આ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોગ્રામ્સના મૂળભૂત સેટમાંથી કેલ્ક્યુલેટર હોઈ શકે છે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમવિન્ડોઝ. તેને લોન્ચ કરવાની લિંક OS ના મુખ્ય મેનૂમાં એકદમ છુપાયેલી છે - તેને "સ્ટાર્ટ" બટન પર ક્લિક કરીને ખોલો, પછી તેનો "પ્રોગ્રામ્સ" વિભાગ ખોલો, "સ્ટાન્ડર્ડ" પેટાવિભાગ પર જાઓ અને પછી "યુટિલિટીઝ" પર જાઓ. વિભાગ અને અંતે, "કેલ્ક્યુલેટર" આઇટમ પર ક્લિક કરો " માઉસનો ઉપયોગ કરવા અને મેનુઓ દ્વારા નેવિગેટ કરવાને બદલે, તમે કીબોર્ડ અને પ્રોગ્રામ લોન્ચ સંવાદનો ઉપયોગ કરી શકો છો - WIN + R કી સંયોજન દબાવો, calc લખો (આ કેલ્ક્યુલેટર એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલનું નામ છે) અને Enter દબાવો.
કેલ્ક્યુલેટર ઈન્ટરફેસને એડવાન્સ મોડ પર સ્વિચ કરો, જે તમને આ કરવા દે છે... ડિફૉલ્ટ રૂપે તે "સામાન્ય" દૃશ્યમાં ખુલે છે, પરંતુ તમારે "એન્જિનિયરિંગ" અથવા "" (તમે ઉપયોગ કરી રહ્યાં છો તે OSના સંસ્કરણ પર આધાર રાખીને) ની જરૂર છે. મેનૂમાં "જુઓ" વિભાગને વિસ્તૃત કરો અને યોગ્ય લાઇન પસંદ કરો.
તમે જેની કુદરતી સંખ્યાનું મૂલ્યાંકન કરવા માંગો છો તે દલીલ દાખલ કરો. આ કાં તો કીબોર્ડથી અથવા સ્ક્રીન પર કેલ્ક્યુલેટર ઇન્ટરફેસમાં અનુરૂપ બટનો પર ક્લિક કરીને કરી શકાય છે.
ln લેબલવાળા બટન પર ક્લિક કરો - પ્રોગ્રામ બેઝ e પર લઘુગણકની ગણતરી કરશે અને પરિણામ બતાવશે.
મૂલ્યની વૈકલ્પિક ગણતરી તરીકે -કેલ્ક્યુલેટરમાંથી એકનો ઉપયોગ કરો કુદરતી લઘુગણક. ઉદાહરણ તરીકે, પર સ્થિત એક http://calc.org.ua. તેનું ઈન્ટરફેસ અત્યંત સરળ છે - ત્યાં એક જ ઇનપુટ ફીલ્ડ છે જ્યાં તમારે સંખ્યાનું મૂલ્ય, લોગરીધમ કે જેની તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે તે લખવાની જરૂર છે. બટનો વચ્ચે, ln કહે છે તે શોધો અને ક્લિક કરો. આ કેલ્ક્યુલેટરની સ્ક્રિપ્ટને સર્વર પર ડેટા મોકલવાની અને પ્રતિસાદની જરૂર નથી, તેથી તમને ગણતરીનું પરિણામ લગભગ તરત જ પ્રાપ્ત થશે. અપૂર્ણાંક અને વચ્ચેનું વિભાજક એ એકમાત્ર લક્ષણ છે જેને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ આખો ભાગદાખલ કરેલ નંબરમાં અહીં એક બિંદુ હોવું આવશ્યક છે, a .
શબ્દ " લઘુગણક"બેમાંથી ઉતરી ગ્રીક શબ્દો, જેમાંથી એક "સંખ્યા" અને બીજો "ગુણોત્તર" માટે વપરાય છે. તે ચલ જથ્થા (ઘાતાંક) ની ગણતરી કરવાની ગાણિતિક ક્રિયા સૂચવે છે કે જેમાં નિશાની હેઠળ દર્શાવેલ સંખ્યા મેળવવા માટે સતત મૂલ્ય (આધાર) વધારવો આવશ્યક છે. લઘુગણકએ. જો આધાર ગાણિતિક સ્થિરાંક જેટલો હોય, જેને "e" કહેવાય છે લઘુગણક"કુદરતી" કહેવાય છે.
તમને જરૂર પડશે
- ઈન્ટરનેટ એક્સેસ, માઈક્રોસોફ્ટ ઓફિસ એક્સેલ અથવા કેલ્ક્યુલેટર.
સૂચનાઓ
ઇન્ટરનેટ પર ઉપલબ્ધ ઘણા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો - કુદરતી a ની ગણતરી કરવાની આ કદાચ એક સરળ રીત છે. તમારે યોગ્ય સેવા શોધવાની જરૂર નથી, કારણ કે ઘણી શોધ એન્જિનઅને પોતાની પાસે બિલ્ટ-ઇન કેલ્ક્યુલેટર છે, જેની સાથે કામ કરવા માટે એકદમ યોગ્ય છે લઘુગણકઅમી ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી મોટા ઓનલાઈન સર્ચ એન્જિન - ગૂગલના મુખ્ય પૃષ્ઠ પર જાઓ. મૂલ્યો દાખલ કરવા અથવા કાર્યો પસંદ કરવા માટે અહીં કોઈ બટનની જરૂર નથી, ફક્ત વિનંતી ઇનપુટ ફીલ્ડમાં ઇચ્છિત એક લખો ગાણિતિક કામગીરી. ચાલો ગણતરી કરીએ લઘુગણકઅને આધાર "e" માં નંબર 457, ln 457 દાખલ કરો - સર્વરને વિનંતી મોકલવા માટે બટન દબાવ્યા વિના પણ આઠ દશાંશ સ્થાનો (6.12468339) ની ચોકસાઈ સાથે દર્શાવવા માટે આ Google માટે પૂરતું હશે.
જો તમારે કુદરતી મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય તો યોગ્ય બિલ્ટ-ઇન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો લઘુગણકઅને લોકપ્રિય સ્પ્રેડશીટ એડિટર Microsoft Office Excel માં ડેટા સાથે કામ કરતી વખતે થાય છે. આ ફંક્શનને અહીં સામાન્ય સંકેતનો ઉપયોગ કરીને કહેવામાં આવે છે લઘુગણકઅને અપરકેસમાં - LN. કોષ પસંદ કરો જેમાં ગણતરી પરિણામ પ્રદર્શિત થવું જોઈએ અને સમાન ચિહ્ન દાખલ કરો - આ રીતે આ સ્પ્રેડશીટ સંપાદકમાં મુખ્ય મેનૂના "બધા પ્રોગ્રામ્સ" વિભાગના "સ્ટાન્ડર્ડ" પેટાવિભાગમાં સમાવિષ્ટ કોષોમાં રેકોર્ડ્સ શરૂ થવું જોઈએ. Alt + 2 દબાવીને કેલ્ક્યુલેટરને વધુ કાર્યાત્મક મોડ પર સ્વિચ કરો. પછી મૂલ્ય દાખલ કરો, કુદરતી લઘુગણકજેની તમે ગણતરી કરવા માંગો છો, અને પ્રોગ્રામ ઈન્ટરફેસમાં ln દ્વારા દર્શાવેલ બટન પર ક્લિક કરો. એપ્લિકેશન ગણતરી કરશે અને પરિણામ પ્રદર્શિત કરશે.
વિષય પર વિડિઓ
બિલકુલ ખરાબ તો નથી ને? જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમને એક લાંબી, મૂંઝવણભરી વ્યાખ્યા આપવા માટે શબ્દો શોધે છે, ત્યારે ચાલો આ સરળ અને સ્પષ્ટ શબ્દોને નજીકથી જોઈએ.
e નો અર્થ વૃદ્ધિ થાય છે
સંખ્યા e નો અર્થ છે સતત વૃદ્ધિ. આપણે અગાઉના ઉદાહરણમાં જોયું તેમ, e x આપણને વ્યાજ અને સમયને લિંક કરવાની મંજૂરી આપે છે: 100% વૃદ્ધિ પર 3 વર્ષ 300% પર 1 વર્ષ સમાન છે, "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ" ધારીને.
તમે કોઈપણ ટકાવારી અને સમય મૂલ્યોને બદલી શકો છો (4 વર્ષ માટે 50%), પરંતુ સગવડ માટે ટકાવારી 100% તરીકે સેટ કરવી વધુ સારું છે (તે 2 વર્ષ માટે 100% થાય છે). 100% પર જઈને, અમે ફક્ત સમય ઘટક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકીએ છીએ:
e x = e ટકા * સમય = e 1.0 * સમય = e સમય
દેખીતી રીતે e x નો અર્થ છે:
- સમયના x એકમો પછી મારું યોગદાન કેટલું વધશે (100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).
- ઉદાહરણ તરીકે, 3 સમયના અંતરાલ પછી મને e 3 = 20.08 ગણી વધુ "વસ્તુઓ" પ્રાપ્ત થશે.
e x એ સ્કેલિંગ પરિબળ છે જે દર્શાવે છે કે x સમયની માત્રામાં આપણે કયા સ્તરે વધીશું.
કુદરતી લઘુગણક એટલે સમય
પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ e નું વ્યસ્ત છે, જે વિરુદ્ધ માટેનો ફેન્સી શબ્દ છે. quirks બોલતા; લેટિનમાં તેને લોગરીથમસ નેચરલી કહેવામાં આવે છે, તેથી સંક્ષેપ ln.
અને આ વ્યુત્ક્રમ અથવા વિરુદ્ધનો અર્થ શું છે?
- e x અમને સમયને બદલવા અને વૃદ્ધિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.
- ln(x) અમને વૃદ્ધિ અથવા આવક લેવા અને તેને જનરેટ કરવામાં જે સમય લાગે છે તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
- e 3 બરાબર 20.08. ત્રણ સમયગાળા પછી, અમે જે શરૂઆત કરી છે તેના કરતાં અમારી પાસે 20.08 ગણા વધુ હશે.
- ln(08/20) અંદાજે 3 હશે. જો તમને 20.08 ગણા વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમારે 3 સમય અવધિની જરૂર પડશે (ફરીથી, 100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).
હજુ વાંચો છો? પ્રાકૃતિક લઘુગણક ઇચ્છિત સ્તર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી સમય દર્શાવે છે.
આ બિન-માનક લઘુગણક ગણતરી
શું તમે લઘુગણકમાંથી પસાર થયા છો - તે વિચિત્ર જીવો છે. તેઓ ગુણાકારને વધારામાં કેવી રીતે ફેરવી શક્યા? બાદબાકીમાં ભાગલા વિશે શું? ચાલો જોઈએ.
ln(1) બરાબર શું છે? સાહજિક રીતે, પ્રશ્ન એ છે: મારી પાસે જે છે તેના કરતાં 1x વધુ મેળવવા માટે મારે કેટલો સમય રાહ જોવી જોઈએ?
શૂન્ય. શૂન્ય. બિલકુલ નહિ. તમારી પાસે પહેલેથી જ એક વાર છે. લેવલ 1 થી લેવલ 1 માં જવામાં વધારે સમય લાગતો નથી.
- ln(1) = 0
ઠીક છે, અપૂર્ણાંક મૂલ્ય વિશે શું? ઉપલબ્ધ જથ્થાનો 1/2 બાકી રહે તે માટે અમને કેટલો સમય લાગશે? આપણે જાણીએ છીએ કે 100% સતત વૃદ્ધિ સાથે, ln(2) નો અર્થ એ થાય છે કે તે બમણો થવામાં જે સમય લે છે. જો આપણે ચાલો સમય પાછો ફેરવીએ(એટલે કે, નકારાત્મક સમયની રાહ જુઓ), પછી આપણી પાસે જે છે તેનો અડધો ભાગ આપણને મળશે.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
તાર્કિક, અધિકાર? જો આપણે પાછા (સમય પાછળ) 0.693 સેકન્ડ પર જઈશું, તો આપણને ઉપલબ્ધ અડધી રકમ મળશે. સામાન્ય રીતે, તમે અપૂર્ણાંકને ફેરવી શકો છો અને નકારાત્મક મૂલ્ય લઈ શકો છો: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે 1.09 વખત સમય પર પાછા જઈશું, તો આપણે વર્તમાન સંખ્યાના ત્રીજા ભાગને જ શોધીશું.
ઠીક છે, નકારાત્મક સંખ્યાના લઘુગણક વિશે શું? 1 થી -3 સુધીના બેક્ટેરિયાની વસાહતને "વધવા" માટે કેટલો સમય લાગે છે?
આ અશક્ય છે! તમે નકારાત્મક બેક્ટેરિયાની ગણતરી મેળવી શકતા નથી, શું તમે? તમે શૂન્યની મહત્તમ (એર... ન્યુનત્તમ) મેળવી શકો છો, પરંતુ આ નાના ક્રિટર્સમાંથી તમે નકારાત્મક સંખ્યા મેળવી શકો તેવો કોઈ રસ્તો નથી. IN નકારાત્મક સંખ્યાબેક્ટેરિયા માત્ર અર્થમાં નથી.
- ln(નકારાત્મક સંખ્યા) = અવ્યાખ્યાયિત
"અવ્યાખ્યાયિત" નો અર્થ એ છે કે નકારાત્મક મૂલ્ય મેળવવા માટે રાહ જોવી પડે તેટલો સમય નથી.
લોગરીધમિક ગુણાકાર માત્ર આનંદી છે
ચાર ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લાગશે? અલબત્ત, તમે ફક્ત ln(4) લઈ શકો છો. પરંતુ આ ખૂબ સરળ છે, આપણે બીજી રીતે જઈશું.
તમે ચારગણી વૃદ્ધિને બમણી (ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) અને પછી ફરીથી બમણી (બીજા ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) તરીકે વિચારી શકો છો:
- 4 ગણો વધવાનો સમય = ln(4) = બમણો થવાનો સમય અને પછી ફરી બમણો = ln(2) + ln(2)
રસપ્રદ. કોઈપણ વૃદ્ધિ દર, કહો કે 20, 10 ગણો વધારો થયા પછી બમણો થતો ગણી શકાય. અથવા 4 ગણો વધારો, અને પછી 5 ગણો. અથવા ત્રણ ગણો અને પછી 6.666 ગણો વધારો. પેટર્ન જુઓ?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A ગુણ્યા B નો લઘુગણક log(A) + log(B) છે. જ્યારે વૃદ્ધિની દ્રષ્ટિએ જોવામાં આવે ત્યારે આ સંબંધ તરત જ અર્થપૂર્ણ બને છે.
જો તમને 30x વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમે એક બેઠકમાં ln(30) રાહ જોઈ શકો છો, અથવા ત્રણ ગણા માટે ln(3) અને પછી 10x માટે બીજી ln(10) રાહ જોઈ શકો છો. અંતિમ પરિણામ એ જ છે, તેથી અલબત્ત સમય સતત રહેવો જોઈએ (અને તે થાય છે).
વિભાજન વિશે શું? ખાસ કરીને, ln(5/3) નો અર્થ છે: તે 5 ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લેશે અને પછી તેમાંથી 1/3 મેળવશે?
સરસ, 5 ગણી વૃદ્ધિ ln(5) છે. 1/3 ગણો વધારો સમયના -ln(3) એકમો લેશે. તેથી,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
આનો અર્થ છે: તેને 5 ગણો વધવા દો, અને પછી "સમયસર પાછા જાઓ" ત્યાં સુધી કે જ્યાં તે રકમનો માત્ર ત્રીજો ભાગ જ રહે છે, તેથી તમને 5/3 વૃદ્ધિ મળશે. સામાન્ય રીતે તે બહાર વળે છે
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
હું આશા રાખું છું કે લઘુગણકનું વિચિત્ર અંકગણિત તમારા માટે અર્થપૂર્ણ થવાનું શરૂ કરી રહ્યું છે: વૃદ્ધિ દરનો ગુણાકાર વૃદ્ધિના સમયના એકમોને ઉમેરવાનું બને છે, અને ભાગાકાર કરવાથી સમયના એકમો બાદબાકી થાય છે. નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તેમને સમજવાનો પ્રયાસ કરો.
મનસ્વી વૃદ્ધિ માટે કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવો
સારું, અલબત્ત," તમે કહો છો, "જો વૃદ્ધિ 100% હોય તો આ બધું સારું છે, પરંતુ મને જે 5% મળે છે તેનું શું?"
કોઈ સમસ્યા નથી. આપણે ln() સાથે જે "સમય"ની ગણતરી કરીએ છીએ તે વાસ્તવમાં વ્યાજ દર અને સમયનું સંયોજન છે, e x સમીકરણમાંથી સમાન X. અમે માત્ર સરળતા માટે ટકાવારી 100% પર સેટ કરવાનું નક્કી કર્યું છે, પરંતુ અમે કોઈપણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે સ્વતંત્ર છીએ.
ચાલો કહીએ કે આપણે 30x વૃદ્ધિ હાંસલ કરવા માંગીએ છીએ: ln(30) લો અને 3.4 મેળવો આનો અર્થ છે:
- e x = ઊંચાઈ
- e 3.4 = 30
દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો અર્થ થાય છે "3.4 વર્ષમાં 100% વળતર 30x વૃદ્ધિ આપે છે." આ સમીકરણને આપણે નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ.
- e x = e દર*સમય
- e 100% * 3.4 વર્ષ = 30
જ્યાં સુધી શરત * સમય 3.4 રહે ત્યાં સુધી આપણે “શરત” અને “સમય” ના મૂલ્યો બદલી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 30x વૃદ્ધિમાં રસ ધરાવીએ, તો આપણે 5%ના વ્યાજ દરે કેટલો સમય રાહ જોવી પડશે?
- ln(30) = 3.4
- દર * સમય = 3.4
- 0.05 * સમય = 3.4
- સમય = 3.4 / 0.05 = 68 વર્ષ
હું આ પ્રમાણે કારણ આપું છું: "ln(30) = 3.4, તેથી 100% વૃદ્ધિ પર તે 3.4 વર્ષ લેશે. જો હું વૃદ્ધિ દર બમણો કરીશ, તો જરૂરી સમય અડધો થઈ જશે."
- 3.4 વર્ષ માટે 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 1.7 વર્ષમાં 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 6.8 વર્ષ માટે 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 68 વર્ષથી 5% = .05 * 68 = 3.4.
મહાન, અધિકાર? કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કોઈપણ વ્યાજ દર અને સમય સાથે થઈ શકે છે કારણ કે તેનું ઉત્પાદન સ્થિર રહે છે. તમે ગમે તેટલું ચલ મૂલ્યો ખસેડી શકો છો.
સરસ ઉદાહરણ: સિત્તેરનો નિયમ
સિત્તેરનો નિયમ એ એક ગાણિતિક ટેકનિક છે જે તમને તમારા પૈસા બમણા થવામાં કેટલો સમય લાગશે તેનો અંદાજ લગાવવા દે છે. હવે આપણે તેને અનુમાનિત કરીશું (હા!), અને વધુમાં, આપણે તેના સારને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું.
વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિના 100% વ્યાજ પર તમારા નાણાંને બમણા કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?
અરે. અમે સતત વૃદ્ધિના કિસ્સામાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કર્યો, અને હવે તમે વાર્ષિક સંયોજન વિશે વાત કરી રહ્યા છો? શું આ ફોર્મ્યુલા આવા કેસ માટે અયોગ્ય બની જશે? હા, તે થશે, પરંતુ 5%, 6% અથવા તો 15% જેવા વાસ્તવિક વ્યાજ દરો માટે, વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ અને સતત વૃદ્ધિ વચ્ચેનો તફાવત નાનો હશે. તેથી રફ અંદાજ કામ કરે છે, અમ, આશરે, તેથી અમે ડોળ કરીશું કે અમારી પાસે સંપૂર્ણ રીતે સતત ઉપાર્જન છે.
હવે પ્રશ્ન સરળ છે: તમે 100% વૃદ્ધિ સાથે કેટલી ઝડપથી બમણી કરી શકો છો? ln(2) = 0.693. 100% ના સતત વધારા સાથે અમારી રકમ બમણી કરવા માટે 0.693 એકમ સમય (અમારા કિસ્સામાં વર્ષો) લે છે.
તેથી, જો વ્યાજ દર 100% ન હોય, પરંતુ 5% અથવા 10% કહો તો શું?
સરળતાથી! શરત * સમય = 0.693 હોવાથી, અમે રકમ બમણી કરીશું:
- દર * સમય = 0.693
- સમય = 0.693 / શરત
તે તારણ આપે છે કે જો વૃદ્ધિ 10% છે, તો તેને બમણી થવામાં 0.693 / 0.10 = 6.93 વર્ષ લાગશે.
ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો બંને બાજુઓને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ, પછી આપણે "0.10" ને બદલે "10" કહી શકીએ:
- ડબલ થવાનો સમય = 69.3 / શરત, જ્યાં શરત ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
હવે 5%, 69.3/5 = 13.86 વર્ષના દરે બમણું કરવાનો સમય છે. જો કે, 69.3 એ સૌથી અનુકૂળ ડિવિડન્ડ નથી. ચાલો નજીકની સંખ્યા, 72 પસંદ કરીએ, જે 2, 3, 4, 6, 8 અને અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે અનુકૂળ છે.
- ડબલ કરવાનો સમય = 72 / શરત
જે સિત્તેરનો નિયમ છે. બધું આવરી લેવામાં આવ્યું છે.
જો તમારે ત્રણ ગણો કરવા માટે સમય શોધવાની જરૂર હોય, તો તમે ln(3) ~ 109.8 નો ઉપયોગ કરી શકો છો અને મેળવી શકો છો
- ટ્રિપલ કરવાનો સમય = 110 / શરત
બીજું શું છે ઉપયોગી નિયમ. "72 નો નિયમ" વ્યાજ દરોમાં વૃદ્ધિ, વસ્તી વૃદ્ધિ, બેક્ટેરિયલ સંસ્કૃતિ અને કોઈપણ વસ્તુ જે ઝડપથી વધે છે તેને લાગુ પડે છે.
આગળ શું છે?
હું આશા રાખું છું કે કુદરતી લઘુગણક હવે તમારા માટે અર્થપૂર્ણ છે - તે કોઈપણ સંખ્યાને ઝડપથી વધવા માટે જે સમય લે છે તે દર્શાવે છે. મને લાગે છે કે તેને કુદરતી કહેવામાં આવે છે કારણ કે e વૃદ્ધિનું સાર્વત્રિક માપ છે, તેથી ln ને તે વધવા માટે કેટલો સમય લે છે તે નક્કી કરવાની સાર્વત્રિક રીત ગણી શકાય.
જ્યારે પણ તમે ln(x) જુઓ છો, ત્યારે યાદ રાખો કે "X ગણો વધવા માટે જે સમય લાગે છે." આગામી લેખમાં હું e અને lnનું સંયોજનમાં વર્ણન કરીશ જેથી હવામાં ગણિતની તાજી સુગંધ ભરાઈ જાય.
પરિશિષ્ટ: e નું કુદરતી લઘુગણક
ઝડપી ક્વિઝ: ln(e) શું છે?
- ગણિતનો રોબોટ કહેશે: કારણ કે તેઓ એકબીજાના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સ્પષ્ટ છે કે ln(e) = 1.
- સમજનાર વ્યક્તિ: ln(e) એ "e" ગણો (લગભગ 2.718) વધવા માટે કેટલી વાર લાગે છે તે સંખ્યા છે. જો કે, સંખ્યા e પોતે 1 ના પરિબળ દ્વારા વૃદ્ધિનું માપ છે, તેથી ln(e) = 1.
સ્પષ્ટ વિચારો.
સપ્ટેમ્બર 9, 2013ઘણીવાર નંબર લો ઇ = 2,718281828 . દ્વારા લઘુગણક આ આધારકહેવાય છે કુદરતી. કુદરતી લઘુગણક સાથે ગણતરીઓ કરતી વખતે, ચિહ્ન સાથે કામ કરવું સામાન્ય છે ln, નહીં લોગ; જ્યારે નંબર 2,718281828 , આધાર વ્યાખ્યાયિત, સૂચવવામાં નથી.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફોર્મ્યુલેશન આના જેવું દેખાશે: કુદરતી લઘુગણકસંખ્યાઓ એક્સ- આ એક ઘાતાંક છે જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે ઇમેળવવા માટે x.
તેથી, ln(7,389...)= 2, ત્યારથી ઇ 2 =7,389... . સંખ્યાનો જ કુદરતી લઘુગણક ઇ= 1 કારણ કે ઇ 1 =ઇ, અને એકતાનો કુદરતી લઘુગણક શૂન્ય છે, ત્યારથી ઇ 0 = 1.
નંબર પોતે ઇમોનોટોન બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરે છે
તેની ગણતરી કરી ઇ = 2,7182818284... .
ઘણી વાર, મેમરીમાં સંખ્યાને ઠીક કરવા માટે, જરૂરી સંખ્યાના અંકો કેટલીક બાકી તારીખ સાથે સંકળાયેલા હોય છે. સંખ્યાના પ્રથમ નવ અંકોને યાદ રાખવાની ઝડપ ઇજો તમે જોશો કે 1828 એ લીઓ ટોલ્સટોયના જન્મનું વર્ષ છે તો દશાંશ બિંદુ પછી વધારો થશે!
આજે ત્યાં પૂરતા છે સંપૂર્ણ કોષ્ટકોકુદરતી લઘુગણક.
કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ(કાર્યો y =ln x) ઘાતાંક ગ્રાફ સીધી રેખાની અરીસાની છબી હોવાનું પરિણામ છે y = xઅને ફોર્મ ધરાવે છે:
દરેક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે કુદરતી લઘુગણક શોધી શકાય છે aવળાંક હેઠળના વિસ્તાર તરીકે y = 1/xથી 1 થી a.
આ ફોર્મ્યુલેશનની પ્રાથમિક પ્રકૃતિ, જે અન્ય ઘણા સૂત્રો સાથે સુસંગત છે જેમાં કુદરતી લઘુગણક સામેલ છે, તે "કુદરતી" નામની રચનાનું કારણ હતું.
જો તમે વિશ્લેષણ કરો કુદરતી લઘુગણક, વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક કાર્ય તરીકે, પછી તે કાર્ય કરે છે વ્યસ્ત કાર્યઘાતાંકીય કાર્ય માટે, જે ઓળખમાં ઘટાડો કરે છે:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
તમામ લઘુગણક સાથે સામ્યતા દ્વારા, કુદરતી લઘુગણક ગુણાકારને વધારામાં, વિભાજનને બાદબાકીમાં રૂપાંતરિત કરે છે:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
લઘુગણક દરેક હકારાત્મક આધાર માટે શોધી શકાય છે જે એક સમાન નથી, માત્ર માટે જ નહીં ઇ, પરંતુ અન્ય પાયા માટે લઘુગણક માત્ર એક સ્થિર પરિબળ દ્વારા કુદરતી લઘુગણકથી અલગ પડે છે, અને સામાન્ય રીતે પ્રાકૃતિક લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિશ્લેષણ કર્યા કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ,આપણે શોધીએ છીએ કે તે ચલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે અસ્તિત્વમાં છે x. તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે.
મુ x → 0 કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત છે ( -∞ .એટ x → +∞ કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત છે ( + ∞ ). મોટા પ્રમાણમાં xલઘુગણક ખૂબ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ પાવર કાર્ય xaહકારાત્મક ઘાતાંક સાથે aલઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે. પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી.
ઉપયોગ કુદરતી લઘુગણકઉચ્ચ ગણિત પાસ કરતી વખતે ખૂબ જ તર્કસંગત. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ એ સમીકરણોના જવાબ શોધવા માટે અનુકૂળ છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંક તરીકે દેખાય છે. ગણતરીમાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે ગાણિતિક સૂત્રો. આધાર માટે લઘુગણક ઇ નોંધપાત્ર સંખ્યામાં ભૌતિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં હાજર છે અને વ્યક્તિગત રાસાયણિક, જૈવિક અને અન્ય પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક વર્ણનમાં કુદરતી રીતે શામેલ છે. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ જાણીતી અર્ધ-જીવન માટે ક્ષીણ સ્થિરાંકની ગણતરી કરવા અથવા કિરણોત્સર્ગીતાની સમસ્યાઓના ઉકેલમાં સડો સમયની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. તેઓ પ્રદર્શન કરે છે અગ્રણી ભૂમિકાગણિત અને પ્રાયોગિક વિજ્ઞાનની ઘણી શાખાઓમાં, તેનો ઉપયોગ ફાઇનાન્સ ક્ષેત્રે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી સહિત મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે.
લઘુગણકઆપેલ સંખ્યાને ઘાતક કહેવાય છે કે જેના પર બીજી સંખ્યા ઊભી કરવી જોઈએ, કહેવાય છે આધારઆ નંબર મેળવવા માટે લઘુગણક. ઉદાહરણ તરીકે, 100 નો આધાર 10 લઘુગણક 2 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, 100 (10 2 = 100) મેળવવા માટે 10 નો વર્ગ હોવો જોઈએ. જો n- આપેલ નંબર, b- આધાર અને l- લોગરીધમ, પછી b l = n. નંબર nબેઝ એન્ટિલોગરિધમ પણ કહેવાય છે bસંખ્યાઓ l. ઉદાહરણ તરીકે, 2 થી બેઝ 10 ની એન્ટિલોગરિધમ 100 ની બરાબર છે. આને સંબંધોના લોગના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. b n = lઅને એન્ટિલોગ b l = n.
લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો:
એક સિવાયની કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યા લઘુગણક માટે આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે, પરંતુ કમનસીબે તે તારણ આપે છે કે જો bઅને nતર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, તો પછી ભાગ્યે જ કિસ્સાઓમાં આવી તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે l, શું b l = n. જો કે, અતાર્કિક સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે l, ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે 10 l= 2; આ એક અતાર્કિક સંખ્યા છે lકોઈપણ જરૂરી ચોકસાઈ સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ. તે આપેલ ઉદાહરણમાં તે તારણ આપે છે lલગભગ 0.3010 ની બરાબર છે, અને 2 ના આધાર 10 લઘુગણકનો આ અંદાજ દશાંશ લઘુગણકના ચાર-અંકના કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે. બેઝ 10 લોગરીધમ્સ (અથવા બેઝ 10 લોગરીધમ્સ) એટલો સામાન્ય રીતે ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે કે તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્યલોગરીધમ અને લોગરીધમ આધારના સ્પષ્ટ સંકેતને બાદ કરતાં, log2 = 0.3010 અથવા log2 = 0.3010 તરીકે લખાયેલ છે. આધાર માટે લઘુગણક ઇ, લગભગ 2.71828 ની બરાબર એક ગુણાતીત સંખ્યા કહેવાય છે કુદરતીલઘુગણક તેઓ મુખ્યત્વે કામમાં જોવા મળે છે ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને વિવિધ વિજ્ઞાનમાં તેનો ઉપયોગ. પ્રાકૃતિક લઘુગણક પણ આધારને સ્પષ્ટપણે દર્શાવ્યા વિના લખવામાં આવે છે, પરંતુ વિશિષ્ટ સંકેત ln નો ઉપયોગ કરીને: ઉદાહરણ તરીકે, ln2 = 0.6931, કારણ કે ઇ 0,6931 = 2.
સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને.
સંખ્યાનો નિયમિત લઘુગણક એ એક ઘાતાંક છે જેના પર આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે 10 વધારવો આવશ્યક છે. 10 0 = 1, 10 1 = 10 અને 10 2 = 100 હોવાથી, આપણે તરત જ તે log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, વગેરે મેળવીએ છીએ. પૂર્ણાંક શક્તિઓ વધારવા માટે 10. તેવી જ રીતે, 10 –1 = 0.1, 10 –2 = 0.01 અને તેથી log0.1 = –1, log0.01 = –2, વગેરે. તમામ નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓ માટે 10. બાકીની સંખ્યાઓના સામાન્ય લઘુગણક 10 ની નજીકની પૂર્ણાંક શક્તિઓના લઘુગણક વચ્ચે બંધાયેલ છે; log2 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, log20 1 અને 2 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, અને log0.2 -1 અને 0 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ. આમ, લોગરિધમ બે ભાગો ધરાવે છે, એક પૂર્ણાંક અને દશાંશ, 0 અને 1 વચ્ચે બંધાયેલ છે. પૂર્ણાંક ભાગ કહેવાય છે લાક્ષણિકતાલઘુગણક અને સંખ્યા દ્વારા જ નક્કી થાય છે, અપૂર્ણાંક ભાગકહેવાય છે મન્ટિસાઅને કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે. ઉપરાંત, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 નો લઘુગણક 0.3010 છે, તેથી log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. તેવી જ રીતે, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. બાદબાકી પછી, આપણને log0.2 = – 0.6990 મળે છે. જો કે, લોગ0.2 ને 0.3010 – 1 અથવા 9.3010 – 10 તરીકે રજૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે; ઘડવામાં આવી શકે છે અને સામાન્ય નિયમ: આપેલ સંખ્યામાંથી 10 ની ઘાત વડે ગુણાકાર કરીને મેળવેલી બધી સંખ્યાઓ સમાન મેન્ટિસા ધરાવે છે, જે આપેલ સંખ્યાના મેન્ટિસા જેટલી હોય છે. મોટા ભાગના કોષ્ટકો 1 થી 10 ની રેન્જમાં સંખ્યાઓના મન્ટિસા દર્શાવે છે, કારણ કે કોષ્ટકમાં આપેલ સંખ્યાઓમાંથી અન્ય તમામ સંખ્યાઓના મન્ટિસાસ મેળવી શકાય છે.
મોટા ભાગના કોષ્ટકો ચાર અથવા પાંચ દશાંશ સ્થાનો સાથે લઘુગણક આપે છે, જો કે સાત-અંકના કોષ્ટકો અને તેનાથી પણ વધુ દશાંશ સ્થાનો સાથે કોષ્ટકો છે. આવા કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવાની સૌથી સરળ રીત ઉદાહરણો સાથે છે. log3.59 શોધવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે નંબર 3.59 એ 10 0 અને 10 1 ની વચ્ચે છે, તેથી તેની લાક્ષણિકતા 0 છે. અમને કોષ્ટકમાં 35 નંબર (ડાબી બાજુએ) મળે છે અને પંક્તિ સાથે આગળ વધીએ છીએ. કૉલમ કે જેની ટોચ પર 9 નંબર છે; આ કૉલમ અને પંક્તિ 35 નું આંતરછેદ 5551 છે, તેથી log3.59 = 0.5551. ચાર સાથેની સંખ્યાની મન્ટિસા શોધવા માટે નોંધપાત્ર આંકડા, પ્રક્ષેપનો આશરો લેવો જરૂરી છે. કેટલાક કોષ્ટકોમાં, કોષ્ટકોના દરેક પૃષ્ઠની જમણી બાજુએ છેલ્લી નવ કૉલમમાં આપેલા પ્રમાણ દ્વારા પ્રક્ષેપને સરળ બનાવવામાં આવે છે. ચાલો હવે log736.4 શોધીએ; 736.4 નંબર 10 2 અને 10 3 ની વચ્ચે આવેલો છે, તેથી તેના લઘુગણકની લાક્ષણિકતા 2 છે. કોષ્ટકમાં આપણે ડાબી બાજુએ એક પંક્તિ શોધીએ છીએ જેમાં 73 છે અને કૉલમ 6 છે. આ પંક્તિ અને આ કૉલમના આંતરછેદ પર છે. નંબર 8669. વચ્ચે રેખીય ભાગોઅમને કૉલમ 4 મળે છે. લાઇન 73 અને કૉલમ 4 ના આંતરછેદ પર નંબર 2 છે. 2 માં 8669 ઉમેરીને, અમને મન્ટિસા મળે છે - તે 8671 ની બરાબર છે. આમ, log736.4 = 2.8671.
કુદરતી લઘુગણક.
કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો જેવા જ છે. બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે કુદરતી લઘુગણકનો પૂર્ણાંક ભાગ દશાંશ બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરવામાં નોંધપાત્ર નથી, અને તેથી મન્ટિસા અને લાક્ષણિકતા વચ્ચેનો તફાવત ખાસ ભૂમિકા ભજવતો નથી. સંખ્યા 5.432 ના કુદરતી લઘુગણક; 54.32 અને 543.2 અનુક્રમે 1.6923 ની બરાબર છે; 3.9949 અને 6.2975. જો આપણે તેમની વચ્ચેના તફાવતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આ લઘુગણક વચ્ચેનો સંબંધ સ્પષ્ટ થઈ જશે: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; છેલ્લો નંબર 10 નંબરના પ્રાકૃતિક લઘુગણક કરતાં વધુ કંઈ નથી (આના જેવું લખાયેલું છે: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; છેલ્લો નંબર 2ln10 છે. પરંતુ 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432. આમ, આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણક દ્વારા aતમે સંખ્યાના ઉત્પાદનોની સમાન સંખ્યાઓના કુદરતી લઘુગણક શોધી શકો છો aકોઈપણ ડિગ્રી માટે nસંખ્યા 10 જો ln a ln10 વડે ગુણાકાર ઉમેરો n, એટલે કે ln( aґ10n) = લોગ a + n ln10 = ln a + 2,3026n. ઉદાહરણ તરીકે, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. તેથી, પ્રાકૃતિક લઘુગણકના કોષ્ટકો, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોની જેમ, સામાન્ય રીતે 1 થી 10 સુધીની સંખ્યાઓના માત્ર લઘુગણક ધરાવે છે. કુદરતી લઘુગણકની સિસ્ટમમાં, વ્યક્તિ એન્ટિલોગરિધમ્સ વિશે વાત કરી શકે છે, પરંતુ વધુ વખત તેઓ ઘાતાંકીય કાર્ય અથવા ઘાતાંક વિશે વાત કરે છે. જો x= લોગ y, તે y = e x, અને yના ઘાત કહેવાય છે x(ટાઇપોગ્રાફિક સગવડ માટે, તેઓ વારંવાર લખે છે y= સમાપ્તિ x). ઘાતાંક સંખ્યાના એન્ટિલોગરિધમની ભૂમિકા ભજવે છે x.
દશાંશ અને કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તમે 10 સિવાયના કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો અને ઇ. જો લોગ b એ = x, તે b x = a, અને તેથી લોગ c b x= લોગ c એઅથવા xલોગ c b= લોગ c એ, અથવા x= લોગ c એ/લોગ c b= લોગ b એ. તેથી, આધાર લોગરીધમ કોષ્ટકમાંથી આ વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને cતમે અન્ય કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો b. ગુણક 1/લોગ c bકહેવાય છે સંક્રમણ મોડ્યુલઆધાર પરથી cઆધાર માટે b. કંઈપણ અટકાવતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અથવા લઘુગણકની એક સિસ્ટમમાંથી બીજી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકમાંથી કુદરતી લઘુગણક શોધવા અથવા વિપરીત સંક્રમણ કરવામાં. ઉદાહરણ તરીકે, log105.432 = log ઇ 5.432/લોગ ઇ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350. સંખ્યા 0.4343, જેના દ્વારા સામાન્ય લઘુગણક મેળવવા માટે આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણકને ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, તે સામાન્ય લઘુગણકની સિસ્ટમમાં સંક્રમણનું મોડ્યુલસ છે.
ખાસ કોષ્ટકો.
લોગરીધમ્સની મૂળ શોધ કરવામાં આવી હતી જેથી કરીને, તેમના ગુણધર્મો લોગનો ઉપયોગ કરીને ab= લોગ a+ લોગ bઅને લોગ a/b= લોગ a-લોગ b, ઉત્પાદનોને સરવાળો અને ભાગને તફાવતમાં ફેરવો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો લોગ aઅને લોગ bઓળખાય છે, પછી સરવાળા અને બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉત્પાદન અને ભાગનો લઘુગણક સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. ખગોળશાસ્ત્રમાં, જો કે, ઘણીવાર લોગના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે aઅને લોગ bલોગ શોધવાની જરૂર છે( a + b) અથવા લોગ( a – b). અલબત્ત, સૌ પ્રથમ લોગરીધમના કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે aઅને b, પછી સૂચવેલ સરવાળો અથવા બાદબાકી કરો અને, ફરીથી કોષ્ટકો તરફ વળો, જરૂરી લઘુગણક શોધો, પરંતુ આવી પ્રક્રિયા માટે ત્રણ વખત કોષ્ટકોનો સંદર્ભ લેવાની જરૂર પડશે. ઝેડ. લિયોનેલીએ 1802 માં કહેવાતા કોષ્ટકો પ્રકાશિત કર્યા. ગૌસિયન લઘુગણક- સરવાળો અને તફાવતો ઉમેરવા માટે લઘુગણક - જેણે પોતાને કોષ્ટકોની એક ઍક્સેસ સુધી મર્યાદિત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.
1624 માં, I. કેપ્લરે પ્રમાણસર લઘુગણકના કોષ્ટકો પ્રસ્તાવિત કર્યા, એટલે કે. સંખ્યાઓના લઘુગણક a/x, ક્યાં a- કેટલાક હકારાત્મક સ્થિર મૂલ્ય. આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને નેવિગેટર્સ દ્વારા કરવામાં આવે છે.
પર પ્રમાણસર લઘુગણક a= 1 કહેવાય છે કોલોગોરિધમ્સઅને તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં થાય છે જ્યારે કોઈને ઉત્પાદનો અને ક્વોશન્ટ્સ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. સંખ્યાનું કોલોગરિધમ nપારસ્પરિક સંખ્યાના લઘુગણકની સમાન; તે કોલોગ n= લોગ1/ n= – લોગ n. જો log2 = 0.3010 હોય, તો colog2 = – 0.3010 = 0.6990 – 1. કોલોગરિધમનો ઉપયોગ કરવાનો ફાયદો એ છે કે જ્યારે સમીકરણોના લઘુગણકની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવે છે જેમ કે pq/આરધન દશાંશ લૉગનો ત્રણ ગણો સરવાળો પી+ લોગ q+કોલોગ આરમિશ્ર સરવાળો અને તફાવત લોગ કરતાં શોધવાનું સરળ છે પી+ લોગ q-લોગ આર.
વાર્તા.
લઘુગણકની કોઈપણ પ્રણાલી અંતર્ગત સિદ્ધાંત ઘણા લાંબા સમયથી જાણીતો છે અને તે પ્રાચીન બેબીલોનીયન ગણિત (લગભગ 2000 બીસી)માં શોધી શકાય છે. તે દિવસોમાં, વચ્ચે પ્રક્ષેપ કોષ્ટક મૂલ્યોચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવા માટે પૂર્ણાંકોની હકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ઘણા સમય પછી, આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) એ તત્કાલીન જાણીતા બ્રહ્માંડને સંપૂર્ણ રીતે ભરવા માટે જરૂરી રેતીના દાણાઓની સંખ્યાની ઉપરની મર્યાદા શોધવા માટે 108 ની શક્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો. આર્કિમીડીસે ઘાતાંકની મિલકત તરફ ધ્યાન દોર્યું જે લઘુગણકની અસરકારકતા ધરાવે છે: શક્તિઓનું ઉત્પાદન ઘાતાંકના સરવાળાને અનુરૂપ છે. મધ્ય યુગના અંતમાં અને આધુનિક યુગની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ વધુને વધુ ભૌમિતિક અને અંકગણિત પ્રગતિ વચ્ચેના સંબંધ તરફ વળવા લાગ્યા. એમ. સ્ટીફેલ તેમના નિબંધમાં પૂર્ણાંક અંકગણિત(1544) નંબર 2 ની હકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓનું કોષ્ટક આપ્યું:
સ્ટીફેલે નોંધ્યું કે પ્રથમ પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો નીચેની પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ગુણાંકને અનુરૂપ બેના ઘાતાંક જેટલો છે. આ કોષ્ટકના સંબંધમાં, સ્ટીફેલે ઘાતાંક પરની કામગીરી માટેના ચાર આધુનિક નિયમો અથવા લઘુગણક પરની કામગીરી માટેના ચાર નિયમોની સમકક્ષ ચાર નિયમો ઘડ્યા: ટોચની લાઇન પરનો સરવાળો નીચેની લાઇન પરના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર બાદબાકી નીચેની લીટી પરના વિભાજનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર ગુણાકાર નીચેની લીટી પરના ઘાતાંકને અનુલક્ષે છે; ટોચની લાઇન પરનું વિભાજન નીચેની લાઇન પરના મૂળને અનુલક્ષે છે.
દેખીતી રીતે, સ્ટીફેલના નિયમો જેવા જ નિયમો જે. નેપરને તેમના કાર્યમાં ઔપચારિક રીતે લઘુગણકની પ્રથમ સિસ્ટમ દાખલ કરવા તરફ દોરી ગયા. લઘુગણકના અદ્ભુત કોષ્ટકનું વર્ણન, 1614 માં પ્રકાશિત થયું હતું. પરંતુ નેપિયરના વિચારો ઉત્પાદનોને સરવાળોમાં રૂપાંતરિત કરવાની સમસ્યા સાથે સંકળાયેલા હતા ત્યારથી, તેમના કાર્યના પ્રકાશનના દસ કરતાં વધુ વર્ષ પહેલાં, નેપિયરને ડેનમાર્કથી સમાચાર મળ્યા કે ટાઈકો બ્રાહે ઓબ્ઝર્વેટરીમાં તેમના સહાયકોએ એક પદ્ધતિ બનાવી હતી. ઉત્પાદનોને રકમમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે. નેપિયરને મળેલા સંદેશમાં ઉલ્લેખિત પદ્ધતિ ઉપયોગ પર આધારિત હતી ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોપ્રકાર
તેથી નેપરના કોષ્ટકોમાં મુખ્યત્વે લઘુગણકનો સમાવેશ થતો હતો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. નેપિયર દ્વારા પ્રસ્તાવિત વ્યાખ્યામાં આધારની વિભાવના સ્પષ્ટપણે સામેલ ન હોવા છતાં, તેમની સિસ્ટમમાં લઘુગણકની સિસ્ટમના આધારની સમકક્ષ ભૂમિકા નંબર (1 – 10 –7)ґ10 7 દ્વારા ભજવવામાં આવી હતી, જે લગભગ 1/ ની બરાબર હતી. ઇ.
નેપરથી સ્વતંત્ર રીતે અને તેની સાથે લગભગ એક જ સમયે, લોગરીધમ્સની એક સિસ્ટમ, જે પ્રકારમાં એકદમ સમાન છે, તેની શોધ અને પ્રાગમાં જે. બર્ગી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જે 1620માં પ્રકાશિત થઈ હતી. અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ કોષ્ટકો. આ બેઝ (1 + 10 –4) ґ10 4 માટે એન્ટિલોગરિધમ્સના કોષ્ટકો હતા, જે સંખ્યાનો એકદમ સારો અંદાજ છે ઇ.
નેપર સિસ્ટમમાં, સંખ્યા 10 7 ના લઘુગણકને શૂન્ય માનવામાં આવતું હતું, અને જેમ જેમ સંખ્યામાં ઘટાડો થતો ગયો તેમ તેમ લઘુગણકમાં વધારો થતો ગયો. જ્યારે જી. બ્રિગ્સ (1561-1631) નેપિયરની મુલાકાતે ગયા, ત્યારે બંને સંમત થયા કે 10 નંબરનો આધાર તરીકે ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ રહેશે અને એકના લઘુગણકને શૂન્ય ગણવું. પછી, જેમ જેમ સંખ્યા વધશે તેમ તેમ તેમના લઘુગણકમાં વધારો થશે. તેથી અમને મળ્યું આધુનિક સિસ્ટમદશાંશ લઘુગણક, જેનું કોષ્ટક બ્રિગ્સે તેમના કાર્યમાં પ્રકાશિત કર્યું હતું લઘુગણક અંકગણિત(1620). આધાર માટે લઘુગણક ઇ, જો કે નેપર દ્વારા રજૂ કરાયેલ બરાબર નથી, ઘણીવાર નેપર્સ કહેવાય છે. બ્રિગ્સ દ્વારા "લાક્ષણિકતા" અને "મન્ટિસા" શબ્દોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.
પ્રથમ લઘુગણક, ઐતિહાસિક કારણોસર, સંખ્યાઓ 1/ માટે અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે. ઇઅને ઇ. થોડા અંશે પછી, કુદરતી લઘુગણકનો વિચાર હાયપરબોલા હેઠળના વિસ્તારોના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલો થવા લાગ્યો. xy= 1 (ફિગ. 1). 17મી સદીમાં તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આ વળાંક, ધરી દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર xઅને આદેશો x= 1 અને x = a(ફિગ. 1 માં આ વિસ્તાર ગાઢ અને છૂટાછવાયા બિંદુઓથી ઢંકાયેલો છે) માં વધે છે અંકગણિત પ્રગતિ, જ્યારે aમાં વધે છે ભૌમિતિક પ્રગતિ. તે ચોક્કસપણે આ અવલંબન છે જે ઘાતાંક અને લઘુગણક સાથેની કામગીરી માટેના નિયમોમાં ઉદ્ભવે છે. આનાથી નેપેરિયન લઘુગણકને "હાયપરબોલિક લોગરીધમ્સ" કહેવાનો જન્મ થયો.
લઘુગણક કાર્ય.
એક સમય એવો હતો જ્યારે લઘુગણકને માત્ર ગણતરીના સાધન તરીકે ગણવામાં આવતું હતું, પરંતુ 18મી સદીમાં, મુખ્યત્વે યુલરના કાર્યને આભારી, લઘુગણક કાર્યની વિભાવનાની રચના થઈ. આવા કાર્યનો આલેખ y= લોગ x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે, જ્યારે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં એબ્સિસાસ વધે છે, તે ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 2, એ. વ્યસ્ત અથવા ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ y = e x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધારો કરે છે, અને જેની અંકગણિત પ્રગતિમાં એબ્સિસિસ વધે છે, તે અનુક્રમે, ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 2, b. (વળાંક y= લોગ xઅને y = 10xવણાંકોના આકારમાં સમાન y= લોગ xઅને y = e x.) લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, દા.ત.
kpi; અને, એ જ રીતે, સંખ્યા -1 ના કુદરતી લઘુગણક છે જટિલ સંખ્યાઓપ્રકારો (2 k + 1)pi, ક્યાં k- પૂર્ણાંક. સમાન વિધાન સામાન્ય લઘુગણક અથવા લઘુગણકની અન્ય સિસ્ટમો માટે સાચા છે. વધુમાં, જટિલ સંખ્યાઓના જટિલ લઘુગણકને સમાવવા માટે યુલરની ઓળખનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવી શકાય છે.
લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા આપે છે કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ. જો f(x) – સતત કાર્યવાસ્તવિક સંખ્યા x, નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે: f (1) = 0, f (b) = 1, f (યુવી) = f (u) + f (વિ), તે f(x) એ સંખ્યાના લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે xપર આધારિત છે b. આ લેખની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા કરતાં આ વ્યાખ્યાના ઘણા ફાયદા છે.
અરજીઓ.
લોગરીધમ્સનો ઉપયોગ મૂળ રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, અને આ એપ્લિકેશન હજુ પણ તેમની સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીની એક છે. ઉત્પાદનો, અવશેષો, શક્તિઓ અને મૂળની ગણતરી માત્ર લોગરીધમ્સના પ્રકાશિત કોષ્ટકોની વિશાળ ઉપલબ્ધતા દ્વારા જ નહીં, પણ કહેવાતા ઉપયોગ દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે. સ્લાઇડ નિયમ - એક કોમ્પ્યુટેશનલ ટૂલ જેનો ઓપરેટિંગ સિદ્ધાંત લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. શાસક લઘુગણક ભીંગડાથી સજ્જ છે, એટલે કે. નંબર 1 થી કોઈપણ નંબરનું અંતર xલોગની સમાન બનવા માટે પસંદ કર્યું x; એક સ્કેલને બીજાની તુલનામાં સ્થાનાંતરિત કરીને, લઘુગણકના સરવાળો અથવા તફાવતોનું પ્લોટિંગ કરવું શક્ય છે, જે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો અથવા ભાગને સ્કેલમાંથી સીધા વાંચવાનું શક્ય બનાવે છે. તમે લઘુગણક સ્વરૂપમાં સંખ્યાઓને રજૂ કરવાના ફાયદાનો પણ લાભ લઈ શકો છો. પ્લોટિંગ ગ્રાફ માટે લઘુગણક કાગળ (બંને સંકલન અક્ષો પર તેના પર મુદ્રિત લઘુગણક ભીંગડા સાથેનો કાગળ). જો ફંક્શન ફોર્મના પાવર લોને સંતોષે છે y = kxn, તો તેનો લઘુગણક ગ્રાફ સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, કારણ કે લોગ y= લોગ k + nલોગ x- લોગના સંદર્ભમાં સમીકરણ રેખીય yઅને લોગ x. તેનાથી વિપરિત, જો અમુક કાર્યાત્મક અવલંબનનો લઘુગણક ગ્રાફ સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, તો આ અવલંબન એક શક્તિ છે. જ્યારે તમારે ઘાતાંકીય કાર્યોને ઓળખવાની જરૂર હોય ત્યારે અર્ધ-લોગ પેપર (જ્યાં y-અક્ષમાં લઘુગણક સ્કેલ હોય છે અને x-અક્ષ એક સમાન સ્કેલ ધરાવે છે) ઉપયોગી છે. ફોર્મના સમીકરણો y = kb rxજ્યારે પણ જથ્થો, જેમ કે વસ્તી, કિરણોત્સર્ગી સામગ્રીનો જથ્થો, અથવા બેંક બેલેન્સ, ઉપલબ્ધના પ્રમાણસર દરે ઘટે છે અથવા વધે છે ત્યારે થાય છે આ ક્ષણેરહેવાસીઓની સંખ્યા, કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ અથવા પૈસા. જો આવી અવલંબન અર્ધ-લોગરિધમિક કાગળ પર રચવામાં આવે, તો આલેખ સીધી રેખા જેવો દેખાશે.
લોગરીધમિક કાર્ય કુદરતી સ્વરૂપોની વિશાળ વિવિધતા સાથે જોડાણમાં ઉદ્ભવે છે. સૂર્યમુખીના ફૂલોમાં ફૂલો લોગરિધમિક સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે, મોલસ્ક શેલ્સ ટ્વિસ્ટેડ હોય છે નોટિલસ, પર્વત ઘેટાંના શિંગડા અને પોપટની ચાંચ. આ તમામ કુદરતી આકારો લોગરીધમિક સર્પાકાર તરીકે ઓળખાતા વળાંકના ઉદાહરણો તરીકે સેવા આપી શકે છે કારણ કે, ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં, તેનું સમીકરણ r = ae bq, અથવા ln આર= લોગ a + bq. આવા વળાંકને ગતિશીલ બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેનું ધ્રુવથી અંતર ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધે છે, અને તેની ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા વર્ણવેલ કોણ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે. આવા વળાંકની સર્વવ્યાપકતા, અને તેથી લઘુગણક કાર્ય, એ હકીકત દ્વારા સારી રીતે સચિત્ર છે કે તે તરંગી કેમના સમોચ્ચ અને પ્રકાશ તરફ ઉડતા કેટલાક જંતુઓના માર્ગ જેવા દૂરના અને સંપૂર્ણપણે અલગ વિસ્તારોમાં થાય છે.
આધાર a માટે સંખ્યા b નો લઘુગણક એ ઘાતાંક છે જેના પર સંખ્યા b મેળવવા માટે સંખ્યા a ને વધારવી આવશ્યક છે.
જો, તો.
લઘુગણક - આત્યંતિક મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક જથ્થો , કારણ કે લઘુગણક કેલ્ક્યુલસ માત્ર ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે જ નહીં, પણ ઘાતાંક સાથે કામ કરવા, ઘાતાંકીય અને લઘુગણક કાર્યોને અલગ પાડવા, તેમને એકીકૃત કરવા અને ગણતરી કરવા માટે વધુ સ્વીકાર્ય સ્વરૂપ તરફ દોરી જવાની મંજૂરી આપે છે.
લઘુગણકના તમામ ગુણધર્મો ઘાતાંકીય કાર્યોના ગુણધર્મો સાથે સીધા સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે 
મતલબ કે:
એ નોંધવું જોઇએ કે ચોક્કસ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો સત્તાઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો કરતાં વધુ મહત્વપૂર્ણ અને ઉપયોગી હોઈ શકે છે.
ચાલો કેટલીક ઓળખ રજૂ કરીએ:
અહીં મૂળભૂત બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ છે:
;
.
ધ્યાન આપો!માત્ર x>0, x≠1, y>0 માટે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે.
ચાલો કુદરતી લઘુગણક શું છે તે પ્રશ્નને સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ. ગણિતમાં વિશેષ રસ બે પ્રકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે- પ્રથમમાં આધાર પર "10" નંબર છે, અને તેને "કહેવાય છે. દશાંશ લઘુગણક" બીજાને કુદરતી કહેવામાં આવે છે. કુદરતી લઘુગણકનો આધાર "e" નંબર છે. આ તે છે જેના વિશે આપણે આ લેખમાં વિગતવાર વાત કરીશું.
હોદ્દો:
- lg x - દશાંશ;
- ln x - કુદરતી.
ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ln e = 1, તેમજ એ હકીકત છે કે lg 10=1.
કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ
ચાલો ધોરણનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી લઘુગણકનો ગ્રાફ બનાવીએ ક્લાસિક રીતેપોઈન્ટ દ્વારા. જો તમે ઈચ્છો તો, તમે ફંક્શનની તપાસ કરીને તપાસ કરી શકો છો કે અમે ફંક્શનને યોગ્ય રીતે બનાવી રહ્યા છીએ કે નહીં. જો કે, લોગરીધમની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણવા માટે તેને "મેન્યુઅલી" કેવી રીતે બનાવવું તે શીખવું અર્થપૂર્ણ છે.
કાર્ય: y = ln x. ચાલો પોઈન્ટ્સનું કોષ્ટક લખીએ જેના દ્વારા ગ્રાફ પસાર થશે:
ચાલો સમજાવીએ કે શા માટે આપણે દલીલ x ના આ ચોક્કસ મૂલ્યો પસંદ કર્યા. તે બધા ઓળખ વિશે છે: . કુદરતી લઘુગણક માટે આ ઓળખ આના જેવી દેખાશે:
સગવડ માટે, અમે પાંચ સંદર્ભ બિંદુઓ લઈ શકીએ છીએ:
;
;
.
;
.
આમ, કુદરતી લઘુગણકની ગણતરી કરવી એ એકદમ સરળ કાર્ય છે, વધુમાં, તે શક્તિઓ સાથેની કામગીરીની ગણતરીને સરળ બનાવે છે, તેમને ફેરવે છે સામાન્ય ગુણાકાર.
પોઈન્ટ દ્વારા ગ્રાફ પોઈન્ટનું કાવતરું કરીને, અમને અંદાજિત ગ્રાફ મળે છે:
પ્રાકૃતિક લઘુગણકની વ્યાખ્યાનું ડોમેન (એટલે કે, દલીલ Xના તમામ માન્ય મૂલ્યો) શૂન્ય કરતાં મોટી બધી સંખ્યાઓ છે.
ધ્યાન આપો!પ્રાકૃતિક લઘુગણકની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે! વ્યાખ્યાના અવકાશમાં x=0 નો સમાવેશ થતો નથી. લઘુગણકના અસ્તિત્વ માટેની શરતોના આધારે આ અશક્ય છે.
મૂલ્યોની શ્રેણી (એટલે કે ફંક્શન y = ln xના તમામ માન્ય મૂલ્યો) એ અંતરાલમાંની બધી સંખ્યાઓ છે.
કુદરતી લોગ મર્યાદા
આલેખનો અભ્યાસ કરવાથી, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે - કાર્ય y પર કેવી રીતે વર્તે છે<0.
દેખીતી રીતે, ફંક્શનનો ગ્રાફ y-અક્ષને પાર કરે છે, પરંતુ તે આ કરી શકશે નહીં, કારણ કે x નો કુદરતી લઘુગણક<0 не существует.
કુદરતી મર્યાદા લોગઆ રીતે લખી શકાય છે:
લઘુગણકના આધારને બદલવા માટેનું સૂત્ર
પ્રાકૃતિક લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કરવો એ લોગરીધમ સાથે વ્યવહાર કરતાં વધુ સરળ છે જેમાં મનસ્વી આધાર હોય છે. તેથી જ આપણે કોઈપણ લઘુગણકને કુદરતીમાં કેવી રીતે ઘટાડવું, અથવા કુદરતી લઘુગણક દ્વારા તેને મનસ્વી આધારમાં કેવી રીતે વ્યક્ત કરવું તે શીખવાનો પ્રયત્ન કરીશું.
ચાલો લઘુગણક ઓળખથી શરૂઆત કરીએ:
પછી કોઈપણ સંખ્યા અથવા ચલ y ને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:
જ્યાં x એ કોઈપણ સંખ્યા છે (લોગરિધમના ગુણધર્મો અનુસાર હકારાત્મક).
આ અભિવ્યક્તિને લોગરીધમિક રીતે બંને બાજુએ લઈ શકાય છે. ચાલો આ મનસ્વી આધાર z નો ઉપયોગ કરીને કરીએ:
ચાલો ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ (ફક્ત “c” ને બદલે આપણી પાસે અભિવ્યક્તિ છે):
અહીંથી આપણને સાર્વત્રિક સૂત્ર મળે છે:
.
ખાસ કરીને, જો z=e, તો:
.
અમે બે કુદરતી લઘુગણકના ગુણોત્તર દ્વારા લઘુગણકને મનસ્વી આધારમાં રજૂ કરવામાં સક્ષમ હતા.
અમે સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ
કુદરતી લઘુગણકને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓના ઉદાહરણો જોઈએ.
સમસ્યા 1. ln x = 3 સમીકરણ ઉકેલવું જરૂરી છે.
ઉકેલ:લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને: જો , પછી , આપણને મળે છે:
સમસ્યા 2. સમીકરણ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 ઉકેલો.
ઉકેલ: લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને: જો , તો , આપણને મળે છે:
.
ચાલો લોગરીધમની વ્યાખ્યાનો ફરીથી ઉપયોગ કરીએ:
.
આમ:
.
તમે અંદાજે જવાબની ગણતરી કરી શકો છો, અથવા તમે તેને આ ફોર્મમાં છોડી શકો છો.
કાર્ય 3.સમીકરણ ઉકેલો.
ઉકેલ:ચાલો એક અવેજી બનાવીએ: t = ln x. પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:
.
આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. ચાલો તેના ભેદભાવ શોધીએ:
સમીકરણનું પ્રથમ મૂળ:
.
સમીકરણનું બીજું મૂળ:
.
યાદ રાખીને કે અમે અવેજી t = ln x બનાવી છે, અમને મળે છે:
આંકડા અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, લઘુગણકની માત્રા ઘણી વાર જોવા મળે છે. આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે સંખ્યા e ઘણીવાર ઘાતાંકીય જથ્થાના વિકાસ દરને પ્રતિબિંબિત કરે છે.
કોમ્પ્યુટર સાયન્સ, પ્રોગ્રામિંગ અને કોમ્પ્યુટર થિયરીમાં, લોગરીધમ્સ ઘણી વાર જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેમરીમાં N બિટ્સ સ્ટોર કરવા માટે.
ફ્રેકટલ્સ અને પરિમાણોના સિદ્ધાંતોમાં, લઘુગણકનો સતત ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, કારણ કે ફ્રેકટલ્સના પરિમાણો ફક્ત તેમની મદદથી જ નક્કી કરવામાં આવે છે.
મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાંએવો કોઈ વિભાગ નથી કે જ્યાં લઘુગણકનો ઉપયોગ ન થયો હોય. બેરોમેટ્રિક વિતરણ, આંકડાકીય થર્મોડાયનેમિક્સના તમામ સિદ્ધાંતો, ત્સિઓલકોવ્સ્કી સમીકરણ, વગેરે એવી પ્રક્રિયાઓ છે જેનું ગાણિતિક રીતે માત્ર લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને વર્ણન કરી શકાય છે.
રસાયણશાસ્ત્રમાં, નર્ન્સ્ટ સમીકરણો અને રેડોક્સ પ્રક્રિયાઓના વર્ણનમાં લઘુગણકનો ઉપયોગ થાય છે.
આશ્ચર્યજનક રીતે, સંગીતમાં પણ, ઓક્ટેવના ભાગોની સંખ્યા શોધવા માટે, લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
કુદરતી લઘુગણક કાર્ય y=ln x તેના ગુણધર્મો
કુદરતી લઘુગણકની મુખ્ય મિલકતનો પુરાવો
