ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એમાંથી એક છે મુશ્કેલ વિષયોવી શાળા અભ્યાસક્રમ. દરેક સ્નાતક વ્યુત્પન્ન શું છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપશે નહીં.
આ લેખ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવે છે કે વ્યુત્પન્ન શું છે અને શા માટે તેની જરૂર છે.. અમે હવે પ્રસ્તુતિમાં ગાણિતિક કઠોરતા માટે પ્રયત્ન કરીશું નહીં. સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે તેનો અર્થ સમજવો.
ચાલો વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:
વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ફેરફારનો દર છે.
આકૃતિ ત્રણ કાર્યોના આલેખ બતાવે છે. તમારા મતે કયું ઝડપથી વધી રહ્યું છે?
જવાબ સ્પષ્ટ છે - ત્રીજો. તેમાં ફેરફારનો સૌથી વધુ દર છે, એટલે કે સૌથી મોટો વ્યુત્પન્ન.
અહીં બીજું ઉદાહરણ છે.
કોસ્ટ્યા, ગ્રીશા અને માત્વેને તે જ સમયે નોકરી મળી. ચાલો જોઈએ કે વર્ષ દરમિયાન તેમની આવક કેવી રીતે બદલાઈ.
ગ્રાફ એક જ સમયે બધું બતાવે છે, તે નથી? કોસ્ટ્યાની આવક છ મહિનામાં બમણીથી વધુ થઈ ગઈ છે. અને ગ્રીશાની આવક પણ વધી, પણ થોડી જ. અને માટવેની આવક ઘટીને શૂન્ય થઈ ગઈ. પ્રારંભિક શરતો સમાન છે, પરંતુ કાર્યના ફેરફારનો દર, એટલે કે વ્યુત્પન્ન, - અલગ. Matvey માટે, તેની આવક વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે નકારાત્મક છે.
સાહજિક રીતે, આપણે ફંક્શનના ફેરફારના દરનો સરળતાથી અંદાજ લગાવીએ છીએ. પરંતુ આપણે આ કેવી રીતે કરી શકીએ?
આપણે ખરેખર જોઈ રહ્યા છીએ કે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર (અથવા નીચે) જાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x બદલાતાં y કેટલી ઝડપથી બદલાય છે? દેખીતી રીતે, વિવિધ બિંદુઓ પર સમાન કાર્ય હોઈ શકે છે અલગ અર્થવ્યુત્પન્ન - એટલે કે, તે ઝડપી અથવા ધીમી બદલી શકે છે.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સૂચવવામાં આવે છે.
અમે તમને ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને તેને કેવી રીતે શોધવું તે બતાવીશું.
કેટલાક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરવામાં આવ્યો છે. ચાલો તેના પર abscissa સાથે એક બિંદુ લઈએ. ચાલો આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક દોરીએ. અમે ફંક્શન ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર જાય છે તેનો અંદાજ કાઢવા માંગીએ છીએ. આ માટે અનુકૂળ મૂલ્ય છે સ્પર્શકોણની સ્પર્શક.
એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણા તરીકે આપણે સ્પર્શક અને ધરીની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો લઈએ છીએ.
કેટલીકવાર વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે કે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક શું છે. આ એક સીધી રેખા છે જે આ વિભાગમાં ગ્રાફ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે, અને અમારી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. તે વર્તુળમાં સ્પર્શક જેવું લાગે છે.
ચાલો તેને શોધીએ. આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે તીવ્ર કોણની સ્પર્શક અંદર જમણો ત્રિકોણબાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન. ત્રિકોણમાંથી:
અમે ફંક્શનના સૂત્રને જાણ્યા વિના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધી કાઢ્યું. સંખ્યા હેઠળ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આવી સમસ્યાઓ વારંવાર જોવા મળે છે.
બીજો મહત્વનો સંબંધ છે. યાદ કરો કે સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવી છે
આ સમીકરણમાં જથ્થો કહેવાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ. તે અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે.
.
અમે તે મેળવીએ છીએ
ચાલો આ સૂત્ર યાદ રાખીએ. તેણી વ્યક્ત કરે છે ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન
એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તે બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.
અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે સમાન ફંક્શનમાં વિવિધ બિંદુઓ પર વિવિધ ડેરિવેટિવ્સ હોઈ શકે છે. ચાલો જોઈએ કે ડેરિવેટિવ કેવી રીતે કાર્યના વર્તન સાથે સંબંધિત છે.
ચાલો અમુક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ. આ કાર્યને અમુક વિસ્તારોમાં વધવા દો અને અન્યમાં ઘટવા દો, અને વિવિધ દરે. અને આ ફંક્શનમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ હોવા દો.
એક તબક્કે કાર્ય વધે છે. બિંદુ પર દોરેલા ગ્રાફની સ્પર્શક તીવ્ર કોણ બનાવે છે; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.
બિંદુએ આપણું કાર્ય ઘટે છે. આ બિંદુએ સ્પર્શક એક સ્થૂળ કોણ બનાવે છે; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. સ્થૂળ કોણની સ્પર્શક નકારાત્મક હોવાથી, બિંદુ પરનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.
શું થાય છે તે અહીં છે:
જો કોઈ કાર્ય વધી રહ્યું હોય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.
જો તે ઘટે છે, તો તેનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.
મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ પર શું થશે? આપણે જોઈએ છીએ કે બિંદુઓ (મહત્તમ બિંદુ) અને (લઘુત્તમ બિંદુ) પર સ્પર્શક આડી છે. તેથી, આ બિંદુઓ પર સ્પર્શકની સ્પર્શક શૂન્ય છે, અને વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે.
બિંદુ - મહત્તમ બિંદુ. આ બિંદુએ, કાર્યમાં વધારો ઘટાડો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પરિણામે, બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની નિશાની “વત્તા” થી “માઈનસ” માં બદલાય છે.
બિંદુ પર - લઘુત્તમ બિંદુ - વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે, પરંતુ તેનું ચિહ્ન "માઈનસ" થી "પ્લસ" માં બદલાય છે.
નિષ્કર્ષ: વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને આપણે કાર્યની વર્તણૂક વિશે અમને રુચિ હોય તે બધું શોધી શકીએ છીએ.
જો વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તો કાર્ય વધે છે.
જો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો કાર્ય ઘટે છે.
મહત્તમ બિંદુએ, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અને "વત્તા" થી "માઈનસ" માં ચિહ્ન બદલાય છે.
ન્યૂનતમ બિંદુએ, વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે અને "માઈનસ" થી "પ્લસ" માં ચિહ્ન બદલાય છે.
ચાલો કોષ્ટકના રૂપમાં આ તારણો લખીએ:
| વધે છે | મહત્તમ બિંદુ | ઘટે છે | ન્યૂનતમ બિંદુ | વધે છે | |
| + | 0 | - | 0 | + |
ચાલો બે નાની સ્પષ્ટતા કરીએ. સમસ્યા હલ કરતી વખતે તમારે તેમાંથી એકની જરૂર પડશે. અન્ય - પ્રથમ વર્ષમાં, કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝના વધુ ગંભીર અભ્યાસ સાથે.
શક્ય છે કે કોઈ સમયે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોય, પરંતુ ફંક્શનમાં આ બિંદુએ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નથી. આ કહેવાતા છે :
એક બિંદુ પર, ગ્રાફની સ્પર્શક આડી છે અને વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. જો કે, બિંદુ પહેલા કાર્ય વધ્યું - અને બિંદુ પછી તે વધવાનું ચાલુ રાખે છે. વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન બદલાતું નથી - તે જેમ હતું તેમ સકારાત્મક રહે છે.
એવું પણ બને છે કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. ગ્રાફ પર, આ તીવ્ર વિરામને અનુરૂપ છે, જ્યારે આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શક દોરવાનું અશક્ય છે.
જો ફંક્શન ગ્રાફ દ્વારા નહીં, પરંતુ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે તો વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું? આ કિસ્સામાં તે લાગુ પડે છે
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.
વ્યુત્પન્નને દલીલની વૃદ્ધિ અને વૃદ્ધિના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નથી) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓના ઉકેલના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્સનું કોષ્ટક અને ભિન્નતાના ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમો દેખાયા. . ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.
તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.
વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. આગળ, આપણે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ - તફાવતના નિયમોમાં. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.
ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમોમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.
ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "x" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે અલગ પાડીએ છીએ જેમાં બીજા પદમાં સતત પરિબળ હોય છે; તેને વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી લઈ શકાય છે:
જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે વિશે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉભા થાય છે, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભિન્નતાના સરળ નિયમોથી પોતાને પરિચિત કર્યા પછી સાફ કરવામાં આવે છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.
સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
| 1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે | |
| 2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આ લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે | |
| 3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. | |
| 4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન | |
| 5. વ્યુત્પન્ન વર્ગમૂળ | |
| 6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન | |
| 7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 11. આર્ક કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |
ભિન્નતાના નિયમો
| 1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2 એ. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન | |
| 3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
નિયમ 1.જો કાર્યો
અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે
અને
તે વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે.
પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે
નિયમ 2.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે
અને
તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.
કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:
કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:
નિયમ 3.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને
તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ
અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી
વાસ્તવિક સમસ્યાઓમાં ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન અને ભાગાંકને શોધતી વખતે, એક સાથે અનેક વિભેદક નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે, તેથી લેખમાં આ વ્યુત્પન્નતાઓ પર વધુ ઉદાહરણો છે."ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".
ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે કે સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને સતત પરિબળના કિસ્સામાં, તે વ્યુત્પન્નતાની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે ડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરવાના પ્રારંભિક તબક્કે થાય છે, પરંતુ સરેરાશ વિદ્યાર્થી ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, તે હવે આ ભૂલ કરતો નથી.
અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસની ચર્ચા ઉદાહરણ 10 માં કરવામાં આવી છે).
અન્ય સામાન્ય ભૂલ- સરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું યાંત્રિક ઉકેલ. એ કારણે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું સરળ કાર્યો.
રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .
જો તમે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના ઉકેલો શોધી રહ્યા હોવ તો પાવર અને મૂળ સાથે, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે 
, પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.
જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે 
, પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું
ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:
આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમે નીચેના વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:
અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:
ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:
આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:
જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, 
, પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .
જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્યના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .
ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને ટેબ્યુલર મૂલ્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:
ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
અંશમાં અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરો.
તારીખ: 11/20/2014
વ્યુત્પન્ન શું છે?
ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.
વ્યુત્પન્ન એ ઉચ્ચ ગણિતની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક છે. આ પાઠમાં આપણે આ ખ્યાલ રજૂ કરીશું. ચાલો કડક ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન અને પુરાવા વિના, એકબીજાને જાણીએ.
આ ઓળખાણ તમને આની મંજૂરી આપશે:
ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સરળ કાર્યોનો સાર સમજો;
આ સરળ કાર્યોને સફળતાપૂર્વક હલ કરો;
ડેરિવેટિવ્ઝ પર વધુ ગંભીર પાઠ માટે તૈયાર કરો.
પ્રથમ - એક સુખદ આશ્ચર્ય.)
વ્યુત્પન્નની કડક વ્યાખ્યા મર્યાદાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે અને બાબત એકદમ જટિલ છે. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ ડેરિવેટિવ્ઝની પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન, એક નિયમ તરીકે, આવા વ્યાપક અને ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર નથી!
શાળા અને યુનિવર્સિટીમાં મોટાભાગના કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, તે જાણવું પૂરતું છે માત્ર થોડી શરતો- કાર્યને સમજવા માટે, અને માત્ર થોડા નિયમો- તેને ઉકેલવા માટે. બસ એટલું જ. આ મને ખુશ કરે છે.
ચાલો પરિચિત થવાનું શરૂ કરીએ?)
શરતો અને હોદ્દો.
પ્રાથમિક ગણિતમાં ઘણી વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ છે. સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ઘાત, લઘુગણક, વગેરે. જો તમે આ ઑપરેશન્સમાં વધુ એક ઑપરેશન ઉમેરશો, તો પ્રાથમિક ગણિત વધારે હશે. આ નવી કામગીરીકહેવાય છે તફાવતઆ કામગીરીની વ્યાખ્યા અને અર્થની ચર્ચા અલગ પાઠમાં કરવામાં આવશે.
અહીં એ સમજવું અગત્યનું છે કે ભિન્નતા એ ફંક્શન પરની ગાણિતિક ક્રિયા છે. અમે કોઈપણ કાર્ય લઈએ છીએ અને, ચોક્કસ નિયમો અનુસાર, તેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પરિણામ એક નવું કાર્ય હશે. આ નવા કાર્યને કહેવામાં આવે છે: વ્યુત્પન્ન
ભિન્નતા- કાર્ય પર ક્રિયા.
વ્યુત્પન્ન- આ ક્રિયાનું પરિણામ.
જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળો- ઉમેરાનું પરિણામ. અથવા ખાનગી- વિભાજનનું પરિણામ.
શરતોને જાણીને, તમે ઓછામાં ઓછા કાર્યોને સમજી શકો છો.) ફોર્મ્યુલેશન નીચે મુજબ છે: કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો; વ્યુત્પન્ન લો; કાર્યને અલગ પાડવું; વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરોઅને તેથી વધુ. આ બધું છે સમાનઅલબત્ત, ત્યાં વધુ જટિલ કાર્યો પણ છે, જ્યાં વ્યુત્પન્ન (ભિન્નતા) શોધવી એ સમસ્યાને ઉકેલવામાં માત્ર એક પગલું હશે.
ડેરિવેટિવ ફંક્શનની ઉપર જમણી બાજુએ ડેશ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આની જેમ: y"અથવા f"(x)અથવા S"(t)અને તેથી વધુ.
વાંચન igrek સ્ટ્રોક, ef સ્ટ્રોક x માંથી, es સ્ટ્રોક te થી,સારું, તમે સમજો છો ...)
પ્રાઇમ ચોક્કસ કાર્યના વ્યુત્પન્નને પણ સૂચવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"વગેરે ઘણીવાર ડેરિવેટિવ્ઝને ડિફરન્સિયલનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ અમે આ પાઠમાં આવા સંકેતને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.
ચાલો માની લઈએ કે આપણે કાર્યોને સમજવાનું શીખ્યા છીએ. તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવાનું બાકી છે.) ચાલો હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં: વ્યુત્પન્ન શોધવું ચોક્કસ નિયમો અનુસાર કાર્યનું પરિવર્તન.આશ્ચર્યજનક રીતે, આમાંના ઘણા ઓછા નિયમો છે.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફક્ત ત્રણ વસ્તુઓ જાણવાની જરૂર છે. ત્રણ સ્તંભો જેના પર તમામ ભિન્નતા ઊભી છે. અહીં તેઓ આ ત્રણ સ્તંભો છે:
1. ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક (વિભેદક સૂત્રો).
3. વ્યુત્પન્ન જટિલ કાર્ય.
ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ. આ પાઠમાં આપણે ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક જોઈશું.
ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.
વિશ્વમાં અસંખ્ય કાર્યો છે. આ સમૂહમાં એવા કાર્યો છે જે વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. આ કાર્યો પ્રકૃતિના તમામ નિયમોમાં જોવા મળે છે. આ ફંક્શન્સમાંથી, જેમ કે ઇંટોમાંથી, તમે બીજા બધાને બનાવી શકો છો. કાર્યોના આ વર્ગને કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો.તે આ કાર્યો છે જેનો શાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - રેખીય, ચતુર્ભુજ, હાયપરબોલા, વગેરે.
"શરૂઆતથી" કાર્યોનો તફાવત, એટલે કે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા અને મર્યાદાના સિદ્ધાંતના આધારે, આ એક જગ્યાએ શ્રમ-સઘન વસ્તુ છે. અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ લોકો છે, હા, હા!) તેથી તેઓએ તેમના (અને આપણા) જીવનને સરળ બનાવ્યું. તેઓએ અમારી સમક્ષ પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરી. પરિણામ એ ડેરિવેટિવ્ઝનું ટેબલ છે, જ્યાં બધું તૈયાર છે.)
અહીં તે છે, સૌથી લોકપ્રિય કાર્યો માટે આ પ્લેટ. ડાબે - પ્રાથમિક કાર્ય, જમણી બાજુએ તેનું વ્યુત્પન્ન છે.
| કાર્ય y |
ફંક્શન y નું વ્યુત્પન્ન y" |
|
| 1 | C (સતત મૂલ્ય) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - કોઈપણ સંખ્યા) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | પાપ x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - પાપ x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | આર્ક્સીન એક્સ |  |
| આર્કોસ એક્સ |  |
|
| આર્ક્ટન એક્સ |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| ઇ x | ||
| 5 | લોગ a x |  |
| ln x ( a = e) |
હું ડેરિવેટિવ્ઝના આ કોષ્ટકમાં કાર્યોના ત્રીજા જૂથ પર ધ્યાન આપવાની ભલામણ કરું છું. વ્યુત્પન્ન પાવર કાર્ય- સૌથી સામાન્ય સૂત્રોમાંથી એક, જો સૌથી સામાન્ય નહીં! શું તમને સંકેત મળે છે?) હા, ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકને હૃદયથી જાણવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, આ લાગે તેટલું મુશ્કેલ નથી. વધુ ઉદાહરણો હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, ટેબલ પોતે જ યાદ રાખવામાં આવશે!)
શોધો કોષ્ટક મૂલ્યવ્યુત્પન્ન, જેમ તમે સમજો છો, કાર્ય સૌથી મુશ્કેલ નથી. તેથી, ઘણી વાર આવા કાર્યોમાં વધારાની ચિપ્સ હોય છે. ક્યાં તો કાર્યના શબ્દોમાં, અથવા મૂળ કાર્યમાં, જે ટેબલમાં હોય તેવું લાગતું નથી...
ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:
1. ફંક્શન y = x નું વ્યુત્પન્ન શોધો 3
કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પરંતુ માં પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે સામાન્ય દૃશ્ય(ત્રીજો જૂથ). અમારા કિસ્સામાં n=3. તેથી અમે n ને બદલે ત્રણ બદલીએ છીએ અને કાળજીપૂર્વક પરિણામ લખીએ છીએ:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
બસ આ જ.
જવાબ: y" = 3x 2
2. x = 0 બિંદુ પર ફંક્શન y = sinx ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.
આ કાર્યનો અર્થ એ છે કે તમારે પહેલા સાઈનનું વ્યુત્પન્ન શોધવું જોઈએ, અને પછી મૂલ્યને બદલવું જોઈએ x = 0આ જ વ્યુત્પન્ન માં. બરાબર એ ક્રમમાં!નહિંતર, એવું બને છે કે તેઓ તરત જ મૂળ ફંક્શનમાં શૂન્યને બદલે છે... અમને મૂળ ફંક્શનની કિંમત નહીં, પરંતુ મૂલ્ય શોધવાનું કહેવામાં આવે છે. તેનું વ્યુત્પન્ન.વ્યુત્પન્ન, હું તમને યાદ કરાવું, એક નવું કાર્ય છે.
ટેબ્લેટનો ઉપયોગ કરીને આપણે સાઈન અને અનુરૂપ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
y" = (sin x)" = cosx
અમે વ્યુત્પન્નમાં શૂન્યને બદલીએ છીએ:
y"(0) = cos 0 = 1
આ જવાબ હશે.
3. કાર્યને અલગ પાડો:
શું, તે પ્રેરણા આપે છે?) ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી.
ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે ફંક્શનને અલગ પાડવું એ ફક્ત આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનું છે. જો તમે પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ ભૂલી જાઓ છો, તો અમારા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવું ખૂબ મુશ્કેલીભર્યું છે. ટેબલ મદદ કરતું નથી ...
પરંતુ જો આપણે જોઈએ કે આપણું કાર્ય છે કોસાઇન ડબલ કોણ , પછી બધું તરત જ સારું થઈ જાય છે!
હા હા! યાદ રાખો કે મૂળ કાર્યને રૂપાંતરિત કરવું ભેદભાવ પહેલાંતદ્દન સ્વીકાર્ય! અને તે જીવનને ઘણું સરળ બનાવે છે. ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને:
તે. અમારા મુશ્કેલ કાર્ય કરતાં વધુ કંઈ નથી y = cosx. અને આ એક ટેબલ ફંક્શન છે. અમને તરત જ મળે છે:
જવાબ: y" = - પાપ x.
અદ્યતન સ્નાતકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટેનું ઉદાહરણ:
4. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
અલબત્ત, ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પરંતુ જો તમને પ્રાથમિક ગણિત, શક્તિઓ સાથેની કામગીરી યાદ હોય... તો આ કાર્યને સરળ બનાવવું તદ્દન શક્ય છે. આની જેમ:
અને x એક દસમાની ઘાત પહેલાથી જ એક ટેબ્યુલર ફંક્શન છે! ત્રીજું જૂથ, n=1/10. અમે સૂત્ર અનુસાર સીધા લખીએ છીએ:
બસ એટલું જ. આ જવાબ હશે.
હું આશા રાખું છું કે ભિન્નતાના પ્રથમ સ્તંભ - ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. તે બે બાકી વ્હેલ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રહે છે. આગળના પાઠમાં આપણે ભિન્નતાના નિયમો શીખીશું.
વ્યુત્પન્ન શું છે?
વ્યુત્પન્ન કાર્યની વ્યાખ્યા અને અર્થ
એક ચલ અને તેની એપ્લિકેશનના કાર્યના વ્યુત્પન્ન પરના મારા લેખકના અભ્યાસક્રમમાં આ લેખની અણધારી પ્લેસમેન્ટથી ઘણાને આશ્ચર્ય થશે. છેવટે, જેમ કે તે શાળાના સમયથી છે: પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તક સૌ પ્રથમ વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા આપે છે, તેનો ભૌમિતિક, યાંત્રિક અર્થ. આગળ, વિદ્યાર્થીઓ વ્યાખ્યા દ્વારા વિધેયોના વ્યુત્પન્ન શોધે છે, અને, વાસ્તવમાં, ત્યારે જ તેઓ ભિન્નતાની તકનીકનો ઉપયોગ કરીને પરિપૂર્ણ કરે છે. વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકો.
પરંતુ મારા દૃષ્ટિકોણથી, નીચેનો અભિગમ વધુ વ્યવહારિક છે: સૌ પ્રથમ, તે સારી રીતે સમજવું સલાહભર્યું છે કાર્યની મર્યાદા, અને, ખાસ કરીને, અનંત માત્રામાં. હકીકત એ છે કે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા મર્યાદાના ખ્યાલ પર આધારિત છે, જે શાળાના અભ્યાસક્રમમાં ખરાબ રીતે ગણવામાં આવે છે. તેથી જ જ્ઞાનના ગ્રેનાઈટના યુવા ગ્રાહકોનો નોંધપાત્ર ભાગ વ્યુત્પન્નના સારને સમજી શકતો નથી. આમ, જો તમારી પાસે ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસનું થોડું જ્ઞાન હોય અથવા માટેનું જ્ઞાની મગજ હોય લાંબા વર્ષોઆ સામાનમાંથી સફળતાપૂર્વક છુટકારો મળ્યો, કૃપા કરીને શરૂઆત કરો કાર્ય મર્યાદા. તે જ સમયે, તેમના ઉકેલને માસ્ટર/યાદ રાખો.
સમાન વ્યવહારુ અર્થ સૂચવે છે કે તે પ્રથમ ફાયદાકારક છે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખો, સહિત જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ. સિદ્ધાંત સિદ્ધાંત છે, પરંતુ, જેમ તેઓ કહે છે, તમે હંમેશા તફાવત કરવા માંગો છો. આ સંદર્ભે, સૂચિબદ્ધ મૂળભૂત પાઠો દ્વારા કામ કરવું વધુ સારું છે, અને કદાચ ભિન્નતાના માસ્ટરતેમની ક્રિયાઓના સારને સમજ્યા વિના.
હું લેખ વાંચ્યા પછી આ પૃષ્ઠ પરની સામગ્રીથી પ્રારંભ કરવાની ભલામણ કરું છું. ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સૌથી સરળ સમસ્યાઓ, જ્યાં, ખાસ કરીને, ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પરંતુ તમે રાહ જોઈ શકો છો. હકીકત એ છે કે વ્યુત્પન્નની ઘણી એપ્લિકેશનોને તેને સમજવાની જરૂર હોતી નથી, અને તે આશ્ચર્યજનક નથી કે સૈદ્ધાંતિક પાઠ ખૂબ મોડો દેખાયો - જ્યારે મને સમજાવવાની જરૂર પડી વધતા/ઘટાતા અંતરાલો અને ચરમસીમા શોધવીકાર્યો તદુપરાંત, તે લાંબા સમયથી આ વિષય પર હતો. કાર્યો અને આલેખ”, જ્યાં સુધી મેં આખરે તેને વહેલું મૂકવાનું નક્કી કર્યું નહીં.
તેથી, પ્રિય ટીપોટ્સ, ભૂખ્યા પ્રાણીઓની જેમ વ્યુત્પન્નના સારને શોષવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં, કારણ કે સંતૃપ્તિ સ્વાદહીન અને અપૂર્ણ હશે.
કાર્યના વધતા, ઘટતા, મહત્તમ, લઘુત્તમનો ખ્યાલ
ઘણા શિક્ષણ સહાયકેટલીક વ્યવહારુ સમસ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ડેરિવેટિવની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, અને હું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ પણ લઈને આવ્યો છું. કલ્પના કરો કે આપણે એવા શહેરમાં જવાના છીએ કે જ્યાં સુધી જુદી જુદી રીતે પહોંચી શકાય. ચાલો તરત જ વળાંકવાળા પાથને છોડી દઈએ અને માત્ર સીધા ધોરીમાર્ગોને ધ્યાનમાં લઈએ. જો કે, સીધી-રેખા દિશાઓ પણ અલગ છે: તમે સરળ હાઇવે સાથે શહેરમાં જઈ શકો છો. અથવા ડુંગરાળ હાઇવે સાથે - ઉપર અને નીચે, ઉપર અને નીચે. બીજો રસ્તો ફક્ત ચઢાવ પર જાય છે, અને બીજો રસ્તો બધા સમયે ઉતાર પર જાય છે. આત્યંતિક ઉત્સાહીઓ ઢાળવાળી ભેખડ અને બેહદ ચઢાણ સાથે કોતરમાંથી માર્ગ પસંદ કરશે.
પરંતુ તમારી પસંદગીઓ ગમે તે હોય, તે વિસ્તારને જાણવો અથવા ઓછામાં ઓછો તેનો ટોપોગ્રાફિક નકશો રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. જો આવી માહિતી ખૂટે તો શું? છેવટે, તમે પસંદ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સરળ રસ્તો, પરંતુ પરિણામે ખુશખુશાલ ફિન્સ સાથે સ્કી સ્લોપ પર ઠોકર ખાવી. તે હકીકત નથી કે નેવિગેટર અથવા તો સેટેલાઇટ ઇમેજ વિશ્વસનીય ડેટા પ્રદાન કરશે. તેથી, ગણિતનો ઉપયોગ કરીને માર્ગની રાહતને ઔપચારિક બનાવવી સરસ રહેશે.
ચાલો કેટલાક રસ્તાઓ જોઈએ (બાજુનું દૃશ્ય): 
માત્ર કિસ્સામાં, હું તમને એક પ્રાથમિક હકીકત યાદ અપાવીશ: મુસાફરી થાય છે ડાબેથી જમણે. સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે કાર્ય સતતવિચારણા હેઠળના વિસ્તારમાં.
આ ગ્રાફની વિશેષતાઓ શું છે?
અંતરાલોમાં 
કાર્ય વધે છે, એટલે કે, તેની દરેક આગલી કિંમત વધુઅગાઉનું એક. લગભગ કહીએ તો, શેડ્યૂલ ચાલુ છે નીચે ઉપર(અમે ટેકરી પર ચઢીએ છીએ). અને ઈન્ટરવલ પર ફંક્શન ઘટે છે- દરેક આગામી મૂલ્ય ઓછુંઅગાઉનું, અને અમારું શેડ્યૂલ ચાલુ છે ઉપરથી નીચે(અમે ઢાળ નીચે જઈએ છીએ).
ચાલો ખાસ મુદ્દાઓ પર પણ ધ્યાન આપીએ. બિંદુએ આપણે પહોંચીએ છીએ મહત્તમ, તે જ અસ્તિત્વમાં છેપાથનો આવો વિભાગ જ્યાં મૂલ્ય સૌથી મોટું (સૌથી વધુ) હશે. તે જ બિંદુએ તે પ્રાપ્ત થાય છે ન્યૂનતમ, અને અસ્તિત્વમાં છેતેનો પડોશ કે જેમાં મૂલ્ય સૌથી નાનું (સૌથી ઓછું) છે.
અમે વર્ગમાં વધુ કડક પરિભાષા અને વ્યાખ્યાઓ જોઈશું. કાર્યના અંતિમ ભાગ વિશે, પરંતુ હમણાં માટે ચાલો એક વધુ અભ્યાસ કરીએ મહત્વપૂર્ણ લક્ષણ: અંતરાલો પર 
કાર્ય વધે છે, પરંતુ તે વધે છે વિવિધ ઝડપે. અને પ્રથમ વસ્તુ જે તમારી આંખને પકડે છે તે એ છે કે અંતરાલ દરમિયાન ગ્રાફ ઉપર વધે છે વધુ ઠંડી, અંતરાલ કરતાં. શું ગાણિતિક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને રસ્તાની ઢાળને માપવી શક્ય છે?
કાર્યના ફેરફારનો દર
વિચાર આ છે: ચાલો થોડું મૂલ્ય લઈએ ("ડેલ્ટા એક્સ" વાંચો), જેને અમે કૉલ કરીશું દલીલમાં વધારો, અને ચાલો આપણા પાથ પરના વિવિધ બિંદુઓ પર "તેનો પ્રયાસ કરવાનું" શરૂ કરીએ: 
1) ચાલો સૌથી ડાબી બાજુ જોઈએ: અંતર પસાર કરીને, આપણે ઢાળને ઊંચાઈ (લીલી રેખા) પર ચઢીએ છીએ. જથ્થો કહેવાય છે કાર્ય વધારો, અને માં આ બાબતેઆ વધારો હકારાત્મક છે (અક્ષ સાથેના મૂલ્યોમાં તફાવત શૂન્ય કરતા વધારે છે). ચાલો એક ગુણોત્તર બનાવીએ જે આપણા રસ્તાની ઢાળનું માપ હશે. દેખીતી રીતે, આ એક ખૂબ જ ચોક્કસ સંખ્યા છે, અને કારણ કે બંને વૃદ્ધિ હકારાત્મક છે, તો પછી.
ધ્યાન આપો! હોદ્દો છે એકપ્રતીક, એટલે કે, તમે "X" માંથી "ડેલ્ટા" ને "ફાડી" શકતા નથી અને આ અક્ષરોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈ શકતા નથી. અલબત્ત, ટિપ્પણી ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ સિમ્બોલની પણ ચિંતા કરે છે.
ચાલો પરિણામી અપૂર્ણાંકની પ્રકૃતિને વધુ અર્થપૂર્ણ રીતે અન્વેષણ કરીએ. ચાલો આપણે શરૂઆતમાં 20 મીટરની ઊંચાઈએ (ડાબી કાળા બિંદુએ) હોઈએ. મીટરનું અંતર (ડાબી લાલ રેખા) કવર કર્યા પછી, આપણે આપણી જાતને 60 મીટરની ઊંચાઈએ શોધીશું. પછી ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ થશે 
મીટર (લીલી રેખા) અને: . આમ, દરેક મીટર પરરસ્તાનો આ વિભાગ ઊંચાઈ વધે છે સરેરાશ 4 મીટર દ્વારા...તમારા ચડતા સાધનો ભૂલી ગયા છો? =) બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બાંધવામાં આવેલ સંબંધ ફંક્શનના ફેરફારના સરેરાશ દર (આ કિસ્સામાં, વૃદ્ધિ) દર્શાવે છે.
નૉૅધ : સંખ્યાત્મક મૂલ્યોવિચારણા હેઠળનું ઉદાહરણ ફક્ત ડ્રોઇંગના પ્રમાણને અનુરૂપ છે.
2) હવે ચાલો જમણી બાજુના કાળા બિંદુથી સમાન અંતરે જઈએ. અહીં વધારો વધુ ક્રમિક છે, તેથી વધારો (ક્રિમસન લાઇન) પ્રમાણમાં નાનો છે, અને અગાઉના કેસની તુલનામાં ગુણોત્તર ખૂબ જ સાધારણ હશે. પ્રમાણમાં કહીએ તો, 
મીટર અને કાર્ય વૃદ્ધિ દરછે . એટલે કે, અહીં પાથના દરેક મીટર માટે ત્યાં છે સરેરાશઅડધો મીટર વધારો.
3) પર્વતમાળા પર થોડું સાહસ. ચાલો ટોચ પર જોઈએ કાળો બિંદુ, ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સ્થિત છે. ચાલો માની લઈએ કે આ 50 મીટરનું ચિહ્ન છે. અમે ફરીથી અંતરને દૂર કરીએ છીએ, પરિણામે આપણે પોતાને નીચા શોધીએ છીએ - 30 મીટરના સ્તરે. ત્યારથી આંદોલન કરવામાં આવે છે ઉપરથી નીચે(અક્ષની "કાઉન્ટર" દિશામાં), પછી અંતિમ કાર્યનો વધારો (ઊંચાઈ) નકારાત્મક હશે: 
મીટર (ડ્રોઇંગમાં બ્રાઉન સેગમેન્ટ). અને આ કિસ્સામાં આપણે પહેલાથી જ વાત કરી રહ્યા છીએ ઘટાડો દરવિશેષતા: 
, એટલે કે, આ વિભાગના પાથના દરેક મીટર માટે, ઊંચાઈ ઘટે છે સરેરાશ 2 મીટર દ્વારા. પાંચમા બિંદુએ તમારા કપડાંની કાળજી લો.
હવે આપણે આપણી જાતને પ્રશ્ન પૂછીએ: "માપવાના ધોરણ" નું કયું મૂલ્ય વાપરવું શ્રેષ્ઠ છે? તે સંપૂર્ણપણે સમજી શકાય તેવું છે, 10 મીટર ખૂબ રફ છે. એક સારા ડઝન હમ્મોક્સ તેમના પર સરળતાથી ફિટ થઈ શકે છે. બમ્પ્સ ભલે ગમે તે હોય, નીચે ઊંડી ખાડો હોઈ શકે છે, અને થોડા મીટર પછી તેની બીજી બાજુ વધુ ઊંચો વધારો છે. આમ, દસ-મીટર સાથે આપણને ગુણોત્તર દ્વારા પાથના આવા વિભાગોનું બુદ્ધિગમ્ય વર્ણન મળશે નહીં.
ઉપરોક્ત ચર્ચામાંથી નીચે મુજબનું નિષ્કર્ષ નીકળે છે. કેવી રીતે ઓછું મૂલ્ય , વધુ સચોટ રીતે આપણે રોડ ટોપોગ્રાફીનું વર્ણન કરીએ છીએ. વધુમાં, નીચેની હકીકતો સાચી છે:
– કોઈપણ માટેલિફ્ટિંગ પોઈન્ટ 
તમે મૂલ્ય પસંદ કરી શકો છો (ભલે ખૂબ જ નાનું હોય) જે ચોક્કસ ઉદયની સીમાઓમાં બંધબેસે છે. આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ઊંચાઈ વૃદ્ધિ હકારાત્મક હોવાની ખાતરી આપવામાં આવશે, અને અસમાનતા આ અંતરાલોના દરેક બિંદુએ કાર્યની વૃદ્ધિને યોગ્ય રીતે સૂચવશે.
- તેવી જ રીતે, કોઈપણ માટેઢાળ બિંદુ ત્યાં એક મૂલ્ય છે જે આ ઢોળાવ પર સંપૂર્ણપણે ફિટ થશે. પરિણામે, ઊંચાઈમાં અનુરૂપ વધારો સ્પષ્ટપણે નકારાત્મક છે, અને અસમાનતા આપેલ અંતરાલના દરેક બિંદુએ કાર્યમાં ઘટાડો યોગ્ય રીતે બતાવશે.
- ખાસ કરીને રસપ્રદ કિસ્સો એ છે કે જ્યારે ફંક્શનના ફેરફારનો દર શૂન્ય હોય છે: . સૌપ્રથમ, શૂન્ય ઊંચાઈ વધારો () એ સરળ માર્ગની નિશાની છે. અને બીજું, ત્યાં અન્ય રસપ્રદ પરિસ્થિતિઓ છે, જેના ઉદાહરણો તમે આકૃતિમાં જુઓ છો. કલ્પના કરો કે ભાગ્ય આપણને ઉડતા ગરુડ સાથેની ટેકરીની ટોચ પર અથવા ક્રોકિંગ દેડકાઓ સાથે કોતરના તળિયે લાવ્યું છે. જો તમે કોઈપણ દિશામાં નાનું પગલું ભરો છો, તો ઊંચાઈમાં ફેરફાર નજીવો હશે, અને આપણે કહી શકીએ કે કાર્યના પરિવર્તનનો દર વાસ્તવમાં શૂન્ય છે. આ બિંદુઓ પર અવલોકન થયેલ ચિત્ર બરાબર છે.
આમ, અમે ફંક્શનના ફેરફારના દરને સંપૂર્ણ રીતે સચોટ રીતે દર્શાવવાની એક અદ્ભુત તક પર આવ્યા છીએ. અંતમાં ગાણિતિક વિશ્લેષણતમને દલીલના વધારાને શૂન્ય પર દિશામાન કરવાની મંજૂરી આપે છે: , એટલે કે, તેને બનાવો અનંત.
પરિણામે, બીજો તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું રસ્તા અને તેના શેડ્યૂલ માટે શોધવાનું શક્ય છે અન્ય કાર્ય, જે અમને જણાવશેબધા સપાટ વિભાગો, ચડતો, ઉતરતા, શિખરો, ખીણો, તેમજ રસ્તામાં દરેક બિંદુએ વૃદ્ધિ/ઘટાડાના દર વિશે?
વ્યુત્પન્ન શું છે? વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા.
વ્યુત્પન્ન અને વિભેદકનો ભૌમિતિક અર્થ
કૃપા કરીને કાળજીપૂર્વક વાંચો અને ખૂબ ઝડપથી નહીં - સામગ્રી સરળ અને દરેક માટે સુલભ છે! તે ઠીક છે જો કેટલીક જગ્યાએ કંઈક સ્પષ્ટ નથી લાગતું, તો તમે હંમેશા પછીથી લેખ પર પાછા આવી શકો છો. હું વધુ કહીશ, તમામ મુદ્દાઓને સારી રીતે સમજવા માટે સિદ્ધાંતનો ઘણી વખત અભ્યાસ કરવો ઉપયોગી છે (સલાહ ખાસ કરીને "તકનીકી" વિદ્યાર્થીઓ માટે સંબંધિત છે, જેમના માટે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં ઉચ્ચ ગણિત મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે).
સ્વાભાવિક રીતે, એક બિંદુએ વ્યુત્પન્નની ખૂબ જ વ્યાખ્યામાં આપણે તેને આની સાથે બદલીએ છીએ:
અમે શું કરવા આવ્યા છીએ? અને અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે કાયદા અનુસાર કાર્ય માટે 
અનુસાર મૂકવામાં આવે છે અન્ય કાર્ય, જેને કહેવામાં આવે છે વ્યુત્પન્ન કાર્ય(અથવા ખાલી વ્યુત્પન્ન).
વ્યુત્પન્ન લાક્ષણિકતા ફેરફારનો દરકાર્યો કેવી રીતે? લેખની શરૂઆતથી જ વિચાર લાલ દોરાની જેમ ચાલે છે. ચાલો અમુક મુદ્દા પર વિચાર કરીએ વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્યો આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનને અલગ કરવા દો. પછી:
1) જો, તો બિંદુ પર કાર્ય વધે છે. અને દેખીતી રીતે છે અંતરાલ(એકદમ નાનો પણ), જેમાં એક બિંદુ છે કે જેના પર કાર્ય વધે છે અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે.
2) જો, તો બિંદુ પર કાર્ય ઘટે છે. અને ત્યાં એક અંતરાલ છે જેમાં એક બિંદુ છે કે જેના પર કાર્ય ઘટે છે (ગ્રાફ "ટોચથી નીચે" જાય છે).
3) જો, તો અનંત નજીકએક બિંદુની નજીક ફંક્શન તેની ગતિ સતત જાળવી રાખે છે. આ થાય છે, જેમ નોંધ્યું છે, સતત કાર્ય સાથે અને કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર, વિશેષ રીતે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ પર.
થોડીક સિમેન્ટિક્સ. ક્રિયાપદ "ભેદ" નો વ્યાપક અર્થમાં શું અર્થ થાય છે? ભિન્નતાનો અર્થ એ છે કે કોઈ લક્ષણને પ્રકાશિત કરવું. ફંક્શનને અલગ કરીને, અમે ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન સ્વરૂપમાં તેના ફેરફારના દરને "અલગ" કરીએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, "વ્યુત્પન્ન" શબ્દનો અર્થ શું છે? કાર્ય થયુંકાર્યમાંથી.
વ્યુત્પન્નના યાંત્રિક અર્થ દ્વારા શબ્દો ખૂબ જ સફળતાપૂર્વક અર્થઘટન કરવામાં આવે છે
:
ચાલો સમયના આધારે શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફારના નિયમ અને ગતિની ગતિના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. આપેલ શરીર. ફંક્શન બોડી કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે, તેથી તે સમયના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે: . જો "શરીર ચળવળ" ની વિભાવના પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં ન હોત, તો ત્યાં ના હોત વ્યુત્પન્ન"શરીરની ગતિ" નો ખ્યાલ.
શરીરનો પ્રવેગ એ ગતિના પરિવર્તનનો દર છે, તેથી: 
. જો "શરીરની ગતિ" અને "શરીરની ગતિ" ની પ્રારંભિક વિભાવનાઓ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં ન હોત, તો ત્યાં અસ્તિત્વમાં ન હોત વ્યુત્પન્ન"શરીર પ્રવેગક" ની વિભાવના.
વ્યાખ્યા.કાર્ય \(y = f(x) \) ને ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો જેમાં બિંદુ \(x_0\) પોતાની અંદર હોય. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્ન દર્શાવવા માટે થાય છે. નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરોક્ત મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.
વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે. :
\(k = f"(a)\)
ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.
હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને ચોક્કસ બિંદુ \(x\) પર વ્યુત્પન્ન થવા દો:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો દલીલની વૃદ્ધિ માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.
ચાલો તેને ઘડીએ.
ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?
1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) ને વધારો આપો \(\Delta x\), નવા બિંદુ પર જાઓ \(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).
ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?
બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પર કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને, યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.
આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.
તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.
વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર ખેંચી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
વધુ એક ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 સ્વરૂપ છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?
જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.
ભિન્નતાના નિયમો
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો C એ સ્થિર સંખ્યા છે અને f=f(x), g=g(x) અમુક વિભેદક વિધેયો છે, તો નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
