FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA
VALSTS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE
AUGSTĀKĀ PROFESIONĀLĀ IZGLĪTĪBA
"VORONEŽAS VALSTS PEDAGOĢISKĀ UNIVERSITĀTE"
AGLEBRAS UN ĢEOMETIJAS NODAĻA
Kompleksie skaitļi
(izvēlētie uzdevumi)
Absolventu KVALIFICĒJOŠU DARBU
specialitāte 050201.65 matemātika
(ar papildspecialitāti 050202.65 datorzinātnes)
Pabeidza: 5. kursa students
fiziskā un matemātiskā
fakultāte
Zinātniskais padomnieks:
VOROŅEŠA – 2008. gads
1. Ievads……………………………………………………...…………..…
2. Kompleksi skaitļi (atlasītas problēmas)
2.1. Kompleksie skaitļi iekšā algebriskā forma….……...……….….
2.2. Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija…………..
2.3. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma
2.4. Komplekso skaitļu teorijas pielietojums 3. un 4. pakāpes vienādojumu risināšanā……………..………………………………………………………………
2.5. Kompleksie skaitļi un parametri………………………………………….
3. Secinājums…………………………………………………………………………….
4. Atsauču saraksts………………………………………………………
1. Ievads
Skolas matemātikas mācību programmā skaitļu teorija tiek ieviesta, izmantojot naturālu skaitļu kopu piemērus, veselus skaitļus, racionālos, iracionālos, t.i. uz reālo skaitļu kopas, kuras attēli aizpilda visu skaitļu līniju. Bet jau 8. klasē ir par maz reālo skaitļu piedāvājuma, risinot kvadrātvienādojumus ar negatīvu diskriminantu. Tāpēc bija nepieciešams papildināt reālo skaitļu krājumus ar komplekso skaitļu palīdzību, kuriem kvadrātsakne no negatīvs skaitlis ir nozīme.
Izvēloties tēmu “Kompleksie skaitļi” par savu izlaiduma tēmu kvalificējošs darbs, ir tas, ka kompleksā skaitļa jēdziens paplašina studentu zināšanas par skaitļu sistēmām, par plašu algebriska un ģeometriska satura problēmu risināšanu, par risināšanu. algebriskie vienādojumi jebkuru grādu un par uzdevumu risināšanu ar parametriem.
Šajā darbā apskatīti 82 problēmu risinājumi.
Galvenās sadaļas “Kompleksie skaitļi” pirmajā daļā ir sniegti risinājumi problēmām ar kompleksie skaitļi algebriskā formā ir definētas saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas operācijas, komplekso skaitļu konjugācijas operācija algebriskā formā, iedomātas vienības jauda, kompleksā skaitļa modulis, kā arī noteikts ekstrakcijas noteikums. kvadrātsakne no kompleksā skaitļa.
Otrajā daļā tiek risināti uzdevumi par komplekso skaitļu ģeometrisko interpretāciju kompleksās plaknes punktu vai vektoru veidā.
Trešajā daļā aplūkotas operācijas ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā. Izmantotās formulas ir: Moivre un kompleksa skaitļa saknes iegūšana.
Ceturtā daļa ir veltīta 3. un 4. pakāpes vienādojumu risināšanai.
Risinot uzdevumus pēdējā daļā “Kompleksi skaitļi un parametri”, tiek izmantota un konsolidēta iepriekšējās daļās sniegtā informācija. Virkne problēmu nodaļā ir veltīta līniju saimju noteikšanai kompleksajā plaknē, ko nosaka vienādojumi (nevienādības) ar parametru. Daļā no vingrinājumiem jāatrisina vienādojumi ar parametru (virs lauka C). Ir uzdevumi, kuros sarežģīts mainīgais vienlaikus atbilst vairākiem nosacījumiem. Problēmu risināšanas īpatnība šajā sadaļā ir daudzu no tiem reducēšana uz otrās pakāpes, iracionālu, trigonometrisku ar parametru vienādojumu (nevienādību, sistēmu) atrisināšanu.
Katras daļas materiāla prezentācijas iezīme ir sākotnējā ievade teorētiskie pamati un pēc tam to praktisko pielietojumu problēmu risināšanā.
Beigās tēzes tiek parādīts izmantotās literatūras saraksts. Vairums no tiem pietiekami detalizēti un pieejamā veidā izklāsta teorētisko materiālu, apsver dažu problēmu risinājumus un sniedz praktiskie uzdevumi Priekš neatkarīgs lēmums. Īpaša uzmanība Es vēlētos atsaukties uz tādiem avotiem kā:
1. Gordienko N.A., Beljajeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksie skaitļi un to pielietojums: Mācību grāmata. . Materiāls mācību līdzeklis prezentēts lekciju un praktisko vingrinājumu veidā.
2. Shklyarsky D.O., Chencov N.N., Yaglom I.M. Izvēlētie elementārās matemātikas uzdevumi un teorēmas. Aritmētika un algebra. Grāmatā ir 320 uzdevumi, kas saistīti ar algebru, aritmētiku un skaitļu teoriju. Šie uzdevumi pēc būtības būtiski atšķiras no standarta skolas uzdevumiem.
2. Kompleksi skaitļi (atlasītas problēmas)
2.1. Kompleksie skaitļi algebriskā formā
Daudzu matemātikas un fizikas uzdevumu atrisināšana ir saistīta ar algebrisko vienādojumu risināšanu, t.i. formas vienādojumi
,kur a0, a1, …, an ir reāli skaitļi. Tāpēc algebrisko vienādojumu izpēte ir viena no kritiski jautājumi matemātikā. Piemēram, kvadrātvienādojums ar negatīvs diskriminants. Vienkāršākais šāds vienādojums ir vienādojums
.Lai šim vienādojumam būtu risinājums, ir jāpaplašina reālo skaitļu kopa, pievienojot tai vienādojuma sakni
.Apzīmēsim šo sakni ar
. Tādējādi pēc definīcijas vaitātad,
. sauc par iedomāto vienību. Ar tās palīdzību un ar reālu skaitļu pāra palīdzību tiek sastādīta formas izteiksme.Iegūto izteiksmi sauca par kompleksajiem skaitļiem, jo tie saturēja gan reālās, gan iedomātās daļas.
Tātad kompleksie skaitļi ir formas izteiksmes
, un ir reāli skaitļi, un ir noteikts simbols, kas atbilst nosacījumam . Skaitli sauc par kompleksā skaitļa reālo daļu, un skaitlis ir tā iedomātā daļa. Simboli , tiek izmantoti, lai tos apzīmētu.Veidlapas kompleksie skaitļi
ir reāli skaitļi, un tāpēc komplekso skaitļu kopa satur reālo skaitļu kopu. Veidlapas kompleksie skaitļi
tiek saukti par tīri iedomātiem. Divus formas un kompleksos skaitļus sauc par vienādiem, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienādas, t.i. ja vienlīdzības , .Komplekso skaitļu algebriskais apzīmējums ļauj veikt darbības ar tiem saskaņā ar parastajiem algebras noteikumiem.
Lai atrisinātu problēmas ar kompleksajiem skaitļiem, jums ir jāsaprot pamata definīcijas. Šī pārskata raksta galvenais mērķis ir izskaidrot, kas ir kompleksie skaitļi, un piedāvāt metodes, kā atrisināt pamata problēmas ar kompleksajiem skaitļiem. Tātad kompleksais skaitlis tiks saukts par formas skaitli z = a + bi, Kur a, b- reālie skaitļi, kurus attiecīgi sauc par kompleksā skaitļa reālo un iedomāto daļu un apzīmē a = Re(z), b = Im(z).
i sauc par iedomāto vienību. i 2 = -1. Jo īpaši jebkuru reālo skaitli var uzskatīt par sarežģītu: a = a + 0i, kur a ir reāls. Ja a = 0 Un b ≠ 0, tad skaitli parasti sauc par tīri iedomātu.
Tagad ieviesīsim operācijas ar kompleksajiem skaitļiem.
Apsveriet divus kompleksos skaitļus z 1 = a 1 + b 1 i Un z 2 = a 2 + b 2 i.
Apsvērsim z = a + bi.
Komplekso skaitļu kopa paplašina reālo skaitļu kopu, kas savukārt paplašina kopu racionālie skaitļi utt. Šo investīciju ķēdi var redzēt attēlā: N – veseli skaitļi, Z - veseli skaitļi, Q - racionāls, R - reāls, C - komplekss. 
Komplekso skaitļu attēlojums
Algebriskais apzīmējums.
Apsveriet komplekso skaitli z = a + bi, šo kompleksā skaitļa rakstīšanas veidu sauc algebriskā. Mēs jau esam detalizēti apsprieduši šo ierakstīšanas veidu iepriekšējā sadaļā. Diezgan bieži tiek izmantots šāds vizuālais zīmējums 
Trigonometriskā forma.
No attēla var redzēt, ka numurs z = a + bi var rakstīt dažādi. Ir skaidrs, ka a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, tātad z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
sauc par kompleksā skaitļa argumentu. Šo kompleksā skaitļa attēlojumu sauc trigonometriskā forma. Trigonometriskā apzīmējuma forma dažreiz ir ļoti ērta. Piemēram, to ir ērti izmantot, lai paaugstinātu kompleksu skaitli līdz veselam skaitlim, proti, ja z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Tas z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, šo formulu sauc Moivra formula.
Demonstratīva forma.
Apsvērsim z = rcos(φ) + rsin(φ)i- komplekss skaitlis trigonometriskā formā, ierakstiet to citā formā z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, pēdējā vienādība izriet no Eilera formulas, tāpēc mēs iegūstam jauna uniforma komplekso skaitļu apzīmējums: z = reiφ, ko sauc indikatīvs. Šī apzīmējuma forma ir arī ļoti ērta, lai palielinātu komplekso skaitli pakāpē: z n = r n e inφ, Šeit n ne vienmēr ir vesels skaitlis, bet var būt patvaļīgs reāls skaitlis. Šo apzīmējumu formu diezgan bieži izmanto problēmu risināšanai.
Augstākās algebras fundamentālā teorēma
Iedomāsimies, ka mums ir kvadrātvienādojums x 2 + x + 1 = 0. Acīmredzot šī vienādojuma diskriminants ir negatīvs un tam nav reālu sakņu, taču izrādās, ka šim vienādojumam ir divas dažādas sarežģītas saknes. Tātad augstākās algebras pamatteorēma nosaka, ka jebkuram n pakāpes polinomam ir vismaz viena kompleksā sakne. No tā izriet, ka jebkuram n pakāpes polinomam ir tieši n kompleksās saknes, ņemot vērā to daudzveidību. Šī teorēma ir ļoti svarīgs rezultāts matemātikā un tiek plaši izmantots. Vienkāršs šīs teorēmas rezultāts ir tāds, ka ir tieši n dažādas saknes n vienotības pakāpe.
Galvenie uzdevumu veidi
Šajā sadaļā tiks apskatīti galvenie veidi vienkāršus uzdevumus uz kompleksajiem skaitļiem. Parasti problēmas, kas saistītas ar kompleksajiem skaitļiem, var iedalīt šādās kategorijās.
- Vienkāršu aritmētisku darbību veikšana ar kompleksiem skaitļiem.
- Polinomu sakņu atrašana kompleksos skaitļos.
- Komplekso skaitļu paaugstināšana pakāpēs.
- Sakņu iegūšana no kompleksajiem skaitļiem.
- Komplekso skaitļu izmantošana citu problēmu risināšanai.
Tagad apsvērsim vispārīgās tehnikasšo problēmu risinājumi.
Vienkāršākās aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem tiek veiktas pēc pirmajā sadaļā aprakstītajiem noteikumiem, bet, ja kompleksie skaitļi tiek uzrādīti trigonometriskā vai eksponenciālā formā, tad šajā gadījumā tos var pārvērst algebriskā formā un veikt darbības pēc zināmiem noteikumiem.
Polinomu sakņu atrašana parasti nozīmē kvadrātvienādojuma sakņu atrašanu. Pieņemsim, ka mums ir kvadrātvienādojums, ja tā diskriminants nav negatīvs, tad tā saknes būs reālas un atrodamas pēc labi zināmas formulas. Ja diskriminants ir negatīvs, tas ir, D = -1∙a 2, Kur a ir noteikts skaitlis, tad diskriminantu var attēlot kā D = (ia) 2, tātad √D = i|a|, un tad varat izmantot labi zināma formula kvadrātvienādojuma saknēm.
Piemērs. Atgriezīsimies pie iepriekš minētā. kvadrātvienādojums x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminants - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Tagad mēs varam viegli atrast saknes: 
Komplekso skaitļu paaugstināšanu pakāpēs var veikt vairākos veidos. Ja komplekss skaitlis algebriskā formā jāpaaugstina līdz nelielai pakāpei (2 vai 3), tad to var izdarīt ar tiešu reizināšanu, bet, ja jauda ir lielāka (problēmās bieži vien ir daudz lielāka), tad ierakstiet šo skaitli trigonometriskā vai eksponenciālā formā un izmantojiet jau zināmās metodes.
Piemērs. Apsveriet z = 1 + i un paaugstiniet to līdz desmitajai pakāpei.
Rakstīsim z eksponenciālā formā: z = √2 e iπ/4.
Tad z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10 iπ/4.
Atgriezīsimies pie algebriskās formas: z 10 = -32i.
Sakņu izvilkšana no kompleksajiem skaitļiem ir paaugstināšanas apgrieztā darbība, un tāpēc to veic līdzīgā veidā. Lai iegūtu saknes, bieži tiek izmantota eksponenciālā skaitļa rakstīšanas forma.
Piemērs. Atradīsim visas vienotības 3. pakāpes saknes. Lai to izdarītu, mēs atradīsim visas vienādojuma z 3 = 1 saknes, mēs meklēsim saknes eksponenciālā formā.
Aizvietosim vienādojumā: r 3 e 3iφ = 1 vai r 3 e 3iφ = e 0 .
Tātad: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, tātad φ = 2πk/3.
Dažādas saknes iegūst pie φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Tāpēc 1, e i2π/3, e i4π/3 ir saknes.
Vai algebriskā formā: 
Pēdējais problēmu veids ietver ļoti daudz dažādu problēmu, un nav vispārīgu metožu to risināšanai. Sniegsim vienkāršu šāda uzdevuma piemēru:
Atrodiet summu grēks (x) + grēks (2x) + grēks (2x) + … + grēks (nx).
Lai gan šīs problēmas formulējums neietver sarežģītus skaitļus, to var viegli atrisināt ar to palīdzību. Lai to atrisinātu, tiek izmantoti šādi attēlojumi: 
Ja mēs tagad aizstājam šo attēlojumu ar summu, tad problēma tiek samazināta līdz parastās ģeometriskās progresijas summēšanai.
Secinājums
Kompleksie skaitļi tiek plaši izmantoti matemātikā, šajā pārskata rakstā tika apskatītas pamatoperācijas ar kompleksajiem skaitļiem, aprakstīti vairāki standarta problēmu veidi un īsi aprakstīts. vispārīgas metodes to risinājumus, komplekso skaitļu iespēju detalizētākai izpētei ieteicams izmantot specializēto literatūru.
Literatūra
Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks izmantoja vienādojumus senos laikos, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Skaidrības labad atrisināsim šādu problēmu:
Aprēķināt \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], ja \
Vispirms pievērsīsim uzmanību tam, ka viens skaitlis tiek uzrādīts algebriskā, otrs trigonometriskā formā. Tas ir jāvienkāršo un jāveido šādā formā
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Izteiksme \ saka, ka vispirms mēs veicam reizināšanu un paaugstināšanu līdz 10. pakāpei, izmantojot Moivre formulu. Šī formula ir formulēta kompleksā skaitļa trigonometriskajai formai. Mēs iegūstam:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Ievērojot noteikumus par komplekso skaitļu reizināšanu trigonometriskā formā, mēs rīkojamies šādi:
Mūsu gadījumā:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Padarot pareizu daļskaitli \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], mēs nonākam pie secinājuma, ka varam “pagriezt” 4 apgriezienus \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Atbilde: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Šo vienādojumu var atrisināt citā veidā, kas nozīmē, ka 2. skaitlis tiek pārnests algebriskā formā, pēc tam tiek veikts reizinājums algebriskā formā, pārvēršot rezultātu trigonometriskā formā un izmantojot Moivre formulu:
Kur tiešsaistē var atrisināt vienādojumu sistēmu ar kompleksiem skaitļiem?
Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu mūsu vietnē https://site. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumus. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Mūsu vietnē varat arī noskatīties video instrukcijas un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.
