ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು

ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅವರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಮಾದರಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಯ್ಯೋ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವು ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಗಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನೂ ಸಹ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. γ (ಗಾಮಾ) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಸೂಚಕವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ θ (ಥೀಟಾ).

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇವು ಅಂತಹ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) T 1 (X)ಮತ್ತು T 2 (X), ಏನು T 1< T 2 , ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ γ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಇದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ γ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಜವಾದ ಸೂಚಕವು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ T 1 (X)ಮತ್ತು T 2 (X), ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಳ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಗಡಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಕುಚಿತತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು. ಬಯಕೆ ತುಂಬಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ... ಸಂಶೋಧಕರು ಬಯಸಿದ ನಿಯತಾಂಕದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ವಿತರಣೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಸ್ವತಃ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರಬೇಕು.

ಅಂದರೆ, ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ನಿಜವಾದ ಸೂಚಕ) ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಬಿಟ್ಟರು.

ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ವಿಶಾಲವಾದ ಮಧ್ಯಂತರ - ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಚಯವಾಗಿತ್ತು. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ

ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ನಿಯಮದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕೆ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ), ಆದರೆ ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಐರ್ಲೆಂಡ್‌ನ ನಾಗರಿಕ ವಿಲಿಯಂ ಗೊಸೆಟ್ ಅವರು ಜಾಣತನದಿಂದ ಗಮನಿಸಿದರು, ಬಯೋಮೆಟ್ರಿಕಾ ಜರ್ನಲ್‌ನ ಮಾರ್ಚ್ 1908 ರ ಸಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಗೌಪ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಗೊಸೆಟ್ ಸ್ವತಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಎಂದು ಸಹಿ ಹಾಕಿದರು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ವಿತರಣೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದು ಹೀಗೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೋಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆ. ಗೌಸ್ ಬಳಸುವ ಡೇಟಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಖಗೋಳ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು, ಐಹಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಅಪರೂಪ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಷ್ಟ (ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಸುಮಾರು 2 ಸಾವಿರ ಅವಲೋಕನಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿತರಣೆಯು ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ ಏನು ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣೆ? ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ(CPT). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ (ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೀರ್ಘ ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಕುದಿಯುತ್ತವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು .

ಬುದ್ಧಿವಂತ ಜನರು CLT ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು Excel ನಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. 50 ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸೋಣ (ಎಕ್ಸೆಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ RANDBETWEEN ಬಳಸಿ). ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಹ 1000 ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸರಾಸರಿಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಹೋಲಿಕೆಯು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು CLT ಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಕಣ್ಣುಗಳಿಂದ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ನಿಜವಾದ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು, ನೀವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ನಂಬಬೇಡಿ! ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯು ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತಕ್ಷಣವೇ ಹಾಕುವುದು ಉತ್ತಮ ಕನಿಷ್ಠ ಬಾರ್ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. 30 ಅವಲೋಕನಗಳು ಸಾಕು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. 50 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ - ನೀವು ತಪ್ಪಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಟಿ 1.2- ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು

- ಮಾದರಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ

ರು 0- ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ)

ಎನ್ - ಮಾದರಿ ಅಳತೆ

γ - ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 0.9, 0.95 ಅಥವಾ 0.99 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)- ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟ(ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು 1.64, 1.96 ಮತ್ತು 2.58 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ).

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ( γ ಜೊತೆಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ( s 0 /√n) ಎಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಸಾಮೂಹಿಕ ಬಳಕೆಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪಿಸಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಅವುಗಳನ್ನು ಇಂದಿಗೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ರೆಡಿಮೇಡ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ( , ಮತ್ತು ) ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಆದರೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವಿದೆ - TRUST.NORM. ಇದರ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ.

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;size)

ಆಲ್ಫಾ- ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟ, ಮೇಲೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದು 1- γ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಭವನೀಯತೆನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.95, ಆಲ್ಫಾ 0.05, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ_ಆಫ್- ಮಾದರಿ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ವತಃ n ನ ಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಾತ್ರ- ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ (n).

ಕಾನ್ಫಿಡೆನ್ಸ್ ನಾರ್ಮ್ ಕಾರ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಎರಡನೇ ಪದವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂತೆಯೇ, ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಾಸರಿ ± ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಗೆ ಬೆಲೆ ಅದರ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸ್ವಭಾವವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯತೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳುಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು

(ಮಾಡ್ಯೂಲ್ 111)

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಈ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಸರಾಸರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋದರೆ, ಅಂತಹ ಸರಾಸರಿಯ ನೋಟವು ತುಂಬಾ ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮುಂದಿಟ್ಟಿರುವ ಊಹೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಮೀರದಿದ್ದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಟ್ಟ, ನಂತರ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಆದರೆ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ!).

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು 100 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 90 ಎಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿ ಕೇಳಿದರೆ, ಅದು ಈ ರೀತಿ ತೋರುತ್ತದೆ: ಅದು ನಿಜದೊಂದಿಗೆ ಇರಬಹುದೇ? ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು 90 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಗಮನಿಸಿದ ಸರಾಸರಿಯು 100 ಆಗಿದೆ?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಚದರ ವಿಚಲನಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 30 ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 64 (ಮೂಲವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲು) ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು 30/8 ಅಥವಾ 3.75 ಆಗಿದೆ. 95% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸರಾಸರಿಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಗೆ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, 1.96). ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸರಿಸುಮಾರು 100± 7.5 ಅಥವಾ 92.5 ರಿಂದ 107.5 ವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತಷ್ಟು ತರ್ಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಿಸಲ್ಪಡುವ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದರೆ, ಅದು ಊಹೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏರಿಳಿತಗಳ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ (95% ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ). ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಊಹೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಡೇಟಾಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಕುರಿತಾದ ಊಹೆಯು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗಿದೆ (90 ರ ಪರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ 100± 7.5 ರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾ, ಇದನ್ನು ಹೇಳಬೇಕು: ಇಲ್ಲ, ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವರು ಊಹೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ (p-ಲೆವೆಲ್), ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸರಾಸರಿ (ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಾರವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಷಯಗಳು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 95% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸರಾಸರಿ ಎರಡೂ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈಗ ಅಷ್ಟೆ. ಒಳ್ಳೆಯದಾಗಲಿ!

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು) ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು D = 2 (> 0) ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ), ಗಾತ್ರ n ನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ x 1 , x 2 ,..., x n ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ n ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನ).

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ) ಸಾಕು ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣ M ಅನ್ನು a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆ d > 0 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಇದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪಿ(- ಎ< d) = (1)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ M = M = a ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ D = D /n = 2 /n, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಿ(- ಎ< d) =P(a - d < < a + d) =

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಡಿ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ

ಯಾವುದೇ ಒಂದು, ನೀವು (t)= / 2 t ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ t ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ.

ಈಗ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ

d ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ a = M ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನೀವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು: ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುನಿಖರತೆ d= t / ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ M ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. 6.25 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ. n = 27 ರ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ = 12. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ = 0.99 ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಬಲ್ ಬಳಸಿ, ಸಮಾನತೆ (t) = / 2 = 0.495 ನಿಂದ ನಾವು t ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ t = 2.58, ನಾವು ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದ) d: d = 2.52.58 / 1.24. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಬಯಸಿದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (10.76; 13.24).

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕಲ್ಪನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ

ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದನ್ನು ನಾವು a ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಮಾಣ n ನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸಿದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ s 2 ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ n - 1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಾಗಿ t ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n - 1 ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ

ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಮಾನತೆ

ಇಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮಿತಿಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

t ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (2) ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ t, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 - ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n - 1, ನಾವು t ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಫಾರ್ಮುಲಾ (3) ಒಡ್ಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. 20 ವಿದ್ಯುತ್ ದೀಪಗಳ ನಿಯಂತ್ರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಅವಧಿಅವರ ಕೆಲಸವು 2000 ಗಂಟೆಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ (ಸರಿಪಡಿಸಿದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ) 11 ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೀಪದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ 0.95 ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯ 1 - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0.05 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಕಾರ, 19 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: t = 2.093. ನಾವು ಈಗ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: 2.093121/ = 56.6. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (1943.4; 2056.6).

ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಿತರಣೆ XN( ಮೀ;  ) ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಈ ಮೂಲಭೂತ ಊಹೆಯು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡದ ವಿಚಲನವನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ  , ಆದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮೀ(ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ , ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ (ವಿಭಾಗ 3.4.2), ಸಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮೀ;
) ನಂತರ "ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ" ವಿಚಲನ
N(0;1) - ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮೀ. ಎರಡು ಬದಿಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮೀ ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವನಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ) ಸೇರಿದೆ  .

ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ
- ಇದರರ್ಥ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ
, ಇವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ:
.

ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
, ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಕೋಷ್ಟಕ 3, ಅನುಬಂಧ 1).

ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ  ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು
, ಅಂದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ
. (3.13)

ಗಾತ್ರ
(3.14)

ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಖರತೆಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು.

ಸಂಖ್ಯೆ
– ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ - ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಕೋಷ್ಟಕ 3, ಅನುಬಂಧ 1), ಸಂಬಂಧ 2Ф( ಯು)=, ಅಂದರೆ F( ಯು)=
.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಿಚಲನ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ಹಿಮ್ಮುಖ  ಅಜ್ಞಾತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು

. (3.15)

ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ. Eq ನಿಂದ.
ಕಾಣಬಹುದು ಕನಿಷ್ಠಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎನ್, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅವಶ್ಯಕ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಲಿಲ್ಲ  . ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ:

. (3.16)

ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ
:

1) ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಎನ್ಪರಿಮಾಣ  ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಸಿ ಹೆಚ್ಚಳಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಯು(ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್(ಯು) ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ  . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಅದರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ನಿಖರತೆ  .

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ
(3.17)

ಎಂದು ಕರೆದರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ(ಎಲ್ಲಿ ಟಿ- ಅವಲಂಬಿಸಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಎನ್), ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

3.5.3 ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು 

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ XN( ಮೀ; ), ಅಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ ಮೂಲ ಎಂದರೆ ಚೌಕವಿಚಲನಗಳು ಅಜ್ಞಾತ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಜೊತೆಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ= ಎನ್-1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ N(0;1) (ವಿಭಾಗ 3.5.2 ನೋಡಿ), ಮತ್ತು
(ವಿಭಾಗ 3.5.3 ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ (ಭಾಗ 1.ವಿಭಾಗ 2.11.2).

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಅಂದರೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಟಿಸೂತ್ರದಿಂದ (3.17). ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರಲಿ
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ  :

. (3.18)

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಟಿಸ್ಟ ( ಎನ್-1), ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಟಿಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ  ಮತ್ತು ಎನ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ
.

(3.19)

ಎಲ್ಲಿ
- ಇದರೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎನ್-1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೀ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ  ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮೀ.

ಪರಿಮಾಣ ಟಿ  , ಎನ್-1, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ(ಎನ್-1), ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎನ್-1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗುಣಾಂಕ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎನ್ಮತ್ತು  "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು" ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ. (ಕೋಷ್ಟಕ 6, ಅನುಬಂಧ 1), ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (3.19).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ನಿಖರತೆವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಾಸರಿ) ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ:

(3.20)

ಹೀಗಾಗಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವಿದೆ:

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ನಿಖರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ  ತಿಳಿದಿರುವ ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಮವಾಗಿ 3.16. ಮತ್ತು 3.20.

ಸಮಸ್ಯೆ 10.ಕೆಲವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

X i

ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ
. ರೇಟಿಂಗ್ ಹುಡುಕಿ ಮೀ* ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಮೀ, ಅದಕ್ಕಾಗಿ 90% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೀ(2.53;5.47).

ಸಮಸ್ಯೆ 11.ಸಮುದ್ರದ ಆಳವನ್ನು ಒಂದು ಸಾಧನದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.  =15ಮೀ. 90% ರಷ್ಟು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 5 ಮೀ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ XN( ಮೀ;  ), ಎಲ್ಲಿ  =15ಮೀ,  =5ಮೀ,  =0.9. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎನ್.

1) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ = 0.9, ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು 3 (ಅನುಬಂಧ 1) ನಿಂದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯದ ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಯು  = 1.65.

2) ನಿಗದಿತ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು  =ಯು  =5, ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್25.

ಸಮಸ್ಯೆ 12.ತಾಪಮಾನ ಮಾದರಿ ಟಿಜನವರಿಯ ಮೊದಲ 6 ದಿನಗಳವರೆಗೆ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮೀವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆ
ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ರು.

ಪರಿಹಾರ:

ಮತ್ತು
.

2) ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಅಂದಾಜು ತಿಳಿದಿದೆ, ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮೀನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 6, ಅನುಬಂಧ 1) ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3.20) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಎನ್ 1 =ಎನ್ 2 =6, ನಂತರ,
, ರು 1 =6.85 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
, ಆದ್ದರಿಂದ -29.2-4.1<ಮೀ 1 < -29.2+4.1.

ಆದ್ದರಿಂದ -33.3<ಮೀ 1 <-25.1.

ಹಾಗೆಯೇ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ,
, ರು 2 = 4.8, ಆದ್ದರಿಂದ

–34.9< ಮೀ 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: ಮೀ 1 (-33.3;-25.1) ಮತ್ತು ಮೀ 2 (-34.9;-29.1).

ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

CB X ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಿ ಮತ್ತು β ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ CB X ಆಗಿರಲಿ. * ನಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾವು β ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

c ಗೆ b* ಒಂದು ಅಂಕಿಅಂಶದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರಲಿ. ಮೌಲ್ಯ |ಇನ್* - ಇನ್| ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. β* ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿಖರತೆಯು CB ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆ |в* - в| 8ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿತ್ತು, ಅಂದರೆ | in* - in |< 8.

* ರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ g ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಸಮಾನತೆ | in * - in|< 8, т. е.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು g ಅನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು g ಅನ್ನು 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ |ಇನ್ * - ಇನ್|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (* - 8 ರಲ್ಲಿ, * + 5 ರಲ್ಲಿ) ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಿಂದ ಮಾದರಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರವು (* - 8 ರಲ್ಲಿ, * + 8 ರಲ್ಲಿ) ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ.

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ a ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತವೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ a = M (X). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ y ಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಮಾದರಿ ಅರ್ಥ

xr = a ಗೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ xB ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು X ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು M (XB) = a,

A (XB) = a, ಅಲ್ಲಿ a = y/B (X), a = M (X). l/i

a ಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಾವು 8 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಅಲ್ಲಿ Ф(r) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಪಿ ( | XB - a |<8} = 2Ф

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಟಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ

T, ನಾವು F(t) = g ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ g ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಮೂಲಕ

ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಅಂದಾಜು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇದರರ್ಥ a ಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

X ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ng	ಗೆ"	X2	Xm
ಎನ್.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, ನಂತರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.35. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ Xb = 10.43, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ n = 100 ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s = 5 ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ 0.95 ರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸೋಣ, ಈ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಬರುತ್ತದೆ. ನೀವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ (ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ) b, ನಂತರ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (6.9a) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಅಲ್ಲಿ Ф(t) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (5.17a).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ D = s 2 ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು:

1. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ - ಬಿ.
2. ಇಂದ (6.14) ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಸ್ Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ t ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ (ಅನುಬಂಧ 1 ನೋಡಿ).
3. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (6.10).
4. (6.12) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ b ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ b = 0.96 ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ a, ನೀಡಿದರೆ:

1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s = 5;

2) ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ;

3) ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ n = 49.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (6.15). ಎ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ b ಜೊತೆಗೆ t ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. t ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (6.14) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಬಂಧ 1 ರಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ Ф(t) = 0.48, ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ t = 2.06. ಆದ್ದರಿಂದ, . e ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (6.12) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: 30-1.47< a < 30+1,47.

ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ b = 0.96 ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 28.53< a < 31,47.