ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಜನರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಫಲರಾಗುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಾಣಬಹುದು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರ ನೋಟವು ಎರಡು ಉದ್ದೇಶಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ:
ಮೊದಲ ಗುರಿ- ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಿ.
ಎರಡನೇ ಗೋಲು- ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಎಫ್ (x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಇರುವ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, a x ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ b ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಗುರಿಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತವೆ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಹುಡುಕಾಟ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಹರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇತರ ರೂಪಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.
ಏನಾಯ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೀನು ಕೇಳು. ಇದು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ x ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು b ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು F(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಪದನಾಮ x ಗೆ ನೀಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು F(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. a ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) f(x) ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ a x ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು b ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ F1(x) = F(x) + C. C - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು f(x) - 2 ಕ್ರಿಯೆಗೆ ವ್ಯತ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ; ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರವೂ a
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ f(x) ಕೆಲವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (a,b) ಅದರ ಮೇಲೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿನ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ F(b) - F(a).
ಈ ವಿಷಯದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ನಾನು ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಇದು ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಷ್ಟಕವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಗಳುಲೇಖನ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನಷ್ಟು. ನೀವು ಆನ್ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್ v-kant.ru ಮೂಲಕ ಖರೀದಿಸಬಹುದು. ಅಥವಾ ಸ್ಟೇಷನರಿ ಸಮರ (http://v-kant.ru) ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಗುಣಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಗಳು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿ ಆಶ್ಚರ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ಸತ್ಯ 1. ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಫ್(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(x f(x) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ xಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಫ್ "(x)=f(x), ಅಂದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯ f(x) ಎಂಬುದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಫ್(x). .
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(x) = ಪಾಪ x ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ f(x) = cos x ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ (ಪಾಪ x)" = (ಕಾಸ್ x) .
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(x) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
∫
f(x)dx
,ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ∫ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ, ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(x) - ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು f(x)dx - ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.
ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ ಎಫ್(x) - ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x), ಅದು
∫
f(x)dx = ಎಫ್(x) +ಸಿ
ಎಲ್ಲಿ ಸಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ).
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಾಗಿಲು (ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮರದ ಬಾಗಿಲು) ಇರಲಿ. ಅದರ ಕಾರ್ಯವು "ಬಾಗಿಲು" ಆಗಿದೆ. ಬಾಗಿಲು ಯಾವುದರಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ? ಮರದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದರರ್ಥ "ಬಾಗಿಲು" ಕಾರ್ಯದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, "ಟ್ರೀ + ಸಿ" ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಮಾಡಬಹುದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮರದಿಂದ ಬಾಗಿಲು ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ "ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ" ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಕಲಿತ ಸೂತ್ರಗಳು .
ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಸ್ತುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ("ಬಾಗಿಲು" - "ಮರವಾಗಿರಲು", "ಚಮಚವಾಗಿರಲು" - "ಲೋಹವಾಗಿರಲು", ಇತ್ಯಾದಿ) ಮೂಲಭೂತ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ತಯಾರಿಸಿದ" ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಟೇಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಸತ್ಯ 2. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಿ, ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗೆ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬರೆಯದಿರಲು, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ: 5 x³+C. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 x³+4 ಅಥವಾ 5 x³+3 ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಿದಾಗ, 4 ಅಥವಾ 3, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸ್ಥಿರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಏಕೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡೋಣ: ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x) ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಫ್(x), ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x).
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ
ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(xವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಫ್(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x), ಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಫ್(x) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x) dx, ಅಂದರೆ
(2)
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕೇವಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. ಅವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ
ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ. ಇದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.
ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾದ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ (ವಾಸ್ತವ 2 ರ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆ).ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಫ್(x) - ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x) ಅದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಫ್(x) + ಸಿ, ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.
ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಂತರ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಓದುವ ಮೊದಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಂತರ, ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು "ತಯಾರಿಸಿದ" ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಈಗ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
1) ಫಾರ್ಮುಲಾ (7) ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಎನ್= 3, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
2) ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು (10) ಬಳಸುವುದು ಎನ್= 1/3, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
3) ರಿಂದ
ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (7) ಜೊತೆಗೆ ಎನ್= -1/4 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಅಲ್ಲ. f, ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮೂಲಕ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ dx. ಯಾವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
,
;
ಇಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ z .
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ
ನಾವು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ y=F(x)ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ f(x)ಈ ಹಂತದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ.
ಪ್ರಕಾರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ y=F(x) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಉತ್ಪನ್ನ ಎಫ್"(x). ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು F(x), ಇದಕ್ಕಾಗಿ F"(x)=f(x). ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ F(x)ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ f(x). ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. y=F(x)- ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು ಓಹ್.
ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯೋಣ f(x)ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್. ಒಂದು ವೇಳೆ F"(x)=f(x), ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y=F(x)ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಇದೆ.
ಸತ್ಯ 3. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ , ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಸತ್ಯ 4. ಪ್ರಮೇಯ 1. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸತ್ಯ 5. ಪ್ರಮೇಯ 2. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x) ನಿರಂತರ ಅವಧಿಯವರೆಗೆ , ಅಂದರೆ
(3)
1 ಮತ್ತು 2 ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣವು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸತ್ಯ 6. ಪ್ರಮೇಯ 3. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು , ಅಂದರೆ
ಏಕೀಕರಣದ ನಾಲ್ಕು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
1)
ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ನಿಯಮ.
.
ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ u, v, w ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
2)
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಚಲಿಸುವುದು.
c x ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲಿ.
3)
ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು.
ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೆ φ(x)
,
x ನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ
.
4)
ನಂತರ, ವೇರಿಯಬಲ್ t = φ(x) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
,
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ.
ಅಲ್ಲಿ u ಮತ್ತು v ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಂತಿಮ ಗುರಿಯೆಂದರೆ, ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಇದನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು
ಸಮಗ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ >>>
ಉದಾಹರಣೆ
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
ಪರಿಹಾರ
ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:
, ಮತ್ತು . 1
.
ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು 5, 4,
ಮುಂದೆ, ಹೊಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ 2
ಮತ್ತು 2
.
, ಕ್ರಮವಾಗಿ. ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು
.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 2
n = ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು
, ನಾವು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
.
ನಾವು ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ
ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ.
.
ಮೂರನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ t = φ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ
(x) = ln x
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.
ಏಕೀಕರಣದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ನಂತರ
ನಾವು ಮೂರನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ
ನಾವು ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
;
;
;
;
.
ಅದನ್ನು ಹಾಕೋಣ.
.
ನಂತರ 3
.
.
ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
x ನೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ
ಉತ್ತರ
ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯ:
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಟರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.
ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಿಳಿದಿರಬೇಕಾದ ಪ್ರಧಾನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.ದಯವಿಟ್ಟು ಪಾವತಿಸಿ
ವಿಶೇಷ ಗಮನ
ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ (5), (7), (9), (12), (13), (17) ಮತ್ತು (19). ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ!ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳು (5) ಮತ್ತು (7) ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಆದರೆ ಈ ಗುಂಪಿನ ಉಳಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಅವರಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮಗ್ರತೆಗಳು
ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೂತ್ರ (8) (ಬಹುಶಃ ಕಂಠಪಾಠಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಸೂತ್ರಗಳು (9). ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು (10) ಮತ್ತು (11) ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (8), ಆದರೆ ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡುವ ತಪ್ಪು ಎಂದರೆ ಅವರು ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (12) ಮತ್ತು (13) ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸಿಂಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯು ಕಾಸ್ಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ! ಸೈನ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು "ಮೈನಸ್ ಕೊಸೈನ್" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾಸ್ಕ್ಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು "ಜಸ್ಟ್ ಸೈನ್" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 ಪಾಪ 2 x d x = - c t g x + C (15)
ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಫಾರ್ಮುಲಾ (16) ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ a=1 ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ (17) ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, (18) ಎಂಬುದು (19) ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ x + C = - ಆರ್ಕೋಸ್ x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln |
x + x 2 - a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + ಸಿ (a > 0) (23) ∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln |ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)
3) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
ಆಸ್ತಿ (26) ಕೇವಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ (25) ಮತ್ತು (27) ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.
4) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ವೇಳೆ ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಒಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವು Ax + B ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮುಖ: ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ:
∫ f (x) g (x) d x = ?
∫ f (x) g (x) d x = ?
(30)
ಒಂದು ಭಾಗ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. (30) ನಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ನೀವು ಅದನ್ನು "ಹೋರಾಟ" ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇತರರಲ್ಲಿ ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಶಾಲಾ" ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x
ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (25) ಮತ್ತು (26) ಬಳಸೋಣ (ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 ಡಿ x
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ (ಸೂತ್ರ (27)) ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ 3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ ಪಾಪ x d x - 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d xಈಗ ಮೂಲಭೂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು (3), (12), (8) ಮತ್ತು (1) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಿಸೋಣ
ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ
, ಸೈನ್, ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ 1. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
| ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದು ಮೂಲ ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. |
| ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಾರಾಂಶ ಕೋಷ್ಟಕ |
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +ಸಿ |
| ∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = - cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 ಪಾಪ 2 x d x = - c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 - x 2 d x = ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ x + C = - ಆರ್ಕೋಸ್ x + C |
| ∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | |
| x + x 2 + a 2 | +ಸಿ |
| ∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | |
| x + x 2 - a 2 | +ಸಿ |
| ∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + ಸಿ (a > 0) ∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + ಸಿ (a > 0)
ಈ ಲಿಂಕ್‌ನಿಂದ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ (ಭಾಗ II) ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ
ನೀವು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ ( ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು), ನಿಮಗೆ ಅರ್ಹ ಶಿಕ್ಷಕರ ಸೇವೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರ ಪುಟಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ. ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ!
ನೀವು ಸಹ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು
ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು
, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:(ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).).
ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇವುಗಳು ಸೇರಿವೆ:
1. ವಿಭಜನೆ ವಿಧಾನ
ಉದಾಹರಣೆ 2.ನೇರ ಏಕೀಕರಣ
ಈ ವಿಧಾನವು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನೇರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು - ವಿಘಟನೆ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ).ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹುಡುಕಲು(dx/x 4) ನೀವು ನೇರವಾಗಿ ಟೇಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಫಾರ್x n dx ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.ಅದನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನಾವು ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: 
ಉದಾಹರಣೆ 3.
ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 4.
ಹುಡುಕಲು, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ 
ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ:
ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.ಉದಾಹರಣೆ 5. 
, ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸೋಣ 
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು:
ಉದಾಹರಣೆ 7.
(ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 
);
ಉದಾಹರಣೆ 8.
(ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ 
ಮತ್ತು 
).
ಮೊತ್ತದ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 9.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 
. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ಘನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ , ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ, ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
ಪರಿಹಾರದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರ C ಅನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು (ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದವುಗಳಲ್ಲ). ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೆಗೆ (ನಾವು ಪರಿಹಾರದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ) ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪದಗಳ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 10.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ (ಇದರ ನಂತರ ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು).
ಉದಾಹರಣೆ 11.ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 12.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ 
. ನಂತರ
ಉದಾಹರಣೆ 13.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
2. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ (ಬದಲಿ ವಿಧಾನ)
ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: f(x)dx=f((t))`(t)dt, ಇಲ್ಲಿ x =(t) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ. ಎಡದಿಂದ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಬಲ ಭಾಗಗಳುಸೂತ್ರಗಳು.
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x = (t) ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಪದದವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಯಶಸ್ವಿ ಬದಲಾವಣೆಯು ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
a) ಲೀನಿಯರ್ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.
. t= 1 – 2x, ನಂತರ
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ. ಓ ಸೂಚ್ಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, cos(3x + 2)dx ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ನಂತರcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ರೇಖೀಯ ಪರ್ಯಾಯ t=kx+b(k0) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.
ರೇಖೀಯ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಮೇಯ. F(x) ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, ಇಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು,k0.
ಪುರಾವೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶ k ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. ಈಗ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಪದದ ಪದನಾಮದವರೆಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(x)dx = F(x) + C ವಾದದ ಬದಲಿಗೆ x ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು (kx+b) ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಮುಂದೆ ಅಂಶ 1/ಕೆ.
ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈ ವಿಧಾನವು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನೇರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು - ವಿಘಟನೆ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ).
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಇಲ್ಲಿ kx+b= 3 –x, ಅಂದರೆ k= -1,b= 3. ನಂತರ
ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. Herekx+b= 4x+ 3, ಅಂದರೆ k= 4,b= 3. ನಂತರ
ಉದಾಹರಣೆ 4.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಇಲ್ಲಿ kx+b= -2x+ 7, ಅಂದರೆ k= -2,b= 7. ನಂತರ
.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಇಲ್ಲಿ kx+b= 2x+ 0, ಅಂದರೆ k= 2,b= 0.
.
ನಾವು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 8 ರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ 
. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ: ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ 
, ಅಂದರೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ತರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ 7.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ.
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು, ನಂತರದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 8.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 
. t=x+ 2 ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಂತರ dt=d(x+ 2) =dx. ನಂತರ
,
ಅಲ್ಲಿ C = C 1 – 6 (ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (x+ 2) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ನಾವು ½x 2 -2x– 6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 9.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
. t= 2x+ 1 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
t ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (2x+ 1) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡೋಣ.
ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಪದಕ್ಕೆ ತೆರಳಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.
ಬಿ) ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.
. ಲೆಟ್= -x 2. ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬರು t ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ dx ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ನಾವು finddt=d(-x 2) = -2xdx. xdx ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆxdx= - ½dt ನಿಂದ ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ನಂತರ
