વિશ્વમાં એવા ઘણા લોકો નથી કે જેમણે ક્યારેય ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેય વિશે સાંભળ્યું ન હોય - કદાચ આ એકમાત્ર ગાણિતિક સમસ્યા છે જે આટલી વ્યાપકપણે જાણીતી બની છે અને વાસ્તવિક દંતકથા બની ગઈ છે. તે ઘણા પુસ્તકો અને ફિલ્મોમાં ઉલ્લેખિત છે, અને લગભગ તમામ ઉલ્લેખોનો મુખ્ય સંદર્ભ એ પ્રમેયને સાબિત કરવાની અશક્યતા છે.
હા, આ પ્રમેય ખૂબ જાણીતો છે અને, એક અર્થમાં, કલાપ્રેમી અને વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા પૂજવામાં આવતી "મૂર્તિ" બની ગઈ છે, પરંતુ થોડા લોકો જાણે છે કે તેનો પુરાવો મળી આવ્યો હતો, અને આ 1995 માં થયું હતું. પરંતુ પ્રથમ વસ્તુઓ પ્રથમ.
તેથી, ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય (જેને ઘણીવાર ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે), જે 1637માં તેજસ્વી ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પિયર ફર્મેટ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું, તે સારમાં ખૂબ જ સરળ અને માધ્યમિક શિક્ષણ ધરાવતા કોઈપણ માટે સમજી શકાય તેવું છે. તે કહે છે કે n + b ની ઘાતથી n = c ની ઘાતથી n ની ઘાત માટેના સૂત્રમાં n > 2 માટે કુદરતી (એટલે કે અપૂર્ણાંક નથી) ઉકેલો નથી. બધું સરળ અને સ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ શ્રેષ્ઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને સામાન્ય એમેચ્યોર સાડા ત્રણ સદીઓથી વધુ સમયથી ઉકેલ શોધવામાં સંઘર્ષ કરી રહ્યા હતા.
તેણી આટલી પ્રખ્યાત કેમ છે? હવે આપણે જાણીશું...
શું ત્યાં ઘણા સાબિત, અપ્રમાણિત અને હજુ સુધી અપ્રમાણિત પ્રમેય છે? અહીં મુદ્દો એ છે કે ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય ફોર્મ્યુલેશનની સરળતા અને પુરાવાની જટિલતા વચ્ચે સૌથી મોટો વિરોધાભાસ દર્શાવે છે. ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય એ અવિશ્વસનીય રીતે મુશ્કેલ સમસ્યા છે, અને તેમ છતાં તેનું ફોર્મ્યુલેશન હાઈસ્કૂલના 5મા ધોરણ સાથે કોઈ પણ વ્યક્તિ સમજી શકે છે, પરંતુ દરેક વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રી પણ સાબિતી સમજી શકતા નથી. ન તો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ન રસાયણશાસ્ત્રમાં, ન જીવવિજ્ઞાનમાં, ન ગણિતમાં, એવી એક પણ સમસ્યા છે કે જેને આટલી સરળ રીતે ઘડી શકાય, પણ આટલા લાંબા સમય સુધી વણઉકેલાયેલી રહી. 2. તે શું સમાવે છે?
ચાલો પાયથાગોરિયન પેન્ટથી શરૂઆત કરીએ. શબ્દરચના ખરેખર સરળ છે - પ્રથમ નજરમાં. જેમ આપણે બાળપણથી જાણીએ છીએ, "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે." સમસ્યા એટલી સરળ લાગે છે કારણ કે તે ગાણિતિક વિધાન પર આધારિત હતી જે દરેક જાણે છે - પાયથાગોરિયન પ્રમેય: કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના સરવાળા સમાન હોય છે.
પૂર્વે 5મી સદીમાં. પાયથાગોરસે પાયથાગોરિયન ભાઈચારાની સ્થાપના કરી. પાયથાગોરિયનોએ, અન્ય વસ્તુઓની સાથે, સમાનતા x²+y²=z²ને સંતોષતા પૂર્ણાંક ત્રિપુટીઓનો અભ્યાસ કર્યો. તેઓએ સાબિત કર્યું કે અસંખ્ય પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે અને તેમને શોધવા માટે સામાન્ય સૂત્રો પ્રાપ્ત કર્યા છે. તેઓએ કદાચ C's અને ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો. ખાતરી થઈ કે આ કામ કરતું નથી, પાયથાગોરિયનોએ તેમના નકામા પ્રયાસો છોડી દીધા. ભાઈચારાના સભ્યો ગણિતશાસ્ત્રીઓ કરતાં વધુ ફિલસૂફ અને સૌંદર્યશાસ્ત્રી હતા.
એટલે કે, સમાનતા x²+y²=z²ને સંપૂર્ણ રીતે સંતોષતી સંખ્યાઓનો સમૂહ પસંદ કરવો સરળ છે.
3, 4, 5 થી શરૂ કરીને - ખરેખર, જુનિયર વિદ્યાર્થી સમજે છે કે 9 + 16 = 25.
અથવા 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. મહાન.
તેથી, તે તારણ આપે છે કે તેઓ નથી. આ તે છે જ્યાં યુક્તિ શરૂ થાય છે. સરળતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે કોઈ વસ્તુની હાજરી નથી તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ છે, પરંતુ, તેનાથી વિપરીત, તેની ગેરહાજરી. જ્યારે તમારે સાબિત કરવાની જરૂર હોય કે કોઈ ઉકેલ છે, ત્યારે તમે આ ઉકેલને સરળ રીતે રજૂ કરી શકો છો અને જોઈએ.
ગેરહાજરી સાબિત કરવી વધુ મુશ્કેલ છે: ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ કહે છે: આવા અને આવા સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. તેને ખાબોચિયામાં નાખો? સરળ: બામ - અને તે અહીં છે, ઉકેલ! (ઉકેલ આપો). અને તે છે, પ્રતિસ્પર્ધી પરાજિત છે. ગેરહાજરી કેવી રીતે સાબિત કરવી?
કહો: "મને આવા ઉકેલો મળ્યા નથી"? અથવા કદાચ તમે સારી રીતે જોઈ રહ્યા ન હતા? જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો શું, ફક્ત ખૂબ જ વિશાળ, ખૂબ જ વિશાળ, જેમ કે સુપર-શક્તિશાળી કમ્પ્યુટરમાં પણ પૂરતી શક્તિ નથી? આ તે છે જે મુશ્કેલ છે.
આને દૃષ્ટિની રીતે આ રીતે બતાવી શકાય છે: જો તમે યોગ્ય કદના બે ચોરસ લો અને તેમને એકમ ચોરસમાં ડિસએસેમ્બલ કરો, તો પછી એકમ ચોરસના આ સમૂહમાંથી તમને ત્રીજો ચોરસ મળશે (ફિગ. 2): 
પરંતુ ચાલો ત્રીજા પરિમાણ (ફિગ. 3) સાથે તે જ કરીએ - તે કામ કરતું નથી. ત્યાં પૂરતા સમઘન નથી, અથવા વધારાના બાકી છે:
પરંતુ 17મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રેંચમેન પિયર ડી ફર્મેટે સામાન્ય સમીકરણ x n + y n = z n નો ઉત્સાહપૂર્વક અભ્યાસ કર્યો. અને અંતે, મેં તારણ કાઢ્યું: n>2 માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલો નથી. ફર્મેટનો પુરાવો અવિશ્વસનીય રીતે ખોવાઈ ગયો છે. હસ્તપ્રતો બળી રહી છે! જે બાકી છે તે ડાયોફન્ટસના અંકગણિતમાં તેમની ટિપ્પણી છે: "મને આ દરખાસ્તનો ખરેખર અદ્ભુત પુરાવો મળ્યો છે, પરંતુ અહીંના માર્જિન તેને સમાવવા માટે ખૂબ સાંકડા છે."
વાસ્તવમાં, પુરાવા વગરના પ્રમેયને પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. પરંતુ ફર્મેટ ક્યારેય ભૂલો ન કરવા માટે પ્રતિષ્ઠા ધરાવે છે. જો તેણે નિવેદનના પુરાવા છોડ્યા ન હોય તો પણ, તે પછીથી પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. તદુપરાંત, ફર્મટે n=4 માટે તેમની થીસીસ સાબિત કરી. આમ, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીની પૂર્વધારણા ઇતિહાસમાં ફર્મેટની છેલ્લી પ્રમેય તરીકે નીચે ગઈ.
ફર્મેટ પછી, લિયોનહાર્ડ યુલર જેવા મહાન દિમાગોએ સાબિતીની શોધ પર કામ કર્યું (1770 માં તેમણે n = 3 માટે ઉકેલ સૂચવ્યો),
Adrien Legendre અને Johann Dirichlet (આ વિજ્ઞાનીઓને સંયુક્ત રીતે n = 5 માટે 1825માં સાબિતી મળી હતી), ગેબ્રિયલ લેમે (જેને n = 7 માટે સાબિતી મળી હતી) અને અન્ય ઘણા લોકો. છેલ્લી સદીના 80 ના દાયકાના મધ્યભાગ સુધીમાં, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું હતું કે વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના અંતિમ ઉકેલના માર્ગ પર છે, પરંતુ માત્ર 1993 માં ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જોયું અને માન્યું કે ત્રણ સદીના મહાકાવ્યનો પુરાવો શોધવામાં ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય વ્યવહારીક રીતે સમાપ્ત થઈ ગયું હતું.
તે સહેલાઈથી દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ફર્મેટના પ્રમેયને માત્ર સરળ n માટે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... સંયુક્ત n માટે, સાબિતી માન્ય રહે છે. પરંતુ અનંતપણે ઘણી બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે...
1825 માં, સોફી જર્મેનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સ્ત્રી ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ડિરિચલેટ અને લિજેન્ડ્રેએ સ્વતંત્ર રીતે n=5 માટે પ્રમેય સાબિત કર્યો. 1839 માં, આ જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ફ્રેન્ચમેન ગેબ્રિયલ લેમે n=7 માટે પ્રમેયનું સત્ય બતાવ્યું. ધીમે ધીમે પ્રમેય લગભગ તમામ n સો કરતાં ઓછા માટે સાબિત થયો.
અંતે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી અર્ન્સ્ટ કુમરે, એક તેજસ્વી અભ્યાસમાં દર્શાવ્યું હતું કે સામાન્ય રીતે પ્રમેય 19મી સદીના ગણિતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતો નથી. ફર્મેટના પ્રમેયની સાબિતી માટે 1847 માં સ્થપાયેલ ફ્રેન્ચ એકેડેમી ઓફ સાયન્સનું પુરસ્કાર, અનાવર્ડ રહ્યું.
1907 માં, શ્રીમંત જર્મન ઉદ્યોગપતિ પૌલ વુલ્ફસ્કેહલે અપૂરતા પ્રેમને કારણે પોતાનો જીવ લેવાનું નક્કી કર્યું. સાચા જર્મનની જેમ, તેણે આત્મહત્યાની તારીખ અને સમય સેટ કર્યો: બરાબર મધ્યરાત્રિએ. છેલ્લા દિવસે તેણે વસિયતનામું બનાવ્યું અને મિત્રો અને સંબંધીઓને પત્રો લખ્યા. મધ્યરાત્રિ પહેલા વસ્તુઓ સમાપ્ત થઈ. એવું કહેવું જ જોઇએ કે પોલને ગણિતમાં રસ હતો. બીજું કંઈ ન હોવાથી તે લાઈબ્રેરીમાં ગયો અને કુમરનો પ્રખ્યાત લેખ વાંચવા લાગ્યો. અચાનક તેને લાગ્યું કે કુમરે તેના તર્કમાં ભૂલ કરી છે. વુલ્ફસ્કેલે તેના હાથમાં પેન્સિલ સાથે લેખના આ ભાગનું વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કર્યું. મધરાત વીતી ગઈ, સવાર થઈ. પ્રૂફમાં રહેલી ગેપ પુરી કરવામાં આવી છે. અને આત્મહત્યાનું કારણ હવે સંપૂર્ણપણે હાસ્યાસ્પદ લાગતું હતું. પાઉલે તેના વિદાય પત્રો ફાડી નાખ્યા અને તેની ઇચ્છા ફરીથી લખી.
તે ટૂંક સમયમાં કુદરતી કારણોસર મૃત્યુ પામ્યો. વારસદારોને ખૂબ જ આશ્ચર્ય થયું: 100,000 માર્ક્સ (1,000,000 વર્તમાન પાઉન્ડ સ્ટર્લિંગ કરતાં વધુ) રોયલ સાયન્ટિફિક સોસાયટી ઓફ ગોટિંગેનના ખાતામાં ટ્રાન્સફર કરવામાં આવ્યા હતા, જેણે તે જ વર્ષે વુલ્ફસ્કેલ પ્રાઇઝ માટેની સ્પર્ધાની જાહેરાત કરી હતી. ફર્મેટનું પ્રમેય સાબિત કરનાર વ્યક્તિને 100,000 માર્ક્સ આપવામાં આવ્યા હતા. પ્રમેયનું ખંડન કરવા બદલ પેફેનિગને પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો ન હતો...
મોટાભાગના વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના પુરાવાની શોધને નિરાશાજનક કાર્ય માન્યું અને આવી નકામી કવાયતમાં સમય બગાડવાનો નિશ્ચિતપણે ઇનકાર કર્યો. પરંતુ એમેચ્યોર્સનો ધડાકો હતો. ઘોષણાના થોડા અઠવાડિયા પછી, "પુરાવા" નો હિમપ્રપાત યુનિવર્સિટી ઓફ ગોટીંગેન પર પડ્યો. પ્રોફેસર E.M. લેન્ડૌ, જેમની જવાબદારી મોકલવામાં આવેલા પુરાવાઓનું વિશ્લેષણ કરવાની હતી, તેમણે તેમના વિદ્યાર્થીઓને કાર્ડનું વિતરણ કર્યું:
પ્રિય. . . . . . . .
મને ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના પુરાવા સાથે હસ્તપ્રત મોકલવા બદલ આભાર. પ્રથમ ભૂલ પૃષ્ઠ પર છે ... લાઇનમાં ... . તેના કારણે, સમગ્ર પુરાવા તેની માન્યતા ગુમાવે છે.
પ્રોફેસર E. M. Landau
1963માં, પૌલ કોહેને, ગોડેલના તારણ પર આધાર રાખીને, હિલ્બર્ટની ત્રેવીસ સમસ્યાઓમાંથી એકની વણઉકેલતા સાબિત કરી - અખંડ પૂર્વધારણા. જો ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય પણ અનિર્ણાયક હોય તો?! પરંતુ સાચા મહાન પ્રમેયના કટ્ટરપંથીઓ જરા પણ નિરાશ ન થયા. કમ્પ્યુટરના આગમનથી અચાનક ગણિતશાસ્ત્રીઓને સાબિતીની નવી પદ્ધતિ મળી. બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી, પ્રોગ્રામરો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓની ટીમોએ 500 સુધી, પછી 1,000 સુધી અને પછીથી 10,000 સુધીના તમામ મૂલ્યો માટે ફર્મેટની છેલ્લી પ્રમેય સાબિત કરી.
1980 ના દાયકામાં, સેમ્યુઅલ વેગસ્ટાફે મર્યાદા વધારીને 25,000 કરી, અને 1990 ના દાયકામાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જાહેર કર્યું કે ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય n 4 મિલિયન સુધીના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે. પરંતુ જો તમે અનંતમાંથી એક ટ્રિલિયન ટ્રિલિયન પણ બાદ કરો તો તે નાનું નહીં બને. ગણિતશાસ્ત્રીઓ આંકડાઓથી સહમત નથી. મહાન પ્રમેયને સાબિત કરવાનો અર્થ એ છે કે તે બધા માટે અનંતમાં જવાનું છે.
1954 માં, બે યુવાન જાપાની ગણિતશાસ્ત્રી મિત્રોએ મોડ્યુલર સ્વરૂપો પર સંશોધન કરવાનું શરૂ કર્યું. આ સ્વરૂપો સંખ્યાઓની શ્રેણી બનાવે છે, દરેક તેની પોતાની શ્રેણી સાથે. આકસ્મિક રીતે, તાનિયામાએ આ શ્રેણીઓની તુલના લંબગોળ સમીકરણો દ્વારા પેદા થતી શ્રેણી સાથે કરી હતી. તેઓ મેળ ખાય છે! પરંતુ મોડ્યુલર સ્વરૂપો ભૌમિતિક પદાર્થો છે, અને લંબગોળ સમીકરણો બીજગણિત છે. આવા વિવિધ પદાર્થો વચ્ચે ક્યારેય કોઈ જોડાણ મળ્યું નથી.
જો કે, સાવચેતીપૂર્વક પરીક્ષણ કર્યા પછી, મિત્રોએ એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકી: દરેક લંબગોળ સમીકરણમાં જોડિયા હોય છે - મોડ્યુલર સ્વરૂપ, અને ઊલટું. તે આ પૂર્વધારણા હતી જે ગણિતમાં સમગ્ર દિશાનો પાયો બની હતી, પરંતુ જ્યાં સુધી તાનિયામા-શિમુરાની પૂર્વધારણા સાબિત ન થાય ત્યાં સુધી આખી ઇમારત કોઈપણ ક્ષણે પડી શકે છે.
1984 માં, ગેરહાર્ડ ફ્રેએ દર્શાવ્યું હતું કે ફર્મેટના સમીકરણનો ઉકેલ, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને કેટલાક લંબગોળ સમીકરણમાં સમાવી શકાય છે. બે વર્ષ પછી, પ્રોફેસર કેન રિબેટે સાબિત કર્યું કે આ અનુમાનિત સમીકરણ મોડ્યુલર વિશ્વમાં સમકક્ષ હોઈ શકે નહીં. હવેથી, ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય તાનિયામા-શિમુરા અનુમાન સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલું હતું. કોઈપણ લંબગોળ વળાંક મોડ્યુલર છે તે સાબિત કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ફર્મેટના સમીકરણના ઉકેલ સાથે કોઈ લંબગોળ સમીકરણ નથી, અને ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય તરત જ સાબિત થશે. પરંતુ ત્રીસ વર્ષ સુધી તાનિયામા-શિમુરા પૂર્વધારણાને સાબિત કરવું શક્ય ન હતું, અને સફળતાની ઓછી અને ઓછી આશા હતી.
1963 માં, જ્યારે તે માત્ર દસ વર્ષનો હતો, ત્યારે એન્ડ્રુ વાઈલ્સ પહેલેથી જ ગણિતથી આકર્ષિત હતા. જ્યારે તેણે મહાન પ્રમેય વિશે જાણ્યું, ત્યારે તેને સમજાયું કે તે તેને છોડી શકશે નહીં. એક શાળાના છોકરા, વિદ્યાર્થી અને સ્નાતક વિદ્યાર્થી તરીકે, તેણે આ કાર્ય માટે પોતાને તૈયાર કર્યા.
કેન રિબેટના તારણો વિશે જાણ્યા પછી, વાઈલ્સ તાનિયામા-શિમુરાની પૂર્વધારણાને સાબિત કરવા માટે આગળ વધ્યા. તેણે સંપૂર્ણ એકલતા અને ગુપ્તતામાં કામ કરવાનું નક્કી કર્યું. "મને સમજાયું કે ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેય સાથે જે કંઈપણ સંબંધ ધરાવે છે તે ખૂબ જ રસ જગાડે છે... ઘણા બધા દર્શકો દેખીતી રીતે ધ્યેયની સિદ્ધિમાં દખલ કરે છે." સાત વર્ષની મહેનતનું વળતર મળ્યું, આખરે વાઈલ્સે તાનિયામા-શિમુરા અનુમાનનો પુરાવો પૂરો કર્યો.
1993માં, અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી એન્ડ્રુ વાઈલ્સે વિશ્વ સમક્ષ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયનો પુરાવો રજૂ કર્યો (વાઈલ્સે કેમ્બ્રિજમાં સર આઈઝેક ન્યૂટન ઈન્સ્ટિટ્યૂટ ખાતેની કોન્ફરન્સમાં તેમનો સનસનાટીભર્યો પેપર વાંચ્યો.), જેના પર કામ સાત વર્ષથી વધુ ચાલ્યું.
જ્યારે અખબારોમાં પ્રચાર ચાલુ રહ્યો, ત્યારે પુરાવા ચકાસવા માટે ગંભીર કાર્ય શરૂ થયું. પુરાવાને સખત અને સચોટ ગણવામાં આવે તે પહેલાં પુરાવાના દરેક ભાગની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરવી આવશ્યક છે. વાઈલ્સે સમીક્ષકોના પ્રતિસાદની રાહ જોઈને અસ્વસ્થ ઉનાળો પસાર કર્યો, એવી આશામાં કે તે તેમની મંજૂરી જીતી શકશે. ઑગસ્ટના અંતમાં, નિષ્ણાતોને ચુકાદો અપૂરતો સાબિત થયો.
તે બહાર આવ્યું છે કે આ નિર્ણયમાં એક ગંભીર ભૂલ છે, જો કે સામાન્ય રીતે તે સાચું છે. વાઈલ્સે હાર ન માની, નંબર થિયરીના પ્રખ્યાત નિષ્ણાત રિચાર્ડ ટેલરની મદદ લીધી, અને પહેલેથી જ 1994 માં તેઓએ પ્રમેયનો સુધારેલ અને વિસ્તૃત પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો. સૌથી અદ્ભુત બાબત એ છે કે આ કાર્ય ગાણિતિક જર્નલ “એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ” માં લગભગ 130 (!) પૃષ્ઠો ધરાવે છે. પરંતુ વાર્તા ત્યાં પણ સમાપ્ત થઈ ન હતી - અંતિમ બિંદુ ફક્ત પછીના વર્ષે, 1995 માં પહોંચ્યો હતો, જ્યારે ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી અંતિમ અને "આદર્શ", પુરાવાનું સંસ્કરણ પ્રકાશિત થયું હતું.
"...તેના જન્મદિવસ નિમિત્તે ઉત્સવની રાત્રિભોજનની શરૂઆતના અડધી મિનિટ પછી, મેં નાદ્યાને સંપૂર્ણ પુરાવાની હસ્તપ્રત રજૂ કરી" (એન્ડ્ર્યુ વેલ્સ). શું મેં હજી કહ્યું નથી કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિચિત્ર લોકો છે?
આ વખતે પુરાવા અંગે કોઈ શંકા નહોતી. બે લેખો અત્યંત સાવચેતીભર્યા પૃથ્થકરણને આધિન હતા અને મે 1995માં એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં પ્રકાશિત થયા હતા.
તે ક્ષણથી ઘણો સમય વીતી ગયો છે, પરંતુ સમાજમાં હજુ પણ એવો અભિપ્રાય છે કે ફર્મટની છેલ્લી પ્રમેય વણઉકેલાયેલી છે. પરંતુ જેઓ સાબિતી વિશે જાણે છે તેઓ પણ આ દિશામાં કામ કરવાનું ચાલુ રાખે છે - થોડા લોકો સંતુષ્ટ છે કે મહાન પ્રમેયને 130 પૃષ્ઠોના ઉકેલની જરૂર છે!
તેથી, હવે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ (મોટાભાગે એમેચ્યોર, વ્યાવસાયિક વૈજ્ઞાનિકો નહીં) ના પ્રયત્નો એક સરળ અને સંક્ષિપ્ત પુરાવાની શોધમાં નાખવામાં આવે છે, પરંતુ આ માર્ગ, મોટે ભાગે, ક્યાંય દોરી જશે નહીં ...
સ્ત્રોત
વ્યાખ્યાન 6. કાર્યોના અભ્યાસ માટે ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ
જો કાર્ય f(x) સેગમેન્ટના દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન છે [ એ, b], પછી વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને તેના વર્તનનો અભ્યાસ કરી શકાય છે f"(એક્સ).
ચાલો વિભેદક કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયને જોઈએ જે વ્યુત્પન્ન કાર્યક્રમોને અન્ડરલી કરે છે.
ફર્મેટનું પ્રમેય
પ્રમેય(ફાર્મ) ( વ્યુત્પન્નની શૂન્યની સમાનતા વિશે ). જો કાર્ય f(x), અંતરાલ પર અલગ (a, b) અને બિંદુ c પર તેના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે є ( a, b), પછી આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, એટલે કે f"(સાથે) = 0.
પુરાવો. કાર્ય કરવા દો f(x) અંતરાલ પર અલગ પડે છે ( a, b) અને બિંદુ પર એક્સ = સાથેસૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે એમખાતે સાથે є ( a, b) (ફિગ. 1), એટલે કે.
f(સાથે) ≥ f(x) અથવા f(x) – f(c) ≤ 0 અથવા f(s +Δ એક્સ) – f(સાથે) ≤ 0.
વ્યુત્પન્ન f"(x) બિંદુ પર એક્સ = સાથે: .
જો x> c, Δ એક્સ> 0 (એટલે કે Δ એક્સબિંદુની જમણી બાજુએ → 0 સાથે), તે 
અને તેથી f"(સાથે) ≤ 0.
જો x< с
, Δ એક્સ< 0 (т.е. Δએક્સબિંદુની ડાબી બાજુએ → 0 સાથે), તે 
, જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે f"(સાથે) ≥ 0.
શરતે f(x) બિંદુ પર અલગ છે સાથે, તેથી, તેની મર્યાદા x→ સાથેદલીલના અભિગમની દિશાની પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી xસીધા મુદ્દા પર સાથે, એટલે કે .
અમે એક સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાંથી તે અનુસરે છે f"(સાથે) = 0.
કદાચ f(સાથે) = ટી(તે. f(x) બિંદુએ લે છે સાથેસૌથી નાનું મૂલ્ય), સાબિતી સમાન છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ફર્મેટના પ્રમેયનો ભૌમિતિક અર્થ: અંતરાલમાં પ્રાપ્ત થયેલા સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યના બિંદુ પર, ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક x-અક્ષની સમાંતર છે.
તેથી, ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય (ઘણીવાર ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય કહેવાય છે), જે 1637માં તેજસ્વી ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પિયર ફર્મેટ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું, તે સ્વભાવમાં ખૂબ જ સરળ છે અને માધ્યમિક શિક્ષણ ધરાવતા કોઈપણ માટે સમજી શકાય તેવું છે. તે કહે છે કે n + b ની ઘાતથી n = c ની ઘાતથી n ની ઘાત માટેના સૂત્રમાં n > 2 માટે કુદરતી (એટલે કે અપૂર્ણાંક નથી) ઉકેલો નથી. બધું સરળ અને સ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ શ્રેષ્ઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને સામાન્ય એમેચ્યોર સાડા ત્રણ સદીઓથી વધુ સમયથી ઉકેલ શોધવામાં સંઘર્ષ કરી રહ્યા હતા.
તેણી આટલી પ્રખ્યાત કેમ છે? હવે આપણે જાણીશું...
શું ત્યાં ઘણા સાબિત, અપ્રમાણિત અને હજુ સુધી અપ્રમાણિત પ્રમેય છે? અહીં મુદ્દો એ છે કે ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય ફોર્મ્યુલેશનની સરળતા અને પુરાવાની જટિલતા વચ્ચે સૌથી મોટો વિરોધાભાસ દર્શાવે છે. ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય એ અવિશ્વસનીય રીતે મુશ્કેલ સમસ્યા છે, અને તેમ છતાં તેનું ફોર્મ્યુલેશન હાઈસ્કૂલના 5મા ધોરણ સાથે કોઈ પણ વ્યક્તિ સમજી શકે છે, પરંતુ દરેક વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રી પણ સાબિતી સમજી શકતા નથી. ન તો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ન રસાયણશાસ્ત્રમાં, ન જીવવિજ્ઞાનમાં, ન ગણિતમાં, એવી એક પણ સમસ્યા છે કે જેને આટલી સરળ રીતે ઘડી શકાય, પણ આટલા લાંબા સમય સુધી વણઉકેલાયેલી રહી. 2. તે શું સમાવે છે?
ચાલો પાયથાગોરિયન પેન્ટથી શરૂઆત કરીએ. શબ્દરચના ખરેખર સરળ છે - પ્રથમ નજરમાં. જેમ આપણે બાળપણથી જાણીએ છીએ, "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે." સમસ્યા એટલી સરળ લાગે છે કારણ કે તે ગાણિતિક વિધાન પર આધારિત હતી જે દરેક જાણે છે - પાયથાગોરિયન પ્રમેય: કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના સરવાળા સમાન હોય છે.
પૂર્વે 5મી સદીમાં. પાયથાગોરસે પાયથાગોરિયન ભાઈચારાની સ્થાપના કરી. પાયથાગોરિયનોએ, અન્ય વસ્તુઓની સાથે, સમાનતા x²+y²=z²ને સંતોષતા પૂર્ણાંક ત્રિપુટીઓનો અભ્યાસ કર્યો. તેઓએ સાબિત કર્યું કે અસંખ્ય પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે અને તેમને શોધવા માટે સામાન્ય સૂત્રો પ્રાપ્ત કર્યા છે. તેઓએ કદાચ C's અને ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો. ખાતરી થઈ કે આ કામ કરતું નથી, પાયથાગોરિયનોએ તેમના નકામા પ્રયાસો છોડી દીધા. ભાઈચારાના સભ્યો ગણિતશાસ્ત્રીઓ કરતાં વધુ ફિલસૂફ અને સૌંદર્યશાસ્ત્રી હતા.
એટલે કે, સમાનતા x²+y²=z²ને સંપૂર્ણ રીતે સંતોષતી સંખ્યાઓનો સમૂહ પસંદ કરવો સરળ છે.
3, 4, 5 થી શરૂ કરીને - ખરેખર, જુનિયર વિદ્યાર્થી સમજે છે કે 9 + 16 = 25.
અથવા 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. મહાન.
અને તેથી વધુ. જો આપણે સમાન સમીકરણ x³+y³=z³ લઈએ તો શું? કદાચ આવા નંબરો પણ છે?
અને તેથી વધુ (ફિગ. 1).
તેથી, તે તારણ આપે છે કે તેઓ નથી. આ તે છે જ્યાં યુક્તિ શરૂ થાય છે. સરળતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે કોઈ વસ્તુની હાજરી નથી તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ છે, પરંતુ, તેનાથી વિપરીત, તેની ગેરહાજરી. જ્યારે તમારે સાબિત કરવાની જરૂર હોય કે કોઈ ઉકેલ છે, ત્યારે તમે આ ઉકેલને સરળ રીતે રજૂ કરી શકો છો અને જોઈએ.
ગેરહાજરી સાબિત કરવી વધુ મુશ્કેલ છે: ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ કહે છે: આવા અને આવા સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. તેને ખાબોચિયામાં નાખો? સરળ: બામ - અને તે અહીં છે, ઉકેલ! (ઉકેલ આપો). અને તે છે, પ્રતિસ્પર્ધી પરાજિત છે. ગેરહાજરી કેવી રીતે સાબિત કરવી?
કહો: "મને આવા ઉકેલો મળ્યા નથી"? અથવા કદાચ તમે સારી રીતે જોઈ રહ્યા ન હતા? જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો શું, ફક્ત ખૂબ જ વિશાળ, ખૂબ જ વિશાળ, જેમ કે સુપર-શક્તિશાળી કમ્પ્યુટરમાં પણ પૂરતી શક્તિ નથી? આ તે છે જે મુશ્કેલ છે.
આને દૃષ્ટિની રીતે આ રીતે બતાવી શકાય છે: જો તમે યોગ્ય કદના બે ચોરસ લો અને તેમને એકમ ચોરસમાં ડિસએસેમ્બલ કરો, તો પછી એકમ ચોરસના આ સમૂહમાંથી તમને ત્રીજો ચોરસ મળશે (ફિગ. 2):
પરંતુ ચાલો ત્રીજા પરિમાણ (ફિગ. 3) સાથે તે જ કરીએ - તે કામ કરતું નથી. ત્યાં પૂરતા સમઘન નથી, અથવા વધારાના બાકી છે:
પરંતુ 17મી સદીના ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પિયર ડી ફર્મેટે સામાન્ય સમીકરણ x નો ઉત્સાહપૂર્વક અભ્યાસ કર્યો. n +y n =z n . અને અંતે, મેં તારણ કાઢ્યું: n>2 માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલો નથી. ફર્મેટનો પુરાવો અવિશ્વસનીય રીતે ખોવાઈ ગયો છે. હસ્તપ્રતો બળી રહી છે! જે બાકી છે તે ડાયોફન્ટસના અંકગણિતમાં તેમની ટિપ્પણી છે: "મને આ દરખાસ્તનો ખરેખર અદ્ભુત પુરાવો મળ્યો છે, પરંતુ અહીંના માર્જિન તેને સમાવવા માટે ખૂબ સાંકડા છે."
વાસ્તવમાં, પુરાવા વગરના પ્રમેયને પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. પરંતુ ફર્મેટ ક્યારેય ભૂલો ન કરવા માટે પ્રતિષ્ઠા ધરાવે છે. જો તેણે નિવેદનના પુરાવા છોડ્યા ન હોય તો પણ, તે પછીથી પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. તદુપરાંત, ફર્મટે n=4 માટે તેમની થીસીસ સાબિત કરી. આમ, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીની પૂર્વધારણા ઇતિહાસમાં ફર્મેટની છેલ્લી પ્રમેય તરીકે નીચે ગઈ.
ફર્મેટ પછી, લિયોનહાર્ડ યુલર જેવા મહાન દિમાગોએ સાબિતીની શોધ પર કામ કર્યું (1770 માં તેમણે n = 3 માટે ઉકેલ સૂચવ્યો),
Adrien Legendre અને Johann Dirichlet (આ વિજ્ઞાનીઓને સંયુક્ત રીતે n = 5 માટે 1825માં સાબિતી મળી હતી), ગેબ્રિયલ લેમે (જેને n = 7 માટે સાબિતી મળી હતી) અને અન્ય ઘણા લોકો. છેલ્લી સદીના 80 ના દાયકાના મધ્યભાગ સુધીમાં, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું હતું કે વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના અંતિમ ઉકેલના માર્ગ પર છે, પરંતુ માત્ર 1993 માં ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જોયું અને માન્યું કે ત્રણ સદીના મહાકાવ્યનો પુરાવો શોધવામાં ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય વ્યવહારીક રીતે સમાપ્ત થઈ ગયું હતું.
તે સહેલાઈથી દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ફર્મેટના પ્રમેયને માત્ર સરળ n માટે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... સંયુક્ત n માટે, સાબિતી માન્ય રહે છે. પરંતુ અનંતપણે ઘણી બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે...
1825 માં, સોફી જર્મેનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સ્ત્રી ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ડિરિચલેટ અને લિજેન્ડ્રેએ સ્વતંત્ર રીતે n=5 માટે પ્રમેય સાબિત કર્યો. 1839 માં, આ જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ફ્રેન્ચમેન ગેબ્રિયલ લેમે n=7 માટે પ્રમેયનું સત્ય બતાવ્યું. ધીમે ધીમે પ્રમેય લગભગ તમામ n સો કરતાં ઓછા માટે સાબિત થયો.
અંતે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી અર્ન્સ્ટ કુમરે, એક તેજસ્વી અભ્યાસમાં દર્શાવ્યું હતું કે સામાન્ય રીતે પ્રમેય 19મી સદીના ગણિતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતો નથી. ફર્મેટના પ્રમેયની સાબિતી માટે 1847 માં સ્થપાયેલ ફ્રેન્ચ એકેડેમી ઓફ સાયન્સનું પુરસ્કાર, અનાવર્ડ રહ્યું.
1907 માં, શ્રીમંત જર્મન ઉદ્યોગપતિ પૌલ વુલ્ફસ્કેહલે અપૂરતા પ્રેમને કારણે પોતાનો જીવ લેવાનું નક્કી કર્યું. સાચા જર્મનની જેમ, તેણે આત્મહત્યાની તારીખ અને સમય સેટ કર્યો: બરાબર મધ્યરાત્રિએ. છેલ્લા દિવસે તેણે વસિયતનામું બનાવ્યું અને મિત્રો અને સંબંધીઓને પત્રો લખ્યા. મધ્યરાત્રિ પહેલા વસ્તુઓ સમાપ્ત થઈ. એવું કહેવું જ જોઇએ કે પોલને ગણિતમાં રસ હતો. બીજું કંઈ ન હોવાથી તે લાઈબ્રેરીમાં ગયો અને કુમરનો પ્રખ્યાત લેખ વાંચવા લાગ્યો. અચાનક તેને લાગ્યું કે કુમરે તેના તર્કમાં ભૂલ કરી છે. વુલ્ફસ્કેલે તેના હાથમાં પેન્સિલ સાથે લેખના આ ભાગનું વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કર્યું. મધરાત વીતી ગઈ, સવાર થઈ. પ્રૂફમાં રહેલી ગેપ પુરી કરવામાં આવી છે. અને આત્મહત્યાનું કારણ હવે સંપૂર્ણપણે હાસ્યાસ્પદ લાગતું હતું. પાઉલે તેના વિદાય પત્રો ફાડી નાખ્યા અને તેની ઇચ્છા ફરીથી લખી.
તે ટૂંક સમયમાં કુદરતી કારણોસર મૃત્યુ પામ્યો. વારસદારોને ખૂબ જ આશ્ચર્ય થયું: 100,000 માર્ક્સ (1,000,000 વર્તમાન પાઉન્ડ સ્ટર્લિંગ કરતાં વધુ) રોયલ સાયન્ટિફિક સોસાયટી ઓફ ગોટિંગેનના ખાતામાં ટ્રાન્સફર કરવામાં આવ્યા હતા, જેણે તે જ વર્ષે વુલ્ફસ્કેલ પ્રાઇઝ માટેની સ્પર્ધાની જાહેરાત કરી હતી. ફર્મેટનું પ્રમેય સાબિત કરનાર વ્યક્તિને 100,000 માર્ક્સ આપવામાં આવ્યા હતા. પ્રમેયનું ખંડન કરવા બદલ પેફેનિગને પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો ન હતો...
મોટાભાગના વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના પુરાવાની શોધને નિરાશાજનક કાર્ય માન્યું અને આવી નકામી કવાયતમાં સમય બગાડવાનો નિશ્ચિતપણે ઇનકાર કર્યો. પરંતુ એમેચ્યોર્સનો ધડાકો હતો. ઘોષણાના થોડા અઠવાડિયા પછી, "પુરાવા" નો હિમપ્રપાત યુનિવર્સિટી ઓફ ગોટીંગેન પર પડ્યો. પ્રોફેસર E.M. લેન્ડૌ, જેમની જવાબદારી મોકલવામાં આવેલા પુરાવાઓનું વિશ્લેષણ કરવાની હતી, તેમણે તેમના વિદ્યાર્થીઓને કાર્ડનું વિતરણ કર્યું:
પ્રિય. . . . . . . .
મને ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયના પુરાવા સાથે હસ્તપ્રત મોકલવા બદલ આભાર. પ્રથમ ભૂલ પૃષ્ઠ પર છે ... લાઇનમાં ... . તેના કારણે, સમગ્ર પુરાવા તેની માન્યતા ગુમાવે છે.
પ્રોફેસર E. M. Landau
1963માં, પૌલ કોહેને, ગોડેલના તારણ પર આધાર રાખીને, હિલ્બર્ટની ત્રેવીસ સમસ્યાઓમાંથી એકની વણઉકેલતા સાબિત કરી - અખંડ પૂર્વધારણા. જો ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય પણ અનિર્ણાયક હોય તો?! પરંતુ સાચા મહાન પ્રમેયના કટ્ટરપંથીઓ જરા પણ નિરાશ ન થયા. કમ્પ્યુટરના આગમનથી અચાનક ગણિતશાસ્ત્રીઓને સાબિતીની નવી પદ્ધતિ મળી. બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી, પ્રોગ્રામરો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓની ટીમોએ 500 સુધી, પછી 1,000 સુધી અને પછીથી 10,000 સુધીના તમામ મૂલ્યો માટે ફર્મેટની છેલ્લી પ્રમેય સાબિત કરી.
1980 ના દાયકામાં, સેમ્યુઅલ વેગસ્ટાફે મર્યાદા વધારીને 25,000 કરી, અને 1990 ના દાયકામાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જાહેર કર્યું કે ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય n 4 મિલિયન સુધીના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે. પરંતુ જો તમે અનંતમાંથી એક ટ્રિલિયન ટ્રિલિયન પણ બાદ કરો તો તે નાનું નહીં બને. ગણિતશાસ્ત્રીઓ આંકડાઓથી સહમત નથી. મહાન પ્રમેયને સાબિત કરવાનો અર્થ એ છે કે તે બધા માટે અનંતમાં જવાનું છે.
1954 માં, બે યુવાન જાપાની ગણિતશાસ્ત્રી મિત્રોએ મોડ્યુલર સ્વરૂપો પર સંશોધન કરવાનું શરૂ કર્યું. આ સ્વરૂપો સંખ્યાઓની શ્રેણી બનાવે છે, દરેક તેની પોતાની શ્રેણી સાથે. આકસ્મિક રીતે, તાનિયામાએ આ શ્રેણીઓની તુલના લંબગોળ સમીકરણો દ્વારા પેદા થતી શ્રેણી સાથે કરી હતી. તેઓ મેળ ખાય છે! પરંતુ મોડ્યુલર સ્વરૂપો ભૌમિતિક પદાર્થો છે, અને લંબગોળ સમીકરણો બીજગણિત છે. આવા વિવિધ પદાર્થો વચ્ચે ક્યારેય કોઈ જોડાણ મળ્યું નથી.
જો કે, સાવચેતીપૂર્વક પરીક્ષણ કર્યા પછી, મિત્રોએ એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકી: દરેક લંબગોળ સમીકરણમાં જોડિયા હોય છે - મોડ્યુલર સ્વરૂપ, અને ઊલટું. તે આ પૂર્વધારણા હતી જે ગણિતમાં સમગ્ર દિશાનો પાયો બની હતી, પરંતુ જ્યાં સુધી તાનિયામા-શિમુરાની પૂર્વધારણા સાબિત ન થાય ત્યાં સુધી આખી ઇમારત કોઈપણ ક્ષણે પડી શકે છે.
1984 માં, ગેરહાર્ડ ફ્રેએ દર્શાવ્યું હતું કે ફર્મેટના સમીકરણનો ઉકેલ, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને કેટલાક લંબગોળ સમીકરણમાં સમાવી શકાય છે. બે વર્ષ પછી, પ્રોફેસર કેન રિબેટે સાબિત કર્યું કે આ અનુમાનિત સમીકરણ મોડ્યુલર વિશ્વમાં સમકક્ષ હોઈ શકે નહીં. હવેથી, ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય તાનિયામા-શિમુરા અનુમાન સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલું હતું. કોઈપણ લંબગોળ વળાંક મોડ્યુલર છે તે સાબિત કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ફર્મેટના સમીકરણના ઉકેલ સાથે કોઈ લંબગોળ સમીકરણ નથી, અને ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય તરત જ સાબિત થશે. પરંતુ ત્રીસ વર્ષ સુધી તાનિયામા-શિમુરા પૂર્વધારણાને સાબિત કરવું શક્ય ન હતું, અને સફળતાની ઓછી અને ઓછી આશા હતી.
1963 માં, જ્યારે તે માત્ર દસ વર્ષનો હતો, ત્યારે એન્ડ્રુ વાઈલ્સ પહેલેથી જ ગણિતથી આકર્ષિત હતા. જ્યારે તેણે મહાન પ્રમેય વિશે જાણ્યું, ત્યારે તેને સમજાયું કે તે તેને છોડી શકશે નહીં. એક શાળાના છોકરા, વિદ્યાર્થી અને સ્નાતક વિદ્યાર્થી તરીકે, તેણે આ કાર્ય માટે પોતાને તૈયાર કર્યા.
કેન રિબેટના તારણો વિશે જાણ્યા પછી, વાઈલ્સ તાનિયામા-શિમુરાના અનુમાનને સાબિત કરવા માટે આગળ વધ્યા. તેણે સંપૂર્ણ એકલતા અને ગુપ્તતામાં કામ કરવાનું નક્કી કર્યું. "મને સમજાયું કે ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેય સાથે જે કંઈપણ સંબંધ ધરાવે છે તે ખૂબ જ રસ જગાડે છે... ઘણા બધા દર્શકો દેખીતી રીતે ધ્યેયની સિદ્ધિમાં દખલ કરે છે." સાત વર્ષની મહેનતનું ફળ મળ્યું; આખરે વાઈલ્સે તાનિયામા-શિમુરા અનુમાનનો પુરાવો પૂરો કર્યો.
1993માં, અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી એન્ડ્રુ વાઈલ્સે વિશ્વ સમક્ષ ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયનો પુરાવો રજૂ કર્યો (વાઈલ્સે કેમ્બ્રિજમાં સર આઈઝેક ન્યૂટન ઈન્સ્ટિટ્યૂટ ખાતેની કોન્ફરન્સમાં તેમનો સનસનાટીભર્યો પેપર વાંચ્યો.), જેના પર કામ સાત વર્ષથી વધુ ચાલ્યું.
જ્યારે અખબારોમાં પ્રચાર ચાલુ રહ્યો, ત્યારે પુરાવા ચકાસવા માટે ગંભીર કાર્ય શરૂ થયું. પુરાવાને સખત અને સચોટ ગણવામાં આવે તે પહેલાં પુરાવાના દરેક ભાગની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરવી આવશ્યક છે. વાઈલ્સે સમીક્ષકોના પ્રતિસાદની રાહ જોઈને અસ્વસ્થ ઉનાળો પસાર કર્યો, એવી આશામાં કે તે તેમની મંજૂરી જીતી શકશે. ઑગસ્ટના અંતમાં, નિષ્ણાતોને ચુકાદો અપૂરતો સાબિત થયો.
તે બહાર આવ્યું છે કે આ નિર્ણયમાં એક ગંભીર ભૂલ છે, જો કે સામાન્ય રીતે તે સાચું છે. વાઈલ્સે હાર ન માની, નંબર થિયરીના પ્રખ્યાત નિષ્ણાત રિચાર્ડ ટેલરની મદદ લીધી, અને પહેલેથી જ 1994 માં તેઓએ પ્રમેયનો સુધારેલ અને વિસ્તૃત પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો. સૌથી અદ્ભુત બાબત એ છે કે આ કાર્ય ગાણિતિક જર્નલ “એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ” માં લગભગ 130 (!) પૃષ્ઠો ધરાવે છે. પરંતુ વાર્તા ત્યાં પણ સમાપ્ત થઈ ન હતી - અંતિમ બિંદુ ફક્ત પછીના વર્ષે, 1995 માં પહોંચ્યો હતો, જ્યારે ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી અંતિમ અને "આદર્શ", પુરાવાનું સંસ્કરણ પ્રકાશિત થયું હતું.
"...તેના જન્મદિવસ નિમિત્તે ઉત્સવની રાત્રિભોજનની શરૂઆતના અડધી મિનિટ પછી, મેં નાદ્યાને સંપૂર્ણ પુરાવાની હસ્તપ્રત રજૂ કરી" (એન્ડ્ર્યુ વેલ્સ). શું મેં હજી કહ્યું નથી કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિચિત્ર લોકો છે?
આ વખતે પુરાવા અંગે કોઈ શંકા નહોતી. બે લેખો અત્યંત સાવચેતીભર્યા પૃથ્થકરણને આધિન હતા અને મે 1995માં એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં પ્રકાશિત થયા હતા.
તે ક્ષણથી ઘણો સમય વીતી ગયો છે, પરંતુ સમાજમાં હજુ પણ એવો અભિપ્રાય છે કે ફર્મટની છેલ્લી પ્રમેય વણઉકેલાયેલી છે. પરંતુ જેઓ સાબિતી વિશે જાણે છે તેઓ પણ આ દિશામાં કામ કરવાનું ચાલુ રાખે છે - થોડા લોકો સંતુષ્ટ છે કે મહાન પ્રમેયને 130 પૃષ્ઠોના ઉકેલની જરૂર છે!
તેથી, હવે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ (મોટાભાગે એમેચ્યોર, વ્યાવસાયિક વૈજ્ઞાનિકો નહીં) ના પ્રયત્નો એક સરળ અને સંક્ષિપ્ત પુરાવાની શોધમાં નાખવામાં આવે છે, પરંતુ આ માર્ગ, મોટે ભાગે, ક્યાંય દોરી જશે નહીં ...
