Mājas Smaganas Sin cos funkciju grafiki. Trigonometriskās funkcijas

Smaganas

Sin cos funkciju grafiki. Trigonometriskās funkcijas

Šajā nodarbībā mēs apskatīsim trigonometriskās pamatfunkcijas, to īpašības un grafiki, kā arī sarakstu trigonometrisko vienādojumu un sistēmu pamatveidi. Turklāt mēs norādām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu vispārīgie risinājumi un to īpašie gadījumi.

Šī nodarbība palīdzēs sagatavoties kādam no uzdevumu veidiem B5 un C1.

Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā

Eksperimentējiet

10. nodarbība. Trigonometriskās funkcijas. Trigonometriskie vienādojumi un to sistēmas.

Teorija

Nodarbības kopsavilkums

Mēs jau daudzkārt esam izmantojuši terminu "trigonometriskā funkcija". Šīs tēmas pirmajā nodarbībā mēs tos definējām, izmantojot taisnleņķa trīsstūri un vienības trigonometrisko apli. Izmantojot šīs metodes trigonometriskās funkcijas, jau tagad varam secināt, ka viņiem viena argumenta (vai leņķa) vērtība atbilst tieši vienai funkcijas vērtībai, t.i. mums ir tiesības izsaukt sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes funkcijas.

Šajā nodarbībā ir pienācis laiks mēģināt abstrahēties no iepriekš apspriestajām trigonometrisko funkciju vērtību aprēķināšanas metodēm. Šodien mēs pāriesim pie parastās algebriskās pieejas darbam ar funkcijām, apskatīsim to īpašības un attēlosim grafikus.

Kas attiecas uz trigonometrisko funkciju īpašībām, tad Īpaša uzmanība jāatzīmē:

Definīcijas joma un vērtību diapazons, jo sinusam un kosinusam ir ierobežojumi vērtību diapazonam, bet tangensam un kotangensam ir ierobežojumi definīcijas diapazonam;

Visu trigonometrisko funkciju periodiskums, jo Mēs jau esam atzīmējuši mazākā argumenta, kas nav nulles, klātbūtni, kura pievienošana nemaina funkcijas vērtību. Šo argumentu sauc par funkcijas periodu un apzīmē ar burtu . Sinusu/kosinusu un tangensu/kotangensu šie periodi ir atšķirīgi.

Apsveriet funkciju:

1) definīcijas joma;

2) Vērtību diapazons ;

3) Funkcija ir nepāra ;

Izveidosim funkcijas grafiku. Šajā gadījumā ir ērti sākt konstrukciju ar apgabala attēlu, kas ierobežo grafiku no augšas ar skaitli 1 un zemāk ar skaitli , kas ir saistīts ar funkcijas vērtību diapazonu. Turklāt būvniecībai ir lietderīgi atcerēties vairāku galveno tabulas leņķu sinusu vērtības, piemēram, lai tas ļaus jums izveidot pirmo pilno grafika “vilni” un pēc tam pārzīmēt to pa labi un pa kreisi, izmantojot to, ka attēls tiks atkārtots ar nobīdi par punktu, t.i. uz .

Tagad apskatīsim funkciju:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) definīcijas joma;

2) Vērtību diapazons ;

3) vienmērīga funkcija Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu;

4) funkcija nav monotona visā tās definīcijas jomā;

Izveidosim funkcijas grafiku. Tāpat kā konstruējot sinusu, ir ērti sākt ar apgabala attēlu, kas ierobežo grafiku augšpusē ar skaitli 1 un apakšā ar skaitli , kas ir saistīts ar funkcijas vērtību diapazonu. Grafā uzzīmēsim arī vairāku punktu koordinātes, kurām jāatceras vairāku galveno tabulas leņķu kosinusu vērtības, piemēram, lai ar šo punktu palīdzību varētu uzbūvēt pirmo pilno “vilni. ” no grafika un pēc tam pārzīmējiet to pa labi un pa kreisi, izmantojot to, ka attēls atkārtosies ar perioda nobīdi, t.i. uz .

Pāriesim pie funkcijas:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) Domēns, izņemot , kur . Mēs jau iepriekšējās nodarbībās norādījām, ka tā neeksistē. Šo apgalvojumu var vispārināt, ņemot vērā tangentes periodu;

2) Vērtību diapazons, t.i. pieskares vērtības nav ierobežotas;

3) Funkcija ir nepāra ;

4) Funkcija monotoni palielinās tās tā sauktajos pieskares zaros, ko tagad redzēsim attēlā;

5) Funkcija ir periodiska ar punktu

Izveidosim funkcijas grafiku. Šajā gadījumā ir ērti sākt konstrukciju, attēlojot grafa vertikālās asimptotes punktos, kas nav iekļauti definīcijas jomā, t.i. utt. Tālāk mēs attēlojam pieskares zarus katras asimptotu veidotās joslas iekšpusē, nospiežot tos uz kreiso asimptotu un uz labo. Tajā pašā laikā neaizmirstiet, ka katra filiāle palielinās monotoni. Mēs visus zarus attēlojam vienādi, jo funkcijai ir periods, kas vienāds ar . To var redzēt no tā, ka katrs zars tiek iegūts, nobīdot blakus esošo pa abscisu asi.

Un mēs pabeidzam ar funkcijas apskatu:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) Domēns, izņemot , kur . No trigonometrisko funkciju vērtību tabulas mēs jau zinām, ka tā neeksistē. Šo apgalvojumu var vispārināt, ņemot vērā kotangences periodu;

2) Vērtību diapazons, t.i. kotangentes vērtības nav ierobežotas;

3) Funkcija ir nepāra ;

4) Funkcija monotoni samazinās tās atzaru ietvaros, kas ir līdzīgi pieskares zariem;

5) Funkcija ir periodiska ar punktu

Izveidosim funkcijas grafiku. Šajā gadījumā, kas attiecas uz tangensu, ir ērti sākt konstrukciju, attēlojot grafa vertikālās asimptotes punktos, kas nav iekļauti definīcijas apgabalā, t.i. utt. Tālāk mēs attēlojam kotangences zarus katras asimptotu veidotās svītras iekšpusē, piespiežot tos uz kreiso un labo asimptotu. Šajā gadījumā mēs ņemam vērā, ka katra filiāle samazinās monotoni. Visus zarus attēlojam līdzīgi tangensam vienādi, jo funkcijai ir periods, kas vienāds ar .

Atsevišķi jāatzīmē, ka trigonometriskām funkcijām ar sarežģītiem argumentiem var būt nestandarta periods. Mēs runājam par formas funkcijām:

Viņu periods ir vienāds. Un par funkcijām:

Viņu periods ir vienāds.

Kā redzat, lai aprēķinātu jaunu periodu, standarta periods vienkārši tiek dalīts ar argumenta koeficientu. Tas nav atkarīgs no citām funkcijas modifikācijām.

Sīkāk izprast un saprast, no kurienes šīs formulas nāk, varat nodarbībā par funkciju grafiku konstruēšanu un pārveidošanu.

Esam nonākuši pie vienas no svarīgākajām tēmas “Trigonometrija” daļām, kuru veltīsim trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Spēja atrisināt šādus vienādojumus ir svarīga, piemēram, aprakstot svārstību procesus fizikā. Iedomāsimies, ka esat nobraucis dažus apļus ar kartingu ar sporta automašīnu; trigonometriskā vienādojuma atrisināšana palīdzēs noteikt, cik ilgi esat bijis sacīkstēs atkarībā no automašīnas novietojuma trasē.

Uzrakstīsim vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu:

Šāda vienādojuma risinājums ir argumenti, kuru sinuss ir vienāds ar . Bet mēs jau zinām, ka sinusa periodiskuma dēļ šādu argumentu ir bezgalīgi daudz. Tādējādi šī vienādojuma risinājums būs utt. Tas pats attiecas uz jebkura cita vienkārša trigonometriskā vienādojuma atrisināšanu; to būs bezgalīgi daudz.

Trigonometriskie vienādojumi ir sadalīti vairākos galvenajos veidos. Atsevišķi mums vajadzētu pakavēties pie vienkāršākajiem, jo viss pārējais paliek viņu pašu ziņā. Ir četri šādi vienādojumi (atbilstoši trigonometrisko pamatfunkciju skaitam). Viņiem ir zināmi vispārīgi risinājumi, tie ir jāatceras.

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi un to vispārīgie risinājumi izskatās šādi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka sinusa un kosinusa vērtībām ir jāņem vērā mums zināmie ierobežojumi. Ja, piemēram, vienādojumam nav atrisinājumu un norādītā formula nav jāpiemēro.

Turklāt norādītās saknes formulas satur parametru patvaļīga vesela skaitļa formā. IN skolas mācību programmaŠis ir vienīgais gadījums, kad vienādojuma risinājums bez parametra satur parametru. Šis patvaļīgais veselais skaitlis parāda, ka ir iespējams pierakstīt bezgalīgi daudz sakņu jebkuram no iepriekšminētajiem vienādojumiem, vienkārši aizstājot visus veselos skaitļus pēc kārtas.

Ar šo formulu detalizētu atvasināšanu var iepazīties, atkārtojot nodaļu “Trigonometriskie vienādojumi” 10. klases algebras programmā.

Atsevišķi ir jāpievērš uzmanība īpašu vienkāršāko vienādojumu ar sinusu un kosinusu gadījumu risināšanai. Šie vienādojumi izskatās šādi:

Uz tiem nevajadzētu attiecināt formulas vispārīgi risinājumi. Šādus vienādojumus visērtāk var atrisināt, izmantojot trigonometrisko apli, kas dod vienkāršāku rezultātu nekā vispārējās atrisinājuma formulas.

Piemēram, vienādojuma risinājums ir . Mēģiniet pats iegūt šo atbildi un atrisināt atlikušos norādītos vienādojumus.

Papildus visbiežāk norādītajiem trigonometrisko vienādojumu veidiem ir vēl vairāki standarta vienādojumi. Mēs tos uzskaitām, ņemot vērā tos, kurus jau esam norādījuši:

1) Vienšūņi, Piemēram, ;

2) Vienkāršāko vienādojumu īpašie gadījumi, Piemēram, ;

3) Vienādojumi ar sarežģītu argumentu, Piemēram, ;

4) Vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem, izņemot kopīgu faktoru, Piemēram, ;

5) Vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem, pārveidojot trigonometriskās funkcijas, Piemēram, ;

6) Vienādojumi ir samazināti līdz vienkāršākajiem ar aizstāšanu, Piemēram, ;

7) Homogēni vienādojumi , Piemēram, ;

8) Vienādojumi, kurus var atrisināt, izmantojot funkciju īpašības, Piemēram, . Nebaidieties no fakta, ka šajā vienādojumā ir divi mainīgie; tas atrisina pats;

Kā arī vienādojumi, kurus var atrisināt, izmantojot dažādas metodes.

Papildus trigonometrisko vienādojumu risināšanai jums ir jāspēj atrisināt to sistēmas.

Visizplatītākie sistēmu veidi ir:

1) Kurā viens no vienādojumiem ir jauda, Piemēram, ;

2) Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu sistēmas, Piemēram, .

Šodienas nodarbībā apskatījām trigonometriskās pamatfunkcijas, to īpašības un grafikus. Mēs arī satikāmies vispārīgas formulas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumus, norādīja galvenos šādu vienādojumu veidus un to sistēmas.

Nodarbības praktiskajā daļā apskatīsim trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes un to sistēmas.

1. aile.Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu īpašo gadījumu risināšana.

Kā jau teicām nodarbības galvenajā daļā, īpaši trigonometrisko vienādojumu gadījumi ar formas sinusu un kosinusu:

ir vairāk vienkāršus risinājumus, ko dod vispārīgo risinājumu formulas.

Šim nolūkam tiek izmantots trigonometriskais aplis. Analizēsim to risināšanas metodi, izmantojot vienādojuma piemēru.

Uz trigonometriskā apļa attēlosim punktu, kurā kosinusa vērtība ir nulle, kas ir arī koordināte gar abscisu asi. Kā redzat, ir divi šādi punkti. Mūsu uzdevums ir norādīt, ar ko ir vienāds leņķis, kas atbilst šiem apļa punktiem.

Sākam skaitīt no abscisu ass pozitīvā virziena (kosinusa ass) un iestatot leņķi tiekam līdz pirmajam attēlotajam punktam, t.i. viens risinājums būtu šī leņķa vērtība. Bet mēs joprojām esam apmierināti ar leņķi, kas atbilst otrajam punktam. Kā tajā iekļūt?

Šī nodarbība palīdzēs sagatavoties kādam no uzdevumu veidiem B5 un C1.

Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā

Eksperimentējiet

10. nodarbība. Trigonometriskās funkcijas. Trigonometriskie vienādojumi un to sistēmas.

Teorija

Nodarbības kopsavilkums

Mēs jau daudzkārt esam izmantojuši terminu "trigonometriskā funkcija". Šīs tēmas pirmajā nodarbībā mēs tos definējām, izmantojot taisnleņķa trīsstūri un vienības trigonometrisko apli. Izmantojot šīs trigonometrisko funkciju precizēšanas metodes, jau varam secināt, ka tām viena argumenta (vai leņķa) vērtība atbilst tieši vienai funkcijas vērtībai, t.i. mums ir tiesības izsaukt sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes funkcijas.

Attiecībā uz trigonometrisko funkciju īpašībām īpaša uzmanība jāpievērš:

Definīcijas joma un vērtību diapazons, jo sinusam un kosinusam ir ierobežojumi vērtību diapazonam, bet tangensam un kotangensam ir ierobežojumi definīcijas diapazonam;

Apsveriet funkciju:

1) definīcijas joma;

2) Vērtību diapazons ;

3) Funkcija ir nepāra ;

Tagad apskatīsim funkciju:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) definīcijas joma;

2) Vērtību diapazons ;

3) vienmērīga funkcija Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu;

4) funkcija nav monotona visā tās definīcijas jomā;

Pāriesim pie funkcijas:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) Domēns, izņemot , kur . Mēs jau iepriekšējās nodarbībās norādījām, ka tā neeksistē. Šo apgalvojumu var vispārināt, ņemot vērā tangentes periodu;

2) Vērtību diapazons, t.i. pieskares vērtības nav ierobežotas;

3) Funkcija ir nepāra ;

4) Funkcija monotoni palielinās tās tā sauktajos pieskares zaros, ko tagad redzēsim attēlā;

5) Funkcija ir periodiska ar punktu

Un mēs pabeidzam ar funkcijas apskatu:

Šīs funkcijas galvenās īpašības:

1) Domēns, izņemot , kur . No trigonometrisko funkciju vērtību tabulas mēs jau zinām, ka tā neeksistē. Šo apgalvojumu var vispārināt, ņemot vērā kotangences periodu;

2) Vērtību diapazons, t.i. kotangentes vērtības nav ierobežotas;

3) Funkcija ir nepāra ;

4) Funkcija monotoni samazinās tās atzaru ietvaros, kas ir līdzīgi pieskares zariem;

5) Funkcija ir periodiska ar punktu

Atsevišķi jāatzīmē, ka trigonometriskām funkcijām ar sarežģītiem argumentiem var būt nestandarta periods. Mēs runājam par formas funkcijām:

Viņu periods ir vienāds. Un par funkcijām:

Viņu periods ir vienāds.

Kā redzat, lai aprēķinātu jaunu periodu, standarta periods vienkārši tiek dalīts ar argumenta koeficientu. Tas nav atkarīgs no citām funkcijas modifikācijām.

Sīkāk izprast un saprast, no kurienes šīs formulas nāk, varat nodarbībā par funkciju grafiku konstruēšanu un pārveidošanu.

Uzrakstīsim vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu:

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi un to vispārīgie risinājumi izskatās šādi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka sinusa un kosinusa vērtībām ir jāņem vērā mums zināmie ierobežojumi. Ja, piemēram, vienādojumam nav atrisinājumu un norādītā formula nav jāpiemēro.

Turklāt norādītās saknes formulas satur parametru patvaļīga vesela skaitļa formā. Skolas mācību programmā šis ir vienīgais gadījums, kad vienādojuma atrisinājums bez parametra satur parametru. Šis patvaļīgais veselais skaitlis parāda, ka ir iespējams pierakstīt bezgalīgi daudz sakņu jebkuram no iepriekšminētajiem vienādojumiem, vienkārši aizstājot visus veselos skaitļus pēc kārtas.

Ar šo formulu detalizētu atvasināšanu var iepazīties, atkārtojot nodaļu “Trigonometriskie vienādojumi” 10. klases algebras programmā.

Atsevišķi ir jāpievērš uzmanība īpašu vienkāršāko vienādojumu ar sinusu un kosinusu gadījumu risināšanai. Šie vienādojumi izskatās šādi:

Viņiem nevajadzētu piemērot formulas vispārīgu risinājumu atrašanai. Šādus vienādojumus visērtāk var atrisināt, izmantojot trigonometrisko apli, kas dod vienkāršāku rezultātu nekā vispārējās atrisinājuma formulas.

Piemēram, vienādojuma risinājums ir . Mēģiniet pats iegūt šo atbildi un atrisināt atlikušos norādītos vienādojumus.

Papildus visbiežāk norādītajiem trigonometrisko vienādojumu veidiem ir vēl vairāki standarta vienādojumi. Mēs tos uzskaitām, ņemot vērā tos, kurus jau esam norādījuši:

1) Vienšūņi, Piemēram, ;

2) Vienkāršāko vienādojumu īpašie gadījumi, Piemēram, ;

3) Vienādojumi ar sarežģītu argumentu, Piemēram, ;

4) Vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem, izņemot kopīgu faktoru, Piemēram, ;

5) Vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem, pārveidojot trigonometriskās funkcijas, Piemēram, ;

6) Vienādojumi ir samazināti līdz vienkāršākajiem ar aizstāšanu, Piemēram, ;

7) Homogēni vienādojumi, Piemēram, ;

8) Vienādojumi, kurus var atrisināt, izmantojot funkciju īpašības, Piemēram, . Nebaidieties no fakta, ka šajā vienādojumā ir divi mainīgie; tas atrisina pats;

Kā arī vienādojumi, kas tiek atrisināti, izmantojot dažādas metodes.

Papildus trigonometrisko vienādojumu risināšanai jums ir jāspēj atrisināt to sistēmas.

Visizplatītākie sistēmu veidi ir:

1) Kurā viens no vienādojumiem ir jauda, Piemēram, ;

2) Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu sistēmas, Piemēram, .

Šodienas nodarbībā apskatījām trigonometriskās pamatfunkcijas, to īpašības un grafikus. Iepazināmies arī ar vispārīgajām formulām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanai, norādījām galvenos šādu vienādojumu veidus un to sistēmas.

Nodarbības praktiskajā daļā apskatīsim trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes un to sistēmas.

1. aile.Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu īpašo gadījumu risināšana.

Kā jau teicām nodarbības galvenajā daļā, īpaši trigonometrisko vienādojumu gadījumi ar formas sinusu un kosinusu:

ir vienkāršāki risinājumi nekā tie, kas doti ar vispārējām risinājumu formulām.

Šim nolūkam tiek izmantots trigonometriskais aplis. Analizēsim to risināšanas metodi, izmantojot vienādojuma piemēru.

1. Trigonometriskās funkcijas pārstāvēt elementāras funkcijas, kura arguments ir stūrī. Trigonometriskās funkcijas apraksta attiecības starp malām un asajiem leņķiem taisnleņķa trijstūrī. Trigonometrisko funkciju pielietošanas jomas ir ārkārtīgi dažādas. Piemēram, jebkurus periodiskus procesus var attēlot kā trigonometrisko funkciju summu (Furjē rinda). Šīs funkcijas bieži parādās, risinot diferenciālos un funkcionālos vienādojumus.

2. Trigonometriskās funkcijas ietver šādas 6 funkcijas: sinusa, kosinuss, pieskares,kotangenss, sekants Un kosekants. Katram noteiktās funkcijas ir apgriezta trigonometriskā funkcija.

3. Ir ērti ieviest trigonometrisko funkciju ģeometrisko definīciju, izmantojot vienības aplis. Zemāk redzamajā attēlā parādīts aplis ar rādiusu r=1. Uz riņķa līnijas ir atzīmēts punkts M(x,y). Leņķis starp rādiusa vektoru OM un Ox ass pozitīvo virzienu ir vienāds ar α.

4. Sinus leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret rādiusu r:
sinα=y/r.
Tā kā r=1, tad sinuss ir vienāds ar punkta M(x,y) ordinātu.

5. Kosinuss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret rādiusu r:
cosα=x/r

6. Pieskares leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret tā abscisu x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangenss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret tā ordinātu y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekants leņķis α ir punkta M(x,y) rādiusa r attiecība pret abscisu x:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekants leņķis α ir rādiusa r attiecība pret punkta M(x,y) ordinātu y:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Vienības riņķī projekcijas x, y, punkti M(x,y) un rādiuss r veido taisnleņķa trīsstūri, kurā x,y ir kājas, bet r ir hipotenūza. Tāpēc iepriekš minētās trigonometrisko funkciju definīcijas pielikumā taisnleņķa trīsstūris ir formulēti šādi:
Sinus leņķis α ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu.
Kosinuss leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Pieskares leņķi α sauc par pretējo kāju blakus esošajai.
Kotangenss leņķi α sauc par blakus malu pretējai pusei.
Sekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret blakus esošo kāju.
Kosekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret pretējo kāju.

11. Sinusa funkcijas grafiks
y=sinx, definīcijas apgabals: x∈R, vērtību diapazons: −1≤sinx≤1

12. Kosinusa funkcijas grafiks
y=cosx, domēns: x∈R, diapazons: −1≤cosx≤1

13. Pieskares funkcijas grafiks
y=tanx, definīcijas diapazons: x∈R,x≠(2k+1)π/2, vērtību diapazons: −∞