Izteiksmes, vienādojumi un vienādojumu sistēmas
ar kompleksajiem skaitļiem

Šodien nodarbībās praktizēsim tipiskas darbības ar kompleksajiem skaitļiem, kā arī apgūsim izteiksmju, vienādojumu un vienādojumu sistēmu risināšanas tehniku, kas satur šos skaitļus. Šis seminārs ir nodarbības turpinājums, un tāpēc, ja neesat labi pārzinājis tēmu, lūdzu, sekojiet iepriekš norādītajai saitei. Labi sagatavotiem lasītājiem iesaku uzreiz iesildīties:

1. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi , Ja. Rezultātu attēlo trigonometriskā formā un uzzīmē kompleksajā plaknē.

Risinājums: tātad, jums ir jāaizstāj daļa ar “briesmīgo” daļu, jāveic vienkāršojumi un jāpārvērš rezultāts kompleksais skaitlis V trigonometriskā forma. Plus zīmējums.

Kāds ir labākais veids, kā formalizēt lēmumu? Ar "izsmalcinātu" algebriskā izteiksme Labāk to saprast soli pa solim. Pirmkārt, uzmanība tiek mazāk novērsta, otrkārt, ja uzdevums netiek pieņemts, kļūdu būs daudz vieglāk atrast.

1) Pirmkārt, vienkāršosim skaitītāju. Aizstāsim tajā vērtību, atvērsim kronšteinus un nofiksēsim frizūru:

...Jā, tāds Kvazimodo radās no kompleksajiem skaitļiem...

Atgādināšu, ka transformāciju laikā tiek izmantotas pavisam vienkāršas lietas - polinomu reizināšanas noteikums un jau banāla kļuvusi vienlīdzība. Galvenais ir būt uzmanīgiem un neapjukt no zīmēm.

2) Tagad nāk saucējs. Ja tad:

Ievērojiet, kādā neparastā interpretācijā tas tiek izmantots kvadrātsummas formula. Alternatīvi, jūs varat veikt pārkārtošanu šeit apakšformula Rezultāti, protams, būs tādi paši.

3) Un visbeidzot, visa izteiksme. Ja tad:

Lai atbrīvotos no daļskaitļa, reiziniet skaitītāju un saucēju ar saucēja konjugēto izteiksmi. Tajā pašā laikā piemērošanas nolūkos kvadrātveida starpības formulas vispirms ir jābūt (un jau obligāti!) ielieciet negatīvo reālo daļu 2. vietā:

Un tagad galvenais noteikums:

MUMS NEKĀDĀ STEIDZAS! Labāk ir spēlēt droši un spert papildu soli.
Izteiksmēs, vienādojumos un sistēmās ar kompleksiem skaitļiem, pārgalvīgi verbāli aprēķini vairāk pilns nekā jebkad agrāk!

Pēdējā posmā bija labs samazinājums, un tā ir tikai lieliska zīme.

Piezīme : stingri runājot, šeit notika kompleksā skaitļa dalīšana ar komplekso skaitli 50 (atcerieties to). Par šo niansi līdz šim klusēju, un par to runāsim nedaudz vēlāk.

Apzīmēsim savu sasniegumu ar burtu

Iegūto rezultātu parādīsim trigonometriskā formā. Vispārīgi runājot, šeit jūs varat iztikt bez zīmējuma, bet, tā kā tas ir nepieciešams, ir nedaudz racionālāk to darīt tieši tagad:

Aprēķināsim kompleksā skaitļa moduli:

Ja zīmējat 1 vienības mērogā. = 1 cm (2 piezīmju grāmatiņas šūnas), tad iegūto vērtību var viegli pārbaudīt, izmantojot parasto lineālu.

Atradīsim argumentu. Tā kā numurs atrodas 2. koordinātu ceturksnī, tad:

Leņķi var viegli pārbaudīt ar transportieri. Tā ir zīmējuma neapšaubāma priekšrocība.

Tādējādi: – nepieciešamais skaitlis trigonometriskā formā.

Pārbaudīsim:
, kas bija jāpārbauda.

Ir ērti atrast nepazīstamas sinusa un kosinusa vērtības, izmantojot trigonometriskā tabula.

Atbilde:

Līdzīgs piemērs priekš neatkarīgs lēmums:

2. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi , Kur. Uzzīmējiet iegūto skaitli kompleksajā plaknē un ierakstiet to eksponenciālā formā.

Centieties neizlaist apmācības. Tie var šķist vienkārši, taču bez apmācības “iekļūt peļķē” ir ne tikai viegli, bet arī ļoti viegli. Tāpēc mēs “pieņemam to rokās”.

Bieži vien problēmai ir vairāki risinājumi:

3. piemērs

Aprēķināt, ja,

Risinājums: vispirms pievērsīsim uzmanību sākotnējam nosacījumam - viens skaitlis tiek uzrādīts algebriskā, bet otrs trigonometriskā formā un pat ar grādiem. Tūlīt pārrakstīsim to pazīstamākā formā: .

Kādā formā jāveic aprēķini? Izteiciens acīmredzami ietver pirmo reizināšanu un tālāku paaugstināšanu līdz 10. pakāpei Moivre formula, kas ir formulēta kompleksā skaitļa trigonometriskajai formai. Tāpēc šķiet loģiskāk pārvērst pirmo skaitli. Atradīsim tā moduli un argumentu:

Mēs izmantojam noteikumu komplekso skaitļu reizināšanai trigonometriskā formā:
ja tad

Padarot pareizu daļskaitli, mēs nonākam pie secinājuma, ka varam “sagriezt” 4 apgriezienus (prieks.):

Otrais risinājums ir pārvērst 2. skaitli algebriskā formā , veiciet reizināšanu algebriskā forma, pārveidojiet rezultātu trigonometriskā formā un izmantojiet Moivre formulu.

Kā redzat, ir viena “papildu” darbība. Tie, kas vēlas, var pieņemt lēmumu un pārliecināties, ka rezultāti ir tādi paši.

Nosacījums neko nesaka par galīgā kompleksā skaitļa formu, tāpēc:

Atbilde:

Bet “skaistumam” vai pēc pieprasījuma rezultātu nav grūti iedomāties algebriskā formā:

Viens pats:

4. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi

Šeit mums ir jāatceras darbības ar grādiem, lai gan viens noderīgs noteikums Tas nav norādīts rokasgrāmatā, šeit tas ir: .

Un vēl viena svarīga piezīme: piemēru var atrisināt divos stilos. Pirmā iespēja ir strādāt ar divi skaitļi un ir labi ar daļskaitļiem. Otrā iespēja ir attēlot katru skaitli kā divu skaitļu koeficients: Un atbrīvoties no četrstāvu struktūras. No formālā viedokļa nav svarīgi, kā jūs izlemjat, taču pastāv būtiska atšķirība! Lūdzu, rūpīgi pārdomājiet:
ir komplekss skaitlis;
ir divu komplekso skaitļu ( un ) koeficients, taču atkarībā no konteksta varat teikt arī šādi: skaitlis, kas attēlots kā divu komplekso skaitļu koeficients.

Ātrs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Izteiksmes ir labas, bet vienādojumi ir labāki:

Vienādojumi ar sarežģītiem koeficientiem

Kā tie atšķiras no "parastajiem" vienādojumiem? Izredzes =)

Ņemot vērā iepriekš minēto komentāru, sāksim ar šo piemēru:

5. piemērs

Atrisiniet vienādojumu

Un tūlītēja preambula “karsti uz papēžiem”: sākotnēji labā daļa vienādojums ir novietots kā divu komplekso skaitļu ( un 13) koeficients, un tāpēc būtu slikti pārrakstīt nosacījumu ar skaitli (lai gan tas neizraisīs kļūdu). Šī atšķirība, starp citu, ir skaidrāk redzama daļskaitlī - ja, nosacīti runājot, tad šī vērtība primāri tiek saprasta kā vienādojuma "pilna" kompleksā sakne, nevis kā skaitļa dalītājs, un jo īpaši ne kā skaitļa daļa!

Risinājums, principā var arī sakārtot soli pa solim, bet iekšā šajā gadījumā spēle nav sveces vērta. Sākotnējais uzdevums ir vienkāršot visu, kas nesatur nezināmo "z", kā rezultātā vienādojums tiek reducēts līdz formai:

Mēs pārliecinoši vienkāršojam vidējo daļu:

Mēs pārsūtām rezultātu uz labo pusi un atrodam atšķirību:

Piezīme : un vēlreiz vēršu jūsu uzmanību uz jēgpilno - šeit mēs no skaitļa neatņēmām skaitli, bet gan savedām daļskaitļus līdz kopsaucējam! Jāpiebilst, ka jau risināšanas PROGRESS nav aizliegts strādāt ar cipariem: tomēr aplūkotajā piemērā šis stils ir vairāk kaitīgs nekā noderīgs =)

Saskaņā ar proporcijas likumu mēs izsakām “zet”:

Tagad jūs varat vēlreiz dalīt un reizināt ar konjugātu, bet aizdomīgi līdzīgie skaitļi skaitītājā un saucējā liecina par nākamo soli:

Atbilde:

Lai pārbaudītu, aizstāsim iegūto vērtību ar kreisā puse sākotnējais vienādojums un veiksim dažus vienkāršojumus:

– tiek iegūta sākotnējā vienādojuma labā puse, tādējādi sakne tiek atrasta pareizi.

...Tagad, tagad... es atradīšu jums kaut ko interesantāku... lūk:

6. piemērs

Atrisiniet vienādojumu

Šis vienādojums reducējas līdz formai , kas nozīmē, ka tas ir lineārs. Domāju, ka mājiens ir skaidrs – uz to!

Protams... kā tu vari dzīvot bez viņa:

Kvadrātvienādojums ar kompleksiem koeficientiem

Nodarbībā Sarežģīti skaitļi manekeniem mēs uzzinājām, ka kvadrātvienādojumam ar reāliem koeficientiem var būt konjugētas sarežģītas saknes, pēc kā rodas loģisks jautājums: kāpēc patiesībā paši koeficienti nevar būt sarežģīti? Ļaujiet man formulēt vispārējs gadījums:

Kvadrātvienādojums ar patvaļīgiem kompleksajiem koeficientiem (1 vai 2 no kuriem vai visi trīs var būt īpaši derīgi) Tā ir divi un tikai divi sarežģīta sakne (iespējams, viens vai abi ir derīgi). Tajā pašā laikā saknes (gan reālo, gan ar iedomāto daļu, kas nav nulle) var sakrist (būt daudzkārtējiem).

Kvadrātvienādojums ar sarežģītiem koeficientiem tiek atrisināts, izmantojot to pašu shēmu kā "skolas" vienādojums, ar dažām atšķirībām aprēķinu tehnikā:

7. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

Risinājums: iedomātā vienība ir pirmajā vietā, un principā jūs varat no tās atbrīvoties (reizinot abas puses ar) tomēr tas nav īpaši nepieciešams.

Ērtības labad mēs izrakstām koeficientus:

Nezaudēsim brīvā biedra "mīnusu"! ...Tas var nebūt skaidrs visiem — es pārrakstīšu vienādojumu standarta forma :

Aprēķināsim diskriminantu:

Un šeit ir galvenais šķērslis:

Pieteikums vispārējā formula sakņu ekstrakcija (skatiet raksta pēdējo rindkopu Sarežģīti skaitļi manekeniem) sarežģī nopietnas grūtības, kas saistītas ar radikālā kompleksā skaitļa argumentu (Paskaties pats). Bet ir vēl viens, “algebrisks” veids! Mēs meklēsim sakni šādā formā:

Izlīdzināsim abas puses kvadrātā:

Divi kompleksie skaitļi ir vienādi, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienādas. Tādējādi mēs iegūstam šādu sistēmu:

Sistēmu ir vieglāk atrisināt, izvēloties (rūpīgāks veids ir izteikt no 2. vienādojuma - aizstāt ar 1., iegūt un atrisināt bikvadrātisku vienādojumu). Pieņemot, ka problēmas autors nav briesmonis, izvirzām hipotēzi, ka un ir veseli skaitļi. No 1. vienādojuma izriet, ka “x” modulo vairāk nekā "Y". Turklāt pozitīvais produkts mums norāda, ka nezināmajiem ir viena un tā pati zīme. Pamatojoties uz iepriekš minēto un koncentrējoties uz 2. vienādojumu, mēs pierakstām visus pārus, kas tam atbilst:

Ir skaidrs, ka sistēmas 1. vienādojumu apmierina pēdējie divi pāri, tātad:

Starpposma pārbaude nenāktu par ļaunu:

kas bija tas, kas bija jāpārbauda.

Jūs varat izvēlēties kā “darba” sakni jebkura nozīmē. Ir skaidrs, ka labāk ir ņemt versiju bez “mīnusiem”:

Mēs atrodam saknes, starp citu neaizmirstot, ka:

Atbilde:

Pārbaudīsim, vai atrastās saknes apmierina vienādojumu :

1) Aizstāsim:

patiesa vienlīdzība.

2) Aizstāsim:

patiesa vienlīdzība.

Tādējādi risinājums tika atrasts pareizi.

Pamatojoties uz tikko apspriesto problēmu:

8. piemērs

Atrodiet vienādojuma saknes

Jāņem vērā, ka kvadrātsakne no tīri sarežģīti skaitļus var viegli iegūt, izmantojot vispārējo formulu , Kur , tāpēc paraugā ir parādītas abas metodes. Otra lietderīgā piezīme attiecas uz faktu, ka konstantes saknes provizoriska iegūšana nemaz nevienkāršo risinājumu.

Tagad varat atpūsties - šajā piemērā jūs izkļūsit ar vieglām bailēm :)

9. piemērs

Atrisiniet vienādojumu un pārbaudiet

Risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Raksta pēdējā rindkopa ir veltīta

vienādojumu sistēma ar kompleksajiem skaitļiem

Atslābināsimies un... nesaspringsimies =) Apskatīsim vienkāršāko gadījumu - sistēmu no diviem lineārie vienādojumi ar diviem nezināmiem:

10. piemērs

Atrisiniet vienādojumu sistēmu. Norādiet atbildi algebriskā un eksponenciālā formā, attēlojiet saknes zīmējumā.

Risinājums: pats nosacījums liecina, ka sistēmai ir unikāls risinājums, tas ir, mums jāatrod divi skaitļi, kas atbilst katram sistēmas vienādojums.

Sistēmu tiešām var atrisināt “bērnišķīgā” veidā (izteikt vienu mainīgo ar citu) , tomēr tas ir daudz ērtāk lietojams Krāmera formulas. Aprēķināsim galvenais noteicējs sistēmas:

, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Es atkārtoju, ka labāk ir nesteidzīgi un pēc iespējas detalizētāk uzrakstīt darbības:

Mēs reizinām skaitītāju un saucēju ar iedomātu vienību un iegūstam 1. sakni:

Tāpat:

Tiek iegūtas atbilstošās labās puses utt.

Izveidosim zīmējumu:

Attēlosim saknes eksponenciālā formā. Lai to izdarītu, jums jāatrod to moduļi un argumenti:

1) - "divu" arktangenss tiek aprēķināts "slikti", tāpēc atstājam to šādi:

FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA

VALSTS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE

AUGSTĀKĀ PROFESIONĀLĀ IZGLĪTĪBA

"VORONEŽAS VALSTS PEDAGOĢISKĀ UNIVERSITĀTE"

AGLEBRAS UN ĢEOMETIJAS NODAĻA

Kompleksie skaitļi

(izvēlētie uzdevumi)

Absolventu KVALIFICĒJOŠU DARBU

specialitāte 050201.65 matemātika

(ar papildspecialitāti 050202.65 datorzinātnes)

Pabeidza: 5. kursa students

fiziskā un matemātiskā

fakultāte

Zinātniskais padomnieks:

VOROŅEŠA – 2008. gads

1. Ievads……………………………………………………...…………..…

2. Kompleksi skaitļi (atlasītas problēmas)

2.1. Kompleksie skaitļi algebriskā formā………………….….

2.2. Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija…………..

2.3. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

2.4. Komplekso skaitļu teorijas pielietojums 3. un 4. pakāpes vienādojumu risināšanā……………..………………………………………………………………

2.5. Kompleksie skaitļi un parametri………………………………………….

3. Secinājums…………………………………………………………………………….

4. Atsauču saraksts………………………………………………………

1. Ievads

Skolas matemātikas mācību programmā skaitļu teorija tiek ieviesta, izmantojot naturālu skaitļu kopu piemērus, veselus skaitļus, racionālos, iracionālos, t.i. uz reālo skaitļu kopas, kuras attēli aizpilda visu skaitļu līniju. Bet jau 8. klasē ir par maz reālo skaitļu piedāvājuma, risinot kvadrātvienādojumus ar negatīvu diskriminantu. Tāpēc bija nepieciešams papildināt reālo skaitļu krājumus ar komplekso skaitļu palīdzību, kuriem kvadrātsakne no negatīvs skaitlis ir nozīme.

Izvēloties tēmu “Kompleksie skaitļi” par savu izlaiduma tēmu kvalificējošs darbs, ir tas, ka kompleksā skaitļa jēdziens paplašina studentu zināšanas par skaitļu sistēmām, par plašu algebriska un ģeometriska satura problēmu risināšanu, par risināšanu. algebriskie vienādojumi jebkuru grādu un par uzdevumu risināšanu ar parametriem.

Šajā darbā apskatīti 82 problēmu risinājumi.

Galvenās sadaļas “Kompleksie skaitļi” pirmajā daļā sniegti komplekso skaitļu problēmu risinājumi algebriskā formā, definētas saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas operācijas, konjugācijas operācija kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā, iedomātas vienības jauda. , kompleksa skaitļa modulis, kā arī nosaka kārtulas ekstrakciju kvadrātsakne no kompleksā skaitļa.

Otrajā daļā tiek risināti uzdevumi par komplekso skaitļu ģeometrisko interpretāciju kompleksās plaknes punktu vai vektoru veidā.

Trešajā daļā aplūkotas operācijas ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā. Izmantotās formulas ir: Moivre un kompleksa skaitļa saknes iegūšana.

Ceturtā daļa ir veltīta 3. un 4. pakāpes vienādojumu risināšanai.

Risinot uzdevumus pēdējā daļā “Kompleksi skaitļi un parametri”, tiek izmantota un konsolidēta iepriekšējās daļās sniegtā informācija. Virkne problēmu nodaļā ir veltīta līniju saimju noteikšanai kompleksajā plaknē, ko nosaka vienādojumi (nevienādības) ar parametru. Daļā no vingrinājumiem jāatrisina vienādojumi ar parametru (virs lauka C). Ir uzdevumi, kuros sarežģīts mainīgais vienlaikus atbilst vairākiem nosacījumiem. Problēmu risināšanas īpatnība šajā sadaļā ir daudzu no tiem reducēšana uz otrās pakāpes, iracionālu, trigonometrisku ar parametru vienādojumu (nevienādību, sistēmu) atrisināšanu.

Katras daļas materiāla prezentācijas iezīme ir sākotnējā ievade teorētiskie pamati un pēc tam to praktisko pielietojumu problēmu risināšanā.

Beigās tēzes tiek parādīts izmantotās literatūras saraksts. Vairums no tiem pietiekami detalizēti un pieejamā veidā izklāsta teorētisko materiālu, apsver dažu problēmu risinājumus un sniedz praktiskie uzdevumi patstāvīgam lēmumam. Īpaša uzmanība Es vēlētos atsaukties uz tādiem avotiem kā:

1. Gordienko N.A., Beljajeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksie skaitļi un to pielietojums: Mācību grāmata. . Materiāls mācību līdzeklis prezentēts lekciju un praktisko vingrinājumu veidā.

2. Shklyarsky D.O., Chencov N.N., Yaglom I.M. Izvēlētie elementārās matemātikas uzdevumi un teorēmas. Aritmētika un algebra. Grāmatā ir 320 uzdevumi, kas saistīti ar algebru, aritmētiku un skaitļu teoriju. Šie uzdevumi pēc būtības būtiski atšķiras no standarta skolas uzdevumiem.

2. Kompleksi skaitļi (atlasītas problēmas)

2.1. Kompleksie skaitļi algebriskā formā

Daudzu matemātikas un fizikas uzdevumu atrisināšana ir saistīta ar algebrisko vienādojumu risināšanu, t.i. formas vienādojumi

,

kur a0, a1, …, an ir reāli skaitļi. Tāpēc algebrisko vienādojumu izpēte ir viena no kritiski jautājumi matemātikā. Piemēram, kvadrātvienādojums ar negatīvs diskriminants. Vienkāršākais šāds vienādojums ir vienādojums

.

Lai šim vienādojumam būtu risinājums, ir jāpaplašina reālo skaitļu kopa, pievienojot tai vienādojuma sakni

.

Apzīmēsim šo sakni ar

. Tādējādi pēc definīcijas vai

tātad,

. sauc par iedomāto vienību. Ar tās palīdzību un ar reālu skaitļu pāra palīdzību tiek sastādīta formas izteiksme.

Iegūto izteiksmi sauca par kompleksajiem skaitļiem, jo ​​tie saturēja gan reālās, gan iedomātās daļas.

Tātad kompleksie skaitļi ir formas izteiksmes

, un ir reāli skaitļi, un ir noteikts simbols, kas atbilst nosacījumam . Skaitli sauc par kompleksā skaitļa reālo daļu, un skaitlis ir tā iedomātā daļa. Simboli , tiek izmantoti, lai tos apzīmētu.

Veidlapas kompleksie skaitļi

ir reāli skaitļi, un tāpēc komplekso skaitļu kopa satur reālo skaitļu kopu.

Veidlapas kompleksie skaitļi

tiek saukti par tīri iedomātiem. Divus formas un kompleksos skaitļus sauc par vienādiem, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienādas, t.i. ja vienlīdzības , .

Komplekso skaitļu algebriskais apzīmējums ļauj veikt darbības ar tiem saskaņā ar parastajiem algebras noteikumiem.

Lai atrisinātu problēmas ar kompleksajiem skaitļiem, jums ir jāsaprot pamata definīcijas. Šī pārskata raksta galvenais mērķis ir izskaidrot, kas ir kompleksie skaitļi, un piedāvāt metodes, kā atrisināt pamata problēmas ar kompleksajiem skaitļiem. Tātad kompleksais skaitlis tiks saukts par formas skaitli z = a + bi, Kur a, b- reālie skaitļi, kurus attiecīgi sauc par kompleksā skaitļa reālo un iedomāto daļu un apzīmē a = Re(z), b = Im(z).
i sauc par iedomāto vienību. i 2 = -1. Jo īpaši jebkuru reālo skaitli var uzskatīt par sarežģītu: a = a + 0i, kur a ir reāls. Ja a = 0 Un b ≠ 0, tad skaitli parasti sauc par tīri iedomātu.

Tagad ieviesīsim operācijas ar kompleksajiem skaitļiem.
Apsveriet divus kompleksos skaitļus z 1 = a 1 + b 1 i Un z 2 = a 2 + b 2 i.

Apsvērsim z = a + bi.

Komplekso skaitļu kopa paplašina reālo skaitļu kopu, kas savukārt paplašina kopu racionālie skaitļi utt. Šo investīciju ķēdi var redzēt attēlā: N – veseli skaitļi, Z - veseli skaitļi, Q - racionāls, R - reāls, C - komplekss.

Komplekso skaitļu attēlojums

Algebriskais apzīmējums.

Apsveriet komplekso skaitli z = a + bi, šo kompleksā skaitļa rakstīšanas veidu sauc algebriskā. Mēs jau esam detalizēti apsprieduši šo ierakstīšanas veidu iepriekšējā sadaļā. Diezgan bieži tiek izmantots šāds vizuālais zīmējums

Trigonometriskā forma.

No attēla var redzēt, ka numurs z = a + bi var rakstīt dažādi. Ir skaidrs, ka a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, tātad z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) sauc par kompleksā skaitļa argumentu. Šo kompleksā skaitļa attēlojumu sauc trigonometriskā forma. Trigonometriskā apzīmējuma forma dažreiz ir ļoti ērta. Piemēram, to ir ērti izmantot, lai paaugstinātu kompleksu skaitli līdz veselam skaitlim, proti, ja z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Tas z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, šo formulu sauc Moivre formula.

Demonstratīva forma.

Apsvērsim z = rcos(φ) + rsin(φ)i- komplekss skaitlis trigonometriskā formā, ierakstiet to citā formā z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, pēdējā vienādība izriet no Eilera formulas, tāpēc mēs iegūstam jauna uniforma komplekso skaitļu apzīmējums: z = re iφ, ko sauc indikatīvs. Šī apzīmējuma forma ir arī ļoti ērta, lai palielinātu komplekso skaitli pakāpē: z n = r n e inφ, Šeit n ne vienmēr ir vesels skaitlis, bet var būt patvaļīgs reāls skaitlis. Šo apzīmējumu formu diezgan bieži izmanto problēmu risināšanai.

Augstākās algebras fundamentālā teorēma

Iedomāsimies, ka mums ir kvadrātvienādojums x 2 + x + 1 = 0. Acīmredzot šī vienādojuma diskriminants ir negatīvs un tam nav reālu sakņu, taču izrādās, ka šim vienādojumam ir divas dažādas sarežģītas saknes. Tātad augstākās algebras pamatteorēma nosaka, ka jebkuram n pakāpes polinomam ir vismaz viena kompleksā sakne. No tā izriet, ka jebkuram n pakāpes polinomam ir tieši n kompleksās saknes, ņemot vērā to daudzveidību. Šī teorēma ir ļoti svarīgs rezultāts matemātikā un tiek plaši izmantots. Vienkāršs šīs teorēmas rezultāts ir tāds, ka ir tieši n dažādas saknes n vienotības pakāpe.

Galvenie uzdevumu veidi

Šajā sadaļā tiks apskatīti galvenie veidi vienkāršus uzdevumus uz kompleksajiem skaitļiem. Parasti problēmas, kas saistītas ar kompleksajiem skaitļiem, var iedalīt šādās kategorijās.

• Vienkāršu aritmētisku darbību veikšana ar kompleksiem skaitļiem.
• Polinomu sakņu atrašana kompleksos skaitļos.
• Komplekso skaitļu paaugstināšana pakāpēs.
• Sakņu iegūšana no kompleksajiem skaitļiem.
• Komplekso skaitļu izmantošana citu problēmu risināšanai.

Tagad apsvērsim vispārīgās tehnikasšo problēmu risinājumi.

Vienkāršākās aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem tiek veiktas pēc pirmajā sadaļā aprakstītajiem noteikumiem, bet, ja kompleksie skaitļi tiek uzrādīti trigonometriskā vai eksponenciālā formā, tad šajā gadījumā tos var pārvērst algebriskā formā un veikt darbības pēc zināmiem noteikumiem.

Polinomu sakņu atrašana parasti nozīmē kvadrātvienādojuma sakņu atrašanu. Pieņemsim, ka mums ir kvadrātvienādojums, ja tā diskriminants nav negatīvs, tad tā saknes būs reālas un atrodamas pēc labi zināmas formulas. Ja diskriminants ir negatīvs, tas ir, D = -1∙a 2, Kur a ir noteikts skaitlis, tad diskriminantu var attēlot kā D = (ia) 2, tātad √D = i|a|, un tad varat izmantot labi zināma formula kvadrātvienādojuma saknēm.

Piemērs. Atgriezīsimies pie iepriekš minētā. kvadrātvienādojums x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminants - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Tagad mēs varam viegli atrast saknes:

Komplekso skaitļu paaugstināšanu pakāpēs var veikt vairākos veidos. Ja komplekss skaitlis algebriskā formā jāpaaugstina līdz nelielai pakāpei (2 vai 3), tad to var izdarīt ar tiešu reizināšanu, bet, ja jauda ir lielāka (problēmās bieži vien ir daudz lielāka), tad ierakstiet šo skaitli trigonometriskā vai eksponenciālā formā un izmantojiet jau zināmās metodes.

Piemērs. Apsveriet z = 1 + i un paaugstiniet to līdz desmitajai pakāpei.
Rakstīsim z eksponenciālā formā: z = √2 e iπ/4.
Tad z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10 iπ/4.
Atgriezīsimies pie algebriskās formas: z 10 = -32i.

Sakņu izvilkšana no kompleksajiem skaitļiem ir paaugstināšanas apgrieztā darbība, un tāpēc to veic līdzīgā veidā. Lai iegūtu saknes, bieži tiek izmantota eksponenciālā skaitļa rakstīšanas forma.

Piemērs. Atradīsim visas vienotības 3. pakāpes saknes. Lai to izdarītu, mēs atradīsim visas vienādojuma z 3 = 1 saknes, mēs meklēsim saknes eksponenciālā formā.
Aizvietosim vienādojumā: r 3 e 3iφ = 1 vai r 3 e 3iφ = e 0 .
Tātad: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, tātad φ = 2πk/3.
Dažādas saknes iegūst pie φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Tāpēc 1, e i2π/3, e i4π/3 ir saknes.
Vai algebriskā formā:

Pēdējais problēmu veids ietver ļoti daudz dažādu problēmu, un nav vispārīgu metožu to risināšanai. Sniegsim vienkāršu šāda uzdevuma piemēru:

Atrodiet summu grēks (x) + grēks (2x) + grēks (2x) + … + grēks (nx).

Lai gan šīs problēmas formulējums neietver sarežģītus skaitļus, to var viegli atrisināt ar to palīdzību. Lai to atrisinātu, tiek izmantoti šādi attēlojumi:


Ja mēs tagad aizstājam šo attēlojumu ar summu, tad problēma tiek samazināta līdz parastās ģeometriskās progresijas summēšanai.

Secinājums

Kompleksie skaitļi tiek plaši izmantoti matemātikā, šajā pārskata rakstā tika apskatītas pamatoperācijas ar kompleksajiem skaitļiem, aprakstīti vairāki standarta problēmu veidi un īsi aprakstīts. vispārīgas metodes to risinājumus, komplekso skaitļu iespēju detalizētākai izpētei ieteicams izmantot specializēto literatūru.

Literatūra

Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks izmantoja vienādojumus senos laikos, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Skaidrības labad atrisināsim šādu problēmu:

Aprēķināt \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], ja \

Vispirms pievērsīsim uzmanību tam, ka viens skaitlis tiek uzrādīts algebriskā, otrs trigonometriskā formā. Tas ir jāvienkāršo un jāveido šādā formā

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Izteiksme \ saka, ka vispirms mēs veicam reizināšanu un paaugstināšanu līdz 10. pakāpei, izmantojot Moivre formulu. Šī formula ir formulēta kompleksā skaitļa trigonometriskajai formai. Mēs iegūstam:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Ievērojot noteikumus par komplekso skaitļu reizināšanu trigonometriskā formā, mēs rīkojamies šādi:

Mūsu gadījumā:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Padarot pareizu daļskaitli \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], mēs nonākam pie secinājuma, ka varam “pagriezt” 4 apgriezienus \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Atbilde: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Šo vienādojumu var atrisināt citā veidā, kas nozīmē, ka 2. skaitlis tiek pārnests algebriskā formā, pēc tam tiek veikts reizinājums algebriskā formā, pārvēršot rezultātu trigonometriskā formā un izmantojot Moivre formulu:

Kur tiešsaistē var atrisināt vienādojumu sistēmu ar kompleksiem skaitļiem?

Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu mūsu vietnē https://site. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumus. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Mūsu vietnē varat arī noskatīties video instrukcijas un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.