Mājas Mutes dobums Atrodiet vispārīgo risinājumu un uzrakstiet to fsr izteiksmē. Atrodiet sistēmas vispārīgo risinājumu un fsr

Mutes dobums

Atrodiet vispārīgo risinājumu un uzrakstiet to fsr izteiksmē. Atrodiet sistēmas vispārīgo risinājumu un fsr

Homogēna sistēma lineārie vienādojumi virs lauka

DEFINĪCIJA. Vienādojumu sistēmas (1) atrisinājumu pamatsistēma ir netukša, lineāri neatkarīga tās atrisinājumu sistēma, kuras lineārais diapazons sakrīt ar visu sistēmas (1) atrisinājumu kopu.

Ņemiet vērā, ka viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai, kurai ir tikai nulles risinājums, nav pamata risinājumu sistēmas.

PRIEKŠLIKUMS 3.11. Jebkuras divas pamata risinājumu sistēmas homogēnai lineāro vienādojumu sistēmai sastāv no vienāda atrisinājumu skaita.

Pierādījums. Faktiski jebkuras divas homogēnās vienādojumu sistēmas (1) risinājumu pamatsistēmas ir līdzvērtīgas un lineāri neatkarīgas. Tāpēc saskaņā ar 1.12.priekšlikumu viņu rindas ir vienādas. Tāpēc risinājumu skaits iekļauts vienā pamatsistēma, ir vienāds ar risinājumu skaitu, kas iekļauts jebkurā citā fundamentālajā risinājumu sistēmā.

Ja homogēnās vienādojumu sistēmas (1) galvenā matrica A ir nulle, tad jebkurš vektors no ir sistēmas (1) risinājums; šajā gadījumā jebkura kolekcija ir lineāra neatkarīgi vektori ir fundamentāla risinājumu sistēma. Ja matricas A kolonnas rangs ir vienāds ar , tad sistēmai (1) ir tikai viens risinājums - nulle; tādēļ šajā gadījumā (1) vienādojumu sistēmai nav fundamentālas atrisinājumu sistēmas.

TEORĒMA 3.12. Ja viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas (1) galvenās matricas rangs ir mazāks par mainīgo skaitu , tad sistēmai (1) ir fundamentāla atrisinājumu sistēma, kas sastāv no risinājumiem.

Pierādījums. Ja homogēnās sistēmas (1) galvenās matricas A rangs ir vienāds ar nulli vai , tad augstāk tika parādīts, ka teorēma ir patiesa. Tāpēc tālāk tiek pieņemts, ka, pieņemot , mēs pieņemsim, ka matricas A pirmās kolonnas ir lineāri neatkarīgas. Šajā gadījumā matrica A ir rindai ekvivalenta samazinātai pakāpeniskajai matricai, un sistēma (1) ir ekvivalenta šādai samazinātai pakāpeniskajai vienādojumu sistēmai:

Ir viegli pārbaudīt, vai jebkura brīvo vērtību sistēma sistēmas mainīgie(2) atbilst vienam un tikai vienam risinājumam sistēmai (2) un līdz ar to sistēmai (1). Konkrēti, tikai sistēmas (2) un sistēmas (1) nulles risinājums atbilst nulles vērtību sistēmai.

Sistēmā (2) mēs piešķirsim vienu no brīvajiem mainīgo vērtību, vienāds ar 1, un pārējiem mainīgajiem ir nulle vērtības. Rezultātā mēs iegūstam vienādojumu sistēmas (2) atrisinājumus, kurus ierakstām šādas matricas C rindu formā:

Šīs matricas rindu sistēma ir lineāri neatkarīga. Patiešām, jebkuriem skalāriem no vienlīdzības

seko vienlīdzība

un līdz ar to vienlīdzība

Pierādīsim, ka matricas C rindu sistēmas lineārais laidums sakrīt ar visu sistēmas (1) atrisinājumu kopu.

Sistēmas (1) patvaļīgs risinājums. Tad vektors

ir arī risinājums sistēmai (1), un

Jūs varat pasūtīt detalizētu risinājumu savai problēmai!!!

Lai saprastu, kas tas ir pamata lēmumu sistēma varat noskatīties video pamācību šim pašam piemēram, noklikšķinot uz. Tagad pāriesim pie visa apraksta nepieciešamo darbu. Tas palīdzēs jums sīkāk izprast šī jautājuma būtību.

Kā atrast lineārā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmu?

Ņemsim, piemēram, šādu lineāro vienādojumu sistēmu:

Atradīsim šīs lineārās vienādojumu sistēmas risinājumu. Sākumā mēs jāizraksta sistēmas koeficientu matrica.

Pārveidosim šo matricu par trīsstūrveida. Mēs pārrakstām pirmo rindu bez izmaiņām. Un visi elementi, kas ir zem $a_(11)$, ir jāpadara par nullēm. Lai elementa $a_(21)$ vietā izveidotu nulli, no otrās rindas jāatņem pirmais un otrajā rindā jāieraksta starpība. Lai elementa $a_(31)$ vietā izveidotu nulli, no trešās rindas jāatņem pirmais un trešajā rindā jāieraksta starpība. Lai elementa $a_(41)$ vietā izveidotu nulli, no ceturtās rindas jāatņem pirmais, kas reizināts ar 2, un ceturtajā rindā jāieraksta starpība. Lai elementa $a_(31)$ vietā izveidotu nulli, no piektās rindas jāatņem pirmais, kas reizināts ar 2, un piektajā rindā jāieraksta starpība.

Mēs pārrakstām pirmo un otro rindu bez izmaiņām. Un visi elementi, kas ir zem $a_(22)$, ir jāpadara par nullēm. Lai elementa $a_(32)$ vietā izveidotu nulli, no trešās rindas jāatņem otrais, kas reizināts ar 2, un trešajā rindā jāieraksta starpība. Lai elementa $a_(42)$ vietā izveidotu nulli, no ceturtās rindas jāatņem otrais, kas reizināts ar 2, un ceturtajā rindā jāieraksta starpība. Lai elementa $a_(52)$ vietā izveidotu nulli, no piektās rindas jāatņem otrais, kas reizināts ar 3, un piektajā rindā jāieraksta starpība.

Mēs to redzam pēdējās trīs rindas ir vienādas, tādēļ, ja no ceturtās un piektās atņemat trešo, tie kļūs par nulli.

Saskaņā ar šo matricu pierakstīt jauna sistēma vienādojumi.

Mēs redzam, ka mums ir tikai trīs lineāri neatkarīgi vienādojumi un pieci nezināmie, tāpēc pamata risinājumu sistēma sastāvēs no diviem vektoriem. Tātad mēs mums jāpārvieto pēdējie divi nezināmie pa labi.

Tagad mēs sākam izteikt tos nezināmos, kas atrodas kreisajā pusē, caur tiem, kas atrodas labajā pusē. Mēs sākam ar pēdējo vienādojumu, vispirms izsakām $x_3$, pēc tam aizvietojam iegūto rezultātu ar otro vienādojumu un izsakām $x_2$, un tad ar pirmo vienādojumu, un šeit mēs izsakām $x_1$. Tādējādi mēs izteicām visus nezināmos, kas atrodas kreisajā pusē, caur nezināmajiem, kas atrodas labajā pusē.

Tad $x_4$ un $x_5$ vietā mēs varam aizstāt jebkurus skaitļus un atrast $x_1$, $x_2$ un $x_3$. Katrs pieci no šiem skaitļiem būs mūsu sākotnējās vienādojumu sistēmas saknes. Lai atrastu vektorus, kas ir iekļauti FSR mums ir jāaizstāj 1, nevis $x_4$, un 0, nevis $x_5$, jāatrod $x_1$, $x_2$ un $x_3$, un tad otrādi $x_4=0$ un $x_5=1$.

Mēs turpināsim pieslīpēt mūsu tehnoloģiju elementāras pārvērtības ieslēgts viendabīga lineāro vienādojumu sistēma.
Pamatojoties uz pirmajām rindkopām, materiāls var šķist garlaicīgs un viduvējs, taču šis iespaids ir mānīgs. Papildus turpmākai tehnisko paņēmienu attīstībai būs daudz jaunu informāciju, tāpēc, lūdzu, mēģiniet neatstāt novārtā šajā rakstā sniegtos piemērus.

Kas ir viendabīga lineāro vienādojumu sistēma?

Atbilde liecina par sevi. Lineāro vienādojumu sistēma ir viendabīga, ja brīvais termins visi sistēmas vienādojums ir nulle. Piemēram:

Tas ir pilnīgi skaidrs viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, tas ir, tam vienmēr ir risinājums. Un, pirmkārt, acīs krīt t.s triviāls risinājums . Triviāls, tiem, kas vispār nesaprot īpašības vārda nozīmi, nozīmē bez izrādīšanās. Ne jau akadēmiski, protams, bet saprotami =) ...Kāpēc sist pa krūmiem, noskaidrosim, vai šai sistēmai ir kādi citi risinājumi:

1. piemērs

Risinājums: lai atrisinātu viendabīgu sistēmu ir nepieciešams rakstīt sistēmas matrica un ar elementāru pārveidojumu palīdzību novest to pakāpeniskā formā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav jāpieraksta vertikālā josla un brīvo terminu nulles kolonna - galu galā neatkarīgi no tā, ko jūs darāt ar nullēm, tās paliks nulles:

(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –3.

(2) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1.

Trešo rindu dalīt ar 3 nav lielas jēgas.

Elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta līdzvērtīga viendabīga sistēma , un, piesakoties apgrieztais gājiens Izmantojot Gausa metodi, ir viegli pārbaudīt, vai risinājums ir unikāls.

Atbilde:

Formulēsim acīmredzamu kritēriju: viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir tikai triviāls risinājums, Ja sistēmas matricas rangs(V šajā gadījumā 3) vienāds ar mainīgo lielumu skaitu (šajā gadījumā – 3 gab.).

Iesildīsimies un noskaņosim savu radio elementāru pārvērtību vilnim:

2. piemērs

Atrisiniet viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu

Lai beidzot konsolidētu algoritmu, analizēsim pēdējo uzdevumu:

7. piemērs

Atrisiniet viendabīgu sistēmu, uzrakstiet atbildi vektora formā.

Risinājums: pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

(1) Mainīta pirmās rindas zīme. Vēlreiz vēršu uzmanību uz daudzkārt sastaptu paņēmienu, kas ļauj būtiski vienkāršot nākamo darbību.

(1) Pirmā rinda tika pievienota 2. un 3. rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 2, tika pievienota 4. rindai.

(3) Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām ir noņemtas.

Rezultātā tiek iegūta standarta soļu matrica, un risinājums turpinās pa rievoto sliežu ceļu:

– pamata mainīgie;
- brīvie mainīgie.

Izteiksim galvenos mainīgos kā brīvos mainīgos. No 2. vienādojuma:

- aizstāt 1. vienādojumu:

Tādējādi kopīgs lēmums:

Tā kā aplūkotajā piemērā ir trīs brīvi mainīgie, tad fundamentālajā sistēmā ir trīs vektori.

Aizstāsim trīskāršu vērtību vērtību vispārīgajā risinājumā un iegūstam vektoru, kura koordinātes apmierina katru homogēnās sistēmas vienādojumu. Un vēlreiz atkārtoju, ka ir ļoti ieteicams pārbaudīt katru saņemto vektoru - tas neaizņems daudz laika, bet tas pilnībā pasargās jūs no kļūdām.

Par vērtību trīskāršību atrast vektoru

Un visbeidzot par trim mēs iegūstam trešo vektoru:

Atbilde: , Kur

Tie, kas vēlas izvairīties no daļējām vērtībām, var apsvērt tripletus un saņemt atbildi līdzvērtīgā formā:

Runājot par frakcijām. Apskatīsim uzdevumā iegūto matricu un jautāsim sev: vai ir iespējams vienkāršot tālāko risinājumu? Galu galā šeit mēs vispirms izteicām pamata mainīgo ar daļskaitļiem, pēc tam ar daļskaitļiem pamata mainīgo, un, jāsaka, šis process nebija tas vienkāršākais un ne patīkamākais.

Otrais risinājums:

Ideja ir mēģināt izvēlēties citus bāzes mainīgos. Apskatīsim matricu un pamanīsim divas trešās kolonnas. Tātad, kāpēc augšpusē nav nulles? Veiksim vēl vienu elementāru transformāciju:

Tiek izsaukta lineāro vienādojumu sistēma, kurā visi brīvie termini ir vienādi ar nulli viendabīgs :

Jebkura viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tā vienmēr ir bijusi nulle (triviāls ) risinājums. Rodas jautājums, kādos apstākļos viendabīgai sistēmai būs netriviāls risinājums.

Teorēma 5.2.Viendabīgai sistēmai ir netriviāls risinājums tad un tikai tad, ja pamatā esošās matricas rangs ir mazāks par tās nezināmo skaitu.

Sekas. Kvadrātveida viendabīgai sistēmai ir netriviāls risinājums tad un tikai tad, ja sistēmas galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli.

Piemērs 5.6. Nosakiet parametra l vērtības, pie kurām sistēmai ir netriviāli risinājumi, un atrodiet šādus risinājumus:

Risinājums. Šai sistēmai būs netriviāls risinājums, ja galvenās matricas determinants ir vienāds ar nulli:

Tādējādi sistēma ir netriviāla, ja l=3 vai l=2. Ja l=3, sistēmas galvenās matricas rangs ir 1. Tad, atstājot tikai vienu vienādojumu un pieņemot, ka y=a Un z=b, saņemam x=b-a, t.i.

Ja l=2, sistēmas galvenās matricas rangs ir 2. Tad par pamatu izvēloties minoro:

mēs iegūstam vienkāršotu sistēmu

No šejienes mēs to atrodam x=z/4, y=z/2. Ticot z=4a, saņemam

Visu viendabīgas sistēmas risinājumu kopai ir ļoti svarīga lineārais īpašums : ja kolonnas X 1 un X 2 - viendabīgas sistēmas risinājumi AX = 0, tad jebkura to lineāra kombinācija a X 1 + b X 2 būs arī šīs sistēmas risinājums. Patiešām, kopš AX 1 = 0 Un AX 2 = 0 , Tas A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Šīs īpašības dēļ, ja lineārai sistēmai ir vairāk nekā viens risinājums, tad šo risinājumu būs bezgalīgi daudz.

Lineāri neatkarīgas kolonnas E 1 , E 2 , Ek, kas ir viendabīgas sistēmas risinājumi, sauc pamata risinājumu sistēma viendabīga lineāro vienādojumu sistēma, ja šīs sistēmas vispārīgo risinājumu var uzrakstīt kā šo kolonnu lineāru kombināciju:

Ja viendabīgai sistēmai ir n mainīgie, un sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar r, Tas k = n-r.

Piemērs 5.7. Atrodiet pamata risinājumu sistēmu nākamā sistēma lineārie vienādojumi:

Risinājums. Atradīsim sistēmas galvenās matricas rangu:

Tādējādi šīs vienādojumu sistēmas risinājumu kopa veido dimensijas lineāru apakštelpu n-r= 5 - 2 = 3. Par pamatu izvēlēsimies minoru

Tad, atstājot tikai pamatvienādojumus (pārējie būs šo vienādojumu lineāra kombinācija) un pamata mainīgos (pārējos, tā sauktos brīvos mainīgos, pārvietojam pa labi), iegūstam vienkāršotu vienādojumu sistēmu:

Ticot x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mēs atradām

, .

Ticot a= 1, b = c= 0, iegūstam pirmo pamatrisinājumu; ticot b= 1, a = c= 0, iegūstam otro pamatrisinājumu; ticot c= 1, a = b= 0, iegūstam trešo pamatrisinājumu. Rezultātā parastā fundamentālā risinājumu sistēma iegūs formu

Izmantojot pamatsistēmu, homogēnas sistēmas vispārējo risinājumu var uzrakstīt kā

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Atzīmēsim dažas nehomogēnas lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu īpašības AX=B un to saistība ar atbilstošo homogēno vienādojumu sistēmu AX = 0.

Nehomogēnas sistēmas vispārējs risinājumsir vienāds ar atbilstošās viendabīgās sistēmas AX = 0 vispārīgā risinājuma un nehomogēnās sistēmas patvaļīga konkrēta risinājuma summu. Patiešām, ļaujiet Y 0 ir patvaļīgs konkrēts nehomogēnas sistēmas risinājums, t.i. AY 0 = B, Un Y- heterogēnas sistēmas vispārējs risinājums, t.i. AY=B. Atņemot vienu vienādību no otras, mēs iegūstam
A(Y-Y 0) = 0, t.i. Y-Y 0 ir atbilstošās viendabīgās sistēmas vispārīgais risinājums AX=0. Tāpēc Y-Y 0 = X, vai Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Ļaujiet nehomogēnai sistēmai būt formā AX = B 1 + B 2 . Tad šādas sistēmas vispārīgo risinājumu var uzrakstīt kā X = X 1 + X 2 , kur AX 1 = B 1 un AX 2 = B 2. Šis īpašums izsaka jebkura universālo īpašību lineārās sistēmas(algebriskā, diferenciālā, funkcionālā utt.). Fizikā šo īpašību sauc superpozīcijas princips, elektrotehnikā un radiotehnikā - superpozīcijas princips. Piemēram, lineāro elektrisko ķēžu teorijā strāvu jebkurā ķēdē var iegūt kā katra enerģijas avota izraisīto strāvu algebrisko summu.

Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, un tai ir triviāls risinājums
. Lai pastāvētu netriviāls risinājums, ir nepieciešams, lai matricas rangs bija mazāks par nezināmo skaitu:

Fundamentāla risinājumu sistēma viendabīga sistēma
izsauciet risinājumu sistēmu kolonnu vektoru formā
, kas atbilst kanoniskajam pamatam, t.i. pamats, kurā patvaļīgas konstantes
pārmaiņus tiek iestatīti vienādi ar vienu, bet pārējie ir iestatīti uz nulli.

Tad viendabīgās sistēmas vispārējam risinājumam ir šāda forma:

Kur
- patvaļīgas konstantes. Citiem vārdiem sakot, kopējais risinājums ir pamata risinājumu sistēmas lineāra kombinācija.

Tādējādi no vispārīgā risinājuma var iegūt pamatrisinājumus, ja brīvajiem nezināmajiem pēc kārtas piešķir vienu vērtību, visus pārējos nosakot vienādus ar nulli.

Piemērs. Meklēsim risinājumu sistēmai

Pieņemsim , tad saņemsim risinājumu formā:

Tagad izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu:

Vispārējais risinājums tiks rakstīts šādi:

Homogēnu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumiem ir šādas īpašības:

Citiem vārdiem sakot, jebkura viendabīgas sistēmas risinājumu lineāra kombinācija atkal ir risinājums.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ir interesējusi matemātiķus vairākus gadsimtus. Pirmie rezultāti tika iegūti 18. gadsimtā. 1750. gadā G. Krāmers (1704–1752) publicēja savus darbus par kvadrātmatricu determinantiem un piedāvāja algoritmu apgrieztās matricas atrašanai. 1809. gadā Gauss izklāstīja jaunu risinājuma metodi, kas pazīstama kā eliminācijas metode.

Gausa metode jeb nezināmo secīgas likvidēšanas metode sastāv no tā, ka, izmantojot elementāras transformācijas, vienādojumu sistēma tiek reducēta uz līdzvērtīgu pakāpienu (vai trīsstūra) formas sistēmu. Šādas sistēmas ļauj secīgi atrast visus nezināmos noteiktā secībā.

Pieņemsim, ka sistēmā (1)
(kas vienmēr ir iespējams).

(1)

Reizinot pirmo vienādojumu pa vienam ar t.s piemēroti skaitļi

un saskaitot reizināšanas rezultātu ar atbilstošajiem sistēmas vienādojumiem, iegūstam ekvivalentu sistēmu, kurā visos vienādojumos, izņemot pirmo, nebūs neviena nezināmā X 1

(2)

Tagad reizinosim sistēmas (2) otro vienādojumu ar piemērotiem skaitļiem, pieņemot, ka

un pievienojot to ar zemākajiem, mēs izslēdzam mainīgo no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Turpinot šo procesu, pēc
solis, ko iegūstam:

(3)

Ja vismaz viens no numuriem
nav vienāds ar nulli, tad atbilstošā vienādība ir pretrunīga un sistēma (1) ir nekonsekventa. Un otrādi, jebkurai kopīgu skaitļu sistēmai
ir vienādi ar nulli. Numurs ir nekas vairāk kā sistēmas (1) matricas rangs.