Ar matricu A, ja ir tāds skaitlis l, ka AX = lX.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs l īpašvērtība operators (matrica A), kas atbilst vektoram X.

Citiem vārdiem sakot, īpašvektors ir vektors, kas lineāra operatora iedarbībā pārvēršas par kolineāru vektoru, t.i. vienkārši reiziniet ar kādu skaitli. Turpretim nepareizus vektorus ir sarežģītāk pārveidot.

Pierakstīsim īpašvektora definīciju vienādojumu sistēmas veidā:

Pārvietosim visus terminus uz kreiso pusi:

Pēdējo sistēmu var uzrakstīt matricas formā šādi:

(A - lE)X = O

Iegūtajai sistēmai vienmēr ir nulles risinājums X = O. Tādas sistēmas, kurās visi brīvie termini ir vienādi ar nulli, sauc viendabīgs. Ja šādas sistēmas matrica ir kvadrātveida un tās determinants nav vienāds ar nulli, tad, izmantojot Krāmera formulas, mēs vienmēr iegūsim unikālu risinājumu - nulli. Var pierādīt, ka sistēmai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tad un tikai tad, ja šīs matricas determinants ir vienāds ar nulli, t.i.

|A - lE| = = 0

Šo vienādojumu ar nezināmu l sauc raksturīgais vienādojums (raksturīgs polinoms) matrica A (lineārais operators).

Var pierādīt, ka lineāra operatora raksturīgais polinoms nav atkarīgs no bāzes izvēles.

Piemēram, atradīsim lineārā operatora īpašvērtības un īpašvektorus, ko nosaka matrica A = .

Lai to izdarītu, sacerēsim raksturīgais vienādojums|A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; īpašvērtības l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Lai atrastu īpašvektorus, mēs atrisinām divas vienādojumu sistēmas

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Pirmajam no tiem izvērsta matrica iegūst formu

,

no kurienes x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, t.i. X (1) = (-(2/3) s; s).

Otrajam no tiem izvērstā matrica iegūst formu

,

no kur x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, t.i. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Tādējādi šī lineārā operatora īpašvektori ir visi formas (-(2/3)с; с) vektori ar īpašvērtību (-5) un visi formas ((2/3)с 1 ; с 1) vektori ar īpašvērtība 7 .

Var pierādīt, ka operatora A matrica bāzē, kas sastāv no tā īpašvektoriem, ir diagonāla un tai ir forma:

,

kur l i ir šīs matricas īpašvērtības.

Ir arī otrādi: ja matrica A kādā bāzē ir diagonāla, tad visi šīs bāzes vektori būs šīs matricas īpašvektori.

Var arī pierādīt, ka, ja lineāram operatoram ir n pāros atšķirīgas īpašvērtības, tad attiecīgie īpašvektori ir lineāri neatkarīgi, un šī operatora matricai attiecīgajā bāzē ir diagonāla forma.

Ilustrēsim to ar iepriekšējo piemēru. Ņemsim patvaļīgas vērtības, kas nav nulles vērtības c un c 1, bet tādas, lai vektori X (1) un X (2) būtu lineāri neatkarīgi, t.i. veidotu pamatu. Piemēram, pieņemsim, ka c = c 1 = 3, tad X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Pārliecināsimies lineārā neatkarībašie vektori:

12 ≠ 0. Šajā jaunajā bāzē matrica A būs A * = .

Lai to pārbaudītu, izmantosim formulu A * = C -1 AC. Pirmkārt, atradīsim C -1.

C -1 = ;

Kvadrātiskās formas

Kvadrātiskā forma n mainīgo f(x 1, x 2, x n) sauc par summu, kuras katrs loceklis ir vai nu viena mainīgā lieluma kvadrāts, vai divu dažādu mainīgo reizinājums, kas ņemts ar noteiktu koeficientu: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Tiek saukta matrica A, kas sastāv no šiem koeficientiem matrica kvadrātiskā forma. Tā ir vienmēr simetrisks matrica (t.i., matrica, kas ir simetriska ap galveno diagonāli, a ij = a ji).

Matricas pierakstā kvadrātveida forma ir f(X) = X T AX, kur

Patiešām

Piemēram, rakstīsim kvadrātveida formu matricas formā.

Lai to izdarītu, mēs atrodam kvadrātveida formas matricu. Tās diagonālie elementi ir vienādi ar kvadrātveida mainīgo koeficientiem, bet pārējie elementi ir vienādi ar kvadrātveida formas atbilstošo koeficientu pusēm. Tāpēc

Mainīgo X matricas kolonnu iegūstam ar nedeģenerētu matricas kolonnas Y lineāru transformāciju, t.i. X = CY, kur C ir n-tās kārtas nevienskaitļa matrica. Tad kvadrātveida forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Tādējādi ar nedeģenerētu lineāru transformāciju C kvadrātiskās formas matrica iegūst šādu formu: A * = C T AC.

Piemēram, atradīsim kvadrātformu f(y 1, y 2), kas iegūta no kvadrātiskās formas f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ar lineāru transformāciju.

Kvadrātiskā forma tiek saukta kanonisks(Tā ir kanoniskais skatījums), ja visi tā koeficienti a ij = 0, ja i ≠ j, t.i.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Tās matrica ir pa diagonāli.

Teorēma(pierādījums šeit nav sniegts). Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot nedeģenerētu lineāro transformāciju.

Piemēram, reducēsim kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Lai to izdarītu, mēs vispirms atlasām ideāls kvadrāts ar mainīgo x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x22 -x2x3.

Tagad mēs izvēlamies pilnu kvadrātu ar mainīgo x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Tad nedeģenerētā lineārā transformācija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 un y 3 = x 3 nodrošina šo kvadrātisko formu kanoniskajā formā f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Ņemiet vērā, ka kvadrātiskās formas kanoniskā forma tiek noteikta neviennozīmīgi (to pašu kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisko formu Dažādi ceļi). Tomēr saņemtais Dažādi ceļi kanoniskajām formām ir vairākas vispārīgas īpašības. Jo īpaši kvadrātiskās formas pozitīvo (negatīvo) koeficientu terminu skaits nav atkarīgs no formas reducēšanas metodes līdz šai formai (piemēram, aplūkotajā piemērā vienmēr būs divi negatīvi un viens pozitīvs koeficients). Šo īpašību sauc par kvadrātisko formu inerces likumu.

Pārbaudīsim to, apvienojot to pašu kvadrātisko formu kanoniskajā formā citā veidā. Sāksim transformāciju ar mainīgo x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2+
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 — (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 un y 3 = x 1 . Šeit ir negatīvs koeficients -3 pie y 1 un divi pozitīvi koeficienti 3 un 2 pie y 2 un y 3 (un, izmantojot citu metodi, mēs ieguvām negatīvu koeficientu (-5) pie y 2 un divus pozitīvus: 2 pie y 1 un 1/20 3. g.).

Jāņem arī vērā, ka kvadrātiskās formas matricas rangs, saukts kvadrātveida formas rangs, ir vienāds ar kanoniskās formas nulles koeficientu skaitu un nemainās lineāro transformāciju gadījumā.

Tiek izsaukta kvadrātiskā forma f(X). pozitīvi (negatīvs) noteikti, ja visām mainīgo vērtībām, kas vienlaikus nav vienādas ar nulli, tas ir pozitīvs, t.i. f(X) > 0 (negatīvs, t.i.
f(X)< 0).

Piemēram, kvadrātiskā forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ir pozitīva noteikta, jo ir kvadrātu summa, un kvadrātiskā forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ir negatīva noteikta, jo apzīmē to var attēlot kā f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Lielākajā daļā praktisko situāciju ir nedaudz grūtāk noteikt kvadrātiskās formas noteiktu zīmi, tāpēc mēs izmantojam vienu no tālāk norādītajām teorēmām (mēs tās formulēsim bez pierādījumiem).

Teorēma. Kvadrātiskā forma ir pozitīva (negatīva) noteikta tad un tikai tad, ja visas tās matricas īpašvērtības ir pozitīvas (negatīvas).

Teorēma(Silvestra kritērijs). Kvadrātiskā forma ir pozitīva, noteikta tad un tikai tad, ja visi šīs formas matricas vadošie minori ir pozitīvi.

Galvenā (stūra) minora N-tās kārtas k-tās kārtas matricu A sauc par matricas determinantu, kas sastāv no matricas A () pirmajām k rindām un kolonnām.

Ņemiet vērā, ka negatīvām noteiktām kvadrātiskām formām galveno minoritāšu zīmes mijas, un pirmās kārtas minorām jābūt negatīvām.

Piemēram, apskatīsim kvadrātisko formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2, lai noteiktu zīmes noteiktību.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Tāpēc kvadrātiskā forma ir pozitīva noteikta.

2. metode. Matricas pirmās kārtas galvenais minors A D 1 = a 11 = 2 > 0. Otrās kārtas galvenais minors D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Tāpēc saskaņā ar Silvestra kritēriju kvadrātveida forma ir pozitīvs noteikts.

Mēs pārbaudām citu kvadrātisko formu zīmes noteiktībai, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. metode. Konstruēsim matricu ar kvadrātveida formu A = . Raksturīgajam vienādojumam būs forma = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Tāpēc kvadrātiskā forma ir negatīva noteikta.

2. metode. Matricas A pirmās kārtas galvenais minors D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Līdz ar to pēc Silvestra kritērija kvadrātveida forma ir negatīva noteikta (galveno nepilngadīgo zīmes mijas, sākot ar mīnusu).

Un kā citu piemēru mēs pārbaudām zīmju noteikto kvadrātisko formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. metode. Konstruēsim matricu ar kvadrātveida formu A = . Raksturīgajam vienādojumam būs forma = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Viens no šiem skaitļiem ir negatīvs, bet otrs ir pozitīvs. Īpašo vērtību zīmes ir atšķirīgas. Līdz ar to kvadrātveida forma nevar būt ne negatīvi, ne pozitīvi noteikta, t.i. šī kvadrātiskā forma nav noteikta ar zīmi (tai var būt jebkuras zīmes vērtības).

2. metode. Matricas A pirmās kārtas galvenais minors D 1 = a 11 = 2 > 0. Otrās kārtas galvenais minors D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

HOMOGĒNO LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMA

Viendabīga sistēma lineārie vienādojumi sauc par formu sistēmu

Skaidrs, ka šajā gadījumā , jo visi vienas kolonnas elementi šajos determinantos ir vienādi ar nulli.

Tā kā nezināmie tiek atrasti pēc formulām , tad gadījumā, ja Δ ≠ 0, sistēmai ir unikāls nulles risinājums x = y = z= 0. Tomēr daudzās problēmās interesants ir jautājums, vai viendabīga sistēma risinājumi, kas nav nulles.

Teorēma. Lai lineārajai sistēmai viendabīgi vienādojumi bija risinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ ≠ 0.

Tātad, ja determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums. Ja Δ ≠ 0, tad lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Piemēri.

Matricas īpašvektori un īpatnējās vērtības

Dota kvadrātveida matrica , X– kāda matrica-kolonna, kuras augstums sakrīt ar matricas secību A. .

Daudzās problēmās mums ir jāņem vērā vienādojums X

kur λ ir noteikts skaitlis. Ir skaidrs, ka jebkuram λ šim vienādojumam ir nulles risinājums.

Tiek izsaukts skaitlis λ, kuram šim vienādojumam ir nulles atrisinājumi īpašvērtība matricas A, A X par šādu λ sauc īpašvektors matricas A.

Atradīsim matricas īpašvektoru A. Tāpēc ka E∙X = X, tad matricas vienādojumu var pārrakstīt kā vai . Izvērstā formā šo vienādojumu var pārrakstīt kā lineāru vienādojumu sistēmu. Tiešām .

Un tāpēc

Tātad, mēs esam ieguvuši viendabīgu lineāru vienādojumu sistēmu koordinātu noteikšanai x 1, x 2, x 3 vektors X. Lai sistēmai būtu risinājumi, kas atšķiras no nulles, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas determinants būtu vienāds ar nulli, t.i.

Šis ir λ trešās pakāpes vienādojums. To sauc raksturīgais vienādojums matricas A un kalpo λ īpašvērtību noteikšanai.

Katra īpašvērtība λ atbilst īpašvektoram X, kuras koordinātas tiek noteiktas no sistēmas pie atbilstošās λ vērtības.

Piemēri.

VEKTORS ALGEBRA. VEKTORA JĒDZIENS

Pētot dažādas fizikas nozares, ir lielumi, kurus pilnībā nosaka, norādot to skaitliskās vērtības, piemēram, garumu, laukumu, masu, temperatūru u.c. Šādus lielumus sauc par skalāriem. Taču papildus tiem ir arī lielumi, kuru noteikšanai papildus skaitliskajai vērtībai ir jāzina arī to virziens telpā, piemēram, spēks, kas iedarbojas uz ķermeni, kustības ātrums un paātrinājums. ķermenis, kad tas pārvietojas telpā, spriedze magnētiskais lauks noteiktā telpas punktā utt. Šādus lielumus sauc par vektora lielumiem.

Ieviesīsim stingru definīciju.

Režisēts segments Sauksim segmentu, attiecībā pret kura galiem ir zināms, kurš no tiem ir pirmais un kurš otrais.

Vektors sauc par virzītu segmentu ar noteiktu garumu, t.i. Šis ir noteikta garuma segments, kurā viens no to ierobežojošajiem punktiem tiek ņemts par sākumu, bet otrs - kā beigas. Ja A- vektora sākums, B ir tā beigas, tad vektoru apzīmē ar simbolu, turklāt vektoru bieži apzīmē ar vienu burtu. Attēlā vektors ir norādīts ar segmentu, bet tā virziens ar bultiņu.

Modulis vai garums Vektoru sauc par virzītā segmenta garumu, kas to nosaka. Apzīmē ar || vai ||.

Kā vektorus iekļausim arī tā saukto nulles vektoru, kura sākums un beigas sakrīt. Tas ir norādīts. Nulles vektoram nav noteikta virziena, un tā modulis ir nulle ||=0.

Vektorus sauc kolineārs, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām. Turklāt, ja vektori un atrodas vienā virzienā, mēs rakstīsim , pretēji.

Tiek saukti vektori, kas atrodas uz taisnēm, kas ir paralēlas tai pašai plaknei koplanārs.

Abi vektori tiek saukti vienāds, ja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds virziens un vienāds garums. Šajā gadījumā viņi raksta.

No vektoru vienādības definīcijas izriet, ka vektoru var transportēt paralēli sev, novietojot tā sākumu jebkurā telpas punktā.

Piemēram.

LINEĀRĀS OPERĀCIJAS UZ VEKTORIEM

1. Vektora reizināšana ar skaitli.

   Vektora un skaitļa λ reizinājums ir jauns vektors, kurā:

   Vektora un skaitļa λ reizinājumu apzīmē ar .

   

   Piemēram, ir vektors, kas vērsts tajā pašā virzienā kā vektors un kura garums ir uz pusi mazāks nekā vektora garums.

   Ieviestajai darbībai ir sekojošs īpašības:

2. Vektoru pievienošana.

   Ļaut un ir divi patvaļīgi vektori. Ņemsim patvaļīgu punktu O un izveidot vektoru. Pēc tam no punkta A noliksim malā vektoru. Tiek izsaukts vektors, kas savieno pirmā vektora sākumu ar otrā vektora beigām summa no šiem vektoriem un ir apzīmēts .

   

   Tiek saukta formulētā vektoru saskaitīšanas definīcija paralelograma noteikums, jo vienu un to pašu vektoru summu var iegūt šādi. Atliksim no punkta O vektori un . Konstruēsim uz šiem vektoriem paralelogramu OABC. Tā kā vektori, tad vektors, kas ir no virsotnes novilkta paralelograma diagonāle O, acīmredzot būs vektoru summa.

   

   Ir viegli pārbaudīt tālāk norādīto vektoru pievienošanas īpašības.

3. Vektoru atšķirība.

   Tiek izsaukts vektors, kas ir kolineārs noteiktam vektoram, vienāda garuma un pretējā virzienā pretī vektors vektoram un tiek apzīmēts ar . Pretējo vektoru var uzskatīt par vektora reizināšanas ar skaitli λ = –1 rezultātu: .

Pašvērtības(skaitļi) un īpašvektori.
Risinājumu piemēri

Esi tu pats

No abiem vienādojumiem izriet, ka .

Tad liksim: .

Rezultātā: – otrais īpašvektors.

Atkārtosim svarīgi punkti risinājumi:

– noteikti ir izveidotā sistēma kopīgs lēmums(vienādojumi ir lineāri atkarīgi);

– “y” izvēlamies tā, lai tas būtu vesels skaitlis un pirmā “x” koordināte būtu vesels skaitlis, pozitīva un pēc iespējas mazāka.

– pārbaudām, vai konkrētais risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Atbilde .

vidējais " kontroles punkti" bija diezgan pietiekami, tāpēc vienlīdzību pārbaude principā nav nepieciešama.

Dažādos informācijas avotos īpašvektoru koordinātas bieži raksta nevis kolonnās, bet rindās, piemēram: (un, godīgi sakot, es pats esmu pieradis tos rakstīt rindās). Šī iespēja ir pieņemama, taču, ņemot vērā tēmu lineārās transformācijas tehniski ērtāk lietojams kolonnu vektori.

Iespējams, risinājums jums šķita ļoti garš, bet tas ir tikai tāpēc, ka es ļoti detalizēti komentēju pirmo piemēru.

2. piemērs

Matricas

Trenēsimies paši! Aptuvens gala uzdevuma piemērs nodarbības beigās.

Dažreiz jums ir jādara papildu uzdevums, proti:

uzrakstiet kanoniskās matricas dekompozīcijas

Kas tas ir?

Ja matricas īpašvektori veido pamats, tad to var attēlot šādi:

Kur ir matrica, kas sastāv no īpašvektoru koordinātām, - diagonāli matrica ar atbilstošām īpašvērtībām.

Šo matricas sadalīšanu sauc kanonisks vai diagonāli.

Apskatīsim pirmā piemēra matricu. Tās īpašvektori lineāri neatkarīgs(nekolineārs) un veido pamatu. Izveidosim to koordinātu matricu:

Ieslēgts galvenā diagonāle matricas atbilstošā secībā atrodas īpašvērtības, un pārējie elementi ir vienādi ar nulli:
– Vēlreiz uzsveru kārtības nozīmi: “divi” atbilst 1. vektoram un tāpēc atrodas 1. ailē, “trīs” – 2. vektoram.

Autors pēc parastā algoritma atrašana apgrieztā matrica vai Gausa-Jordānas metode mēs atradām . Nē, tā nav drukas kļūda! - pirms jums ir rets notikums, piemēram, saules aptumsums, kad otrādi sakrita ar sākotnējo matricu.

Atliek pierakstīt matricas kanonisko sadalījumu:

Sistēmu var atrisināt, izmantojot elementāras transformācijas, un turpmākajos piemēros mēs to izmantosim šī metode. Bet šeit “skolas” metode darbojas daudz ātrāk. No 3. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar otro vienādojumu:

Tā kā pirmā koordināta ir nulle, mēs iegūstam sistēmu, no kuras katra vienādojuma izriet, ka .

Un atkal pievērsiet uzmanību obligātai lineāras attiecības klātbūtnei. Ja tiek iegūts tikai triviāls risinājums , tad vai nu īpašvērtība tika atrasta nepareizi, vai arī sistēma tika apkopota/atrisināta ar kļūdu.

Vērtību dod kompaktās koordinātas

Pašvektors:

Un vēlreiz pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu. Nākamajos punktos un turpmākajos uzdevumos iesaku šo vēlmi uzskatīt par obligātu noteikumu.

2) Pašvērtībai, izmantojot to pašu principu, iegūstam šādu sistēmu:

No sistēmas 2. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar trešo vienādojumu:

Tā kā “zeta” koordināte ir vienāda ar nulli, mēs iegūstam sistēmu no katra vienādojuma, no kura tā izriet lineārā atkarība.

Ļaujiet

Pārbaudot, vai risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Tādējādi īpašvektors ir: .

3) Un visbeidzot, sistēma atbilst īpašvērtībai:

Otrais vienādojums izskatās visvienkāršākais, tāpēc izteiksim to un aizvietosim ar 1. un 3. vienādojumu:

Viss ir kārtībā - ir izveidojusies lineāra sakarība, ko mēs aizstājam ar izteiksmi:

Rezultātā “x” un “y” tika izteikti ar “z”: . Praksē nav nepieciešams precīzi panākt šādas attiecības, dažos gadījumos ir ērtāk izteikt gan caur, gan caur. Vai pat “vilciens” — piemēram, no “X” līdz “I” un “I” līdz “Z”

Tad liksim:

Mēs pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu un raksta trešo īpašvektoru

Atbilde: īpašvektori:

Ģeometriski šie vektori definē trīs dažādus telpiskos virzienus ("Tur un atkal atpakaļ"), saskaņā ar kuru lineārā transformācija pārvērš nulles vektorus (pašvektorus) kolineāros vektoros.

Ja nosacījums prasīja atrast kanonisko sadalījumu, tad šeit tas ir iespējams, jo dažādas īpašvērtības atbilst dažādiem lineāri neatkarīgiem īpašvektoriem. Matricas veidošana no to koordinātām diagonālā matrica no atbilstošsīpašvērtības un atrast apgrieztā matrica .

Ja pēc nosacījuma jums ir jāraksta lineārās transformācijas matrica īpašvektoru bāzē, tad sniedzam atbildi formā . Ir atšķirība, un atšķirība ir būtiska! Tā kā šī matrica ir “de” matrica.

Problēma ar vairāk vienkārši aprēķini Priekš neatkarīgs lēmums:

5. piemērs

Atrodiet matricas dotās lineārās transformācijas īpašvektorus

Atrodot savus skaitļus, mēģiniet nepāriet līdz 3. pakāpes polinomam. Turklāt jūsu sistēmas risinājumi var atšķirties no maniem risinājumiem - šeit nav pārliecības; un atrastie vektori var atšķirties no parauga vektoriem līdz to attiecīgo koordinātu proporcionalitātei. Piemēram, un. Estētiskāk ir sniegt atbildi veidlapā, taču ir pareizi, ja apstājaties pie otrās iespējas. Tomēr visam ir saprātīgi ierobežojumi; versija vairs neizskatās īpaši laba.

Aptuvenais galīgais uzdevuma paraugs nodarbības beigās.

Kā atrisināt problēmu vairāku īpašvērtību gadījumā?

Vispārējs algoritms paliek nemainīgs, taču tam ir savas īpašības, un dažas risinājuma daļas ieteicams saglabāt stingrākā akadēmiskā stilā:

6. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Risinājums

Protams, rakstīsim ar lielo burtu pasakaino pirmo kolonnu:

Un pēc kvadrātiskā trinoma ieskaitīšanas:

Rezultātā tiek iegūtas īpašvērtības, no kurām divas ir daudzkārtējas.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Tiksim galā ar vientuļo karavīru pēc “vienkāršotas” shēmas:

No pēdējiem diviem vienādojumiem ir skaidri redzama vienādība, kas, protams, ir jāaizvieto ar sistēmas 1. vienādojumu:

Jūs neatradīsit labāku kombināciju:
Pašvektors:

2-3) Tagad mēs noņemam pāris sargsargus. IN šajā gadījumā tas varētu izdoties vai nu divi vai viensīpašvektors. Neatkarīgi no sakņu daudzveidības mēs vērtību aizstājam ar determinantu kas mums nes nākamo viendabīga lineāro vienādojumu sistēma:

Pašvektori ir tieši vektori
pamata risinājumu sistēma

Patiesībā visas nodarbības laikā mēs neko nedarījām, kā tikai atradām pamatsistēmas vektorus. Vienkārši pagaidām šis termins nebija īpaši pieprasīts. Starp citu, tie gudrie skolēni, kuri palaida garām tēmu kamuflāžas uzvalkos viendabīgi vienādojumi, tagad būs spiests to uzpīpēt.

Vienīgā darbība bija papildu līniju noņemšana. Rezultāts ir matrica pa vienam ar trīs ar formālu “soli” vidū.
– pamata mainīgais, – brīvie mainīgie. Tāpēc ir divi brīvi mainīgie ir arī divi pamatsistēmas vektori.

Izteiksim pamatmainīgo brīvo mainīgo izteiksmē: . Nulles reizinātājs “X” priekšā ļauj tam iegūt absolūti jebkuras vērtības (kas ir skaidri redzams no vienādojumu sistēmas).

Šīs problēmas kontekstā vispārīgo risinājumu ērtāk ir rakstīt nevis rindā, bet kolonnā:

Pāris atbilst īpašvektoram:
Pāris atbilst īpašvektoram:

Piezīme : sarežģīti lasītāji var atlasīt šos vektorus mutiski – vienkārši analizējot sistēmu , taču šeit ir vajadzīgas dažas zināšanas: ir trīs mainīgie, sistēmas matricas rangs- viens, kas nozīmē pamata lēmumu sistēma sastāv no 3 – 1 = 2 vektoriem. Taču atrastie vektori ir skaidri redzami arī bez šīm zināšanām, tīri intuitīvā līmenī. Šajā gadījumā trešais vektors tiks uzrakstīts vēl “skaistāk”: . Tomēr brīdinu, ka citā piemērā vienkārša atlase var nebūt iespējama, tāpēc klauzula ir paredzēta pieredzējušiem cilvēkiem. Turklāt, kāpēc neņemt, teiksim, trešo vektoru? Galu galā arī tās koordinātas apmierina katru sistēmas vienādojumu un vektorus lineāri neatkarīgs. Šī opcija principā ir piemērota, taču “greiza”, jo “cits” vektors ir lineāra pamatsistēmas vektoru kombinācija.

Atbilde: īpašvērtības: , īpašvektori:

Līdzīgs piemērs neatkarīgam risinājumam:

7. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Aptuvenais gala dizaina paraugs nodarbības beigās.

Jāatzīmē, ka gan 6., gan 7. piemērā tiek iegūts lineāri neatkarīgu īpašvektoru trīskāršs, un tāpēc sākotnējā matrica ir attēlojama kanoniskajā sadalīšanā. Bet šādas avenes nenotiek visos gadījumos:

8. piemērs

Risinājums: Izveidosim un atrisināsim raksturīgo vienādojumu:

Izvērsīsim determinantu pirmajā kolonnā:

Mēs veicam turpmākus vienkāršojumus saskaņā ar aplūkoto metodi, izvairoties no trešās pakāpes polinoma:

- īpašvērtības.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Ar sakni nav grūtību:

Nebrīnieties, papildus komplektam tiek izmantoti arī mainīgie - šeit nav nekādas atšķirības.

No 3. vienādojuma mēs to izsakām un aizstājam ar 1. un 2. vienādojumu:

No abiem vienādojumiem izriet:

Ļaujiet tad:

2-3) Vairākām vērtībām mēs iegūstam sistēmu .

Pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Kvadrātveida matricas īpašvektors ir tāds, kas, reizinot ar doto matricu, rada kolineāru vektoru. Vienkāršiem vārdiem sakot, reizinot matricu ar īpašvektoru, pēdējais paliek nemainīgs, bet reizināts ar noteiktu skaitli.

Definīcija

Īpatnējs vektors ir vektors V, kas atšķiras no nulles, kas, reizinot ar kvadrātmatricu M, pats kļūst palielināts ar kādu skaitli λ. Algebriskajā apzīmējumā tas izskatās šādi:

M × V = λ × V,

kur λ ir matricas M īpašvērtība.

Apsvērsim skaitlisks piemērs. Lai atvieglotu ierakstīšanu, skaitļi matricā tiks atdalīti ar semikolu. Ļaujiet mums izveidot matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Sareizināsim to ar kolonnas vektoru:

• V = -2;

Reizinot matricu ar kolonnas vektoru, mēs iegūstam arī kolonnas vektoru. Stingri matemātiskā valoda formula 2 × 2 matricas reizināšanai ar kolonnas vektoru izskatītos šādi:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 ir matricas M elements, kas atrodas pirmajā rindā un pirmajā kolonnā, un M22 ir elements, kas atrodas otrajā rindā un otrajā kolonnā. Mūsu matricai šie elementi ir vienādi ar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Kolonnas vektoram šīs vērtības ir vienādas ar V11 = –2, V21 = 1. Saskaņā ar šo formulu, mēs iegūstam šādu kvadrātmatricas reizinājuma rezultātu ar vektoru:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Ērtības labad ierakstīsim kolonnas vektoru rindā. Tātad, mēs reizinām kvadrātveida matricu ar vektoru (-2; 1), iegūstot vektoru (4; -2). Acīmredzot tas ir tas pats vektors, kas reizināts ar λ = -2. Lambda šajā gadījumā apzīmē matricas īpašvērtību.

Matricas īpašvektors ir kolineārs vektors, tas ir, objekts, kas nemaina savu pozīciju telpā, reizinot ar matricu. Kolinearitātes jēdziens vektoru algebrā ir līdzīgs paralēlisma terminam ģeometrijā. Ģeometriskā interpretācijā kolineārie vektori ir dažāda garuma paralēli virzīti segmenti. Kopš Eiklida laikiem mēs zinām, ka vienai taisnei ir bezgalīgs skaits tai paralēlu līniju, tāpēc ir loģiski pieņemt, ka katrai matricai ir bezgalīgs skaits īpašvektoru.

No iepriekšējā piemēra ir skaidrs, ka īpašvektori var būt (-8; 4), un (16; -8) un (32, -16). Tie visi ir kolineārie vektori, kas atbilst īpašvērtībai λ = -2. Reizinot sākotnējo matricu ar šiem vektoriem, mēs tik un tā iegūsim vektoru, kas no sākotnējās atšķiras 2 reizes. Tāpēc, risinot īpašvektora atrašanas uzdevumus, ir jāatrod tikai lineāri neatkarīgi vektoru objekti. Visbiežāk n × n matricai ir n skaits īpašvektoru. Mūsu kalkulators ir paredzēts otrās kārtas kvadrātveida matricu analīzei, tāpēc gandrīz vienmēr rezultāts atradīs divus īpašvektorus, izņemot gadījumus, kad tie sakrīt.

Iepriekš minētajā piemērā mēs iepriekš zinājām sākotnējās matricas īpašvektoru un skaidri noteicām lambda skaitli. Tomēr praksē viss notiek otrādi: vispirms tiek atrastas īpašvērtības un tikai pēc tam īpašvektori.

Risinājuma algoritms

Vēlreiz apskatīsim sākotnējo matricu M un mēģināsim atrast abus tās īpašvektorus. Tātad matrica izskatās šādi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Vispirms mums ir jānosaka īpašvērtība λ, kam nepieciešams aprēķināt šādas matricas determinantu:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Šo matricu iegūst, atņemot nezināmo λ no elementiem galvenajā diagonālē. Determinantu nosaka, izmantojot standarta formulu:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Tā kā mūsu vektoram nav jābūt nullei, mēs pieņemam iegūto vienādojumu kā lineāri atkarīgu un pielīdzinām mūsu determinantu detA ar nulli.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Atvērsim iekavas un iegūstam matricas raksturīgo vienādojumu:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

Tas ir standarts kvadrātvienādojums, kas jāatrisina, izmantojot diskriminantu.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminanta sakne ir sqrt(D) = 14, tāpēc λ1 = -2, λ2 = 12. Tagad katrai lambda vērtībai jāatrod īpašvektors. Izteiksim sistēmas koeficientus λ = -2.

• M – λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Šajā formulā E ir identitātes matrica. Pamatojoties uz iegūto matricu, mēs izveidojam lineāro vienādojumu sistēmu:

2x + 4g = 6x + 12g,

kur x un y ir īpašvektora elementi.

Apkoposim visus X kreisajā pusē un visus Y labajā pusē. Acīmredzot - 4x = 8g. Sadaliet izteiksmi ar - 4 un iegūstiet x = -2y. Tagad mēs varam noteikt pirmo matricas īpašvektoru, ņemot jebkuras nezināmo vērtības (atcerieties lineāri atkarīgo īpašvektoru bezgalību). Pieņemsim, ka y = 1, tad x = –2. Tāpēc pirmais īpašvektors izskatās kā V1 = (–2; 1). Atgriezties uz raksta sākumu. Tieši ar šo vektora objektu mēs reizinājām matricu, lai parādītu īpašvektora jēdzienu.

Tagad atradīsim īpašvektoru λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Izveidosim tādu pašu lineāro vienādojumu sistēmu;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6 gadi
• 3x = y.

Tagad mēs ņemam x = 1, tāpēc y = 3. Tādējādi otrais īpašvektors izskatās kā V2 = (1; 3). Reizinot sākotnējo matricu ar doto vektoru, rezultāts vienmēr būs tas pats vektors, kas reizināts ar 12. Šeit beidzas risinājuma algoritms. Tagad jūs zināt, kā manuāli noteikt matricas īpašvektoru.

• noteicējs;
• izsekot, tas ir, elementu summa galvenajā diagonālē;
• rangs, tas ir, maksimālais lineāri neatkarīgo rindu/kolonnu skaits.

Programma darbojas pēc iepriekšminētā algoritma, pēc iespējas saīsinot risinājuma procesu. Svarīgi norādīt, ka programmā lambda tiek apzīmēta ar burtu “c”. Apskatīsim skaitlisko piemēru.

Programmas darbības piemērs

Mēģināsim noteikt īpašvektorus šādai matricai:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Ievadīsim šīs vērtības kalkulatora šūnās un saņemsim atbildi šādā formā:

• Matricas rangs: 2;
• Matricas determinants: 18;
• Matricas trase: 19;
• Īpašvektora aprēķins: c 2 − 19,00c + 18,00 (raksturojošs vienādojums);
• Pašvektora aprēķins: 18 (pirmā lambda vērtība);
• Pašvektora aprēķins: 1 (otrā lambda vērtība);
• Vienādojumu sistēma vektoram 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vienādojumu sistēma vektoram 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• 1. pašvektors: (1; 1);
• 2. īpašvektors: (-3,25; 1).

Tādējādi mēs ieguvām divus lineāri neatkarīgus īpašvektorus.

Secinājums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija ir standarta priekšmeti jebkuram inženierzinātņu pirmkursniekam. Lielais vektoru un matricu skaits ir biedējošs, un šādos apgrūtinošos aprēķinos ir viegli kļūdīties. Mūsu programma ļaus studentiem pārbaudīt savus aprēķinus vai automātiski atrisināt īpašvektora atrašanas problēmu. Mūsu katalogā ir arī citi lineārās algebras kalkulatori; izmantojiet tos mācībās vai darbā.

Definīcija 9.3. Vektors X sauca īpašvektors matricas A, ja tāds skaitlis ir λ, ka vienlīdzība ir spēkā: A X= λ X, tas ir, pieteikšanās rezultāts uz X lineārā transformācija, ko nosaka matrica A, ir šī vektora reizinājums ar skaitli λ . Pats numurs λ sauca īpašvērtība matricas A.

Aizstāšana ar formulām (9.3.) x` j = λx j , iegūstam vienādojumu sistēmu īpašvektora koordinātu noteikšanai:

. (9.5)

Šai lineārajai viendabīgai sistēmai būs netriviāls risinājums tikai tad, ja tās galvenais determinants ir 0 (Krāmera likums). Ierakstot šo nosacījumu formā:

iegūstam vienādojumu īpašvērtību noteikšanai λ , zvanīja raksturīgais vienādojums. Īsumā to var attēlot šādi:

| A - λE | = 0, (9.6)

jo tā kreisajā pusē ir matricas determinants A-λE. Polinoma radinieks λ | A - λE| sauca raksturīgs polinoms matricas A.

Raksturīgā polinoma īpašības:

1) Lineāras transformācijas raksturīgais polinoms nav atkarīgs no bāzes izvēles. Pierādījums. (sk. (9.4)), bet tātad,. Tādējādi tas nav atkarīgs no pamata izvēles. Tas nozīmē, ka | A-λE| nemainās, pārejot uz jaunu pamatu.

2) Ja matrica A lineārā transformācija ir simetrisks(tie. un ij =a ji), tad visas raksturīgā vienādojuma (9.6) saknes ir reāli skaitļi.

Īpašvērtību un īpašvektoru īpašības:

1) Ja izvēlaties bāzi no īpašvektoriem x 1, x 2, x 3 , kas atbilst īpašvērtībām λ 1, λ 2, λ 3 matricas A, tad šajā pamatā lineārajai transformācijai A ir diagonālas formas matrica:

(9.7) Šīs īpašības pierādījums izriet no īpašvektoru definīcijas.

2) Ja transformācijas īpašvērtības A ir atšķirīgi, tad tiem atbilstošie īpašvektori ir lineāri neatkarīgi.

3) Ja matricas raksturīgais polinoms A ir trīs dažādas saknes, tad kaut kādā veidā matrica A ir diagonāls izskats.

Atradīsim matricas īpašvērtības un īpašvektorus. Izveidosim raksturīgo vienādojumu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Atradīsim katrai atrastajai vērtībai atbilstošo īpašvektoru koordinātas λ. No (9.5) izriet, ka ja X (1) ={x 1, x 2, x 3) – atbilstošs īpašvektors λ 1 =-2, tad

- kooperatīva, bet nenoteikta sistēma. Tās risinājumu var ierakstīt formā X (1) ={a,0,-a), kur a ir jebkurš skaitlis. Jo īpaši, ja mēs to prasām | x (1) |=1, X (1) =

Aizstāšana sistēmā (9.5.) λ 2 =3, iegūstam otrā īpašvektora koordinātu noteikšanas sistēmu - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, kur X (2) ={b,-b,b) vai, ja | x (2) |=1, x (2) =

Priekš λ 3 = 6 atrodiet īpašvektoru x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) vai normalizētajā versijā

x (3) = To var pamanīt X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Tādējādi šīs matricas īpašvektori ir pa pāriem ortogonāli.

10. lekcija.

Kvadrātformas un to saistība ar simetriskām matricām. Simetriskas matricas īpašvektoru un īpašvērtību īpašības. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu.

Definīcija 10.1.Kvadrātiskā forma reāli mainīgie x 1, x 2,…, x n tiek saukts par otrās pakāpes polinomu šajos mainīgajos, kas nesatur brīvo terminu un pirmās pakāpes terminus.

Kvadrātisko formu piemēri:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Atcerēsimies simetriskas matricas definīciju, kas sniegta pēdējā lekcijā:

Definīcija 10.2. Tiek saukta kvadrātveida matrica simetrisks, ja , tas ir, ja matricas elementi, kas ir simetriski galvenajai diagonālei, ir vienādi.

Simetriskas matricas īpašvērtību un īpašvektoru īpašības:

1) Visas simetriskas matricas īpašvērtības ir reālas.

Pierādījums (par n = 2).

Ļaujiet matricai A ir šāda forma: . Izveidosim raksturīgo vienādojumu:

(10.2) Atradīsim diskriminantu:

Tāpēc vienādojumam ir tikai reālas saknes.

2) Simetriskas matricas īpašvektori ir ortogonāli.

Pierādījums (par n= 2).

Īpašvektoru un koordinātām ir jāatbilst vienādojumiem.