Ֆունկցիայի ավելացում, նվազում և ծայրահեղություն
Գործառույթի ավելացման, նվազման և ծայրահեղության միջակայքերը գտնելը հետևյալն է. անկախ առաջադրանքև այլ առաջադրանքների ամենակարևոր մասը, մասնավորապես. գործառույթի ամբողջական ուսումնասիրություն. Ֆունկցիայի ավելացման, նվազման և ծայրահեղության մասին նախնական տեղեկատվությունը տրված է տեսական գլուխ ածանցյալ, որը խիստ խորհուրդ եմ տալիս նախնական ուսումնասիրության համար (կամ կրկնություն)– նաև այն պատճառով, որ հետևյալ նյութը հիմնված է հենց դրա վրա ըստ էության ածանցյալ,լինելով այս հոդվածի ներդաշնակ շարունակությունը։ Թեև, եթե ժամանակը քիչ է, ապա հնարավոր է նաև այսօրվա դասից օրինակների զուտ ֆորմալ պրակտիկա։
Եվ այսօր օդում հազվագյուտ միաձայնության ոգին է, և ես կարող եմ ուղղակիորեն զգալ, որ բոլոր ներկաները այրվում են ցանկությունից. սովորել ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով դրա ածանցյալը. Հետևաբար, ձեր մոնիտորի էկրաններին անմիջապես հայտնվում է ողջամիտ, լավ, հավերժական տերմինաբանություն:
Ինչի համար? Պատճառներից մեկն առավել գործնականն է. որպեսզի պարզ լինի, թե ինչ է ձեզանից ընդհանուր առմամբ պահանջվում կոնկրետ առաջադրանքում!
Ֆունկցիայի միապաղաղություն. Ծայրահեղ կետերը և ֆունկցիայի ծայրահեղությունները
Դիտարկենք մի քանի գործառույթ. Պարզ ասած, մենք ենթադրում ենք, որ նա շարունակականամբողջ թվային տողի վրա.
Ամեն դեպքում, եկեք անմիջապես ձերբազատվենք հնարավոր պատրանքներից, հատկապես այն ընթերցողների համար, ովքեր վերջերս են ծանոթացել. ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը. Հիմա մենք ՉԻ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒՄ, թե ինչպես է ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում առանցքի նկատմամբ (վերևում, ներքևում, որտեղ առանցքի հատվում է): Համոզիչ լինելու համար մտովի ջնջեք առանցքները և թողեք մեկ գրաֆիկ։ Որովհետև հենց դրանում է հետաքրքրությունը:
Գործառույթ ավելանում էինտերվալի վրա, եթե այս ինտերվալի ցանկացած երկու կետի համար, որոնք կապված են հարաբերության հետ, անհավասարությունը ճշմարիտ է: Այսինքն՝ արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, և դրա գրաֆիկը գնում է «ներքևից վեր»։ Ցուցադրման ֆունկցիան աճում է ընդմիջման ընթացքում:
Նմանապես, գործառույթը նվազում էինտերվալի վրա, եթե տրված միջակայքի ցանկացած երկու կետի համար, այնպես որ անհավասարությունը ճիշտ է: Այսինքն՝ արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին, և դրա գրաֆիկը գնում է «վերևից ներքև»: Մեր գործառույթը նվազում է ընդմիջումներով 
.
Եթե ֆունկցիան մեծանում կամ նվազում է որոշակի ընդմիջումով, ապա այն կոչվում է խիստ միապաղաղայս ընդմիջումով: Ի՞նչ է միապաղաղությունը: Ընդունեք բառացիորեն՝ միապաղաղություն:
Կարող եք նաև սահմանել չնվազողֆունկցիան (հանգիստ վիճակ առաջին սահմանման մեջ) և չաճողգործառույթը (փափկված վիճակ 2-րդ սահմանման մեջ): Ինտերվալի վրա չնվազող կամ չաճող ֆունկցիան կոչվում է միատոն ֆունկցիա տվյալ ինտերվալի վրա։ (խիստ միապաղաղություն - հատուկ դեպք«պարզապես» միապաղաղություն).
Տեսությունը դիտարկում է նաև ֆունկցիայի ավելացում/նվազում որոշելու այլ մոտեցումներ՝ ներառյալ կիսինտերվալներով, հատվածներով, բայց որպեսզի ձեր գլխին յուղ-յուղ-յուղ չլցվի, մենք կհամաձայնվենք գործել բաց ինտերվալներով՝ կատեգորիկ սահմանումներով։ - սա ավելի պարզ է, և շատ գործնական խնդիրներ լուծելու համար բավական է:
Այսպիսով, Իմ հոդվածներում գրեթե միշտ թաքնված է լինելու «գործառույթի միապաղաղություն» ձևակերպումը ընդմիջումներովխիստ միապաղաղություն(խիստ աճող կամ խիստ նվազող ֆունկցիա):
Մի կետի հարևանություն. Բառեր, որոնցից հետո ուսանողները փախչում են որտեղ կարող են և սարսափած թաքնվում անկյուններում: ...Թեեւ գրառումից հետո Կոշի սահմաններՆրանք, հավանաբար, այլևս չեն թաքնվում, այլ պարզապես մի փոքր դողում են =) Մի անհանգստացեք, թեորեմների որևէ ապացույց հիմա չի լինի մաթեմատիկական վերլուծություն– Ինձ պետք էր, որ շրջապատն ավելի խիստ ձևակերպի սահմանումներ ծայրահեղ կետեր. Հիշենք.
Մի կետի հարևանությունկոչվում է միջակայքը, որը պարունակում է այս կետը, մինչդեռ հարմարության համար միջակայքը հաճախ ենթադրվում է սիմետրիկ։ Օրինակ, կետը և դրա ստանդարտ հարևանությունը.
Փաստորեն, սահմանումները.
Կետը կոչվում է խիստ առավելագույն կետ, Եթե գոյություն ունինրա հարևանությունը, բոլորի համարորոնց արժեքները, բացի բուն կետից, անհավասարությունը: Մեր կոնկրետ օրինակում սա կետ է:
Կետը կոչվում է խիստ նվազագույն կետ, Եթե գոյություն ունինրա հարևանությունը, բոլորի համարորոնց արժեքները, բացի բուն կետից, անհավասարությունը: Գծագրում կա «ա» կետը:
Նշում Հարևանության համաչափության պահանջն ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ: Բացի այդ, դա կարևոր է գոյության փաստըհարևանություն (լինի փոքր, թե մանրադիտակային), որը բավարարում է նշված պայմաններին
Կետերը կոչվում են խիստ ծայրահեղ կետերկամ պարզապես ծայրահեղ կետերգործառույթները։ Այսինքն՝ դա առավելագույն միավորների և նվազագույն միավորների ընդհանրացված տերմին է։
Ինչպե՞ս ենք հասկանում «ծայրահեղ» բառը: Այո, նույնքան ուղղակի, որքան միապաղաղությունը։ Roller coasters-ի ծայրահեղ կետերը.
Ինչպես միապաղաղության դեպքում, ազատ պոստուլատները գոյություն ունեն և նույնիսկ ավելի տարածված են տեսականորեն (որոնք, իհարկե, համարվում են խիստ դեպքերը ընկնում են!):
Կետը կոչվում է առավելագույն միավոր, Եթե գոյություն ունինրա շրջապատն այնպիսին է, որ բոլորի համար
Կետը կոչվում է նվազագույն միավոր, Եթե գոյություն ունինրա շրջապատն այնպիսին է, որ բոլորի համարայս հարևանության արժեքները, անհավասարությունը պահպանվում է:
Նկատի ունեցեք, որ վերջին երկու սահմանումների համաձայն՝ հաստատուն ֆունկցիայի ցանկացած կետ (կամ ֆունկցիայի «հարթ հատված») համարվում է և՛ առավելագույն, և՛ նվազագույն կետ: Ֆունկցիան, ի դեպ, և՛ չաճող է, և՛ չնվազող, այսինքն՝ միապաղաղ։ Այնուամենայնիվ, այս նկատառումները կթողնենք տեսաբաններին, քանի որ գործնականում մենք գրեթե միշտ խորհրդածում ենք ավանդական «բլուրների» և «խոռոչների» (տե՛ս նկարը) յուրահատուկ «բլրի թագավորի» կամ «ճահճի արքայադստեր» հետ։ Որպես բազմազանություն, այն առաջանում է հուշում, ուղղված վեր կամ վար, օրինակ՝ կետի ֆունկցիայի նվազագույնը։
Օ, և խոսելով թագավորական ընտանիքի մասին.
- իմաստը կոչվում է առավելագույնըգործառույթներ;
- իմաստը կոչվում է նվազագույնըգործառույթները։
Ընդհանուր անուն - ծայրահեղություններգործառույթները։
Խնդրում եմ զգույշ եղեք ձեր խոսքերից:
Էքստրեմալ կետեր- սրանք «X» արժեքներն են:
Ծայրահեղություններ- «խաղ» իմաստները.
! Նշում Երբեմն թվարկված տերմինները վերաբերում են «X-Y» կետերին, որոնք ուղղակիորեն գտնվում են ԻՆՔՆ ֆունկցիայի ԳՐԱՖԻԿԻ վրա:
Քանի՞ ծայրահեղություն կարող է ունենալ ֆունկցիան:
Ոչ մեկը, 1, 2, 3, ... և այլն: մինչեւ անվերջություն. Օրինակ, սինուսն ունի անսահման շատ մինիմումներ և մաքսիմումներ:
ԿԱՐԵՎՈՐ!«գործառույթի առավելագույն» տերմինը. ոչ նույնական«Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը» տերմինը: Հեշտ է նկատել, որ արժեքը առավելագույնն է միայն տեղական թաղամասում, իսկ վերևի ձախ մասում կան «ավելի սառը ընկերներ»: Նմանապես, «գործառույթի նվազագույն արժեքը» նույնը չէ, ինչ «գործառույթի նվազագույն արժեքը», և գծագրում մենք տեսնում ենք, որ արժեքը նվազագույն է միայն որոշակի տարածքում: Այս առումով կոչվում են նաև ծայրահեղ կետեր տեղական ծայրահեղ կետերըև ծայրահեղությունը - տեղական ծայրահեղություններ . Նրանք քայլում և թափառում են մոտակայքում և համաշխարհայինեղբայրներ. Այսպիսով, ցանկացած պարաբոլա ունի իր գագաթին համաշխարհային նվազագույնըկամ համաշխարհային առավելագույնը. Ավելին, ես չեմ տարբերակի ծայրահեղությունների տեսակները, և բացատրությունն ավելի շատ հնչում է ընդհանուր կրթական նպատակներով. «տեղական»/«գլոբալ» լրացուցիչ ածականները չպետք է ձեզ զարմացնեն։
Եկեք ամփոփենք մեր կարճ էքսկուրսը դեպի տեսություն թեստային կրակոցով. ի՞նչ է նշանակում «Գտնել ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը և ծայրահեղ կետերը» առաջադրանքը:
Ձևակերպումը խրախուսում է ձեզ գտնել.
– աճող/նվազող ֆունկցիայի ընդմիջումներ (չնվազող, չաճող շատ ավելի հազվադեպ է երևում);
– առավելագույն և/կամ նվազագույն միավորներ (առկայության դեպքում): Դե, ձախողումից խուսափելու համար ավելի լավ է իրենք գտնել նվազագույնը/առավելագույնը ;-)
Ինչպե՞ս որոշել այս ամենը:Օգտագործելով ածանցյալ ֆունկցիան:
Ինչպես գտնել մեծացման, նվազման միջակայքերը,
Ծայրահեղ կետերը և ֆունկցիայի ծայրահեղությունները:
Շատ կանոններ, ըստ էության, արդեն հայտնի և հասկացված են դաս ածանցյալի նշանակության մասին.
Շոշափող ածանցյալ 
բերում է ուրախ լուր, որ գործառույթն ավելանում է ամբողջ ընթացքում սահմանման տիրույթ.
Կոտանգենտի և նրա ածանցյալի հետ 
իրավիճակը ճիշտ հակառակն է.
Արկսինը մեծանում է ընդմիջման ընթացքում - այստեղ ածանցյալը դրական է. 
.
Երբ ֆունկցիան սահմանված է, բայց ոչ տարբերվող: Այնուամենայնիվ, կրիտիկական կետում կա աջակողմյան ածանցյալ և աջակողմյան շոշափող, իսկ մյուս եզրում կան նրանց ձախակողմյան նմանակները:
Կարծում եմ, որ ձեզ համար այնքան էլ դժվար չի լինի նման պատճառաբանություն իրականացնել աղեղի կոսինուսի և դրա ածանցյալի համար:
Բոլոր վերը նշված դեպքերը, որոնցից շատերն են աղյուսակային ածանցյալներ, հիշեցնում եմ, հետևեք անմիջապես ածանցյալ սահմանումներ.
Ինչու՞ ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով դրա ածանցյալը:
Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպիսին է այս ֆունկցիայի գրաֆիկըորտեղ այն գնում է «ներքևից վեր», որտեղ «վերևից ներքև», որտեղ այն հասնում է նվազագույնի և առավելագույնի (եթե ընդհանրապես հասնում է): Ոչ բոլոր գործառույթներն են այդքան պարզ. շատ դեպքերում մենք ընդհանրապես գաղափար չունենք որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկի մասին:
Ժամանակն է անցնել ավելի բովանդակալից օրինակների և մտածել ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղությունների միջակայքերը գտնելու ալգորիթմ:
Օրինակ 1
Գտեք ֆունկցիայի ավելացման/նվազման և ծայրահեղությունների միջակայքերը
Լուծում:
1) Առաջին քայլը գտնելն է ֆունկցիայի տիրույթ, և նաև հաշվի առեք ընդմիջման կետերը (եթե դրանք կան): IN այս դեպքումՖունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, և այս գործողությունը որոշ չափով պաշտոնական է: Բայց մի շարք դեպքերում այստեղ լուրջ կրքեր են բորբոքվում, ուստի եկեք վերաբերվենք պարբերությանը առանց արհամարհանքի:
2) Ալգորիթմի երկրորդ կետը պայմանավորված է
ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայման.
Եթե մի կետում կա ծայրահեղություն, ապա կամ արժեքը գոյություն չունի.
Շփոթե՞լ եք ավարտից: «Մոդուլ x» ֆունկցիայի ծայրահեղություն .
Պայմանն անհրաժեշտ է, բայց բավարար չէ, և հակառակը միշտ չէ, որ ճիշտ է։ Այսպիսով, հավասարությունից դեռ չի բխում, որ ֆունկցիան հասնում է առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում: Դասական օրինակն արդեն վերը նշված է. սա խորանարդ պարաբոլա է և դրա կրիտիկական կետը:
Բայց այդպես էլ լինի, անհրաժեշտ պայմանէքստրեմումը թելադրում է կասկածելի կետեր գտնելու անհրաժեշտությունը։ Դա անելու համար գտե՛ք ածանցյալը և լուծե՛ք հավասարումը.
Առաջին հոդվածի սկզբում ֆունկցիայի գրաֆիկների մասինԵս ձեզ ասացի, թե ինչպես կարելի է արագ կառուցել պարաբոլա՝ օգտագործելով օրինակ 
«...վերցնում ենք առաջին ածանցյալը և հավասարեցնում այն զրոյի. ...Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը՝ - հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը...»: Հիմա, կարծում եմ, բոլորը հասկանում են, թե ինչու է պարաբոլայի գագաթը գտնվում հենց այս կետում =) Ընդհանրապես, այստեղ պետք է սկսել նմանատիպ օրինակով, բայց այն չափազանց պարզ է (նույնիսկ թեյնիկի համար): Բացի այդ, դասի հենց վերջում կա անալոգի մասին ֆունկցիայի ածանցյալ. Այսպիսով, եկեք բարձրացնենք աստիճանը.
Օրինակ 2
Գտե՛ք ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղությունների միջակայքերը
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծումև դասի վերջում առաջադրանքի մոտավոր վերջնական նմուշ:
Եկել է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների հետ հանդիպման երկար սպասված պահը.
Օրինակ 3
Ուսումնասիրեք ֆունկցիան՝ օգտագործելով առաջին ածանցյալը
Ուշադրություն դարձրեք, թե նույն առաջադրանքը որքան փոփոխական կարող է վերաձեւակերպվել:
Լուծում:
1) Ֆունկցիան անսահման ընդհատումներ է ունենում կետերում:
2) Մենք հայտնաբերում ենք կրիտիկական կետեր: Գտնենք առաջին ածանցյալը և հավասարեցնենք այն զրոյի. 
Եկեք լուծենք հավասարումը. Կոտորակը զրո է, երբ նրա համարիչը զրո է.
Այսպիսով, մենք ստանում ենք երեք կարևոր կետ. 
3) Մենք գծագրում ենք ԲՈԼՈՐ հայտնաբերված կետերը թվային տողի վրա և ինտերվալ մեթոդմենք սահմանում ենք ածանցյալի նշանները.
Հիշեցնում եմ ձեզ, որ դուք պետք է որոշ կետ վերցնեք միջակայքում և հաշվարկեք ածանցյալի արժեքը դրանում 
և որոշել դրա նշանը: Ավելի ձեռնտու է նույնիսկ չհաշվելը, այլ բանավոր «գնահատելը»: Վերցնենք, օրինակ, միջակայքին պատկանող կետը և կատարենք փոխարինումը. 
. 
Երկու «պլյուս» և մեկ «մինուս» տալիս են «մինուս», հետևաբար, ինչը նշանակում է, որ ածանցյալը բացասական է ամբողջ միջակայքում:
Գործողությունը, ինչպես հասկանում եք, պետք է իրականացվի վեց ընդմիջումներից յուրաքանչյուրի համար: Ի դեպ, նշենք, որ համարիչի գործակիցը և հայտարարը խիստ դրական են ցանկացած ինտերվալի ցանկացած կետի համար, ինչը մեծապես հեշտացնում է առաջադրանքը:
Այսպիսով, ածանցյալը մեզ ասաց, որ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆ ԻՆՔՆ աճում է 
և նվազում է: Հարմար է միացման պատկերակով միացնել նույն տեսակի միջակայքերը:
Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին.
Այն կետում ֆունկցիան հասնում է նվազագույնի. 
Մտածեք, թե ինչու պետք չէ վերահաշվարկել երկրորդ արժեքը ;-)
Կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը չի փոխում, ուստի ֆունկցիան այնտեղ ԾԱՌԱՅՈՒԹՅՈՒՆ ՉՈՒՆԻ. այն և՛ նվազել է, և՛ մնացել է նվազող:
! Կրկնենք կարևոր կետ կետերը չեն համարվում կրիտիկական, դրանք պարունակում են ֆունկցիա որոշված չէ. Ըստ այդմ՝ այստեղ Սկզբունքորեն ծայրահեղություններ չեն կարող լինել(նույնիսկ եթե ածանցյալը փոխում է նշանը):
Պատասխանելֆունկցիան մեծանում է 
և նվազում է այն կետով, երբ հասնում է ֆունկցիայի առավելագույնը. 
, իսկ կետում՝ նվազագույնը՝ .
Միապաղաղության միջակայքերի և ծայրահեղությունների իմացություն՝ զուգորդված հաստատվածի հետ ասիմպտոտներարդեն շատ լավ պատկերացում է տալիս տեսքըֆունկցիայի գրաֆիկա։ Միջին պատրաստվածություն ունեցող մարդը կարող է բանավոր կերպով որոշել, որ ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի երկու ուղղահայաց ասիմպտոտ և թեք ասիմպտոտ: Ահա մեր հերոսը. 
Փորձեք ևս մեկ անգամ ուսումնասիրության արդյունքները կապել այս ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ:
Կրիտիկական կետում ծայրահեղություն չկա, բայց կա գրաֆիկի թեքում(ինչը, որպես կանոն, տեղի է ունենում նմանատիպ դեպքերում)։
Օրինակ 4
Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը
Օրինակ 5
Գտե՛ք միապաղաղության միջակայքերը, ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը
Այսօր գրեթե նման է ինչ-որ «X խորանարդի մեջ» տոնի…
Շաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաատ պատկերասրահում ո՞վ առաջարկեց խմել սրա համար: =)
Յուրաքանչյուր առաջադրանք ունի իր բովանդակային նրբությունները և տեխնիկական նրբությունները, որոնք մեկնաբանվում են դասի վերջում։
Գործառույթ y=f(x)կանչեց աճողընդմիջման վրա (ա;բ), եթե որևէ մեկի համար x 1Եվ x 2 x 1
Աճող ֆունկցիայի գրաֆիկ
· Գործառույթ y = f(x)կանչեց նվազում է(a;b) միջակայքի վրա, եթե այդպիսիք կան x 1Եվ x 2այս միջակայքից այնպիսին, որ x 1
Նվազող ֆունկցիայի գրաֆիկ
Նվազող և մեծացնող ֆունկցիաները միասին կազմում են դաս միապաղաղգործառույթները։ Միապաղաղ ֆունկցիաները ունեն մի շարք հատուկ հատկություններ.
Գործառույթ f(x),միապաղաղ միջակայքում [ ա, բ], սահմանափակ է այս հատվածում;
· Աճող (նվազող) ֆունկցիաների գումարը աճող (նվազող) ֆունկցիա է.
· եթե գործառույթը զմեծանում (նվազում) և n– կենտ թիվ, այն նաև մեծանում է (նվազում);
· Եթե f"(x)>0բոլորի համար xՕ(a,b),ապա ֆունկցիան y=f(x)ընդմիջումով ավելանում է (ա, բ);
· Եթե f"(x)<0 բոլորի համար xՕ(a,b),ապա ֆունկցիան y=f(x)ընդմիջումով նվազում է (ա, բ);
· Եթե f(x) –շարունակական և միապաղաղ գործառույթ հավաքածուի վրա X, ապա հավասարումը f(x)=C, Որտեղ ՀԵՏ– այս հաստատունը կարող է ունենալ Xոչ ավելի, քան մեկ լուծում;
· եթե հավասարման սահմանման տիրույթում f(x)=g(x)ֆունկցիան f(x)մեծանում է, իսկ ֆունկցիան g(x)նվազում է, ապա հավասարումը չի կարող ունենալ մեկից ավելի լուծում:
Թեորեմ. (բավարար պայման է ֆունկցիայի միապաղաղության համար): Եթե հատվածի վրա շարունակական է [ ա, բ] ֆունկցիան y = f(X) ընդմիջման յուրաքանչյուր կետում ( ա, բ) ունի դրական (բացասական) ածանցյալ, ապա այս ֆունկցիան մեծանում (նվազում է) հատվածի վրա [ ա, բ].
Ապացույց. Թող >0 բոլորի համար xՕ(ա, բ). Դիտարկենք երկու կամայական արժեք x 2 > x 1,պատկանող [ ա, բ]։ Ըստ Լագրանժի բանաձեւի x 1<с < х 2 . (Հետ) > 0 Եվ x 2 – x 1 > 0, հետևաբար > 0, որտեղից > , այսինքն, f(x) ֆունկցիան մեծանում է [ ինտերվալի վրա ա, բ]։ Նույն կերպ ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը։
Թեորեմ 3. (գործառույթի ծայրահեղության առկայության անհրաժեշտ նշան). Եթե c կետում դիֆերենցիալ ֆունկցիան ժամը=զ(X) այս պահին ծայրահեղություն ունի, ապա .
Ապացույց. Եկեք, օրինակ, գործառույթը ժամը= զ(Xգ) կետում առավելագույնն ունի. Սա նշանակում է, որ c կետի ծակված հարևանություն կա այնպես, որ բոլոր կետերի համար xայս թաղամասը գոհ է զ(x) < f (գ), այն է զ(գ) այս հարևանության ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքն է: Հետո Ֆերմայի թեորեմով.
Նույն կերպ ապացուցված է նվազագույնի դեպքը c կետում։
Մեկնաբանություն. Ֆունկցիան կարող է ծայրահեղություն ունենալ այն կետում, որտեղ նրա ածանցյալը գոյություն չունի: Օրինակ, ֆունկցիան x կետում ունի նվազագույնը = 0, թեև այն գոյություն չունի: Այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի, կոչվում են ֆունկցիայի կրիտիկական կետեր։ Այնուամենայնիվ, գործառույթը չունի ծայրահեղություն բոլոր կրիտիկական կետերում: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = x 3չունի ծայրահեղություններ, թեև դրա ածանցյալը =0.
Թեորեմ 4. (բավարար նշան էքստրեմումի առկայության). Եթե շարունակական գործառույթ y = f(x) ունի ածանցյալ որոշակի միջակայքի բոլոր կետերում, որը պարունակում է C կրիտիկական կետը (բացառությամբ, հավանաբար, հենց այս կետի), և եթե ածանցյալը, երբ արգումենտը ձախից աջ անցնում է C կրիտիկական կետով, նշանը փոխում է գումարածից։ դեպի մինուս, ապա C կետի ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ երբ նշանը մինուսից փոխվում է պլյուսի, նվազագույնը։
Ապացույց. Թող c-ն լինի կրիտիկական կետ և թող, օրինակ, երբ արգումենտն անցնում է c կետով, նշանը փոխում է գումարածից մինուսի: Սա նշանակում է, որ որոշակի ընդմիջումով (c–e; c)ֆունկցիան մեծանում է, իսկ ընդմիջման վրա (c; c+e)- նվազում է (ժամ ե>0): Հետևաբար, c կետում ֆունկցիան ունի առավելագույնը։ Նվազագույնի դեպքն ապացուցվում է նույն կերպ։
Մեկնաբանություն. Եթե ածանցյալը չի փոխում նշանը, երբ արգումենտն անցնում է կրիտիկական կետով, ապա այս կետի ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի։
Քանի որ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի համար սահմանի և շարունակականության սահմանումները գործնականում համընկնում են մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համապատասխան սահմանումների հետ, ապա մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների համար պահպանվում են սահմանների և շարունակական ֆունկցիաների բոլոր հատկությունները։
©2015-2019 կայք
Բոլոր իրավունքները պատկանում են դրանց հեղինակներին: Այս կայքը չի հավակնում հեղինակության, այլ տրամադրում է անվճար օգտագործումը.
Էջի ստեղծման ամսաթիվը՝ 2016-02-12
Թվային հավաքածու Xհաշվում է սիմետրիկհարաբերական զրոյի, եթե այդպիսիք կան xЄ Xիմաստ - Xնույնպես պատկանում է հավաքածուին X.
Գործառույթ y = զ(XX, հաշվում է նույնիսկ X xЄ X, զ(X) = զ(-X).
Զույգ ֆունկցիայի համար գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ:
Գործառույթ y = զ(X), որը սահմանված է հավաքածուի վրա X, հաշվում է տարօրինակ, եթե կատարվի հետևյալ պայմաններըա) շատ Xսիմետրիկ զրոյի մասին; բ) որևէ մեկի համար xЄ X, զ(X) = -զ(-X).
Կենտ ֆունկցիայի համար գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:
Գործառույթ ժամը = զ(x), xЄ X, կանչեց պարբերականվրա X, եթե կա թիվ Տ (Տ ≠ 0) (ժամանակաշրջանգործառույթներ), որոնք բավարարված են հետևյալ պայմաններով.
- X - ՏԵվ X + Տշատերից Xորեւէ մեկի համար XЄ X;
- որեւէ մեկի համար XЄ X, զ(X + Տ) = զ(X - Տ) = զ(X).
Դեպքում Տֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, ապա ձևի ցանկացած թիվ mT, Որտեղ մЄ Զ, մ≠ 0, սա նաև այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։ Տրված ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը (եթե այն գոյություն ունի) կոչվում է նրա հիմնական ժամանակաշրջան։
Դեպքում Տֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է, այնուհետև դրա գրաֆիկը կառուցելու համար կարող եք գծագրել գրաֆիկի մի մասը երկարության որոշման տիրույթի ցանկացած միջակայքի վրա։ Տ, և այնուհետև կատարեք գրաֆիկի այս հատվածի զուգահեռ փոխանցումը O առանցքի երկայնքով X±-ով Տ, ±2 Տ, ....
Գործառույթ y = զ(X), սահմանափակված ներքևումհավաքածուի վրա X Աոր որևէ մեկի համար XЄ X, Ա ≤ զ(X) Գործառույթի գրաֆիկ, որը սահմանափակված է ստորև՝ բազմության վրա X, ամբողջությամբ գտնվում է ուղիղ գծից վեր ժամը = Ա(սա հորիզոնական գիծ է):
Գործառույթ ժամը = զ(x), վերևից սահմանափակվածհավաքածուի վրա X(այն պետք է սահմանվի այս հավաքածուի վրա), եթե կա թիվ INոր որևէ մեկի համար XЄ X, զ(X) ≤ IN. X բազմության վրա վերևից սահմանափակված ֆունկցիայի գրաֆիկը ամբողջությամբ գտնվում է գծի տակ ժամը = IN(սա հորիզոնական գիծ է):
Դիտարկված գործառույթը սահմանափակհավաքածուի վրա X(այն պետք է սահմանվի այս բազմության վրա), եթե այս բազմության վրա սահմանափակված է վերևից և ներքևից, այսինքն՝ կան այդպիսի թվեր։ ԱԵվ INոր որևէ մեկի համար XЄ Xանհավասարությունները բավարարված են Ա ≤ զ(x) ≤ Բ. Ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը սահմանափակված է բազմության վրա X, ամբողջությամբ գտնվում է ուղիղ գծերի միջեւ ժամը = ԱԵվ ժամը = IN(դրանք հորիզոնական գծեր են):
Գործառույթ ժամը = զ (X), նկարահանման հրապարակում համարվում է սահմանափակված X(այն պետք է սահմանվի այս հավաքածուի վրա), եթե կա թիվ ՀԵՏ> 0, որը ցանկացածի համար xЄ X, │զ(X)│≤ ՀԵՏ.
Գործառույթ ժամը = զ(X), XЄ X, կանչեց աճող (չնվազող)ենթաբազմության վրա ՄՀԵՏ Xերբ բոլորի համար X 1 և X 2-ից Մայնպիսին է, որ X 1 < X 2, արդար զ(X 1) < զ(X 2) (զ(X 1) ≤ զ(X 2)). Կամ կոչվում է y ֆունկցիան աճողհավաքածուի վրա TO, եթե այս բազմությունից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:
Գործառույթ ժամը = զ(X), XЄX, կոչ նվազում (ոչ աճող)ենթաբազմության վրա ՄՀԵՏ Xերբ բոլորի համար X 1 և X 2-ից Մայնպիսին է, որ X 1 < X 2, արդար զ(X 1) > զ(X 2) (զ(X 1) ≥ զ(X 2)). Կամ գործառույթ ժամըկոչվում է հավաքածուի վրա նվազում TO, եթե այս բազմությունից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին։
Գործառույթ ժամը = զ(x), XЄ X, կանչեց միապաղաղենթաբազմության վրա ՄՀԵՏ X, եթե այն նվազում է (չի աճում) կամ ավելանում (չնվազում) Մ.
Եթե ֆունկցիան ժամը = զ(X), XЄ X, ենթաբազմության վրա նվազում կամ ավելանում է ՄՀԵՏ X, ապա կոչվում է նման ֆունկցիա խիստ միապաղաղհավաքածուի վրա Մ.
Թիվ Մկանչեց ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը y նկարահանման հրապարակում TO, եթե այս թիվը x-ի որոշակի արժեքով ֆունկցիայի արժեքն է 0 արգումենտ հավաքածուիցTO, իսկ K բազմությունից արգումենտի այլ արժեքների համար y ֆունկցիայի արժեքը թվից մեծ չէՄ.
Թիվ մկանչեց ամենացածր արժեքը y ֆունկցիաները հավաքածուի վրա TO, եթե այս թիվը ֆունկցիայի արժեքն է որոշակի արժեքով X 0 արգումենտ հավաքածուից TOև x արգումենտի այլ արժեքների համար բազմությունից TO y ֆունկցիայի արժեքը թվից պակաս չէ մ.
Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները , որտեղից ավելի լավ է սկսել դրա ուսումնասիրությունն ու հետազոտությունը, սա է դրա սահմանման և նշանակության ոլորտը։ Պետք է հիշել, թե ինչպես են պատկերված գրաֆիկները տարրական գործառույթներ. Միայն դրանից հետո կարող եք անցնել ավելի բարդ գրաֆիկների կառուցմանը: «Ֆունկցիաներ» թեման լայն կիրառություն ունի տնտեսագիտության և գիտելիքի այլ ոլորտներում։ Գործառույթները ուսումնասիրվում են մաթեմատիկայի ողջ դասընթացի ընթացքում և շարունակում են ուսումնասիրվելբարձրագույն ուսումնական հաստատություններ . Այնտեղ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են՝ օգտագործելով առաջին և երկրորդ ածանցյալները։
Մենք առաջին անգամ հանդիպեցինք հանրահաշվի 7-րդ դասարանում: Նայելով ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ մենք հանեցինք համապատասխան տեղեկատվությունը. եթե, ձախից աջ շարժվելով գրաֆիկի երկայնքով, մենք միևնույն ժամանակ շարժվում ենք ներքևից վեր (կարծես բարձրանալով բլուր), ապա ֆունկցիան հայտարարում ենք. լինել աճող (նկ. 124); եթե շարժվում ենք վերևից ներքև (իջնում ենք բլուրով), ապա ֆունկցիան հայտարարում ենք նվազող (նկ. 125):
Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկոսներին այնքան էլ դուր չի գալիս ֆունկցիայի հատկությունների ուսումնասիրման այս մեթոդը։ Նրանք կարծում են, որ հասկացությունների սահմանումները չպետք է հիմնված լինեն գծագրի վրա. գրաֆիկա. Եկեք խիստ սահմանումներ տանք մեծացող և նվազող ֆունկցիաների հասկացություններին։
Սահմանում 1.
y = f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է X միջակայքում, եթե x 1 անհավասարությունից< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Սահմանում 2. y = f(x) ֆունկցիան ասում են, որ նվազում է X միջակայքում, եթե x 1 անհավասարությունը< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует անհավասարություն f(x 1) > f(x 2):
Գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել հետևյալ ձևակերպումները.
ֆունկցիան մեծանում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին.
ֆունկցիան նվազում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:
Օգտագործելով այս սահմանումները և § 33-ում հաստատված թվային անհավասարությունների հատկությունները, մենք կկարողանանք հիմնավորել նախկինում ուսումնասիրված ֆունկցիաների ավելացման կամ նվազման վերաբերյալ եզրակացությունները:
1. Գծային ֆունկցիա y = kx +m
Եթե k > 0, ապա ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ ընթացքում (նկ. 126); եթե կ< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Ապացույց. Թող f(x) = kx +m: Եթե x 1< х 2 и k >Ահ, ուրեմն, ըստ 3 թվային անհավասարությունների հատկության (տես § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. գծայինֆունկցիաներ y = kx+ m.
Եթե x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , իսկ ըստ հատկության 2-ի՝ kx 1 > kx 2-ից հետեւում է, որ kx 1 + m> kx 2 + i.e.
Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Սա նշանակում է y = f(x) ֆունկցիայի նվազում, այսինքն. գծային ֆունկցիա y = kx + m.
Եթե ֆունկցիան մեծանում է (նվազում) իր սահմանման ողջ տիրույթում, ապա այն կարելի է անվանել աճող (նվազող)՝ առանց միջակայքը նշելու։ Օրինակ, y = 2x - 3 ֆունկցիայի մասին կարող ենք ասել, որ այն մեծանում է ամբողջ թվային տողի երկայնքով, բայց կարող ենք նաև ավելի կարճ ասել. y = 2x - 3 - աճող
ֆունկցիան։
2. y = x2 ֆունկցիա
1. Դիտարկենք y = x 2 ֆունկցիան ճառագայթի վրա։ Վերցնենք երկու ոչ դրական x 1 և x 2 թվեր, որ x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Քանի որ - x 1 և - x 2 թվերը ոչ բացասական են, ապա վերջին անհավասարության երկու կողմերը քառակուսի դնելով, մենք ստանում ենք նույն նշանակության անհավասարություն (-x 1) 2 > (-x 2) 2, այսինքն. Սա նշանակում է, որ f(x 1) > f(x 2):
Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).
Հետեւաբար, y = x 2 ֆունկցիան նվազում է ճառագայթի վրա (- 00, 0] (նկ. 128):
1. Դիտարկենք ֆունկցիա (0, + 00):
Թող x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).
Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան նվազում է բաց ճառագայթի վրա (0, + 00) (նկ. 129):
2. Դիտարկենք ֆունկցիա (-oo, 0): Թող x 1< х 2 , х 1 и х 2 - բացասական թվեր. Այնուհետև - x 1 > - x 2, և վերջին անհավասարության երկու կողմերն էլ դրական թվեր են, և հետևաբար (մենք կրկին օգտագործեցինք օրինակ 1-ում ապացուցված անհավասարությունը § 33-ից): Հաջորդը մենք ունենք, որտեղից ենք մենք ստանում:
Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) այսինքն. ֆունկցիան նվազում է բաց ճառագայթում (- 00 , 0)
Սովորաբար «աճող ֆունկցիա» և «նվազող ֆունկցիա» տերմինները համակցվում են ընդհանուր անունմիապաղաղ ֆունկցիան, իսկ մեծացման և նվազման ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը կոչվում է միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն։
Լուծում.
1) Եկեք գծենք y = 2x2 ֆունկցիան և վերցնենք այս պարաբոլայի ճյուղը x-ում< 0 (рис. 130).
2) Կառուցեք և ընտրեք դրա հատվածը հատվածի վրա (նկ. 131):
3) Կառուցենք հիպերբոլա և ընտրենք դրա մասը բաց ճառագայթի վրա (4, + 00) (նկ. 132):
4) Եկեք պատկերենք բոլոր երեք «կտորները» մեկ կոորդինատային համակարգում. սա y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն է (նկ. 133):
Կարդանք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։
1. Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
2. y = 0 x = 0-ում; y > 0 x > 0-ի համար:
3. Ճառագայթի վրա ֆունկցիան նվազում է (-oo, 0], հատվածի վրա մեծանում է, ճառագայթի վրա նվազում է, հատվածի վրա ուռուցիկ է դեպի վեր, ճառագայթի վրա՝ դեպի ներքև)
