ક્રમનો સામાન્ય શબ્દ $u_n=n^2$ છે. $n=1$ ને બદલીને, અમને મળે છે:

$$ u_1=1^2=1. $$

આ ક્રમનો પ્રથમ શબ્દ છે. $n=2$ ને $u_n=n^2$ માં બદલીને, અમને ક્રમનો બીજો શબ્દ મળે છે:

$$ u_2=2^2=4. $$

જો આપણે $n=3$ ને બદલીએ, તો આપણને ક્રમનો ત્રીજો શબ્દ મળે છે:

$$ u_3=3^2=9. $$

એ જ રીતે આપણે ક્રમના ચોથા, પાંચમા, છઠ્ઠા અને અન્ય પદો શોધીએ છીએ. આ રીતે આપણે અનુરૂપ નંબરો મેળવીએ છીએ:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

તે $u_n=n^3$ ક્રમની શરતોને પણ ધ્યાનમાં રાખવા યોગ્ય છે. અહીં તેના કેટલાક પ્રથમ સભ્યો છે:

\શરૂઆત(સમીકરણ)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \અંત(સમીકરણ)

વધુમાં, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ બનાવવા માટે, $u_n=n!$ ક્રમનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, જેમાંથી પ્રથમ થોડા શબ્દો નીચે મુજબ છે:

\શરૂઆત(સમીકરણ)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \અંત(સમીકરણ)

રેકોર્ડિંગ "n!" (વાંચો "en factorial") બધાનું ઉત્પાદન સૂચવે છે કુદરતી સંખ્યાઓ 1 થી n સુધી, એટલે કે

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, એવું માનવામાં આવે છે કે $0!=1!=1$. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 5 શોધીએ!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. જો અંકગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ $a_1$ ની બરાબર હોય, અને તફાવત $d$ જેટલો હોય, તો અંકગણિત પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે:

\begin(સમીકરણ)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \અંત(સમીકરણ)

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે? બતાવો\ છુપાવો

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જેમાં આગલા અને પાછલા પદો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે. આ સતત તફાવત કહેવાય છે પ્રગતિ તફાવત

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આપણે પડોશી તત્વોની કોઈપણ જોડી લઈએ, પછીના અને અગાઉના સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા સ્થિર અને 7 જેટલો રહેશે:

\\(સંરેખિત) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(સંરેખિત)

આ નંબર, એટલે કે. 7, અને ત્યાં એક પ્રગતિ તફાવત છે. તે સામાન્ય રીતે $d$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે. $d=7$. પ્રગતિનું પ્રથમ તત્વ $a_1=3$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ. તેમાં $a_1=3$ અને $d=7$ ને બદલીને, અમારી પાસે હશે:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ થોડા શબ્દો શોધવા માટે $a_n=7n-4$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\\(સંરેખિત) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(સંરેખિત)

$a_n=7n-4$ ફોર્મ્યુલામાં $n$ નંબરના કોઈપણ મૂલ્યને બદલીને, તમે અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને મેળવી શકો છો.

તે ભૌમિતિક પ્રગતિને પણ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. જો પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ $b_1$ ની બરાબર હોય, અને છેદ $q$ બરાબર હોય, તો ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

\begin(સમીકરણ)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(સમીકરણ)

શું થયું છે ભૌમિતિક પ્રગતિ? બતાવો\ છુપાવો

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જેમાં અનુગામી અને અગાઉના પદો વચ્ચેનો સંબંધ સ્થિર છે. આ સતત સંબંધ કહેવાય છે પ્રગતિનો છેદ. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના ક્રમને ધ્યાનમાં લો:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ભલે આપણે પડોશી તત્વોની કઈ જોડી લઈએ, પાછલા એકના અનુગામીનો ગુણોત્તર હંમેશા સ્થિર અને 3 ની બરાબર રહેશે:

\begin(સંરેખિત) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(સંરેખિત)

આ નંબર, એટલે કે. 3 એ પ્રગતિનો છેદ છે. તે સામાન્ય રીતે $q$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે. $q=3$. પ્રગતિનું પ્રથમ તત્વ $b_1=6$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ. તેમાં $b_1=6$ અને $q=3$ ને બદલીને, અમારી પાસે હશે:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ થોડા શબ્દો શોધવા માટે $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\begin(સંરેખિત) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(સંરેખિત)

$b_n=6\cdot 3^(n-1)$ માં $n$ નંબરના કોઈપણ મૂલ્યને બદલીને, તમે ભૌમિતિક પ્રગતિનો કોઈપણ શબ્દ મેળવી શકો છો.

નીચેના તમામ ઉદાહરણોમાં, અમે શ્રેણીના સભ્યોને $u_1$ (શ્રેણીનો પ્રથમ સભ્ય), $u_2$ (શ્રેણીનો બીજો સભ્ય) વગેરે અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરીશું. નોટેશન $u_n$ શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દને સૂચવે છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ શોધો.

આવા કાર્યોનો સાર એ પેટર્નની નોંધ લેવી છે જે શ્રેણીના પ્રથમ સભ્યોમાં સહજ છે. અને આ પેટર્નના આધારે, સામાન્ય સભ્યના પ્રકાર વિશે નિષ્કર્ષ દોરો. શબ્દસમૂહ "સામાન્ય શબ્દ શોધો" નો અર્થ શું છે? તેનો અર્થ એ છે કે આવી અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે જરૂરી છે, $n=1$ ને બદલીને જેમાં આપણને શ્રેણીની પ્રથમ પદ મળે છે, એટલે કે. $\frac(1)(7)$; $n=2$ ને બદલે અમને શ્રેણીની બીજી મુદત મળે છે, એટલે કે. $\frac(2)(9)$; $n=3$ ને બદલે અમને શ્રેણીની ત્રીજી ટર્મ મળે છે, એટલે કે. $\frac(3)(11)$ અને તેથી વધુ. અમે શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દો જાણીએ છીએ:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

ચાલો ધીમે ધીમે આગળ વધીએ. અમને જાણીતી શ્રેણીના તમામ સભ્યો અપૂર્ણાંક છે, તેથી તે ધારવું વાજબી છે કે શ્રેણીના સામાન્ય સભ્ય પણ અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ થાય છે:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

અમારું કાર્ય અંશ અને છેદમાં પ્રશ્ન ચિહ્ન હેઠળ શું છુપાયેલું છે તે શોધવાનું છે. ચાલો પહેલા અંશ જોઈએ. અમને જાણીતા શ્રેણીના સભ્યોના અંશ 1, 2, 3 અને 4 છે. નોંધ લો કે શ્રેણીના દરેક સભ્યની સંખ્યા અંશ જેટલી છે. પ્રથમ પદમાં એકનો અંશ છે, બીજામાં બે છે, ત્રીજામાં ત્રણ છે અને ચોથામાં ચાર છે.

તે ધારવું તાર્કિક છે કે nth શબ્દ તેના અંશમાં $n$ હશે:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

માર્ગ દ્વારા, અમે આ નિષ્કર્ષ પર બીજી રીતે આવી શકીએ છીએ, વધુ ઔપચારિક રીતે. ક્રમ 1, 2, 3, 4 શું છે? નોંધ કરો કે આ ક્રમનો દરેક અનુગામી સભ્ય અગાઉના એક કરતા 1 મોટો છે. અમે અંકગણિત પ્રગતિના ચાર શબ્દો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, જેમાંથી પ્રથમ પદ $a_1=1$ છે, અને તફાવત છે $d=1$. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રગતિના સામાન્ય શબ્દ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

તેથી, અનુમાન લગાવવું અથવા ઔપચારિક ગણતરી એ સ્વાદની બાબત છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અમે શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનો અંશ લખ્યો છે. ચાલો છેદ તરફ આગળ વધીએ.

છેદમાં આપણી પાસે ક્રમ 7, 9, 11, 13 છે. આ અંકગણિત પ્રગતિના ચાર પદો છે, જેમાંથી પ્રથમ પદ $b_1=7$ બરાબર છે, અને તફાવત $d=2$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ શોધીએ છીએ:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

પરિણામી અભિવ્યક્તિ, એટલે કે. $2n+5$, અને શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનો છેદ હશે. તેથી:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

શ્રેણીની સામાન્ય પદ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો તપાસ કરીએ કે અમને $u_n=\frac(n)(2n+5)$ જે સૂત્ર મળ્યું છે તે શ્રેણીના પહેલાથી જાણીતા શબ્દોની ગણતરી કરવા માટે યોગ્ય છે કે કેમ. ચાલો $u_n=\frac(n)(2n+5)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $u_1$, $u_2$, $u_3$ અને $u_4$ શબ્દો શોધીએ. પરિણામો, કુદરતી રીતે, શરત દ્વારા અમને આપવામાં આવેલી શ્રેણીની પ્રથમ ચાર શરતો સાથે સુસંગત હોવા જોઈએ.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

તે સાચું છે, પરિણામો સમાન છે. શરતમાં ઉલ્લેખિત શ્રેણી હવે નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનું સ્વરૂપ $u_n=\frac(n)(2n+5)$ છે.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

શું આવી શ્રેણીને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર નથી? તે હજુ પણ છે. અને આ શ્રેણી માટે આપણે તે લખી શકીએ છીએ

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

તમે બીજું ચાલુ લખી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

અને આવા ચાલુ રાખવાથી કંઈપણ વિરોધાભાસી નથી. આ કિસ્સામાં, અમે તે લખી શકીએ છીએ

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

જો પ્રથમ બે વિકલ્પો તમને ખૂબ ઔપચારિક લાગતા હોય, તો હું ત્રીજો સૂચવીશ. ચાલો સામાન્ય શબ્દ નીચે પ્રમાણે લખીએ:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

ચાલો સૂચિત સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દોની ગણતરી કરીએ:

\begin(સંરેખિત) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4) )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(સંરેખિત)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સામાન્ય શબ્દ માટે સૂચિત સૂત્ર તદ્દન સાચું છે. અને તમે આવી વિવિધતાઓની અસંખ્ય સંખ્યા સાથે આવી શકો છો, તેમની સંખ્યા અમર્યાદિત છે. IN પ્રમાણભૂત ઉદાહરણો, અલબત્ત, અમુક જાણીતી સિક્વન્સ (પ્રગતિ, સત્તા, ફેક્ટોરિયલ, વગેરે) નો પ્રમાણભૂત સમૂહ વપરાય છે. જો કે, આવા કાર્યોમાં હંમેશા અનિશ્ચિતતા હોય છે, અને આને યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

પછીના તમામ ઉદાહરણોમાં આ અસ્પષ્ટતા સ્પષ્ટ કરવામાં આવશે નહીં. અમે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીશું જે મોટાભાગની સમસ્યા પુસ્તકોમાં સ્વીકારવામાં આવે છે.

જવાબ આપો: શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ લખો $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

અમે શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ શબ્દો જાણીએ છીએ:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

અમને જાણીતી શ્રેણીની તમામ શરતો અપૂર્ણાંક છે, જેનો અર્થ છે કે અમે શ્રેણીના સામાન્ય પદને અપૂર્ણાંકના રૂપમાં શોધીશું:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

ચાલો તરત જ અંશ પર ધ્યાન આપીએ. બધા અંશમાં એકમો હોય છે, તેથી શ્રેણીના સામાન્ય પદના અંશમાં પણ એક હશે, એટલે કે.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

હવે ચાલો છેદ જોઈએ. અમને જાણીતા શ્રેણીના પ્રથમ પદોના છેદમાં સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો છે: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. આમાંના પ્રથમ નંબરો છે: 1, 3, 5, 7, 9. આ ક્રમમાં પ્રથમ શબ્દ $a_1=1$ છે, અને દરેક અનુગામી નંબર $d=2$ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પાંચ શબ્દો છે, જેનો સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

ઉત્પાદનોમાં $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ બીજા નંબરો છે: 5, 8, 11, 14, 17. આ છે અંકગણિત પ્રગતિના ઘટકો, જેનો પ્રથમ શબ્દ છે $b_1=5$, અને છેદ છે $d=3$. અમે સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

ચાલો પરિણામોને એકસાથે મૂકીએ. શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દના છેદમાં ઉત્પાદન છે: $(2n-1)(3n+2)$. અને શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

પ્રાપ્ત પરિણામને તપાસવા માટે, અમે જાણીએ છીએ તે શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દો શોધવા માટે અમે $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

\begin(સંરેખિત) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot) 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1) )(9\cdot 17). \end(સંરેખિત)

તેથી, સૂત્ર $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ તમને શ્રેણીની શરતોની ચોક્કસ ગણતરી કરવા દે છે, જે શરતથી જાણીતી છે. જો ઇચ્છિત હોય, તો આપેલ શ્રેણી આ રીતે લખી શકાય છે:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

જવાબ આપો: શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

અમે બીજા અને ત્રીજા ભાગમાં આ વિષય ચાલુ રાખીશું.

ઘણા લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિ વિશે સાંભળ્યું છે, પરંતુ દરેકને તે શું છે તેનો સારો ખ્યાલ નથી. આ લેખમાં આપણે અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપીશું, અને અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો પણ વિચાર કરીશું અને સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો આપીશું.

ગાણિતિક વ્યાખ્યા

તેથી, જો આપણે અંકગણિત અથવા બીજગણિત પ્રગતિ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (આ વિભાવનાઓ સમાન વસ્તુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે), તો આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં ચોક્કસ સંખ્યા શ્રેણી છે જે નીચેના કાયદાને સંતોષે છે: શ્રેણીમાં દરેક બે અડીને સંખ્યાઓ સમાન મૂલ્ય દ્વારા અલગ પડે છે. ગાણિતિક રીતે તે આ રીતે લખાયેલ છે:

અહીં n નો અર્થ એ છે કે ક્રમમાં તત્વ a n ની સંખ્યા, અને સંખ્યા d એ પ્રગતિનો તફાવત છે (તેનું નામ પ્રસ્તુત સૂત્ર પરથી અનુસરે છે).

ડી તફાવત જાણવાનો અર્થ શું છે? પડોશી નંબરો એકબીજાથી કેટલા "દૂર" છે તે વિશે. જો કે, ડીનું જ્ઞાન જરૂરી છે, પરંતુ નહીં પૂરતી સ્થિતિસમગ્ર પ્રગતિ નક્કી કરવા (પુનઃસ્થાપિત કરવા). તમારે એક વધુ સંખ્યા જાણવાની જરૂર છે, જે વિચારણા હેઠળની શ્રેણીના કોઈપણ તત્વ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 4, a10, પરંતુ, નિયમ પ્રમાણે, તેઓ પ્રથમ નંબરનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે 1.

પ્રગતિ તત્વો નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો

સામાન્ય રીતે, ઉપરોક્ત માહિતી ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આગળ વધવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે. તેમ છતાં, અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે તે પહેલાં, અને તેનો તફાવત શોધવા માટે જરૂરી રહેશે, અમે એક દંપતી રજૂ કરીએ છીએ ઉપયોગી સૂત્રો, ત્યાંથી સમસ્યાઓ હલ કરવાની અનુગામી પ્રક્રિયાને સરળ બનાવે છે.

તે દર્શાવવું સરળ છે કે નંબર n સાથેના ક્રમનું કોઈપણ તત્વ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

a n = a 1 + (n - 1) * d

ખરેખર, કોઈ પણ વ્યક્તિ આ સૂત્રને સરળ શોધ દ્વારા ચકાસી શકે છે: જો તમે n = 1 ને અવેજી કરો છો, તો તમને પ્રથમ તત્વ મળશે, જો તમે n = 2 ને બદલે છે, તો અભિવ્યક્તિ પ્રથમ સંખ્યા અને તફાવતનો સરવાળો આપે છે, વગેરે.

ઘણી સમસ્યાઓની શરતો એવી રીતે બનેલી છે કે, સંખ્યાઓની જાણીતી જોડીને જોતાં, જેની સંખ્યાઓ પણ અનુક્રમમાં આપવામાં આવી છે, તે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણીનું પુનર્નિર્માણ કરવું જરૂરી છે (તફાવત અને પ્રથમ તત્વ શોધો). હવે આપણે આ સમસ્યાને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીશું.

તેથી, n અને m નંબરો સાથેના બે ઘટકો આપવા દો. ઉપર મેળવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

અજાણ્યા જથ્થાઓ શોધવા માટે, અમે જાણીતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ સરળ યુક્તિઆવી સિસ્ટમના ઉકેલો: જોડીમાં ડાબી અને જમણી બાજુઓને બાદ કરો, સમાનતા માન્ય રહેશે. અમારી પાસે:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

આમ, અમે એક અજાણ્યા (a 1) ને બાકાત રાખ્યા છે. હવે આપણે d નક્કી કરવા માટે અંતિમ સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

d = (a n - a m) / (n - m), જ્યાં n > m

અમને ખૂબ મળ્યું સરળ સૂત્ર: સમસ્યાની શરતો અનુસાર તફાવત d ની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ફક્ત તત્વો અને તેમના વચ્ચેના તફાવતનો ગુણોત્તર લેવાની જરૂર છે. સીરીયલ નંબરો. એક તરફ ધ્યાન આપવું જોઈએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુધ્યાન આપો: તફાવતો "વરિષ્ઠ" અને "જુનિયર" સભ્યો વચ્ચે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, n > m ("વરિષ્ઠ" નો અર્થ ક્રમની શરૂઆતથી આગળ ઊભા રહેવું, તેના સંપૂર્ણ મૂલ્ય"જુનિયર" તત્વ કરતાં કાં તો મોટા અથવા નાના હોઈ શકે છે).

પ્રથમ પદનું મૂલ્ય મેળવવા માટે સમસ્યાના ઉકેલની શરૂઆતમાં તફાવત d પ્રગતિ માટેની અભિવ્યક્તિ કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવી જોઈએ.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના વિકાસના આપણા યુગમાં, ઘણા શાળાના બાળકો ઈન્ટરનેટ પર તેમની સોંપણીઓ માટે ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે, તેથી આ પ્રકારના પ્રશ્નો વારંવાર ઉભા થાય છે: અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઑનલાઇન શોધો. આવી વિનંતી માટે, શોધ એંજીન સંખ્યાબંધ વેબ પૃષ્ઠો પરત કરશે, જેના પર જઈને તમારે શરતમાંથી જાણીતો ડેટા દાખલ કરવાની જરૂર પડશે (આ કાં તો પ્રગતિના બે શબ્દો હોઈ શકે છે અથવા તેમાંથી ચોક્કસ સંખ્યાનો સરવાળો હોઈ શકે છે. ) અને તરત જ જવાબ મેળવો. જો કે, વિદ્યાર્થીના વિકાસ અને તેને સોંપેલ કાર્યના સારને સમજવાની દ્રષ્ટિએ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનો આ અભિગમ બિનઉત્પાદક છે.

સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલ

ચાલો આપેલ કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યા વિના પ્રથમ સમસ્યા હલ કરીએ. શ્રેણીના ઘટકો આપવા દો: a6 = 3, a9 = 18. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધો.

જાણીતા તત્વો એક પંક્તિમાં એકબીજાની નજીક ઊભા છે. સૌથી મોટો મેળવવા માટે તફાવત d ને નાનામાં કેટલી વાર ઉમેરવો જોઈએ? ત્રણ વખત (પ્રથમ વખત d ઉમેરીને, આપણને 7મું તત્વ મળે છે, બીજી વખત - આઠમી, છેલ્લે, ત્રીજી વખત - નવમી). 18 મેળવવા માટે ત્રણ ત્રણ વખત કઈ સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે? આ નંબર પાંચ છે. ખરેખર:

આમ, અજ્ઞાત તફાવત d = 5.

અલબત્ત, ઉકેલ યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શક્યો હોત, પરંતુ આ ઇરાદાપૂર્વક કરવામાં આવ્યું ન હતું. વિગતવાર સમજૂતીસમસ્યાનો ઉકેલ સ્પષ્ટ થવો જોઈએ અને એક તેજસ્વી ઉદાહરણઅંકગણિત પ્રગતિ શું છે?

પાછલા એક જેવું જ કાર્ય

હવે આવી જ સમસ્યા હલ કરીએ, પરંતુ ઇનપુટ ડેટા બદલો. તેથી, તમારે શોધવું જોઈએ જો a3 = 2, a9 = 19.

અલબત્ત, તમે ફરીથી "હેડ-ઓન" સોલ્યુશન પદ્ધતિનો આશરો લઈ શકો છો. પરંતુ શ્રેણીના ઘટકો આપવામાં આવ્યા હોવાથી, જે એકબીજાથી પ્રમાણમાં દૂર છે, આ પદ્ધતિ સંપૂર્ણપણે અનુકૂળ રહેશે નહીં. પરંતુ પરિણામી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી અમને ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જશે:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

અહીં આપણે અંતિમ સંખ્યાને રાઉન્ડ કરી છે. આ રાઉન્ડિંગ કેટલી હદ સુધી ભૂલ તરફ દોરી ગયું તે પરિણામ તપાસીને નક્કી કરી શકાય છે:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

આ પરિણામ શરતમાં આપેલા મૂલ્યથી માત્ર 0.1% અલગ છે. તેથી, નજીકના સોમાં વપરાતા રાઉન્ડિંગને સફળ પસંદગી ગણી શકાય.

શબ્દ માટે સૂત્ર લાગુ કરવામાં સમસ્યાઓ

ચાલો અજ્ઞાત d નક્કી કરવા માટે સમસ્યાનું ઉત્તમ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: a1 = 12, a5 = 40 હોય તો અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત શોધો.

જ્યારે અજાણ્યા બીજગણિત ક્રમની બે સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, અને તેમાંથી એક તત્વ a 1 છે, તો તમારે લાંબો વિચાર કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તરત જ a n શબ્દ માટે સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ. IN આ બાબતેઅમારી પાસે:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

વિભાજન કરતી વખતે અમને ચોક્કસ સંખ્યા પ્રાપ્ત થઈ છે, તેથી ગણતરી કરેલ પરિણામની ચોકસાઈ તપાસવાનો કોઈ અર્થ નથી, જેમ કે અગાઉના ફકરામાં કરવામાં આવ્યું હતું.

ચાલો બીજી સમાન સમસ્યા હલ કરીએ: આપણે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધવાની જરૂર છે જો a1 = 16, a8 = 37 હોય.

અમે પાછલા એક જેવા જ અભિગમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

તમારે અંકગણિતની પ્રગતિ વિશે બીજું શું જાણવું જોઈએ?

અજ્ઞાત તફાવત અથવા વ્યક્તિગત ઘટકો શોધવાની સમસ્યાઓ ઉપરાંત, ક્રમના પ્રથમ પદોના સરવાળાની સમસ્યાઓ હલ કરવી ઘણી વાર જરૂરી છે. આ કાર્યોની વિચારણા લેખના અવકાશની બહાર છે, જો કે, અમે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ તે માહિતીની સંપૂર્ણતા માટે સામાન્ય સૂત્રશ્રેણીમાં n સંખ્યાઓના સરવાળા માટે:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

સૂચનાઓ

અંકગણિત પ્રગતિ એ a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ફોર્મનો ક્રમ છે. નંબર d પગલું પ્રગતિ.તે સ્પષ્ટ છે કે અંકગણિતના મનસ્વી n-મી શબ્દનો સામાન્ય પ્રગતિફોર્મ ધરાવે છે: An = A1+(n-1)d. પછી એક સભ્યને જાણવું પ્રગતિ, સભ્ય પ્રગતિઅને પગલું પ્રગતિ, તમે કરી શકો છો, એટલે કે, પ્રગતિ સભ્યની સંખ્યા. દેખીતી રીતે, તે ફોર્મ્યુલા n = (An-A1+d)/d દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે.

ચાલો હવે mth શબ્દ જાણીએ પ્રગતિઅને અન્ય સભ્ય પ્રગતિ- nth, પરંતુ n , અગાઉના કેસની જેમ, પરંતુ તે જાણીતું છે કે n અને m એકરૂપ નથી. પગલું પ્રગતિસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: d = (An-Am)/(n-m). પછી n = (An-Am+md)/d.

જો અંકગણિત સમીકરણના અનેક ઘટકોનો સરવાળો જાણીતો હોય પ્રગતિ, તેમજ તેની પ્રથમ અને છેલ્લી, પછી આ તત્વોની સંખ્યા પણ નક્કી કરી શકાય છે. અંકગણિતનો સરવાળો પ્રગતિસમાન હશે: S = ((A1+An)/2)n. પછી n = 2S/(A1+An) - chdenov પ્રગતિ. An = A1+(n-1)d એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, આ સૂત્રને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે: n = 2S/(2A1+(n-1)d). આમાંથી આપણે ઉકેલ દ્વારા n વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

અંકગણિત ક્રમ એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે, જેમાંના દરેક સભ્ય, પ્રથમ સિવાય, સમાન રકમ દ્વારા અગાઉના સભ્યથી અલગ પડે છે. આ સ્થિર મૂલ્યને પ્રગતિ અથવા તેના પગલાનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને અંકગણિત પ્રગતિના જાણીતા શબ્દો પરથી ગણતરી કરી શકાય છે.

સૂચનાઓ

જો પ્રથમ અને દ્વિતીય અથવા અડીને આવેલા શબ્દોની અન્ય કોઈપણ જોડીના મૂલ્યો સમસ્યાની સ્થિતિઓથી ઓળખાય છે, તો તફાવતની ગણતરી કરવા માટે (d) અનુગામી પદમાંથી ફક્ત પાછલા એકને બાદ કરો. પરિણામી મૂલ્ય કાં તો હકારાત્મક અથવા હોઈ શકે છે નકારાત્મક સંખ્યા- તે તેના પર નિર્ભર છે કે શું પ્રગતિ વધી રહી છે. IN સામાન્ય સ્વરૂપનીચે પ્રમાણે પ્રગતિના પડોશી પદોની મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ જોડી (aᵢ અને aᵢ₊₁) માટે ઉકેલ લખો: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

આવી પ્રગતિની શરતોની જોડી માટે, જેમાંથી એક પ્રથમ (a₁) છે, અને બીજો કોઈપણ અન્ય મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ છે, તફાવત (d) શોધવા માટે એક સૂત્ર બનાવવું પણ શક્ય છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, ક્રમના મનસ્વી પસંદ કરેલ સભ્યનો સીરીયલ નંબર (i) જાણવો આવશ્યક છે. તફાવતની ગણતરી કરવા માટે, બંને સંખ્યાઓ ઉમેરો અને પરિણામી પરિણામને એક દ્વારા ઘટાડીને મનસ્વી પદની ઓર્ડિનલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો. સામાન્ય રીતે, આ સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખો: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

જો, ઑર્ડિનલ નંબર i સાથે અંકગણિત પ્રગતિના મનસ્વી સભ્ય ઉપરાંત, ઑર્ડિનલ નંબર u સાથેનો બીજો સભ્ય જાણીતો હોય, તો તે મુજબ અગાઉના પગલામાંથી સૂત્ર બદલો. આ કિસ્સામાં, પ્રગતિનો તફાવત (d) એ આ બે શબ્દોનો સરવાળો હશે જે તેમની ક્રમાંકિત સંખ્યાઓના તફાવતથી વિભાજિત થાય છે: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

તફાવત (d) ની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર કંઈક અંશે વધુ જટિલ બની જાય છે જો સમસ્યાની સ્થિતિ તેના પ્રથમ પદ (a₁) નું મૂલ્ય અને અંકગણિત ક્રમની પ્રથમ શરતોની આપેલ સંખ્યા (i) નો સરવાળો (Sᵢ) આપે છે. ઇચ્છિત મૂલ્ય મેળવવા માટે, સરવાળાને તે બનાવેલા શબ્દોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો, અનુક્રમમાં પ્રથમ નંબરની કિંમત બાદ કરો અને પરિણામ બમણું કરો. પરિણામી મૂલ્યને શબ્દોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરો જે એક દ્વારા ઘટાડીને સરવાળો બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, ભેદભાવની ગણતરી માટે નીચે પ્રમાણે સૂત્ર લખો: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

ગોલ:

1. અંકગણિત પ્રગતિના ખ્યાલનો પરિચય આપો.
2. અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લો.
3. પાઠમાં વિકાસલક્ષી શિક્ષણના ઘટકોનો ઉપયોગ કરો.
4. વિદ્યાર્થીઓની વિશ્લેષણાત્મક વિચારસરણીનો વિકાસ કરો.

વર્ગો દરમિયાન

શિક્ષક.અગાઉના પાઠમાં, અમે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય તરીકે અનંત સંખ્યાના ક્રમની વિભાવના રજૂ કરી અને જાણવા મળ્યું કે ક્રમ અનંત અને મર્યાદિત, વધતા અને ઘટતા હોઈ શકે છે, અને તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવાની રીતો વિશે પણ શીખ્યા. તેમની યાદી બનાવો.

વિદ્યાર્થીઓ.

1. વિશ્લેષણાત્મક (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને).
2. મૌખિક (વર્ણન સાથે ક્રમ સુયોજિત કરો).
3. આવર્તક (જ્યારે અનુક્રમના કોઈપણ સભ્ય, કેટલાકથી શરૂ કરીને, અગાઉના સભ્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે).

વ્યાયામ 1.જો શક્ય હોય તો, દરેક ક્રમની 7મી મુદત સૂચવો.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3.8; -2.6; -1.4; -0.2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

શિક્ષક. b n અને y n ક્રમ માટે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો કેમ અશક્ય છે?

વિદ્યાર્થીઓ. આ ક્રમમાં કોઈ ચોક્કસ પેટર્ન નથી, જો કે (b n) કુદરતી સંખ્યાઓના વર્ગો ધરાવે છે, પરંતુ તે મનસ્વી ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, અને (y n) રજૂ કરે છે મનસ્વી શ્રેણીસંખ્યાઓ, તેથી સાતમું સ્થાન કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે.

શિક્ષક.સિક્વન્સ માટે (a n); (cn); (x n) તમે બધા 7મો શબ્દ યોગ્ય રીતે શોધી શક્યા હતા.

કાર્ય 2.આવા ક્રમના તમારા પોતાના ઉદાહરણ સાથે આવો. તેના પ્રથમ 4 સભ્યો સૂચવો. તમારા ડેસ્ક પાડોશી સાથે નોટબુકની આપ-લે કરો અને આ ક્રમની 5મી મુદત નક્કી કરો.

શિક્ષક.આવા સિક્વન્સમાં કઈ સામાન્ય મિલકત હોય છે?

વિદ્યાર્થી. દરેક અનુગામી શબ્દ સમાન સંખ્યા દ્વારા અગાઉના શબ્દથી અલગ પડે છે.

શિક્ષક.આ પ્રકારના ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. તેઓ આજે અમારા અભ્યાસનો વિષય હશે. પાઠનો વિષય ઘડવો.

(વિદ્યાર્થી વિષયનો પ્રથમ ભાગ સરળતાથી ઘડી શકે છે. શિક્ષક પોતે બીજો ભાગ ઘડી શકે છે)

શિક્ષક. આ વિષયના આધારે પાઠના હેતુઓ ઘડવો.

(તે મહત્વપૂર્ણ છે કે વિદ્યાર્થીઓ તેમના શીખવાના લક્ષ્યોને શક્ય તેટલી સંપૂર્ણ અને સચોટ રીતે ઘડે, પછી તેઓ તેને સ્વીકારે અને તેને પ્રાપ્ત કરવા માટે પ્રયત્ન કરે)

વિદ્યાર્થીઓ.

1. અંકગણિત પ્રગતિ વ્યાખ્યાયિત કરો.
2. અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્ર મેળવો.
3. વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખો (વિચાર કરો વિવિધ પ્રકારોકાર્યો).

તે પછી વિદ્યાર્થીઓ માટે શિક્ષકના ધ્યેયોને સ્ક્રીન પર રજૂ કરવામાં મદદરૂપ થાય છે જેથી તેઓના સામાન્ય લક્ષ્યો હોય.

શિક્ષક.થોડો ઇતિહાસ. "પ્રોગ્રેસન" શબ્દ લેટિન પ્રોગ્રેસન પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "આગળ વધવું", અને 6ઠ્ઠી સદી એડીમાં રોમન લેખક બોઇથિયસ દ્વારા તેની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી. અને પ્રાપ્ત વધુ વિકાસફિબોનાકી, ચુકેટ, ગૌસ અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના કાર્યોમાં.

વ્યાખ્યા.અંકગણિત પ્રગતિ એ એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા અગાઉના સભ્યની બરાબર હોય છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને d તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

(a n): a 1 ; a 2 ; a 3 ; ...a n ... અંકગણિત પ્રગતિ.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

કાર્ય 3.ચાલો a 1 = 7; d = 0.

ક્રમના આગામી 3 પદોને નામ આપો.

વિદ્યાર્થીઓ. 7; 7; 7

શિક્ષક. આવા ક્રમને સ્થિર અથવા સ્થિર કહેવામાં આવે છે.

ચાલો a 1 = -12; d = 3. આ ક્રમના 3 સભ્યોના નામ આપો.

વિદ્યાર્થી. -9; -6; -3

શિક્ષક. જો હું નંબરોને નામ આપું તો શું હું સાચો હોઈશ: -15; -18; -21?

એક નિયમ તરીકે, મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ વિચારે છે કે આ સાચું છે. પછી તમારે તેમને દરેક સભ્યની સંખ્યા ઓળખવા માટે કહેવું જોઈએ. ક્રમના સભ્યની સંખ્યા કુદરતી સંખ્યા તરીકે દર્શાવવી આવશ્યક હોવાથી, નામવાળી સંખ્યાઓ આ ક્રમમાં હાજર હોઈ શકતી નથી.

કાર્ય 4.અંકગણિત પ્રગતિમાં a 1 ; a 2 ; 6; 4; a 5 a 1 શોધો; a 2 ; a 5.

કાર્ય જોડીમાં કરવામાં આવે છે, એક વિદ્યાર્થી, જો ઇચ્છિત હોય, તો તેની સાથે પૂર્ણ કરે છે વિપરીત બાજુબોર્ડ

ઉકેલ:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

આ ક્રમ a 8 અને a 126 માટે સ્પષ્ટ કરો

વિદ્યાર્થીઓ. a 8 = -4 અને 126 નો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે, પરંતુ તેની ગણતરી કરવામાં ઘણો સમય લાગે છે.

શિક્ષક.આનો અર્થ એ છે કે અમારે એવી રીત શોધવાની જરૂર છે જે અમને ક્રમના કોઈપણ સભ્યને ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે. અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્ર મેળવવાનો પ્રયાસ કરો.

તમે એક મજબૂત વિદ્યાર્થીને બોર્ડમાં બોલાવી શકો છો અને સ્પષ્ટપણે પૂછાયેલા પ્રશ્નો અને વર્ગની મદદ દ્વારા, સૂત્ર મેળવી શકો છો.

સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
વગેરે

એ n = a 1 + (n – 1) ડી- સૂત્રઅંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ.

શિક્ષક. તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને નિર્ધારિત કરવા માટે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે?

વિદ્યાર્થીઓ. a 1 અને d

શિક્ષક.આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, 126 શોધો.

વિદ્યાર્થીઓ. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

કાર્ય 5. ચાલો (b n): એક અંકગણિત પ્રગતિ જેમાં b 1 એ પ્રથમ પદ છે અને d એ તફાવત છે. ભૂલો શોધો:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

કાર્ય 6.ચાલો અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્રને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો જાણીએ કે આ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કયા પ્રકારની સમસ્યાઓ ઉકેલી શકાય છે. સીધી સમસ્યાની રચના કરો.

વિદ્યાર્થીઓ. 1 અને d ની કિંમતો જોતાં, n શોધો.

શિક્ષક.કઈ વિપરીત સમસ્યાઓ સેટ કરી શકાય છે?

વિદ્યાર્થીઓ.

1. એક 1 અને એક n આપેલ છે. ડી શોધો.
2. d અને a n આપેલ છે. 1 શોધો.
3. એક 1, d અને a n આપેલ છે. n શોધો.

કાર્ય 7. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધો જેમાં y 1 = 10; y 5 = 22

બોર્ડ પર ઉકેલ:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

કાર્ય 8. શું અંકગણિત પ્રગતિમાં 2 હોય છે; 9; ... નંબર 156?

વિશ્લેષણ: તર્ક દ્વારા આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે કારણ કે અનુક્રમમાં દરેક સંખ્યાની પોતાની સંખ્યા હોય છે, જે કુદરતી સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત થાય છે, પછી તમારે અનુક્રમના સભ્યની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે અને તે શોધવાની જરૂર છે કે તે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની છે કે કેમ. જો સંબંધિત હોય, તો અનુક્રમમાં આપેલ સંખ્યા શામેલ છે; અન્યથા, તે નથી.

બોર્ડ પર ઉકેલ:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

જવાબ: a 23 = 156

કાર્ય 9.અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદ શોધો જેમાં

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

અમે કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ, સમીકરણોની એક સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ જે અમે ઘરે ઉકેલવા માટે પ્રસ્તાવિત કરીએ છીએ.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d) ∙ (a 1 + 4d) = 60.

સારાંશ કુલ પાઠ

આજે તમે વર્ગમાં નવું શું શીખ્યા? તમે શું શીખ્યા છો?

ગૃહ કાર્ય. પાઠ્યપુસ્તકના ફકરા 25 માં આપેલી સામગ્રી વાંચો. અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા અને nમી પદ માટેનું સૂત્ર જાણો. તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ જથ્થાઓને સૂત્રમાંથી વ્યક્ત કરવામાં સક્ષમ બનો. કાર્ય 9 માટે સિસ્ટમ ઉકેલો. પાઠ્યપુસ્તક નંબર 575 (a, b) અનુસરો; 576; 578(a); 579(a).

વધારાની આકારણી સોંપણી: એક 1 દો ; a 2 ; a 3 ; ...a n ... અંકગણિત પ્રગતિ. સાબિત કરો કે a n+1 = (a n + a n+2) : 2

પ્રથમ સ્તર

અંકગણિત પ્રગતિ. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
દાખ્લા તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોઇથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને વ્યાપક અર્થમાં અનંત સંખ્યાત્મક ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવ્યો હતો. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

જાણ્યું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિની મી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દો માં:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો "વ્યક્તિગતીકરણ" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ આ સૂત્ર- ચાલો તેણીને લાવીએ સામાન્ય સ્વરૂપઅને અમને મળે છે:

અંકગણિત પ્રગતિ સમીકરણ.

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
દાખ્લા તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
દાખ્લા તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં પદોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને શરતમાં સંખ્યાઓ આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં હલ કરવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તેને શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના અને ક્રમિક મૂલ્યો સાથે પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને વડે ભાગવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબ્બાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે માત્ર એક સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, તમામ સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" દ્વારા સરળતાથી અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું - કાર્લ ગૌસ...

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓના કાર્યની તપાસ કરવામાં વ્યસ્ત હતા, તેમણે વર્ગમાં નીચેનું કાર્ય સોંપ્યું: "તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરો (અન્ય સ્ત્રોતો અનુસાર) સમાવેશી." શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડી સમાન છે, અમે તે મેળવીએ છીએ કુલ રકમસમાન છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબ્બાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારા માટે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

વાસ્તવમાં, અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર ત્રીજી સદીમાં પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો પ્રાચીન ઇજીપ્ટઅને તે સમયનો સૌથી મોટો બાંધકામ પ્રોજેક્ટ - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ બતાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

આ કિસ્સામાં, પ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોકની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. જાણ્યું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લોગ સંગ્રહ કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ઉપલા સ્તરઅગાઉના એક કરતાં એક ઓછો લોગ સમાવે છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ બાબતે
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ બેકી સંખ્યા, છેલ્લી સંખ્યા.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ કે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. સરેરાશ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ કેટલાક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

nth શબ્દ સૂત્ર

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમનો સરવાળો અને છેલ્લી તારીખસમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી 3જાનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ જોડી કેટલી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
બધાનો સરવાળો શોધો ડબલ ડિજિટ નંબરો, ગુણાંક.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

અત્યંત સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. જો તે પ્રથમ દિવસે કિમી મીટર દોડશે તો તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પહેલા દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   મૂળ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો મી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ:. શોધો: .
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ વધી શકે છે () અને ઘટી રહી છે ().

દાખ્લા તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.