનમાં એક ન્યૂનતમ બિંદુ x = 4 છે. જવાબ: 1.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (16; 4) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) ના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો. ઉકેલ. એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે અને ગ્રાફ પર દર્શાવેલ ડેરિવેટિવના શૂન્ય. ડેરિવેટિવ પોઈન્ટ 13, 11, 9, 7 પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ફંક્શનમાં સેગમેન્ટ પર 4 એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ છે. જવાબ: 4.

આકૃતિ y=f(x) કાર્યનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (2; 12) પર વ્યાખ્યાયિત છે. ફંક્શન f(x) ના અંતિમ બિંદુઓનો સરવાળો શોધો. ઉકેલ. આપેલ ફંક્શનમાં પોઈન્ટ 1, 4, 9, 11 પર મેક્સિમા અને પોઈન્ટ 2, 7, 10 પર મિનિમા છે. તેથી, એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટનો સરવાળો = 44 છે. જવાબ: 44.

આકૃતિ y=f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. ઉકેલ. સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે, જે બદલામાં આ સ્પર્શકના એબ્સીસા અક્ષ તરફના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે. ચાલો A ​​(2; 2), B (2; 0), C (6; 0) બિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણ બનાવીએ. એક્સ-અક્ષ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ એસીબી એંગલ એન્ગલને અડીને આવેલા ખૂણા જેટલો હશે

આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને 3 ની બરાબર abscissa બિંદુ પર આ આલેખનો સ્પર્શ દર્શાવે છે. બિંદુ x = 3 પર આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. ઉકેલવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ: બિંદુ પરના ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આ બિંદુએ દોરેલા આ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે. સ્પર્શકોણ સ્પર્શક અને x-અક્ષ (tg α) ની સકારાત્મક દિશા વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શક જેટલો છે. કોણ α = β, સમાંતર રેખાઓ y=0, y=1 અને સેકન્ટ-ટેન્જેન્ટ સાથે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે. ત્રિકોણ ABC માટે

આકૃતિ એબ્સીસા x 0 સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y=f(x) નો ગ્રાફ અને તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. તેના આધારે સ્પર્શકના ગુણધર્મો, x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) માટે સ્પર્શક માટેનું સૂત્ર y=f (x 0) x+b, b=const બરાબર છે આ આકૃતિ બતાવે છે કે ફંક્શન f(ની સ્પર્શક x) બિંદુ x 0 બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે (-3;2), (5,4). તેથી, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકીએ છીએ

સ્ત્રોતો

SKYPE દ્વારા વ્યક્તિગત પાઠ અસરકારક ઓનલાઇન તાલીમ પરગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે.

પ્રકાર B8 ની સમસ્યાઓ એ ડેરિવેટિવ ફંક્શનના ઉપયોગ પરની સમસ્યાઓ છે. કાર્યોમાં ઉદ્દેશ્યો:

• ચોક્કસ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન શોધો
• ફંક્શનની સીમા, મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ નક્કી કરો
• વધતા અને ઘટવાના અંતરાલ

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ. કાર્ય v8.1: આકૃતિ y=f (x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x0 સાથે બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. x0 બિંદુ પર ફંક્શન y=f (x) ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

થોડો સિદ્ધાંત. જો સ્પર્શક વધી રહ્યો હોય, તો વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હશે, અને જો સ્પર્શક ઘટતો હોય, તો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હશે. ફંક્શન y’= tgАનું વ્યુત્પન્ન, જ્યાં A એ X અક્ષ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ છે

ઉકેલ: અમારા ઉદાહરણમાં, સ્પર્શક વધી રહ્યો છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હશે. કાટકોણ ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો અને તેમાંથી tan A = BC/AB શોધો, જ્યાં BC એ y અક્ષ સાથેના લાક્ષણિક બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે, AB એ x અક્ષ સાથેના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે. ગ્રાફ પરના લાક્ષણિક બિંદુઓને ઘાટા બિંદુઓથી પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે અને A અને C અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતા બિંદુઓ સ્પષ્ટ અને સંપૂર્ણ હોવા જોઈએ. ગ્રાફ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે AB = 5+3 = 8, અને સૂર્ય = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0.25, તેથી વ્યુત્પન્ન y’=0.25

જવાબ આપો: 0,25

કાર્ય B8.2 આકૃતિ y=f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (-9;4) પર વ્યાખ્યાયિત છે. f(x) ફંકશનના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટના એબ્સીસાસનો સરવાળો શોધો

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે આત્યંતિક બિંદુઓ શું છે? આ તે બિંદુઓ છે કે જેના પર વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બધી "પહાડો" અને "ખીણો". અમારા ઉદાહરણમાં, અમારી પાસે 4 "પહાડો" અને 4 "ખીણો" છે. ચાલો બધા "લેન્ડસ્કેપ" બિંદુઓને X ધરી પર ખસેડીએ અને એબ્સીસાનું મૂલ્ય શોધીએ, હવે X ધરી સાથે આ બિંદુઓની સંપૂર્ણ કિંમત ઉમેરીએ.

આપણને -8-7-5-3-2+0+1+3=-21 મળે છે

જવાબ આપો: -21

આ કાર્યને કેવી રીતે હલ કરવું તેના પર વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ જુઓ

સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને B8 કાર્યોનું નિરાકરણ ખુલ્લી બેંકગણિત 2012 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સમસ્યાઓ અમુક બિંદુએ ફંક્શનના આલેખની સ્પર્શકની સમાંતર હોય છે (ચાલો તેને xo કહીએ), તો તેનો ઢોળાવ (આપણા કિસ્સામાં k = 4 સમીકરણ y = 4x +11માંથી) ના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની બરાબર છે. xo બિંદુ પર કાર્ય: k = f ′(xo) = 4 ફંક્શન f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8 નું વ્યુત્પન્ન. આનો અર્થ એ થયો કે ઇચ્છિત સ્પર્શક બિંદુ શોધવા માટે તે જરૂરી છે કે 2xo + 8 = 4, જેમાંથી xo = – 2. જવાબ: – 2. સીધી રેખા y = 3x + 11 એ ગ્રાફની સ્પર્શક છે.

કાર્યો y = x3−3x2− 6x + 6.

સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા શોધો.

નંબર 2 ઉકેલ: નોંધ કરો કે જો રેખા ગ્રાફની સ્પર્શક હોય, તો તેનો ઢોળાવ (k = 3) સ્પર્શક બિંદુ પરના કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન હોવો જોઈએ, જેમાંથી આપણી પાસે Zx2 − 6x − 6 = 3 છે. , એટલે કે, Zx2 − 6x − 9 = 0 અથવા x2 − 2x − 3 = 0. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના બે મૂળ છે: −1 અને 3. આમ, ત્યાં બે બિંદુઓ છે કે જેના પર વિધેયના ગ્રાફની સ્પર્શક y = x3 − 3x2 − 6x + 6 પાસે 3 ની બરાબર ઢાળ છે. આ બે બિંદુઓમાંથી કઈ સીધી રેખા y = 3x + 11 ફંક્શનના ગ્રાફને સ્પર્શે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે આ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ બિંદુઓ અને ચકાસો કે શું તેઓ સ્પર્શક સમીકરણને સંતોષે છે. બિંદુ −1 પર કાર્યનું મૂલ્ય y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8 છે, અને બિંદુ 3 પરનું મૂલ્ય y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12 છે. નોંધ કરો કે કોઓર્ડિનેટ્સ (−1; 8) સાથેનો બિંદુ સ્પર્શક સમીકરણને સંતોષે છે, કારણ કે 8 = −3 + 11. પરંતુ બિંદુ (3; −12) સ્પર્શક સમીકરણને સંતુષ્ટ કરતું નથી, કારણ કે −12 ≠ 9 + 11. આ મતલબ કે જરૂરી સ્પર્શક બિંદુની એબ્સીસા −1 છે. જવાબ: −1. આકૃતિ y = f ′(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન, જે અંતરાલ (–10; 8) પર વ્યાખ્યાયિત છે. સેગમેન્ટના કયા બિંદુએ [–8; –4] ફંક્શન f(x) સૌથી નાની કિંમત લે છે. નંબર 3 ઉકેલ: નોંધ કરો કે સેગમેન્ટ પર [–8; –4] ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે ફંક્શન પોતે જ ઘટી રહ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે તે સેગમેન્ટના જમણા છેડે આ સેગમેન્ટ પર સૌથી નાનું મૂલ્ય લે છે, એટલે કે બિંદુ પર –4.у = f ′(x) f(x) -જવાબ: –4 .આકૃતિ y = f ′(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન, અંતરાલ (–8; 8) પર વ્યાખ્યાયિત. સેગમેન્ટ [– 6 ; 6].નં. 4 ઉકેલ: અંતિમ બિંદુ પર, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન 0 ની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. તે જોઈ શકાય છે કે સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા આવા બિંદુઓ છે [–6; 6] ત્રણ. આ કિસ્સામાં, દરેક બિંદુએ વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્નિત કરે છે કાં તો “+” થી “–”, અથવા “–” થી “+”.у = f ′(x) ++––જવાબ: 3. આકૃતિ બતાવે છે у = f ′(x) નો ગ્રાફ - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન, અંતરાલ (–8; 10) પર વ્યાખ્યાયિત. ઈન્ટરવલ (– 4; 8) પર ફંક્શન f(x) નો સીમાબિંદુ શોધો. નંબર 5. સોલ્યુશન: નોંધ કરો કે અંતરાલ પર (–4; 8) બિંદુ xo = 4 પર વ્યુત્પન્ન 0 પર વળે છે અને જ્યારે આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે “–” થી “+” માં ચિહ્ન વ્યુત્પન્ન થાય છે, બિંદુ 4 એ આપેલ અંતરાલ પર કાર્યનો ઇચ્છિત અંતિમ બિંદુ છે. y = f ′(x) +–જવાબ: 4. આકૃતિ y = f ′(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન, અંતરાલ (–8; 8) પર વ્યાખ્યાયિત. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફની સ્પર્શક રેખા y = –2x + 2 ની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે. નંબર 6 ઉકેલ: જો ફંક્શન f ના ગ્રાફની સ્પર્શક (x) એ રેખા y = –2x+ 2 ની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે, પછી તેનો ઢોળાવ k = –2, જેનો અર્થ છે કે આપણે એવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે કે જેના પર ફંક્શન f ′(x) = – 2. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ પર એક રેખા y = –2 દોરો અને આ રેખા પર પડેલા વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ પરના બિંદુઓની સંખ્યા ગણો. આવા 4 બિંદુઓ છે. y = f ′(x) y = –2જવાબ: 4. આકૃતિ y = f(x) કાર્યનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (–6; 5) પર વ્યાખ્યાયિત છે. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે. નંબર 7y સોલ્યુશન: નોંધ કરો કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે જો ફંકશન f(x) પોતે જ ઘટતું હોય, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા શોધવી જરૂરી છે. ઘટતા કાર્યના અંતરાલોમાં પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. આવા 6 બિંદુઓ છે: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33જવાબ: 6. આકૃતિ ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (–6; 6) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સ્પર્શક કયા બિંદુઓ પર પહોંચે છે તેની સંખ્યા શોધો. ફંક્શનનો ગ્રાફ સીધી રેખા y = –5 ની સમાંતર છે. નંબર 8yસોલ્યુશન: સીધી રેખા y = −5 એ આડી છે, જેનો અર્થ છે કે જો ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક તેની સમાંતર હોય, તો તે આડી પણ છે. પરિણામે, જરૂરી બિંદુઓ પરનો ઢોળાવ k = f′(x)= 0. અમારા કિસ્સામાં, આ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ છે. આવા 6 પોઈન્ટ છે. તેને એબ્સીસા પોઈન્ટ xo પર xo બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો. નંબર 9 સોલ્યુશન: આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના સમકોણાકાર ગુણાંક માટે f′(хo) = tanα = k ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય. અમારા કિસ્સામાં, k > 0, કારણ કે α એ એક્યુટ કોણ (tgα > 0) છે. કોણીય ગુણાંક શોધવા માટે, આપણે સ્પર્શક પર પડેલા બે બિંદુઓ A અને B પસંદ કરીએ છીએ, જેનાં એબ્સિસાસ અને ઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો છે. હવે ચાલો કોણીય ગુણાંકનું મોડ્યુલસ નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે ત્રિકોણ ABC બનાવીશું. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1.25 у = f(x) Вα5хоαС4Аજવાબ: 1.25. આકૃતિ у = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (–10; 2) પર વ્યાખ્યાયિત છે અને તેની સ્પર્શક તે abscissa xo સાથે પોઈન્ટમાં છે. પોઈન્ટ xo પર f(x) ફંક્શનના ડેરિવેટિવની કિંમત શોધો. નંબર 10 ઉકેલ: આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના સમકોણાકાર ગુણાંક માટે f′(хo) = tanα = k ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય. અમારા કિસ્સામાં કે< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, રેક્ટિલિનર ચળવળ x = x(t) કાયદા અનુસાર કરવામાં આવે છે, તે xnput = to ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની બરાબર છે, ઇચ્છિત ઝડપ હશે x ′(t) = 0.5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s. જવાબ: 4. એક ભૌતિક બિંદુ x(t) = 0.5t2 – 2t – 22 ના નિયમ અનુસાર સચોટ રીતે આગળ વધે છે, જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર છે, t એ સેકન્ડોમાંનો સમય છે, જે ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવે છે. કયા સમયે (સેકન્ડમાં) તેની ઝડપ 4 m/s જેટલી હતી?નં. 16 ઉકેલ. x = x(t) ના નિયમ અનુસાર કરવામાં આવતી રેક્ટીલીનિયર ગતિના સમયે બિંદુની ત્વરિત ગતિ, xnput = to વિધેયના વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય જેટલી હોય છે, ઇચ્છિત ઝડપ x ′(to) હશે. = 0.5 ∙ 2 થી – 2 = થી – 2, કારણ કે શરત દ્વારા, x ′(to) = 4, પછી થી – 2 = 4, જ્યાંથી = 4 + 2 = 6 m/s. જવાબ: 6. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે વ્યાખ્યાયિત છે અંતરાલ પર (– 8; 6). ફંકશન f(x) ના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટનો સરવાળો શોધો. નંબર 17 ઉકેલ: એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ છે. તે જોઈ શકાય છે કે અંતરાલ (–8; 6) સાથે જોડાયેલા આવા પાંચ બિંદુઓ છે. ચાલો તેમના એબ્સિસિસનો સરવાળો શોધીએ: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) જવાબ: 6. આકૃતિ y = f ′ વ્યુત્પન્નનો આલેખ બતાવે છે. (x) – ફંક્શન f (x), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–10; 8). વધતા કાર્ય f(x) ના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો. ઉકેલ: નોંધ કરો કે ફંક્શન f(x) વધે છે જો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હોય; જેનો અર્થ છે કે વધતા કાર્યના અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો શોધવો જરૂરી છે. આવા 7 બિંદુઓ છે: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. તેમનો સરવાળો: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f′(x) ++3-357જવાબ: 20. વપરાયેલી સામગ્રી

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2012. ગણિત. સમસ્યા B8. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ. વર્કબુક/ એડ. એ.એલ. સેમેનોવ અને આઈ.વી. યશ્ચેન્કો. 3જી આવૃત્તિ. સ્ટીરિયોટાઇપ − M.: MTsNMO, 2012. − 88 p.

http://mathege.ru/or/ege/Main− ગણિત 2012 માં કાર્યોની ઓપન બેંકની સામગ્રી