Algebriskais apzīmējums kompleksais skaitlis................................................................ | |||
Komplekso skaitļu plakne.................................................. ...................................................... ........................... | |||
Kompleksie konjugētie skaitļi................................................ .............................................................. .......................... | |||
Darbības ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā................................................ ......... .... | |||
Komplekso skaitļu saskaitīšana.................................................. ...................................................... .................. | |||
Komplekso skaitļu atņemšana................................................ .............................................................. ...................... | |||
Komplekso skaitļu reizināšana.................................................. .............................................................. ................... | |||
Komplekso skaitļu dalīšana .............................................. ...................................................... ................... | |||
Kompleksa skaitļa rakstīšanas trigonometriskā forma................................................ ...................... | |||
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā................................................ ......... | |||
Komplekso skaitļu reizināšana trigonometriskā formā................................................ ........ | |||
Kompleksu skaitļu dalīšana trigonometriskā formā................................................ ......... | |||
Kompleksa skaitļa paaugstināšana līdz pozitīvam veselam skaitļa pakāpēm................................................ ......... | |||
Pozitīva vesela skaitļa pakāpes saknes izvilkšana no kompleksā skaitļa................................................ | |||
Kompleksa skaitļa palielināšana līdz racionālam pakāpēm................................................ .............................. | |||
Sarežģīta sērija................................................ ................................................... ...................................... | |||
Sarežģītu skaitļu sērija................................................ .............................................................. .......................... | |||
Jaudas rindas kompleksajā plaknē................................................ ...................................... | |||
Abpusējs jaudas sērijas kompleksajā plaknē .............................................. ..... | |||
Sarežģīta mainīgā funkcijas.................................................. ...................................................... | |||
Pamata elementāras funkcijas................................................ ...................................................... . | |||
Eilera formulas................................................ ................................................... ...................................... | |||
Kompleksa skaitļa eksponenciālā forma................................................ ...................... . | |||
Saistība starp trigonometriskajām un hiperboliskajām funkcijām................................................ | |||
Logaritmiskā funkcija................................................. ................................................... ......... ... | |||
Vispārējās eksponenciālās un vispārējās jaudas funkcijas................................................ ...................... | |||
Sarežģīta mainīgā funkciju diferenciācija................................................ ......... ... | |||
Košī-Rīmaņa apstākļi................................................ ...................................................... ...................... | |||
Formulas atvasinājuma aprēķināšanai................................................ ...................................................... | |||
Diferenciācijas operācijas īpašības.................................................. ...................................................... ... | |||
Analītiskās funkcijas reālās un iedomātās daļas īpašības................................................ | |||
Sarežģīta mainīgā funkcijas rekonstrukcija no tā reālā vai iedomātā |
|||
1. metode. Līknes integrāļa izmantošana.................................................. ...... ....... | |||
2. metode. Tieša Košī-Rīmaņa nosacījumu pielietošana................................... | |||
Metode Nr.3. Izmantojot meklētās funkcijas atvasinājumu................................................ ......... ......... | |||
Sarežģīta mainīgā funkciju integrācija................................................ ...................... | |||
Integrālā Košī formula ................................................... ...................................................... ......... | |||
Funkciju paplašināšana Taylor un Laurent sērijās................................................ ...................................... | |||
Sarežģīta mainīgā funkcijas nulles un vienskaitļa punkti................................................ .............. | |||
Sarežģīta mainīgā funkcijas nulles................................................ ...................................... | |||
Sarežģīta mainīgā funkcijas izolēti vienskaitļi................................................. | |||
14.3 Punkts bezgalībā kā kompleksa mainīgā funkcijas vienskaitļa punkts
Atskaitījumi.................................................. ...................................................... .............................................................. ... | |||
Atskaitījums beigu punktā................................................ ...................................................... .............. | |||
Funkcijas atlikums bezgalības punktā................................................ ...................................... | |||
Integrāļu aprēķins, izmantojot atlikumus................................................. .............................................. | |||
Pašpārbaudes jautājumi.................................................. .............................................................. .......................................... | |||
Literatūra................................................. .................................................. ................................................... | |||
Priekšmeta rādītājs................................................ .................................................. ...................... | |||
Priekšvārds
Pareizi sadalīt laiku un spēkus, gatavojoties eksāmena vai moduļa atestācijas teorētiskajai un praktiskajai daļai, ir diezgan grūti, jo īpaši tāpēc, ka sesijas laikā vienmēr nepietiek laika. Un, kā liecina prakse, ne visi var ar to tikt galā. Rezultātā eksāmena laikā daži skolēni pareizi risina uzdevumus, bet viņiem ir grūti atbildēt uz visvienkāršāko teorētiskie jautājumi, savukārt citi var formulēt teorēmu, bet nevar to pielietot.
Šīs vadlīnijas, gatavojoties eksāmenam kursā “Sarežģītā mainīgā funkciju teorija” (TFCP) ir mēģinājums atrisināt šo pretrunu un nodrošināt vienlaicīgu kursa teorētiskā un praktiskā materiāla atkārtošanu. Vadoties pēc principa “Teorija bez prakses ir mirusi, prakse bez teorijas ir akla”, tie satur gan kursa teorētiskos nosacījumus definīciju un formulējumu līmenī, gan piemērus, kas ilustrē katras dotās teorētiskās pozīcijas pielietojumu un tādējādi atvieglo. tās iegaumēšana un izpratne.
Piedāvājuma mērķis metodiskie ieteikumi– palīdzēt studentam sagatavoties eksāmenam pamatlīmenī. Citiem vārdiem sakot, ir sastādīta paplašināta darba uzziņu grāmata, kas satur galvenos punktus, kas tiek izmantoti TFKP kursa nodarbībās un nepieciešami, veicot mājasdarbs un sagatavošanās kontroles pasākumiem. Turklāt patstāvīgs darbs skolēniem, šo elektronisko izglītojošo izdevumu var izmantot, vadot nodarbības interaktīvā formā, izmantojot elektronisko tāfeli, vai ievietošanai tālmācības sistēmā.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka šis darbs neaizstāj ne mācību grāmatas, ne lekciju konspektus. Lai padziļināti izpētītu materiālu, ieteicams atsaukties uz attiecīgajām MSTU publicētajām sadaļām. N.E. Baumaņa pamatmācību grāmata.
Rokasgrāmatas beigās ir ieteicamās literatūras saraksts un mācību priekšmetu rādītājs, kurā iekļauts viss tekstā izceltais trekns slīpraksts noteikumiem. Indekss sastāv no hipersaitēm uz sadaļām, kurās šie termini ir stingri definēti vai aprakstīti un kur ir sniegti piemēri, lai ilustrētu to lietošanu.
Rokasgrāmata paredzēta visu MSTU fakultāšu 2. kursa studentiem. N.E. Baumanis.
1. Kompleksa skaitļa rakstīšanas algebriskā forma
Formas z = x + iy apzīmējums, kur x,y ir reāli skaitļi, i ir iedomāta vienība (t.i., i 2 = −1)
sauc par kompleksā skaitļa z rakstīšanas algebrisko formu. Šajā gadījumā x sauc par kompleksā skaitļa reālo daļu un apzīmē ar Re z (x = Re z), par y sauc par kompleksā skaitļa iedomāto daļu un apzīmē ar Im z (y = Im z).
Piemērs. Kompleksajam skaitlim z = 4−3i ir reālā daļa Rez = 4 un iedomātā daļa Imz = −3.
2. Komplekso skaitļu plakne
IN tiek aplūkotas kompleksa mainīgā funkciju teorijaskomplekso skaitļu plakne, ko apzīmē vai nu ar burtiem, kas apzīmē kompleksos skaitļus z, w utt.
Kompleksās plaknes horizontālo asi sauc reālā ass, uz tā ir novietoti reālie skaitļi z = x + 0i = x.
Sarežģītās plaknes vertikālo asi sauc par iedomāto asi;
3. Kompleksie konjugētie skaitļi
Tiek izsaukti skaitļi z = x + iy un z = x − iy komplekss konjugāts. Sarežģītajā plaknē tie atbilst punktiem, kas ir simetriski pret reālo asi.
4. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā
4.1 Komplekso skaitļu saskaitīšana
Divu komplekso skaitļu summa | z 1 = x 1+ iy 1 | un z 2 = x 2 + iy 2 sauc par komplekso skaitli |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | darbību | papildinājums |
||||||||||
kompleksie skaitļi ir līdzīgi algebrisko binomiālu saskaitīšanas darbībai. | |||||||||||||
Piemērs. Divu komplekso skaitļu z 1 = 3+ 7i un z 2 summa | = −1 +2 i | būs komplekss skaitlis |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(-1 +2 i ) = (3 -1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Acīmredzot | kopējā summa | konjugāts | ir | īsts | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Komplekso skaitļu atņemšana | |||||||||||||
Divu komplekso skaitļu starpība z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | sauca | aptverošs |
||||||||||
skaitlis z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Piemērs. Divu komplekso skaitļu atšķirība | z 1 =3 -4 i | un z 2 | = −1 +2 i | būs visaptveroša |
|||||||||
skaitlis z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Pēc atšķirības | komplekss konjugāts | ir | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3. Komplekso skaitļu reizināšana | |||||||||||||
Divu komplekso skaitļu reizinājums | z 1 = x 1+ iy 1 | un z 2 = x 2+ iy 2 | sauc par kompleksu |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Tādējādi komplekso skaitļu reizināšanas darbība ir līdzīga algebrisko binomiālu reizināšanas darbībai, ņemot vērā to, ka i 2 = − 1.
2. lapa no 3
Kompleksa skaitļa algebriskā forma.
Komplekso skaitļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana.
Mēs jau esam iepazinušies ar kompleksā skaitļa algebrisko formu - tā ir kompleksā skaitļa algebriskā forma. Kāpēc mēs runājam par formu? Fakts ir tāds, ka ir arī komplekso skaitļu trigonometriskās un eksponenciālās formas, kas tiks apspriestas nākamajā rindkopā.
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem nav īpaši sarežģītas un daudz neatšķiras no parastās algebras.
Komplekso skaitļu saskaitīšana
1. piemērs
Pievienojiet divus kompleksos skaitļus,
Lai pievienotu divus kompleksos skaitļus, jums jāpievieno to reālā un iedomātā daļa:
Vienkārši, vai ne? Darbība ir tik acīmredzama, ka tai nav nepieciešami papildu komentāri.
Šādā vienkāršā veidā jūs varat atrast jebkura skaita terminu summu: summējiet reālās daļas un summējiet iedomātās daļas.
Kompleksajiem skaitļiem ir spēkā pirmās klases noteikums: 
– nosacījumu pārkārtošana summu nemaina.
Komplekso skaitļu atņemšana
2. piemērs
Atrodiet atšķirības starp kompleksajiem skaitļiem un , ja ,
Darbība ir līdzīga pievienošanai, vienīgā īpatnība ir tāda, ka apakšrinda jāieliek iekavās, un pēc tam iekavas jāatver standarta veidā, mainot zīmi:
Rezultātam nevajadzētu būt mulsinošam; iegūtajam skaitlim ir divas, nevis trīs daļas. Vienkārši reālā daļa ir savienojums: . Skaidrības labad atbildi var pārrakstīt šādi: .
Aprēķināsim otro starpību:
Šeit arī reālā daļa ir salikta:
Lai izvairītos no pārspīlējuma, es sniegšu īss piemērs ar “slikto” iedomāto daļu: . Šeit vairs nevar iztikt bez iekavām.
Komplekso skaitļu reizināšana
Ir pienācis laiks jūs iepazīstināt ar slaveno vienlīdzību:
3. piemērs
Atrodiet komplekso skaitļu reizinājumu,
Acīmredzot darbs jāraksta šādi:
Ko tas liecina? Tas lūdz atvērt iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu. Tas ir tas, kas jums jādara! Visi algebriskās darbības kas jums ir pazīstams, galvenais ir to atcerēties un esi uzmanīgs.
Atkārtosim, omg, skolas noteikumu polinomu reizināšanai: lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar katru cita polinoma terminu.
Es to uzrakstīšu sīkāk:
Ceru, ka visiem tas bija skaidrs
Uzmanību un vēlreiz uzmanību, visbiežāk tiek pieļautas kļūdas zīmēs.
Tāpat kā summa, komplekso skaitļu reizinājums ir maināms, tas ir, vienādība ir patiesa: .
IN izglītojoša literatūra un internetā ir viegli atrast īpašu formulu komplekso skaitļu reizinājuma aprēķināšanai. Izmantojiet to, ja vēlaties, bet man šķiet, ka pieeja ar polinomu reizināšanu ir universālāka un skaidrāka. Es nesniegšu formulu, es domāju, ka tā ir šajā gadījumā- Tas ir piebāzt tavu galvu ar zāģu skaidām.
Komplekso skaitļu dalīšana
4. piemērs
Doti kompleksie skaitļi, . Atrodiet koeficientu.
Izveidosim koeficientu:
Tiek veikta skaitļu dalīšana reizinot saucēju un skaitītāju ar saucēja konjugēto izteiksmi.
Atcerēsimies bārdaino formulu un paskatīsimies uz mūsu saucēju: . Saucējam jau ir , tāpēc konjugētā izteiksme šajā gadījumā ir , tas ir
Saskaņā ar noteikumu saucējs jāreizina ar , un, lai nekas nemainītos, skaitītājs jāreizina ar to pašu skaitli:
Es to uzrakstīšu sīkāk:
Es izvēlējos “labu” piemēru: ja ņemat divus skaitļus “no nulles”, tad dalīšanas rezultātā gandrīz vienmēr iegūsit daļskaitļus, piemēram, .
Dažos gadījumos pirms daļskaitļa dalīšanas ieteicams to vienkāršot, piemēram, ņemt vērā skaitļu koeficientu: . Pirms dalīšanas mēs atbrīvojamies no nevajadzīgiem mīnusiem: skaitītājā un saucējā mēs izņemam mīnusus no iekavām un samazinām šos mīnusus: 
. Tiem, kam patīk risināt problēmas, šeit ir pareizā atbilde:
Reti, bet notiek šāds uzdevums:
5. piemērs
Tiek dots kompleksais skaitlis. Uzrakstiet šo skaitli algebriskā formā (t.i., formā).
Tehnika ir tāda pati - mēs reizinām saucēju un skaitītāju ar izteiksmi, kas konjugēta ar saucēju. Apskatīsim formulu vēlreiz. Saucējs jau satur , tāpēc saucējs un skaitītājs ir jāreizina ar konjugāta izteiksmi, tas ir, ar:
Praksē viņi var viegli piedāvāt izsmalcinātu piemēru, kur jāveic daudzas darbības ar kompleksajiem skaitļiem. Nav panikas: esi uzmanīgs, ievērojiet algebras noteikumus, parasto algebrisko procedūru, un atcerieties, ka .
Kompleksā skaitļa trigonometriskā un eksponenciālā forma
Šajā punktā ir vairāk mēs parunāsim par kompleksā skaitļa trigonometrisko formu. Demonstratīva forma iekšā praktiskie uzdevumi notiek daudz retāk. Es iesaku lejupielādēt un, ja iespējams, izdrukāt trigonometriskās tabulas, metodiskais materiāls var atrast lapā Matemātiskās formulas un galdi. Bez galdiņiem tālu nevar tikt.
Jebkuru kompleksu skaitli (izņemot nulli) var uzrakstīt trigonometriskā formā: 
, kur tas ir kompleksā skaitļa modulis, A - kompleksā skaitļa arguments. Nebēgsim, viss ir vienkāršāk nekā šķiet.
Attēlosim skaitli kompleksajā plaknē. Skaidrojuma noteiktības un vienkāršības labad ievietosim to pirmajā koordinātu kvadrantā, t.i. mēs ticam, ka:
Kompleksa skaitļa modulis ir attālums no sākuma līdz atbilstošajam punktam kompleksajā plaknē. Vienkārši liec, modulis ir garums rādiusa vektors, kas zīmējumā norādīts sarkanā krāsā.
Kompleksā skaitļa moduli parasti apzīmē ar: vai
Izmantojot Pitagora teorēmu, ir viegli atvasināt formulu kompleksā skaitļa moduļa atrašanai: . Šī formula godīgi jebkuram nozīmē "a" un "būt".
Piezīme: kompleksā skaitļa modulis ir jēdziena vispārinājums reālā skaitļa modulis, kā attālums no punkta līdz sākuma punktam.
Kompleksā skaitļa arguments sauca stūrī starp pozitīva pusass reālā ass un rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma līdz atbilstošajam punktam. Arguments nav definēts priekš vienskaitlis: .
Attiecīgais princips faktiski ir līdzīgs polārās koordinātas, kur polārais rādiuss un polārais leņķis unikāli nosaka punktu.
Kompleksā skaitļa argumentu parasti apzīmē: vai
No ģeometriskiem apsvērumiem mēs iegūstam šādu formulu argumenta atrašanai:
. Uzmanību!Šī formula darbojas tikai labajā pusplaknē! Ja kompleksais skaitlis neatrodas 1. vai 4. koordinātu kvadrantā, tad formula nedaudz atšķirsies. Mēs arī analizēsim šos gadījumus.
Bet vispirms apskatīsim vienkāršākos piemērus, kad kompleksie skaitļi atrodas uz koordinātu asīm.
7. piemērs
Izveidosim zīmējumu:
Patiesībā uzdevums ir mutisks. Skaidrības labad es pārrakstīšu kompleksā skaitļa trigonometrisko formu: 
Stingri atcerēsimies, modulis - garums(kas vienmēr nav negatīvs), arguments ir stūrī.
1) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu: .
Tas ir acīmredzami (skaitlis atrodas tieši uz reālās pozitīvās pusass). Tātad skaitlis trigonometriskā formā ir: 
.
Reversās pārbaudes darbība ir skaidra kā diena:
2) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu: .
Acīmredzot (vai 90 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts sarkanā krāsā. Tātad skaitlis trigonometriskā formā ir: 
.
Izmantojot vērtību tabulu trigonometriskās funkcijas, ir viegli atgūt skaitļa algebrisko formu (vienlaikus veicot pārbaudi):
3) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu: .
Acīmredzot (vai 180 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts zilā krāsā. Tātad skaitlis trigonometriskā formā ir: 
.
Pārbaude:
4) Un ceturtais interesants gadījums. Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu: .
Argumentu var uzrakstīt divos veidos: Pirmais veids: (270 grādi) un attiecīgi: 
. Pārbaude:
Tomēr standartizētāks ir šāds noteikums: Ja leņķis ir lielāks par 180 grādiem, tad raksta ar mīnusa zīmi un leņķa pretējo orientāciju (“ritināšanu”): (mīnus 90 grādi), leņķis ir atzīmēts zīmējumā zaļš. To ir viegli redzēt, un tas ir vienāds leņķis.
Tādējādi ierakstam ir šāda forma: 
Uzmanību! Nekādā gadījumā nevajadzētu izmantot kosinusa paritāti, sinusa dīvainību un vēl vairāk “vienkāršot” apzīmējumu:
Starp citu, ir noderīgi atcerēties izskats un trigonometrisko un apgriezto trigonometrisko funkciju īpašības, atsauces materiāli ir lapas pēdējās rindkopās Grafiki un galvenās īpašības elementāras funkcijas . Un kompleksos skaitļus iemācīsies daudz vieglāk!
Vienkāršāko piemēru noformējumā jāraksta: “ir acīmredzams, ka modulis ir vienāds... skaidrs, ka arguments ir vienāds ar...”. Tas ir patiešām acīmredzams un viegli atrisināms mutiski.
Apskatīsim biežāk sastopamos gadījumus. Kā es jau atzīmēju, ar moduli nav problēmu, jums vienmēr vajadzētu izmantot formulu. Bet argumenta atrašanas formulas būs dažādas, tas ir atkarīgs no tā, kurā koordinātu ceturksnī atrodas skaitlis. Šajā gadījumā ir iespējamas trīs iespējas (ir lietderīgi tās iekopēt piezīmju grāmatiņā):
1) Ja (1. un 4. koordinātu ceturtdaļa vai labā pusplakne), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu.
2) Ja (2. koordinātu ceturtdaļa), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu 
.
3) Ja (3. koordinātu ceturksnis), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu 
.
8. piemērs
Kompleksos skaitļus attēlo trigonometriskā formā: , , , .
Tā kā ir gatavas formulas, zīmējums nav jāpabeidz. Bet ir viens punkts: kad jums tiek lūgts attēlot skaitli trigonometriskā formā, tad Jebkurā gadījumā labāk ir izdarīt zīmējumu. Fakts ir tāds, ka risinājumu bez zīmējuma skolotāji bieži noraida, zīmējuma neesamība ir nopietns mīnusa un neveiksmes iemesls.
Eh, es jau simts gadus neko neesmu zīmējis ar roku, lūk:
Kā vienmēr, izrādījās nedaudz netīrs =)
Es uzrādīšu skaitļus un kompleksā veidā pirmais un trešais cipars būs patstāvīgam risinājumam.
Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu.
Nodarbības plāns.
1. Organizatoriskais moments.
2. Materiāla prezentācija.
3. Mājas darbs.
4. Nodarbības rezumēšana.
Nodarbību laikā
I. Organizatoriskais moments.
II. Materiāla prezentācija.
Motivācija.
Reālo skaitļu kopas paplašināšana sastāv no jaunu (imagināro) skaitļu pievienošanas reālajiem skaitļiem. Šo skaitļu ieviešana ir saistīta ar to, ka reālo skaitļu kopā nav iespējams iegūt negatīva skaitļa sakni.
Ievads kompleksā skaitļa jēdzienā.
Iedomātos skaitļus, ar kuriem papildinām reālos skaitļus, raksta formā bi, Kur i ir iedomāta vienība, un i 2 = - 1.
Pamatojoties uz to, mēs iegūstam šādu kompleksā skaitļa definīciju.
Definīcija. Komplekss skaitlis ir formas izteiksme a+bi, Kur a Un b- reāli skaitļi. Šajā gadījumā ir izpildīti šādi nosacījumi:
a) Divi kompleksie skaitļi a 1 + b 1 i Un a 2 + b 2 i vienāds tad un tikai tad a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Komplekso skaitļu saskaitīšanu nosaka noteikums:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Komplekso skaitļu reizināšanu nosaka noteikums:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Kompleksa skaitļa algebriskā forma.
Kompleksā skaitļa ierakstīšana formā a+bi sauc par kompleksa skaitļa algebrisko formu, kur A- īstā daļa, bi ir iedomātā daļa un b- reālais skaitlis.
Komplekss skaitlis a+bi tiek uzskatīts par vienādu ar nulli, ja tā reālā un iedomātā daļa ir vienāda ar nulli: a = b = 0
Komplekss skaitlis a+bi plkst b = 0 uzskatīts par tādu pašu kā reāls skaitlis a: a + 0i = a.
Komplekss skaitlis a+bi plkst a = 0 sauc par tīri iedomātu un tiek apzīmēts bi: 0 + bi = bi.
Divi kompleksie skaitļi z = a + bi Un = a – bi, kas atšķiras tikai ar iedomātās daļas zīmi, sauc par konjugātiem.
Darbības ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā.
Ar kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā varat veikt šādas darbības.
1) Papildinājums.
Definīcija. Komplekso skaitļu summa z 1 = a 1 + b 1 i Un z 2 = a 2 + b 2 i sauc par komplekso skaitli z, kuras reālā daļa ir vienāda ar reālo daļu summu z 1 Un z 2, un iedomātā daļa ir skaitļu iedomāto daļu summa z 1 Un z 2, tas ir z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
Skaitļi z 1 Un z 2 tiek saukti par terminiem.
Komplekso skaitļu saskaitīšanai ir šādas īpašības:
1º. Komutativitāte: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Asociativitāte: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Komplekss skaitlis –a –bi sauc par pretstatu kompleksam skaitlim z = a + bi. Komplekss skaitlis, kas ir pretējs kompleksajam skaitlim z, apzīmēts -z. Komplekso skaitļu summa z Un -z vienāds ar nulli: z + (-z) = 0
1. piemērs: veiciet pievienošanu (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Atņemšana.
Definīcija. Atņemt no kompleksā skaitļa z 1 kompleksais skaitlis z 2 z, Kas z + z 2 = z 1.
Teorēma. Atšķirība starp kompleksajiem skaitļiem pastāv un ir unikāla.
2. piemērs: veiciet atņemšanu (4 – 2i) – (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Reizināšana.
Definīcija. Komplekso skaitļu reizinājums z 1 =a 1 + b 1 i Un z 2 =a 2 + b 2 i sauc par komplekso skaitli z, ko nosaka vienlīdzība: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Skaitļi z 1 Un z 2 sauc par faktoriem.
Komplekso skaitļu reizināšanai ir šādas īpašības:
1º. Komutativitāte: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociativitāte: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- reālais skaitlis.
Praksē komplekso skaitļu reizināšana tiek veikta saskaņā ar noteikumu, ka summu reizina ar summu un atdala reālo un iedomāto daļu.
Nākamajā piemērā mēs apsvērsim komplekso skaitļu reizināšanu divos veidos: ar noteikumu un summu reizinot ar summu.
3. piemērs: veiciet reizināšanu (2 + 3i) (5–7i).
1 veids. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
2. metode. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Sadalījums.
Definīcija. Sadaliet komplekso skaitli z 1 uz kompleksu skaitli z 2, nozīmē atrast šādu kompleksu skaitli z, Kas z · z 2 = z 1.
Teorēma. Komplekso skaitļu koeficients pastāv un ir unikāls, ja z 2 ≠ 0 + 0i.
Praksē komplekso skaitļu koeficientu nosaka, reizinot skaitītāju un saucēju ar saucēja konjugātu.
Ļaujiet z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Tad
.
Nākamajā piemērā mēs veiksim dalīšanu, izmantojot formulu un reizināšanas noteikumu ar skaitli, kas konjugēts ar saucēju.
4. piemērs. Atrodiet koeficientu 
.
5) Paaugstināšana līdz pozitīvam veselam spēkam.
a) Iedomātās vienības pilnvaras.
Vienlīdzības priekšrocības i 2 = -1, ir viegli definēt jebkuru iedomātās vienības pozitīvu veselu skaitļu jaudu. Mums ir:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 utt.
Tas parāda, ka grādu vērtības es n, Kur n– pozitīvs vesels skaitlis, kas periodiski atkārtojas, indikatoram palielinoties par 4 .
Tāpēc, lai palielinātu skaitu i pozitīvam veselam spēkam mums ir jādala eksponents ar 4 un būvēt i pakāpei, kuras eksponents ir vienāds ar dalījuma atlikušo daļu.
5. piemērs. Aprēķiniet: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.
b) Kompleksā skaitļa palielināšana līdz pozitīvam veselam skaitļa pakāpēm tiek veikta saskaņā ar likumu par binoma palielināšanu līdz atbilstošajam pakāpēm, jo tas atspoguļo īpašs gadījums identisku kompleksu faktoru reizināšana.
6. piemērs. Aprēķiniet: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
