Homogēns lineārs diferenciālvienādojumi otrais pasūtījums ar pastāvīgie koeficienti izskatās ka
kur p un q ir reāli skaitļi. Apskatīsim piemērus, kā tiek atrisināti viendabīgi otrās kārtas diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.
Otrās kārtas lineāra homogēna diferenciālvienādojuma risinājums ir atkarīgs no saknēm raksturīgais vienādojums. Raksturīgais vienādojums ir vienādojums k²+pk+q=0.
1) Ja raksturīgā vienādojuma saknes ir dažādi reālie skaitļi:
tad lineāra homogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma ar nemainīgiem koeficientiem vispārējam atrisinājumam ir forma
2) Ja raksturīgā vienādojuma saknes ir vienādi reālie skaitļi
(piemēram, ar diskriminantu, kas vienāds ar nulli), tad homogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums ir
3) Ja raksturīgā vienādojuma saknes ir kompleksi skaitļi
(piemēram, ar diskriminantu, kas vienāds ar negatīvu skaitli), tad homogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgo atrisinājumu raksta formā
Lineāru viendabīgu otrās kārtas diferenciālvienādojumu risināšanas piemēri ar nemainīgiem koeficientiem
Atrodiet homogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu vispārīgus risinājumus:
Sastādām raksturīgo vienādojumu: k²-7k+12=0. Tās diskriminants ir D=b²-4ac=1>0, tāpēc saknes ir atšķirīgi reālie skaitļi.
Tādējādi šīs viendabīgās 2. kārtas DE vispārējais risinājums ir
Sastādām un atrisināsim raksturīgo vienādojumu:
Saknes ir īstas un atšķirīgas. Tādējādi mums ir vispārīgs risinājums šim homogēnajam diferenciālvienādojumam:
Šajā gadījumā raksturīgais vienādojums
Saknes ir dažādas un derīgas. Tāpēc 2. kārtas homogēna diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums ir šeit
Raksturīgais vienādojums
Tā kā saknes ir reālas un vienādas, šim diferenciālvienādojumam vispārīgo risinājumu rakstām kā
Raksturīgais vienādojums ir šeit
Tā kā diskriminants ir negatīvs skaitlis, raksturīgā vienādojuma saknes ir kompleksi skaitļi.
Šī viendabīgā otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgajam risinājumam ir forma
Raksturīgais vienādojums
Šeit mēs atrodam šīs atšķirības vispārīgo risinājumu. vienādojumi:
Pašpārbaudes piemēri.
Šajā rakstā aplūkots jautājums par lineāru nehomogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu risināšanu ar nemainīgiem koeficientiem. Teorija tiks apspriesta kopā ar doto problēmu piemēriem. Lai atšifrētu neskaidros terminus, ir jāatsaucas uz tēmu par diferenciālvienādojumu teorijas pamatdefinīcijām un jēdzieniem.
Apskatīsim otrās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu (LDE) ar nemainīgiem koeficientiem formā y "" + p · y " + q · y = f (x), kur p un q ir patvaļīgi skaitļi, un esošā funkcija f (x) ir nepārtraukts integrācijas intervālā x.
Pāriesim pie LNDE vispārīgā risinājuma teorēmas formulēšanas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vispārējā risinājuma teorēma LDNU
1. teorēmaVispārīgs risinājums, kas atrodas uz intervāla x nehomogēna diferenciālvienādojuma formā y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) ar nepārtrauktas integrācijas koeficientiem x intervālā f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) un nepārtraukta funkcija f (x) ir vienāds ar vispārīgā risinājuma y 0 summu, kas atbilst LOD un kādam konkrētam risinājumam y ~, kur sākotnējais nehomogēns vienādojums ir y = y 0 + y ~.
Tas parāda, ka šāda otrās kārtas vienādojuma atrisinājumam ir forma y = y 0 + y ~ . Algoritms y 0 atrašanai ir apskatīts rakstā par lineāriem homogēniem otrās kārtas diferenciālvienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Pēc tam mums vajadzētu pāriet pie y ~ definīcijas.
Konkrēta LPDE risinājuma izvēle ir atkarīga no pieejamās funkcijas f (x) veida, kas atrodas vienādojuma labajā pusē. Lai to izdarītu, atsevišķi jāapsver lineāru nehomogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumi ar nemainīgiem koeficientiem.
Ja f (x) uzskata par n-tās pakāpes polinomu f (x) = P n (x), no tā izriet, ka konkrēts LPDE risinājums tiek atrasts, izmantojot formulu formā y ~ = Q n (x) ) x γ, kur Q n ( x) ir n pakāpes polinoms, r ir raksturīgā vienādojuma nulles sakņu skaits. Vērtība y ~ ir konkrēts risinājums y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , tad pieejamie koeficienti, kurus nosaka polinoms
Q n (x), mēs atrodam, izmantojot nenoteikto koeficientu metodi no vienādības y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
1. piemērs
Aprēķiniet, izmantojot Košī teorēmu y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Risinājums
Citiem vārdiem sakot, ir jāpāriet uz konkrētu risinājumu lineāram nehomogēnam otrās kārtas diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem y "" - 2 y " = x 2 + 1, kas apmierinās dotos nosacījumus y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Lineārā vispārīgais risinājums viendabīgs vienādojums ir vispārīgā risinājuma summa, kas atbilst vienādojumam y 0 vai konkrētam risinājumam nehomogēns vienādojums y ~ , tas ir, y = y 0 + y ~ .
Vispirms mēs atradīsim vispārīgu risinājumu LNDU un pēc tam konkrētu.
Pāriesim pie y 0 atrašanas. Raksturīgā vienādojuma pierakstīšana palīdzēs atrast saknes. Mēs to saņemam
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Mēs atklājām, ka saknes ir dažādas un īstas. Tāpēc pierakstīsim
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Atradīsim y ~ . Redzams, ka dotā vienādojuma labā puse ir otrās pakāpes polinoms, tad viena no saknēm ir vienāda ar nulli. No tā mēs iegūstam, ka y ~ būs konkrēts risinājums
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kur A, B, C vērtības iegūst nenoteiktus koeficientus.
Atradīsim tos no formas y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 vienādības.
Tad mēs iegūstam to:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Pielīdzinot koeficientus ar vienādiem x eksponentiem, iegūstam lineāro izteiksmju sistēmu - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Risinot ar kādu no metodēm, atradīsim koeficientus un ierakstīsim: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 un y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Šo ierakstu sauc par sākotnējā lineārā nehomogēnā otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējo risinājumu ar nemainīgiem koeficientiem.
Lai atrastu konkrētu risinājumu, kas atbilst nosacījumiem y (0) = 2, y "(0) = 1 4, ir jānosaka vērtības C 1 Un C 2, pamatojoties uz formas y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x vienādību.
Mēs to saņemam:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Mēs strādājam ar iegūto vienādojumu sistēmu formā C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kur C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Piemērojot Košī teorēmu, mums tas ir
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Atbilde: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Ja funkcija f (x) tiek attēlota kā polinoma reizinājums ar pakāpi n un eksponentu f (x) = P n (x) · e a x , tad iegūstam, ka konkrētais otrās kārtas LPDE risinājums būs vienādojums ar formu y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, kur Q n (x) ir n-tās pakāpes polinoms, un r ir raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas vienāds ar α.
Koeficientus, kas pieder pie Q n (x), atrod ar vienādību y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
2. piemērs
Atrodiet vispārīgo risinājumu diferenciālvienādojumam formā y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Risinājums
Vispārējais vienādojums ir y = y 0 + y ~ . Norādītais vienādojums atbilst LOD y "" - 2 y " = 0. No iepriekšējā piemēra var redzēt, ka tā saknes ir vienādas k 1 = 0 un k 2 = 2 un y 0 = C 1 + C 2 e 2 x pēc raksturīgā vienādojuma.
Var redzēt, ka vienādojuma labā puse ir x 2 + 1 · e x . No šejienes LPDE tiek atrasts caur y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kur Q n (x) ir otrās pakāpes polinoms, kur α = 1 un r = 0, jo raksturīgā vienādojums nav sakne ir vienāda ar 1. No šejienes mēs to iegūstam
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C.
A, B, C ir nezināmi koeficienti, kurus var atrast ar vienādību y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Sapratu
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Mēs pielīdzinām rādītājus vienādiem koeficientiem un iegūstam sistēmu lineārie vienādojumi. Šeit mēs atrodam A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Atbilde: ir skaidrs, ka y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ir īpašs LNDDE risinājums, un y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - otrās kārtas nehomogēnas diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums.
Ja funkcija ir uzrakstīta kā f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, un A 1 Un IN 1 ir skaitļi, tad LPDE daļējs risinājums tiek uzskatīts par vienādojumu formā y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kur A un B tiek uzskatīti par nenoteiktiem koeficientiem, un r ir skaitlis kompleksās konjugātas saknes, kas saistītas ar raksturīgo vienādojumu, vienādas ar ± i β . Šajā gadījumā koeficientu meklēšana tiek veikta, izmantojot vienādību y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
3. piemērs
Atrodiet vispārīgo risinājumu diferenciālvienādojumam formā y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Risinājums
Pirms raksturīgā vienādojuma rakstīšanas atrodam y 0. Tad
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Mums ir pāris sarežģītu konjugētu sakņu. Pārveidosim un iegūsim:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Raksturīgā vienādojuma saknes tiek uzskatītas par konjugātu pāri ± 2 i, tad f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Tas parāda, ka y ~ meklēšana tiks veikta no y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Nezināmie Mēs meklēsim koeficientus A un B no formas y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) vienādības.
Pārveidosim:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A grēks (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A grēks (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Tad ir skaidrs, ka
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A grēks (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Nepieciešams pielīdzināt sinusu un kosinusu koeficientus. Mēs iegūstam šādas formas sistēmu:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
No tā izriet, ka y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Atbilde: aplūkots sākotnējā otrās kārtas LDDE vispārējais risinājums ar nemainīgiem koeficientiem
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Ja f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), tad y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Ir zināms, ka r ir sarežģīto konjugēto sakņu pāru skaits, kas saistīti ar raksturīgo vienādojumu, kas vienāds ar α ± i β, kur P n (x), Q k (x), L m (x) un Nm(x) ir n, k, m, m pakāpes polinomi, kur m = m a x (n, k). Koeficientu atrašana Lm(x) Un Nm(x) tiek veidots, pamatojoties uz vienādību y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
4. piemērs
Atrodiet vispārīgo risinājumu y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Risinājums
Saskaņā ar nosacījumu ir skaidrs, ka
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Tad m = m a x (n, k) = 1. Mēs atrodam y 0, vispirms uzrakstot formas raksturīgo vienādojumu:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Mēs atklājām, ka saknes ir īstas un atšķirīgas. Tādējādi y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Tālāk ir jāmeklē vispārējs risinājums, pamatojoties uz formas nehomogēnu vienādojumu y ~
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Ir zināms, ka A, B, C ir koeficienti, r = 0, jo nav konjugētu sakņu pāra, kas būtu saistīts ar raksturīgo vienādojumu ar α ± i β = 3 ± 5 · i. Mēs atrodam šos koeficientus no iegūtās vienādības:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) grēks (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) grēks (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Atvasinājuma un līdzīgu terminu atrašana dod
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) grēks (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Pēc koeficientu pielīdzināšanas iegūstam formu sistēmu
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
No visa izriet, ka
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) grēks (5 x))
Atbilde: Tagad mēs esam ieguvuši vispārīgu dotā lineārā vienādojuma risinājumu:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algoritms LDNU risināšanai
1. definīcijaJebkura cita veida funkcijai f (x) risinājumam ir jāatbilst risinājuma algoritmam:
- atbilstošā lineārā homogēnā vienādojuma vispārīga atrisinājuma atrašana, kur y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kur y 1 Un y 2 ir lineāri neatkarīgi LODE daļējie risinājumi, C 1 Un C 2 tiek uzskatītas par patvaļīgām konstantēm;
- pieņemšana kā LNDE vispārējs risinājums y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- funkcijas atvasinājumu noteikšana, izmantojot sistēmu C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , un funkciju atrašana C 1 (x) un C 2 (x) ar integrācijas palīdzību.
5. piemērs
Atrodiet vispārīgo risinājumu y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Risinājums
Mēs turpinām rakstīt raksturīgo vienādojumu, iepriekš ierakstot y 0, y "" + 36 y = 0. Rakstīsim un risināsim:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = grēks (6 x)
Mums ir tāds, ka dotā vienādojuma vispārīgais risinājums tiks uzrakstīts kā y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Jāpāriet pie atvasināto funkciju definīcijas C 1 (x) Un C2(x) saskaņā ar sistēmu ar vienādojumiem:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x)) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Par to ir jāpieņem lēmums C 1" (x) Un C 2" (x) izmantojot jebkuru metodi. Tad mēs rakstām:
C 1 "(x) = - 4 grēks 2 (6 x) + 2 grēks (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x grēks (6 x) C 2 " (x) = 4 grēks (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Katrs no vienādojumiem ir jāintegrē. Tad mēs rakstām iegūtos vienādojumus:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
No tā izriet, ka vispārīgajam risinājumam būs šāda forma:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Atbilde: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Kur lpp Un q- ir patvaļīgi reāli skaitļi un funkcija f(x)- nepārtraukts integrācijas intervālā X.
Izteiksim teorēmu, kas parāda formu, kādā tas ir jāatrod vispārējais risinājums ir lineārs nehomogēns diferenciālvienādojums.
Teorēma.
Vispārējs risinājums par intervālu X lineārs nehomogēns diferenciālvienādojums: ar nepārtrauktiem integrācijas intervālā X koeficienti un nepārtrauktā funkcija f(x) vienāds ar vispārējā risinājuma summu g 0 atbilstošs lineārs nehomogēns diferenciālvienādojums un jebkurš konkrēts sākotnējā nehomogēnā vienādojuma risinājums, t.i., .
Tātad vispārējais risinājums LNDU 2. kārtas ar nemainīgiem koeficientiem ir atbilstošā lineārā homogēnā 2. kārtas diferenciālvienādojuma ar nemainīgiem koeficientiem vispārīgā atrisinājuma summa un konkrēts risinājums: .
Aprēķins g 0 rakstā ir aprakstīti otrās kārtas lineāri viendabīgi diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem, tagad mēs apsvērsim atrašanas metodi.
Ir daži metodes lineāra nehomogēna 2. kārtas diferenciālvienādojuma konkrēta risinājuma noteikšanai ar nemainīgiem koeficientiem. Šīs metodes ir noteiktas, ņemot vērā funkcijas veidu f(x), kas atrodas vienādojuma labajā pusē. Nosauksim tos, un turpmākajos rakstos mēs apsvērsim risinājumus katram otrās kārtas LDDE ar nemainīgiem koeficientiem:
2. Ja funkcija f(x) tiek attēlots ar pakāpes polinoma reizinājumu n un izstādes dalībnieki 
, kas nozīmē, ka lineāra nehomogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma konkrēts risinājums tiek atrasts kā 
,
Kur Qn(x) ir polinoms n- pakāpe,
r- raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas vienāds ar .
Polinoma koeficienti Qn(x) var noteikt no vienlīdzības .
3. Ja funkcija f(x) izskatās šādi: kur A 1 Un IN 1 izrādās skaitļi, kas nozīmē, ka lineāra nenoteikta diferenciālvienādojuma konkrēts risinājums tiek attēlots kā,
Kur A Un IN ir nenoteikti koeficienti,
r- ir raksturīgā vienādojuma sakņu komplekso konjugēto pāru skaits, kas ir vienādi ar . Polinoma koeficienti A Un IN tiek noteiktas, pamatojoties uz vienlīdzību.
4. Ja , tad ,
Kur r ir raksturīgā vienādojuma sakņu komplekso konjugēto pāru skaits, kas ir vienādi ar ,
Pn(x),Qk(x), Lm(x) Un Nm(x) ir pakāpes polinomi n, k, m Un m attiecīgi, m = max(n, k).
Atrodiet polinomu koeficientus Lm(x) Un Nm(x) jūs varat izmantot vienlīdzību.
5. Visiem citiem funkciju veidiem f(x) Tiek izmantota šāda procedūra:
- Vispirms ir jānosaka vajadzīgā lineārā viendabīgā vienādojuma vispārīgais risinājums kā y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, Kur y 1 Un y 2 ir lineāri neatkarīgi lineāra homogēna diferenciālvienādojuma daļējie risinājumi, un C 1 Un C 2 ir patvaļīgas konstantes;
- Tālāk mēs mainām patvaļīgas konstantes, t.i., kā vispārīgu risinājumu sākotnējam lineārajam nehomogēnā diferenciālvienādojumam mēs pieņemam y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
- un pēdējais solis ir noteikt funkciju atvasinājumus C 1 (x) Un C 2 (x) no vienādojumu sistēmas:
,
un funkcijas C 1 (x) Un C2(x) nosaka pēc turpmākas integrācijas.
Pirmās kārtas lineārais diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
,
kur p un q ir mainīgā x funkcijas.
Lineārs homogēns pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
Lineārs nehomogēns pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
q termiņš (x) sauc par vienādojuma nehomogēnu daļu.
Apsveriet lineāru nehomogēnu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu:
(1)
.
Ir trīs veidi, kā atrisināt šo vienādojumu:
- integrējošā faktora metode;
Lineāra diferenciālvienādojuma atrisināšana, izmantojot integrējošo koeficientu
Apskatīsim metodi pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma risināšanai, izmantojot integrējošais faktors.
Sareizināsim abas puses sākotnējais vienādojums (1)
ar integrācijas faktoru
:
(2)
Tālāk mēs atzīmējam, ka integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrādu:
Saskaņā ar diferenciācijas likumu sarežģīta funkcija:
Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu:
Aizstāt iekšā (2)
:
Integrēsim:
Reiziniet ar. Mēs saņemam vispārīgs risinājums pirmās kārtas lineāram diferenciālvienādojumam:
Pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma risināšanas piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Risinājums
Sadalīsim abas sākotnējā vienādojuma puses ar x:
(i) .
Tad
;
.
Integrēšanas faktors:
Moduļa zīmi var izlaist, jo integrējošo koeficientu var reizināt ar jebkuru konstanti (t.sk. ± 1).
Reizināsim (i) ar x 3
:
.
Mēs izvēlamies atvasinājumu.
;
.
Mēs integrējam, izmantojot integrāļu tabulu:
.
Sadaliet ar x 3
:
.
Atbilde
Atsauces:
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, “Lan”, 2003.
Lineāru nehomogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu (LNDE-2) risināšanas pamati ar nemainīgiem koeficientiem (PC)
Otrās kārtas LDDE ar nemainīgiem koeficientiem $p$ un $q$ ir formā $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kur $f\left(x \right)$ ir nepārtraukta funkcija.
Attiecībā uz LNDU 2 ar datoru šādi divi apgalvojumi ir patiesi.
Pieņemsim, ka kāda funkcija $U$ ir patvaļīgs nehomogēna diferenciālvienādojuma daļējs risinājums. Pieņemsim arī, ka kāda funkcija $Y$ ir atbilstošā lineārā homogēnā diferenciālvienādojuma (HLDE) vispārējais risinājums (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Tad GR no LHDE-2 ir vienāds ar norādīto privāto un vispārīgi risinājumi, tas ir, $y=U+Y$.
Ja otrās kārtas LMDE labā puse ir funkciju summa, tas ir, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, tad vispirms mēs varam atrast atbilstošos PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ katrai no funkcijām $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, un pēc tam ierakstiet CR LNDU-2 formā $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
2. kārtas LPDE risinājums ar datoru
Ir skaidrs, ka dotā LNDU-2 viena vai otra PD $U$ veids ir atkarīgs no tā labās puses $f\left(x\right)$ konkrētās formas. Vienkāršākie PD LNDU-2 meklēšanas gadījumi ir formulēti šādu četru noteikumu veidā.
Noteikums #1.
Labā daļa LNDU-2 ir forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kur $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, tas ir, to sauc par $ pakāpes polinomu n$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kur $Q_(n) \left(x\right)$ ir cits polinoms ar tādu pašu pakāpi kā $P_(n) \left(x\right)$, un $r$ ir atbilstošās LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas ir vienādas ar nulli. Polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ koeficienti tiek atrasti ar nenoteikto koeficientu metodi (UK).
Noteikums Nr.2.
LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kur $P_(n) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $n$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kur $Q_(n) ) \ left(x\right)$ ir vēl viens tādas pašas pakāpes polinoms kā $P_(n) \left(x\right)$, un $r$ ir atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits. vienāds ar $\alpha $. Polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ koeficienti tiek atrasti ar NC metodi.
Noteikums Nr.3.
LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \pa labi) $, kur ir $a$, $b$ un $\beta$ zināmie skaitļi. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kur $A$ un $B$ ir nezināmi koeficienti, un $r$ ir atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas vienāds ar $i\cdot \beta $. Koeficientus $A$ un $B$ nosaka, izmantojot nesagraujošo metodi.
Noteikums Nr.4.
LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kur $P_(n) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $ n$, un $P_(m) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $m$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kur $Q_(s) \left(x\right)$ un $ R_(s) \left(x\right)$ ir $s$ pakāpes polinomi, skaitlis $s$ ir maksimālais no diviem skaitļiem $n$ un $m$, un $r$ ir sakņu skaits. atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma, kas vienāds ar $\alpha +i\cdot \beta $. Ar NC metodi tiek atrasti polinomu $Q_(s) \left(x\right)$ un $R_(s) \left(x\right)$ koeficienti.
NK metode sastāv no šāda noteikuma piemērošanas. Lai atrastu nezināmos polinoma koeficientus, kas ir daļa no nehomogēnā diferenciālvienādojuma LNDU-2 daļējā atrisinājuma, nepieciešams:
- aizstāt PD $U$, kas rakstīts vispārējs skats, V kreisā puse LNDU-2;
- LNDU-2 kreisajā pusē veic vienkāršojumus un grupēšanas terminus ar vienādām pilnvarām $x$;
- iegūtajā identitātē vienādojiet terminu koeficientus ar vienādām kreisās un labās puses pakāpēm $x$;
- atrisināt iegūto lineāro vienādojumu sistēmu nezināmiem koeficientiem.
1. piemērs
Uzdevums: atrast VAI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Atrast arī PD , izpildot sākotnējos nosacījumus $y=6$ pie $x=0$ un $y"=1$ pie $x=0$.
Mēs pierakstām atbilstošo LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Raksturīgais vienādojums: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Raksturīgā vienādojuma saknes ir: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Šīs saknes ir derīgas un atšķirīgas. Tādējādi atbilstošās LODE-2 VAI ir šāda forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Šī LNDU-2 labajā pusē ir forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Jāņem vērā eksponenta $\alpha =3$ koeficients. Šis koeficients nesakrīt ne ar vienu no raksturīgā vienādojuma saknēm. Tāpēc šī LNDU-2 PD ir formā $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Koeficientus $A$, $B$ meklēsim, izmantojot NC metodi.
Mēs atrodam pirmo Čehijas Republikas atvasinājumu:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Mēs atrodam otro Čehijas Republikas atvasinājumu:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Mēs aizstājam funkcijas $U""$, $U"$ un $U$ $y""$, $y"$ un $y$ vietā dotajā NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Turklāt, tā kā eksponents $e^(3\cdot x)$ ir iekļauts kā faktors visos komponentos, tad to var izlaist. Mēs iegūstam:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Mēs veicam darbības iegūtās vienlīdzības kreisajā pusē:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Mēs izmantojam NDT metodi. Mēs iegūstam lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Šīs sistēmas risinājums ir: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ mūsu problēmai izskatās šādi: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Mūsu problēmas VAI $y=Y+U$ izskatās šādi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kreisi(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Lai meklētu PD, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem, mēs atrodam OP atvasinājumu $y"$:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Mēs aizstājam ar $y$ un $y"$ sākotnējos nosacījumus $y=6$ priekš $x=0$ un $y"=1$ ar $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Mēs saņēmām vienādojumu sistēmu:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Atrisināsim. Mēs atrodam $C_(1) $, izmantojot Krāmera formulu, un $C_(2) $ mēs nosakām no pirmā vienādojuma:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(masīvs)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(masīvs)\right|)(\left|\ sākums(masīvs)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(masīvs)\labais|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4 = 3.$
Tādējādi šī diferenciālvienādojuma PD ir šāda forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
