Vairāk vienkāršā veidā. Lai to izdarītu, iekavās ievietojiet z. Iegūsiet: z(аz + b) = 0. Koeficientus var uzrakstīt: z=0 un аz + b = 0, jo abi var rezultēties ar nulli. Apzīmējumā az + b = 0 mēs pārvietojam otro pa labi ar citu zīmi. No šejienes mēs iegūstam z1 = 0 un z2 = -b/a. Tās ir oriģināla saknes.
Ja nav pilnīgs vienādojums forma az² + c = 0, collas šajā gadījumā tiek atrasti, vienkārši pārceļot brīvo termiņu uz labā puse vienādojumi Mainiet arī tā zīmi. Rezultāts būs az² = -с. Izteikt z² = -c/a. Paņemiet sakni un pierakstiet divus risinājumus - pozitīvo un negatīvo kvadrātsakni.
Piezīme
Ja vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, reiziniet visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai atbrīvotos no daļām.
Kvadrātvienādojumu risināšanas zināšanas ir nepieciešamas gan skolēniem, gan studentiem, dažkārt tas var palīdzēt arī pieaugušajam ikdienas dzīvē. Ir vairākas specifiskas risināšanas metodes.
Kvadrātvienādojumu risināšana
Kvadrātvienādojums formā a*x^2+b*x+c=0. Koeficients x ir vēlamais mainīgais, a, b, c ir skaitliskie koeficienti. Atcerieties, ka "+" zīme var mainīties uz "-" zīmi.Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir jāizmanto Vietas teorēma vai jāatrod diskriminants. Visizplatītākā metode ir atrast diskriminantu, jo dažām a, b, c vērtībām nav iespējams izmantot Vietas teorēmu.
Lai atrastu diskriminantu (D), jāuzraksta formula D=b^2 - 4*a*c. D vērtība var būt lielāka par, mazāka par nulli vai vienāda ar nulli. Ja D ir lielāks vai mazāks par nulli, tad būs divas saknes; ja D = 0, tad paliek tikai viena sakne; precīzāk mēs varam teikt, ka D šajā gadījumā ir divas līdzvērtīgas saknes. Formulā aizstāj zināmos koeficientus a, b, c un aprēķini vērtību.
Kad esat atradis diskriminantu, izmantojiet formulas, lai atrastu x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kur sqrt ir funkcija, kas nozīmē dotā skaitļa kvadrātsaknes ņemšanu. Pēc šo izteiksmju aprēķināšanas jūs atradīsit divas sava vienādojuma saknes, pēc kurām vienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu.
Ja D ir mazāks par nulli, tad tam joprojām ir saknes. Šo sadaļu skolā praktiski nemācās. Universitātes studentiem ir jāzina, ka zem saknes parādās negatīvs skaitlis. Viņi no tā atbrīvojas, izceļot iedomāto daļu, tas ir, -1 zem saknes vienmēr ir vienāds ar iedomāto elementu “i”, kas tiek reizināts ar sakni ar tādu pašu pozitīvo skaitli. Piemēram, ja D=sqrt(-20), pēc transformācijas iegūstam D=sqrt(20)*i. Pēc šīs transformācijas vienādojuma atrisināšana tiek reducēta uz tādu pašu sakņu atrašanu, kā aprakstīts iepriekš.
Vietas teorēma sastāv no x(1) un x(2) vērtību izvēles. Tiek izmantoti divi identiski vienādojumi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Un ļoti svarīgs punkts ir zīme koeficienta b priekšā, atcerieties, ka šī zīme ir pretēja vienādojuma zīmei. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka aprēķināt x(1) un x(2) ir ļoti vienkārši, taču risinot nāksies saskarties ar faktu, ka būs jāizvēlas skaitļi.
Kvadrātvienādojumu risināšanas elementi
Saskaņā ar matemātikas likumiem dažus var faktorizēt: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ja jums izdevās šo kvadrātvienādojumu pārveidot līdzīgā veidā, izmantojot matemātiskās formulas, tad droši pieraksti atbildi. x(1) un x(2) būs vienādi ar blakus esošajiem koeficientiem iekavās, bet ar pretējā zīme.Tāpat neaizmirstiet par nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem. Iespējams, ka jums trūkst dažu terminu; ja tā, tad visi tā koeficienti ir vienkārši vienādi ar nulli. Ja x^2 vai x priekšā nav nekā, tad koeficienti a un b ir vienādi ar 1.
Kvadrātvienādojums- risinājums ir vienkāršs! *Turpmāk “KU”. Draugi, šķiet, ka matemātikā nevar būt nekā vienkāršāka par šāda vienādojuma atrisināšanu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik daudz seansu pēc pieprasījuma mēnesī sniedz Yandex. Lūk, kas notika, skatieties:
Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, kāds šai vasarai sakars ar to, un kas notiks starp skolas gads— būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas vienotajam valsts eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.
Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī sniegt savu ieguldījumu un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni, pamatojoties uz šo pieprasījumu; otrkārt, citos rakstos, kad uznāks tēma “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:
Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:
kur koeficienti a,bun c ir patvaļīgi skaitļi ar a≠0.
Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumi ir sadalīti trīs klasēs:
1. Viņiem ir divas saknes.
2. *Ir tikai viena sakne.
3. Viņiem nav sakņu. Šeit ir īpaši vērts atzīmēt, ka tiem nav īstu sakņu
Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!
Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī “briesmīgā” vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:
Sakņu formulas ir šādas:
*Šīs formulas jāzina no galvas.
Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:
Piemērs:
1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.
2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.
3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Apskatīsim vienādojumu:
Autors šajā gadījumā, kad diskriminants ir nulle, skolas kurss saka, ka rezultāts ir viena sakne, šeit tas ir vienāds ar deviņiem. Viss ir pareizi, tā ir, bet...
Šī ideja ir nedaudz nepareiza. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, jūs iegūstat divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, atbildē ir jāraksta divas saknes:
x 1 = 3 x 2 = 3
Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā to var pierakstīt un teikt, ka ir viena sakne.
Tagad nākamais piemērs:
Kā mēs zinām, sakne negatīvs skaitlis netiek iegūts, tāpēc šajā gadījumā nav risinājuma.
Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.
Kvadrātiskā funkcija.
Tas parāda, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).
Šī ir formas funkcija:
kur x un y ir mainīgie
a, b, c – doti skaitļi, ar a ≠ 0
Grafiks ir parabola:
Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar “y”, kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) un neviens (diskriminants ir negatīvs). Sīkāka informācija par kvadrātiskā funkcija Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.
Apskatīsim piemērus:
1. piemērs: Atrisiniet 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Atbilde: x 1 = 8 x 2 = –12
*Varēja uzreiz dalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.
2. piemērs: Izlemiet x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2–4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0
Mēs noskaidrojām, ka x 1 = 11 un x 2 = 11
Atbildē atļauts rakstīt x = 11.
Atbilde: x = 11
3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224
Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.
Atbilde: nav risinājuma
Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!
Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksie skaitļi? Es šeit nerunāšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā; šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.
Kompleksā skaitļa jēdziens.
Nedaudz teorijas.
Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis
z = a + bi
kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.
a+bi – tas ir VIENS SKAITS, nevis papildinājums.
Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:
Tagad apsveriet vienādojumu:
Mēs iegūstam divas konjugētas saknes.
Nepilns kvadrātvienādojums.
Apskatīsim īpašus gadījumus, kad koeficients “b” vai “c” ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tos var viegli atrisināt bez jebkādiem diskriminācijas līdzekļiem.
1. gadījums. Koeficients b = 0.
Vienādojums kļūst:
Pārveidosim:
Piemērs:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
2. gadījums. Koeficients c = 0.
Vienādojums kļūst:
Pārveidosim un faktorinizēsim:
* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.
Piemērs:
9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.
Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.
Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.
Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.
Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv
a + b+ c = 0, Tas
- ja vienādojuma koeficientiem Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv
a+ c =b, Tas
Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.
1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Likmes summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kas nozīmē
2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Vienlīdzība ir spēkā a+ c =b, Līdzekļi
Koeficientu likumsakarības.
1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ja vienādojumā ax 2 – bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ja vienād. ax 2 + bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Ja vienādojumā ax 2 – bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients c skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vietas teorēma.
Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, varam izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kopumā skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.
Vietas teorēma, turklāt. Tas ir ērti ar to, ka pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (izmantojot diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt vienmēr.
TRANSPORTĒŠANAS METODE
Ar šo metodi koeficients “a” tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam “uzmests”, tāpēc to sauc "pārsūtīšanas" metode.Šo metodi izmanto, ja vienādojuma saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.
Ja A± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Izmantojot Vietas teorēmu (2) vienādojumā, ir viegli noteikt, ka x 1 = 10 x 2 = 1
Iegūtās vienādojuma saknes ir jādala ar 2 (jo abi tika “izmesti” no x 2), mēs iegūstam
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.
(1) un (2) vienādojumu diskriminanti ir vienādi:
Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, jūs iegūstat tikai dažādus saucējus, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta x 2:
Otrajam (modificētajam) ir 2 reizes lielākas saknes.
Tāpēc rezultātu dalām ar 2.
*Ja pārrullēsim trīs, rezultātu dalīsim ar 3 utt.
Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5
kv. ur-ie un vienotais valsts eksāmens.
Īsi pastāstīšu par tā nozīmi - IR JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu un diskriminējošo faktoru formulas jāzina no galvas. Daudzas no problēmām, kas iekļautas vienotā valsts eksāmena uzdevumos, ir saistītas ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).
Kaut kas ievērības cienīgs!
1. Vienādojuma rakstīšanas forma var būt “netieša”. Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:
15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 -5x + 10x 2 = 0.
Tev viņš jāatved pie sevis standarta skats(lai neapjuktu, pieņemot lēmumu).
2. Atcerieties, ka x ir nezināms lielums un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.
Sākotnēji šī tēma var šķist sarežģīta, jo daudzi to nedara vienkāršas formulas. Pašiem kvadrātvienādojumiem ir ne tikai gari apzīmējumi, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Kopumā tiek iegūtas trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc šādu vienādojumu biežas risināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.
Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats
Šeit mēs piedāvājam to skaidru ierakstu, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad noteikumi ir pretrunīgi. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.
Ieviesīsim dažus apzīmējumus. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.
Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.
Turklāt koeficients a ≠ 0. Lai šī formula ir numur viens.
Kad ir dots vienādojums, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:
- šķīdumam būs divas saknes;
- atbilde būs viens skaitlis;
- vienādojumam vispār nebūs sakņu.
Un, kamēr lēmums nav pieņemts galīgi, ir grūti saprast, kurš variants parādīsies konkrētajā gadījumā.
Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi
Uzdevumos var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies vispārējā formula kvadrātvienādojums. Dažreiz tajā pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.
Turklāt var pazust tikai termini ar koeficientiem “b” un “c”. Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula kļūst lineārais vienādojums. Nepilnīgas vienādojumu formas formulas būs šādas:
Tātad ir tikai divi veidi; papildus pilnīgiem ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Ļaujiet pirmajai formulai būt divi, bet otrajai - trīs.
Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības
Šis skaitlis ir jāzina, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs ceturtais numurs.
Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde ir divi dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, būs tikai viena atbilde.
Kā atrisināt pilnīgu kvadrātvienādojumu?
Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un ir zināms to skaits, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, jums jāpiemēro šāda formula.
Tā kā tajā ir zīme “±”, tam būs divas nozīmes. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt savādāk.
Piektā formula. No tā paša ieraksta ir skaidrs, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.
Ja kvadrātvienādojumu risināšana vēl nav izstrādāta, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.
Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu?
Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat nav vajadzīgas papildu formulas. Un tie, kas jau pierakstīti diskriminējošajam un nezināmajam, nebūs vajadzīgi.
Vispirms apskatīsim nepilnīgo vienādojumu numur divi. Šajā vienādībā ir jāizņem nezināmais daudzums no iekavām un jāatrisina lineārais vienādojums, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir reizinātājs, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūsim, atrisinot lineāru vienādojumu.
Nepilns vienādojums numurs trīs tiek atrisināts, pārvietojot skaitli no vienādības kreisās puses uz labo pusi. Tad jums jādala ar koeficientu, kas vērsts pret nezināmo. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un atcerēties to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.
Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdzēs jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības var izraisīt sliktas atzīmes, apgūstot plašo tēmu “Kvadrātvienādojumi (8. klase).” Pēc tam šīs darbības nebūs jāveic pastāvīgi. Jo parādīsies stabila prasme.
- Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes, un pēdējais - tikai skaitlis.
- Ja pirms koeficienta “a” parādās mīnuss, tas var sarežģīt darbu iesācējam, kas studē kvadrātvienādojumus. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar “-1”. Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.
- Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.
Piemēri
Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Pirmais vienādojums: x 2 − 7x = 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tiek atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.
Izņemot to no iekavām, izrādās: x (x - 7) = 0.
Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 = 0. Otro tiks atrasts no lineārā vienādojuma: x - 7 = 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 = 7.
Otrais vienādojums: 5x 2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.
Pēc 30 pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Trešais vienādojums: 15 − 2x − x 2 = 0. Šeit un turpmāk kvadrātvienādojumu risināšana sāksies, pārrakstot tos standarta formā: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 = 0. Izmantojot ceturto formulu, jums jāaprēķina diskriminants: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No tā, kas teikts iepriekš, izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie ir jāaprēķina, izmantojot piekto formulu. Izrādās, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 = 3, x 2 = - 5.
Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x = 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 = 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."
Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Sestais vienādojums (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka jāienes līdzīgi termini, vispirms atverot iekavas. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc tam, kad būs saskaitīti līdzīgi vārdi, vienādojums būs šādā formā: x 2 - x = 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Kaut kas līdzīgs šim jau ir apspriests nedaudz augstāk. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.
Apskatīsim problēmu. Taisnstūra pamatne ir par 10 cm lielāka par tā augstumu, un tā laukums ir 24 cm². Atrodiet taisnstūra augstumu. Ļaujiet X centimetri ir taisnstūra augstums, tad tā pamatne ir vienāda ar ( X+10) cm. Šī taisnstūra laukums ir X(X+ 10) cm². Atbilstoši problēmas apstākļiem X(X+ 10) = 24. Atveriet iekavas un pārvietojiet skaitli 24 ar pretējo zīmi kreisā puse vienādojumus, mēs iegūstam: X² + 10 X-24 = 0. Atrisinot šo uzdevumu, tika iegūts vienādojums, ko sauc par kvadrātisko.
Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums
cirvis ²+ bx+c= 0
Kur a, b, c- dotie skaitļi un A≠ 0 un X- nezināms.
Likmes a, b, c Kvadrātvienādojumu parasti sauc: a— pirmais vai augstākais koeficients, b- otrais koeficients, c- bezmaksas dalībnieks. Piemēram, mūsu uzdevumā vadošais koeficients ir 1, otrais koeficients ir 10 un brīvais termiņš ir -24. Daudzu matemātikas un fizikas problēmu risināšana ir saistīta ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu.
Kvadrātvienādojumu risināšana
Pilnīgi kvadrātvienādojumi. Pirmais solis ir dot doto vienādojumu standarta formā cirvis²+ bx+ c = 0. Atgriezīsimies pie mūsu uzdevuma, kurā vienādojumu var uzrakstīt kā X(X+ 10) = 24 izveidosim to standarta formā, atveriet iekavas X² + 10 X- 24 = 0, mēs atrisinām šo vienādojumu, izmantojot vispārīgā kvadrātvienādojuma sakņu formulu.
Izteiksmi zem saknes zīmes šajā formulā sauc par diskriminantu D = b² - 4 ac
Ja D>0, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas saknes, kuras var atrast, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu.
Ja D=0, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne.
Ja D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Aizstāsim vērtības mūsu formulā A= 1, b= 10, c= -24.
iegūstam D>0, tāpēc iegūstam divas saknes.
Apskatīsim piemēru, kur D=0, saskaņā ar šo nosacījumu ir jābūt vienai saknei.
25x² — 30 x+ 9 = 0
Apsveriet piemēru, kur D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x² + 3 x+ 4 = 0
Skaitlis zem saknes zīmes (diskriminants) ir negatīvs, mēs rakstām atbildi šādi: vienādojumam nav reālu sakņu.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana
Kvadrātvienādojums cirvis² + bx+ c= 0 sauc par nepilnīgu, ja vismaz viens no koeficientiem b vai c vienāds ar nulli. Nepilns kvadrātvienādojums ir vienādojums vienam no šādiem veidiem:
cirvis² = 0,
cirvis² + c= 0, c≠ 0,
cirvis² + bx= 0, b≠ 0.
Apskatīsim dažus piemērus un atrisināsim vienādojumu
Abas vienādojuma puses dalot ar 5, iegūstam vienādojumu X² = 0, atbildei būs viena sakne X= 0.
Apsveriet formas vienādojumu
3X² - 27 = 0
Abas puses dalot ar 3, iegūstam vienādojumu X² - 9 = 0, vai arī to var uzrakstīt X² = 9, atbildei būs divas saknes X= 3 un X= -3.
Apsveriet formas vienādojumu
2X² + 7 = 0
Abas puses dalot ar 2, iegūstam vienādojumu X² = -7/2. Šim vienādojumam nav reālu sakņu, kopš X² ≥ 0 jebkuram reālam skaitlim X.
Apsveriet formas vienādojumu
3X² + 5 X= 0
Faktorējot vienādojuma kreiso pusi, mēs iegūstam X(3X+ 5) = 0, atbildei būs divas saknes X= 0, X=-5/3.
Pats svarīgākais, risinot kvadrātvienādojumus, ir novest kvadrātvienādojumu standarta formā, iegaumēt vispārīgā kvadrātvienādojuma sakņu formulu un neapjukt zīmēs.
Turpinot tēmu “Vienādojumu risināšana”, šī raksta materiāls iepazīstinās jūs ar kvadrātvienādojumiem.
Apskatīsim visu sīkāk: kvadrātvienādojuma būtību un apzīmējumus, definēsim pavadošos terminus, analizēsim nepilnīgu un pilnīgu vienādojumu risināšanas shēmu, iepazīsimies ar sakņu formulu un diskriminantu, izveidosim savienojumus starp saknēm un koeficientiem, un, protams, sniegsim vizuālu risinājumu praktiskiem piemēriem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadrātvienādojums, tā veidi
1. definīcijaKvadrātvienādojums ir vienādojums, kas uzrakstīts kā a x 2 + b x + c = 0, Kur x– mainīgais, a , b un c– daži skaitļi, kamēr a nav nulle.
Bieži vien kvadrātvienādojumus sauc arī par otrās pakāpes vienādojumiem, jo būtībā kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums.
Dotās definīcijas ilustrēšanai dosim piemēru: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 utt. Tie ir kvadrātvienādojumi.
2. definīcija
Cipari a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c = 0, savukārt koeficients a sauc par pirmo jeb vecāko, vai koeficientu pie x 2, b - otro koeficientu, jeb koeficientu pie x, A c sauc par brīvo biedru.
Piemēram, kvadrātvienādojumā 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 vadošais koeficients ir 6, otrais koeficients ir − 2 , un brīvais termiņš ir vienāds ar − 11 . Pievērsīsim uzmanību tam, ka tad, kad koeficienti b un/vai c ir negatīvi, tad tiek izmantota īsa formas forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Noskaidrosim arī šo aspektu: ja koeficienti a un/vai b vienāds 1 vai − 1 , tad tie var nepiedalīties kvadrātvienādojuma rakstīšanā, kas izskaidrojams ar norādīto skaitlisko koeficientu rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 – y + 7 = 0 vadošais koeficients ir 1, bet otrais koeficients ir − 1 .
Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi
Pamatojoties uz pirmā koeficienta vērtību, kvadrātvienādojumi tiek sadalīti reducētajos un nereducētajos.
3. definīcija
Samazināts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kur vadošais koeficients ir 1. Citām vadošā koeficienta vērtībām kvadrātvienādojums nav samazināts.
Sniegsim piemērus: kvadrātvienādojumi x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ir samazināti, katrā no tiem vadošais koeficients ir 1.
9 x 2 − x − 2 = 0- nereducēts kvadrātvienādojums, kur pirmais koeficients atšķiras no 1 .
Jebkuru nereducētu kvadrātvienādojumu var pārvērst par reducētu vienādojumu, abas puses dalot ar pirmo koeficientu (ekvivalentā transformācija). Pārveidotajam vienādojumam būs tādas pašas saknes kā dotajam nereducētajam vienādojumam vai arī tam nebūs sakņu.
Konkrēta piemēra izskatīšana ļaus mums skaidri parādīt pāreju no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.
1. piemērs
Dots vienādojums 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Sākotnējais vienādojums ir jāpārvērš reducētā formā.
Risinājums
Saskaņā ar iepriekš minēto diagrammu mēs sadalām abas daļas sākotnējais vienādojums ar augstāko koeficientu 6. Tad mēs iegūstam: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0: 3, un tas ir tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 un tālāk: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. No šejienes: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tādējādi tiek iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.
Atbilde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi
Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma definīcijai. Tajā mēs to norādījām a ≠ 0. Līdzīgs nosacījums ir nepieciešams vienādojumam a x 2 + b x + c = 0 bija tieši kvadrātveida, jo plkst a = 0 tas būtībā pārveidojas par lineāru vienādojumu b x + c = 0.
Gadījumā, ja koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli (kas ir iespējams gan atsevišķi, gan kopā), kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.
4. definīcija
Nepilns kvadrātvienādojums- tāds kvadrātvienādojums a x 2 + b x + c = 0, kur vismaz viens no koeficientiem b Un c(vai abi) ir nulle.
Pilnīgs kvadrātvienādojums– kvadrātvienādojums, kurā visi skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli.
Apspriedīsim, kāpēc kvadrātvienādojumu veidiem ir doti tieši šādi nosaukumi.
Ja b = 0, kvadrātvienādojums iegūst formu a x 2 + 0 x + c = 0, kas ir tāds pats kā a x 2 + c = 0. Plkst c = 0 kvadrātvienādojums ir uzrakstīts kā a x 2 + b x + 0 = 0, kas ir līdzvērtīgs a x 2 + b x = 0. Plkst b = 0 Un c = 0 vienādojums pieņems formu a x 2 = 0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne termina ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Faktiski šis fakts deva nosaukumu šāda veida vienādojumam - nepilnīgs.
Piemēram, x 2 + 3 x + 4 = 0 un − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ir pilnīgi kvadrātvienādojumi; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepilni kvadrātvienādojumi.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana
Iepriekš sniegtā definīcija ļauj atšķirt šādus nepilnīgo kvadrātvienādojumu veidus:
- a x 2 = 0, šis vienādojums atbilst koeficientiem b = 0 un c = 0;
- a · x 2 + c = 0 pie b = 0;
- a · x 2 + b · x = 0 pie c = 0.
Apskatīsim secīgi katra veida nepilna kvadrātvienādojuma risinājumu.
Vienādojuma atrisinājums a x 2 =0
Kā minēts iepriekš, šis vienādojums atbilst koeficientiem b Un c, vienāds ar nulli. Vienādojums a x 2 = 0 var pārvērst līdzvērtīgā vienādojumā x 2 = 0, ko iegūstam, dalot abas sākotnējā vienādojuma puses ar skaitli a, nav vienāds ar nulli. Acīmredzams fakts ir tāds, ka vienādojuma sakne x 2 = 0šī ir nulle, jo 0 2 = 0 . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var izskaidrot ar pakāpes īpašībām: jebkuram skaitlim p, nav vienāds ar nulli, nevienlīdzība ir patiesa p 2 > 0, no kā izriet, ka kad p ≠ 0 vienlīdzība p 2 = 0 nekad netiks sasniegts.
5. definīcija
Tādējādi nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 = 0 ir viena sakne x = 0.
2. piemērs
Piemēram, atrisināsim nepilnu kvadrātvienādojumu − 3 x 2 = 0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 = 0, tā vienīgā sakne ir x = 0, tad sākotnējam vienādojumam ir viena sakne — nulle.
Īsumā risinājums ir uzrakstīts šādi:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Atrisinot vienādojumu a x 2 + c = 0
Nākamais rindā ir nepilnu kvadrātvienādojumu risinājums, kur b = 0, c ≠ 0, tas ir, formas vienādojumi a x 2 + c = 0. Pārveidosim šo vienādojumu, pārvietojot vārdu no vienas vienādojuma puses uz otru, mainot zīmi uz pretējo un dalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli:
- nodošana c labajā pusē, kas dod vienādojumu a x 2 = − c;
- sadaliet abas vienādojuma puses ar a, mēs iegūstam x = - c a .
Mūsu transformācijas ir līdzvērtīgas, attiecīgi arī iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam, un šis fakts ļauj izdarīt secinājumus par vienādojuma saknēm. No tā, kādas ir vērtības a Un c izteiksmes vērtība - c a ir atkarīga: tai var būt mīnusa zīme (piemēram, ja a = 1 Un c = 2, tad - c a = - 2 1 = - 2) vai plus zīme (piemēram, ja a = – 2 Un c = 6, tad - c a = - 6 - 2 = 3); tā nav nulle, jo c ≠ 0. Pakavēsimies sīkāk pie situācijām, kad - c a< 0 и - c a > 0 .
Gadījumā, ja - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lpp vienādība p 2 = - c a nevar būt patiesa.
Viss ir savādāk, ja - c a > 0: atcerieties kvadrātsakni, un kļūs skaidrs, ka vienādojuma sakne x 2 = - c a būs skaitlis - c a, jo - c a 2 = - c a. Nav grūti saprast, ka skaitlis - - c a ir arī vienādojuma x 2 = - c a sakne: tiešām, - - c a 2 = - c a.
Vienādojumam nebūs citu sakņu. Mēs to varam pierādīt, izmantojot pretrunu metodi. Sākumā definēsim iepriekš atrasto sakņu apzīmējumus kā x 1 Un − x 1. Pieņemsim, ka vienādojumam x 2 = - c a ir arī sakne x 2, kas atšķiras no saknēm x 1 Un − x 1. Mēs to zinām, aizstājot vienādojumā x tā saknes, mēs pārveidojam vienādojumu godīgā skaitliskā vienādībā.
Priekš x 1 Un − x 1 mēs rakstām: x 1 2 = - c a , un par x 2- x 2 2 = - c a . Pamatojoties uz skaitlisko vienādību īpašībām, mēs atņemam vienu pareizo vienādības vārdu pēc vārda no cita, kas mums iegūs: x 1 2 − x 2 2 = 0. Mēs izmantojam darbību īpašības ar skaitļiem, lai pārrakstītu pēdējo vienādību kā (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ir zināms, ka divu skaitļu reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no skaitļiem ir nulle. No iepriekš minētā izriet, ka x 1 − x 2 = 0 un/vai x 1 + x 2 = 0, kas ir tas pats x 2 = x 1 un/vai x 2 = − x 1. Radās acīmredzama pretruna, jo sākumā tika panākta vienošanās, ka vienādojuma sakne x 2 atšķiras no x 1 Un − x 1. Tātad, mēs esam pierādījuši, ka vienādojumam nav citu sakņu kā x = - c a un x = - - c a.
Apkoposim visus iepriekš minētos argumentus.
6. definīcija
Nepilns kvadrātvienādojums a x 2 + c = 0 ir vienāds ar vienādojumu x 2 = - c a, kas:
- nebūs sakņu pie - c a< 0 ;
- būs divas saknes x = - c a un x = - - c a for - c a > 0.
Sniegsim vienādojumu risināšanas piemērus a x 2 + c = 0.
3. piemērs
Dots kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0. Ir nepieciešams atrast risinājumu.
Risinājums
Pārvietosim brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi, tad vienādojums iegūs formu 9 x 2 = – 7.
Sadalīsim abas iegūtā vienādojuma puses ar 9
, mēs nonākam pie x 2 = - 7 9 . Labajā pusē redzams skaitlis ar mīnusa zīmi, kas nozīmē: dotajam vienādojumam nav sakņu. Tad sākotnējais nepilnīgais kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nebūs sakņu.
Atbilde: vienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nav sakņu.
4. piemērs
Vienādojums ir jāatrisina − x 2 + 36 = 0.
Risinājums
Pārvietosim 36 uz labo pusi: − x 2 = − 36.
Sadalīsim abas daļas ar − 1
, saņemam x 2 = 36. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs to varam secināt
x = 36 vai
x = - 36 .
Izņemsim sakni un pierakstīsim gala rezultātu: nepilnu kvadrātvienādojumu − x 2 + 36 = 0 ir divas saknes x=6 vai x = – 6.
Atbilde: x=6 vai x = – 6.
Vienādojuma atrisinājums a x 2 +b x=0
Analizēsim trešā veida nepilnīgos kvadrātvienādojumus, kad c = 0. Atrast nepilnīga kvadrātvienādojuma risinājumu a x 2 + b x = 0, mēs izmantosim faktorizācijas metodi. Faktorizēsim polinomu, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kopējo koeficientu izņemot no iekavām x. Šis solis ļaus pārveidot sākotnējo nepilnīgo kvadrātvienādojumu tā ekvivalentā x (a x + b) = 0. Un šis vienādojums, savukārt, ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai x = 0 Un a x + b = 0. Vienādojums a x + b = 0 lineārs, un tā sakne: x = − b a.
7. definīcija
Tādējādi nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 + b x = 0 būs divas saknes x = 0 Un x = − b a.
Pastiprināsim materiālu ar piemēru.
5. piemērs
Ir jāatrod atrisinājums vienādojumam 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Risinājums
Mēs to izņemsim xārpus iekavām iegūstam vienādojumu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumiem x = 0 un 2 3 x - 2 2 7 = 0. Tagad jums jāatrisina iegūtais lineārais vienādojums: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Īsi uzrakstiet vienādojuma risinājumu šādi:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 vai 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 vai x = 3 3 7
Atbilde: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula
Lai atrastu kvadrātvienādojumu risinājumus, ir saknes formula:
8. definīcija
x = - b ± D 2 · a, kur D = b 2 − 4 a c– tā sauktais kvadrātvienādojuma diskriminants.
Rakstot x = - b ± D 2 · a, būtībā nozīmē, ka x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Būtu noderīgi saprast, kā šī formula tika iegūta un kā to pielietot.
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Ļaujiet mums atrisināt kvadrātvienādojuma uzdevumu a x 2 + b x + c = 0. Veiksim vairākas līdzvērtīgas transformācijas:
- sadaliet abas vienādojuma puses ar skaitli a, kas atšķiras no nulles, iegūstam šādu kvadrātvienādojumu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- izcelsim ideāls kvadrāts iegūtā vienādojuma kreisajā pusē:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Pēc tam vienādojums būs šāds: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Tagad ir iespēja pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo, pēc kā iegūstam: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Visbeidzot, mēs pārveidojam izteiksmi, kas rakstīta pēdējās vienādības labajā pusē:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Tādējādi mēs nonākam pie vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kas ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam a x 2 + b x + c = 0.
Iepriekšējos punktos mēs apskatījām šādu vienādojumu risinājumu (nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana). Jau iegūtā pieredze ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 saknēm:
- ar b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, vienādojums ir x + b 2 · a 2 = 0, tad x + b 2 · a = 0.
No šejienes ir acīmredzama vienīgā sakne x = - b 2 · a;
- ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, būs taisnība: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 vai x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kas ir tāds pats kā x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 vai x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.i. vienādojumam ir divas saknes.
Var secināt, ka vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (un līdz ar to sākotnējais vienādojums) sakņu esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes b zīmes. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 rakstīts labajā pusē. Un šīs izteiksmes zīmi dod skaitītāja zīme (saucējs 4 un 2 vienmēr būs pozitīvs), tas ir, izteiksmes zīme b 2 − 4 a c. Šī izteiksme b 2 − 4 a c dots nosaukums - kvadrātvienādojuma diskriminants un burts D tiek definēts kā tā apzīmējums. Šeit jūs varat pierakstīt diskriminanta būtību - pamatojoties uz tā vērtību un zīmi, viņi var secināt, vai kvadrātvienādojumam būs reālas saknes, un, ja jā, tad kāds ir sakņu skaits - viena vai divas.
Atgriezīsimies pie vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Pārrakstīsim to, izmantojot diskriminējošu apzīmējumu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Vēlreiz formulēsim savus secinājumus:
9. definīcija
- plkst D< 0 vienādojumam nav reālu sakņu;
- plkst D=0 vienādojumam ir viena sakne x = - b 2 · a ;
- plkst D > 0 vienādojumam ir divas saknes: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 vai x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pamatojoties uz radikāļu īpašībām, šīs saknes var uzrakstīt formā: x = - b 2 · a + D 2 · a vai - b 2 · a - D 2 · a. Un, atverot moduļus un saliekot daļskaitļus līdz kopsaucējam, mēs iegūstam: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Tātad mūsu argumentācijas rezultāts bija kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminants D aprēķina pēc formulas D = b 2 − 4 a c.
Šīs formulas ļauj noteikt abas reālās saknes, ja diskriminants ir lielāks par nulli. Ja diskriminants ir nulle, tad, piemērojot abas formulas, tiks iegūta tāda pati sakne kā vienīgais kvadrātvienādojuma risinājums. Gadījumā, ja diskriminants ir negatīvs, ja mēģināsim izmantot kvadrātvienādojuma saknes formulu, mēs saskarsimies ar nepieciešamību iegūt Kvadrātsakne no negatīva skaitļa, kas mūs aizvedīs tālāk par reālajiem skaitļiem. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nebūs reālu sakņu, bet ir iespējams sarežģītu konjugētu sakņu pāris, ko nosaka tās pašas sakņu formulas, ko ieguvām.
Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas
Kvadrātvienādojumu ir iespējams atrisināt, nekavējoties izmantojot saknes formulu, bet parasti tas tiek darīts, ja nepieciešams atrast sarežģītas saknes.
Vairumā gadījumu tas parasti nozīmē meklēt nevis sarežģītas, bet reālas kvadrātvienādojuma saknes. Tad ir optimāli pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas vispirms noteikt diskriminantu un pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs secināsim, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam ķerties pie rezultāta aprēķināšanas. sakņu vērtība.
Iepriekš minētais pamatojums ļauj formulēt kvadrātvienādojuma risināšanas algoritmu.
10. definīcija
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0, nepieciešams:
- saskaņā ar formulu D = b 2 − 4 a c atrast diskriminējošo vērtību;
- pie D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- ja D = 0, atrodiet vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu x = - b 2 · a ;
- ja D > 0, nosaka divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot formulu x = - b ± D 2 · a.
Ņemiet vērā, ka, ja diskriminants ir nulle, varat izmantot formulu x = - b ± D 2 · a, tā dos tādu pašu rezultātu kā formula x = - b 2 · a.
Apskatīsim piemērus.
Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri
Sniegsim risinājumus piemēriem dažādām diskriminanta vērtībām.
6. piemērs
Mums jāatrod vienādojuma saknes x 2 + 2 x - 6 = 0.
Risinājums
Pierakstīsim kvadrātvienādojuma skaitliskos koeficientus: a = 1, b = 2 un c = – 6. Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, t.i. Sāksim aprēķināt diskriminantu, kuram aizvietosim koeficientus a, b Un c diskriminanta formulā: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Tātad mēs iegūstam D > 0, kas nozīmē, ka sākotnējam vienādojumam būs divas reālas saknes.
Lai tos atrastu, izmantojam saknes formulu x = - b ± D 2 · a un, aizstājot atbilstošās vērtības, iegūstam: x = - 2 ± 28 2 · 1. Vienkāršosim iegūto izteiksmi, izņemot koeficientu no saknes zīmes un pēc tam samazinot daļu:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 vai x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 vai x = - 1 - 7
Atbilde: x = -1 + 7, x = -1 - 7.
7. piemērs
Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Risinājums
Definēsim diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Ar šo diskriminanta vērtību sākotnējam vienādojumam būs tikai viena sakne, ko nosaka pēc formulas x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
Atbilde: x = 3,5.
8. piemērs
Vienādojums ir jāatrisina 5 g 2 + 6 g + 2 = 0
Risinājums
Šī vienādojuma skaitliskie koeficienti būs: a = 5, b = 6 un c = 2. Mēs izmantojam šīs vērtības, lai atrastu diskriminantu: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Aprēķinātais diskriminants ir negatīvs, tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.
Gadījumā, ja uzdevums ir norādīt sarežģītas saknes, mēs izmantojam saknes formulu, veicot darbības ar kompleksajiem skaitļiem:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 vai x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i vai x = - 3 5 - 1 5 · i.
Atbilde: nav īstu sakņu; kompleksās saknes ir šādas: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
IN skolas mācību programma Nav standarta prasības meklēt sarežģītas saknes, tādēļ, ja risinājuma laikā tiek noteikts, ka diskriminants ir negatīvs, uzreiz tiek pierakstīta atbilde, ka īstu sakņu nav.
Saknes formula pat otrajam koeficientam
Saknes formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ļauj iegūt citu formulu, kompaktāku, ļaujot atrast risinājumus kvadrātvienādojumiem ar pāra koeficientu x ( vai ar koeficientu formā 2 · n, piemēram, 2 3 vai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ļaujiet mums parādīt, kā šī formula tiek iegūta.
Stāsimies ar uzdevumu atrast kvadrātvienādojuma a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 atrisinājumu. Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: nosakām diskriminantu D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), un pēc tam izmantojam saknes formulu:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.
Apzīmēsim izteiksmi n 2 − a · c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad apskatāmā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 · n iegūs šādu formu:
x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 − a · c.
Ir viegli redzēt, ka D = 4 · D 1 vai D 1 = D 4. Citiem vārdiem sakot, D 1 ir ceturtā daļa no diskriminanta. Acīmredzot D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme, kas nozīmē, ka D 1 zīme var kalpot arī kā kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības indikators.
11. definīcija
Tādējādi, lai atrastu risinājumu kvadrātvienādojumam ar otro koeficientu 2 n, ir nepieciešams:
- atrast D 1 = n 2 − a · c ;
- pie D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- ja D 1 = 0, nosaka vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu x = - n a;
- ja D 1 > 0, nosaka divas reālās saknes, izmantojot formulu x = - n ± D 1 a.
9. piemērs
Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Risinājums
Dotā vienādojuma otro koeficientu varam attēlot kā 2 · (− 3) . Tad mēs pārrakstām doto kvadrātvienādojumu kā 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kur a = 5, n = − 3 un c = − 32.
Aprēķināsim diskriminanta ceturto daļu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Iegūtā vērtība ir pozitīva, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes. Noteiksim tos, izmantojot atbilstošo saknes formulu:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 vai x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 vai x = - 2
Varētu veikt aprēķinus, izmantojot parasto kvadrātvienādojuma sakņu formulu, taču šajā gadījumā risinājums būtu apgrūtinošāks.
Atbilde: x = 3 1 5 vai x = - 2 .
Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana
Dažreiz ir iespējams optimizēt sākotnējā vienādojuma formu, kas vienkāršos sakņu aprēķināšanas procesu.
Piemēram, kvadrātvienādojums 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ir nepārprotami ērtāk atrisināms nekā 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Biežāk kvadrātvienādojuma formas vienkāršošana tiek veikta, reizinot vai dalot tā abas puses ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekš mēs parādījām vienkāršotu vienādojuma 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 attēlojumu, kas iegūts, abas puses dalot ar 100.
Šāda transformācija ir iespējama, ja kvadrātvienādojuma koeficienti nav pirmskaitļi. Tad mēs parasti sadalām abas vienādojuma puses ar tā koeficientu absolūto vērtību lielāko kopīgo dalītāju.
Kā piemēru mēs izmantojam kvadrātvienādojumu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Noteiksim tā koeficientu absolūto vērtību GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Sadalīsim abas sākotnējā kvadrātvienādojuma puses ar 6 un iegūsim ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Reizinot abas kvadrātvienādojuma puses, jūs parasti atbrīvojaties no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā tie reizina ar tā koeficientu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Piemēram, ja katra kvadrātvienādojuma daļa 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 tiek reizināta ar LCM (6, 3, 1) = 6, tad tā tiks uzrakstīta vairāk vienkāršā formā x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka mēs gandrīz vienmēr atbrīvojamies no mīnusa pie kvadrātvienādojuma pirmā koeficienta, mainot katra vienādojuma locekļa zīmes, ko panāk, reizinot (vai dalot) abas puses ar −1. Piemēram, no kvadrātvienādojuma − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, jūs varat pāriet uz tā vienkāršoto versiju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Sakarība starp saknēm un koeficientiem
Mums jau zināmā kvadrātvienādojumu sakņu formula x = - b ± D 2 · a izsaka vienādojuma saknes caur tā skaitliskiem koeficientiem. Paļaujoties uz šī formula, mums ir iespēja norādīt citas atkarības starp saknēm un koeficientiem.
Slavenākās un pielietojamākās formulas ir Vietas teorēma:
x 1 + x 2 = - b a un x 2 = c a.
Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir otrais koeficients ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, aplūkojot kvadrātvienādojuma formu 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, uzreiz var noteikt, ka tā sakņu summa ir 7 3 un sakņu reizinājums ir 22 3.
Varat arī atrast vairākus citus savienojumus starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar koeficientiem:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
