Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts, lai atrastu netriviālu un fundamentālu SLAE risinājumu. Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā (skatiet risinājuma piemēru).
Instrukcijas. Izvēlieties matricas dimensiju:
Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu īpašības
Lai sistēmai būtu netriviāli risinājumi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tās matricas rangs būtu mazāks par nezināmo skaitu.Teorēma. Sistēmai gadījumā m=n ir netriviāls risinājums tad un tikai tad, ja šīs sistēmas determinants ir vienāds ar nulli.
Teorēma. Jebkura sistēmas risinājumu lineāra kombinācija ir arī šīs sistēmas risinājums.
Definīcija. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas risinājumu kopu sauc pamata risinājumu sistēma, ja šī kopa sastāv no lineāri neatkarīgiem risinājumiem un jebkurš sistēmas risinājums ir šo risinājumu lineāra kombinācija.
Teorēma. Ja sistēmas matricas rangs r ir mazāks par nezināmo skaitu n, tad pastāv fundamentāla risinājumu sistēma, kas sastāv no (n-r) risinājumiem.
Algoritms lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu risināšanai
- Matricas ranga atrašana.
- Mēs izvēlamies pamata minoru. Mēs izšķiram atkarīgos (pamata) un brīvos nezināmos.
- Izsvītrojam tos sistēmas vienādojumus, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, jo tie ir pārējo (saskaņā ar teorēmu uz pamata minora) sekas.
- Mēs pārnesam brīvos nezināmos vienādojumu nosacījumus uz labā puse. Rezultātā mēs iegūstam r vienādojumu sistēmu ar r nezināmajiem, kas ir ekvivalenti dotajam, kuras determinants nav nulle.
- Mēs atrisinām iegūto sistēmu, novēršot nezināmos. Mēs atrodam attiecības, kas izsaka atkarīgos mainīgos, izmantojot brīvos.
- Ja matricas rangs nav vienāds ar mainīgo skaitu, tad mēs atrodam sistēmas fundamentālo risinājumu.
- Gadījumā, ja rangs = n, mums ir triviāls risinājums.
Piemērs. Atrodi vektoru sistēmas bāzi (a 1, a 2,...,a m), sarindo un izsaka vektorus, pamatojoties uz bāzi. Ja 1 =(0,0,1,-1) un 2 =(1,1,2,0) un 3 =(1,1,1,1) un 4 =(3,2,1 ,4) un 5 =(2,1,0,3).
Pierakstīsim sistēmas galveno matricu:
Reiziniet 3. rindiņu ar (-3). Pievienosim 4. rindiņu trešajai:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Reiziniet 4. rindiņu ar (-2). Reizināsim 5. rindu ar (3). Pievienosim 5. rindiņu ceturtajai:
Pievienosim 2. rindiņu pirmajai:
Atradīsim matricas rangu.
Sistēma ar šīs matricas koeficientiem ir līdzvērtīga oriģinālajai sistēmai, un tai ir šāda forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Izmantojot nezināmo novēršanas metodi, mēs atrodam netriviālu risinājumu:
Mēs ieguvām attiecības, kas izsaka atkarīgos mainīgos x 1 , x 2 , x 3 caur brīvajiem x 4 , tas ir, mēs atradām kopīgs lēmums:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Gausa metodei ir vairāki trūkumi: nav iespējams zināt, vai sistēma ir konsekventa vai nē, kamēr nav veiktas visas Gausa metodē nepieciešamās transformācijas; Gausa metode nav piemērota sistēmām ar burtu koeficientiem.
Apskatīsim citas metodes lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai. Šīs metodes izmanto matricas ranga jēdzienu un reducē jebkuras konsekventas sistēmas risinājumu uz tādas sistēmas risinājumu, uz kuru attiecas Krāmera noteikums.
1. piemērs. Atrodiet vispārīgu risinājumu nākamā sistēma lineāri vienādojumi, izmantojot fundamentālu risinājumu sistēmu reducētai viendabīgai sistēmai un konkrētu risinājumu nehomogēnā sistēmai.
1. Matricas veidošana A un paplašinātās sistēmas matrica (1)
2. Izpētiet sistēmu (1) kopībai. Lai to izdarītu, mēs atrodam matricu rindas A un https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ja izrādās, ka , tad sistēma (1) nesaderīgi. Ja mēs to saņemsim , tad šī sistēma ir konsekventa, un mēs to atrisināsim. (Saderības pētījums ir balstīts uz Kronecker-Capelli teorēmu).
a. Mēs atradām rA.
Atrast rA, mēs secīgi izskatīsim matricas pirmās, otrās utt. kārtas nepilngadīgos, kas nav nulles A un viņus apņemošajiem nepilngadīgajiem.
M1=1≠0 (ņemam 1 no matricas augšējā kreisā stūra A).
Mēs robežojas M1šīs matricas otrā rinda un otrā kolonna. 
. Turpinām robežu M1 otrā rindiņa un trešā kolonna..gif" width="37" height="20 src=">. Tagad mēs norobežojam mazo, kas nav nulle M2′ otrais pasūtījums.
Mums ir: 
(jo pirmās divas kolonnas ir vienādas)
(jo otrā un trešā rinda ir proporcionālas).
Mēs to redzam rA=2, a ir matricas pamatsvars A.
b. Mēs atradām.
Diezgan pamata nepilngadīgais M2′ matricas A apmale ar brīvu terminu kolonnu un visām rindām (mums ir tikai pēdējā rinda).
. No tā izriet, ka M3′′ paliek matricas pamata minors https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Jo M2′- matricas pamatsvars A sistēmas (2) , tad šī sistēma ir līdzvērtīga sistēmai (3) , kas sastāv no pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem (2) (priekš M2′ atrodas pirmajās divās matricas A rindās).
(3)
Kopš pamata nepilngadīgā https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Šajā sistēmā ir divi brīvi nezināmie ( x2 Un x4 ). Tāpēc FSR sistēmas (4) sastāv no diviem risinājumiem. Lai tos atrastu, mēs piešķiram bezmaksas nezināmos (4) vērtības vispirms x2=1 , x4=0 , un tad - x2=0 , x4=1 .
Plkst x2=1 , x4=0 mēs iegūstam:
.
Šai sistēmai jau ir vienīgā lieta risinājums (to var atrast, izmantojot Krāmera likumu vai jebkuru citu metodi). Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, mēs iegūstam:
Viņas risinājums būs x1= -1 , x3=0 . Ņemot vērā vērtības x2 Un x4 , ko pievienojām, iegūstam pirmo sistēmas fundamentālo risinājumu (2) : .
Tagad mēs ticam (4) x2=0 , x4=1 . Mēs iegūstam:
.
Mēs atrisinām šo sistēmu, izmantojot Krāmera teorēmu:
.
Iegūstam otro sistēmas fundamentālo risinājumu (2) : .
Risinājumi β1 , β2 un uztaisām FSR sistēmas (2) . Tad tā vispārējais risinājums būs
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Šeit C1 , C2 – patvaļīgas konstantes.
4. Atradīsim vienu Privāts risinājums neviendabīga sistēma(1) . Kā rindkopā 3 , sistēmas vietā (1) Apskatīsim līdzvērtīgu sistēmu (5) , kas sastāv no pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem (1) .
(5)
Pārcelsim brīvos nezināmos uz labajām pusēm x2 Un x4.
(6)
Dosim bezmaksas nezināmos x2 Un x4 patvaļīgas vērtības, piemēram, x2=2 , x4=1 un ielieciet tos (6) . Iegūsim sistēmu
Šai sistēmai ir unikāls risinājums (kopš tā noteicošais M2′0). Atrisinot to (izmantojot Krāmera teorēmu vai Gausa metodi), mēs iegūstam x1=3 , x3=3 . Ņemot vērā brīvo nezināmo vērtības x2 Un x4 , saņemam īpašs nehomogēnas sistēmas risinājums(1)α1=(3,2,3,1).
5. Tagad atliek tikai to pierakstīt nehomogēnas sistēmas vispārējs risinājums α(1) : tā ir vienāda ar summu privāts risinājumsšī sistēma un tās reducētās viendabīgās sistēmas vispārējs risinājums (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Tas nozīmē: 
(7)
6. Pārbaude. Lai pārbaudītu, vai esat pareizi atrisinājis sistēmu (1) , mums ir nepieciešams vispārējs risinājums (7) aizstājējs iekšā (1) . Ja katrs vienādojums pārvēršas par identitāti ( C1 Un C2 jāiznīcina), tad risinājums tiek atrasts pareizi.
Mēs aizstāsim (7) piemēram, tikai sistēmas pēdējais vienādojums (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Mēs iegūstam: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Kur –1=–1. Mums ir identitāte. Mēs to darām ar visiem pārējiem sistēmas vienādojumiem (1) .
komentēt. Pārbaude parasti ir diezgan apgrūtinoša. Var ieteikt šādu “daļēju pārbaudi”: sistēmas vispārējā risinājumā (1) piešķiriet dažas vērtības patvaļīgām konstantēm un aizstājiet iegūto daļējo risinājumu tikai izmestajos vienādojumos (t.i., vienādojumos no (1) , kas nebija iekļauti (5) ). Ja jūs iegūstat identitātes, tad visdrīzāk, sistēmas risinājums (1) atrasts pareizi (bet šāda pārbaude nesniedz pilnīgu pareizības garantiju!). Piemēram, ja iekšā (7) ielieciet C2=- 1 , C1=1, tad iegūstam: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Aizvietojot sistēmas (1) pēdējo vienādojumu, mums ir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.i. –1=–1. Mums ir identitāte.
2. piemērs. Atrodiet vispārīgu risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai (1) , izsakot pamata nezināmos vārdus par brīvajiem.
Risinājums. Kā piemērs 1, sastādīt matricas A un https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> no šīm matricām. Tagad mēs atstājam tikai tos sistēmas vienādojumus (1) , kuru koeficienti ir iekļauti šajā pamata minorā (t.i., mums ir pirmie divi vienādojumi) un apsveriet no tiem sastāvošu sistēmu, kas ir ekvivalenta sistēmai (1).
Pārnesim brīvos nezināmos uz šo vienādojumu labajām pusēm.
sistēma (9) Risinām pēc Gausa metodes, labās puses uzskatot par brīvajiem terminiem.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
2. iespēja.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
4. iespēja.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
5. iespēja.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
6. iespēja.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Homogēna lineāru vienādojumu sistēma virs lauka
DEFINĪCIJA. Vienādojumu sistēmas (1) atrisinājumu pamatsistēma ir netukša, lineāri neatkarīga tās atrisinājumu sistēma, kuras lineārais diapazons sakrīt ar visu sistēmas (1) atrisinājumu kopu.
Ņemiet vērā, ka viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai, kurai ir tikai nulles risinājums, nav pamata risinājumu sistēmas.
PRIEKŠLIKUMS 3.11. Jebkuras divas pamata risinājumu sistēmas homogēnai lineāro vienādojumu sistēmai sastāv no vienāda atrisinājumu skaita.
Pierādījums. Faktiski jebkuras divas homogēnās vienādojumu sistēmas (1) risinājumu pamatsistēmas ir līdzvērtīgas un lineāri neatkarīgas. Tāpēc saskaņā ar 1.12.priekšlikumu viņu rindas ir vienādas. Līdz ar to vienā pamatsistēmā iekļauto risinājumu skaits ir vienāds ar jebkurā citā fundamentālo risinājumu sistēmā iekļauto risinājumu skaitu.
Ja homogēnās vienādojumu sistēmas (1) galvenā matrica A ir nulle, tad jebkurš vektors no ir sistēmas (1) risinājums; šajā gadījumā jebkura kolekcija ir lineāra neatkarīgi vektori ir fundamentāla risinājumu sistēma. Ja matricas A kolonnas rangs ir vienāds ar , tad sistēmai (1) ir tikai viens risinājums - nulle; tādēļ šajā gadījumā (1) vienādojumu sistēmai nav fundamentālas atrisinājumu sistēmas.
TEORĒMA 3.12. Ja viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas (1) galvenās matricas rangs ir mazāks par mainīgo skaitu , tad sistēmai (1) ir fundamentāla atrisinājumu sistēma, kas sastāv no risinājumiem.
Pierādījums. Ja homogēnās sistēmas (1) galvenās matricas A rangs ir vienāds ar nulli vai , tad augstāk tika parādīts, ka teorēma ir patiesa. Tāpēc tālāk tiek pieņemts, ka, pieņemot , mēs pieņemsim, ka matricas A pirmās kolonnas ir lineāri neatkarīgas. Šajā gadījumā matrica A ir rindai ekvivalenta samazinātajai pakāpeniskajai matricai, un sistēma (1) ir ekvivalenta šādai samazinātai pakāpeniskajai vienādojumu sistēmai:
Ir viegli pārbaudīt, vai jebkura brīvo vērtību sistēma sistēmas mainīgie(2) atbilst vienam un tikai vienam risinājumam sistēmai (2) un līdz ar to sistēmai (1). Konkrēti, tikai sistēmas (2) un sistēmas (1) nulles risinājums atbilst nulles vērtību sistēmai.
Sistēmā (2) mēs piešķirsim vienu no brīvajiem mainīgo vērtību, vienāds ar 1, un pārējiem mainīgajiem ir nulle vērtības. Rezultātā mēs iegūstam vienādojumu sistēmas (2) atrisinājumus, kurus ierakstām šādas matricas C rindu formā:
Šīs matricas rindu sistēma ir lineāri neatkarīga. Patiešām, jebkuriem skalāriem no vienlīdzības
seko vienlīdzība
un līdz ar to vienlīdzība
Pierādīsim, ka matricas C rindu sistēmas lineārais laidums sakrīt ar visu sistēmas (1) atrisinājumu kopu.
Sistēmas (1) patvaļīgs risinājums. Tad vektors
ir arī risinājums sistēmai (1), un
Ļaujiet M 0 – viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas (4) atrisinājumu kopa.
Definīcija 6.12. Vektori Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p, kas ir viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumi sauc pamata risinājumu kopums(saīsināti FNR), ja
1) vektori Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p lineāri neatkarīgi (t.i., nevienu no tiem nevar izteikt ar citiem);
2) jebkuru citu atrisinājumu viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai var izteikt ar atrisinājumiem Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p.
Ņemiet vērā, ka, ja Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p– jebkura f.n.r., tad izteiksme k 1× Ar 1 + k 2× Ar 2 + … + k p× ar p jūs varat aprakstīt visu komplektu M 0 risinājumi sistēmai (4), tāpēc to sauc vispārējs sistēmas risinājuma skatījums (4).
Teorēma 6.6. Jebkurai nenoteiktai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir fundamentāls risinājumu kopums.
Veids, kā atrast pamata risinājumu kopu, ir šāds:
Atrast vispārīgu risinājumu homogēnai lineāro vienādojumu sistēmai;
Būvēt ( n – r) šīs sistēmas daļējie risinājumi, savukārt brīvo nezināmo vērtībām jāveido identitātes matrica;
Izrakstīt vispārējā forma iekļauti risinājumi M 0 .
Piemērs 6.5. Atrodiet pamata risinājumu kopumu šādai sistēmai:
Risinājums. Atradīsim vispārēju risinājumu šai sistēmai.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Šajā sistēmā ir pieci nezināmie ( n= 5), no kuriem ir divi galvenie nezināmie ( r= 2), ir trīs brīvi nezināmie ( n – r), tas ir, pamata risinājumu kopa satur trīs atrisinājuma vektorus. Veidosim tos. Mums ir x 1 un x 3 – galvenie nezināmie, x 2 , x 4 , x 5 – brīvie nezināmie
Brīvo nezināmo vērtības x 2 , x 4 , x 5 veido identitātes matricu E trešais pasūtījums. Saņēmu šos vektorus Ar 1 ,Ar 2 , Ar 3 veidlapa f.n.r. no šīs sistēmas. Tad šīs viendabīgās sistēmas risinājumu kopums būs M 0 = {k 1× Ar 1 + k 2× Ar 2 + k 3× Ar 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Tagad noskaidrosim homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas nulles atrisinājumu pastāvēšanas nosacījumus, citiem vārdiem sakot, fundamentālas risinājumu kopas pastāvēšanas nosacījumus.
Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tas ir, nav skaidrs, vai
1) sistēmas galvenās matricas rangs ir mazāks par nezināmo skaitu;
2) viendabīgā lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu;
3) ja viendabīgā lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un galvenās matricas determinants ir vienāds ar nulli (t.i. | A| = 0).
Piemērs 6.6. Pie kādas parametra vērtības a viendabīga lineāro vienādojumu sistēma 
ir risinājumi, kas atšķiras no nulles?
Risinājums. Sastādām šīs sistēmas galveno matricu un atradīsim tās determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Šīs matricas determinants ir vienāds ar nulli pie a = –4.
Atbilde: –4.
7. Aritmētika n-dimensiju vektoru telpa
Pamatjēdzieni
Iepriekšējās sadaļās mēs jau esam saskārušies ar jēdzienu reālo skaitļu kopa, kas sakārtota noteiktā secībā. Šī ir rindu matrica (vai kolonnu matrica) un risinājums lineāro vienādojumu sistēmai ar n nezināms. Šo informāciju var apkopot.
Definīcija 7.1. n-dimensiju aritmētiskais vektors sauc par pasūtītu komplektu n reāli skaitļi.
Līdzekļi A= (a 1 , a 2 , …, a n), kur iО R, i = 1, 2, …, n– vektora vispārīgs skats. Numurs n sauca dimensiju vektori un skaitļi a i tiek saukti par viņa koordinātas.
Piemēram: A= (1, –8, 7, 4, ) – piecdimensiju vektors.
Viss kārtībā n-dimensiju vektorus parasti apzīmē kā Rn.
Definīcija 7.2. Divi vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) Un b= (b 1 , b 2 , …, b n) vienādas dimensijas vienāds tad un tikai tad, ja to atbilstošās koordinātas ir vienādas, t.i., a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definīcija 7.3.Summa divi n-dimensiju vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) Un b= (b 1 , b 2 , …, b n) sauc par vektoru a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Definīcija 7.4. Darbs reāls skaitlis k uz vektoru A= (a 1 , a 2 , …, a n) sauc par vektoru k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)
Definīcija 7.5. Vektors O= (0, 0, …, 0) tiek izsaukts nulle(vai nulles vektors).
Ir viegli pārbaudīt, vai vektoru pievienošanas un reizināšanas ar reālu skaitli darbībām (operācijām) ir šādas īpašības: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1 × a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definīcija 7.6.ķekars Rn ar vektoru saskaitīšanas un reizināšanas ar uz tā doto reālo skaitli tiek izsauktas operācijas aritmētiskā n-dimensiju vektoru telpa.
