ACS analīzes galvenais mērķis ir atrisināt (ja iespējams) vai izpētīt sistēmas diferenciālvienādojumu kopumā. Parasti ir zināmi atsevišķo saišu vienādojumi, kas veido ACS, un rodas starpuzdevums iegūt sistēmas diferenciālvienādojumu no zināmajiem tās saišu DE. Klasiskajā DE pārstāvības formā šis uzdevums ir pilns ar ievērojamām grūtībām. Pārsūtīšanas funkcijas jēdziena izmantošana to ievērojami vienkāršo.

Ļaujiet kādu sistēmu aprakstīt ar formas diferenciālvienādojumu.

Ieviešot apzīmējumu = p, kur p tiek saukts par diferenciācijas operatoru vai simbolu, un tagad apstrādājot šo simbolu kā parastu algebriskais skaitlis, pēc x izņemšanas un x izņemšanas no iekavām, mēs iegūstam diferenciālvienādojumsšīs sistēmas operatora formā:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)

Polinoms p izvades vērtībā ir

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

tiek saukts par īpašoperatoru, un polinomu pie ievades vērtības sauc par ietekmes operatoru

K(p) = b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3,40)

Pārsūtīšanas funkcija ir ietekmes operatora attiecība pret savs operators:

W(p) = K(p)/D(p) = x ārā / x iekšā. (3,41)

Tālāk mēs gandrīz visur izmantosim diferenciālvienādojumu rakstīšanas operatora formu.

Saišu savienojumu veidi un pārneses funkciju algebra.

Lai iegūtu automātiskās vadības sistēmas pārsūtīšanas funkciju, ir jāzina noteikumi, kā atrast saišu grupu pārsūtīšanas funkcijas, kurās saites ir noteiktā veidā savienotas viena ar otru. Ir trīs veidu savienojumi.

1. Secīgs, kurā iepriekšējās saites izvade ir ieeja nākamajai (3.12. att.):

x ārā

Rīsi. 3.14. Back-to-back – paralēlais savienojums.

Atkarībā no tā, vai atgriezeniskās saites signāls x tiek pievienots ieejas signālam xin vai atņemts no tā, izšķir pozitīvo un negatīvo atgriezenisko saiti.

Tomēr, pamatojoties uz pārsūtīšanas funkcijas īpašību, mēs varam rakstīt

W 1 (p) =x ārā / (x in ±x); W 2 (p) = x/x ārā; W c =x out / x in. (3,44)

Izslēdzot iekšējo koordinātu x no pirmajiem diviem vienādojumiem, mēs iegūstam šāda savienojuma pārsūtīšanas funkciju:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3,45)

Jāpatur prātā, ka pēdējā izteiksmē atbilst plus zīme negatīvs atsauksmes.

Gadījumā, ja saitei ir vairākas ievades (piemēram, vadības objekts), tiek ņemtas vērā vairākas šīs saites pārsūtīšanas funkcijas, kas atbilst katrai ievadei, piemēram, ja saites vienādojumam ir forma

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

kur K x (p) un K z (p) ir operatori, kas ietekmē attiecīgi ieejas x un z, tad šai saitei ir pārsūtīšanas funkcijas uz ieejām x un z:

W x (p) = K x (p)/D (p); W z (p) = K z (p)/D (p). (3,47)

Turpmāk, lai samazinātu ierakstus pārsūtīšanas funkciju un atbilstošo operatoru izteiksmēs, argumentu “p” izlaidīsim.

No kopīgas izteiksmes (3.46) un (3.47) izskatīšanas izriet, ka

y = W x x+W z , (3,48)

tas ir, iekšā vispārējs gadījums jebkuras saites ar vairākām ieejām izejas vērtība ir vienāda ar ievades vērtību un atbilstošo ieeju pārsūtīšanas funkciju reizinājumu summu.

Pārraides funkcija SAR par sašutumu.

Parastā ACS struktūras forma, kas darbojas ar kontrolētā mainīgā novirzi, ir šāda:

W o z =K z /D objekts W o x =K x /D

W p y

z

y

-x

3.15.att. Slēgts ATS.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka regulējošā ietekme tiek piemērota objektam ar mainītu zīmi. Savienojumu starp objekta izvadi un tā ievadi caur regulatoru sauc par galveno atsauksmes(pretēji iespējamai papildu atgriezeniskajai saitei pašā regulatorā). Atbilstoši regulējuma pašai filozofiskajai jēgai regulatora darbība ir vērsta uz novirzes samazināšana kontrolēts mainīgais, un tāpēc galvenās atsauksmes vienmēr ir negatīvas. Attēlā 3.15:

W o z - objekta pārnešanas funkcija ar traucējumiem;

W o x - objekta pārneses funkcija atbilstoši regulējošajai ietekmei;

W p y - regulatora pārsūtīšanas funkcija atbilstoši novirzei y.

Iekārtas un regulatora diferenciālvienādojumi izskatās šādi:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3,49)

Aizvietojot x no otrā vienādojuma pirmajā un veicot grupēšanu, mēs iegūstam ATS vienādojumu:

(1+W o x W p y)y = W o z z. (3,50)

Līdz ar to ACS pārsūtīšanas funkcija traucējumiem

W c z = y/z = W o z /(1+W o x W p y) . (3,51)

Līdzīgā veidā jūs varat iegūt ACS pārsūtīšanas funkciju vadības darbībai:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3,52)

kur W p u ir kontroliera pārsūtīšanas funkcija atbilstoši vadības darbībai.

3.4. ACS piespiedu svārstības un frekvences raksturlielumi.

Reālos darbības apstākļos ACS bieži tiek pakļauts periodiskiem traucējošiem spēkiem, ko pavada periodiskas kontrolētu daudzumu izmaiņas un regulējoša ietekme. Tās ir, piemēram, kuģa vibrācijas, braucot nelīdzenā jūrā, dzenskrūves griešanās ātruma svārstības un citi lielumi. Dažos gadījumos sistēmas izvades daudzumu svārstību amplitūdas var sasniegt nepieņemami lielas vērtības, un tas atbilst rezonanses fenomenam. Rezonanses sekas bieži vien ir postošas ​​sistēmai, kas to piedzīvo, piemēram, kuģa apgāšanās, dzinēja iznīcināšana. Vadības sistēmās šādas parādības ir iespējamas, kad elementu īpašības mainās nodiluma, nomaiņas, pārkonfigurācijas vai kļūmju dēļ. Pēc tam ir jānosaka droši darbības apstākļu diapazoni vai pareizi jākonfigurē ACS. Šie jautājumi tiks aplūkoti šeit, jo tie attiecas uz lineārajām sistēmām.

Ļaujiet kādai sistēmai izveidot šādu struktūru:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

3.16.att. ACS piespiedu svārstību režīmā.

Ja sistēma ir pakļauta periodiskai ietekmei x ar amplitūdu A x un apļveida frekvenci w, tad pēc pārejas procesa beigām tādas pašas frekvences svārstības ar amplitūdu A y un nobīdītas attiecībā pret ieejas svārstībām par fāzes leņķi j jāizveido pie izejas. Izejas svārstību parametri (amplitūda un fāzes nobīde) ir atkarīgi no virzošā spēka frekvences. Uzdevums ir noteikt izejas svārstību parametrus no zināmajiem svārstību parametriem ieejā.

Saskaņā ar ACS pārsūtīšanas funkciju, kas parādīta 3.14. attēlā, tās diferenciālvienādojumam ir forma

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)

Aizvietosim ar (3.53) x un y izteiksmes, kas parādītas attēlā. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)

Ja ņemam vērā, ka svārstību modelis ir nobīdīts par ceturtdaļu perioda, tad vienādojumā (3.54) sinusa funkcijas tiks aizstātas ar kosinusa funkcijām:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)

Reizināsim vienādojumu (3.54) ar i = un saskaitīsim rezultātu ar (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)

Izmantojot Eilera formulu

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Reducēsim vienādojumu (3.56) līdz formai

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)

Veiksim diferenciācijas operāciju attiecībā pret laiku, ko nodrošina operators p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3,58)

Pēc vienkāršām transformācijām, kas saistītas ar samazināšanu ar exp(iwt), iegūstam

Labā daļa izteiksme (3.59) ir līdzīga ACS pārsūtīšanas funkcijas izteiksmei, un to var iegūt, aizstājot p=iw. Pēc analoģijas to sauc par komplekso pārneses funkciju W(iw) vai amplitūdas fāzes raksturlielumu (APC). Bieži tiek lietots arī termins frekvences reakcija. Ir skaidrs, ka šī daļa ir sarežģīta argumenta funkcija un to var attēlot arī šādā formā:

W(iw) = M(w) + iN(w), (3,60)

kur M(w) un N(w) ir attiecīgi reāli un iedomāti frekvences raksturlielumi.

Attiecība A y / A x ir AFC modulis un ir frekvences funkcija:

A y/A x = R (w)

un to sauc par amplitūdas-frekvences reakciju (AFC). Fāze

nobīde j =j (w) ir arī frekvences funkcija, un to sauc par fāzes frekvences reakciju (PFC). Aprēķinot R(w) un j(w) frekvenču diapazonam (0…¥), ir iespējams izveidot AFC grafiku kompleksajā plaknē koordinātās M(w) un iN(w) (3.17. att.).

ω

R(ω)

ω cp

ω rez

3.18.att. Amplitūdas-frekvences raksturlielumi.

1. sistēmas frekvences reakcija parāda rezonanses maksimumu, kas atbilst lielākajai piespiedu svārstību amplitūdai. Darbs zonā, kas atrodas rezonanses frekvences tuvumā, var būt postošs un bieži vien ir pilnīgi nepieņemams saskaņā ar konkrēta regulējamā objekta ekspluatācijas noteikumiem. Frekvences reakcijas tipam 2 nav rezonanses maksimuma, un tas ir vairāk ieteicams mehāniskām sistēmām. Tāpat var redzēt, ka, palielinoties frekvencei, izejas svārstību amplitūda samazinās. Fiziski tas ir viegli izskaidrojams: jebkura sistēma, pateicoties tai piemītošajām inerciālajām īpašībām, ir vieglāk pakļauta zemu, nevis augstu frekvenču svārstībām. Sākot ar noteiktu frekvenci, izejas svārstības kļūst nenozīmīgas, un šo frekvenci sauc par nogriešanas frekvenci, un frekvenču diapazonu, kas ir zem robežfrekvences, sauc par joslas platumu. Teorētiski automātiska regulēšana Par robežfrekvenci uzskata tādu, kurā frekvences reakcijas vērtība ir 10 reizes mazāka nekā pie nulles frekvences. Sistēmas īpašību slāpēt augstfrekvences vibrācijas sauc par zemas caurlaidības filtra īpašību.

Apskatīsim frekvenču reakcijas aprēķināšanas metodi, izmantojot otrās kārtas saites piemēru, kura diferenciālvienādojums

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3,62)

Piespiedu svārstību problēmās bieži tiek izmantota vizuālāka vienādojuma forma

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

kur sauc par dabisku svārstību frekvenci, ja nav slāpēšanas, x =T 1 w 0 /2 ir slāpēšanas koeficients.

Pārsūtīšanas funkcija izskatās šādi:

Aizstājot p = iw, iegūstam amplitūdas-fāzes raksturlielumu

Izmantojot komplekso skaitļu dalīšanas noteikumu, mēs iegūstam frekvenču reakcijas izteiksmi:

Ļaujiet mums noteikt rezonanses frekvenci, pie kuras frekvences reakcija ir maksimālā. Tas atbilst izteiksmes minimālajam saucējam (3.66). Pielīdzinot saucēja atvasinājumu attiecībā pret frekvenci w ar nulli, mēs iegūstam:

2(w 0 2 - w 2) (-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

no kurienes mēs iegūstam rezonanses frekvences vērtību, kas nav vienāda ar nulli:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3,68)

Analizēsim šo izteiksmi, kurai mēs uzskatām atsevišķus gadījumus, kas atbilst dažādām vājinājuma koeficienta vērtībām.

1. x = 0. Rezonanses frekvence ir vienāda ar dabisko frekvenci, un frekvences reakcijas lielums pagriežas līdz bezgalībai. Šis ir tā saucamās matemātiskās rezonanses gadījums.

2. . Tā kā frekvence tiek izteikta kā pozitīvs skaitlis un no (68) šajā gadījumā tiek iegūta nulle vai iedomāts skaitlis, tad pie šādām vājinājuma koeficienta vērtībām frekvences reakcijai nav rezonanses maksimuma (līkne 2 3.18. attēlā).

3. . Frekvences reakcijai ir rezonanses maksimums, un, samazinoties vājinājuma koeficientam, rezonanses frekvence tuvojas savai un rezonanses maksimums kļūst augstāks un asāks.

Tipiskas saites lineārās sistēmas var noteikt dažādos līdzvērtīgos veidos, jo īpaši izmantojot tā saukto pārneses funkciju, kurai parasti ir daļēja-racionāla forma, t.i. kas ir divu polinomu attiecība:

kur b i un a j ir polinomu koeficienti. Šis ir tā sauktais pārsūtīšanas funkcijas vai saites parametri.

Pārsūtīšanas funkcija savieno saites izejas signāla y(t) attēlu Y(p) ar tā ieejas signāla x(t) attēlu X(p):

Y(p)=W(p)X(p) (1,2)

tie. ļauj atrast izeju y(t) no jebkura zināma ieejas signāla x(t). Tas nozīmē, ka no TAU viedokļa pārsūtīšanas funkcija pilnībā raksturo vadības sistēmu vai tās saiti. To pašu var teikt attiecībā uz pārneses funkcijas skaitītāja un saucēja polinomu koeficientu kopu.

Saites pārsūtīšanas funkcijaW(lpp) ir izvades daudzuma Laplasa transformācijas attiecība pret ievades daudzuma Laplasa transformāciju

2. Īsa informācija par pozicionālajām saitēm

Pozicionālās saites ietver šādas tipiskās dinamiskās saites:

Bezinerces saite,

Pirmā pasūtījuma periodiska saite,

Otrās kārtas periodiskā saite,

Svārstību saite

Konservatīvā saite.

Pozicionālo saišu laika raksturlielumi ir apkopoti tabulā. 1. Šeit norādītas arī saišu pārsūtīšanas funkcijas.

A).Bezinerces saite.

Šo saikni apraksta ne tikai statikā, bet arī dinamikā ar algebrisko vienādojumu

X ārā = k x ievade (2.1)

Saites pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar nemainīgu vērtību

W(p) = x ārā (p)/x ievade (p) = k (2.2)

Šādas saites piemērs ir: mehāniskā pārnesumkārba (neņemot vērā vērpšanas un pretdarbības fenomenu), bezinerces (platjoslas) elektroniskais pastiprinātājs, sprieguma dalītājs utt. Par bezinerces saitēm var uzskatīt arī daudzus signālu sensorus, piemēram, potenciometriskos sensorus, indukcijas sensorus, rotējošus transformatorus un sinhronizatorus, fotoelementus utt.

Kopumā saite bez inerces ir zināma reālu saišu idealizācija. Faktiski visām saitēm ir raksturīga zināma inerce, tāpēc neviena saite nespēj vienmērīgi nodot visas frekvences no 0 līdz . Parasti viena no tālāk aplūkotajām reālajām saitēm, piemēram, aperiodiskā vai oscilējošā, tiek reducēta uz šāda veida saiti, ja var neņemt vērā dinamisko procesu ietekmi šajā saitē (t.i., laika konstantes).

b)1. kārtas periodiskā saite

Šo saikni apraksta diferenciālvienādojums

, (2.3)

Kur T- laika konstante, s,

k- saites pārraides koeficients.

Saites pārsūtīšanas funkcijai ir forma

(2.4)

Aperiodiskā saite ir vienkāršākā no tām saitēm, kurām ir inerce. Patiešām, šī saikne nereaģē uz pakāpenisku ietekmi nekavējoties, sākumā ātri, bet pēc tam arvien vairāk un vairāk pakāpeniski. Tas notiek tāpēc, ka aperiodiskās saites fiziskajā oriģinālā ir viens akumulējošs elements (kā arī viens vai vairāki enerģiju patērējoši elementi), kurā uzkrātā enerģija nevar krasi mainīties laikā - tas prasītu bezgalīgu jaudu.

Pirmās kārtas periodisko saišu piemēri ir: jebkura veida motors (elektrisks, hidraulisks, pneimatisks), līdzstrāvas ģenerators, elektrisks R.C.- Un LR- ķēdes, magnētiskais pastiprinātājs, gāzes tvertne, apkures krāsns. Darba procesus šajās vienībās apraksta vispārīgais vienādojums (2.3).

V)2. kārtas periodiskā saite

Saites diferenciālvienādojumam ir šāda forma:

(2.5)

Šajā gadījumā raksturīgā vienādojuma saknes

lpp 2 + T 1  lpp+1=0 (2.6)

jābūt reālam, kas tiks izpildīts saskaņā ar nosacījumu

T 1  2  T 2 (2.7)

Pieņemsim, ka ACS notiekošie procesi tiek aprakstīti ar lineāriem diferenciālvienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Tādējādi mēs aprobežosimies ar lineāro ACS ar nemainīgiem parametriem apsvēršanu, t.i. parametri, kas nav atkarīgi ne no laika, ne no sistēmas stāvokļa.

Ļaujiet dinamiskai sistēmai (skatīt attēlu)

diferenciālvienādojums ir uzrakstīts operatora formā

kur D(P) un M(P) ir P polinomi.

P – diferenciācijas operators;

x(t) – sistēmas izejas koordināte;

g(t) – ievades ietekme.

Pārveidosim (1) pēc Laplasa, pieņemot nulles sākuma nosacījumus.

Iepazīstinām ar apzīmējumu

;
,

mēs saņemam, ņemot vērā to

Mēs izmantojam apzīmējumu

, (5)

tad vienādojumam (3) būs šāda forma:

. (6)

Vienādojums (6) savieno sistēmas izejas koordinātas attēlu X (S) ar ievades darbības attēlu G(S). Funkcija Ф(S) raksturo sistēmas dinamiskās īpašības. Kā izriet no (4) un (5), šī funkcija nav atkarīga no sistēmai pielietotās ietekmes, bet ir atkarīga tikai no sistēmas parametriem. Ņemot vērā (6) funkciju F(S) var uzrakstīt šādi

Funkcija Ф(S) sauc par sistēmas pārsūtīšanas funkciju. No (7) ir skaidrs, ka pārneses funkcija ir sistēmas ievades koordinātas Laplasa attēla attiecība pret ievades darbības Laplasa attēlu nulles sākuma apstākļos.

Zinot sistēmas pārsūtīšanas funkciju Ф(S) Nosakot sistēmai pielietotās ietekmes g(t) attēlu G(S), pēc (6) var atrast sistēmas x (t) izvades koordinātas attēlu X(S), tad, pārejot no attēls X(S) uz sākotnējo x(t) iegūst sistēmas izejas koordinātas maiņas procesu, kad šai sistēmai tiek piemērota ievades ietekme.

Polinomu pārneses funkcijas saucējā sauc par raksturīgo polinomu un vienādojumu

raksturīgais vienādojums.

Sistēmai, kas aprakstīta ar n-tās kārtas vienādojumu, raksturīgais vienādojums ir n-tās pakāpes algebriskais vienādojums, un tam ir n saknes, S 1 S 2... S n, starp kurām var būt gan reāls, gan komplekss konjugāts.

Polinoma sakni pārneses funkcijas saucējā sauc par šīs pārsūtīšanas funkcijas poliem, bet skaitītājā - par nullēm.

Attēlosim polinomus šādā formā:

Tāpēc pārsūtīšanas funkcija

. (11)

No tā izriet, ka, norādot nulles un polus, tiek noteikta pārsūtīšanas funkcija līdz nemainīgam koeficientam .

Gadījumā, ja pārneses funkcijas visu polu reālās daļas ir negatīvas, t.i.

, k=1,2…n, sistēmu sauc par stabilu. Tajā izvades daudzuma pārejas komponents (pareiza kustība) laika gaitā izzūd.

Sistēmas frekvences raksturlielumi

Harmoniskā ieejas signāla pārveidošana ar lineāru sistēmu

Automātiskās sistēmas pārsūtīšanas funkcija attiecībā uz vadības darbību g(t) ir

(1)

Ļaujiet ietekmei

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Un ir nepieciešams noteikt X(t) izmaiņas vienmērīgā procesā, t.i. Atrodiet konkrētu risinājumu vienādojumam (1), kas tika apspriests iepriekš.

Ņemiet vērā, ka ietekmes pielietošanas rezultātā sistēmā notiek pārejošs process, kas laika gaitā tiecas uz 0, jo sistēma tiek pieņemta kā stabila. Mēs to neapsveram. Šāda pāreja ļauj uzskatīt darbību g(t) kā norādīts uz visas laika ass (vadības darbības sākuma moments sistēmai netiek ņemts vērā) un izmantot iepriekš iegūto izteiksmi sinusoīda spektrālajam raksturlielumam. .

Lai noteiktu x(t) līdzsvara stāvoklī, mēs pārveidojam abas diferenciālvienādojuma (1) puses saskaņā ar Furjē. Ar to mēs to domājam

;

,

ievērojiet, tas

pārsūtīšanas funkcija, kurā S

Turklāt

Tad no (3) formā nosaka kontrolētā lieluma piespiedu svārstību spektrālo raksturlielumu

(4) funkcionālais reizinātājs Ф(jω)ņem vērā spektrālā raksturlieluma izmaiņas, kad ietekme g(t) iet caur lineāri dinamisku sistēmu.

Iedomāsimies sarežģīta funkcija Ф(jω) demonstratīvā formā

un atrodiet x(t), izmantojot apgriezto Furjē transformācijas formulu:

izmantojot delta funkcijas filtrēšanas īpašības un ņemot vērā (5), mums būs

Jo
,,

(6)

No tā izriet, ka līdzsvara stāvoklī lineāras automātiskās sistēmas reakcija x(t) uz sinusoidālām ietekmēm arī ir sinusoidāla. Ieejas un izejas signālu leņķiskās frekvences ir vienādas. Amplitūda pie sistēmas izejas ir A 1 │ Ф(jω)│, un sākuma fāze ir arg Ф(jω).

Ja lineāras sistēmas ievade saņem periodisku ietekmi formā

,

tad, izmantojot superpozīcijas principu, kas ir spēkā lineārai sistēmai, mēs atklājam, ka šajā gadījumā sistēmas piespiedu vienmērīga kustība

(7)

Turklāt ω vērtībai šeit jādod diskrētas vērtības, t.i. pieņemsim, ka ω=kω 1

Zinot ieejas signāla frekvences spektrus, jūs varat viegli noteikt signāla frekvences spektrus sistēmas ieejā. Ja, piemēram, ir zināms ieejas signāla g(t) amplitūdas frekvences spektrs A k, tad izejas signāla amplitūdas frekvences spektrs ir A k │ Ф(jkω 1 ) │.

Apskatāmajās izteiksmēs funkcija Ф(jω) raksturo pašas automātiskās sistēmas dinamiskās īpašības un nav atkarīga no sistēmai pielietoto ietekmju rakstura. To var viegli iegūt no pārsūtīšanas funkcijas, formāli aizstājot S ar jω

Funkcija Ф(jω) no nepārtrauktā argumenta ω sauc par AFC sistēmas amplitūdas fāzes raksturlielumu attiecībā pret sistēmai pielietoto vadības darbību g(t).

Pamatojoties uz (3), AFC var definēt arī kā signāla spektrālo īpašību attiecību tā ieejā. AF modulis  Ф(j )  raksturo harmoniskā signāla amplitūdas izmaiņas, kad tas iet cauri sistēmai, un tā arguments ir signāla fāzes nobīde.

Funkcija  Ф(j ) saņēma nosaukumu amplitūdas-frekvences reakcija (AFC) un funkcija arg Ф(j ) – fāzes frekvences reakcija (PFC).

Lai automātiskajai sistēmai pielietotā ietekme g(t) ir sarežģīta harmonika ar frekvenci  1, t.i.

Sistēmas reakciju uz šādu ietekmi līdzsvara stāvoklī nosaka vienlīdzība

Vai arī izmantojot Eilera formulu

un arī tas

;

Mēs atradīsim integrāli vienādības labajā pusē, izmantojot delta funkcijas filtrēšanas īpašības.

nosaka kompleksā formā sistēmas līdzsvara stāvokļa reakciju uz ietekmi kompleksas harmonikas formā ar frekvenci 1.

AFC var izmantot ne tikai, lai analizētu līdzsvara stāvokļa svārstības automātiskās sistēmas izejā, bet arī lai noteiktu vadības procesu kopumā. Pēdējā gadījumā par nulles laika momentu ir ērti uzskatīt vadības sistēmai pielietošanas laika momentu t 0 un izmantot vienpusējās Furjē transformācijas formulas. Pēc spektrālā raksturlieluma noteikšanas
un kontrolētā mainīgā spektrālā raksturlieluma atrašana, izmantojot formulu

Kontrolējamā mainīgā x(t) izmaiņas pēc ietekmes g(t) piemērošanas tiek atrastas, izmantojot apgrieztās Furjē transformācijas formulu.

1. Pārraides funkcijas un frekvences raksturlielumi. Analogo sakaru iekārtu iekārtas

1. Pārraides funkcijas un frekvences raksturlielumi

Sakaru tehnoloģijā tiek saukta jebkuras sarežģītības elektriskā ķēde, kurai ir divi spaiļu pāri savienošanai ar elektriskās enerģijas avotu un uztvērēju. četrstūris. Tiek izsaukti termināļi, kuriem ir pievienots avots ievade, un spailes, kurām ir pievienots uztvērējs (slodze), ir izejas spailes (stabi).

IN vispārējs skats Kvadripols ir attēlots, kā parādīts attēlā. 1.1. Avots ir pievienots 1–1 collu kvadrupola ieejai elektriskā enerģija ar sarežģītu efektīvo sprieguma vērtību un iekšējo pretestību. Izejas spailēm 2–2 tiek pieslēgta slodze ar pretestību". Uz ieejas spailēm tiek pielikts spriegums ar kompleksu efektīvo vērtību, bet uz izejas spailēm - kompleksa efektīvā vērtība. Caur plūst strāva ar kompleksu efektīvo vērtību. ieejas spailes, un sarežģīta efektīvā vērtība plūst caur izejas spailēm. Ņemiet vērā, ka citi četru terminālu tīkli var darboties kā elektriskās enerģijas avots un uztvērējs.

Attēlā 1.1 izmanto simboliskus spriegumu un strāvu apzīmējumus. Tas nozīmē, ka elektriskās ķēdes analīze tiek veikta noteiktas frekvences harmoniskai vibrācijai. Noteiktai harmoniskai svārstībai var noteikt noslogota četru portu tīkla pārsūtīšanas funkcija, kas būs izejas elektriskā daudzuma kompleksās efektīvās vērtības attiecība pret ieejas elektriskā daudzuma komplekso efektīvo vērtību.

Ja ieejas ietekmi uzskata par ģeneratora spriegumu ar sarežģītu efektīvo vērtību un divu termināļu tīkla reakcija uz šo ietekmi ir spriegums ar kompleksu efektīvo vērtību vai strāva ar kompleksu efektīvo vērtību , tad mēs iegūstam vispārējas formas sarežģītas pārsūtīšanas funkcijas:

, (1.1)

. (1.2)

Atsevišķos gadījumos, kad norādītās ietekmes ir spriegums kvadripola ieejas spailēs vai strāva, kas plūst caur šiem spailēm, tiek iegūti šādi četri pārvades funkciju veidi:

– kompleksais sprieguma pārneses koeficients (aktīviem divu terminālu tīkliem, piemēram, pastiprinātājiem, to sauc par sprieguma pastiprinājumu);

– kompleksais strāvas pārneses koeficients (aktīvajām shēmām – strāvas pastiprinājums);

– sarežģītas pārneses pretestība;

– kompleksā pārneses vadītspēja.

Bieži izmanto ķēdes teorijā normalizēta vai darba pārsūtīšanas funkcijačetrstūris:

, (1.3)

ko iegūst, normalizējot (1.1) ar koeficientu .

Tāpat kā jebkurš sarežģīts daudzums N var attēlot demonstratīvā formā:

, (1.4)

kur ir kompleksās pārsūtīšanas funkcijas modulis, un j ir tās arguments.

Apsveriet sarežģīto sprieguma pārneses funkciju

Komplekso efektīvo vērtību apzīmējumu aizstāšana ar (1.5).

.

Salīdzinot šo izteiksmi ar (1.4), ir skaidrs, ka

,

i., kompleksās sprieguma pārvades funkcijas (jeb kompleksā sprieguma pastiprinājuma) modulis parāda, cik reižu harmoniskā sprieguma svārstību efektīvā vērtība (amplitūda) ķēdes izejā mainās, salīdzinot ar to pašu vērtību ķēdes ieejā, un šīs funkcijas arguments nosaka fāzes nobīdi starp harmoniskām sprieguma svārstībām ieejā un izejā.

Tādā pašā veidā jūs varat atrast:

.

Viss iepriekš teiktais par sprieguma pārneses koeficientu attiecas arī uz strāvas pārvades koeficientu.

Ja mainām harmonisko svārstību frekvenci, tad izteiksme (1.4) jāraksta šādā formā:

. (1.6)

Frekvences funkciju sauc ķēdes amplitūdas-frekvences raksturlielums(AFC). Tas parāda, kādas izmaiņas ķēde veic harmonisko svārstību amplitūdās katrā frekvencē.

Frekvences funkciju sauc ķēdes fāzes-frekvences raksturlielums(FCHH). Attiecīgi šis raksturlielums parāda, kādu fāzes nobīdi iegūst katras frekvences harmoniskās svārstības, izplatoties ķēdē.

Sarežģīto pārsūtīšanas funkciju var attēlot arī algebriskā formā:

kur Re un Im apzīmē kompleksā lieluma reālās un iedomātās daļas.

No sarežģīto lielumu teorijas ir zināms, ka

Piemērs 1.1

Nosakiet attēlā parādītās ķēdes sprieguma pārraides koeficientu, frekvences reakciju un fāzes reakciju. 1,2, A.

Saskaņā ar (1.5) mēs rakstām

Atradīsim sarežģīto funkciju ķēdes izejā:

Aizvietojot formulu ar , mēs iegūstam sarežģītu pārsūtīšanas funkciju:

;

Mainot frekvenci w no 0 uz Ґ, varam attēlot shēmas frekvences reakcijas un fāzes reakcijas grafikus (1.2. att., b Un V).

Ķēdes frekvences raksturlīkni un fāzes reakciju var attēlot ar vienu grafiku, ja kompleksajā plaknē attēlo kompleksās pārneses funkcijas atkarību no frekvences w. Šajā gadījumā vektora beigas aprakstīs noteiktu līkni, ko sauc hodogrāfs kompleksā pārneses funkcija (1.3. att.).

Eksperti bieži izmanto šo jēdzienu logaritmiskais amplitūdas-frekvences raksturlielums(LAH):

.

Vērtības UZ mēra decibelos (dB). Aktīvās ķēdēs, kas satur pastiprinātājus, vērtība UZ ko sauc arī par logaritmiskais pieaugums. Pasīvām shēmām pastiprinājuma koeficienta vietā tiek ieviests jēdziens ķēdes vājināšana:

, (1.7)

ko arī mēra decibelos.

Piemērs 1.2

Ir zināms, ka ķēdes sprieguma pārraides koeficienta modulim ir šādas vērtības:

f= 0 kHz N(f) = 1

f= 1 kHz N(f) = 0,3

f= 2 kHz N(f) = 0,01

f= 4 kHz N(f) = 0,001

f= 8 kHz N(f) = 0,0001

Uzzīmējiet shēmas vājināšanās grafiku.

Ķēdes vājināšanas vērtības, kas aprēķinātas saskaņā ar (1.7) ir norādītas tabulā:

f, kHz
A(f), dB

Grafiks A(f) ir parādīts attēlā. 1.4.

Ja sarežģīto kapacitātes un induktivitātes pretestību vietā mēs aplūkojam operatora kapacitātes un induktivitātes pretestības pL, tad izteiksmē tas jāaizstāj ar R.

Ķēdes operatora pārsūtīšanas funkciju var uzrakstīt vispārīgā formā kā daļēju-racionālu funkciju ar reāliem koeficientiem:

vai formā

Kur – nulles; – pārneses funkcijas stabi; .

Operatora nomaiņa (1.8.) R ieslēgts jw, mēs atkal iegūstam ķēdes sarežģīto pārsūtīšanas funkciju

,

kur ir ķēdes frekvences reakcija

Ņemot vērā, kas ir iracionāla funkcija, parasti, analizējot un sintezējot ķēdes, mēs strādājam ar frekvences reakcijas kvadrātu:

kur koeficientus iegūst, kombinējot koeficientus ar vienādām mainīgā w pakāpēm.

Piemērs 1.3

Atrodiet attēlā redzamās ķēdes sprieguma pārneses koeficientu un frekvences reakcijas kvadrātu. 1,5, A.

Šīs ķēdes sprieguma pārneses koeficients ir vienāds ar

Kur N = 1, , .

Šīs racionālās daļas skaitītāja saknes, t.i., pārsūtīšanas funkcijas nulles,

.

saucēja saknes vai pārneses funkcijas stabi,

.

Attēlā 1,5, b parāda funkcijas nulles un polu atrašanās vietu pie .

Pēc Vietas teorēmas

.

Amplitūdas-frekvences reakciju nosaka no, aizstājot R uz un iegūtās funkcijas moduļa aprēķināšana

.

Frekvences reakcijas kvadrāts tiks ierakstīts formā

Kur ; ;

.

Ķēdes frekvences reakcija ir parādīta attēlā. 1,5, V.

Uzskaitīsim galvenās operatora pārsūtīšanas funkciju īpašības un pasīvo ķēžu frekvences reakcijas kvadrātā:

1. Pārneses funkcija ir daļēja-racionāla funkcija ar reāliem koeficientiem. Koeficientu būtiskums ir izskaidrojams ar to, ka tos nosaka ķēdes elementi.

2. Pārneses funkcijas stabi atrodas kompleksā mainīgā kreisajā pusplaknē R. Nulles atrašanās vietai nav ierobežojumu. Pierādīsim šo īpašību, kā piemēru izmantojot pārsūtīšanas funkciju. Ļaujiet mums izvēlēties ievades darbību vai operatora formā. Izejas sprieguma attēls šajā gadījumā ir skaitliski vienāds, t.i.

kur ir pārsūtīšanas funkcijas skaitītāja polinoms; – daļskaitļu-racionālas funkcijas izplešanās koeficienti vienkāršu daļskaitļu summā.

Pārejam no attēla uz oriģinālu:

kur vispārējā gadījumā .

Pasīvos un stabilos aktīvajos kvadripolos svārstībām pie kvadripola izejas pēc ietekmes izbeigšanās vajadzētu būt slāpētām. Tas nozīmē, ka punktā (1.13) polu reālajām daļām jābūt negatīvām, t.i., poliem jāatrodas mainīgā kreisajā pusplaknē R.

3. Pārneses funkcijas skaitītāju polinomu pakāpes un frekvences raksturlīknes kvadrāts nepārsniedz saucēju polinomu pakāpes, t.i. n F m. Ja šī īpašība netiktu izpildīta, tad bezgalīgi augstās frekvencēs frekvences reakcija būtu bezgalīgi liela nozīme(tā kā skaitītājs augtu ar pieaugošo frekvenci ātrāk nekā saucējs), t.i., ķēdei būtu bezgalīgs pieaugums, kas ir pretrunā ar fizisko nozīmi.

4. Frekvences reakcija kvadrātā ir mainīgā w vienmērīga racionāla funkcija ar reāliem koeficientiem. Šī īpašība skaidri izriet no metodes, kā iegūt kvadrātveida frekvences reakciju no pārsūtīšanas funkcijas.

5. Frekvences reakcija kvadrātā nevar iegūt negatīvas un bezgala lielas vērtības, ja w > 0. Nenegatīvisms izriet no kompleksa lieluma kvadrātā moduļa īpašībām. Frekvences reakcijas vērtību galīgums reālajās frekvencēs ir izskaidrots tāpat kā 3. īpašībā.

Lielākajai daļai atkarīgo avota ķēžu ir vismaz divi signāla ceļi: uz priekšu (no ieejas uz izeju) un atpakaļgaitā (no izejas uz ieeju). Reversā signāla ceļš tiek realizēts, izmantojot īpašu ķēdi atsauksmes(OS). Var būt vairāki šādi ceļi un līdz ar to arī OS shēmas. OS klātbūtne shēmās ar atkarīgiem avotiem piešķir tām jaunas vērtīgas īpašības, kuru shēmām bez OS nepiemīt. Piemēram, ar OS shēmu palīdzību ir iespējams panākt ķēdes darbības režīma temperatūras stabilizāciju, samazināt nelineāros kropļojumus, kas rodas ķēdēs ar nelineāriem elementiem utt.

Jebkuru atgriezenisko saiti var attēlot kā sastāvošu no diviem četru terminālu tīkliem (1.6. att.).

Aktīvs lineārs divu portu tīkls ar sprieguma pārvades funkciju ir pastiprinātājs. To dažreiz sauc par ķēdes galveno elementu un tiek uzskatīts, ka tas veido tiešo pastiprināšanas kanālu.

Pasīvo četru terminālu tīklu ar sprieguma pārvades funkciju sauc par atgriezeniskās saites ķēdi. Ķēdes ieejā tiek summēts ieejas spriegums un atgriezeniskās saites spriegums.

Atvasināsim pārsūtīšanas funkcijas formulu ķēdes spriegumam, kas parādīts attēlā. 1.6. Ļaujiet ieejai pievienot spriegumu. Viņa kameras attēls. Ķēdes izejā parādās spriegums. Saskaņā ar att. 1.6 viņa kameras attēls

Operatora attēlu var ierakstīt, izmantojot atgriezeniskās saites ķēdes pārsūtīšanas funkciju

Tad izteiksmi (1.14) var pārrakstīt kā

Operatora pārsūtīšanas funkcija ķēdes spriegumam ar OS (skat. 1.6. att.).

. (1.16)

Piemērs 1.4

Attēlā 1.7. attēlā parādīta operacionālā pastiprinātāja (OPA) ķēde, kas paredzēta sprieguma mērogošanai. Atrodiet šīs ķēdes pārsūtīšanas funkciju.

Iegūsim šīs ķēdes pārsūtīšanas funkciju kā atgriezeniskās saites ķēdi, izmantojot formulu (1.16).

Atgriezeniskās saites ķēde diagrammā attēlā. 1.7 kalpo kā L-veida sprieguma dalītājs, kas sastāv no rezistoriem un. Pastiprinātāja izejas spriegums tiek piegādāts OS ķēdes ieejai; OS spriegums tiek noņemts no rezistora. Pārsūtīšanas funkcija OS ķēdes spriegumam

Izmantosim formulu (1.16) un ņemsim vērā, ka ieejas spriegums un atgriezeniskās saites spriegums netiek summēti, bet gan atņemti. Tad mēs iegūstam skalas pastiprinātāja pārsūtīšanas funkciju:

.

Ņemot vērā, ka reālos darbības pastiprinātājos vērtība >> 1, mums beidzot ir:

Piemērs 1.5

Saite uz op-amp ar frekvences atkarīgu atgriezenisko saiti ir parādīta attēlā. 1.8. Atrodiet šīs saites pārsūtīšanas funkciju.

Lai analizētu tiešo signāla ceļu un OS signāla ceļu, ir jāizmanto superpozīcijas metode. Lai to izdarītu, pārmaiņus jānovērš ieejas sprieguma un atgriezeniskās saites sprieguma avoti, aizstājot tos ar iekšējo pretestību. Ideālu sprieguma avotu gadījumā to iekšējā pretestība ir nulle. Saitei pievadīto spriegumu vājina ievades ķēde, kas ir L-veida sprieguma dalītājs ar pretestībām plecos. Šāda dalītāja sprieguma pārvades funkcija ir vienāda ar

Atgriezeniskās saites ķēde ir arī L-veida četru portu tīkls ar pārsūtīšanas funkciju.

Op-amp pastiprinājums.

Saskaņā ar formulu (1.16) mēs iegūstam saites pārsūtīšanas funkciju:

Ņemot vērā, ka >> 1, mēs iegūstam:

.

Šī saite var veikt dažādas funkcijas atkarībā no pretestības veida un. Pie un saite pārvēršas par invertējošā mēroga pastiprinātāju; pie un – pie integratora; pie un – diferencētājā.

Piemērs 1.6

Otrās kārtas saite ar regulējamu pastiprinājumu ir parādīta attēlā. 1,9, A. Atrodiet šīs saites pārsūtīšanas funkciju.

Ievades signāla un signāla pārejas analīze OS ķēdē parāda, ka saitei ir ieejas ķēde, kas parādīta attēlā. 1,9, b un OS ķēde, kas parādīta attēlā. 1,9, V. Šo ķēžu pārsūtīšanas funkcijas var iegūt matricas metode, piemēram, uzskatot katru ķēdi par atbilstošo L formas četrpolu kaskādes savienojumu.

Ievades ķēdei

OS shēmai

. (1.18)

Ņemot vērā (1.16), iegūstam saites pārsūtīšanas funkciju

. (1.19)

Pastiprinātāja pastiprinājums. Pēc tam, aizstājot (1.17) un (1.18) ar (1.19), pēc transformācijas mums ir

.

Pāreja uz (1.16) no operatora R operatoram mēs iegūstam komplekso pārsūtīšanas funkciju

. (1.20)

Produkts ir pastiprinātāja un atgriezeniskās saites ķēdes kompleksā pārsūtīšanas funkcija, ja atgriezeniskā saite ir pārtraukta (1.10. att.). Funkciju sauc par OS cilpas pārsūtīšanas funkciju vai cilpas pieaugums. Iepazīstinām ar pozitīvas un negatīvas atsauksmes jēdzieniem. Šiem jēdzieniem ir nozīmīga loma atgriezeniskās saites ķēžu teorijā.

Vispirms pieņemsim, ka pārsūtīšanas funkcijas , , nav atkarīgas no frekvences un ir reāli skaitļi. Šī situācija ir iespējama, ja nav L.C.- elementi. Tas var būt gan pozitīvs, gan negatīvs skaitlis. Pirmajā gadījumā fāzes nobīde starp ieejas un izejas spriegumiem vai, citiem vārdiem sakot, fāzes nobīde gar atgriezeniskās saites cilpu ir nulle vai . k= 0, 1, 2, ... Otrajā gadījumā, kad , fāzes nobīde pa šo cilpu ir vienāda ar vai .

Ja ķēdē ar atgriezenisko saiti fāzes nobīde gar cilpu ir nulle, tad tiek izsaukta atgriezeniskā saite pozitīvs, ja fāzes nobīde ir vienāda ar , tad šādu atgriezenisko saiti sauc negatīvs.

Pārsūtīšanas funkciju var attēlot kā vektorus un parādīt kompleksajā plaknē. Ar pozitīvu atgriezenisko saiti vektors atrodas uz pozitīvās reālās pusass, bet ar negatīvām atsauksmēm uz negatīvās reālās pusass.

Līkni, kuru vektora beigas apraksta, mainoties frekvencei w (1.11. att.), kā zināms, sauc par hodogrāfu.

Attēlojums hodogrāfa formā ļauj noteikt atgriezeniskās saites veidu no frekvences atkarīgas atgriezeniskās saites gadījumā.

Iepazīstinām ar stabilu un nestabilu ķēžu jēdzieniem. Ķēdi sauc ilgtspējīga, ja brīvajām svārstībām laika gaitā ir tendence uz nulli. Citādi ķēde tiek saukta nestabils. No pārejošo procesu teorijas izriet, ka ķēde ir stabila, ja raksturīgā vienādojuma saknes atrodas kompleksā mainīgā p kreisajā pusplaknē. Ja šāda vienādojuma saknes atrodas labajā pusplaknē, tad ķēde ir nestabila, tas ir, tā atrodas pašiermes režīmā. Tādējādi, lai noteiktu ķēdes stabilitātes nosacījumus, pietiek atrast raksturīgo vienādojumu un tā saknes. Kā redzam, stabilitātes nosacījumus var noteikt, neieviešot atgriezeniskās saites jēdzienu. Tomēr šeit rodas vairākas problēmas. Fakts ir tāds, ka raksturīgā vienādojuma atvasināšana un tā sakņu noteikšana ir apgrūtinoša procedūra, īpaši shēmām augsta kārtība. Atgriezeniskās saites jēdziena ieviešana atvieglo raksturīgā vienādojuma iegūšanu vai pat ļauj iztikt bez tā. Ir arī ārkārtīgi svarīgi, lai atgriezeniskās saites jēdziens būtu adekvāts ķēdē notiekošajiem fiziskajiem procesiem, lai tie kļūtu skaidrāki. Dziļa fizisko procesu izpratne veicina pašoscilatoru, pastiprinātāju u.c. izveidi.

Apskatīsim ķēdi (skat. 1.6. att.) un atvasināsim tai raksturīgo vienādojumu. Ļaujiet un tāpēc . Tad no (1.15.) izriet:

. (1.22)

Ja galvenās ķēdes pārsūtīšanas funkciju ierakstām formā , un OS shēmas ir , tad vienādojums (1.22) tiks pārrakstīts šādi:

Šī vienlīdzība ir spēkā, kad

Izteiksme šīs vienādības kreisajā pusē ir polinoms, tāpēc (1.23) var uzrakstīt vispārīgā formā:

Šis ir ķēdes raksturīgais vienādojums.

Vienādojuma (1.24) saknes vispārējā gadījumā ir sarežģīti lielumi

Kur . Zinot raksturīgā vienādojuma saknes, mēs varam uzrakstīt izejas spriegumu:

Lai spriedze nepalielinātos neierobežoti, visas saknes Raksturīgajam vienādojumam jābūt ar negatīvām reālajām daļām, tas ir, saknēm jāatrodas kompleksā mainīgā kreisajā pusplaknē. Ķēdi ar operētājsistēmu, kurai ir šādas īpašības, sauc par absolūti stabilu.

Pētot slēgtā cikla ķēdes, var rasties divas problēmas. Ja projektētajai shēmai jābūt stabilai, tad ir nepieciešams kritērijs, kas pēc funkciju veida ļautu spriest par raksturlieluma vienādojuma sakņu neesamību labajā pusplaknē R. Ja atgriezeniskā saite tiek izmantota, lai izveidotu nestabilu pašoscilējošu ķēdi, tad jums jāpārliecinās, ka vienādojuma (1.24) saknes atrodas, gluži pretēji, labajā pusplaknē. Šajā gadījumā ir nepieciešams tāds sakņu izkārtojums, kurā pašaizraušanās notiktu vajadzīgajā frekvencē.

Apskatīsim ķēdes stabilitātes kritēriju, ko sauc par Nyquist kritēriju, kas ļauj spriest par ķēdes stabilitāti ar atgriezenisko saiti, pamatojoties uz atvērtas ķēdes īpašībām (1.10. att.).

Atvērtās ķēdes pārsūtīšanas funkcija jeb cilpas pastiprinājums ir iekļauta raksturīgā vienādojumā (1.22):

, (1.26)

Ja ir frekvence w, kurai vektora beigas iekrīt punktā ar koordinātām (1, j 0), tad tas nozīmēs, ka nosacījums (1.26) ir izpildīts, t.i., ķēdē ar šo frekvenci notiks pašiedrošanās. Tas nozīmē, ka ar hodogrāfu var noteikt, vai ķēde ir stabila vai nē. Šim nolūkam tiek izmantots Nyquist kritērijs, kas formulēts šādi: ja atvērtās ķēdes pārneses funkcijas hodogrāfs nenosedz punktu ar koordinātām(1, j 0), tad ar slēgtu atgriezeniskās saites ķēdi ķēde ir stabila. Gadījumā, ja hodogrāfs pārklāj punktu (1, j X 1 var uzrakstīt divu nosacījumu formā: stacionārajā režīmā. UZ= 2, līkne 1) un nestabila ( UZ= 3, līkne 2; UZ= 4, ķēdes līkne 3).

Pašpārbaudes jautājumi un uzdevumi

1. Kas ir sarežģīta pārsūtīšanas funkcija? Kādi ir zināmi četrpolu tīkla sarežģīto pārsūtīšanas funkciju veidi?

2. Nosakiet attēlā redzamās ķēdes sprieguma pārvades koeficientu, frekvences reakciju un fāzes reakciju. 1,2, A, ja izejas spriegums ir spriegums pāri rezistoram R. Izveidojiet frekvences reakcijas un fāzes reakcijas grafikus.

Atbilde: ; ; 90° – arctan w R.C..

3. Noteikt sprieguma pārneses koeficientu tukšgaitā un strāvas pārvades koeficientu īssavienojuma laikā U veida četru portu tīklam, kurā induktivitāte ir iekļauta garenzarā. L, un šķērseniskajos zaros - ietilpība AR. Atbilde: .

4. Noteikt vājinājumu, ko ievada ķēde Fig. 1,2, A, plkst R= 31,8 kOhm un = 10 kOhm.

Atbilde: 12 dB.

5. Kas ir operatora pārsūtīšanas funkcija? Kā tas ir saistīts ar sarežģīto pārsūtīšanas funkciju? Kā noteikt operatora pārsūtīšanas funkcijas nulles un polus?

6. Noteikt att. att. parādītās virknes svārstību ķēdes operatora pārsūtīšanas funkciju, komplekso sprieguma pārneses koeficientu, frekvences raksturlīkni un frekvences reakcijas kvadrātu. 1,5, A, ja izejas spriegums ir spriegums pāri kondensatoram AR. Uzzīmējiet shēmas frekvences reakcijas grafiku.

Atbilde: ; .

7. Uzskaitiet pasīvo ķēžu operatoru pārsūtīšanas funkciju galvenās īpašības.

8. Kā tiek aprēķināta slēgta cikla ķēdes pārneses funkcija?

9. Pierādīt, ka operacionālā pastiprinātāja diferenciatora operatora pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar (– pRC). Izveidojiet šāda diferenciatora frekvences reakcijas grafiku.

11. Nosakiet attēlā redzamā filtra pārneses funkciju. 1.13.

Atbilde: .

12. Kas ir cilpas pastiprinājuma hodogrāfs? Kā noteikt atgriezeniskās saites veidu, izmantojot hodogrāfu?

13. Kā tiek formulēts Nyquist stabilitātes kritērijs? Kādām shēmām to izmanto?

14. Nosakiet att. att. att. att. atv. sh. komplekso prneses funkciju. 1.13. Izpētiet ķēdes stabilitātes atkarību no pastiprinājuma vērtības UZ.

LINEĀRĀS SISTĒMAS

AUTOMĀTISKĀ VADĪBA

Izdevniecība Omskas Valsts tehniskā universitāte

Izglītības un zinātnes ministrija Krievijas Federācija

Valsts izglītības iestāde

augstāks profesionālā izglītība

"Omskas Valsts tehniskā universitāte"

LINEĀRĀS SISTĒMAS

AUTOMĀTISKĀ VADĪBA

Praktiskā darba vadlīnijas

Izdevniecība Omskas Valsts tehniskā universitāte

Sastādījis E. V. Šendaļeva, Ph.D. tech. zinātnes

Publikācija satur vadlīnijas veikt praktisko darbu pie automātiskās vadības teorijas.

Paredzēts specialitātes 200503 „Standartizācija un sertifikācija” studentiem, kuri apgūst disciplīnu „Automātiskās vadības pamati”.

Publicēts ar redakcijas un izdevniecības padomes lēmumu

Omskas Valsts tehniskā universitāte

© GOU VPO "Omskas štats

Tehniskā universitāte", 2011

Nepieciešamība izmantot vadības teorijas metodoloģiju standartizācijas un sertifikācijas speciālistiem rodas, nosakot:

1) pārbaudāmā objekta īpašību kvantitatīvie un (vai) kvalitatīvie raksturlielumi ietekmes uz to rezultātā tā darbības laikā, modelējot objektu un (vai) ietekmes, kuru izmaiņu likums ir jānodrošina, izmantojot automātisko kontroles sistēma;

2) mērījumu un testa objekta dinamiskās īpašības;

3) mērīšanas līdzekļu dinamisko īpašību ietekme uz objekta mērījumu un testu rezultātiem.

Praktiskajos darbos apskatītas objektu izpētes metodes.

Praktiskais darbs 1

Dinamiskās funkcijas

Exercise 1.1

Atrodiet svēršanas funkciju w(t) saskaņā ar zināmo pārejas funkciju

h(t) = 2(1–e –0,2 t).

Risinājums

w(t)=h¢( t), tādēļ, diferencējot sākotnējo izteiksmi

w(t)=0,4e –0,2 t .

Exercise 1.2

Atrodiet sistēmas pārsūtīšanas funkciju, izmantojot diferenciālvienādojumu 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Sākotnējie nosacījumi ir nulle.

Risinājums

Diferenciālvienādojumu pārvērš standarta formā, dalot ar termina koeficientu y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Iegūtais vienādojums tiek pārveidots pēc Laplasa

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

un pēc tam rakstīts kā pārsūtīšanas funkcija:

Kur s= a + i w ir Laplasa operators.

Exercise 1.3

Atrodiet pārsūtīšanas funkciju W(s) sistēmas, kurās izmanto zināmu svara funkciju w(t)=5–t.

Risinājums

Laplasa transformācija

. (1.1)

Izmantojot attiecības starp pārsūtīšanas funkciju un svēršanas funkciju W(s) = w(s), mēs saņemam

.

Laplasa transformāciju var iegūt ar aprēķinu (1.1), izmantojot Laplasa transformācijas tabulas vai izmantojot pakotni programmatūra Matlab. Programma Matlab ir dota zemāk.

syms s t

x=5-t% laika funkcija

y=laplass(x)% Laplasa transformētā funkcija.

Exercise 1.4

Izmantojot sistēmas pārsūtīšanas funkciju, atrodiet tās reakciju uz viena soļa darbību (pārejas funkcija)

.

Risinājums

Apgrieztā Laplasa transformācija

, (1.2)

kur c ir konverģences abscisa x(s).

Saskaņā ar superpozīcijas principu, derīgs lineārām sistēmām

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

Kur h(t) – visas sistēmas pārejas funkcija;

h 1 (t) – integrējošās saites pārejas funkcija

;

h 2 (t) – pastiprinātāja sekcijas pārejoša funkcija

.

Ir zināms, ka h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Tad h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).

Apgriezto Laplasa transformāciju var iegūt ar aprēķinu (1.2), izmantojot Laplasa transformācijas tabulas vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni. Programma Matlab ir dota zemāk.

syms s k1 k2% simboliskā mainīgā apzīmējuma

y=k1/s+k2% Laplasa pārveidotā funkcija

x=ilavieta(y)% laika funkcija.

Exercise 1.5

Atrodiet amplitūdas-frekvences un fāzes-frekvences raksturlielumus, izmantojot zināmo sistēmas pārsūtīšanas funkciju

.

Risinājums

Lai noteiktu amplitūdas-frekvences (AFC) un fāzes-frekvences raksturlielumus (PFC), ir jāpāriet no pārsūtīšanas funkcijas uz amplitūdas-fāzes raksturlielumu W(i w), kāpēc mainīt argumentu s → i w

.

Pēc tam veidlapā attēlojiet AFC W(i w)= P(w)+ iQ(w), kur P(w) – reālā daļa, J(w) ir AFC iedomātā daļa. Lai iegūtu AFC reālo un iedomāto daļu, skaitītājs un saucējs jāreizina ar kompleksais skaitlis, konjugēts ar izteiksmi saucējā:

Frekvences reakcija un fāzes reakcija tiek noteikta attiecīgi ar formulām

, ;

,

Amplitūdas-fāzes raksturlielums W(j w) var attēlot formā

.

Exercise 1.6

Definējiet signālu y(t) sistēmas izejā, pamatojoties uz zināmu ieejas signālu un sistēmas pārsūtīšanas funkciju

x(t)=2sin10 t; .

Ir zināms, ka, pakļaujoties ieejas signālam x(t)=B sinw t izejas signālu sistēmai y(t) arī būs harmoniska, taču atšķirsies no ievades amplitūdas un fāzes

y(t) = B× A(w) grēks

Kur A w) – sistēmas frekvences reakcija; j(w) – sistēmas fāzes reakcija.

Izmantojot pārsūtīšanas funkciju, mēs nosakām frekvences reakciju un fāzes reakciju

j(w)=–arctg0.1w.

Pie frekvences w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 un j(10) = –arctg1=–0,25p.

Tad y(t) = 2 × 2 grēks(10 t–0,25 p) = 4 grēks(10 t–0,25p).

Kontroles jautājumi :

1. Definējiet svara funkcijas jēdzienu.

2. Definējiet pārejas funkcijas jēdzienu.

3. Kādam nolūkam Laplasa transformācija tiek izmantota, aprakstot dinamiskās saites?

4. Kādus vienādojumus sauc par lineārajiem diferenciāliem?

5. Kādam nolūkam, pārejot uz vienādojumu operatora formā, sākotnējais diferenciālvienādojums tiek pārveidots standarta formā?

6. Kā izteiksme ar iedomātu skaitli tiek izslēgta no amplitūdas-fāzes raksturlieluma saucēja?

7. Matlab programmatūras pakotnē norādiet tiešo Laplasa transformācijas komandu.

8. Matlab programmatūras pakotnē norādiet apgriezto Laplasa transformācijas komandu.

Praktiskais darbs 2

Pārsūtīšanas funkcijas

Exercise 2.1

Atrodiet sistēmas pārsūtīšanas funkciju, pamatojoties uz tās strukturālo diagrammu.

Risinājums

Galvenās saišu savienošanas metodes blokshēmās ir: paralēlās, seriālās un savienojošās saites ar atgriezenisko saiti (tipiskas saišu sadaļas).

Paralēli savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar atsevišķu saišu pārsūtīšanas funkciju summu (2.1. att.)

. (2.1)

Rīsi. 2.1. Saišu paralēlais savienojums

Sērijveidā savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar atsevišķu saišu pārsūtīšanas funkciju reizinājumu (2.2. att.)

(2.2)

Rīsi. 2.2. Saišu sērijveida savienojums

Atgriezeniskā saite ir signāla pārnešana no saites izejas uz tās ieeju, kur atgriezeniskās saites signāls tiek algebriski summēts ar ārēju signālu (2.3. att.).

Rīsi. 2.3 Saikne ar atgriezenisko saiti: a) pozitīva, b) negatīva

Pozitīvas atgriezeniskās saites savienojuma pārsūtīšanas funkcija

, (2.3)

negatīvas atgriezeniskās saites savienojuma pārsūtīšanas funkcija

. (2.4)

Pārneses funkcijas definīcija sarežģīta sistēma vadība tiek veikta pa posmiem. Lai to izdarītu, tiek identificētas sadaļas, kurās ir seriālie, paralēlie savienojumi un savienojumi ar atgriezenisko saiti (tipiskas saišu sadaļas) (2.4. att.)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Rīsi. 2.4. Vadības sistēmas blokshēma

Pēc tam izvēlētā tipiskā saišu sadaļa tiek aizstāta ar vienu saiti ar aprēķināto pārsūtīšanas funkciju un aprēķina procedūru atkārto (2.5. - 2.7. att.).

Rīsi. 2.5. Paralēlo un slēgtā cikla savienojumu nomaiņa ar vienu saiti

Rīsi. 2.6. Atsauksmes savienojuma aizstāšana ar vienu saiti

Rīsi. 2.7. Seriālā savienojuma aizstāšana ar vienu saiti

(2.5)

Exercise 2.2

Nosakiet pārsūtīšanas funkciju, ja tās sastāvdaļu pārsūtīšanas funkcijas ir:

Risinājums

Aizstājot ar (2.5) saišu pārsūtīšanas funkcijas

Blokshēmas transformāciju attiecībā pret ievades vadības darbību (2.7., 2.11. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.5) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni. Programma Matlab ir dota zemāk.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums ( W 3 + W 4)

W25 = atsauksmes (W2, W5)

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

W12345 = sērija (W134, W25)% seriālais savienojums ( W 134× W 25)

W=atgriezeniskā saite (W12345,1)

Exercise 2.3.

Atrodiet slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkciju, kuras pamatā ir traucējumi

Risinājums

Lai noteiktu sarežģītas sistēmas pārneses funkciju no traucējošās ietekmes, ir nepieciešams to vienkāršot un aplūkot attiecībā pret traucējošo ieejas ietekmi (2.8. - 2.12. att.).

2.8.att. Automātiskās sistēmas sākotnējā blokshēma

Rīsi. 2.9. Blokshēmas vienkāršošana

Rīsi. 2.10. Vienkāršota blokshēma

Rīsi. 2.11. Blokshēma attiecībā pret ievades vadības darbību

Rīsi. 2.12. Sistēmas blokshēma attiecībā pret traucējošo ietekmi

Pēc strukturālās diagrammas savienošanas ar vienas ķēdes shēmu, traucējošās ietekmes pārnešanas funkcija f(t)

(2.6)

Strukturālās diagrammas transformāciju attiecībā uz traucējošo ietekmi (2.12. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.6) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums

W25 = atsauksmes (W2, W5)% negatīvu atsauksmju

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

Wf=atgriezeniskā saite (W25, W134)% negatīvu atsauksmju.

Exercise 2. 4

Nosakiet kļūdas slēgtā cikla sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

Risinājums

Blokshēma slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcijas noteikšanai vadības kļūdai ir parādīta attēlā. 2.13.

Rīsi. 2.13. Sistēmas blokshēma attiecībā uz vadības kļūdu

Slēgtā cikla pārsūtīšanas funkcija kļūdai

(2.7)

Aizstājot skaitliskās vērtības

Blokshēmas transformāciju attiecībā pret vadības kļūdas signālu (2.13. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.7) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums)

W25 = atsauksmes (W2, W5)% negatīvu atsauksmju

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

Mēs=atsauksmes (1,W134*W25)% negatīvu atsauksmju

Kontroles jautājumi:

1. Uzskaitiet galvenos saišu savienošanas veidus blokshēmās.

2. Noteikt paralēli savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

3. Noteikt sērijveidā savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

4. Definējiet pozitīvās atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju.

5. Definējiet negatīvās atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju.

6. Noteikt sakaru līnijas pārsūtīšanas funkciju.

7. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu divu paralēli savienotu saišu pārsūtīšanas funkciju?

8. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu divu virknē savienotu saišu pārsūtīšanas funkciju?

9. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju?

10. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, lai noteiktu vadības darbības pārsūtīšanas funkciju.

11. Uzrakstiet pārsūtīšanas funkciju vadības darbībai.

12. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, lai noteiktu pārsūtīšanas funkciju, pamatojoties uz traucējošo parametru.

13. Uzrakstiet traucējošā parametra pārneses funkciju.

14. Uzzīmējiet vadības kļūdas pārsūtīšanas funkcijas noteikšanas sistēmas blokshēmu.

15. Uzrakstiet vadības kļūdas pārsūtīšanas funkciju.

Praktiskais darbs 3

Sarežģītas pārneses funkcijas dekompozīcija