કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. ધ અલ્ટીમેટ ગાઈડ (2019)
ચાલો એક ડુંગરાળ વિસ્તારમાંથી પસાર થતા સીધા રસ્તાની કલ્પના કરીએ. એટલે કે, તે ઉપર અને નીચે જાય છે, પરંતુ જમણે કે ડાબે વળતું નથી. જો અક્ષ રસ્તાની સાથે આડા અને ઊભી રીતે નિર્દેશિત હોય, તો રોડ લાઇન કેટલાક સતત કાર્યના ગ્રાફ સાથે ખૂબ સમાન હશે:
અક્ષ એ શૂન્ય ઊંચાઈનું ચોક્કસ સ્તર છે;
જેમ જેમ આપણે આવા રસ્તા પર આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આપણે ઉપર કે નીચે પણ જઈએ છીએ. અમે એમ પણ કહી શકીએ છીએ: જ્યારે દલીલ બદલાય છે (એબ્સિસા અક્ષ સાથેની હિલચાલ), ફંક્શનનું મૂલ્ય બદલાય છે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેની હિલચાલ). ચાલો હવે વિચારીએ કે આપણા રસ્તાની "ઊભાપણું" કેવી રીતે નક્કી કરવી? આ કયા પ્રકારનું મૂલ્ય હોઈ શકે? તે ખૂબ જ સરળ છે: ચોક્કસ અંતર આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી બદલાશે. ખરેખર, રસ્તાના જુદા જુદા વિભાગો પર, એક કિલોમીટર આગળ (x-અક્ષ સાથે) આગળ વધીએ છીએ, અમે દરિયાની સપાટી (વાય-અક્ષ સાથે) સંબંધિત મીટરની અલગ સંખ્યાથી વધીશું અથવા ઘટીશું.
ચાલો પ્રગતિ દર્શાવીએ ("ડેલ્ટા x" વાંચો).
ગ્રીક અક્ષર (ડેલ્ટા) નો સામાન્ય રીતે ગણિતમાં ઉપસર્ગ તરીકે ઉપયોગ થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે "પરિવર્તન". એટલે કે, આ જથ્થામાં ફેરફાર છે, - એક ફેરફાર; પછી તે શું છે? તે સાચું છે, તીવ્રતામાં ફેરફાર.
મહત્વપૂર્ણ: અભિવ્યક્તિ એ એક સંપૂર્ણ, એક ચલ છે. "ડેલ્ટા" ને "x" અથવા અન્ય કોઈપણ અક્ષરથી ક્યારેય અલગ કરશો નહીં! તે છે, ઉદાહરણ તરીકે, .
તેથી, અમે આગળ વધી ગયા, આડા, દ્વારા. જો આપણે રસ્તાની રેખાને ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સરખાવીએ, તો આપણે ઉદય કેવી રીતે દર્શાવીશું? ચોક્કસપણે, . એટલે કે જેમ જેમ આપણે આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આપણે ઊંચા થઈએ છીએ.
મૂલ્યની ગણતરી કરવી સરળ છે: જો શરૂઆતમાં આપણે ઊંચાઈએ હતા, અને ખસેડ્યા પછી આપણે પોતાને ઊંચાઈએ શોધીએ છીએ, તો પછી. જો અંતિમ બિંદુ પ્રારંભિક બિંદુ કરતા નીચું છે, તો તે નકારાત્મક હશે - આનો અર્થ એ છે કે આપણે ચડતા નથી, પરંતુ ઉતરતા છીએ.
ચાલો "ઊભાપણું" પર પાછા આવીએ: આ એક મૂલ્ય છે જે બતાવે છે કે અંતરના એક એકમને આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી (બેહદ) વધે છે:
ચાલો આપણે માની લઈએ કે રસ્તાના અમુક વિભાગ પર, જ્યારે એક કિલોમીટર આગળ વધે છે, ત્યારે રસ્તો એક કિલોમીટરથી ઉપર આવે છે. પછી આ સ્થાન પર ઢાળ સમાન છે. અને જો રસ્તો, મીટરથી આગળ વધતી વખતે, કિમીથી ઘટી જાય? પછી ઢાળ સમાન છે.
હવે ચાલો એક ટેકરીની ટોચ જોઈએ. જો તમે સમિટના અડધા કિલોમીટર પહેલા વિભાગની શરૂઆત અને તેના પછી અડધા કિલોમીટરનો અંત લો, તો તમે જોઈ શકો છો કે ઊંચાઈ લગભગ સમાન છે.
એટલે કે, અમારા તર્ક મુજબ, તે તારણ આપે છે કે અહીં ઢાળ લગભગ શૂન્ય બરાબર છે, જે સ્પષ્ટપણે સાચું નથી. માત્ર કિલોમીટરના અંતરે ઘણું બદલાઈ શકે છે. ઢાળના વધુ પર્યાપ્ત અને સચોટ મૂલ્યાંકન માટે નાના વિસ્તારોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે એક મીટર ખસેડો ત્યારે ઊંચાઈમાં ફેરફારને માપો છો, તો પરિણામ વધુ સચોટ હશે. પરંતુ આ ચોકસાઈ પણ આપણા માટે પૂરતી ન હોઈ શકે - છેવટે, જો રસ્તાની મધ્યમાં કોઈ ધ્રુવ હોય, તો અમે તેને સરળતાથી પસાર કરી શકીએ છીએ. તો પછી આપણે કયું અંતર પસંદ કરવું જોઈએ? સેન્ટીમીટર? મિલિમીટર? ઓછું સારું છે!
IN વાસ્તવિક જીવનમાંનજીકના મિલીમીટર સુધીનું અંતર માપવાનું પર્યાપ્ત કરતાં વધુ છે. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ હંમેશા સંપૂર્ણતા માટે પ્રયત્ન કરે છે. તેથી, ખ્યાલની શોધ કરવામાં આવી હતી અનંત, એટલે કે, નિરપેક્ષ મૂલ્ય એ કોઈપણ સંખ્યા કરતા ઓછું છે જેને આપણે નામ આપી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કહો છો: એક ટ્રિલિયનમો! કેટલું ઓછું? અને તમે આ સંખ્યાને વડે વિભાજીત કરશો - અને તે તેનાથી પણ ઓછી હશે. અને તેથી વધુ. જો આપણે લખવા માંગતા હોઈએ કે એક જથ્થો અનંત છે, તો આપણે આ રીતે લખીએ છીએ: (આપણે વાંચીએ છીએ "x શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે"). તે સમજવું ખૂબ જ જરૂરી છે કે આ સંખ્યા શૂન્યની બરાબર નથી!પરંતુ તેની ખૂબ નજીક. આનો અર્થ એ છે કે તમે તેના દ્વારા ભાગાકાર કરી શકો છો.
ઇન્ફિનિટેસિમલની વિરુદ્ધનો ખ્યાલ અનંત વિશાળ છે (). જ્યારે તમે અસમાનતાઓ પર કામ કરતા હતા ત્યારે તમે કદાચ પહેલાથી જ આનો સામનો કર્યો હશે: આ સંખ્યા તમે વિચારી શકો તે કોઈપણ સંખ્યા કરતા વધુ મોડ્યુલો છે. જો તમે શક્ય તેટલી સૌથી મોટી સંખ્યા સાથે આવો છો, તો તેને ફક્ત બે વડે ગુણાકાર કરો અને તમને તેનાથી પણ મોટી સંખ્યા મળશે. અને અનંત જે થાય છે તેના કરતા પણ વધારે છે. વાસ્તવમાં, અનંત મોટા અને અનંત નાના એકબીજાના વિપરીત છે, એટલે કે, પર, અને તેનાથી વિપરીત: at.
હવે ચાલો આપણા રસ્તા પર પાછા આવીએ. આદર્શ રીતે ગણતરી કરેલ ઢોળાવ એ પાથના અમર્યાદિત સેગમેન્ટ માટે ગણવામાં આવેલ ઢાળ છે, એટલે કે:
હું નોંધું છું કે અનંત વિસ્થાપન સાથે, ઊંચાઈમાં ફેરફાર પણ અનંત હશે. પરંતુ હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અનંતનો અર્થ શૂન્યની બરાબર નથી. જો તમે અનંત સંખ્યાઓને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો તમે સંપૂર્ણપણે સામાન્ય સંખ્યા મેળવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, . એટલે કે, એક નાનું મૂલ્ય બીજા કરતા બરાબર ગણું મોટું હોઈ શકે છે.
આ બધું શેના માટે છે? રસ્તો, ઢાળ... અમે કાર રેલીમાં નથી જઈ રહ્યા, પરંતુ અમે ગણિત શીખવીએ છીએ. અને ગણિતમાં બધું બરાબર સરખું છે, ફક્ત અલગ રીતે કહેવાય છે.
વ્યુત્પન્ન ખ્યાલ
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર છે.
વધતી જતીગણિતમાં તેઓ પરિવર્તન કહે છે. આર્ગ્યુમેન્ટ () અક્ષ સાથે આગળ વધતાં બદલાય છે તે હદ કહેવાય છે દલીલમાં વધારોઅને અંતર દ્વારા ધરી સાથે આગળ વધતી વખતે કાર્ય (ઊંચાઈ) કેટલું બદલાયું છે તે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે કાર્ય વધારોઅને નિયુક્ત થયેલ છે.
તેથી, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ક્યારેનો ગુણોત્તર છે. અમે વ્યુત્પન્નને ફંક્શન જેવા જ અક્ષર સાથે દર્શાવીએ છીએ, ફક્ત ઉપર જમણી બાજુએ પ્રાઇમ સાથે: અથવા ફક્ત. તો, ચાલો આ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન સૂત્ર લખીએ:
રસ્તાની સમાનતાની જેમ, અહીં જ્યારે કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, તે નકારાત્મક છે.
શું વ્યુત્પન્ન માટે શૂન્ય સમાન હોવું શક્ય છે? ચોક્કસ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સપાટ આડા રસ્તા પર ડ્રાઇવિંગ કરી રહ્યા છીએ, તો ઢાળવાળીપણું શૂન્ય છે. અને તે સાચું છે, ઊંચાઈ બિલકુલ બદલાતી નથી. તેથી તે વ્યુત્પન્ન સાથે છે: સ્થિર કાર્ય (સતત) નું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે:
કારણ કે આવા કાર્યનો વધારો કોઈપણ માટે શૂન્ય સમાન છે.
ચાલો ટેકરીઓનું ઉદાહરણ યાદ કરીએ. તે બહાર આવ્યું છે કે શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સેગમેન્ટના છેડાઓને એવી રીતે ગોઠવવાનું શક્ય હતું કે છેડા પરની ઊંચાઈ સમાન હોય, એટલે કે, સેગમેન્ટ અક્ષની સમાંતર હોય:
પરંતુ મોટા સેગમેન્ટ્સ અચોક્કસ માપનની નિશાની છે. અમે અમારા સેગમેન્ટને પોતાની સમાંતર ઉપર વધારીશું, પછી તેની લંબાઈ ઘટશે.
આખરે, જ્યારે આપણે ટોચની અનંત નજીક હોઈએ છીએ, ત્યારે સેગમેન્ટની લંબાઈ અનંત બની જશે. પરંતુ તે જ સમયે, તે અક્ષની સમાંતર રહી, એટલે કે, તેના છેડા પરની ઊંચાઈમાં તફાવત શૂન્ય (તે વલણ ધરાવતું નથી, પરંતુ સમાન છે). તેથી વ્યુત્પન્ન
આને આ રીતે સમજી શકાય છે: જ્યારે આપણે ખૂબ જ ટોચ પર ઊભા રહીએ છીએ, ત્યારે ડાબી કે જમણી તરફ એક નાનકડી પાળી આપણી ઊંચાઈને નજીવી રીતે બદલી નાખે છે.
ત્યાં એક સંપૂર્ણ બીજગણિત સમજૂતી પણ છે: શિરોબિંદુની ડાબી બાજુએ કાર્ય વધે છે, અને જમણી બાજુએ તે ઘટે છે. જેમ આપણે અગાઉ જાણ્યું તેમ, જ્યારે કોઈ કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હોય છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, ત્યારે તે નકારાત્મક હોય છે. પરંતુ તે કૂદકા વિના, સરળતાથી બદલાય છે (કારણ કે રસ્તો તેના ઢાળને ક્યાંય પણ તીવ્રપણે બદલતો નથી). તેથી, નકારાત્મક અને હકારાત્મક મૂલ્યો વચ્ચે હોવા જોઈએ. તે તે હશે જ્યાં કાર્ય ન તો વધે છે કે ન ઘટે છે - શિરોબિંદુ પર.
આ જ ચાટ માટે સાચું છે (જે વિસ્તાર ડાબી બાજુનું કાર્ય ઘટે છે અને જમણી બાજુ વધે છે):
ઇન્ક્રીમેન્ટ વિશે થોડું વધારે.
તેથી અમે દલીલને પરિમાણમાં બદલીએ છીએ. આપણે કયા મૂલ્યથી બદલીએ છીએ? હવે તે (દલીલ) શું બની ગયું છે? અમે કોઈપણ બિંદુ પસંદ કરી શકીએ છીએ, અને હવે અમે તેમાંથી નૃત્ય કરીશું.
સંકલન સાથેના બિંદુને ધ્યાનમાં લો. તેમાં ફંક્શનની કિંમત સમાન છે. પછી આપણે સમાન વધારો કરીએ છીએ: આપણે સંકલન વધારીએ છીએ. હવે શું? સમાન દલીલ? અત્યંત સરળ: . હવે ફંક્શનની કિંમત શું છે? જ્યાં દલીલ જાય છે, ત્યાં કાર્ય પણ કરે છે: . કાર્ય વૃદ્ધિ વિશે શું? કંઈ નવું નથી: આ હજી પણ તે રકમ છે જેના દ્વારા કાર્ય બદલાયું છે:
ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધવાની પ્રેક્ટિસ કરો:
- જ્યારે દલીલનો વધારો બરાબર હોય ત્યારે ફંક્શનનો વધારો શોધો.
- તે જ એક બિંદુ પર કાર્ય માટે જાય છે.
ઉકેલો:
સમાન દલીલ વૃદ્ધિ સાથે વિવિધ બિંદુઓ પર, કાર્ય વૃદ્ધિ અલગ હશે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નતા અલગ છે (અમે આની શરૂઆતમાં જ ચર્ચા કરી હતી - રસ્તાની ઢાળ વિવિધ બિંદુઓ પર અલગ છે). તેથી, જ્યારે આપણે વ્યુત્પન્ન લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે કયા બિંદુએ સૂચવવું જોઈએ:
પાવર કાર્ય.
પાવર ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જ્યાં દલીલ અમુક અંશે હોય છે (તાર્કિક, બરાબર?).
વધુમાં - કોઈપણ હદ સુધી: .
સૌથી સરળ કેસ એ છે જ્યારે ઘાતાંક આ છે:
ચાલો એક બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. ચાલો ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:
તેથી દલીલ થી માં બદલાય છે. કાર્યનો વધારો શું છે?
ઇન્ક્રીમેન્ટ આ છે. પરંતુ કોઈપણ બિંદુએ કાર્ય તેની દલીલ સમાન છે. એ કારણે:
વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
નું વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
b) હવે ધ્યાનમાં લો ચતુર્ભુજ કાર્ય (): .
હવે એ યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે વધારાના મૂલ્યની અવગણના કરી શકાય છે, કારણ કે તે અમર્યાદિત છે, અને તેથી અન્ય શબ્દની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નજીવી છે:
તેથી, અમે અન્ય નિયમ સાથે આવ્યા:
c) અમે લોજિકલ શ્રેણી ચાલુ રાખીએ છીએ: .
આ અભિવ્યક્તિને જુદી જુદી રીતે સરળ બનાવી શકાય છે: સરવાળોના ક્યુબના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ કૌંસ ખોલો અથવા સમઘન સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર અભિવ્યક્તિને ફેક્ટરાઇઝ કરો. સૂચવેલ કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેને જાતે કરવાનો પ્રયાસ કરો.
તેથી, મને નીચે મુજબ મળ્યું:
અને ફરીથી ચાલો તે યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે અમે સમાવિષ્ટ તમામ શરતોની અવગણના કરી શકીએ છીએ:
અમને મળે છે:.
ડી) મોટી સત્તાઓ માટે સમાન નિયમો મેળવી શકાય છે:
e) તે તારણ આપે છે કે આ નિયમ મનસ્વી ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન માટે સામાન્ય કરી શકાય છે, પૂર્ણાંક પણ નહીં:
| (2) |
આ નિયમને આ શબ્દોમાં ઘડી શકાય છે: "ડિગ્રીને ગુણાંક તરીકે આગળ લાવવામાં આવે છે, અને પછી તેને ઘટાડવામાં આવે છે."
અમે આ નિયમ પછીથી સાબિત કરીશું (લગભગ ખૂબ જ અંતમાં). હવે થોડા ઉદાહરણો જોઈએ. કાર્યોનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
- (બે રીતે: સૂત્ર દ્વારા અને વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને - કાર્યના વધારાની ગણતરી કરીને);
- . માનો કે ના માનો, આ એક પાવર ફંક્શન છે. જો તમને પ્રશ્નો હોય, જેમ કે "આ કેવી રીતે છે? ડિગ્રી ક્યાં છે?", "" વિષય યાદ રાખો!
હા, હા, રુટ પણ એક ડિગ્રી છે, માત્ર અપૂર્ણાંક: .
આનો અર્થ એ છે કે આપણું વર્ગમૂળ માત્ર ઘાતાંક સાથેની શક્તિ છે:
.
અમે તાજેતરમાં શીખેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:જો આ બિંદુએ તે ફરીથી અસ્પષ્ટ થઈ જાય, તો "" વિષયનું પુનરાવર્તન કરો!!! (સાથે ડિગ્રી વિશે નકારાત્મક સૂચક)
- . હવે ઘાતાંક:
અને હવે વ્યાખ્યા દ્વારા (શું તમે હજી ભૂલી ગયા છો?):
;
.
હવે, હંમેશની જેમ, અમે સમાવિષ્ટ શબ્દની અવગણના કરીએ છીએ:
. - . અગાઉના કેસોનું સંયોજન: .
ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.
અહીં આપણે ઉચ્ચ ગણિતમાંથી એક હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું:
અભિવ્યક્તિ સાથે.
તમે સંસ્થાના પ્રથમ વર્ષમાં સાબિતી શીખી શકશો (અને ત્યાં જવા માટે, તમારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સારી રીતે પાસ કરવાની જરૂર છે). હવે હું તેને ગ્રાફિકલી બતાવીશ:
આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યારે ફંક્શન અસ્તિત્વમાં નથી - ગ્રાફ પરનો બિંદુ કાપી નાખવામાં આવે છે. પરંતુ મૂલ્યની નજીક, કાર્ય આ "ધ્યેય" ની નજીક છે.
વધુમાં, તમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ ચકાસી શકો છો. હા, હા, શરમાશો નહીં, કેલ્ક્યુલેટર લો, અમે હજી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં નથી.
તેથી, ચાલો પ્રયાસ કરીએ: ;
તમારા કેલ્ક્યુલેટરને રેડિયન મોડ પર સ્વિચ કરવાનું ભૂલશો નહીં!
વગેરે આપણે જોઈએ છીએ કે ઓછું, ધ નજીકનું મૂલ્યસાથે સંબંધ
એ) કાર્યને ધ્યાનમાં લો. હંમેશની જેમ, ચાલો તેનો વધારો શોધીએ:
ચાલો સાઈન્સના તફાવતને ઉત્પાદનમાં ફેરવીએ. આ કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (વિષય "" યાદ રાખો): .
હવે વ્યુત્પન્ન:
ચાલો બદલીએ: . પછી અનંત માટે તે પણ અનંત છે: . માટે અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લે છે:
અને હવે આપણે તે અભિવ્યક્તિ સાથે યાદ કરીએ છીએ. અને એ પણ, જો સરવાળા (એટલે કે, પર) માં અમર્યાદિત જથ્થાને અવગણવામાં આવે તો શું?
તેથી, અમને નીચેના નિયમ મળે છે: સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન જેટલું છે:
આ મૂળભૂત ("ટેબ્યુલર") ડેરિવેટિવ્ઝ છે. અહીં તેઓ એક સૂચિમાં છે:
પછીથી અમે તેમાં થોડા વધુ ઉમેરીશું, પરંતુ આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ મોટાભાગે થાય છે.
પ્રેક્ટિસ:
- એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;
- ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
ઉકેલો:
- પ્રથમ, ચાલો માં વ્યુત્પન્ન શોધીએ સામાન્ય દૃશ્ય, અને પછી તેનું મૂલ્ય બદલો:
;
. - અહીં આપણી પાસે કંઈક એવું જ છે પાવર કાર્ય. ચાલો તેણીને લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ
સામાન્ય દૃશ્ય:
.
સરસ, હવે તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
.
. - . Eeeeeee.....આ શું છે????
ઠીક છે, તમે સાચા છો, અમને હજુ સુધી ખબર નથી કે આવા ડેરિવેટિવ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય. અહીં આપણી પાસે અનેક પ્રકારનાં કાર્યોનું સંયોજન છે. તેમની સાથે કામ કરવા માટે, તમારે થોડા વધુ નિયમો શીખવાની જરૂર છે:
ઘાતાંક અને કુદરતી લઘુગણક.
ગણિતમાં એક ફંક્શન છે જેનું વ્યુત્પન્ન કોઈપણ મૂલ્ય માટે તે જ સમયે ફંક્શનના મૂલ્ય જેટલું છે. તેને "ઘાતાંક" કહેવામાં આવે છે, અને તે ઘાતાંકીય કાર્ય છે
આ કાર્યનો આધાર સ્થિર છે - તે અનંત છે દશાંશ, એટલે કે, અતાર્કિક સંખ્યા (જેમ કે). તેને "યુલર નંબર" કહેવામાં આવે છે, તેથી જ તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, નિયમ:
યાદ રાખવું ખૂબ જ સરળ છે.
સારું, ચાલો દૂર ન જઈએ, ચાલો તરત જ વ્યસ્ત કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. કયું કાર્ય ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યસ્ત છે? લઘુગણક:
અમારા કિસ્સામાં, આધાર એ સંખ્યા છે:
આવા લઘુગણક (એટલે કે, આધાર સાથેનો લઘુગણક) ને "કુદરતી" કહેવામાં આવે છે, અને અમે તેના માટે વિશેષ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અમે તેના બદલે લખીએ છીએ.
તે શું સમાન છે? અલબત્ત, .
કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન પણ ખૂબ જ સરળ છે:
ઉદાહરણો:
- ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શું છે?
જવાબો: પ્રદર્શક અને કુદરતી લઘુગણક- ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં કાર્યો અનન્ય રીતે સરળ છે. અન્ય કોઈપણ આધાર સાથેના ઘાતાંકીય અને લઘુગણક ફંક્શન્સમાં અલગ વ્યુત્પન્ન હશે, જેનું વિશ્લેષણ આપણે પછીથી કરીશું, પછી આપણે ભિન્નતાના નિયમોમાંથી પસાર થઈશું.
ભિન્નતાના નિયમો
શેના નિયમો? ફરી એક નવો શબ્દ, ફરી?!...
ભિન્નતાવ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયા છે.
બસ એટલું જ. તમે આ પ્રક્રિયાને એક શબ્દમાં બીજું શું કહી શકો? વ્યુત્પન્ન નથી... ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિભેદકને ફંક્શનની સમાન વૃદ્ધિ કહે છે. આ શબ્દ લેટિન ડિફરન્સિયા - તફાવત પરથી આવ્યો છે. અહીં.
આ બધા નિયમો મેળવતી વખતે, અમે બે કાર્યોનો ઉપયોગ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, અને. અમને તેમની વૃદ્ધિ માટે સૂત્રોની પણ જરૂર પડશે:
કુલ 5 નિયમો છે.
અચળ વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે.
જો - કેટલીક સ્થિર સંખ્યા (સતત), પછી.
દેખીતી રીતે, આ નિયમ તફાવત માટે પણ કામ કરે છે: .
ચાલો તે સાબિત કરીએ. તે રહેવા દો, અથવા સરળ.
ઉદાહરણો.
કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:
- એક બિંદુએ;
- એક બિંદુએ;
- એક બિંદુએ;
- બિંદુ પર.
ઉકેલો:
- (વ્યુત્પન્ન તમામ બિંદુઓ પર સમાન છે, કારણ કે તે એક રેખીય કાર્ય છે, યાદ રાખો?);
ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
અહીં બધું સમાન છે: ચાલો એક નવું કાર્ય રજૂ કરીએ અને તેની વૃદ્ધિ શોધીએ:
વ્યુત્પન્ન:
ઉદાહરણો:
- કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો અને;
- એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
ઉકેલો:
ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
હવે તમારું જ્ઞાન કોઈપણ ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું તે શીખવા માટે પૂરતું છે, અને માત્ર ઘાતાંક જ નહીં (શું તમે ભૂલી ગયા છો કે તે શું છે?).
તેથી, અમુક સંખ્યા ક્યાં છે.
આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, તેથી ચાલો આપણા ફંક્શનને નવા આધાર પર ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરીએ:
આ માટે અમે ઉપયોગ કરીશું સરળ નિયમ: . પછી:
સારું, તે કામ કર્યું. હવે વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરો, અને ભૂલશો નહીં કે આ કાર્ય જટિલ છે.
થયું?
અહીં, તમારી જાતને તપાસો:
સૂત્ર ઘાતાંકના વ્યુત્પન્ન સાથે ખૂબ સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું: જેમ તે હતું, તે જ રહે છે, માત્ર એક પરિબળ દેખાયો, જે માત્ર એક સંખ્યા છે, પરંતુ ચલ નથી.
ઉદાહરણો:
કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:
જવાબો:
આ માત્ર એક સંખ્યા છે જેની ગણતરી કેલ્ક્યુલેટર વિના કરી શકાતી નથી, એટલે કે, તેને વધુ લખી શકાતી નથી. સરળ સ્વરૂપમાં. તેથી, અમે તેને જવાબમાં આ ફોર્મમાં છોડીએ છીએ.
લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
તે અહીં સમાન છે: તમે પહેલાથી જ કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન જાણો છો:
તેથી, એક અલગ આધાર સાથે મનસ્વી લઘુગણક શોધવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે:
આપણે આ લઘુગણકને આધાર સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે. તમે લોગરીધમનો આધાર કેવી રીતે બદલશો? હું આશા રાખું છું કે તમને આ સૂત્ર યાદ હશે:
ફક્ત હવે આપણે તેના બદલે લખીશું:
છેદ ફક્ત એક સ્થિર છે (એક સ્થિર સંખ્યા, ચલ વિના). વ્યુત્પન્ન ખૂબ જ સરળ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે:
યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઘાતાંકીય અને લઘુગણક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન લગભગ ક્યારેય જોવા મળતા નથી, પરંતુ તેમને જાણવું અનાવશ્યક રહેશે નહીં.
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.
"જટિલ કાર્ય" શું છે? ના, આ લઘુગણક નથી, અને આર્કટેન્જેન્ટ નથી. આ વિધેયોને સમજવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે (જો કે જો તમને લઘુગણક અઘરું લાગતું હોય, તો "લોગરીધમ્સ" વિષય વાંચો અને તમે ઠીક થઈ જશો), પરંતુ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, "જટિલ" શબ્દનો અર્થ "મુશ્કેલ" નથી.
નાના કન્વેયર બેલ્ટની કલ્પના કરો: બે લોકો બેઠા છે અને કેટલીક વસ્તુઓ સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરી રહ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ એક ચોકલેટ બારને રેપરમાં લપેટી લે છે, અને બીજો તેને રિબન સાથે બાંધે છે. પરિણામ એ સંયુક્ત ઑબ્જેક્ટ છે: એક ચોકલેટ બાર લપેટી અને રિબન સાથે બંધાયેલ. ચોકલેટ બાર ખાવા માટે, તમારે વિપરીત પગલાં ભરવાની જરૂર છે વિપરીત ક્રમમાં.
ચાલો સમાન ગાણિતિક પાઈપલાઈન બનાવીએ: પ્રથમ આપણે સંખ્યાની કોસાઈન શોધીશું, અને પછી પરિણામી સંખ્યાનો વર્ગ કરીશું. તેથી, અમને એક નંબર (ચોકલેટ) આપવામાં આવે છે, મને તેનું કોસાઇન (રૅપર) મળે છે, અને પછી તમે મને જે મળ્યું તે ચોરસ કરો (તેને રિબન વડે બાંધો). શું થયું? કાર્ય. આ એક ઉદાહરણ છે જટિલ કાર્ય: જ્યારે, તેનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે પ્રથમ ક્રિયા સીધી વેરીએબલ સાથે કરીએ છીએ, અને પછી પ્રથમથી શું પરિણામ આવ્યું તેની સાથે બીજી ક્રિયા કરીએ છીએ.
આપણે સમાન પગલાઓ સરળતાથી વિપરીત ક્રમમાં કરી શકીએ છીએ: પ્રથમ તમે તેને ચોરસ કરો, અને પછી હું પરિણામી સંખ્યાના કોસાઇનને શોધીશ: . અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે પરિણામ લગભગ હંમેશા અલગ હશે. મહત્વપૂર્ણ લક્ષણજટિલ કાર્યો: જ્યારે ક્રિયાઓનો ક્રમ બદલાય છે, ત્યારે કાર્ય બદલાય છે.
બીજા શબ્દો માં, જટિલ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેની દલીલ અન્ય કાર્ય છે: .
પ્રથમ ઉદાહરણ માટે, .
બીજું ઉદાહરણ: (એ જ વસ્તુ). .
અમે છેલ્લે જે ક્રિયા કરીએ છીએ તેને કહેવામાં આવશે "બાહ્ય" કાર્ય, અને ક્રિયા પ્રથમ કરવામાં - તે મુજબ "આંતરિક" કાર્ય(આ અનૌપચારિક નામો છે, હું તેનો ઉપયોગ ફક્ત સામગ્રીને સરળ ભાષામાં સમજાવવા માટે કરું છું).
તમારા માટે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે કયું કાર્ય બાહ્ય છે અને કયું આંતરિક છે:
જવાબો:આંતરિક અને બાહ્ય કાર્યોને અલગ પાડવું એ ચલોને બદલવા જેવું જ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનમાં
- આપણે પ્રથમ કઈ ક્રિયા કરીશું? પ્રથમ, ચાલો સાઈનની ગણતરી કરીએ, અને પછી જ તેને ક્યુબ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે તે આંતરિક કાર્ય છે, પરંતુ બાહ્ય છે.
અને મૂળ કાર્ય તેમની રચના છે: . - આંતરિક: ; બાહ્ય:.
પરીક્ષા:. - આંતરિક: ; બાહ્ય:.
પરીક્ષા:. - આંતરિક: ; બાહ્ય:.
પરીક્ષા:. - આંતરિક: ; બાહ્ય:.
પરીક્ષા:.
આપણે ચલ બદલીએ છીએ અને ફંક્શન મેળવીએ છીએ.
ઠીક છે, હવે આપણે આપણી ચોકલેટ બાર કાઢીશું અને વ્યુત્પન્ન શોધીશું. પ્રક્રિયા હંમેશા ઉલટી થાય છે: પ્રથમ આપણે બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નને શોધીએ છીએ, પછી આપણે પરિણામને આંતરિક કાર્યના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. મૂળ ઉદાહરણના સંબંધમાં, તે આના જેવું લાગે છે:
બીજું ઉદાહરણ:
તેથી, ચાલો આખરે સત્તાવાર નિયમ ઘડીએ:
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:
તે સરળ લાગે છે, બરાબર?
ચાલો ઉદાહરણો સાથે તપાસ કરીએ:
ઉકેલો:
1) આંતરિક: ;
બાહ્ય: ;
2) આંતરિક: ;
(હમણાં જ તેને કાપવાનો પ્રયાસ કરશો નહીં! કોસાઈનની નીચેથી કંઈ બહાર આવતું નથી, યાદ છે?)
3) આંતરિક: ;
બાહ્ય: ;
તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આ ત્રણ-સ્તરનું જટિલ કાર્ય છે: છેવટે, આ પહેલેથી જ એક જટિલ કાર્ય છે, અને અમે તેમાંથી મૂળ પણ કાઢીએ છીએ, એટલે કે, અમે ત્રીજી ક્રિયા કરીએ છીએ (અમે ચોકલેટને એકમાં મૂકીએ છીએ. રેપર અને બ્રીફકેસમાં રિબન સાથે). પરંતુ ડરવાનું કોઈ કારણ નથી: અમે હજી પણ આ કાર્યને હંમેશની જેમ સમાન ક્રમમાં "અનપૅક" કરીશું: અંતથી.
એટલે કે, પહેલા આપણે રુટ, પછી કોસાઈન અને પછી કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને અલગ પાડીએ છીએ. અને પછી આપણે તે બધાને ગુણાકાર કરીએ છીએ.
આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રિયાઓની સંખ્યા કરવી અનુકૂળ છે. એટલે કે, આપણે જે જાણીએ છીએ તેની કલ્પના કરીએ. આ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે આપણે કયા ક્રમમાં ક્રિયાઓ કરીશું? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ક્રિયા જેટલી પાછળથી કરવામાં આવે છે, અનુરૂપ કાર્ય વધુ "બાહ્ય" હશે. ક્રિયાઓનો ક્રમ પહેલા જેવો જ છે:
અહીં માળો સામાન્ય રીતે 4-સ્તરનો હોય છે. ચાલો ક્રિયાનો ક્રમ નક્કી કરીએ.
1. આમૂલ અભિવ્યક્તિ. .
2. રુટ. .
3. સાઈન. .
4. ચોરસ. .
5. બધું એકસાથે મૂકવું:
વ્યુત્પન્ન. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં
કાર્યનું વ્યુત્પન્ન- દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર:
મૂળભૂત ડેરિવેટિવ્ઝ:
ભિન્નતાના નિયમો:
વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી સ્થિરાંક લેવામાં આવે છે:
સરવાળો વ્યુત્પન્ન:
ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન:
અવશેષનું વ્યુત્પન્ન:
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન:
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:
- અમે "આંતરિક" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
- અમે "બાહ્ય" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
- અમે પ્રથમ અને બીજા બિંદુઓના પરિણામોને ગુણાકાર કરીએ છીએ.
લેખની સામગ્રી
વ્યુત્પન્ન- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y = f(x), ચોક્કસ અંતરાલ પર આપવામાં આવે છે ( a, b) બિંદુ પર xઆ અંતરાલને મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જેમાં ફંક્શનના વધારાનો ગુણોત્તર વલણ ધરાવે છે fઆ બિંદુએ દલીલના અનુરૂપ વધારા સાથે જ્યારે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે.
વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે:
અન્ય હોદ્દો પણ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે:
ત્વરિત ઝડપ.
બિંદુ દો એમસીધી રેખામાં ખસે છે. અંતર sમૂવિંગ પોઈન્ટ, અમુક પ્રારંભિક સ્થિતિથી ગણવામાં આવે છે એમ 0 , સમય પર આધાર રાખે છે t, એટલે કે sસમયનું કાર્ય છે t: s= f(t). સમય અમુક સમયે દો tગતિશીલ બિંદુ એમના અંતરે હતી sપ્રારંભિક સ્થિતિથી એમ 0, અને બીજી કોઈ ક્ષણે t+ડી tપોતાની જાતને એક સ્થિતિમાં મળી એમ 1 - અંતર પર s+ડી sપ્રારંભિક સ્થિતિથી ( ચિત્ર જુઓ.).
આમ, સમયાંતરે ડી tઅંતર sડી દ્વારા બદલાયેલ રકમ s. આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે સમય અંતરાલ દરમિયાન ડી tતીવ્રતા sડી ઇન્ક્રીમેન્ટ મેળવ્યું s.
સરેરાશ ગતિ તમામ કિસ્સાઓમાં બિંદુની ગતિની ગતિને ચોક્કસ રીતે દર્શાવી શકતી નથી એમએક સમયે t. જો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલની શરૂઆતમાં શરીર ડી tખૂબ જ ઝડપથી ખસેડવામાં આવે છે, અને અંતે ખૂબ જ ધીરે ધીરે, પછી સરેરાશ ગતિ બિંદુની હિલચાલની દર્શાવેલ લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરી શકશે નહીં અને આ ક્ષણે તેની હિલચાલની સાચી ગતિનો ખ્યાલ આપી શકશે નહીં. t. એવરેજ સ્પીડનો ઉપયોગ કરીને સાચી સ્પીડને વધુ સચોટ રીતે વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે થોડો સમય D લેવો પડશે t. સૌથી વધુ સંપૂર્ણ રીતે આ ક્ષણે બિંદુની હિલચાલની ગતિ દર્શાવે છે tમર્યાદા કે જેમાં સરેરાશ ઝડપ D પર રહે છે t® 0. આ મર્યાદાને ગતિની ગતિ કહેવામાં આવે છે આ ક્ષણ:
આમ, આપેલ ક્ષણે ચળવળની ગતિને પાથ ઇન્ક્રીમેન્ટ રેશિયો ડીની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે sસમય વધારા માટે ડી t, જ્યારે સમય વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે. કારણ કે
વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ. ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક.
સ્પર્શકોનું નિર્માણ એ તે સમસ્યાઓમાંની એક છે જેના કારણે વિભેદક કલનનો જન્મ થયો. લીબનિઝ દ્વારા લખાયેલ વિભેદક કલન સાથે સંબંધિત પ્રથમ પ્રકાશિત કાર્યનું શીર્ષક હતું નવી પદ્ધતિમેક્સિમા અને મિનિમા, તેમજ સ્પર્શકો, જેના માટે ન તો અપૂર્ણાંક કે અતાર્કિક જથ્થાઓ, અને આ માટે એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કેલ્ક્યુલસ, અવરોધ તરીકે સેવા આપે છે..
વક્રને ફંક્શનનો ગ્રાફ બનવા દો y =f(x) લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ( સેમી. ચોખા.).
અમુક કિંમતે xકાર્ય બાબતો y =f(x). આ મૂલ્યો xઅને yવળાંક પરનો બિંદુ અનુરૂપ છે એમ 0(x, y). જો દલીલ xઆપો વધારો ડી x, પછી દલીલનું નવું મૂલ્ય x+ડી xનવા કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે y+ડી y = f(x + ડી x). વળાંકનો અનુરૂપ બિંદુ બિંદુ હશે એમ 1(x+ડી x,y+ડી y). જો તમે સેકન્ટ દોરો એમ 0એમ 1 અને j દ્વારા સૂચિત અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે ટ્રાન્સવર્સલ દ્વારા રચાયેલ કોણ બળદ, આકૃતિ પરથી તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે .
જો હવે ડી xશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી બિંદુ એમ 1 વળાંક સાથે ખસે છે, બિંદુની નજીક આવે છે એમ 0, અને કોણ j ડી સાથે ફેરફારો x. મુ ડીએક્સ® 0 કોણ j ચોક્કસ મર્યાદા a અને બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા તરફ વલણ ધરાવે છે એમ 0 અને x-અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથેનો ઘટક, કોણ a, ઇચ્છિત સ્પર્શક હશે. તેનો ઢોળાવ છે:
આથી, f´( x) = tga
તે વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય f´( xઆપેલ દલીલ મૂલ્ય માટે xફંક્શનના આલેખ સાથે સ્પર્શક દ્વારા રચાયેલા ખૂણાના સ્પર્શકને બરાબર કરે છે f(x) અનુરૂપ બિંદુ પર એમ 0(x,y) હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે બળદ.
કાર્યોની ભિન્નતા.
વ્યાખ્યા. જો કાર્ય y = f(x) બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન છે x = x 0, પછી ફંક્શન આ બિંદુએ અલગ છે.
ડેરિવેટિવ ધરાવતા ફંક્શનની સાતત્ય. પ્રમેય.
જો કાર્ય y = f(x) અમુક સમયે વિભેદક હોય છે x = x 0, પછી તે આ બિંદુએ સતત છે.
આમ, ફંક્શનમાં વિરામ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન હોઈ શકતું નથી. વિપરીત નિષ્કર્ષ ખોટો છે, એટલે કે. હકીકત એ છે કે અમુક સમયે x = x 0 કાર્ય y = f(x) સતત છે તેનો અર્થ એ નથી કે તે આ બિંદુએ અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y = |x| દરેક માટે સતત x(–Ґ x x = 0 નું કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી. આ બિંદુએ ગ્રાફમાં કોઈ સ્પર્શક નથી. જમણી સ્પર્શક અને ડાબી સ્પર્શક છે, પરંતુ તેઓ એકરૂપ થતા નથી.
વિભેદક કાર્યો વિશેના કેટલાક પ્રમેય. વ્યુત્પન્નના મૂળ પર પ્રમેય (રોલેનું પ્રમેય).જો કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર સતત છે [a,b], આ સેગમેન્ટના તમામ આંતરિક બિંદુઓ પર અને છેડા પર ભિન્ન છે x = aઅને x = bશૂન્ય પર જાય છે ( f(a) = f(b) = 0), પછી સેગમેન્ટની અંદર [ a,b] ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ છે x= સાથે, a c b, જેમાં વ્યુત્પન્ન fў( x) શૂન્ય પર જાય છે, એટલે કે. fў( c) = 0.
મર્યાદિત વૃદ્ધિ પ્રમેય (લેગ્રેન્જનું પ્રમેય).જો કાર્ય f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b[ a, b] ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ છે સાથે, a c b તે
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
બે કાર્યોના વધારાના ગુણોત્તર પર પ્રમેય (કોચીનું પ્રમેય).જો f(x) અને g(x) - સેગમેન્ટ પર સતત બે કાર્યો [a, b] અને આ સેગમેન્ટના તમામ આંતરિક બિંદુઓ પર તફાવત કરી શકાય તેવું, અને gў( x) આ સેગમેન્ટની અંદર ક્યાંય અદૃશ્ય થતો નથી, પછી સેગમેન્ટની અંદર [ a, b] આવો મુદ્દો છે x = સાથે, a c b તે
વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ.
કાર્ય કરવા દો y =f(x) અમુક અંતરાલ પર અલગ પડે છે [ a, b]. વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો f ў( x), સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આધાર રાખે છે x, એટલે કે વ્યુત્પન્ન f ў( x) નું કાર્ય પણ છે x. આ ફંક્શનને અલગ કરતી વખતે, આપણે ફંક્શનનું કહેવાતું બીજું ડેરિવેટિવ મેળવીએ છીએ f(x), જે સૂચવવામાં આવે છે f ўў ( x).
વ્યુત્પન્ન n-કાર્યનો ક્રમ f(x) ને વ્યુત્પન્નનો વ્યુત્પન્ન (પ્રથમ ક્રમ) કહેવામાં આવે છે n- 1- th અને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે y(n) = (y(n– 1))ў.
વિવિધ ઓર્ડરના તફાવતો.
કાર્ય વિભેદક y = f(x), ક્યાં x- સ્વતંત્ર ચલ, હા dy = f ў( x)ડીએક્સ, થી કેટલાક કાર્ય x, પરંતુ થી xમાત્ર પ્રથમ પરિબળ આધાર રાખે છે f ў( x), બીજું પરિબળ ( ડીએક્સ) એ સ્વતંત્ર ચલનો વધારો છે xઅને આ ચલની કિંમત પર આધાર રાખતો નથી. કારણ કે dyથી એક કાર્ય છે x, પછી આપણે આ ફંક્શનનો તફાવત નક્કી કરી શકીએ છીએ. ફંક્શનના ડિફરન્સલના ડિફરન્સલને આ ફંક્શનનો સેકન્ડ ડિફરન્સલ અથવા સેકન્ડ-ઑર્ડર ડિફરન્સલ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે. ડી 2y:
ડી(ડીએક્સ) = ડી 2y = f ўў( x)(ડીએક્સ) 2 .
વિભેદક n-પ્રથમ ક્રમના વિભેદકને પ્રથમ વિભેદક કહેવામાં આવે છે n- 1- ક્રમ:
d n y = ડી(ડી એન–1y) = f(n)(x)ડીએક્સ(n).
આંશિક વ્યુત્પન્ન.
જો ફંક્શન એક પર નહીં, પરંતુ ઘણી દલીલો પર આધારિત હોય x i(i 1 થી બદલાય છે n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), પછી વિભેદક કેલ્ક્યુલસમાં આંશિક વ્યુત્પન્નનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવે છે, જે જ્યારે માત્ર એક દલીલ બદલાય છે ત્યારે અનેક ચલોના કાર્યના ફેરફારના દરને લાક્ષણિકતા આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, x i. આદર સાથે 1 લી ઓર્ડર આંશિક વ્યુત્પન્ન x iસામાન્ય વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને એવું માનવામાં આવે છે કે સિવાય તમામ દલીલો x i, સતત મૂલ્યો રાખો. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ માટે, નોટેશન રજૂ કરવામાં આવે છે
આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ (સમાન દલીલોના કાર્યો તરીકે) બદલામાં, આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ પણ હોઈ શકે છે, આ બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે, વગેરે. વિવિધ દલીલોમાંથી લેવામાં આવેલા આવા ડેરિવેટિવ્સને મિશ્ર કહેવામાં આવે છે. સમાન ક્રમના સતત મિશ્ર ડેરિવેટિવ્સ ભિન્નતાના ક્રમ પર આધાર રાખતા નથી અને એકબીજાની સમાન હોય છે.
અન્ના ચુગૈનોવા
વ્યાખ્યા.કાર્ય \(y = f(x)\) બિંદુ \(x_0\) ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત થવા દો. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે થાય છે નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.
ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્નનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)
ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.
હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને ચોક્કસ બિંદુ \(x\) પર વ્યુત્પન્ન થવા દો:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.
ચાલો તેને ઘડીએ.
ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?
1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) ને વધારો આપો \(\Delta x\), નવા બિંદુ પર જાઓ \(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).
ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?
બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને વિભેદક બનવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.
આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.
તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.
વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર ખેંચી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
વધુ એક ઉદાહરણ. કાર્ય \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?
જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.
ભિન્નતાના નિયમો
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો C એ સ્થિર સંખ્યા છે અને f=f(x), g=g(x) અમુક વિભેદક વિધેયો છે, તો નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $(\large\bf ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન)
કાર્યને ધ્યાનમાં લો y=f(x), અંતરાલ પર ઉલ્લેખિત (a, b). દો x- અંતરાલનો કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુ (a, b), એ Δx- એક મનસ્વી સંખ્યા જેમ કે મૂલ્ય x+Δxપણ અંતરાલ માટે અનુસરે છે (a, b). આ નંબર Δxદલીલ વધારો કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા. કાર્ય વધારો y=f(x)બિંદુ પર x, દલીલના વધારાને અનુરૂપ Δx, ચાલો નંબર પર કૉલ કરીએ
Δy = f(x+Δx) - f(x).
અમે માનીએ છીએ કે Δx ≠ 0. આપેલ નિશ્ચિત બિંદુ પર વિચાર કરો xઆ બિંદુએ ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર સંબંધિત દલીલ ઇન્ક્રીમેન્ટ સાથે Δx
આ સંબંધને આપણે તફાવત સંબંધ કહીશું. કિંમત થી xઅમે નિશ્ચિત ગણીએ છીએ, તફાવત ગુણોત્તર એ દલીલનું કાર્ય છે Δx. આ કાર્ય તમામ દલીલ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે Δx, બિંદુના કેટલાક પર્યાપ્ત નાના પડોશ સાથે જોડાયેલા Δx=0, બિંદુ પોતે સિવાય Δx=0. આમ, અમને મર્યાદાના અસ્તિત્વના પ્રશ્ન પર વિચાર કરવાનો અધિકાર છે ઉલ્લેખિત કાર્યખાતે Δx → 0.
વ્યાખ્યા. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y=f(x)આપેલ નિશ્ચિત બિંદુ પર xપર મર્યાદા કહેવાય છે Δx → 0તફાવત ગુણોત્તર, એટલે કે
જો કે આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે.
હોદ્દો. y′(x)અથવા f′(x).
વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ: કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(x)આ પોઈન્ટ ઉપર xધરી વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન બળદઅને અનુરૂપ બિંદુ પર આ કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક:
f′(x 0) = \tgα.
વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ: સમયના સંદર્ભમાં માર્ગનું વ્યુત્પન્ન ગતિ સમાન છે રેક્ટીલીનિયર ચળવળપોઈન્ટ:
રેખાના સ્પર્શકનું સમીકરણ y=f(x)બિંદુ પર M 0 (x 0 ,y 0)ફોર્મ લે છે
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
અમુક બિંદુએ વળાંકનો સામાન્ય એ જ બિંદુ પરના સ્પર્શકને લંબ છે. જો f′(x 0)≠ 0, પછી સામાન્ય અને રેખાનું સમીકરણ y=f(x)બિંદુ પર M 0 (x 0 ,y 0)આ રીતે લખાયેલ છે:
કાર્યની ભિન્નતાનો ખ્યાલ
કાર્ય કરવા દો y=f(x)ચોક્કસ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (a, b), x- આ અંતરાલમાંથી અમુક નિશ્ચિત દલીલ મૂલ્ય, Δx- દલીલનો કોઈપણ વધારો જેમ કે દલીલનું મૂલ્ય x+Δx ∈ (a, b).
વ્યાખ્યા. કાર્ય y=f(x)આપેલ બિંદુ પર વિભેદક કહેવાય છે x, જો વધારો Δyબિંદુ પર આ કાર્ય x, દલીલના વધારાને અનુરૂપ Δx, ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે
Δy = A Δx +αΔx,
જ્યાં એ- કેટલીક સંખ્યા સ્વતંત્ર Δx, એ α - દલીલ કાર્ય Δx, જે અનંત છે Δx→ 0.
બે અનંત કાર્યોનું ઉત્પાદન હોવાથી αΔxઅનંત વધુ છે ઉચ્ચ ક્રમ, કેવી રીતે Δx(3 અનંત કાર્યોની મિલકત), પછી આપણે લખી શકીએ:
Δy = A Δx +o(Δx).
પ્રમેય. કાર્ય માટે ક્રમમાં y=f(x)આપેલ બિંદુ પર ભિન્નતા હતી x, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તે આ બિંદુએ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે. જેમાં A=f′(x), તે જ
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને સામાન્ય રીતે ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.
પ્રમેય. જો કાર્ય y=f(x) x, પછી તે આ બિંદુએ સતત છે.
ટિપ્પણી. કાર્યની સાતત્યથી y=f(x)આ પોઈન્ટ ઉપર x, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, કાર્યની ભિન્નતા અનુસરતી નથી f(x)આ પોઈન્ટ ઉપર. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y=|x|- એક બિંદુ પર સતત x=0, પરંતુ કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.
વિભેદક કાર્યનો ખ્યાલ
વ્યાખ્યા. કાર્ય વિભેદક y=f(x)આ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું ઉત્પાદન અને સ્વતંત્ર ચલના વધારાને કહેવામાં આવે છે x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
કાર્ય માટે y=xઅમે મેળવીએ છીએ dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, તે જ dx=Δx- સ્વતંત્ર ચલનો વિભેદક આ ચલની વૃદ્ધિ સમાન છે.
આમ, આપણે લખી શકીએ છીએ
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
વિભેદક dyઅને વધારો Δyકાર્યો y=f(x)આ પોઈન્ટ ઉપર x, બંને સમાન દલીલ વૃદ્ધિને અનુરૂપ Δx, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકબીજાના સમાન નથી.
વિભેદકનો ભૌમિતિક અર્થ: જ્યારે દલીલમાં વધારો કરવામાં આવે ત્યારે ફંક્શનનો તફાવત આ ફંક્શનના ગ્રાફના સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટના વધારા જેટલો હોય છે. Δx.
ભિન્નતાના નિયમો
પ્રમેય. જો દરેક કાર્યો u(x)અને v(x)આપેલ બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું x, પછી આ ફંક્શનનો સરવાળો, તફાવત, ઉત્પાદન અને ભાગાંક (ભાગણાક તે પ્રદાન કરે છે v(x)≠ 0) આ બિંદુએ પણ અલગ છે, અને સૂત્રો ધરાવે છે:
જટિલ કાર્યને ધ્યાનમાં લો y=f(φ(x))≡ F(x), ક્યાં y=f(u), u=φ(x). આ બાબતે uકહેવાય છે મધ્યવર્તી દલીલ, x - સ્વતંત્ર ચલ.
પ્રમેય. જો y=f(u)અને u=φ(x)તેમની દલીલોના વિભેદક કાર્યો છે, પછી જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y=f(φ(x))અસ્તિત્વમાં છે અને સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલ અને મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં આ કાર્યના ઉત્પાદનની સમાન છે, એટલે કે.
ટિપ્પણી. જટિલ કાર્ય માટે જે ત્રણ કાર્યોનું સુપરપોઝિશન છે y=F(f(φ(x))), તફાવત નિયમનું સ્વરૂપ છે
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
કાર્યો ક્યાં છે v=φ(x), u=f(v)અને y=F(u)- તેમની દલીલોના વિભેદક કાર્યો.
પ્રમેય. કાર્ય કરવા દો y=f(x)વધે છે (અથવા ઘટે છે) અને બિંદુના અમુક પડોશમાં સતત છે x 0. ચાલો, વધુમાં, આ ફંક્શનને દર્શાવેલ બિંદુ પર અલગ કરી શકાય x 0અને આ બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન f′(x 0) ≠ 0. પછી અનુરૂપ બિંદુ કેટલાક પડોશમાં y 0 =f(x 0)વિપરીત માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે y=f(x)કાર્ય x=f -1 (y), અને દર્શાવેલ વ્યસ્ત કાર્ય અનુરૂપ બિંદુ પર અલગ છે y 0 =f(x 0)અને આ બિંદુએ તેના વ્યુત્પન્ન માટે yસૂત્ર માન્ય છે
ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલ
પ્રથમ વિભેદક સ્વરૂપનું અવ્યવસ્થા
ચાલો જટિલ કાર્યના તફાવતને ધ્યાનમાં લઈએ. જો y=f(x), x=φ(t)- તેમની દલીલોના કાર્યો અલગ-અલગ છે, પછી ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન y=f(φ(t))સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત
y′ t = y′ x x′ t.
એ-પ્રાયોરી dy=y′t તા, પછી આપણને મળે છે
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
તેથી, અમે સાબિત કર્યું છે
ફંક્શનના પ્રથમ વિભેદક સ્વરૂપના અવ્યવસ્થાની મિલકત: જ્યારે દલીલ થાય છે xએક સ્વતંત્ર ચલ છે, અને તે કિસ્સામાં જ્યારે દલીલ xપોતે નવા ચલ, વિભેદકનું એક અલગ કાર્ય છે dyકાર્યો y=f(x)દલીલના વિભેદક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવેલ આ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે ડીએક્સ.
અંદાજિત ગણતરીઓમાં વિભેદકનો ઉપયોગ
અમે દર્શાવ્યું છે કે તફાવત dyકાર્યો y=f(x), સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વૃદ્ધિ સમાન નથી Δyઆ કાર્ય. જો કે, અનંત સુધીની ચોકસાઈ સાથે નાનું કાર્યકરતાં નાનીતાનો ઉચ્ચ ક્રમ Δx, અંદાજિત સમાનતા માન્ય છે
Δy ≈ dy.
ગુણોત્તરને આ સમાનતાની સમાનતાની સંબંધિત ભૂલ કહેવામાં આવે છે. કારણ કે Δy-dy=o(Δx), તો પછી આ સમાનતાની સંબંધિત ભૂલ ઘટવાની સાથે ઈચ્છા મુજબ નાની થઈ જાય છે |Δх|.
તે ધ્યાનમાં લેતા Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, અમને મળે છે f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxઅથવા
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
આ અંદાજિત સમાનતા ભૂલ સાથે પરવાનગી આપે છે o(Δx)કાર્ય બદલો f(x)બિંદુના નાના પડોશમાં x(એટલે કે નાના મૂલ્યો માટે Δx) રેખીય કાર્યદલીલ Δx, જમણી બાજુ પર ઊભા.
ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ
વ્યાખ્યા. ફંક્શનનું સેકન્ડ ડેરિવેટિવ (અથવા સેકન્ડ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ). y=f(x)તેના પ્રથમ વ્યુત્પન્નનું વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે.
ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ માટે નોટેશન y=f(x):
બીજા વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ. જો કાર્ય y=f(x)એક સીધી રેખામાં ભૌતિક બિંદુની ગતિના નિયમનું વર્ણન કરે છે, પછી બીજા વ્યુત્પન્ન f″(x)સમયની ક્ષણે ગતિશીલ બિંદુના પ્રવેગ સમાન x.
ત્રીજા અને ચોથા ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા. n th વ્યુત્પન્ન (અથવા વ્યુત્પન્ન n-th ઓર્ડર) કાર્યો y=f(x)તેનું વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે n-1મી વ્યુત્પન્ન:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
હોદ્દો: y''′, y IV, y વીવગેરે
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.
વ્યુત્પન્નને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નહીં) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓના ઉકેલના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક અને ભેદભાવના ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમો દેખાયા. . ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.
તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. નીચેનું અલ્ગોરિધમ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે યોગ્ય છે.
વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. વધુ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રાથમિક કાર્યોઅમે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ ભિન્નતાના નિયમોમાં છે. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.
ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમો પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.
ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "x" નું વ્યુત્પન્ન એક બરાબર છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે અલગ પાડીએ છીએ જેમાં બીજા શબ્દમાં સતત પરિબળ હોય છે તે વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી લઈ શકાય છે:
જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે વિશે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉભા થાય છે, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને તફાવતના સરળ નિયમોથી પોતાને પરિચિત કર્યા પછી સાફ કરવામાં આવે છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.
સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
| 1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે | |
| 2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે | |
| 3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. | |
| 4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન | |
| 5. વ્યુત્પન્ન વર્ગમૂળ | |
| 6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન | |
| 7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |
ભિન્નતાના નિયમો
| 1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2a. અચળ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન | |
| 3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
નિયમ 1.જો કાર્યો
અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એ જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે
અને
તે વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે.
પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે
નિયમ 2.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે
અને
તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.
કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:
કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:
નિયમ 3.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને
તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ
અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી
વાસ્તવિક સમસ્યાઓમાં ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન અને ભાગાંકને શોધતી વખતે, એક સાથે અનેક વિભેદક નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે, તેથી લેખમાં આ વ્યુત્પન્નતાઓ પર વધુ ઉદાહરણો છે."ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".
ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે કે, સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને સતત પરિબળના કિસ્સામાં, તે વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે ડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરવાના પ્રારંભિક તબક્કે થાય છે, પરંતુ સરેરાશ વિદ્યાર્થી ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, તે હવે આ ભૂલ કરતો નથી.
અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસ ઉદાહરણ 10 માં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે).
અન્ય સામાન્ય ભૂલ- સરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું યાંત્રિક ઉકેલ. એ કારણે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું સરળ કાર્યો.
રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .
જો તમે શક્તિઓ અને મૂળ સાથે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝના ઉકેલો શોધી રહ્યાં છો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે 
, પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.
જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે 
, પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું
ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:
આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમે નીચેના વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:
અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:
ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમારે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:
આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:
જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, 
, પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .
જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્યના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .
ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. ઉત્પાદનના તફાવતના નિયમ અનુસાર અને કોષ્ટક મૂલ્યવર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન આપણને મળે છે:
ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગણ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
અંશમાં અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરો.
