Rumah Lidah berlapis Solusi Perelman terhadap dugaan Poincaré. Satu juta dolar untuk satu lubang donat

Lidah berlapis

Solusi Perelman terhadap dugaan Poincaré. Satu juta dolar untuk satu lubang donat

Apa inti dari teorema Poincaré?

E dibuktikan dengan Sophia yang berambut MERAH, tapi dia juga berambut MERAH....
Intinya adalah Alam Semesta tidak berbentuk seperti bola, melainkan seperti donat.
Makna dugaan Poincaré dalam rumusan aslinya adalah bahwa untuk setiap benda tiga dimensi tanpa lubang terdapat transformasi yang memungkinkannya diubah menjadi bola tanpa dipotong dan direkatkan. Jika hal ini tampak jelas, lalu bagaimana jika ruang bukanlah tiga dimensi, tetapi berisi sepuluh atau sebelas dimensi (yaitu, kita berbicara tentang rumusan umum dari dugaan Poincaré, yang dibuktikan oleh Perelman)
Anda tidak bisa mengatakannya dalam 2 kata
Pada tahun 1900, Poincaré mengemukakan bahwa manifold tiga dimensi dengan semua kelompok homologi suatu bola bersifat homeomorfik terhadap sebuah bola. Pada tahun 1904, ia juga menemukan contoh tandingan, yang sekarang disebut bola Poincaré, dan merumuskan versi terakhir hipotesisnya. Upaya untuk membuktikan dugaan Poincaré telah membawa banyak kemajuan dalam topologi manifold.
Bukti dugaan umum Poincaré untuk n #10878; 5 diperoleh pada awal tahun 1960an dan 1970an hampir bersamaan oleh Smale, secara independen dan dengan metode lain oleh Stallings (Bahasa Inggris) (untuk n #10878; 7, pembuktiannya diperluas ke kasus n = 5 dan 6 oleh Zeeman (Bahasa Inggris)) . Bukti untuk kasus yang jauh lebih sulit n = 4 baru diperoleh pada tahun 1982 oleh Friedman. Dari teorema Novikov tentang invarian topologi kelas karakteristik Pontryagin, dapat disimpulkan bahwa terdapat manifold homotopi yang setara, tetapi tidak homeomorfik, dalam dimensi tinggi.
Bukti dugaan Poincaré yang asli (dan dugaan Trston yang lebih umum) baru ditemukan pada tahun 2002 oleh Grigory Perelman. Selanjutnya, bukti Perelman diverifikasi dan disajikan dalam bentuk yang diperluas oleh setidaknya tiga kelompok ilmuwan. 1 Buktinya menggunakan aliran Ricci dengan pembedahan dan sebagian besar mengikuti rencana yang digariskan oleh Hamilton, yang juga orang pertama yang menggunakan aliran Ricci.
siapa ini
Teorema Poincare:
Teorema Poincaré tentang bidang vektor
Teorema Poincaré Bendixson
Teorema Poincaré tentang klasifikasi homeomorfisme lingkaran
Dugaan Poincaré tentang bidang homotopi
Teorema pengembalian Poincaré
Yang mana yang kamu tanyakan?
Dalam teori sistem dinamik, Teorema Poincaré tentang klasifikasi homeomorfisme lingkaran menjelaskan kemungkinan jenis dinamika yang dapat dibalik pada lingkaran, bergantung pada bilangan rotasi p(f) dari pemetaan berulang f. Secara kasar, ternyata dinamika iterasi pemetaan sampai batas tertentu mirip dengan dinamika rotasi pada sudut yang bersesuaian.
Yaitu, biarkan homeomorfisme lingkaran f diberikan. Kemudian:
1) Bilangan rotasi rasional jika dan hanya jika f mempunyai titik periodik. Dalam hal ini, penyebut bilangan rotasinya adalah periode suatu titik periodik, dan orde siklik pada lingkaran titik-titik orbit periodik sama dengan orde siklik pada lingkaran titik-titik orbit periodik di p(f). Selanjutnya, setiap lintasan cenderung memiliki periodisitas tertentu baik dalam waktu maju maupun mundur (lintasan batas a- dan -w mungkin berbeda).
2) Jika bilangan rotasi f tidak rasional, maka ada dua pilihan yang mungkin:
i) salah satu f memiliki orbit padat, dalam hal ini homeomorfisme f terkonjugasi dengan rotasi sebesar p(f). Dalam hal ini, semua orbit f padat (karena ini berlaku untuk rotasi irasional);
ii) salah satu f mempunyai himpunan invarian Cantor C, yang merupakan satu-satunya himpunan minimal sistem. Dalam hal ini semua lintasan cenderung ke C baik dalam waktu maju maupun mundur. Selain itu, pemetaan f adalah semikonjugasi terhadap rotasi oleh p(f): untuk beberapa pemetaan h derajat 1, p o f =R p (f) o h
Terlebih lagi, himpunan C adalah himpunan titik pertumbuhan dari h; dengan kata lain, dari sudut pandang topologi, h meruntuhkan interval komplemen dari C.
inti permasalahannya adalah $1 juta
Fakta bahwa tidak ada yang memahaminya kecuali 1 orang
Dalam kebijakan luar negeri Perancis...
Di sini Lka menjawab yang terbaik http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Seorang ahli matematika yang brilian, profesor Paris Henri Poincaré bekerja di berbagai bidang ilmu ini. Terlepas dari karya Einstein pada tahun 1905, ia mengemukakan prinsip-prinsip utama Teori Relativitas Khusus. Dan dia merumuskan hipotesisnya yang terkenal pada tahun 1904, jadi butuh waktu sekitar satu abad untuk menyelesaikannya.
Poincaré adalah salah satu pendiri topologi, ilmu tentang sifat-sifat bangun geometri yang tidak berubah di bawah deformasi yang terjadi tanpa henti. Misalnya, balon dapat dengan mudah diubah bentuknya menjadi berbagai bentuk, seperti yang dilakukan anak-anak di taman. Namun Anda perlu memotong bolanya untuk memelintirnya menjadi donat (atau, dalam bahasa geometris, torus); tidak ada cara lain. Dan sebaliknya: ambil donat karet dan coba ubah menjadi bola. Namun, itu tetap tidak berhasil. Menurut sifat topologinya, permukaan bola dan torus tidak kompatibel, atau non-homeomorfik. Tetapi permukaan apa pun yang tidak berlubang (permukaan tertutup), sebaliknya, bersifat homeomorfik dan mampu berubah bentuk dan berubah menjadi bola.
Jika semuanya diputuskan tentang permukaan dua dimensi bola dan torus pada abad ke-19, maka dibutuhkan waktu lebih lama untuk kasus-kasus yang lebih multidimensi. Faktanya, inilah inti dari dugaan Poincaré, yang memperluas polanya ke kasus-kasus multidimensi. Sedikit menyederhanakan, dugaan Poincaré menyatakan: Setiap manifold berdimensi n tertutup yang terhubung secara sederhana bersifat homeomorfik terhadap bola berdimensi n. Lucunya, opsi dengan permukaan tiga dimensi ternyata menjadi yang paling sulit. Pada tahun 1960, hipotesis terbukti untuk dimensi 5 dan lebih tinggi, pada tahun 1981 untuk n=4. Batu sandungannya justru adalah tiga dimensi.
Mengembangkan gagasan William Trsten dan Richard Hamilton, yang dikemukakan oleh mereka pada tahun 1980-an, Grigory Perelman menerapkan persamaan khusus evolusi halus pada permukaan tiga dimensi. Dan dia mampu menunjukkan bahwa permukaan tiga dimensi yang asli (jika tidak ada diskontinuitas di dalamnya) akan berevolusi menjadi bola tiga dimensi (ini adalah permukaan bola empat dimensi, dan ia ada dalam bola 4 dimensi). ruang angkasa). Menurut sejumlah ahli, ini adalah gagasan generasi baru, yang solusinya membuka cakrawala baru bagi ilmu matematika.
Menariknya, karena alasan tertentu Perelman sendiri tidak mau repot-repot membawa keputusannya ke tingkat yang paling cemerlang. Setelah menggambarkan solusi secara keseluruhan dalam pracetak Rumus entropi untuk aliran Ricci dan aplikasi geometrisnya pada bulan November 2002, pada bulan Maret 2003 ia melengkapi buktinya dan menyajikannya dalam pracetak aliran Ricci dengan operasi pada manifold tiga, dan juga melaporkan tentang metode tersebut dalam rangkaian perkuliahan yang ia berikan pada tahun 2003 atas undangan sejumlah universitas. Tak satu pun dari pengulas dapat menemukan kesalahan dalam versi yang ia usulkan, namun Perelman tidak menerbitkan publikasi dalam publikasi ilmiah yang ditinjau oleh rekan sejawat (yang, khususnya, merupakan kondisi yang diperlukan untuk menerima Hadiah Clay Mathematical Institute). Namun pada tahun 2006, berdasarkan metodenya, seluruh rangkaian bukti dirilis, di mana ahli matematika Amerika dan Cina memeriksa masalah secara rinci dan lengkap, melengkapi poin-poin yang dihilangkan oleh Perelman, dan memberikan bukti akhir dari dugaan Poincaré.
Dugaan umum Poincaré menyatakan bahwa:
Untuk n apa pun, manifold dimensi apa pun n adalah homotopi yang setara dengan bola berdimensi n jika dan hanya jika ia homeomorfik.
Dugaan Poincaré asli adalah kasus khusus dari dugaan umum untuk n = 3.
Untuk klarifikasi, pergi ke hutan untuk memetik jamur, Grigory Perelman pergi ke sana)
Teorema pengembalian Poincaré adalah salah satu teorema dasar teori ergodik. Esensinya adalah bahwa dengan pemetaan ruang yang menjaga ukuran, hampir setiap titik akan kembali ke lingkungan awalnya. Rumusan teorema selengkapnya adalah sebagai berikut: 1:
Misalkan merupakan transformasi kelestarian ukuran suatu ruang dengan ukuran berhingga, dan menjadi himpunan terukur. Lalu untuk yang alami apa pun
.
Teorema ini mempunyai akibat yang tidak terduga: ternyata jika dalam sebuah bejana dibagi oleh sekat menjadi dua ruang, yang satu berisi gas dan yang lain kosong, sekat tersebut dihilangkan, maka lama kelamaan semua molekul gas akan menjadi. berkumpul lagi di bagian asli kapal. Solusi terhadap paradoks ini adalah bahwa suatu waktu berada pada kisaran miliaran tahun.
dia memiliki teorema seperti anjing yang disembelih di Korea...
alam semesta itu bulat... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Kemarin para ilmuwan mengumumkan bahwa alam semesta adalah zat beku... dan meminta banyak uang untuk membuktikannya... lagi-lagi Merikos akan menyalakan mesin cetak... untuk hiburan orang bodoh...
Coba buktikan mana yang naik dan turun di gravitasi nol.
Kemarin ada film bagus tentang BUDAYA, yang menjelaskan masalah ini secara detail. Mungkin mereka masih memilikinya?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Masuk ke Yandex dan tulis Film tentang Perelman dan buka filmnya

Gregory Perelman. penolakan

Vasily Maksimov

Pada bulan Agustus 2006, nama-nama ahli matematika terbaik di planet ini diumumkan yang menerima Fields Medal yang bergengsi - semacam analogi dari Hadiah Nobel, yang dirampas oleh para ahli matematika, atas kemauan Alfred Nobel. Fields Medal - selain lencana kehormatan, para pemenang diberikan cek sebesar lima belas ribu dolar Kanada - diberikan oleh Kongres Matematikawan Internasional setiap empat tahun. Penghargaan ini didirikan oleh ilmuwan Kanada John Charles Fields dan pertama kali diberikan pada tahun 1936. Sejak tahun 1950, Fields Medal telah diberikan secara teratur secara pribadi oleh Raja Spanyol atas kontribusinya terhadap pengembangan ilmu matematika. Pemenang hadiah dapat berupa satu hingga empat ilmuwan yang berusia di bawah empat puluh tahun. Empat puluh empat matematikawan, termasuk delapan orang Rusia, telah menerima penghargaan tersebut.

Gregory Perelman. Henri Poincare.

Pada tahun 2006, pemenangnya adalah orang Prancis Wendelin Werner, Terence Tao dari Australia dan dua orang Rusia - Andrey Okunkov yang bekerja di AS dan Grigory Perelman, seorang ilmuwan dari St. Namun, pada saat-saat terakhir diketahui bahwa Perelman menolak penghargaan bergengsi ini - seperti yang diumumkan oleh penyelenggara, “karena alasan prinsip.”

Tindakan luar biasa yang dilakukan ahli matematika Rusia ini tidak mengejutkan orang-orang yang mengenalnya. Ini bukan pertama kalinya dia menolak penghargaan matematika, menjelaskan keputusannya dengan mengatakan bahwa dia tidak menyukai acara seremonial dan hype yang tidak perlu seputar namanya. Sepuluh tahun yang lalu, pada tahun 1996, Perelman menolak hadiah dari Kongres Matematika Eropa, dengan alasan bahwa dia belum menyelesaikan pekerjaan pada masalah ilmiah yang dinominasikan untuk penghargaan tersebut, dan ini bukan kasus terakhir. Ahli matematika Rusia ini tampaknya menjadikan tujuan hidupnya untuk mengejutkan orang, bertentangan dengan opini publik dan komunitas ilmiah.

Grigory Yakovlevich Perelman lahir pada 13 Juni 1966 di Leningrad. Sejak usia muda, ia menyukai ilmu eksakta, lulus dengan cemerlang dari sekolah menengah ke-239 yang terkenal dengan studi matematika yang mendalam, memenangkan banyak Olimpiade matematika: misalnya, pada tahun 1982, sebagai bagian dari tim anak-anak sekolah Soviet, ia berpartisipasi di Olimpiade Matematika Internasional yang diadakan di Budapest. Tanpa ujian, Perelman terdaftar di Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Leningrad, di mana ia belajar dengan nilai yang sangat baik, terus memenangkan kompetisi matematika di semua tingkatan. Setelah lulus dari universitas dengan pujian, ia memasuki sekolah pascasarjana di Institut Matematika Steklov cabang St. Petersburg. Pembimbing ilmiahnya adalah ahli matematika terkenal, Akademisi Aleksandrov. Setelah mempertahankan tesis Ph.D-nya, Grigory Perelman tetap di institut tersebut, di laboratorium geometri dan topologi. Karyanya mengenai teori ruang Alexandrov telah diketahui; ia mampu menemukan bukti sejumlah dugaan penting. Meski banyak tawaran dari universitas terkemuka Barat, Perelman lebih memilih bekerja di Rusia.

Keberhasilannya yang paling menonjol adalah penyelesaian dugaan Poincaré yang terkenal pada tahun 2002, yang diterbitkan pada tahun 1904 dan sejak itu tetap tidak terbukti. Perelman mengerjakannya selama delapan tahun. Dugaan Poincaré dianggap sebagai salah satu misteri matematika terbesar, dan penyelesaiannya dianggap sebagai pencapaian paling penting dalam ilmu matematika: dugaan ini akan segera memajukan penelitian terhadap masalah dasar fisika dan matematika alam semesta. Para pemikir paling terkemuka di planet ini meramalkan solusinya hanya dalam beberapa dekade, dan Clay Institute of Mathematics di Cambridge, Massachusetts, memasukkan masalah Poincaré di antara tujuh masalah matematika paling menarik yang belum terpecahkan di milenium, yang masing-masing solusinya dijanjikan hadiah satu juta dolar (Masalah Hadiah Milenium). .

Dugaan (terkadang disebut masalah) matematikawan Prancis Henri Poincaré (1854–1912) dirumuskan sebagai berikut: setiap ruang tiga dimensi tertutup yang terhubung sederhana bersifat homeomorfik terhadap bola tiga dimensi. Untuk memperjelas, gunakan contoh yang jelas: jika Anda membungkus apel dengan karet gelang, maka pada prinsipnya, dengan mengencangkan selotip, Anda dapat mengompres apel hingga menjadi satu titik. Jika Anda membungkus donat dengan selotip yang sama, Anda tidak dapat mengompresnya sampai titik tertentu tanpa merobek donat atau karetnya. Dalam konteks ini, sebuah apel disebut sebagai figur yang “tersambung secara sederhana”, namun donat tidak hanya disambungkan. Hampir seratus tahun yang lalu, Poincaré menetapkan bahwa bola dua dimensi terhubung secara sederhana, dan menyarankan bahwa bola tiga dimensi juga terhubung secara sederhana. Ahli matematika terbaik di dunia tidak dapat membuktikan hipotesis ini.

Untuk memenuhi syarat untuk Clay Institute Prize, Perelman hanya perlu mempublikasikan solusinya di salah satu jurnal ilmiah, dan jika dalam waktu dua tahun tidak ada yang menemukan kesalahan dalam perhitungannya, maka solusi tersebut dianggap benar. Namun, Perelman menyimpang dari aturan sejak awal, mempublikasikan keputusannya di situs pracetak Laboratorium Ilmiah Los Alamos. Mungkin dia takut kesalahan telah terjadi dalam perhitungannya - cerita serupa telah terjadi dalam matematika. Pada tahun 1994, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mengusulkan solusi untuk teorema Fermat yang terkenal, dan beberapa bulan kemudian ternyata ada kesalahan yang menyusup ke dalam perhitungannya (meskipun kemudian diperbaiki, dan sensasi masih terjadi). Masih belum ada publikasi resmi mengenai bukti dugaan Poincaré, namun terdapat pendapat resmi dari ahli matematika terbaik di dunia yang membenarkan kebenaran perhitungan Perelman.

Fields Medal dianugerahkan kepada Grigory Perelman justru karena memecahkan masalah Poincaré. Namun ilmuwan Rusia itu menolak penghargaan tersebut, yang tentu saja pantas diterimanya. “Gregory mengatakan kepada saya bahwa dia merasa terisolasi dari komunitas matematika internasional, di luar komunitas ini, dan karena itu tidak ingin menerima penghargaan tersebut,” kata orang Inggris John Ball, presiden Persatuan Matematikawan Dunia (WUM), pada konferensi pers di Madrid.

Ada desas-desus bahwa Grigory Perelman akan meninggalkan sains sama sekali: enam bulan lalu dia mengundurkan diri dari Institut Matematika Steklov asalnya, dan mereka mengatakan bahwa dia tidak akan lagi belajar matematika. Mungkin ilmuwan Rusia tersebut percaya bahwa dengan membuktikan hipotesis terkenal tersebut, dia telah melakukan segala yang dia bisa untuk sains. Namun siapa yang mau membahas alur pemikiran ilmuwan cerdas dan orang luar biasa tersebut?.. Perelman menolak berkomentar apa pun, dan dia mengatakan kepada surat kabar The Daily Telegraph: “Tidak ada satupun yang dapat saya katakan yang merupakan kepentingan publik sedikit pun.” Namun, publikasi ilmiah terkemuka sepakat dalam penilaian mereka ketika mereka melaporkan bahwa “Grigory Perelman, setelah menyelesaikan teorema Poincaré, berdiri setara dengan para jenius terhebat di masa lalu dan masa kini.”

Majalah dan penerbit sastra dan jurnalistik bulanan.

Para ilmuwan percaya bahwa matematikawan Rusia berusia 38 tahun Grigory Perelman mengusulkan solusi yang tepat untuk masalah Poincaré. Keith Devlin, seorang profesor matematika di Universitas Stanford, mengatakan hal tersebut pada festival sains di Exeter (Inggris).

Masalah Poincaré (juga disebut masalah atau hipotesis) adalah salah satu dari tujuh masalah matematika terpenting, yang penyelesaiannya masing-masing ia berikan hadiah sebesar satu juta dolar. Hal inilah yang menarik perhatian luas terhadap hasil yang diperoleh Grigory Perelman, seorang pegawai laboratorium fisika matematika.

Para ilmuwan di seluruh dunia mengetahui pencapaian Perelman dari dua pracetak (artikel sebelum publikasi ilmiah lengkap), yang diposting oleh penulis pada November 2002 dan Maret 2003 di situs arsip karya awal Laboratorium Ilmiah Los Alamos.

Menurut aturan yang diadopsi oleh Dewan Penasihat Ilmiah Clay Institute, hipotesis baru harus dipublikasikan dalam jurnal khusus "reputasi internasional". Selain itu, menurut peraturan Institut, keputusan untuk membayar hadiah pada akhirnya dibuat oleh "komunitas matematika": bukti tidak boleh disangkal dalam waktu dua tahun setelah publikasi. Setiap bukti diperiksa oleh ahli matematika di berbagai negara di dunia.

Masalah Poincare

Lahir pada 13 Juni 1966 di Leningrad, dari keluarga karyawan. Ia lulus dari sekolah menengah terkenal No. 239 dengan studi matematika yang mendalam. Pada tahun 1982, sebagai bagian dari tim anak sekolah Soviet, ia berpartisipasi dalam Olimpiade Matematika Internasional yang diadakan di Budapest. Dia terdaftar dalam matematika dan mekanik di Universitas Negeri Leningrad tanpa ujian. Dia memenangkan Olimpiade matematika mahasiswa tingkat fakultas, kota, dan seluruh Serikat. Menerima beasiswa Lenin. Setelah lulus dari universitas, Perelman memasuki sekolah pascasarjana di Institut Matematika Steklov cabang St. Petersburg. Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika. Bekerja di laboratorium fisika matematika.

Masalah Poincaré berkaitan dengan luas yang disebut topologi manifold – ruang yang disusun secara khusus dan memiliki dimensi berbeda. Lipatan dua dimensi dapat divisualisasikan, misalnya dengan menggunakan contoh permukaan benda tiga dimensi - bola (permukaan bola) atau torus (permukaan donat).

Mudah untuk membayangkan apa yang akan terjadi pada balon jika berubah bentuk (bengkok, terpelintir, ditarik, dikompresi, terjepit, kempis, atau menggembung). Jelas bahwa dengan semua deformasi di atas, bola akan berubah bentuk dalam rentang yang luas. Namun, kita tidak akan pernah bisa mengubah bola menjadi donat (atau sebaliknya) tanpa merusak kontinuitas permukaannya, yaitu tanpa mengoyaknya. Dalam hal ini, ahli topologi mengatakan bahwa bola (bola) bersifat non-homeomorfik terhadap torus (donat). Artinya, permukaan-permukaan ini tidak dapat dipetakan satu sama lain. Secara sederhana, bola dan torus berbeda dalam sifat topologinya. Dan permukaan balon, dengan segala kemungkinan deformasinya, bersifat homeomorfik terhadap bola, sama seperti permukaan pelampung terhadap torus. Dengan kata lain, setiap permukaan dua dimensi tertutup yang tidak memiliki lubang tembus memiliki sifat topologi yang sama dengan bola dua dimensi.

TOPOLOGI, cabang matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat bangun (atau ruang) yang dipertahankan dalam deformasi terus menerus, seperti regangan, kompresi atau tekukan. Deformasi kontinyu adalah deformasi suatu bangun yang tidak terjadi robekan (yaitu pelanggaran keutuhan bangun tersebut) atau perekatan (yaitu identifikasi titik-titiknya).
TRANSFORMASI TOPOLOGIS suatu bangun geometri ke bangun datar lainnya merupakan pemetaan sembarang titik P pada bangun pertama ke titik P' pada bangun lain, yang memenuhi syarat sebagai berikut: 1) setiap titik P pada bangun pertama harus bersesuaian dengan satu dan hanya satu titik P' pada gambar kedua, dan sebaliknya; 2) Pemetaannya harus saling berkesinambungan. Misalnya ada dua titik P dan N yang berada pada gambar yang sama. Jika pada saat titik P berpindah ke titik N jarak antara keduanya cenderung nol, maka jarak antara titik P' dan N' pada bangun lain juga cenderung nol, begitu pula sebaliknya.
HOMEOMORFISME. Bentuk geometris yang berubah satu sama lain selama transformasi topologi disebut homeomorfik. Lingkaran dan batas persegi bersifat homeomorfik, karena keduanya dapat diubah menjadi satu sama lain melalui transformasi topologi (yaitu, menekuk dan meregangkan tanpa merusak atau merekatkan, misalnya, meregangkan batas persegi ke lingkaran yang dibatasi di sekitarnya) . Suatu daerah di mana setiap kurva sederhana tertutup (yaitu, homeomorfik ke lingkaran) dapat dikontrakkan ke suatu titik sambil tetap berada di daerah ini sepanjang waktu disebut terhubung sederhana, dan properti yang bersesuaian dari daerah tersebut disebut terhubung sederhana. Jika suatu kurva sederhana tertutup pada suatu daerah tidak dapat disingkat menjadi suatu titik, yang tetap berada di daerah tersebut sepanjang waktu, maka daerah tersebut disebut terhubung perkalian, dan properti yang bersesuaian dari wilayah tersebut disebut terhubung perkalian.

Masalah Poincaré menyatakan hal yang sama untuk manifold tiga dimensi (untuk manifold dua dimensi, seperti bola, hal ini telah dibuktikan pada abad ke-19). Seperti yang dicatat oleh ahli matematika Perancis, salah satu sifat terpenting dari bola dua dimensi adalah bahwa setiap lingkaran tertutup (misalnya, laso) yang terletak di atasnya dapat ditarik ke satu titik tanpa meninggalkan permukaan. Untuk torus, hal ini tidak selalu benar: sebuah loop yang melewati lubangnya akan ditarik ke suatu titik baik ketika torus putus, atau saat loop itu sendiri putus. Pada tahun 1904, Poincaré mengusulkan bahwa jika sebuah lingkaran dapat berkontraksi ke suatu titik pada permukaan tiga dimensi yang tertutup, maka permukaan tersebut bersifat homeomorfik terhadap bola tiga dimensi. Membuktikan hipotesis ini ternyata merupakan tugas yang sangat sulit.

Mari kita segera perjelas: rumusan masalah Poincaré yang kami sebutkan sama sekali tidak berbicara tentang bola tiga dimensi, yang dapat kita bayangkan tanpa banyak kesulitan, tetapi tentang bola tiga dimensi, yaitu tentang permukaan empat. -bola berdimensi, yang jauh lebih sulit dibayangkan. Namun pada akhir tahun 1950-an, tiba-tiba menjadi jelas bahwa manifold berdimensi tinggi lebih mudah dikerjakan dibandingkan manifold tiga dan empat dimensi. Jelasnya, ketidakjelasan bukanlah kesulitan utama yang dihadapi para matematikawan dalam penelitian mereka.

Masalah yang mirip dengan masalah Poincaré untuk dimensi 5 dan lebih tinggi diselesaikan pada tahun 1960 oleh Stephen Smale, John Stallings, dan Andrew Wallace. Namun, pendekatan yang digunakan oleh para ilmuwan ini ternyata tidak dapat diterapkan pada manifold empat dimensi. Bagi mereka, masalah Poincaré baru dibuktikan pada tahun 1981 oleh Michael Freedman. Kasus tiga dimensi ternyata menjadi yang paling sulit; Grigory Perelman mengusulkan solusinya.

Perlu dicatat bahwa Perelman memiliki saingan. Pada bulan April 2002, Martin Dunwoody, seorang profesor matematika di British University of Southampton, mengusulkan metodenya untuk memecahkan masalah Poincaré dan sekarang menunggu keputusan dari Clay Institute.

Para ahli percaya bahwa penyelesaian masalah Poincaré akan memungkinkan pengambilan langkah serius dalam deskripsi matematis proses fisik dalam objek tiga dimensi yang kompleks dan akan memberikan dorongan baru bagi pengembangan topologi komputer. Metode yang dikemukakan oleh Grigory Perelman akan membuka arah baru dalam geometri dan topologi. Ahli matematika St. Petersburg mungkin memenuhi syarat untuk mendapatkan Fields Prize (analog dengan Hadiah Nobel, yang tidak diberikan dalam matematika).

Sementara itu, ada yang menganggap kelakuan Grigory Perelman aneh. Inilah yang ditulis oleh surat kabar Inggris The Guardian: "Kemungkinan besar, pendekatan Perelman untuk memecahkan masalah Poincaré adalah benar. Tapi tidak semuanya sesederhana itu. Perelman tidak memberikan bukti bahwa karya tersebut diterbitkan sebagai publikasi ilmiah lengkap (pracetak tidak dianggap seperti itu). Dan ini perlu jika seseorang ingin menerima penghargaan dari Clay Institute. Selain itu, dia tidak menunjukkan minat sama sekali pada uang."

Rupanya, bagi Grigory Perelman, sebagai ilmuwan sejati, uang bukanlah hal yang utama. Untuk memecahkan apa yang disebut “masalah milenium”, seorang ahli matematika sejati akan menjual jiwanya kepada iblis.

Daftar Milenium

Pada tanggal 8 Agustus 1900, di Kongres Internasional Matematika di Paris, matematikawan David Hilbert menguraikan daftar masalah yang dia yakini harus diselesaikan pada abad kedua puluh. Ada 23 item dalam daftar. Dua puluh satu di antaranya telah diselesaikan sejauh ini. Masalah terakhir dalam daftar Hilbert yang harus dipecahkan adalah teorema Fermat yang terkenal, yang tidak dapat dipecahkan oleh para ilmuwan selama 358 tahun. Pada tahun 1994, warga Inggris Andrew Wiles mengusulkan solusinya. Ternyata itu benar.

Mengikuti contoh Gilbert, di penghujung abad lalu, banyak ahli matematika yang mencoba merumuskan tugas strategis serupa untuk abad ke-21. Salah satu daftar ini dikenal luas berkat miliarder Boston Landon T. Clay. Pada tahun 1998, dengan dananya, hadiah didirikan dan didirikan di Cambridge (Massachusetts, AS) untuk memecahkan sejumlah masalah terpenting matematika modern. Pada tanggal 24 Mei 2000, para ahli institut memilih tujuh soal - sesuai dengan jumlah jutaan dolar yang dialokasikan untuk hadiah tersebut. Daftar ini disebut Masalah Hadiah Milenium:

1. Masalah Cook (dirumuskan tahun 1971)

Katakanlah Anda, yang berada di sebuah perusahaan besar, ingin memastikan bahwa teman Anda juga ada di sana. Jika mereka memberi tahu Anda bahwa dia sedang duduk di sudut, maka sepersekian detik saja sudah cukup bagi Anda untuk melihat sekilas dan yakin akan kebenaran informasi tersebut. Tanpa informasi ini, Anda akan terpaksa berjalan mengelilingi seluruh ruangan sambil memandangi para tamu. Hal ini menunjukkan bahwa penyelesaian suatu masalah seringkali membutuhkan waktu lebih lama daripada memeriksa kebenaran solusinya.

Stephen Cook merumuskan masalahnya: mungkin diperlukan waktu lebih lama untuk memeriksa kebenaran solusi suatu masalah daripada mendapatkan solusi itu sendiri, apa pun algoritma verifikasinya. Permasalahan ini juga merupakan salah satu permasalahan yang belum terpecahkan dalam bidang logika dan ilmu komputer. Solusinya dapat merevolusi dasar-dasar kriptografi yang digunakan dalam transmisi dan penyimpanan data.

2. Hipotesis Riemann (dirumuskan pada tahun 1859)

Beberapa bilangan bulat tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua bilangan bulat yang lebih kecil, seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Bilangan seperti ini disebut bilangan prima dan mempunyai peranan penting dalam matematika murni dan penerapannya. Distribusi bilangan prima di antara deret semua bilangan asli tidak mengikuti pola apapun. Namun, matematikawan Jerman Riemann membuat dugaan mengenai sifat-sifat barisan bilangan prima. Jika Hipotesis Riemann terbukti, hal ini akan membawa perubahan revolusioner dalam pengetahuan kita tentang enkripsi dan terobosan yang belum pernah terjadi sebelumnya dalam keamanan Internet.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer (dirumuskan pada tahun 1960)

Terkait dengan uraian himpunan solusi beberapa persamaan aljabar pada beberapa variabel dengan koefisien bilangan bulat. Contoh persamaan tersebut adalah ekspresi x 2 + y 2 = z 2. Euclid memberikan gambaran lengkap tentang solusi persamaan ini, tetapi untuk persamaan yang lebih kompleks, mencari solusi menjadi sangat sulit.

4. Hipotesis Hodge (dirumuskan pada tahun 1941)

Pada abad ke-20, ahli matematika menemukan metode ampuh untuk mempelajari bentuk benda kompleks. Ide utamanya adalah menggunakan “batu bata” sederhana sebagai pengganti objek itu sendiri, yang direkatkan dan dibentuk serupa. Hipotesis Hodge dikaitkan dengan beberapa asumsi mengenai sifat-sifat “blok penyusun” dan objek tersebut.

5. Persamaan Navier - Stokes (diformulasikan pada tahun 1822)

Jika Anda berlayar dengan perahu di danau, akan timbul gelombang, dan jika Anda terbang dengan pesawat, akan timbul arus turbulen di udara. Diasumsikan bahwa fenomena ini dan fenomena lainnya dijelaskan oleh persamaan yang dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes. Solusi terhadap persamaan ini tidak diketahui, dan bahkan tidak diketahui cara menyelesaikannya. Penting untuk menunjukkan bahwa suatu solusi ada dan merupakan fungsi yang cukup mulus. Pemecahan masalah ini akan secara signifikan mengubah metode pelaksanaan perhitungan hidro dan aerodinamis.

6. Masalah Poincaré (diformulasikan pada tahun 1904)

Jika Anda menarik karet gelang di atas apel, Anda dapat, dengan menggerakkan karet secara perlahan tanpa mengangkatnya dari permukaan, menekannya hingga titik tertentu. Di sisi lain, jika karet gelang yang sama diregangkan dengan tepat di sekeliling donat, tidak ada cara untuk menekan karet gelang tersebut sampai titik tertentu tanpa merobek pita atau merusak donat. Mereka bilang permukaan apel hanya terhubung, tapi permukaan donat tidak. Ternyata sangat sulit untuk membuktikan bahwa hanya bola yang terhubung secara sederhana sehingga para ahli matematika masih mencari jawaban yang benar.

7. Persamaan Yang-Mills (diformulasikan pada tahun 1954)

Persamaan fisika kuantum menggambarkan dunia partikel elementer. Fisikawan Young dan Mills, setelah menemukan hubungan antara geometri dan fisika partikel, menulis persamaan mereka. Dengan demikian, mereka menemukan cara untuk menyatukan teori interaksi elektromagnetik, interaksi lemah dan kuat. Persamaan Yang-Mills menyiratkan keberadaan partikel yang benar-benar diamati di laboratorium di seluruh dunia, sehingga teori Yang-Mills diterima oleh sebagian besar fisikawan meskipun faktanya dalam kerangka teori ini masih belum mungkin untuk memprediksi massa partikel elementer.

Mikhail Vitebsky

“Masalah yang sudah terpecahkan Perelman, adalah syarat untuk membuktikan hipotesis yang diajukan pada tahun 1904 oleh ahli matematika besar Perancis Henri Poincare(1854-1912) dan menyandang namanya. Sulit untuk mengatakan lebih baik tentang peran Poincaré dalam matematika daripada yang dilakukan dalam ensiklopedia: “Karya Poincaré di bidang matematika, di satu sisi, melengkapi arah klasik, dan di sisi lain, membuka jalan menuju perkembangan. matematika baru, di mana, bersama dengan hubungan kuantitatif, ditetapkan fakta-fakta yang bersifat kualitatif" (TSB, edisi ke-3, vol. 2). Dugaan Poincaré justru bersifat kualitatif - seperti seluruh bidang matematika (yaitu topologi) yang terkait dan dalam penciptaannya Poincaré mengambil bagian yang menentukan.

Dalam bahasa modern, dugaan Poincaré terdengar seperti ini: setiap manifold tiga dimensi kompak yang terhubung tanpa batas bersifat homeomorfik terhadap bola tiga dimensi.

Dalam paragraf berikut kami akan mencoba menjelaskan setidaknya sebagian dan secara kasar arti dari rumusan verbal yang menakutkan ini. Pertama-tama, kita perhatikan bahwa bola biasa, yang merupakan permukaan bola biasa, adalah dua dimensi (dan bola itu sendiri adalah tiga dimensi). Bola dua dimensi terdiri dari semua titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat, yang bukan milik bola. Bola tiga dimensi terdiri dari semua titik dalam ruang empat dimensi yang berjarak sama dari pusatnya (yang bukan milik bola). Berbeda dengan bola dua dimensi, bola tiga dimensi tidak tersedia pengamatan langsung kami, dan sulit bagi kami untuk membayangkannya seperti halnya Vasily Ivanovich membayangkan trinomial persegi dari lelucon terkenal. Namun, ada kemungkinan bahwa kita semua berada dalam lingkup tiga dimensi, artinya Alam Semesta kita adalah lingkup tiga dimensi.

Inilah arti dari hasilnya Perelman untuk fisika dan astronomi. Istilah “manifold tiga dimensi kompak yang terhubung secara sederhana tanpa tepi” mengandung indikasi sifat-sifat yang diduga dari Alam Semesta kita. Istilah “homeomorfik” berarti suatu tingkat kesamaan yang tinggi, dalam arti tertentu, tidak dapat dibedakan. Oleh karena itu, rumusan secara keseluruhan berarti bahwa jika Alam Semesta kita memiliki semua sifat manifold tiga dimensi kompak yang terhubung sederhana tanpa tepi, maka alam semesta - dalam "pengertian umum" yang sama - adalah bola tiga dimensi.

Konsep keterhubungan sederhana merupakan konsep yang cukup sederhana. Bayangkan sebuah karet gelang (yaitu benang karet yang ujung-ujungnya direkatkan) sangat elastis sehingga jika tidak dipegang maka akan menyusut sampai titik tertentu. Kami juga akan meminta dari karet gelang kami bahwa ketika ditarik ke suatu titik, karet tersebut tidak melampaui permukaan tempat kami meletakkannya. Jika kita meregangkan karet gelang tersebut pada bidang datar dan melepaskannya, maka karet tersebut akan langsung menyusut sampai pada titik tertentu. Hal yang sama akan terjadi jika kita memasang karet gelang pada permukaan bola bumi, yaitu pada bola. Untuk permukaan pelampung penolong, situasinya akan sangat berbeda: pembaca yang baik hati akan dengan mudah menemukan susunan elastis pada permukaan ini sehingga tidak mungkin menarik elastis ke suatu titik tanpa melampaui permukaan yang dimaksud. Suatu bangun datar disebut terhubung sederhana jika setiap kontur tertutup yang terletak di dalam batas-batas bangun tersebut dapat dikontrak menjadi suatu titik tanpa melampaui batas yang disebutkan. Kita baru saja melihat bahwa bidang dan bola terhubung secara sederhana, namun permukaan pelampung penolong tidak terhubung secara sederhana. Sebuah bidang yang dilubangi juga tidak terhubung begitu saja. Konsep keterhubungan sederhana juga berlaku pada bangun ruang tiga dimensi. Jadi, sebuah kubus dan sebuah bola dihubungkan secara sederhana: setiap kontur tertutup yang terletak pada ketebalannya dapat dikontraksikan ke suatu titik, dan selama proses kontraksi, kontur tersebut akan selalu tetap berada dalam ketebalan ini. Namun bagel tidak sekadar disambung: di dalamnya terdapat kontur yang tidak dapat dikontraksi hingga suatu titik sehingga selama proses kontraksi kontur tersebut selalu berada di dalam adonan bagel. Pretzel juga tidak terhubung satu sama lain. Dapat dibuktikan bahwa bola tiga dimensi tersebut terhubung secara sederhana.

Kami berharap pembaca tidak melupakan perbedaan segmen dan interval yang diajarkan di sekolah. Sebuah segmen memiliki dua ujung; ia terdiri dari ujung-ujung ini dan semua titik yang terletak di antara keduanya. Suatu interval hanya terdiri dari semua titik yang terletak di antara ujung-ujungnya; ujung-ujungnya sendiri tidak termasuk dalam interval: kita dapat mengatakan bahwa suatu interval adalah suatu segmen yang ujung-ujungnya dihilangkan, dan suatu segmen adalah suatu interval yang ujung-ujungnya ditambahkan ke dalamnya. dia. Interval dan segmen adalah contoh paling sederhana dari manifold satu dimensi, dimana interval adalah manifold tanpa tepi, dan segmen adalah manifold dengan tepi; suatu sisi dalam kasus segmen terdiri dari dua ujung. Sifat utama manifold, yang mendasari definisinya, adalah bahwa dalam manifold, lingkungan semua titik, kecuali titik-titik pada tepi (yang mungkin tidak ada), disusun dengan cara yang persis sama.

Dalam hal ini, lingkungan suatu titik A adalah himpunan semua titik yang terletak dekat dengan titik A tersebut. Makhluk mikroskopis yang hidup dalam suatu manifold tanpa tepi dan hanya mampu melihat titik-titik yang paling dekat dengan dirinya tidak mampu melihat tentukan pada titik mana ia berada: di sekelilingnya ia selalu melihat hal yang sama. Lebih banyak contoh manifold satu dimensi tanpa tepi: seluruh garis lurus, lingkaran. Contoh bangun datar satu dimensi yang bukan manifold adalah garis berbentuk huruf T: terdapat suatu titik khusus yang lingkungannya tidak sama dengan lingkungan titik-titik lainnya - inilah titik di mana tiga segmen bertemu. Contoh lain dari manifold satu dimensi adalah garis angka delapan; Empat garis bertemu pada satu titik khusus di sini. Bidang, bola, dan permukaan pelampung merupakan contoh lipatan dua dimensi tanpa tepi. Bidang yang dilubangi juga akan berjenis - tetapi dengan atau tanpa tepi, tergantung di mana kita menempatkan kontur lubang. Jika kita merujuknya ke sebuah lubang, kita mendapatkan manifold tanpa tepi; jika kita membiarkan kontur pada bidang, kita mendapatkan manifold dengan tepi, yang akan berfungsi sebagai kontur ini. Tentu saja, yang kami maksud di sini adalah pemotongan matematis yang ideal, dan dalam pemotongan fisik nyata dengan gunting, pertanyaan tentang di mana letak konturnya tidak masuk akal.

Beberapa kata tentang manifold tiga dimensi. Bola, bersama dengan bola yang berfungsi sebagai permukaannya, merupakan suatu lipatan yang memiliki tepi; bola yang ditunjukkan tepatnya adalah tepi ini. Jika kita mengeluarkan bola ini dari ruang sekitarnya, kita mendapatkan manifold tanpa tepi. Jika kita mengupas permukaan sebuah bola, kita mendapatkan apa yang disebut “bola diampelas” dalam jargon matematika, dan bola terbuka dalam bahasa yang lebih ilmiah. Jika kita mengeluarkan bola terbuka dari ruang di sekitarnya, kita mendapatkan lipatan dengan tepi, dan tepi tersebut akan menjadi bola yang kita sobek dari bola tersebut. Bagel, bersama dengan keraknya, adalah lipatan tiga dimensi yang memiliki tepi, dan jika Anda merobek keraknya (yang kami anggap sangat tipis, yaitu sebagai permukaan), kami mendapatkan lipatan tanpa tepi di dalamnya. bentuk “bagel yang diampelas”. Semua ruang secara keseluruhan, jika kita memahaminya sebagaimana dipahami di sekolah menengah, adalah manifold tiga dimensi tanpa tepi.

Konsep matematika tentang kekompakan sebagian mencerminkan arti kata “kompak” dalam bahasa Rusia sehari-hari: “dekat”, “terkompresi”. Suatu bangun datar disebut kompak jika, untuk sembarang susunan titik-titik yang jumlahnya tak terhingga, titik-titik tersebut terakumulasi pada salah satu titik atau pada banyak titik pada bangun yang sama. Suatu segmen bersifat kompak: untuk setiap himpunan titik-titiknya yang tak terhingga dalam segmen tersebut, paling sedikit terdapat satu titik batas, yang setiap lingkungannya memuat banyak sekali elemen himpunan yang ditinjau. Suatu interval tidak kompak: Anda dapat menentukan sekumpulan titik-titiknya yang terakumulasi menuju ujungnya, dan hanya ke arahnya - tetapi ujungnya tidak termasuk dalam interval!

Karena kurangnya ruang, kami akan membatasi diri pada komentar ini. Anggap saja dari contoh-contoh yang telah kita bahas, yang kompak adalah ruas, lingkaran, bola, permukaan bagel dan pretzel, bola (bersama dengan bolanya), bagel dan pretzel (bersama dengan keraknya). Sebaliknya, interval, plane, sanded ball, bagel, dan pretzel tidak kompak. Di antara bentuk geometris kompak tiga dimensi tanpa tepi, yang paling sederhana adalah bola tiga dimensi, tetapi bentuk seperti itu tidak sesuai dengan ruang “sekolah” kita yang biasa. Mungkin konsep yang paling mendalam yang dihubungkan oleh hipotesis Poincare, adalah konsep homeomorfi. Homeomorfi adalah tingkat kesamaan geometri tertinggi . Sekarang kami akan mencoba memberikan penjelasan kasar tentang konsep ini dengan pendekatan bertahap.

Sudah di geometri sekolah kita menemukan dua jenis kesamaan - kongruensi bangun-bangun dan kemiripannya. Ingatlah bahwa angka-angka disebut kongruen jika angka-angka tersebut berhimpitan satu sama lain ketika ditumpangkan. Di sekolah, bangun-bangun yang kongruen sepertinya tidak dapat dibedakan, oleh karena itu kongruensi disebut persamaan. Bangun-bangun yang kongruen mempunyai dimensi yang sama pada seluruh detailnya. Kesamaan, tanpa memerlukan ukuran yang sama, berarti proporsi yang sama dari ukuran-ukuran tersebut; oleh karena itu, kesamaan mencerminkan kesamaan angka yang lebih esensial daripada keselarasan. Geometri secara umum tingkat abstraksinya lebih tinggi dari fisika, dan fisika lebih tinggi dari ilmu material.

Ambil contoh bola bantalan, bola bilyar, bola kroket, dan bola. Fisika tidak mempelajari detail seperti bahan pembuatnya, tetapi hanya tertarik pada sifat-sifat seperti volume, berat, konduktivitas listrik, dll. Untuk matematika, semuanya adalah bola, hanya berbeda ukurannya. Jika bola mempunyai ukuran yang berbeda, maka bola tersebut berbeda untuk geometri metrik, tetapi semuanya sama untuk geometri kemiripan. Dari sudut pandang geometri, semua bola dan kubus adalah serupa, tetapi bola dan kubus tidak sama.

Sekarang mari kita lihat torusnya. Top adalah sosok geometris yang bentuknya seperti roda kemudi dan pelampung. Ensiklopedia mendefinisikan torus sebagai bangun datar yang diperoleh dengan memutar lingkaran mengelilingi sumbu yang terletak di luar lingkaran. Kami mendorong pembaca yang budiman untuk menyadari bahwa bola dan kubus “lebih mirip” satu sama lain dibandingkan dengan torus. Eksperimen pemikiran berikut memungkinkan kita mengisi kesadaran intuitif ini dengan makna yang tepat. Mari kita bayangkan sebuah bola yang terbuat dari bahan yang sangat lentur sehingga dapat ditekuk, diregangkan, dikompres, dan, secara umum, diubah bentuknya sesuka Anda - tidak dapat disobek atau direkatkan. Jelasnya, bola kemudian bisa diubah menjadi kubus, tetapi tidak mungkin diubah menjadi torus. Kamus penjelasan Ushakov mendefinisikan pretzel sebagai kue (secara harfiah: seperti roti yang dipilin mentega) dalam bentuk huruf B. Dengan segala hormat terhadap kamus yang luar biasa ini, kata-kata "dalam bentuk angka 8" menurut saya lebih banyak tepat; Namun jika dilihat dari konsep homeomorfi, kue berbentuk angka 8, kue berbentuk huruf B, dan kue berbentuk fita mempunyai bentuk yang sama. Sekalipun kita berasumsi bahwa pembuat roti dapat memperoleh adonan yang memiliki sifat kelenturan yang disebutkan di atas, roti tidak mungkin dibuat - tanpa sobek dan perekatan! - tidak berubah menjadi bagel atau pretzel, sama seperti dua makanan panggang terakhir menjadi satu sama lain. Tapi Anda bisa mengubah roti bulat menjadi kubus atau piramida. Pembaca yang baik hati pasti akan dapat menemukan kemungkinan bentuk kue yang tidak dapat diubah menjadi roti, pretzel, atau bagel.

Tanpa menyebutkan nama konsep ini, kita sudah mengenal homeomorfi. Dua bangun disebut homeomorfik jika yang satu dapat diubah menjadi yang lain melalui deformasi yang terus menerus (yaitu, tanpa merusak atau merekatkan); deformasi seperti itu sendiri disebut homeomorfisme. Kita baru mengetahui bahwa bola bersifat homeomorfik terhadap kubus dan piramida, tetapi tidak bersifat homeomorfik terhadap torus atau pretzel, dan dua benda terakhir tidak bersifat homeomorfik satu sama lain. Kami meminta pembaca untuk memahami bahwa kami hanya memberikan gambaran perkiraan tentang konsep homeomorfi, yang diberikan dalam kaitannya dengan transformasi mekanis.

Mari kita bahas aspek filosofis dari konsep homeomorfi. Mari kita bayangkan makhluk berpikir yang hidup di dalam suatu figur geometris dan Bukan memiliki kesempatan untuk melihat sosok ini dari luar, “dari luar”. Baginya, sosok yang ditinggalinya membentuk Alam Semesta. Mari kita bayangkan juga bahwa bila sosok di sekelilingnya mengalami deformasi yang terus-menerus, maka makhluk tersebut juga ikut mengalami deformasi. Jika sosok yang dimaksud adalah bola, maka makhluk tersebut sama sekali tidak dapat membedakan apakah ia berada di dalam bola, kubus, atau piramida. Namun, dia mungkin yakin bahwa alam semestanya tidak berbentuk seperti torus atau pretzel. Pada umumnya suatu makhluk dapat menentukan bentuk ruang yang mengelilinginya hanya sampai pada keadaan homeomorfik, yaitu tidak dapat membedakan bentuk yang satu dengan bentuk yang lain, selama bentuk-bentuk tersebut bersifat homeomorfik.

Bagi matematika, arti hipotesis Poincare, yang kini telah berubah dari hipotesis menjadi teorema Poincaré-Perelman, sangatlah besar (bukan tanpa alasan bahwa satu juta dolar ditawarkan untuk memecahkan masalah tersebut), sama seperti pentingnya metode yang ditemukan oleh Perelman untuk membuktikannya, sangat besar, namun menjelaskan pentingnya hal ini di luar kemampuan kami. Mengenai sisi kosmologis, mungkin pentingnya aspek ini agak dibesar-besarkan oleh para jurnalis.

Namun, beberapa ahli terkemuka mengatakan bahwa terobosan ilmiah Perelman dapat membantu dalam mempelajari proses pembentukan lubang hitam. Omong-omong, lubang hitam berfungsi sebagai sanggahan langsung terhadap tesis tentang kemampuan dunia untuk diketahui - salah satu ketentuan utama dari ajaran yang paling maju, satu-satunya yang benar dan mahakuasa, yang selama 70 tahun secara paksa dimasukkan ke dalam kepala kita yang malang. Lagi pula, seperti yang diajarkan fisika, pada prinsipnya tidak ada sinyal dari lubang ini yang dapat menjangkau kita, sehingga tidak mungkin untuk mengetahui apa yang terjadi di sana. Secara umum, kita hanya tahu sedikit tentang cara kerja Alam Semesta secara keseluruhan, dan kita ragu apakah kita bisa mengetahuinya. Dan makna pertanyaan tentang strukturnya tidak sepenuhnya jelas. Bisa jadi pertanyaan ini adalah salah satu pertanyaan yang menurut ajaran Budha, Bukan ada jawabannya. Fisika hanya menawarkan model perangkat yang kurang lebih sesuai dengan fakta yang diketahui. Dalam hal ini, fisika, pada umumnya, menggunakan persiapan yang sudah dikembangkan yang disediakan oleh matematika.

Tentu saja, matematika tidak berpura-pura menetapkan sifat-sifat geometris alam semesta. Tapi itu memungkinkan kita untuk memahami sifat-sifat yang telah ditemukan oleh ilmu-ilmu lain. Lebih-lebih lagi. Hal ini memungkinkan kita untuk membuat beberapa sifat yang sulit dibayangkan menjadi lebih mudah dipahami; hal ini menjelaskan bagaimana hal ini bisa terjadi. Sifat-sifat yang mungkin terjadi (kami tekankan: mungkin saja!) mencakup keterbatasan Alam Semesta dan ketidakterorientasiannya.

Untuk waktu yang lama, satu-satunya model struktur geometris Alam Semesta yang dapat dibayangkan adalah ruang Euclidean tiga dimensi, yaitu ruang yang diketahui semua orang sejak sekolah menengah. Ruang ini tidak terbatas; tampaknya tidak ada gagasan lain yang mungkin terjadi; Rasanya gila memikirkan keterbatasan alam semesta. Namun, kini gagasan tentang keterbatasan Alam Semesta tidak kalah sahnya dengan gagasan tentang ketidakterbatasannya. Khususnya, bola tiga dimensi itu terbatas. Dari komunikasi dengan fisikawan, saya mendapat kesan bahwa ada yang menjawab “kemungkinan besar. Alam Semesta tidak terbatas,” sementara yang lain mengatakan, “kemungkinan besar, Alam Semesta itu terbatas.”

Uspensky V.A. , Permintaan maaf matematika, atau tentang matematika sebagai bagian dari budaya spiritual, majalah “New World”, 2007, N 12, hal. 141-145.

Hampir setiap orang, bahkan mereka yang tidak ada hubungannya dengan matematika, pernah mendengar kata “dugaan Poincaré”, namun tidak semua orang bisa menjelaskan apa esensinya. Bagi banyak orang, matematika tingkat tinggi tampaknya menjadi sesuatu yang sangat kompleks dan tidak dapat dipahami. Oleh karena itu, mari kita coba mencari tahu apa arti hipotesis Poincaré secara sederhana.

Isi:

Apa dugaan Poincaré?

Rumusan awal hipotesisnya adalah sebagai berikut: “ Setiap manifold tiga dimensi yang terhubung secara sederhana tanpa batas bersifat homeomorfik terhadap bola tiga dimensi».

Bola adalah benda geometris tiga dimensi, permukaannya disebut bola, berbentuk dua dimensi dan terdiri dari titik-titik ruang tiga dimensi yang berjarak sama dari satu titik yang bukan milik bola tersebut - pusat bola. . Selain bola dua dimensi, ada juga bola tiga dimensi, yang terdiri dari banyak titik dalam ruang empat dimensi, yang juga berjarak sama dari satu titik yang bukan milik bola – pusatnya. Jika kita dapat melihat bola dua dimensi dengan mata kepala kita sendiri, maka bola tiga dimensi tidak dapat kita persepsikan secara visual.

Karena kita tidak mempunyai kesempatan untuk melihat Alam Semesta, kita dapat berasumsi bahwa alam semesta adalah alam tiga dimensi tempat seluruh umat manusia hidup. Inilah inti dari dugaan Poincaré. Yakni, Alam Semesta mempunyai sifat-sifat berikut: tiga dimensi, tak terbatas, sekadar keterhubungan, kekompakan. Konsep "homeomorfi" dalam hipotesis berarti tingkat kesamaan tertinggi, kesamaan, dalam kasus Alam Semesta - tidak dapat dibedakan.

Siapa Poincare?

Jules Henri Poincaré- ahli matematika terhebat yang lahir pada tahun 1854 di Perancis. Minatnya tidak terbatas pada ilmu matematika saja, ia mempelajari fisika, mekanika, astronomi, dan filsafat. Dia adalah anggota lebih dari 30 akademi ilmiah di seluruh dunia, termasuk Akademi Ilmu Pengetahuan St. Sejarawan sepanjang masa dan masyarakat menempatkan David Hilbert dan Henri Poincaré di antara ahli matematika terhebat di dunia. Pada tahun 1904, ilmuwan tersebut menerbitkan sebuah makalah terkenal yang berisi asumsi yang sekarang dikenal sebagai “dugaan Poincaré”. Itu adalah ruang tiga dimensi yang ternyata sangat sulit dipelajari oleh para ahli matematika; menemukan bukti untuk kasus lain tidaklah sulit. Selama sekitar satu abad, kebenaran teorema ini terbukti.

Pada awal abad ke-21, hadiah sebesar satu juta dolar AS diberikan di Cambridge untuk memecahkan masalah ilmiah ini, yang termasuk dalam daftar masalah milenium. Hanya ahli matematika Rusia dari St. Petersburg, Grigory Perelman, yang mampu melakukan ini untuk bola tiga dimensi. Pada tahun 2006, dia dianugerahi Fields Medal atas pencapaian ini, namun dia menolak menerimanya.

Sehubungan dengan manfaat kegiatan ilmiah Poincaré Prestasi berikut dapat dikaitkan:

landasan topologi (pengembangan landasan teori berbagai fenomena dan proses);
penciptaan teori kualitatif persamaan diferensial;
perkembangan teori fungsi amorf yang menjadi dasar teori relativitas khusus;
mengedepankan teorema pengembalian;
pengembangan metode mekanika angkasa yang terkini dan paling efektif.

Bukti hipotesis

Ruang tiga dimensi yang terhubung secara sederhana diberi sifat geometris dan dibagi menjadi elemen-elemen metrik yang memiliki jarak di antara mereka untuk membentuk sudut. Untuk menyederhanakannya, kita mengambil sampel manifold satu dimensi, di mana pada bidang Euclidean, vektor singgung sama dengan 1 digambar di setiap titik ke kurva tertutup mulus.Saat melintasi kurva, vektor tersebut berputar dengan kecepatan sudut tertentu sama dengan kelengkungan. Semakin banyak garis yang dibengkokkan, semakin besar kelengkungannya. Kelengkungan mempunyai kemiringan positif jika vektor kecepatan diputar ke arah dalam bidang yang dibagi garis, dan mempunyai kemiringan negatif jika diputar ke arah luar. Di tempat belok, kelengkungan sama dengan 0. Sekarang, setiap titik pada kurva diberi vektor yang tegak lurus terhadap vektor kecepatan sudut, dan dengan panjang yang sama dengan nilai kelengkungan. Ia diputar ke dalam jika kelengkungannya positif, dan ke luar jika kelengkungannya negatif. Vektor yang bersesuaian menentukan arah dan kecepatan pergerakan setiap titik pada bidang. Jika Anda menggambar kurva tertutup di suatu tempat, maka dengan evolusi seperti itu kurva tersebut akan berubah menjadi lingkaran. Hal ini berlaku untuk ruang tiga dimensi, dan hal ini perlu dibuktikan.

Contoh: Jika dideformasi tanpa pecah, balon dapat dibuat menjadi berbagai bentuk. Tapi Anda tidak bisa membuat bagel, untuk membuatnya Anda hanya perlu memotongnya. Dan sebaliknya, dengan bagel, Anda tidak bisa membuat bola padat. Meskipun dari permukaan lain tanpa diskontinuitas selama deformasi, bola dapat diperoleh. Hal ini menunjukkan bahwa permukaan ini bersifat homeomorfik terhadap sebuah bola. Bola apa pun dapat diikat dengan benang dengan satu simpul, tetapi hal ini tidak mungkin dilakukan dengan donat.

Bola adalah bidang tiga dimensi paling sederhana yang dapat diubah bentuknya dan dilipat menjadi suatu titik dan sebaliknya.

Penting! Dugaan Poincaré menyatakan bahwa manifold berdimensi n tertutup setara dengan bola berdimensi n jika bersifat homeomorfik. Hal tersebut menjadi titik tolak berkembangnya teori bidang multidimensi.