ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು

ವ್ಯಾಯಾಮ.

1. ನೀಡಿರುವ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ. ನಿರ್ಮಿಸಿದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.
2. ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆರ್ಥಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿ.
3. ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಸರಕಿನ ಬೆಲೆಯು ಸರಕುಗಳ ಪೂರೈಕೆಯ ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ ಕೂಲಿನೌಕರರು?
4. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾದರಿಗಾಗಿ (ಇನ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪ) ಗೋಲ್ಡ್‌ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ತೃಪ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
5. ಡರ್ಬಿನ್-ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉಳಿಕೆಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.
6. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಏಕರೂಪತೆಯ ಊಹೆಯು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು (ಮೊದಲ 8 ಮತ್ತು ಉಳಿದ 8 ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ) ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿ Y ಯ ಒಂದು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

1. ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು. ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣ ಸೇವೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ರುಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: s = (X T X) -1 X T Y
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್

1	182.94	1018
1	193.45	920
1	160.09	686
1	157.99	405
1	123.83	683
1	152.02	530
1	130.53	525
1	137.38	418
1	137.58	425
1	118.78	161
1	142.9	242
1	99.49	226
1	116.17	162
1	185.66	70

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೈ

4.07
4
2.98
2.2
2.83
3
2.35
2.04
1.97
1.02
1.44
1.22
1.11
0.82

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಟಿ

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
182.94	193.45	160.09	157.99	123.83	152.02	130.53	137.38	137.58	118.78	142.9	99.49	116.17	185.66
1018	920	686	405	683	530	525	418	425	161	242	226	162	70

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಿಸಿ, (X T X)
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್(X T X) -1

2.25	-0.0161	0.00037
-0.0161	0.000132	-7.0E-6
0.00037	-7.0E-6	1.0E-6

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

Y(X) =

2,25 -0,0161 0,00037 -0,0161 0,000132 -7.0E-6 0,00037 -7.0E-6 1.0E-6

*

31,05 4737,044 18230,79

=

0,18 0,00297 0,00347

ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ (ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು)
Y = 0.18 + 0.00297X 1 + 0.00347X 2

2. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ R. ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n = 14. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2, ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. Y ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಯಾಮವು 4 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (14 x 4).
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೈ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ

1	4.07	182.94	1018
1	4	193.45	920
1	2.98	160.09	686
1	2.2	157.99	405
1	2.83	123.83	683
1	3	152.02	530
1	2.35	130.53	525
1	2.04	137.38	418
1	1.97	137.58	425
1	1.02	118.78	161
1	1.44	142.9	242
1	1.22	99.49	226
1	1.11	116.17	162
1	0.82	185.66	70

ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
4.07	4	2.98	2.2	2.83	3	2.35	2.04	1.97	1.02	1.44	1.22	1.11	0.82
182.94	193.45	160.09	157.99	123.83	152.02	130.53	137.38	137.58	118.78	142.9	99.49	116.17	185.66
1018	920	686	405	683	530	525	418	425	161	242	226	162	70

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಟಿ ಎ.

14	31.05	2038.81	6471
31.05	83.37	4737.04	18230.79
2038.81	4737.04	307155.61	995591.55
6471	18230.79	995591.55	4062413

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

∑n	∑y	∑x 1	∑x 2
∑y	∑y 2	∑x 1 ವರ್ಷ	∑x 2 ವರ್ಷ
∑x 1	∑yx 1	∑x 1 2	∑x 2 x 1
∑x 2	∑yx 2	∑x 1 x 2	∑x 2 2

ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು x ಮತ್ತು y	∑(xi)		∑(yi)		∑(x i y i)
y ಮತ್ತು x 1 ಗಾಗಿ	2038.81	145.629	31.05	2.218	4737.044	338.36
y ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ	6471	462.214	31.05	2.218	18230.79	1302.199
x 1 ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ	6471	462.214	2038.81	145.629	995591.55	71113.682

ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು x ಮತ್ತು y
y ಮತ್ತು x 1 ಗಾಗಿ	731.797	1.036	27.052	1.018
y ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ	76530.311	1.036	276.641	1.018
x 1 ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ	76530.311	731.797	276.641	27.052

ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ R:

-	ವೈ	x 1	x 2
ವೈ	1	0.558	0.984
x 1	0.558	1	0.508
x 2	0.984	0.508	1

ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು x i ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಇಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು;
- ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು 0.7 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇಂಟರ್‌ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಕೋರೆಲೇಶನ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ r xjxi > 0.7, ನಂತರ ಈ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನಿಯರಿಟಿ ಇರುತ್ತದೆ.;
- ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳು |r| ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸ್ಕೇಲ್‌ನಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾಡೆಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸ್ಕೇಲ್‌ನಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಿ (ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ x ji ಎಂಬುದು i-th ಅವಲೋಕನದಲ್ಲಿ x ji ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೂಲವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಯ ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಮತ್ತು ಮಾಪನದ ಘಟಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಹ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ:
t y = ∑β j t xj
β-ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ನಾವು OLS ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
ನಮ್ಮ ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ):
0.558 = β 1 + 0.508β 2
0.984 = 0.508β 1 + β 2
ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: β 1 = 0.0789; β 2 = 0.944;
ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ:
y 0 = 0.0789x 1 + 0.944x 2
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ β- ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು - β-ಗುಣಾಂಕಗಳು (β j) ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ S(y) ಯ ಯಾವ ಭಾಗದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವೈಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (S xj) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ x j ಇತರ ಅಂಶಗಳ ನಿರಂತರ ಪ್ರಭಾವದೊಂದಿಗೆ (ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ).
ಗರಿಷ್ಟ β j ಮೂಲಕ Y ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಯಾವ ಅಂಶವು ಬಲವಾದ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.
ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು β- ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣಗಳೆಂದರೆ: a) ಒಂದು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ; ಬಿ) ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅಂಶಗಳ ಬಹು ದಿಕ್ಕಿನ ಪ್ರಭಾವ.
ಗುಣಾಂಕ β j ಅನ್ನು ನೇರ (ತಕ್ಷಣದ) ಪ್ರಭಾವದ ಸೂಚಕವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಜಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ (y) ನೇ ಅಂಶ (x j) ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಜನೇ ಅಂಶವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾದ, ಆದರೆ ಪರೋಕ್ಷ (ಪರೋಕ್ಷ) ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರಭಾವ).
ಪರೋಕ್ಷ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ∑β i r xj,xi , ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪೂರ್ಣ ಪರಿಣಾಮ jthಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅಂಶ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆನೇರ ಮತ್ತು ಪರೋಕ್ಷ ಪ್ರಭಾವಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶದ ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶ - r xj,y.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ Y ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ x 1 ಅಂಶದ ನೇರ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು β j ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0.0789 ಆಗಿದೆ; ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಈ ಅಂಶದ ಪರೋಕ್ಷ (ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ) ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
r x1x2 β 2 = 0.508 * 0.944 = 0.4796

4.2 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ಮಾಣ

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದಾಗ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ rух1, rух2 ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು:

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಡತನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 1 ಸಿಗ್ಮಾ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಂತರ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆಯ ದರವು 0.075 ಸಿಗ್ಮಾದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದಲ್ಲಿ 1 ಸಿಗ್ಮಾ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಿರಂತರ ಬಡತನ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆ ದರವು 0.465 ಸಿಗ್ಮಾದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ಶುದ್ಧ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು βi ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

5. ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

5.1 ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ

ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ x ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಜೋಡಿ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅಂಶದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

5.2 ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಣಯ

ಭಾಗಶಃ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಕಲಿನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಮತ್ತು ಲೆನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಫಾರ್ ಕಲಿನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶ x1=11.4, x2=12.4, ನಂತರ:

ಫಾರ್ ಲೆನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶ x1 =10.6, x2=12.6:

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಲಿನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಬಡತನದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆ ದರವು 0.07% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆ ದರವು 0.148% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. . ಲೆನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಬಡತನದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆ ದರವು 0.065% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆ ದರವು 0.15% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

5.3 ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಣಯ

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಟ್ಟು ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅವರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಡತನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 1% ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆಯ ದರವು ಸ್ಥಿರ ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ 0.054% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದಲ್ಲಿ 1% ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಒಟ್ಟು ಫಲವತ್ತತೆಯ ದರವು ನಿರಂತರ ಬಡತನದ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ 0.209% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

6. ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ

6.1 ಗುಣಾಂಕ ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ

ಬಹು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಚೌಕ - ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕವು ಅಧ್ಯಯನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅಂಶಗಳ ಜಂಟಿ ಪ್ರಭಾವದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮೌಲ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಬಡತನ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಜನನ ಪ್ರಮಾಣ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು 0: ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್‌ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಕೋರಿಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು 0 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂಶಗಳ ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನಿಯರಿಟಿ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಮತ್ತು ತದ್ವಿರುದ್ದವಾಗಿ, ಇಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಕೋರಿಲೇಶನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂಶಗಳ ಕಡಿಮೆ ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನಿಯರಿಟಿ. ಅಂಶಗಳ ಬಹುಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಹೀಗಿರಬಹುದು...

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುವಿಧದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬಹು ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ) ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿ, ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮಾದರಿಗೆ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮಾಪನದ ಘಟಕವು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮೀಕರಣ:

ಅಲ್ಲಿ , ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು;

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಆ. ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಾದರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಳತೆಯ ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ σ . β-ಗುಣಾಂಕಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಎಷ್ಟು ಸಿಗ್ಮಾಗಳಿಂದ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು) ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ xIಒಂದು ಸಿಗ್ಮಾದಿಂದ, ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು β ಅನ್ನು OLS ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು:

r yx 1 ಮತ್ತು r xixj ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಜೋಡಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: r yx 1 = yxi ಸರಾಸರಿ – y ср*хiср/ ǪхǪу; r xixj = xixj ಸರಾಸರಿ – xi avg*xjcv/ǪhiǪxj. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿನ್ನಡೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಹಿಂಜರಿತ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಲಾಗದು. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ. ಯಾವಾಗ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಗಳುನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ βiಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಭಾವ ವೈಗುಣಾಂಕದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ βi.ಅದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಗುಣಾಂಕಗಳುಹಿನ್ನಡೆ, "ಶುದ್ಧ" ಹಿಂಜರಿತದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಅವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."ಶುದ್ಧ" ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ದ್ವಿಆಡ್ಸ್ ಜೊತೆ βiಅನುಪಾತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (OLS) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾದ ಹಿಂಜರಿತದಂತೆಯೇ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಹಿಂಜರಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಸ್ಥಿರ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಬೀಟಾ - ಗುಣಾಂಕಗಳು). ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಹೋಲಿಸಲಾಗದವು.

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅವಲಂಬನೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವು ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ

ಇದು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ:

a ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿರುವಾಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶ xj ಒಂದು ಸಿಗ್ಮಾದಿಂದ ಬದಲಾದರೆ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಷ್ಟು ಸಿಗ್ಮಾಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಗಣಿತ ಅರ್ಥವು ಮಾದರಿಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಮೂಲ ಡೇಟಾಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

19. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಪುಟ 132-136

http://math.semestr.ru/regress/mregres.php

20. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ. ಪುಟ 120-124

21. ಬಹು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸೂಚಕಗಳು. ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವರ ಪಾತ್ರ

ಪರಸ್ಪರ -ಈಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ(ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು). ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಅಥವಾ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗಣಿತದ ಅಳತೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಎಫ್. ಗಾಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಕೆ. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು.

ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ(ಆರ್)ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಅಂಶ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ σ 2 - ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ಸೂಚಕದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (y)ಅಂಶಗಳಿಂದಾಗಿ;

σ ost 2 - ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವೈ, x ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ;

ನಲ್ಲಿ- ಆರಂಭಿಕ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸೂಚಕದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ;

ರು- ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ಸೂಚಕದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ.

ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗುಣಾಂಕ 1 ಕ್ಕೆ, ಸಂಪರ್ಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಕಟತೆ. ಮತ್ತು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, 0 ಹತ್ತಿರ, ಕಡಿಮೆ ಅವಲಂಬನೆ. ಆರ್ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ< 0,3 говорят о малой зависимости между величинами. При значении 0,3 < ಆರ್< 0.6 ಸಂಪರ್ಕದ ಸರಾಸರಿ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. R > 0.6 ಆಗಿರುವಾಗ ಮಹತ್ವದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ.

ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ (D): D = R 2 .ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಸೂಚಕದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಯಾವ ಅನುಪಾತವು ಅಂಶ ಸೂಚಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (σ 2) ಅಂತರ ಗುಂಪು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (δ 2) ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು σ i 2):

σ 2 = δ 2 + σ i 2 .

ಇಂಟರ್‌ಗ್ರೂಪ್ ಪ್ರಸರಣವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸೂಚಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಎಲ್ಲ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸೂಚಕದ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕಗಳು.ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೊದಲು ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಕಡಿತದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ 2 ನೇ ಅಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ).

ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಅಂಶ ನಿರ್ಮೂಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂಚಕಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದಾಗ ಅವು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (yx1 . x2). ಆದಾಗ್ಯೂ, 2ನೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (yx1 . x2x3, yx1 . x2x3x4).

22. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು.

ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ.
ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು:
1) ಪರೋಕ್ಷ MNC (CMNC)

2) ಎರಡು-ಹಂತದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು (DMLS)

3) ಮೂರು-ಹಂತದ OLS (TMNK)

4) MNE ಜೊತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿ

5)ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ MNP ಮಾಹಿತಿ

CMNK ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್:

CMNC ಅನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯ ನಿಖರವಾದ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

CMNC ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳು:
1. ರಚನಾತ್ಮಕ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾದರಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಆಕಾರ.

2. ಮಾದರಿಯ ಕಡಿಮೆ ರೂಪದ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆ ರೂಪವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕ

3. ಮಾದರಿಯ ಕಡಿಮೆ ರೂಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅತಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದರೆ, CMNC ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಬಳಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳುಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ DMNC.
ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ DMNC ಯ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆಯು ಅತಿ-ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಪಡೆಯುವುದು. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಅಂತರ್ವರ್ಧಕ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ವಿಷಯ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಮುಂದೆ, ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣಾ ರೂಪ ಮಟ್ಟದ.
1 ನೇ ಹಂತ: ಡ್ರೈವ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ. ಮಾದರಿಯ ರೂಪ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಅಂತರ್ವರ್ಧಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಹಂತ 2: ಅಂತರ್ವರ್ಧಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ರಚನಾತ್ಮಕ ಅತಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

23. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

ಕಾರ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಕುರಿತು H0 ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ, ಹಿನ್ನಡೆ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್-ಕ್ರಿಟ್ ಬೆಕ್ಕಿನ ಸತ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ANOVA ಟೇಬಲ್
ವರು	df	RMS, ಎಸ್	ಒಂದು ಡಿಎಫ್, ಎಸ್ 2 ಗಾಗಿ ಡಿಸ್ಪ್ ಮಾಡಿ	ಸತ್ಯ
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ	n-1	d y 2 * n	-	-
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ	ಮೀ	d y 2 * n*R 2 yx1x2
Ost	n-m-1	d y 2 * n*(1-R 2 yx 1 x 2) =Stotal-Sfact		-

ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗಶಃ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಖಾಸಗಿ ಎಫ್ ಕ್ರಿಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

24. ಭಾಗಶಃ ಫಿಶರ್ ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವರ ಪಾತ್ರ.

ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗೆ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅಂಶದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದಲೂ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ. ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

F xj =((R 2 by yx1x2...xm – R 2 by yx1x2...xj-1,хj+1...xm)/(1- R 2 by yx1x2...xm))*(( n-m-1) /1)

F ಕೋಷ್ಟಕ (ಆಲ್ಫಾ,1, n-m-1) F xj F ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಅಂಶ x j ಅನ್ನು ಇತರ ಅಂಶಗಳ ನಂತರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

y=a+b1x1+b2+b3x3+e ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶ x1 ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ F- ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ x2 ಅಂಶದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F- ಮಾನದಂಡ, ಅಂದರೆ. ಸಿಂಗಲ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡು-ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x3 ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆ, ಅಂದರೆ. x1 ಮತ್ತು 2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ x3 ಅಂಶದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x1 ನಂತರ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x2 ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F- ಮಾನದಂಡವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x3 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F- ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ F- ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಮಹತ್ವ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಾದರಿ ರಚನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರಬಹುದು. y=a+b1x1+b2+b3x3+e ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು b1, b2, b3 ಮೂರು ಇಂಟರ್‌ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ದರಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳುಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ -ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂಚಕಗಳು.

ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್‌ನ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಕೋಷ್ಟಕ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು. - ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ ಅಥವಾ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ H0 . ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಟಿ ಟೇಬಲ್< tфакт ., ಅದು H0 ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. a, bಮತ್ತು ಆರ್ xyಅವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡವು ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ. X.

ಒಂದು ವೇಳೆ, t ಟೇಬಲ್> tfact.ನಂತರ ಊಹೆ H0 ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ರಚನೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ a, bಅಥವಾ ಆರ್ xy

25. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ.

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು: ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ R 2

ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ಕಾರಣ ಅಥವಾ ವಿವರಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು.

ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಹತ್ತಿರ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ರೇಖೆಯು ಡೇಟಾಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ 2(ಜೋಡಿಯಾದ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ ಆರ್ 2, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಚೌಕ), ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಶೇಕಡಾವಾರು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆ ಇಲ್ಲ;

ಮುನ್ಸೂಚನೆಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಮುನ್ಸೂಚನೆಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಗಮನಿಸಿದ ಶ್ರೇಣಿಯ ತೀವ್ರ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ನೀವು ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಎಂದಿಗೂ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಡಿ).

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ ಈ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅರ್ಥ.

ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಸಾಲಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 95% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ.

26. ಭಾಗಶಃ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.

m/y ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಪರಿಚಯದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅದೇ ಅಂಶದ ಮಹತ್ವವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಅಳತೆಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಫ್ ಎಕ್ಸ್ i. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x ಗಾಗಿ iಆಗಾಗ್ಗೆ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ y=a+b 1 x 1 +b 2 +b 3 x 3 +e, ನಂತರ F- ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶ x 1 ರೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ x 2 ಅಂಶದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F- ಮಾನದಂಡ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ -ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಒನ್, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x 3 ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ಎಫ್-ಮಾನದಂಡ, ಅಂದರೆ, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x 3 ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ x 1 ಮತ್ತು 2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x1 ನಂತರ x2 ಅಂಶದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F-ಪರೀಕ್ಷೆ ಸ್ಥಿರ x 3 ಅಂಶದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ F-ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಅದು ಖಾಸಗಿಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಾದರಿ ರಚನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ y=a+b 1 x 1 +b 2 +b 3 x 3 +eಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬಿ 1, ಬಿ 2, ಬಿ 3ನಿರ್ಣಯದ ಮೂರು ಇಂಟರ್‌ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: , , ಮತ್ತು ಬಿ ಐ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

27. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು. ಅವರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ.

28. ರೇಖಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

		ಬಿ	ಎ
ಹಬೆ ಕೊಠಡಿ	ರೇಖೀಯ	ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕ b ಅದರ ಮಾಪನದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ x ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳ ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸೂಚಕದಲ್ಲಿ (ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ y) ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. y ಮತ್ತು x ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ b (ಒಂದು ವೇಳೆ > 0 - ನೇರ ಸಂಬಂಧ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವಿಲೋಮ	ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಚಿಹ್ನೆ >0 ಮಾತ್ರ - ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ,<0 рез-т изм быстрее фактора
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ	ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿ - ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕ, ಅಂದರೆ. ಅಂಶವು 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ sk % ಬದಲಾವಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿ, ರಿವರ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ರೇಖೀಯ ಒಂದರಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ,	ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ
ಗುಣಿಸಿ	ರೇಖೀಯ	ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, xi ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.	ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ

29. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

30. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು (ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು)

1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸರಾಸರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಯಾವುದೇ ಅವಲೋಕನದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರಬಾರದು.

2. ಯಾವುದೇ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೀಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು, ದೊಡ್ಡ ದೋಷವನ್ನು (ವಿಚಲನ) ಉಂಟುಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಕಾರಣ ಇರಬಾರದು.

ಈ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೋಮೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಚಲನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ಥಿರತೆ). ಈ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಚಲನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಸಂಗತತೆ).

3. i¹j ಗಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳು u i ಮತ್ತು u j ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯು ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವುದೇ ಇತರ ವಿಚಲನದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ಕಾರಣಗಳಾಗಿರಬಾರದು. ಈ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಾವು ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

4. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ:

5. ಮಾದರಿಯು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಮೇಯ.ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು 1-5 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, OLS ಬಳಸಿ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

1. ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, M(b 0) = b 0, M(b 1) = b 1, ಇಲ್ಲಿ b 0, b 1) ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು b 0, b 1 ಅವುಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೂಲಮಾದರಿಗಳು. ಇದು ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಅಂದಾಜುಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ಪ್ರಸರಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅಂದಾಜುಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ).
3. ಅಂದಾಜುಗಳು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, y i ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅವು ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಚಲನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ನಂತರ ಪಕ್ಷಪಾತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ದಕ್ಷತೆಯ ಆಸ್ತಿ ಅಲ್ಲ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು SV ಅಲ್ಲ;
• ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ;
• ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ.

ಇತರೆ ಟಿಕೆಟ್ ಆಯ್ಕೆ 30.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

LSM ಅನ್ನು ಇತರ (ಸರಳವಾದ) ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಕೋನದಂತಹ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದಾಗ, ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ಮಾಪನವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಳತೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯ ಈ ನಿಯಮವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ; ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾಪನಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ನಿಯಮವು ಸ್ವತಃ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಬೆಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನ ಫಲಿತಾಂಶ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚಿಹ್ನೆ ಕನಿಷ್ಠ.

ಮಾದರಿ ಡಿ.ಬಿ. ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ

X - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್

ದೋಷ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಉಳಿದ ಮಾದರಿ)

ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ ಡಿ.ಬಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು (5-6 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು)

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿರಬೇಕು

m/y f-rom x ಮತ್ತು ಉಳಿದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಮಾದರಿ ಡಿ.ಬಿ. ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ (ಬಹು ಹಿಂಜರಿಕೆ)

MNC ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳು:

 ಅವಶೇಷಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವ

 ಶೇಷಗಳ ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ, ಅಂಶ x ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ

 homoscedasticity (ಪ್ರತಿ ವಿಚಲನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ)

 ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧದ ಕೊರತೆ

 ಉಳಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು

 ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿ y = a + bx + E ಗೌಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, a ಮತ್ತು b ನ OLS ಅಂದಾಜುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖಾತ್ಮಕ, ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

31. ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅವಶೇಷಗಳ ಅಧ್ಯಯನ.

ಕೆಳಗಿನ ಐದು OLS ಆವರಣಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಉಳಿದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆ:

1) ಅವಶೇಷಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವ;

2) ಶೇಷಗಳ ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಸ್ವತಂತ್ರ;

3) homoscedasticity - ಪ್ರತಿ ವಿಚಲನದ ಪ್ರಸರಣವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ;

4) ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಕೊರತೆ - ಅವಶೇಷಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

5) ಉಳಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶೇಷಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಕೆಲವು OLS ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಬೇಕು.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅವಶೇಷಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - OLS ನ ಮೊದಲ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2.1). ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಉಳಿದವುಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

32. ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಗಣನೆ. ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ.

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನಜಾತಿಪ್ರದೇಶಗಳು. ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದರೆ ಅಸಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ x ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಳಿಕೆಗಳು. ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ನಂತರ:

• OLS ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ.
• ಆಗಬಹುದು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಯಿತುಹಿಂಜರಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಆಗಿರುತ್ತವೆ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ.
• ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಶೇಷಗಳ ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಕ್ರಮಗಳು

p ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳ

p ಮಾದರಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

p ಮೂಲ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಡೆಸುವುದು

p ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಕಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

p ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಘಟಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆ

ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪು ಗೋಲ್ಡ್‌ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್

ಪಿ ಗ್ಲೇಸರ್

p ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮ್ಯಾನ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ

33. ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಾತ್ರ.

ಸತತ ಸಮಯದ ಮಟ್ಟಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆ. ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧಸಾಲು ಮಟ್ಟ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವಶೇಷಗಳ ಪ್ರಸರಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ.

ಅವಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಡರ್ಬಿನ್-ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡ:

d = ;

d - ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತ.

ಒಂದು ಕುರುಹು ಇದೆ. D-U ಮಾನದಂಡ "d" ಮತ್ತು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ r 1:

d = 2 * (1-r 1) .

ಉಳಿದವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು r 1 = 1, ನಂತರ d = 0.

ಉಳಿದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ. ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ, ನಂತರ r 1 = -1 ಮತ್ತು d = 4.

ಯಾವುದೇ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ r 1 = 0 ಮತ್ತು d = 2.

ಆ. 0≤d≤4.

ಡಿ-ಯು ಮಾನದಂಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಹೊರಗೆ ಎಳೆಯುತ್ತದೆ ಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆ H 0 . ಪರ್ಯಾಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು H 1 ಮತ್ತು H 1 * ಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಡರ್ಬಿನ್ - ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ d L ಮತ್ತು d u n, ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ k ಮಾದರಿಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ɑ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 0.95). ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಐದು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (1-ɑ) ಪ್ರತಿ ಊಹೆಯ ಸ್ವೀಕಾರ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

+ ಹೌದು	?	ಸಂ	?	- ಇದೆ
	ಡಿ ಎಲ್	ಡಿ ಯು		4- ಡಿ ಯು	4-ಡಿ ಎಲ್

ನಿಜವಾದ ವೇಳೆ ಡರ್ಬಿನ್-ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವು ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ವಲಯಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಊಹೆ H 0 ಅನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

34. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸುವುದು.

35. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ , ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಿವೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು.
ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಬಹುದು:

• ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳು
• ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ

ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:

• ಶಕ್ತಿ
• ಸೂಚಕ
• ಘಾತೀಯ I

36. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಗಳು. ಎಂಗಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಎಂಗಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು (ಎಂಗಲ್ ಕರ್ವ್) ಸರಕುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಪರಿಮಾಣದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ( ಸಿ) ಮತ್ತು ಗ್ರಾಹಕ ಆದಾಯ ( I) ಸ್ಥಿರ ಬೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗ್ರಾಹಕರ ಖರ್ಚಿನ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಆದಾಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಜರ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಎಂಗೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ.

x-ಅಕ್ಷವು ಗ್ರಾಹಕರ ಆದಾಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೇವಿಸುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಗಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಂದಾಜು ನೋಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

• ಇ 1 - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಕರ್ವ್;
• ಇ 2 - ಐಷಾರಾಮಿ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಕರ್ವ್;
• ಇ 3 - ಕಡಿಮೆ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಕರ್ವ್.

ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಹಣದುಬ್ಬರ ದರ ಮತ್ತು ನಿರುದ್ಯೋಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯು ನಿರುದ್ಯೋಗವನ್ನು (ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿನ ಕುಸಿತದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆ) ಅಥವಾ ಹಣದುಬ್ಬರವನ್ನು (ಆರ್ಥಿಕತೆಯು ಪೂರ್ಣ ಉದ್ಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ) ಆರ್ಥಿಕತೆಯು ಅನುಭವಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕೇನ್ಸಿಯನ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಣದುಬ್ಬರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರುದ್ಯೋಗ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಎ.ಡಬ್ಲ್ಯೂ. 1861-1957 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಟ್ ಬ್ರಿಟನ್‌ನಲ್ಲಿನ ವೇತನ ಮತ್ತು ನಿರುದ್ಯೋಗ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಫಿಲಿಪ್ಸ್.

ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ರಾಜ್ಯವು ತನ್ನ ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ರಾಜ್ಯವು ಒಟ್ಟು ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಣದುಬ್ಬರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರುದ್ಯೋಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

70 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದವರೆಗೂ ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ನಿಶ್ಚಲತೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ (ಹಣದುಬ್ಬರ ಮತ್ತು ನಿರುದ್ಯೋಗದಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲಿಕ ಹೆಚ್ಚಳ), ಇದನ್ನು ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.

ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

©2015-2019 ಸೈಟ್
ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳು ಅವರ ಲೇಖಕರಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸೈಟ್ ಕರ್ತೃತ್ವವನ್ನು ಕ್ಲೈಮ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉಚಿತ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಪುಟ ರಚನೆ ದಿನಾಂಕ: 2016-02-16

D. ಈ ಸೂಚಕವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಗುಣಾಂಕವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಾಪನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಶುದ್ಧ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು bf ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸೂಚಕಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದೇ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ -ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು b j ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳು Ej Q = 1.2,..., p) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ b j ಎಷ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ sy ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Y ಕೇವಲ jth ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ sx ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, a  

ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು (4.10) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ  

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.  

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅವಲಂಬನೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕವು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಗುಣಾಂಕಗಳು / , -, ಅವುಗಳೆಂದರೆ  

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅರ್ಥವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ಕಡಿಮೆ jQy ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಬಹು ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು (/-ಗುಣಾಂಕಗಳು). ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ಣಯ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ;  

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಷೇರುಗಳ ಅನುಪಾತದ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.  

ಹೆಡ್‌ಕೌಂಟ್ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಹಣಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗಳ ವೇತನದಾರರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಮೂಲ ಉದ್ಯಮಗಳಿಗೆ ಅಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮಹತ್ವದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (p) ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಒಟ್ಟು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ  

ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಉಪಯುಕ್ತ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹೋಲಿಕೆ.  

ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನ Sn (ನಮ್ಮ -ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ, ಅದನ್ನು Sxk ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ) ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು Sy ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ ದ್ವಿ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಮೌಲ್ಯ b Sxk / ಎಂದು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 10).  

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು  

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಹೋಲಿಕೆಯು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒರಟು, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೈಜ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಈ ಅಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಚಿತ್ರವನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು).  

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (blf 62, b3) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ  

ಆಪರೇಟರ್ 5. -ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ - ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು.  

2 ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಒಂದು ಕಡೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗುತ್ತದೆ.  

ನೇರ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಗ್ರಾಫ್ನ ರೂಪವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ - ಟ್ರಾಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನೆಟ್ ಟ್ರಾಲಿಂಗ್ನ ಸಮಯ - ಉಳಿದ ಪ್ರಸರಣ st.34 ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರಸರಣ a.23456 ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಅಂದಾಜುಗೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. 1.23456 = 0.907, ಮತ್ತು 1.34 = 0.877. ಆದರೆ ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಿದರೆ (38), ನಂತರ 1.23456 = 0.867, a / i.34 = = 0.864. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಷ್ಟೇನೂ ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, r14 = 0.870. ಟ್ರಾಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ಯಾಚ್‌ನ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ 1.34 = 0.891 4 - 0.032 3- t3 ನಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವು ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ಸಹ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.  

Rx/. - ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕ