Un vēl viens punkts: skaita samazināšanas formulu ir diezgan daudz, un mēs jūs nekavējoties brīdināsim, lai tās visas neiemācītos no galvas. Tas nav absolūti nepieciešams - ir viens, kas ļauj viegli piemērot samazināšanas formulas.
Tātad, pierakstīsim visas samazināšanas formulas tabulas veidā.
Šīs formulas var pārrakstīt, izmantojot grādus un radiānus. Lai to izdarītu, vienkārši atcerieties attiecību starp grādiem un radiāniem un aizstājiet π ar 180 grādiem visur.
Redukcijas formulu izmantošanas piemēri
Šī punkta mērķis ir parādīt, kā reducēšanas formulas tiek izmantotas praksē piemēru risināšanai.
Sākumā ir vērts teikt, ka ir bezgalīgs skaitlis veidi, kā attēlot leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmes formā un 
. Tas ir saistīts ar faktu, ka leņķim var būt jebkura vērtība. Parādīsim to ar piemēru.
Piemēram, ņemsim leņķi zem zīmes trigonometriskā funkcija vienāds Šo leņķi var attēlot kā 
, vai kā 
, vai kā 
, vai daudzos citos veidos.
Tagad redzēsim, kādas samazināšanas formulas mums būs jāizmanto atkarībā no leņķa attēlojuma. Ņemsim.
Ja mēs attēlojam leņķi kā , tad šis attēlojums atbilst formas samazināšanas formulai, no kuras mēs iegūstam 
. Šeit mēs varam norādīt trigonometriskās funkcijas vērtību: .
Prezentācijai mēs jau izmantosim formas formulu 
, kas mūs noved pie šāda rezultāta: .
Visbeidzot, tā kā atbilstošajai samazināšanas formulai ir forma 
.
Noslēdzot šo diskusiju, ir īpaši vērts atzīmēt, ka ir dažas ērtības, izmantojot leņķa attēlojumus, kuros leņķa vērtība ir no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz pi pusradiānos).
Apskatīsim vēl vienu samazināšanas formulu izmantošanas piemēru.
Piemērs.
Izmantojot samazinājuma formulas, attēlojiet caur sinusu un arī caur asā leņķa kosinusu.
Risinājums.
Lai piemērotu samazināšanas formulas, mums ir jāattēlo 197 grādu leņķis formā vai 
, un atbilstoši problēmas apstākļiem leņķim jābūt asam. To var izdarīt divos veidos: 
vai . Tādējādi 
vai 
.
Pievēršoties atbilstošajām formulām reducēšanai un , iegūstam un .
Atbilde:
Un 
.
Mnemoniskais likums
Kā jau minējām iepriekš, redukcijas formulas nav jāiegaumē. Ja tos rūpīgi aplūkojat, varat noteikt modeļus, no kuriem varat iegūt noteikumu, kas ļauj iegūt jebkuru no samazinājuma formulām. Viņu sauc mnemoniskais likums(mnemonika ir iegaumēšanas māksla).
Mnemoniskais noteikums ietver trīs posmus:
Tūlīt ir vērts teikt, ka, lai piemērotu mnemonisko likumu, jums ļoti labi jāspēj identificēt sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes pa ceturtdaļām, jo jums tas būs jādara pastāvīgi.
Apskatīsim mnemoniskā likuma piemērošanu, izmantojot piemērus.
Piemērs.
Izmantojot mnemoniskais likums, pierakstiet samazināšanas formulas priekš 
Un 
, uzskatot leņķi par pirmās ceturkšņa leņķi.
Risinājums.
Mums nav jāveic pirmais noteikuma solis, jo leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmēm jau ir ierakstīti vajadzīgajā formā.
Noteiksim funkciju zīmi Un . Ar nosacījumu, ka - pirmā ceturkšņa leņķis, leņķis 
ir arī pirmās ceturkšņa leņķis un leņķis 
- otrās ceturtdaļas leņķis. Pirmās ceturtdaļas kosinusam ir plus zīme, bet tangensam otrajā ceturksnī ir mīnus zīme. Šajā posmā nepieciešamajām formulām būs forma un . Tagad, kad esam izdomājuši zīmes, varam pāriet uz mnemoniskā likuma pēdējo posmu.
Tā kā kosinusa funkcijas argumentam ir forma , tad funkcijas nosaukums ir jāmaina uz kofunkcija, tas ir, uz sinusu. Un pieskares argumentam ir forma , tādēļ funkcijas nosaukums ir jāatstāj tāds pats.
Rezultātā mums ir 
Un . Varat apskatīt samazinājuma formulu tabulu, lai pārliecinātos, ka iegūtie rezultāti ir pareizi.
Atbilde:
Un .
Lai konsolidētu materiālu, apsveriet iespēju atrisināt piemēru ar konkrētiem leņķiem.
Piemērs.
Izmantojot mnemonisko likumu, samaziniet līdz akūta leņķa trigonometriskām funkcijām.
Risinājums.
Pirmkārt, iedomāsimies 777 grādu leņķi formā, kas nepieciešama, lai piemērotu mnemonisko likumu. To var izdarīt divos veidos: vai.
Sākotnējais leņķis ir pirmā ceturkšņa leņķis, šī leņķa sinusam ir plus zīme.
Uzrādīšanai sinusa nosaukums ir jāatstāj nemainīgs, bet, lai uzrādītu veidu, sinusus jāmaina uz kosinusu.
Rezultātā mums ir un .
Atbilde:
Un .
Lai noslēgtu šo punktu, apsveriet piemēru, kas ilustrē, cik svarīgi ir pareizi attēlot leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmes, lai piemērotu mnemonisko noteikumu: leņķim jābūt asam!!!
Aprēķināsim leņķa tangensu. Principā, atsaucoties uz materiāla sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtībām, mēs varam nekavējoties atbildēt uz problēmas jautājumu: 
.
Ja mēs attēlojam leņķi kā vai kā , mēs varam izmantot mnemonisko noteikumu: 
Un 
, kas mūs noved pie tāda paša rezultāta.
Bet tas var notikt, ja tiek attēlots leņķis, piemēram, forma. Šajā gadījumā mnemoniskais noteikums mūs novedīs pie šī rezultāta. Šis rezultāts ir nepareizs, un tas izskaidrojams ar to, ka attēlojumam mums nebija tiesību piemērot mnemonisko noteikumu, jo leņķis nav akūts.
Redukcijas formulu pierādījums
Samazināšanas formulas atspoguļo periodiskumu, simetriju un nobīdes īpašības ar leņķiem un . Tūlīt atzīmēsim, ka visas samazināšanas formulas var pierādīt, argumentos atmetot terminu, jo tas nozīmē mainīt leņķi par veselu skaitu pilnu apgriezienu, un tas nemaina trigonometrisko funkciju vērtības. Šis termins kalpo kā periodiskuma atspoguļojums.
Pirmais 16 reducēšanas formulu bloks izriet tieši no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām. Nav pat vērts pie tiem kavēties.
Pārejam pie nākamā formulu bloka. Vispirms pierādīsim pirmos divus no tiem. Pārējais izriet no tiem. Tātad, pierādīsim formas samazināšanas formulas 
Un 
.
Apskatīsim vienības apli. Ļaujiet sākuma punktam A pēc pagriešanas par leņķi virzīties uz punktu A 1 (x, y), un pēc pagriešanas par leņķi uz punktu A 2. Uzzīmēsim A 1 H 1 un A 2 H 2 – perpendikulus taisnei Ox.
Ir viegli redzēt, ka taisnleņķa trijstūri OA 1 H 1 un OA 2 H 2 ir vienādi hipotenūzā un divos blakus leņķos. No trijstūra vienādības un punktu A 1 un A 2 izvietojuma uz vienības apļa kļūst skaidrs, ka, ja punktam A 1 ir koordinātes x un y, tad punktam A 2 ir koordinātes −y un x. Tad sinusa un kosinusa definīcijas ļauj rakstīt vienādības un 
, no kā izriet, ka Un . Tas pierāda reducēšanas formulas, kas tiek ņemtas vērā jebkuram leņķim.
Ņemot vērā, ka 
Un 
(ja nepieciešams, skatiet rakstu pamata trigonometriskās identitātes), kā arī tikko pārbaudītās formulas, mēs iegūstam un 
. Tātad mēs pierādījām šādas divas samazināšanas formulas.
Lai pierādītu reducēšanas formulas ar argumentu, pietiek to attēlot kā , un pēc tam izmantot pārbaudītās formulas un trigonometrisko funkciju īpašības ar pretējiem argumentiem. Piemēram, .
Visas pārējās reducēšanas formulas tiek pierādītas līdzīgā veidā, pamatojoties uz tām, kuras jau ir pierādītas ar dubultu pielietojumu. Piemēram, tas parādās kā 
, bet kā 
. Un un - kā un attiecīgi.
Bibliogrāfija.
- Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis. - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Definīcija. Samazināšanas formulas ir formulas, kas ļauj pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumentu funkcijām. Ar to palīdzību patvaļīga leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu var samazināt līdz leņķa sinusam, kosinusam, tangensam un kotangensam no intervāla no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz radiāniem). Tādējādi samazināšanas formulas ļauj mums pāriet uz darbu ar leņķiem 90 grādu robežās, kas neapšaubāmi ir ļoti ērti.
Samazināšanas formulas:
Ir divi samazināšanas formulu lietošanas noteikumi.
1. Ja leņķi var attēlot kā (π/2 ±a) vai (3*π/2 ±a), tad funkcijas nosaukuma maiņa grēks uz cos, cos uz grēku, tg uz ctg, ctg uz tg. Ja leņķi var attēlot formā (π ±a) vai (2*π ±a), tad Funkcijas nosaukums paliek nemainīgs.
Apskatiet attēlu zemāk, tajā shematiski parādīts, kad jāmaina zīme un kad nē
2. Samazinātas funkcijas zīme paliek tāds pats. Ja sākotnējai funkcijai bija plus zīme, tad arī samazinātajai funkcijai ir plus zīme. Ja sākotnējai funkcijai bija mīnusa zīme, tad arī samazinātajai funkcijai ir mīnusa zīme.
Zemāk esošajā attēlā redzamas trigonometrisko pamatfunkciju zīmes atkarībā no ceturkšņa.
Piemērs:
Aprēķināt
Izmantosim samazināšanas formulas:
Sin(150˚) atrodas otrajā ceturksnī; no attēla redzams, ka grēka zīme šajā ceturksnī ir vienāda ar “+”. Tas nozīmē, ka dotajai funkcijai būs arī “+” zīme. Mēs piemērojām otro noteikumu.
Tagad 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ ir π/2. Tas ir, mums ir darīšana ar gadījumu π/2+60, tāpēc saskaņā ar pirmo noteikumu mēs mainām funkciju no sin uz cos. Rezultātā mēs iegūstam Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Un vēl viena problēma B11 par šo pašu tēmu - no īstā Vienotā valsts eksāmena matemātikā.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Šajā īsajā video pamācībā mēs uzzināsim, kā pieteikties samazināšanas formulas par reālu uzdevumu risināšanu B11 no Vienotā valsts eksāmena matemātikā. Kā redzat, mums ir divas trigonometriskas izteiksmes, no kurām katra satur sinusus un kosinusus, kā arī dažus diezgan brutālus skaitliskus argumentus.
Pirms šo problēmu risināšanas atcerēsimies, kas ir samazināšanas formulas. Tātad, ja mums ir tādi izteicieni kā:
Tad mēs varam atbrīvoties no pirmā termina (formas k · π/2) pēc īpašiem noteikumiem. Uzzīmēsim trigonometrisko apli un atzīmēsim uz tā galvenos punktus: 0, π/2; π; 3π/2 un 2π. Pēc tam aplūkojam pirmo terminu zem trigonometriskās funkcijas zīmes. Mums ir:
- Ja mūs interesējošais termins atrodas uz trigonometriskā apļa vertikālās ass (piemēram: 3π/2; π/2 utt.), tad sākotnējā funkcija tiek aizstāta ar kofunkciju: sinusu aizstāj ar kosinusu, un kosinuss, gluži pretēji, ar sinusu.
- Ja mūsu termins atrodas uz horizontālās ass, sākotnējā funkcija nemainās. Mēs vienkārši noņemam pirmo vārdu no izteiksmes, un viss.
Tādējādi iegūstam trigonometrisku funkciju, kas nesatur k · π/2 formas terminus. Tomēr darbs ar samazināšanas formulām ar to nebeidzas. Fakts ir tāds, ka mūsu jaunajai funkcijai, kas iegūta pēc pirmā termina “izmešanas”, priekšā var būt plusa vai mīnusa zīme. Kā atpazīt šo zīmi? Tagad mēs to uzzināsim.
Iedomāsimies, ka leņķim α, kas paliek trigonometriskās funkcijas iekšpusē pēc transformācijām, ir ļoti mazs pakāpes mērs. Bet ko nozīmē “mazs mērs”? Teiksim, α ∈ (0; 30°) - ar to pilnīgi pietiek. Ņemsim funkcijas piemēru:
Pēc tam, ievērojot mūsu pieņēmumus, ka α ∈ (0; 30°), secinām, ka leņķis 3π/2 − α atrodas trešajā koordinātu ceturksnī, t.i. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Atcerēsimies sākotnējās funkcijas zīmi, t.i. y = sin x šajā intervālā. Acīmredzot sinuss trešajā koordinātu ceturksnī ir negatīvs, jo pēc definīcijas sinuss ir kustīgā rādiusa beigu ordināta (īsi sakot, sinuss ir y koordināta). Nu, y koordinātei apakšējā pusplaknē vienmēr ir negatīvas vērtības. Tas nozīmē, ka arī trešajā ceturksnī y ir negatīvs.
Pamatojoties uz šīm pārdomām, mēs varam pierakstīt galīgo izteiksmi:
Problēma B11 — 1. iespēja
Šīs pašas metodes ir diezgan piemērotas problēmas B11 risināšanai no vienotā valsts eksāmena matemātikā. Vienīgā atšķirība ir tā, ka daudzās reālajās B11 problēmās radiāna mēra vietā (t.i., skaitļi π, π/2, 2π utt.) tiek izmantots pakāpes mērs (t.i., 90°, 180°, 270° utt.). Apskatīsim pirmo uzdevumu:
Vispirms apskatīsim skaitītāju. jo 41° nav tabulas vērtība, tāpēc mēs ar to neko nevaram darīt. Pagaidām to tā atstāsim.
Tagad apskatīsim saucēju:
sin 131° = grēks (90° + 41°) = cos 41°
Acīmredzot šī ir reducēšanas formula, tāpēc sinusu aizstāj ar kosinusu. Turklāt leņķis 41° atrodas uz segmentu (0°; 90°), t.i. pirmajā koordinātu kvadrantā - tieši tā, kā nepieciešams samazināšanas formulu piemērošanai. Bet tad 90° + 41° ir otrā koordinātu ceturtdaļa. Sākotnējā funkcija y = sin x ir pozitīva, tāpēc pēdējā solī kosinusa priekšā ievietojām plus zīmi (citiem vārdiem sakot, mēs neko nelikām).
Atliek risināt pēdējo elementu:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Šeit mēs redzam, ka 180° ir horizontālā ass. Līdz ar to arī pati funkcija nemainīsies: bija kosinuss - un paliks arī kosinuss. Bet atkal rodas jautājums: vai plus vai mīnus parādīsies pirms rezultāta izteiksmes cos 60°? Ņemiet vērā, ka 180° ir trešā koordinātu ceturtdaļa. Kosinuss tur ir negatīvs, tāpēc galu galā kosinusam priekšā būs mīnusa zīme. Kopumā mēs iegūstam konstrukciju −cos 60° = −0,5 - tā ir tabulas vērtība, tāpēc visu ir viegli aprēķināt.
Tagad mēs aizstājam iegūtos skaitļus sākotnējā formulā un iegūstam:
Kā redzat, skaitli cos 41° frakcijas skaitītājā un saucējā ir viegli samazināt, un paliek parastā izteiksme, kas ir vienāda ar –10. Šajā gadījumā mīnusu var vai nu izņemt un novietot pirms daļskaitļa zīmes, vai arī “paturēt” blakus otrajam faktoram līdz pašam pēdējam aprēķinu solim. Jebkurā gadījumā atbilde būs –10. Tas arī viss, problēma B11 ir atrisināta!
Problēma B14 — 2. variants
Pārejam pie otrā uzdevuma. Mums atkal priekšā ir daļa:
Nu, 27° atrodas pirmajā koordinātu ceturksnī, tāpēc mēs šeit neko nemainīsim. Bet grēks 117° ir jāuzraksta (pagaidām bez kvadrāta):
sin 117° = grēks (90° + 27°) = cos 27°
Acīmredzot, atkal pirms mums samazināšanas formula: 90° ir vertikālā ass, tāpēc sinuss mainīsies uz kosinusu. Turklāt leņķis α = 117° = 90° + 27° atrodas otrajā koordinātu kvadrantā. Sākotnējā funkcija y = sin x tur ir pozitīva, tāpēc pēc visām pārvērtībām kosinusa priekšā joprojām ir plus zīme. Citiem vārdiem sakot, tur nekas nav pievienots - mēs to atstājam tā: cos 27°.
Mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes, kas jāaprēķina:
Kā redzam, pēc transformācijām saucējā radās galvenā trigonometriskā identitāte: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Kopā −4: 1 = −4 - tātad atradām atbildi uz otro uzdevumu B11.
Kā redzat, ar redukcijas formulu palīdzību šādas problēmas no vienotā valsts eksāmena matemātikā tiek atrisinātas burtiski pāris rindās. Nav summas sinusa un starpības kosinusa. Viss, kas mums jāatceras, ir tikai trigonometriskais aplis.
Šis raksts ir veltīts detalizētam pētījumam trigonometriskās formulas spoki Dan pilns saraksts reducēšanas formulas, parādīti to izmantošanas piemēri un sniegti formulu pareizības pierādījumi. Rakstā ir arī sniegts mnemonisks noteikums, kas ļauj iegūt reducēšanas formulas, neiegaumējot katru formulu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Samazināšanas formulas. Saraksts
Samazināšanas formulas ļauj samazināt patvaļīga lieluma leņķu trigonometriskās pamatfunkcijas līdz leņķu funkcijām, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz π 2 radiāniem). Darbība ar leņķiem no 0 līdz 90 grādiem ir daudz ērtāka nekā darbs ar patvaļīgi lielām vērtībām, tāpēc trigonometrijas uzdevumu risināšanā plaši tiek izmantotas samazināšanas formulas.
Pirms pierakstīt pašas formulas, noskaidrosim vairākus svarīgus punktus izpratnei.
- Trigonometrisko funkciju argumenti samazinājuma formulās ir leņķi, kuru forma ir ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Šeit z ir jebkurš vesels skaitlis, un α ir patvaļīgs rotācijas leņķis.
- Nav nepieciešams apgūt visas samazināšanas formulas, kuru skaits ir diezgan iespaidīgs. Pastāv mnemonisks noteikums, kas atvieglo vajadzīgās formulas atvasināšanu. Par mnemonisko likumu mēs runāsim vēlāk.
Tagad pāriesim tieši uz samazināšanas formulām.
Samazināšanas formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem un patvaļīgi lieliem leņķiem uz darbu ar leņķiem no 0 līdz 90 grādiem. Visas formulas rakstīsim tabulas formā.
Samazināšanas formulas
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , cos + 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z . π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α s α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z =, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
IN šajā gadījumā formulas raksta radiānos. Tomēr jūs varat arī rakstīt tos, izmantojot grādus. Pietiek tikai pārveidot radiānus grādos, aizstājot π ar 180 grādiem.
Redukcijas formulu izmantošanas piemēri
Mēs parādīsim, kā izmantot reducēšanas formulas un kā šīs formulas tiek izmantotas praktisku piemēru risināšanai.
Leņķi zem trigonometriskās funkcijas zīmes var attēlot nevis vienā, bet dažādos veidos. Piemēram, trigonometriskās funkcijas argumentu var attēlot formā ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Demonstrēsim to.
Ņemsim leņķi α = 16 π 3. Šo leņķi var uzrakstīt šādi:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Atkarībā no leņķa attēlojuma tiek izmantota atbilstošā samazināšanas formula.
Ņemsim to pašu leņķi α = 16 π 3 un aprēķināsim tā tangensu
1. piemērs: samazināšanas formulu izmantošana
α = 16 π 3, t g α =?
Attēlosim leņķi α = 16 π 3 kā α = π + π 3 + 2 π 2
Šis leņķa attēlojums atbildīs samazināšanas formulai
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Izmantojot tabulu, mēs norādām pieskares vērtību
Tagad mēs izmantojam citu leņķa α = 16 π 3 attēlojumu.
2. piemērs. Samazināšanas formulu izmantošana
α = 16 π 3, t g α =? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Visbeidzot, par trešo leņķa attēlojumu, ko mēs rakstām
Piemērs 3. Samazināšanas formulu izmantošana
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c t 6 + 2 π 3 π
Tagad sniegsim piemēru, kā izmantot sarežģītākas samazināšanas formulas
4. piemērs: samazināšanas formulu izmantošana
Iedomāsimies grēku 197° caur asā leņķa sinusu un kosinusu.
Lai varētu izmantot samazināšanas formulas, vienā no formām ir jāattēlo leņķis α = 197 °
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Atbilstoši problēmas apstākļiem leņķim jābūt asam. Attiecīgi mums ir divi veidi, kā to attēlot:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Mēs saņemam
grēks 197° = grēks (180° + 17°) grēks 197° = grēks (270° - 73°)
Tagad apskatīsim sinusu samazināšanas formulas un izvēlēsimies atbilstošās
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = grēks (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = grēks (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Mnemoniskais likums
Redukcijas formulu ir daudz, un, par laimi, tās nav jāiegaumē. Ir likumsakarības, pēc kurām var iegūt redukcijas formulas dažādiem leņķiem un trigonometriskām funkcijām. Šos modeļus sauc par mnemoniskajiem noteikumiem. Mnemonika ir iegaumēšanas māksla. Mnemoniskais noteikums sastāv no trim daļām vai ietver trīs posmus.
Mnemoniskais likums
1. Sākotnējās funkcijas arguments ir attēlots vienā no tālāk norādītajām formām.
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Leņķim α jābūt no 0 līdz 90 grādiem.
2. Tiek noteikta sākotnējās trigonometriskās funkcijas zīme. Funkcijai, kas rakstīta formulas labajā pusē, būs tāda pati zīme.
3. Leņķiem ± α + 2 πz un π ± α + 2 πz sākotnējās funkcijas nosaukums paliek nemainīgs, un attiecīgi leņķiem π 2 ± α + 2 πz un 3 π 2 ± α + 2 πz tas mainās uz "kopfunkcija". Sinuss - kosinuss. Tangenss - kotangenss.
Lai izmantotu mnemonisko ceļvedi samazināšanas formulām, jums jāspēj noteikt trigonometrisko funkciju zīmes, pamatojoties uz vienības apļa ceturtdaļām. Apskatīsim mnemoniskā likuma izmantošanas piemērus.
1. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana
Pierakstīsim samazinājuma formulas cos π 2 - α + 2 πz un t g π - α + 2 πz. α ir pirmā ceturkšņa žurnāls.
1. Tā kā pēc nosacījuma α ir pirmās ceturkšņa logs, mēs izlaižam noteikuma pirmo punktu.
2. Definējiet zīmes cos funkcijasπ 2 - α + 2 πz un t g π - α + 2 πz. Leņķis π 2 - α + 2 πz ir arī pirmā ceturkšņa leņķis, un leņķis π - α + 2 πz atrodas otrajā ceturksnī. Pirmajā ceturksnī kosinusa funkcija ir pozitīva, un otrajā ceturksnī tangensam ir mīnusa zīme. Pierakstīsim, kā šajā posmā izskatīsies vajadzīgās formulas.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Saskaņā ar trešo punktu leņķim π 2 - α + 2 π funkcijas nosaukums mainās uz Konfūcijs, un leņķim π - α + 2 πz paliek nemainīgs. Pierakstīsim:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Tagad apskatīsim iepriekš sniegtās formulas un pārliecināsimies, ka mnemoniskais noteikums darbojas.
Apskatīsim piemēru ar noteiktu leņķi α = 777°. Reducēsim sinusu alfa līdz akūta leņķa trigonometriskajai funkcijai.
2. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana
1. Iedomājieties leņķi α = 777 ° vajadzīgajā formā
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Sākotnējais leņķis ir pirmā ceturkšņa leņķis. Tas nozīmē, ka leņķa sinusam ir pozitīva zīme. Rezultātā mums ir:
3. sin 777° = grēks (57° + 360° 2) = grēks 57° sin 777° = grēks (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Tagad apskatīsim piemēru, kas parāda, cik svarīgi ir pareizi noteikt trigonometriskās funkcijas zīmi un pareizi attēlot leņķi, izmantojot mnemonisko noteikumu. Atkārtosim vēlreiz.
Svarīgs!
Leņķim α jābūt akūtam!
Aprēķināsim leņķa 5 π 3 tangensu. No galveno trigonometrisko funkciju vērtību tabulas varat nekavējoties ņemt vērtību t g 5 π 3 = - 3, bet mēs piemērosim mnemonisko noteikumu.
3. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana
Iedomāsimies leņķi α = 5 π 3 vajadzīgajā formā un izmantosim noteikumu
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Ja alfa leņķi attēlojam formā 5 π 3 = π + 2 π 3, tad mnemoniskā likuma piemērošanas rezultāts būs nepareizs.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nepareizs rezultāts ir saistīts ar faktu, ka leņķis 2 π 3 nav akūts.
Redukcijas formulu pierādījums balstās uz trigonometrisko funkciju periodiskuma un simetrijas īpašībām, kā arī uz nobīdes pa leņķiem π 2 un 3 π 2 īpašību. Visu reducēšanas formulu derīguma pierādījumu var veikt, neņemot vērā terminu 2 πz, jo tas apzīmē leņķa izmaiņas ar veselu pilnu apgriezienu skaitu un precīzi atspoguļo periodiskuma īpašību.
Pirmās 16 formulas izriet tieši no trigonometrisko pamatfunkciju īpašībām: sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss.
Šeit ir pierādījums sinusu un kosinusu samazināšanas formulām
sin π 2 + α = cos α un cos π 2 + α = - sin α
Apskatīsim vienības apli, kura sākumpunkts pēc griešanās pa leņķi α iet uz punktu A 1 x, y un pēc pagriešanas pa leņķi π 2 + α - uz punktu A 2. No abiem punktiem mēs novelkam perpendikulus pret abscisu asi.
Divas taisnleņķa trīsstūris O A 1 H 1 un O A 2 H 2 ir vienādi hipotenūzā un blakus leņķos. No punktu izvietojuma uz apļa un trīsstūru vienādības varam secināt, ka punktam A 2 ir koordinātes A 2 - y, x. Izmantojot sinusa un kosinusa definīcijas, mēs rakstām:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Ņemot vērā trigonometrijas pamatidentitātes un tikko pierādīto, varam rakstīt
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos t g α
Lai pierādītu reducēšanas formulas ar argumentu π 2 - α, tā jāuzrāda formā π 2 + (- α). Piemēram:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
Pierādījumā tiek izmantotas trigonometrisko funkciju īpašības ar pretēju zīmju argumentiem.
Visas pārējās samazināšanas formulas var pierādīt, pamatojoties uz iepriekš rakstītajām.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Reducēšanas formulu pielietošana uzdevumu risināšanā"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.
Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 10. klasei
1C: skola. Interaktīvie būvniecības uzdevumi 7.-10.klasei
1C: skola. Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi par būvniecību telpā 10.–11. klasei
Ko mēs pētīsim:
1. Nedaudz atkārtosim.
2. Samazināšanas formulu noteikumi.
3. Reducēšanas formulu pārrēķinu tabula.
4. Piemēri.
Trigonometrisko funkciju apskats
Puiši, jūs jau esat saskārušies ar spoku formulām, bet jūs tās vēl neesat tā nosaukuši. Ko jūs domājat: kur?
Apskatiet mūsu zīmējumus. Pareizi, kad tika ieviestas trigonometrisko funkciju definīcijas.
Samazināšanas formulu noteikums
Ieviesīsim pamatnoteikumu: Ja zem trigonometriskās funkcijas zīmes ir skaitlis formā π×n/2 + t, kur n ir jebkurš vesels skaitlis, tad mūsu trigonometrisko funkciju var reducēt uz vairāk vienkāršs skats, kurā būs tikai arguments t. Šādas formulas sauc par spoku formulām.
Atcerēsimies dažas formulas:
- sin(t + 2π*k) = grēks(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- iedegums(t + π*k) = iedegums(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
ir daudz spoku formulu, izveidosim noteikumu, pēc kura mēs noteiksim savas trigonometriskās funkcijas, izmantojot spoku formulas:
- Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitļus formā: π + t, π - t, 2π + t un 2π - t, tad funkcija nemainīsies, tas ir, piemēram, sinuss paliks sinuss, kotangenss paliks kotangenss.
- Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitļus šādā formā: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t un 3π/2 - t, tad funkcija mainīsies uz saistītu, tas ir, sinuss kļūs par kosinusu, kotangenss kļūs par tangensu. - Pirms iegūtās funkcijas ir jāievieto zīme, kas transformētajai funkcijai būtu saskaņā ar nosacījumu 0
Šie noteikumi ir spēkā arī tad, ja funkcijas arguments ir norādīts grādos!
Varam izveidot arī trigonometrisko funkciju transformāciju tabulu:
Redukcijas formulu izmantošanas piemēri
1. Pārveidot cos(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam cos(t). Tālāk pieņemsim, ka π/2 
2. Pārveidot sin(π/2 + t). Funkcijas nosaukums mainās, t.i. mēs iegūstam cos(t). Pēc tam pieņemsim, ka 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Pārveidot tg(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam iedegumu(t). Tālāk pieņemsim, ka 0 
4. Pārveidot ctg(270 0 + t). Funkcijas nosaukums mainās, tas ir, mēs iegūstam tg(t). Tālāk pieņemsim, ka 0 
Problēmas ar reducēšanas formulām neatkarīgam risinājumam
Puiši, pārveidojiet to paši, izmantojot mūsu noteikumus:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) bērnu gultiņa (π - t),
4) tg(π/2 — t),
5) cotg(3π + t),
6) grēks(2π + t),
7) grēks(π/2 + 5t),
8) grēks(π/2 — t),
9) grēks(2π - t),
10) cos(2π — t),
11) cos (3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 — t),
13) cos(π - t).
