ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು

s x =(1.11)

ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಮಾದರಿ ಇರಲಿ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಸ್) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೀ xಮತ್ತು .

ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಮಹತ್ವದ ಸ್ಥಳ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ. ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ ಎಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ಎಸ್. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ a*ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ a*=a*(S)ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ. ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂದಾಜು ಸ್ವತಃ a*ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅನೇಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ವಿವಿಧ ಅಂದಾಜುಗಳು(ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳು) a*, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಒಳ್ಳೆಯದು" ಅಥವಾ "ಅತ್ಯುತ್ತಮ", ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1. ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸದ.ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ a*ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು: M = a. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ a*ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು.

2. ಸಂಪತ್ತು.ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಂದಾಜು a*ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅಂದಾಜು ದೋಷವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

3. ದಕ್ಷತೆ.ಗ್ರೇಡ್ a*ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ದೋಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜುಗಳ ಹರಡುವಿಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ a*ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿದೆ".

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಅಂದಾಜು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

= , (1.12)

ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ Xಸೀಮಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮೀ xಮತ್ತು s x, ನಂತರ ಅಂದಾಜು (1.12) ಪಕ್ಷಪಾತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಅಂದಾಜು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ Xಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1.4, ಅನುಬಂಧ 1). ಇತರ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 1.1, ಅನುಬಂಧ 1), ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜು

(1.13)

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಅಂದಾಜು (1.13) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಹದಗೆಡುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ವಿತರಣೆಗೆ Xಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಮ್ಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂದಾಜು (1.12) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆ.

ಗುಂಪಿನ ಮಾದರಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

= , (1.14)

ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು m iಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ iಪ್ರತಿನಿಧಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಧ್ಯಂತರ z iಈ ಮಧ್ಯಂತರ. ಈ ಅಂದಾಜು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಅಂದಾಜು:

= , (1.15)

ಈ ಅಂದಾಜು ಪಕ್ಷಪಾತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ ಸೇರಿದಂತೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಗುಂಪಿನ ಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

= (1.16)

ಅಂದಾಜುಗಳು (1.14) ಮತ್ತು (1.16), ನಿಯಮದಂತೆ, ಪಕ್ಷಪಾತ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥನೀಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಮಿತಿಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮೀ xಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿ ಕಾರಣ i-ನೇ ಮಧ್ಯಂತರ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರತಿನಿಧಿ z i.

ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ n,ಗುಣಾಂಕ n/(n - 1)ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ (1.15) ಮತ್ತು (1.16) ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗಳು.

ಅವಕಾಶ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಅದರ ಅಂದಾಜು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ a*(S)ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ಎಸ್. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ a*ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ (Fig. 1.5) ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಾಯಿಂಟ್. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ, ಅವಕಾಶದಿಂದಾಗಿ

a* ¹ a, ಮತ್ತು ನಾವು ಮಾತ್ರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ a*ಎಲ್ಲೋ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎ. ಆದರೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ? ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜು ಅದೇ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ - ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಅಳತೆಯ ಕೊರತೆ.

Fig.1.5. ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜು.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗಳು. ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಕೋರ್ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ I b = (a , b), ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ನೀಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಬಿ. ಮಧ್ಯಂತರ Ibಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಬಿಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಸ್, ಅದರ ಗಡಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ a(S)ಮತ್ತು ಬಿ(ಎಸ್), ನಾವು (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಮಾದರಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅದಕ್ಕೇ ಬಿಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ Ibಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 1.6. ಮಧ್ಯಂತರ Ibಬಿಂದುವನ್ನು ಆವರಿಸಿದೆ ಎ, ಎ Ib*- ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಾಗೆ ಹೇಳುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಲ್ಲ ಒಂದು "ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೇಳೆ ಬಿದೊಡ್ಡದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, b = 0.999), ನಂತರ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಎನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ.

ಚಿತ್ರ.1.6. ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳಿಗಾಗಿ.

ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ X,ಆಧರಿಸಿ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮೀ xಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಂತರ, ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ:

= , (1.17)

ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಎನ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಪ್ರಮಾಣಗಳು Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್, ಹತ್ತಿರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೀ xಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್

(1.18)

ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಜೆ(ಟಿ), ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರ 1.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಚಿತ್ರ 1.4, ಅನುಬಂಧ 1 ರಲ್ಲಿ).

Fig.1.7. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆ ಟಿ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ ಬಿಮತ್ತು ಟಿ ಬಿ -ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

ಎಲ್ಲಿ - ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ. ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (-ಟಿ ಬಿ, ಟಿ ಬಿ)ಚಿತ್ರ 1.7 ರಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶ, ಮತ್ತು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣದಿಂದ (1.19), ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿ. ಆದ್ದರಿಂದ

b = P(-t b< < t b) = P( - ಟಿ ಬಿ< m x < + t b) =

= ಪಿ( - ಟಿ ಬಿ< m x < + ಟಿ ಬಿ)(1.20)

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

I b = ( - ಟಿ ಬಿ; +tb ) , (1.21)

ಏಕೆಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (1.20) ಎಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮೀ xಒಳಗಿದೆ Ibನೀಡಿದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಿ. ನಿರ್ಮಿಸಲು Ibನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಂತೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಬಿಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಟಿ ಬಿಸಮೀಕರಣದಿಂದ (1.19). ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಟಿ ಬಿಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (1.21) ಅನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ s x. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವರ ಅಂದಾಜು (1.15) ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

I b = ( - ಟಿ ಬಿ; +ಟಿಬಿ). (1.22)

ಅಂತೆಯೇ, ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾದ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ:

I b = ( - ಟಿ ಬಿ; +ಟಿಬಿ). (1.23)

ಉಪನ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶ: ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿ; ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರ
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಅಥವಾ ಇತರ ಕ್ಷಣಗಳು) ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕ , ಇದು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ (ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಕು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ವಿಧಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
, ಎಲ್ಲಿ - ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕ. ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:
. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ , ಅಂದರೆ ವೀಕ್ಷಣಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ
, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯತಾಂಕ . ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ
ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ , - ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುನಿಯತಾಂಕ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಖರತೆಯು ಅಂದಾಜಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸ್ಕೋರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು - ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು ನೀಡಿದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ
ನಿಖರತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾದದ್ದು, ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು, ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರಬೇಕು.

ಶ್ರೀಮಂತಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ನಿಯತಾಂಕ , ಇದು ಅಂದಾಜು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ.

. (8.8)

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಸಂಬಂಧದ ನೆರವೇರಿಕೆ (8.8) ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ

.

ಸ್ಥಿರತೆಯು ಅಂದಾಜಿನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ
.

ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
(ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷವಿಲ್ಲದೆ ಅಂದಾಜು), ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

. (8.9)

ಸಮಾನತೆ (8.9) ತೃಪ್ತಿಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಕ್ಷಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಪಕ್ಷಪಾತ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆ (8.9) ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದ್ದರೆ
, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆ ಬಹುತೇಕ ಕಡ್ಡಾಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿ ಮಾತ್ರ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅನೇಕ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ , ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ
, ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ

,

ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು

,

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ,
- ವರ್ಗ ಅಂದಾಜು ಪಕ್ಷಪಾತ.

ಅಂದಾಜು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ

ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು . ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಈ ದೋಷವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂದಾಜು ದೋಷವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

. (8.10)

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ , ತೃಪ್ತಿಕರ ಸ್ಥಿತಿ (8.10), ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.

ಎಲ್ಲಿ - ಯಾವುದೇ ಇತರ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂದಾಜು .

ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಕ್ರೇಮರ್-ರಾವ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

,

ಎಲ್ಲಿ
- ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆ .

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಅಂದಾಜು
, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರೇಮರ್-ರಾವ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಅಂದಾಜು ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ
, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ , ನಂತರ ಈ ಎರಡೂ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ
ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು:
. ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು .

ಅಂದಾಜಿನಂತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಮಾದರಿ) ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಮಾದರಿ) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

; (8.11)

. (8.12)

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು (8.11) ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯ):

.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂದಾಜು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಸರಣ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂದಾಜು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯೂ ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

.

ಏಕೆಂದರೆ
, ಎ
, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (8.13)

ಹೀಗಾಗಿ,
- ಪಕ್ಷಪಾತದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದರೂ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ (8.13) ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (8.12) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕು:

ಇದು ಅಂದಾಜು (8.12) ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ "ಉತ್ತಮ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಈ ಅಂದಾಜುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬಹುತೇಕ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಭೌತಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ
, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನ.

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ. ಅದೇ ಕ್ರಮದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆರಂಭದ ಬಿಂದುಗಳು - ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು -ನೇ ಕ್ರಮ - ಸೂತ್ರಗಳು:

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ,

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ,

ಎಲ್ಲಿ - ಅಂದಾಜು ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕ.

ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು , ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು .

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
. ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ಷಣಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನ. ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜಿನ ಗರಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡವು
. ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ , ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ
ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ
, ಅದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಾರ್ಯಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ :

ನಿಯತಾಂಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜಿನ ಮೂಲಕ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

,

ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ
.

ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ
ಮತ್ತು
ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ
, ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಾರೆ

,

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ನೀವು ಹಲವಾರು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ
ವಿತರಣೆ
, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು
ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

.

ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ, ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳು

ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಿಖರತೆಯು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ, ಆದರೆ ಅದರ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು. ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ದೋಷಗಳು ಯಾವ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಅದರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಈ ದೋಷಗಳು ತಿಳಿದಿರುವ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಯಾವ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು.

ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. , ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಬದಲಿ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಾರ್ಗವಿತರಣೆಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಒಂದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಮಧ್ಯಂತರ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಬಿಡಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ
ನಿಯತಾಂಕ . ಸಂಭವನೀಯ ದೋಷವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೆಲವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ
(ಉದಾಹರಣೆಗೆ), ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ , ಇದಕ್ಕಾಗಿ

. (8.15)

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬದಲಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ದೋಷದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮೇಲೆ , ತಿನ್ನುವೆ
, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡವುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದೋಷಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (8.15) ಎಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ
ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ

. (8.16)

ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ , ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆವರಿಸುವುದು ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ . ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು (ಕವರ್‌ಗಳು) ಎಂದರೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಯಾವುದೇ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮಾದರಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು, ಪ್ರಸರಣ, ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ, ಸೂತ್ರಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ವಿಷಯವನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸಿ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಿದೆ ಪ್ರಮುಖಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ, ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ ಆಟಗಾರನು ಗಳಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವುಗಳ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಆಟಗಾರನ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು, ಇದು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಮಾರ್ಕ್ವಿಸ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1795) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು "ಗೆಲುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಹೈಜೆನ್ಸ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಪಾಫ್ನುಟಿ ಎಲ್ವೊವಿಚ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ (19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ) ನೀಡಿದರು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನಅವನಿಂದ) ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಥಿರ) ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ: ನೀವು ಯುನಿಟ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿ (ಫಾರ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆ), ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ "ಸ್ಮೀಯರಿಂಗ್" (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ), ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯ "ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ" ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ "ಪ್ರತಿನಿಧಿ" ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ: "ಸರಾಸರಿ ದೀಪದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ 100 ಗಂಟೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಗುರಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಭಾವದ ಸರಾಸರಿ ಬಿಂದುವನ್ನು 2 ಮೀ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಅದರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅಂದರೆ. "ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x1, x2, ..., xnಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., pn. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ "ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಹಜ xi, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ xi ಅನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ತೂಕ" ದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ X, ನಾವು ಸೂಚಿಸುವ M |X|:

ಈ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೌಲ್ಯ Xಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ x1ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮೀ1ಸಮಯ, ಮೌಲ್ಯ x2ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮೀ2ಬಾರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥ xi mi ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಾವು X ಮೌಲ್ಯದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ M|X|ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ M*|X|:

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಆವರ್ತನಗಳು ಪೈಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ M|X|ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಅದು ತನ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಒಂದು ರೂಪದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಇದು "ಬಹುತೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ" ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರೀಕರಿಸುವ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಖರವಾದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ತೂಕ ಮಾಡುವಾಗ, ತೂಕದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ವೀಕ್ಷಣಾ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾವು ದೇಹವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ತೂಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ತೂಕಗಳು) ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಈ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ "ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ಫಾರ್ ನಿರಂತರ ಮೌಲ್ಯಮೋಡ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಮೋಡಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು "ವಿರೋಧಿ ಮಾದರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಾಗಿರುವಾಗ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿರುವಾಗ, ಅದು ವಿತರಣೆಯ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಸಮ್ಮಿಟ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರವು ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ.

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಮೋಡ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X(w)ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Lebesgue ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್ಮೂಲ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿಯೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಕ pxಪ್ರಮಾಣಗಳು X:

ಅನಂತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಸಮಯಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುವಿತರಣೆಗಳು (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸರಣ, ಸಹವರ್ತಿತ್ವ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ). ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕೆಲವು "ವಿಶಿಷ್ಟ" ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾತ್ರವು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ - ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ - ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ. ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಸ್ಥಳದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ - ಸರಾಸರಿಗಳು, ವಿಧಾನಗಳು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಪ್ರಸರಣ - ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅರ್ಥವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು (ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ) ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲವರ್ಧಿತ ನಿಯಮದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2, 3, 4, 5 ಅಥವಾ 6 ಆಗಿರಬಹುದು). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಸರಾಸರಿ" ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪಾಯಕಾರಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಎಷ್ಟು?

ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಲಾಟರಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಭಾಗವಹಿಸಲು ಸಹ). ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಟಿಕೆಟ್ ವಿಜೇತ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಬಹುಮಾನವು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟಿಕೆಟ್ನ ಬೆಲೆ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪರಿಮಿತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ನಷ್ಟಗಳು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು 200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೇವೆ. (ಬಹುಮಾನದ ಮೈನಸ್ ವೆಚ್ಚ), ಅಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸರಾಸರಿ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ - ಸರಾಸರಿ 25 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವಿನಾಶದ ಸರಾಸರಿ ದರವು ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ 25 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ ದಾಳ. ಅದು ಮೋಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ), ಆಗ ನಾವು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 3.5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೋಲ್ 3.5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೋಪಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಘನವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ!

ಈಗ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ:

ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವಿದೆ. X ಮೌಲ್ಯವು n ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ M(X) ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ), ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಇದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಪ್ಲೇಯಿಂಗ್ ಕ್ಯೂಬ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಎಸೆಯುವಾಗ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು 3.5 ಆಗಿದೆ (ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ). ನೀವು ಅದನ್ನು ಒಂದೆರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 4 ಮತ್ತು 6. ಸರಾಸರಿ 5 ಆಗಿತ್ತು, ಇದು 3.5 ರಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಸೆದರು, ಅವರು 3 ಪಡೆದರು, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿ (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಹೇಗಾದರೂ ದೂರ. ಈಗ ಒಂದು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡಿ - ಘನವನ್ನು 1000 ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ! ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾಗಿ 3.5 ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲಾಟರಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಪ್ಲೇಟ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಯ್ಕೆಗಳಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದೆ "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿ, 75% ನಷ್ಟು ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು, 20% ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 5% ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ಈಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ:

ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮ:

ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ:

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಹ ಸುಲಭ) ಕೆಲಸ XYಸ್ವತಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎನ್ಮತ್ತು ಮೀಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಂತರ XY nm ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ನಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ X- ನಿಜವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, f(x)- ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ Xಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ 3 ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ -3 ಬದಲಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಇರಲಿ:

ಇದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಸಿಕ್ಕರೆ ಹೇಳೋಣ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಾಗದಿಂದ |0; 1| , ನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸುಮಾರು 0.5 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು - ರೇಖಾತ್ಮಕತೆ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಸೂಚಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂಚಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೇಟಾದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚಿನವು ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚಕ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು, ಆಗಿದೆ ಪ್ರಸರಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಕಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಲ್ಪನೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಡೇಟಾ ಹರಡುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪದಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣವು ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಚಲನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ನಾಶವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಾಸರಿ - ಚದರ - ವಿಚಲನಗಳು. ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂಬ ಮಾಯಾ ಪದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವು ಕೇವಲ ಮೂರು ಪದಗಳಲ್ಲಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ರೂಪ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕದಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಹಾಯಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾಪನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯೋಣ ಎನ್ಬಾರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಗಾಳಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಹತ್ತು ಬಾರಿ ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

ಅಥವಾ ನಾವು ದಾಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಡೈಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಡೈಸ್ ಥ್ರೋಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಡ್ರಾಪ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡದು ಎನ್ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx. IN ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Mx = 3.5.

ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? ಒಳಗೆ ಬಿಡಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು n1ಒಮ್ಮೆ ನೀವು 1 ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಡೆದರೆ, n2ಒಮ್ಮೆ - 2 ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿದ್ದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:

ಅದೇ ರೀತಿ 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x x1, x2, ..., xk ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. pk

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವೇತನಮಧ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಳ ಪಡೆಯುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p1 ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p2 ಒಂದೇ ಮತ್ತು 1/2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವಿಚಲನದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. s ಅಥವಾ s ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಡೇಟಾ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗಳು ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತಲೂ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ವರ್ಗಮೂಲಪ್ರಸರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮಾಣ. ಇದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:

ಬದಲಾವಣೆ- ಏರಿಳಿತ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳುಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟಿಲ್ಲದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರೈಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (ವ್ಯತ್ಯಯ) ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸರಾಸರಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ(R) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂಚಕವು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಜೂಜುಕೋರ ಗೆಲ್ಲುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಹಣ. ಇದು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಕಾರ್ಡ್ ಲೇಔಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಸ್ನೇಹಿತನೊಂದಿಗೆ ಕಾಯಿನ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ $1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಏನೇ ಬಂದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಾಲ ಎಂದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, ತಲೆ ಎಂದರೆ ನೀವು ಸೋಲುತ್ತೀರಿ. ಆಡ್ಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಅದು ತಲೆ ಎತ್ತುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು $1 ರಿಂದ $1 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನೀವು ಎರಡು ಎಸೆತಗಳ ನಂತರ ಅಥವಾ 200 ರ ನಂತರ ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತೀರಾ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಲಾಭವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಹಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ... ನಿಮ್ಮ ಅವಕಾಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆ ನೋಡಿದರೆ ಗಂಭೀರ ಆಟಗಾರರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ತಪ್ಪಿದ್ದಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಸಮಯ ವ್ಯರ್ಥ.

ಆದರೆ ಅದೇ ಆಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ $1 ವಿರುದ್ಧ ಯಾರಾದರೂ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರತಿ ಪಂತದಿಂದ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. 50 ಸೆಂಟ್ಸ್ ಏಕೆ? ಸರಾಸರಿ, ನೀವು ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಮೊದಲ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 1 ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 2 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ನೀವು $1 ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $1 ಗಿಂತ ಮುಂದಿರುವಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಪಂತವು ನಿಮಗೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದೆ.

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ $250 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ... ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ. $500 ಮೈನಸ್ $250 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ $250, ಇದು ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು. ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ಗೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತವಾದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 500 ಬಾರಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ $250 ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೂ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು, ಸತತವಾಗಿ ಮೊದಲ ಹತ್ತು ರೋಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸೋಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿ $1 ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುವಿರಿ ಸಂದರ್ಭಗಳು. ನೀವು ಒಂದು ಬೆಟ್ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಪಂತಗಳನ್ನು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೀವು ಆರಾಮವಾಗಿ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ನೀವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ದೀರ್ಘ ಅವಧಿಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ರೋಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಪಂತ), ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಗೆಲ್ಲಲು ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ ಕೈ ಕೊಟ್ಟರು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ನೀವು ಅಂಡರ್‌ಡಾಗ್ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ಪಂತ) ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕೈ ಕಳೆದುಕೊಂಡರೂ ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಕಡೆ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕೆಟ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗಂಭೀರವಾದ ಆಟಗಾರರು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ. ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಏನು? ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ ತರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಲ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಹೆಡ್‌ಗಳ ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ 1 ರಿಂದ 1, ಆದರೆ ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತದಿಂದಾಗಿ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ನೇಹಿತನು ಒಂದರಿಂದ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮ್ಮ $1 ಗೆ $5 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ಅಂತಹ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೇ? ಇಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಏನು?

ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧದ ಆಡ್ಸ್ 4 ರಿಂದ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು 5 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, 4 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಸೋಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಈ ಪಂತವನ್ನು ಐದು ಬಾರಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ನೀವು $1 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $5 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಗೆ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 20 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ $1 ಗಳಿಸುವಿರಿ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಆಟಗಾರನು ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಅವನು ತನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಬಾಜಿಗಾರನು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಅದು ಅವನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶದೊಂದಿಗೆ $10 ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು $50 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, ನೀವು $2 ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಏಕೆಂದರೆ... ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $50 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ $10 ನಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು $10 ಗೆಲ್ಲಲು $30 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, 4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅದೇ ಆಡ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು $2 ನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಮತ್ತೆ $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $10 ಲಾಭಕ್ಕಾಗಿ $30 ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಪಂತವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಬುಕ್‌ಮೇಕರ್ ಫುಟ್‌ಬಾಲ್ ಅಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು $10 ಗೆಲ್ಲಲು $11 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ಪ್ರತಿ $10 ಮೇಲೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪಾಸ್ ಲೈನ್‌ನಿಂದ ಹಣವನ್ನು ಸಹ ಕ್ರ್ಯಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕ್ಯಾಸಿನೊದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ $100 ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು $1.40 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಟವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವ ಯಾರಾದರೂ ಸರಾಸರಿ 50.7% ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಮಯದ 49.3% ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ. ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕರಿಗೆ ಅಗಾಧವಾದ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ವೇಗಾಸ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕ ಬಾಬ್ ಸ್ಟುಪಕ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾವಿರದ ಒಂದು ಶೇಕಡಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ ಅತ್ಯಂತ ಶ್ರೀಮಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ."

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಅತ್ಯಂತ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಶಸ್ವಿ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು.

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಎದುರಾಳಿಯು ಅವನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ನಂತರದ ಸುತ್ತಿನ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಬರುತ್ತವೆ). ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ:

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕರೆಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟು ಇಕ್ವಿಟಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಸ್ವಂತ ಆಡ್ಸ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ನಿರ್ಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅಪಾಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತಿ ಡಾಲರ್‌ಗೆ ನೀವು ಏನನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು (ಲಾಭ ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಟಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾದ ಆಟಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ, ಕ್ಲೈಂಟ್ ತನ್ನ ಹಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ "ಆಡ್ಸ್" ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೃತ್ತಿಪರ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಆಟಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಹೂಡಿಕೆಗೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಬಹುದು. ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಲಾಭವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮವು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಐದು-ಕಾರ್ಡ್ ಡ್ರಾ ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಮನೆಯನ್ನು ಹೊಡೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಬೆಟ್ ಎತ್ತಿದರೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೆಳೆಸುವುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಕರೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದೆ ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ವಾಸವಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಎತ್ತಿದಾಗ ನೀವು ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಕರೆ ಮಾಡಿದಾಗ ನೀವು ಎರಡು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕರೆ ಮಾಡುವುದು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವ ಪೋಕರ್ ತಂತ್ರಗಳು ಕಡಿಮೆ ಲಾಭದಾಯಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವು ಆಂಟೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ 75 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಆ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಬೇಕು ಏಕೆಂದರೆ ಪೂರ್ವ $1 ಆಗಿರುವಾಗ ಮಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಗೆಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅದು ನಿಮಗೆ ಶಾಂತಿಯ ಭಾವವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಡಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದೀರಿ ಅಥವಾ ಉಳಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಆಟಗಾರನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಹಣವನ್ನು. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಲವಾದ ಕೈಯನ್ನು ಎಳೆದ ಕಾರಣ ನೀವು ಅಸಮಾಧಾನಗೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಮಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಎಲ್ಲದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಆಡದೆ ನೀವು ಉಳಿಸುವ ಹಣವನ್ನು ರಾತ್ರಿ ಅಥವಾ ತಿಂಗಳ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಪೋಕರ್ ಲೇಖನದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಆಟಗಾರರು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ ನೀವು ಕೈಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಸಹ ಕಲಿಯಬಹುದು.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯ ಆಟದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಗಂಟೆಯ ಲಾಭದ ಅನುಪಾತವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆವೃತ್ತಿಪರ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪೋಕರ್ ಆಡಲು ಹೋದಾಗ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ಅನುಭವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಕೆಲವು ಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಡ್ರಾ ಲೋಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಆಡುತ್ತಿರುವಿರಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಟಗಾರರು $ 10 ಬಾಜಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಕೆಟ್ಟ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ $10 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದಾಗ ಅವರು ಸುಮಾರು $2 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಇದನ್ನು ಗಂಟೆಗೆ ಎಂಟು ಬಾರಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಮೂವರೂ ಗಂಟೆಗೆ ಸುಮಾರು $48 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಬ್ಬರಾಗಿರುವಿರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರು (ಮತ್ತು ಅವರಲ್ಲಿ ನೀವು) $48 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗಂಟೆಗೆ $12 ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಆಡ್ಸ್ ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕೆಟ್ಟ ಆಟಗಾರರು ಕಳೆದುಹೋದ ಹಣದ ನಿಮ್ಮ ಪಾಲಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಆಟಗಾರನ ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ಹೆಚ್ಚು ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಆಟವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಇದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವನ್ನು ನೀವು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಗಮನಿಸದೆ ಮತ್ತು ಹೊರಹಾಕದಿದ್ದರೆ ಕ್ಯಾಸಿನೊದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಕುಡಿದ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡ್ ಎಣಿಸುವ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಸಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಯೋಜನವು ನಿಮಗೆ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಬಾರಿ. ಉತ್ತಮ ನಿರ್ವಹಣೆನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಬಂಡವಾಳವು ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಹಣವನ್ನು ದಾನಕ್ಕೆ ನೀಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ನಲ್ಲಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಷ್ಟಗಳು, ಬೆಲೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಆಯೋಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೆಟ್ಟ ಗೇಮಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾಯುವಿಕೆ ಬ್ರೇಕ್-ಈವ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಿಂದ ಆಡುವುದು ಅನಾಹುತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಷೇರು ವ್ಯಾಪಾರ

ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವ್ಯಾಪಾರದ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಿನದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರಣಗಳು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ, ಕೆಲಸದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ಟ್ರೇಡಿಂಗ್ ಖಾತೆಯ ಮಾನಿಟರಿಂಗ್ ಸೇವೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಠೇವಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು "ಸಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಔಟ್" ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಾಪಾರಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರದ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಅವನ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಪಾರದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಆದಾಯವನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟು ಮಾಡುವಾಗ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ಟಾಕ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಆಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಣವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಖಾತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಈ ಮೂಲತತ್ವವು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟಗಳು ಅಥವಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮಾನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎಷ್ಟು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ; ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವೋ ಋಣಾತ್ಮಕವೋ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನೀವು ಆ ಆಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲಾ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೀವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ! ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದೇ ಒಪ್ಪಂದದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ $10 ಗೆಲ್ಲುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಯ ನಂತರ), ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ $1,000 (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಗಳ ಕಡಿತದ ನಂತರ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿಸಲು ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ವ್ಯಾಪಾರಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ.

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಿಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ನೀವು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳು, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಲಾಭವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಅದು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ವ್ಯಾಪಾರದಿಂದ ಗಳಿಸುವ ಹಣವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ಗಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಿರ್ವಹಣೆಹಣ.

ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿಮಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ (ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುವ) ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅವರು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಯಿಸುತ್ತಾರೆ ವಿವಿಧ ನಿಯಮಗಳುಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ನಿಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿ.

ಹಣದ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ಸ್ಟಾಕ್ ಟ್ರೇಡಿಂಗ್‌ನ "ಹೋಲಿ ಗ್ರೇಲ್" ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ಅವನು ತನ್ನ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಈ ವಿಧಾನವು ಎಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನಗಳುಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ, ಯಾವುದೇ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರಿ ತನ್ನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲು, ಅವನು ಮೂರು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳು: . ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಿವಾರ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು; ನಿಮ್ಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಇದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ; ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳಿಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಬಹುದು. ಈ ಪದವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ನೀಡಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ.

ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಲಾಭದ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಲಾಭ ಮತ್ತು ನಷ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಲ್ಲಿ 37% ಲಾಭವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗ - 63% - ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯವು $ 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವು $ 1.4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ $1,708 ಅನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದಕ್ಷತೆಯ ರೇಟಿಂಗ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೈಜ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಾರವು ನಾಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ವಹಿವಾಟಿನ ಲಾಭದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ % ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ಆದಾಯದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 5%;

- ಯಶಸ್ವಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 62%;

– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ನಷ್ಟದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 3%;

- ವಿಫಲ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 38%;

ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಾಪಾರವು 1.96% ತರುತ್ತದೆ.

ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವ್ಯಾಪಾರಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನೀಡುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶ, ಅದರ MO>0 ರಿಂದ.

ಆದರೆ, ಕಾಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೆಲವೇ ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಹಣ ಸಂಪಾದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯು ಬ್ಯಾಂಕ್ ಬಡ್ಡಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ $0.5 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಿ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವರ್ಷಕ್ಕೆ 1000 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏನು? ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅಲ್ಪಾವಧಿಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು

dic.academic.ru - ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆನ್ಲೈನ್ ​​ನಿಘಂಟು

mathematics.ru - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್

nsu.ru - ನೊವೊಸಿಬಿರ್ಸ್ಕ್‌ನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ರಾಜ್ಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ

webmath.ru - ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಅರ್ಜಿದಾರರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ.

exponenta.ru ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗಣಿತ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್

ru.tradimo.com - ಉಚಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್ ವ್ಯಾಪಾರ ಶಾಲೆ

crypto.hut2.ru - ಬಹುಶಿಸ್ತೀಯ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲ

poker-wiki.ru - ಪೋಕರ್ನ ಉಚಿತ ವಿಶ್ವಕೋಶ

sernam.ru - ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗ್ರಂಥಾಲಯಆಯ್ದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು

reshim.su - ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೋರ್ಸ್‌ವರ್ಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

unfx.ru - UNFX ನಲ್ಲಿ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ: ತರಬೇತಿ, ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳು, ಟ್ರಸ್ಟ್ ನಿರ್ವಹಣೆ

slovopedia.com - ದೊಡ್ಡದು ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟುಸ್ಲೋವೊಪೀಡಿಯಾ

pokermansion.3dn.ru - ಪೋಕರ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

statanaliz.info - ಮಾಹಿತಿ ಬ್ಲಾಗ್ "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ"

forex-trader.rf - ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ-ವ್ಯಾಪಾರಿ ಪೋರ್ಟಲ್

megafx.ru - ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

fx-by.com - ವ್ಯಾಪಾರಿಗಾಗಿ ಎಲ್ಲವೂ