Pētniecības prasmes var iedalīt vispārīgajās un specifiskajās. Vispārējās pētnieciskās prasmes, kuru veidošanās un attīstīšana notiek parametru problēmu risināšanas procesā, ietver: spēju saskatīt aiz dotā vienādojuma ar parametru dažādas vienādojumu klases, ko raksturo kopīga skaita un veida klātbūtne. saknes; spēja apgūt analītiskās un grafiski analītiskās metodes...
Vienādojumi un nevienādības ar parametru kā līdzeklis 7.-9.klašu skolēnu pētniecisko prasmju attīstīšanai (eseja, kursa darbs, diploms, ieskaite)
Diplomdarbs
Ppar tēmu: Vienādojumi un nevienādības ar parametru kā pētījuma veidošanas līdzeklis 7. - 9. klašu skolēnu prasmes
Radošās domāšanas spēju attīstība ārpus problēmsituācijām nav iespējama, tāpēc nestandarta uzdevumiem ir īpaša nozīme mācībās. Tie ietver arī uzdevumus, kas satur parametru. Šo uzdevumu matemātiskais saturs nepārsniedz programmas darbības jomu, tomēr to risināšana, kā likums, skolēniem rada grūtības.
Pirms skolu matemātikas izglītības reformas 60. gados skolas programmā un mācību grāmatās bija īpašas sadaļas: lineāro un kvadrātvienādojumu izpēte, lineāro vienādojumu sistēmu izpēte. Kur uzdevums bija pētīt vienādojumus, nevienādības un sistēmas atkarībā no jebkuriem nosacījumiem vai parametriem.
Programma pašlaik nesatur konkrētas atsauces uz pētījumiem vai parametriem vienādojumos vai nevienādībās. Bet tie ir tieši viens no efektīvajiem matemātikas līdzekļiem, kas palīdz atrisināt programmas noteikto intelektuālās personības veidošanas problēmu. Lai novērstu šo pretrunu, radās nepieciešamība izveidot izvēles kursu par tēmu “Vienādojumi un nevienādības ar parametriem”. Tieši tas nosaka šī darba atbilstību.
Vienādojumi un nevienādības ar parametriem ir lielisks materiāls reālam pētnieciskam darbam, taču skolas programmā parametru problēmas nav iekļautas kā atsevišķa tēma.
Lielāko daļu problēmu risināšanas skolas matemātikas kursā mērķis ir attīstīt skolēnos tādas īpašības kā noteikumu un darbības algoritmu apguve saskaņā ar pašreizējām programmām un spēju veikt fundamentālus pētījumus.
Zinātnes pētniecība nozīmē objekta izpēti, lai noteiktu tā rašanās, attīstības un transformācijas modeļus. Pētījuma procesā tiek izmantota uzkrātā pieredze, esošās zināšanas, kā arī objektu izpētes metodes un metodes. Pētījuma rezultātam jābūt jaunu zināšanu iegūšanai. Izglītības pētījumu procesā tiek sintezētas zināšanas un pieredze, ko skolēns uzkrājis matemātisko objektu izpētē.
Lietojot parametru vienādojumos un nevienādībās, var izdalīt šādas pētniecības prasmes:
1) Spēja ar parametra palīdzību izteikt nosacījumus, lai dotais parametriskais vienādojums piederētu noteiktai vienādojumu klasei;
2) Spēja noteikt vienādojuma veidu un norādīt koeficientu veidu atkarībā no parametriem;
3) Spēja ar parametriem izteikt parametru vienādojuma risinājumu esamības nosacījumus;
4) Sakņu (šķīdumu) klātbūtnes gadījumā prast izteikt nosacījumus noteikta sakņu skaita (šķīdumu) klātbūtnei;
5) Spēja ar parametru palīdzību izteikt parametrisko vienādojumu saknes (nevienādību risinājumus).
Vienādojumu un parametru nevienādību attīstības raksturu nosaka to spēja īstenot dažāda veida studentu garīgās aktivitātes:
Atsevišķu domāšanas algoritmu izstrāde, Spēja noteikt sakņu esamību un skaitu (vienādojumā, sistēmā);
Tā rezultātā radušos vienādojumu grupu atrisināšana;
Viena mainīgā izteikšana cita mainīgā izteiksmē;
Vienādojuma definīcijas apgabala atrašana;
Liela apjoma formulu atkārtošana risinot;
Zināšanas par piemērotām risinājuma metodēm;
Plaša verbālās un grafiskās argumentācijas izmantošana;
Studentu grafiskās kultūras attīstība;
Viss iepriekš minētais ļauj runāt par nepieciešamību skolas matemātikas kursā pētīt vienādojumus un nevienādības ar parametriem.
Šobrīd problēmu klase ar parametriem vēl nav skaidri metodiski izstrādāta. Izvēles kursa tēmas “Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru” izvēles aktualitāti nosaka tēmas “Kvadrātvienādojumi un tā īpašības” nozīmīgums skolas matemātikas kursā un tajā pašā laikā nevienlīdzības trūkums skolas matemātikas kursā. laiks apsvērt problēmas, kas saistītas ar parametru saturoša kvadrātiskā trinoma izpēti.
Ar savu darbu vēlamies parādīt, ka parametru uzdevumi nedrīkst būt sarežģīts papildinājums galvenajam apgūstamajam materiālam, ko var apgūt tikai spējīgi bērni, bet var un vajag izmantot vispārizglītojošā skolā, kas bagātinās mācīšanos ar jaunām metodēm. un idejas un palīdz skolēniem attīstīt viņu domāšanu.
Darba mērķis ir izpētīt vienādojumu un nevienādību ar parametriem vietu algebras kursā 7.-9.klasei, izstrādāt izvēles kursu “Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru” un metodiskos ieteikumus tā īstenošanai.
Pētījuma objekts ir matemātikas mācīšanas process vidusskolas 7.-9.klasē.
Pētījuma priekšmets ir vienādojumu un nevienādību ar parametriem risināšanas saturs, formas, metodes un līdzekļi vidusskolā, nodrošinot izvēles kursa “Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru” izstrādi.
Pētījuma hipotēze ir tāda, ka šis izvēles kurss palīdzēs padziļināti apgūt matemātikas sadaļas “Vienādojumi un nevienādības ar parametriem” saturu, novērsīs neatbilstības matemātikā izvirzītajās prasībās skolu absolventu un augstskolu reflektantu sagatavošanai un paplašināt studentu garīgās aktivitātes attīstības iespējas, ja tās apguves procesā tiks izmantots:
· grafisko paņēmienu izskatīšana kvadrātvienādojumu un nevienādību ar parametru risināšanai, izmantojot skolēnu darbu ar mācību literatūru;
· uzdevumu risināšana par parametru saturoša kvadrātveida trinoma izpēti, izmantojot skolēnu paškontroli un savstarpējo kontroli;
· tabulas materiāla apkopošanai par tēmām “Kvadrātveida trinoma sakņu zīme”, “parabolas atrašanās vieta attiecībā pret abscisu asi”;
· dažādu mācību rezultātu novērtēšanas metožu un kumulatīvās punktu sistēmas izmantošana;
· apgūstot visas kursa tēmas, dodot studentam iespēju patstāvīgi atrast veidu problēmas risināšanai.
Saskaņā ar pētījuma mērķi, objektu, priekšmetu un hipotēzi tiek izvirzīti šādi pētījuma mērķi:
· apsvērt vispārīgos nosacījumus vienādojumu un nevienādību ar parametriem izpētei 7.-9.klasē;
· izstrādāt algebras izvēles kursu “Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru” un tā realizācijas metodiku.
Pētījuma laikā tika izmantotas šādas metodes:
· literatūras analīze;
· pieredzes analīze izvēles kursu izstrādē.
1. nodaļa. Psiholoģiskās un pedagoģiskās īpatnības mācās Tēmas « Vienādojumi un nevienādības ar parametriem" algebras 7−9 gaitā klasē
1. §. Ar vecumu saistītas, fizioloģiskās un psiholoģiskās īpašības7.–9. klašu skolēnu pabalsti
Vidusskolas vecumam (pusaudža vecumam) raksturīga visa organisma strauja augšana un attīstība. Notiek intensīva ķermeņa garuma augšana (zēniem palielinās par 6–10 centimetriem gadā, bet meitenēm līdz 6–8 centimetriem). Turpinās skeleta pārkaulošanās, kauli iegūst elastību un cietību, palielinās muskuļu spēks. Tomēr iekšējo orgānu attīstība notiek nevienmērīgi, asinsvadu augšana atpaliek no sirds augšanas, kas var izraisīt tās darbības ritma traucējumus un sirdsdarbības ātruma palielināšanos. Attīstās plaušu aparāts, šajā vecumā elpošana kļūst ātra. Smadzeņu apjoms tuvojas pieauguša cilvēka smadzenēm. Uzlabojas smadzeņu garozas kontrole pār instinktiem un emocijām. Tomēr ierosmes procesi joprojām dominē pār kavēšanas procesiem. Sākas pastiprināta asociatīvo šķiedru aktivitāte.
Šajā vecumā iestājas pubertāte. Palielinās endokrīno dziedzeru, jo īpaši dzimumdziedzeru, darbība. Parādās sekundārās seksuālās īpašības. Pusaudža ķermenis uzrāda lielāku nogurumu sakarā ar dramatiskām izmaiņām tajā. Pusaudža uztvere ir mērķtiecīgāka, organizētāka un plānotāka nekā jaunāka skolēna uztvere. Izšķiroša nozīme ir pusaudža attieksmei pret novērojamo objektu. Uzmanība ir brīvprātīga, selektīva. Pusaudzis uz interesantu materiālu var pievērsties ilgu laiku. Priekšplānā izvirzās jēdzienu iegaumēšana, kas tieši saistīti ar informācijas izpratni, analīzi un sistematizēšanu. Pusaudža vecumam raksturīga kritiska domāšana. Šī vecuma skolēniem raksturīgas lielākas prasības pret sniegto informāciju. Uzlabojas abstraktās domāšanas spējas. Emociju izpausme pusaudžiem bieži ir diezgan vardarbīga. Dusmas ir īpaši spēcīgas. Šim vecumam ir diezgan raksturīga spītība, savtīgums, atslēgšanās sevī, emociju nopietnība un konflikti ar citiem. Šīs izpausmes ļāva skolotājiem un psihologiem runāt par pusaudža vecuma krīzi. Identitātes veidošana liek cilvēkam pārdomāt savas attiecības ar citiem, savu vietu citu cilvēku vidū. Pusaudža gados notiek intensīva personības morālā un sociālā veidošanās. Notiek morālo ideālu un morālās pārliecības veidošanās process. Viņiem bieži ir nestabils, pretrunīgs raksturs.
Pusaudžu komunikācija ar pieaugušajiem būtiski atšķiras no jaunāko klašu skolēnu komunikācijas. Nereti pusaudži pieaugušos neuzskata par iespējamiem brīvas komunikācijas partneriem, viņi pieaugušos uztver kā savas dzīves organizēšanas un atbalsta avotu, un pieaugušo organizatoriskā funkcija pusaudžu vidū visbiežāk tiek uztverta tikai kā ierobežojoša un regulējoša.
Tiek samazināts skolotājiem adresēto jautājumu skaits. Uzdotie jautājumi, pirmkārt, attiecas uz pusaudžu dzīves organizēšanu un saturu gadījumos, kad viņi nevar iztikt bez attiecīgās pieaugušo informācijas un norādījumiem. Tiek samazināts ētikas problēmu skaits. Salīdzinot ar iepriekšējo vecumu, būtiski samazinās skolotāja kā sociālo normu nesēja un iespējamā palīga sarežģītu dzīves problēmu risināšanā autoritāte.
§ 2. Izglītības aktivitāšu vecuma īpatnības
Mācīšana ir pusaudža galvenā nodarbošanās. Pusaudža izglītojošai darbībai ir savas grūtības un pretrunas, taču ir arī priekšrocības, uz kurām skolotājs var un viņam vajadzētu paļauties. Pusaudža lielā priekšrocība ir viņa gatavība visa veida izglītojošām aktivitātēm, kas viņu pašu acīs padara par pieaugušo. Viņu piesaista patstāvīgas stundu organizēšanas formas klasē, sarežģīti mācību materiāli un iespēja patstāvīgi veidot savu izziņas darbību ārpus skolas. Tomēr pusaudzis nezina, kā realizēt šo gatavību, jo viņš nezina, kā veikt jaunas izglītības aktivitātes.
Pusaudzis emocionāli reaģē uz jaunu mācību priekšmetu, un dažiem šī reakcija pazūd diezgan ātri. Bieži vien samazinās arī viņu vispārējā interese par mācīšanos un skolu. Kā liecina psiholoģiskie pētījumi, galvenais iemesls ir skolēnu mācīšanās prasmju attīstības trūkums, kas neļauj apmierināt aktuālo vecuma vajadzību - vajadzību pēc pašapliecināšanās.
Viens no veidiem, kā paaugstināt mācību efektivitāti, ir mērķtiecīga mācību motīvu veidošana. Tas ir tieši saistīts ar vecuma valdošo vajadzību apmierināšanu. Viena no šīm vajadzībām ir izziņas. Kad tas ir apmierināts, viņam veidojas stabilas izziņas intereses, kas nosaka viņa pozitīvo attieksmi pret akadēmiskajiem priekšmetiem. Pusaudžus ļoti saista iespēja paplašināt, bagātināt savas zināšanas, iedziļināties pētāmo parādību būtībā un nodibināt cēloņu un seku attiecības. Viņi izjūt lielu emocionālu gandarījumu no pētniecības aktivitātēm. Kognitīvo vajadzību un kognitīvo interešu neapmierinātība izraisa ne tikai garlaicības un vienaldzības stāvokli, bet dažkārt arī krasi negatīvu attieksmi pret “neinteresantiem priekšmetiem”. Šajā gadījumā vienlīdz svarīgs ir gan saturs, gan zināšanu iegūšanas process, metodes un paņēmieni.
Pusaudžu intereses atšķiras pēc viņu kognitīvās darbības virziena. Daži studenti dod priekšroku aprakstošajam materiālam, viņus piesaista atsevišķi fakti, citi cenšas izprast pētāmo parādību būtību, izskaidrot tās no teorijas viedokļa, citi aktīvāk izmanto zināšanas praktiskajā darbībā, citi - radoši. , pētniecības aktivitātes. 15]
Līdzās kognitīvām interesēm izpratne par zināšanu nozīmi ir būtiska pusaudžu pozitīvai attieksmei pret mācīšanos. Viņiem ir ļoti svarīgi apzināties un izprast zināšanu būtisko nozīmi un, galvenais, to nozīmi personības attīstībā. Pusaudzim patīk daudzi izglītības priekšmeti, jo tie atbilst viņa kā vispusīgi attīstīta cilvēka vajadzībām. Uzskati un intereses, saplūstot kopā, rada pusaudžiem paaugstinātu emocionālo tonusu un nosaka aktīvo attieksmi pret mācīšanos.
Ja pusaudzis nesaskata zināšanu būtisko nozīmi, viņam var veidoties negatīva pārliecība un negatīva attieksme pret esošajiem mācību priekšmetiem. Ja pusaudžiem ir negatīva attieksme pret mācīšanos, būtiska nozīme ir viņu apziņai un pieredzei par neveiksmēm noteiktu akadēmisko priekšmetu apguvē. Bailes no neveiksmes, bailes no sakāves dažkārt liek pusaudžiem meklēt ticamus iemeslus, lai neiet uz skolu vai nepamestu mācību stundu. Pusaudža emocionālā labklājība lielā mērā ir atkarīga no pieaugušo vērtējuma par viņa izglītības aktivitātēm. Bieži vien novērtējuma nozīme pusaudzim ir vēlme gūt panākumus izglītības procesā un tādējādi iegūt pārliecību par savām spējām un spējām. Tas ir saistīts ar tādu vecuma dominējošo vajadzību kā nepieciešamību apzināties un novērtēt sevi kā personību, savas stiprās un vājās puses. Pētījumi liecina, ka tieši pusaudža gados pašcieņai ir dominējoša loma. Pusaudža emocionālajai labsajūtai ir ļoti svarīgi, lai vērtējums un pašvērtējums sakristu. Pretējā gadījumā rodas iekšējs un dažreiz ārējs konflikts.
Vidējās klasēs skolēni sāk mācīties un apgūt dabaszinātņu pamatus. Studentiem būs jāapgūst liels zināšanu apjoms. Apgūstamais materiāls, no vienas puses, prasa augstāku izglītības, izziņas un garīgās aktivitātes līmeni nekā iepriekš, un, no otras puses, ir vērsts uz to attīstību. Studentiem jāapgūst zinātnisko jēdzienu un terminu sistēma, tāpēc jaunie akadēmiskie priekšmeti izvirza jaunas prasības zināšanu apguves metodēm un ir vērsti uz augstāka līmeņa inteliģences - teorētiskās, formālās, reflektīvās domāšanas - attīstību. Šāda domāšana ir raksturīga pusaudža vecumam, taču tā sāk attīstīties jaunākiem pusaudžiem.
Jaunums pusaudža domāšanas attīstībā ir viņa attieksmē pret intelektuāliem uzdevumiem kā tiem, kas prasa viņu iepriekšēju garīgu risinājumu. Spēja operēt ar hipotēzēm intelektuālu problēmu risināšanā ir pusaudža vissvarīgākā ieguvums realitātes analīzē. Konjekturālā domāšana ir īpašs zinātniskās spriešanas instruments, tāpēc to sauc par reflektīvo domāšanu. Lai gan zinātnisko jēdzienu asimilācija skolā pati par sevi rada vairākus objektīvus apstākļus skolēnu teorētiskās domāšanas veidošanai, tomēr tā neveidojas visos: dažādiem skolēniem var būt atšķirīgs tās faktiskās veidošanās līmenis un kvalitāte.
Teorētiskā domāšana var veidoties ne tikai apgūstot skolas zināšanas. Runa kļūst kontrolēta un vadāma, un dažās personiski nozīmīgās situācijās pusaudži īpaši cenšas runāt skaisti un pareizi. Zinātnisko jēdzienu asimilācijas procesā un rezultātā rodas jauns domāšanas saturs, jaunas intelektuālās darbības formas. Būtisks teorētisko zināšanu neadekvātas asimilācijas rādītājs ir pusaudža nespēja risināt problēmas, kurās ir jāizmanto šīs zināšanas.
Centrālo vietu sāk ieņemt materiāla satura analīze, tā oriģinalitāte un iekšējā loģika. Dažiem pusaudžiem ir raksturīga elastība, izvēloties mācību veidus, citi dod priekšroku vienai metodei, un daži cenšas sakārtot un loģiski apstrādāt jebkuru materiālu. Spēja loģiski apstrādāt materiālu bieži vien pusaudžiem attīstās spontāni. No tā ir atkarīgs ne tikai akadēmiskais sniegums, zināšanu dziļums un stiprums, bet arī iespēja turpmāk attīstīt pusaudža intelektu un spējas.
§ 3. Izglītības pasākumu organizēšana7.–9. klašu skolēnu raksturojums
Pusaudžu izglītības pasākumu organizēšana ir vissvarīgākais un sarežģītākais uzdevums. Vidusskolnieks ir diezgan spējīgs saprast skolotāja vai vecāku argumentus un piekrist saprātīgiem argumentiem. Taču šim vecumam raksturīgo domāšanas īpatnību dēļ pusaudzi vairs neapmierinās informācijas nodošanas process gatavā, pilnīgā formā. Viņš vēlēsies pārbaudīt to uzticamību, lai pārliecinātos, ka viņa spriedumi ir pareizi. Strīdi ar skolotājiem, vecākiem un draugiem ir raksturīga šī vecuma iezīme. Viņu svarīgā loma ir tāda, ka tie ļauj apmainīties ar viedokļiem par tēmu, pārbaudīt savu uzskatu un vispārpieņemto uzskatu patiesumu un izteikties. Jo īpaši mācībās lielu efektu dod problēmjautājumu ieviešana. Šīs pieejas pamatus mācīšanai 20. gadsimta 60. un 70. gados izstrādāja vietējie skolotāji. Problēmu pieejā visu darbību pamatā ir izpratne par zināšanu trūkumu konkrētu problēmu risināšanai un pretrunu risināšana. Mūsdienu apstākļos šī pieeja jāīsteno mūsdienu zinātnes sasniegumu līmeņa un skolēnu socializācijas uzdevumu kontekstā.
Svarīgi ir veicināt patstāvīgu domāšanu, izglītojamā sava viedokļa paušanu, spēju salīdzināt, atrast kopīgās un atšķirīgās iezīmes, izcelt galveno, noteikt cēloņsakarības, izdarīt secinājumus.
Pusaudzim liela nozīme būs interesantai un aizraujošai informācijai, kas rosina iztēli un liek aizdomāties. Labs efekts tiek panākts, periodiski mainot aktivitāšu veidus – ne tikai stundās, bet arī gatavojot mājas darbus. Dažādi darba veidi var kļūt par ļoti efektīvu līdzekli uzmanības palielināšanai un svarīgu līdzekli vispārējā fiziskā noguruma novēršanai, kas saistīts gan ar izglītojošo slodzi, gan ar vispārējo organisma radikālas pārstrukturēšanas procesu pubertātes laikā. 20]
Pirms attiecīgo skolas programmas sadaļu apguves skolēniem bieži vien jau ir noteiktas ikdienas idejas un jēdzieni, kas ļauj diezgan labi orientēties ikdienas praksē. Šis apstāklis gadījumos, kad viņu uzmanība netiek īpaši pievērsta iegūto zināšanu saistībai ar praktisko dzīvi, daudziem studentiem atņem vajadzību apgūt un asimilēt jaunas zināšanas, jo pēdējām viņiem nav praktiskas nozīmes.
Pusaudžu morālie ideāli un morālie uzskati veidojas daudzu faktoru ietekmē, jo īpaši nostiprinot mācīšanās izglītības potenciālu. Sarežģītu dzīves problēmu risināšanā lielāka uzmanība jāpievērš netiešām pusaudžu apziņas ietekmēšanas metodēm: nevis gatavu morāles patiesības uzrādīšanai, bet tās virzīšanai un kategorisku spriedumu izteikšanai, ko pusaudži spēj uztvert naidīgi.
§ 4. Izglītības pētījumi matemātiskās izglītības satura un skolēnu sagatavotības līmeņa pamatprasību sistēmā
Vienādojumi un nevienādības ar parametriem ir lielisks materiāls reālam pētniecības darbam. Bet skolas programmā nav iekļautas problēmas ar parametriem kā atsevišķa tēma.
Analizēsim dažādas krievu skolu izglītības standarta sadaļas, lai identificētu jautājumus, kas saistīti ar mācīšanos risināt problēmas ar parametriem.
Programmas materiāla apguve ļauj sākumskolas skolēniem “sākotnēji izprast problēmu ar parametriem, kurus var reducēt uz lineāriem un kvadrātiskiem” un iemācīties konstruēt funkciju grafikus un izpētīt šo grafiku atrašanās vietu koordinātu plaknē atkarībā no formulā iekļauto parametru vērtības.
Rindā "funkcija" nav minēts vārds "parametrs", bet teikts, ka studentiem ir iespēja "organizēt un attīstīt zināšanas par funkciju; attīstīt grafisko kultūru, iemācīties tekoši “lasīt” grafikus, atspoguļot funkcijas īpašības grafikā.”
Analizējot skolas algebras mācību grāmatas, ko izstrādājušas tādas autoru grupas kā: Alimov Sh. A. et al., Makarychev Yu. N. et al., Mordkovich A. G. et al., mēs nonākam pie secinājuma, ka problēmas ar parametriem šajās mācību grāmatās ir pievērsta maza uzmanība. Mācību grāmatās 7. klasei ir vairāki piemēri par lineārā vienādojuma sakņu skaita jautājuma izpēti, par lineāras funkcijas y = kh un y = kh + b grafika atrašanās vietas atkarības izpēti atkarībā no vērtībām. no k. Mācību grāmatās 8.–9. klasei tādās sadaļās kā “Ārpusstundu darba uzdevumi” vai “Atkārtošanas vingrinājumi” ir doti 2–3 uzdevumi sakņu izpētei kvadrātvienādojumos ar parametriem, grafa atrašanās vietu. kvadrātiskā funkcija atkarībā no parametru vērtībām.
Matemātikas programmā skolām un klasēm ar padziļinātu apmācību paskaidrojuma rakstā teikts “sadaļā “Prasības skolēnu matemātiskajai sagatavošanai” ir noteikts aptuvenais zināšanu, prasmju un iemaņu apjoms, kas skolēniem jāapgūst. Šis apjoms, protams, ietver tās zināšanas, iemaņas un prasmes, kuru obligātu apgūšanu visiem skolēniem paredz vispārizglītojošās skolas programmas prasības; tomēr tiek piedāvāta cita, augstāka to veidošanas kvalitāte. Studentiem jāapgūst prasme risināt augstākas sarežģītības pakāpes problēmas par nepieciešamo sarežģītības pakāpi, precīzi un prasmīgi jāformulē apgūtie teorētiskie principi un, risinot problēmas, jāsniedz savs pamatojums...”
Analizēsim dažas mācību grāmatas studentiem ar padziļinātām matemātikas studijām.
Šādu problēmu formulēšana un to risinājumi neiziet ārpus skolas mācību programmas robežām, bet grūtības, ar kurām saskaras skolēni, tiek skaidrotas, pirmkārt, ar parametra esamību, otrkārt, ar risinājuma un atbilžu sazarojumu. Taču uzdevumu risināšanas ar parametriem prakse ir noderīga patstāvīgas loģiskās domāšanas spēju attīstīšanai un nostiprināšanai un matemātiskās kultūras bagātināšanai.
Vispārējās izglītības stundās skolā, kā likums, šādiem uzdevumiem tiek pievērsta niecīga uzmanība. Tā kā vienādojumu un nevienādību risināšana ar parametriem, iespējams, ir vissarežģītākā elementārās matemātikas kursa sadaļa, šādu uzdevumu risināšanu ar parametriem diez vai ir ieteicams mācīt skolēnu masai, bet spēcīgiem studentiem, kuri izrāda interesi, tieksmi un spēju matemātiku, kas cenšas darboties patstāvīgi, māca Šādas problēmas noteikti ir jārisina. Tāpēc līdzās tādām tradicionālajām skolas matemātikas kursa saturiski metodiskajām līnijām kā funkcionālā, skaitliskā, ģeometriskā, vienādojumu līnija un identisku transformāciju līnija, arī parametru rindai ir jāieņem noteikta pozīcija. Materiāla saturs un prasības skolēniem par tēmu “Problēmas ar parametriem”, protams, būtu jānosaka pēc visas klases un katra indivīda matemātiskās sagatavotības līmeņa.
Skolotājam jāpalīdz apmierināt to skolēnu vajadzības un prasības, kuri izrāda interesi, spējas un spējas mācību priekšmetā. Par skolēnus interesējošiem jautājumiem var tikt organizētas konsultācijas, pulciņi, papildnodarbības un izvēles priekšmeti. Tas pilnībā attiecas uz problēmu ar parametriem.
§ 5. Izglītības pētījumi skolēnu kognitīvās darbības struktūrā
Šobrīd aktuāls ir jautājums par tāda skolēna sagatavošanu, kurš cenšas darboties patstāvīgi, ārpus skolotāja prasībām, kurš neierobežo savu interešu loku un aktīvu pētniecību ar viņam piedāvāto mācību materiālu, kurš prot pasniegt un argumentēti. aizstāvēt savu risinājumu konkrētai problēmai, kurš zina, kā precizēt vai, gluži pretēji, vispārināt aplūkojamo rezultātu, identificēt cēloņu un seku attiecības utt. -vecuma bērni, izskata studentu garīgās darbības procesa vadīšanas problēmu, veidojot un attīstot prasmes patstāvīgi iegūt zināšanas, pielietot zināšanas, papildināt un sistematizēt tās, skolēnu izziņas aktivitātes palielināšanas problēmu (L.S. Vigotskis, P. Ja. Kruteckis, N. A. Menčinska, S. L. Rubinšteins, L. M. Frīdmens u.c.).
Mācību pētniecības metode ietver divas pētniecības metodes: izglītības un zinātnisko.
Nozīmīgas skolas matemātikas kursa uzdevumu daļas risināšana paredz, ka skolēni ir attīstījuši tādas īpašības kā darbību noteikumu un algoritmu apguve atbilstoši esošajām programmām un prasme veikt fundamentālos pētījumus. Zinātnes pētniecība nozīmē objekta izpēti, lai noteiktu tā rašanās un transformācijas attīstības modeļus. Pētījuma procesā tiek izmantota uzkrātā iepriekšējā pieredze, esošās zināšanas, kā arī objektu izpētes metodes un metodes (tehnikas). Pētījuma rezultātam jābūt jaunu zinātnisku zināšanu iegūšanai.
Piemērojot matemātikas mācīšanas procesam vidusskolā, ir svarīgi atzīmēt sekojošo: izglītības pētījuma galvenie komponenti ietver pētījuma problēmas formulēšanu, tās mērķu apzināšanos, pieejamās informācijas iepriekšēju analīzi par aplūkojamo jautājumu, pētījuma problēmai tuvu problēmu risināšanas nosacījumi un metodes, sākotnējo hipotēžu izvirzīšana un formulēšana, pētījuma laikā iegūto rezultātu analīze un vispārināšana, sākotnējās hipotēzes pārbaude, pamatojoties uz iegūtajiem faktiem, jaunu rezultātu, modeļu, īpašību galīgā formulēšana , uzdotās problēmas atrastā risinājuma vietas noteikšana esošo zināšanu sistēmā. Starp izglītības pētījumu objektiem galveno vietu ieņem tie skolas matemātikas kursa jēdzieni un sakarības, kuru izpētes procesā atklājas to maiņas un transformācijas modeļi, īstenošanas nosacījumi, unikalitāte u.c.
Nopietns potenciāls tādu pētniecisko prasmju veidošanā kā spēja mērķtiecīgi novērot, salīdzināt, izvirzīt, pierādīt vai atspēkot hipotēzi, spēja vispārināt u.c., ir uzdevumi konstruēt ģeometrijas kursā, vienādojumus un nevienādības ar parametriem. algebras kurss, tā sauktās dinamiskās problēmas, kuru risināšanas procesā studenti apgūst garīgās darbības pamatmetodes: analīzi, sintēzi (analīze ar sintēzi, sintēze ar analīzi), vispārināšana, specifikācija utt., mērķtiecīgi novēro mainīgos objektus. , izvirza un formulē hipotēzi par apskatāmo objektu īpašībām, pārbauda izvirzīto hipotēzi, nosaka apgūtā rezultāta vietu iepriekš iegūto zināšanu sistēmā, tā praktisko nozīmi. Izšķiroša nozīme ir skolotāja organizētajam izglītības pētījumam. Garīgās darbības mācīšanas metodes, spēja veikt pētījumu elementus - šie mērķi pastāvīgi piesaista skolotāja uzmanību, mudinot viņu rast atbildes uz daudziem metodiskiem jautājumiem, kas saistīti ar aplūkojamās problēmas risināšanu.
Daudzu programmas jautājumu apguve sniedz lieliskas iespējas izveidot holistiskāku un pilnīgāku priekšstatu, kas saistīts ar konkrētas problēmas izskatīšanu.
Izglītības pētījumu procesā tiek sintezētas zināšanas un pieredze, ko skolēns uzkrājis matemātisko objektu izpētē. Izšķiroša nozīme studenta izglītības pētījuma organizēšanā ir viņa uzmanības piesaistīšanai (vispirms piespiedu, bet pēc tam brīvprātīgi), apstākļu radīšanai novērošanai: dziļas apziņas nodrošināšana, nepieciešamā studenta attieksme pret darbu, mācību objektu ("https:/ /vietne", 9).
Skolu matemātikas mācībā ir divi cieši saistīti izglītības pētījumu līmeņi: empīriskais un teorētiskais. Pirmo raksturo atsevišķu faktu novērošana, to klasifikācija un loģiskas saiknes izveidošana starp tiem, ko var pārbaudīt pieredzē. Izglītības pētījumu teorētiskais līmenis atšķiras ar to, ka rezultātā skolēns formulē vispārīgus matemātiskos likumus, uz kuru pamata tiek dziļāk interpretēti ne tikai jauni, bet arī empīriskā līmenī iegūtie fakti.
Veicot izglītības pētījumu, skolēnam jāizmanto gan specifiskas, tikai matemātikai raksturīgas metodes, gan vispārīgas; analīze, sintēze, indukcija, dedukcija utt., ko izmanto dažādu skolas disciplīnu objektu un parādību izpētē.
Izšķiroša nozīme ir skolotāja organizētajam izglītības pētījumam. Pielietojot matemātikas mācīšanas procesu vidusskolā, ir svarīgi atzīmēt sekojošo: izglītības pētījuma galvenie komponenti ietver pētījuma problēmas formulēšanu, tās mērķu apzināšanos, pieejamās informācijas iepriekšēju analīzi par aplūkojamo jautājumu, nosacījumi un metodes pētījuma problēmai tuvu problēmu risināšanai, sākotnējās hipotēzes izvirzīšana un formulēšana, pētījuma laikā iegūto rezultātu analīze un vispārināšana, sākotnējās hipotēzes pārbaude, pamatojoties uz iegūtajiem faktiem, jaunu rezultātu, modeļu galīgā formulēšana, īpašības, uzdotās problēmas atrastā risinājuma vietas noteikšana esošo zināšanu sistēmā. Starp izglītības pētījumu objektiem galveno vietu ieņem tie skolas matemātikas kursa jēdzieni un sakarības, kuru izpētes procesā atklājas to maiņas un transformācijas modeļi, īstenošanas nosacījumi, unikalitāte u.c.
Izglītības pētījumiem piemērots materiāls, kas saistīts ar algebras kursā pētīto funkciju izpēti. Kā piemēru apsveriet lineāro funkciju.
Uzdevums: pārbaudiet lineāro funkciju pāra un nepāra funkcijai. Padoms: Apsveriet šādus gadījumus:
2) a = 0 un b? 0;
3) a? 0 un b = 0;
4) a? 0 un b? 0.
Pētījuma rezultātā aizpildiet tabulu, norādot atbilstošās rindas un kolonnas krustpunktā iegūto rezultātu.
Risinājuma rezultātā studentiem jāsaņem šāda tabula:
pāra un nepāra | ||
nepāra | ne pāra, ne nepāra |
Tā simetrija rada gandarījuma sajūtu un pārliecību par pildījuma pareizību.
Garīgās darbības metožu veidošanai ir liela nozīme gan skolēnu vispārējā attīstībā, gan lai viņiem ieaudzinātu izglītības pētījumu (vispārīgi vai fragmentāri) prasmes.
Izglītības pētījumu rezultāts ir subjektīvi jaunas zināšanas par apskatāmā objekta (attiecību) īpašībām un to praktisko pielietojumu. Šie rekvizīti var būt vai nebūt iekļauti vidusskolas matemātikas mācību programmā. Svarīgi atzīmēt, ka skolēna darbības rezultāta novitāti nosaka gan aktivitātes veikšanas veida meklējumu raksturs, gan pati darbības metode, gan iegūtā rezultāta vieta zināšanu sistēmā. šī studenta.
Matemātikas mācīšanas metodi, izmantojot izglītības pētījumu, sauc par pētniecību neatkarīgi no tā, vai izglītības pētījuma shēma tiek īstenota pilnībā vai fragmentāri.
Īstenojot katru izglītības izpētes posmu, obligāti ir klāt gan izpildošās, gan radošās darbības elementi. Visskaidrāk tas ir novērojams gadījumā, ja students patstāvīgi veic konkrētu pētījumu. Tāpat, veicot izglītības pētījumu, dažus posmus var īstenot skolotājs, citus skolēns pats. Patstāvības līmenis ir atkarīgs no daudziem faktoriem, jo īpaši no veidošanās līmeņa, spējas novērot konkrētu objektu (procesu), spējas koncentrēt uzmanību uz vienu un to pašu priekšmetu, dažreiz diezgan ilgu laiku, spējas saskatīt problēmu, skaidri un nepārprotami formulēt, spēju atrast un izmantot piemērotas (dažkārt negaidītas) asociācijas, spēju koncentrēti analizēt esošās zināšanas, lai atlasītu nepieciešamo informāciju u.c.
Tāpat nav iespējams pārvērtēt studenta iztēles, intuīcijas, iedvesmas, spēju (un, iespējams, talanta vai ģēnija) ietekmi uz viņa pētnieciskās darbības panākumiem.
§ 6 . Pētījumi mācību metožu sistēmā
Mācību metodēm ir veltīti vairāk nekā desmit fundamentālu pētījumu, no kuriem atkarīgi pedagoga un visas skolas darba ievērojamie panākumi. Un, neskatoties uz to, mācību metožu problēma gan mācību teorijā, gan pedagoģiskajā praksē joprojām ir ļoti aktuāla. Mācību metodes jēdziens ir diezgan sarežģīts. Tas ir saistīts ar procesa ārkārtējo sarežģītību, ko šajā kategorijā ir paredzēts atspoguļot. Daudzi autori mācīšanas metodi uzskata par veidu, kā organizēt skolēnu izglītojošās un izziņas aktivitātes.
Vārds “metode” ir grieķu izcelsmes un tulkojumā krievu valodā nozīmē pētniecība, metode. "Metode - visvispārīgākajā nozīmē - ir veids, kā sasniegt mērķi, noteikts darbības pasūtīšanas veids." Ir acīmredzams, ka mācību procesā metode darbojas kā saikne starp skolotāja un skolēnu aktivitātēm noteiktu izglītības mērķu sasniegšanai. No šī viedokļa katra mācību metode organiski ietver skolotāja mācību darbu (apgūstamā materiāla prezentāciju, skaidrojumu) un studentu aktīvās izglītojošās un izziņas darbības organizēšanu. Tādējādi mācību metodes koncepcija atspoguļo:
1. Skolotāja mācību darba metodes un skolēnu audzināšanas darba metodes to savstarpējā sakarībā.
2. Viņu darba specifika dažādu mācību mērķu sasniegšanai. Tādējādi mācību metodes ir skolotāja un studentu kopīgas darbības veidi, kuru mērķis ir risināt mācīšanās problēmas, tas ir, didaktiskus uzdevumus.
Tas ir, mācību metodes ir jāsaprot kā skolotāja mācību darba metodes un studentu izglītojošo un izziņas pasākumu organizēšana dažādu didaktisko uzdevumu risināšanai, kuru mērķis ir apgūt pētāmo materiālu. Viena no aktuālajām mūsdienu didaktikas problēmām ir mācību metožu klasifikācijas problēma. Pašlaik šajā jautājumā nav vienota viedokļa. Sakarā ar to, ka dažādi autori mācību metožu iedalījumu grupās un apakšgrupās pamato ar dažādiem kritērijiem, pastāv vairākas klasifikācijas. Bet 20. gados padomju pedagoģijā norisinājās cīņa pret senajā skolā uzplaukušajām skolastiskās mācīšanas un mehāniskās mācīšanās metodēm un tika meklētas metodes, kas nodrošinātu studentu apzinātu, aktīvu un radošu zināšanu apguvi. Tieši tajos gados skolotājs B.V.Vieviatskis izveidoja nostāju, ka mācībās var būt tikai divas metodes: izpētes metode un gatavo zināšanu metode. Gatavo zināšanu metode, protams, tika kritizēta. Par svarīgāko mācību metodi tika atzīta pētījuma metode, kuras būtība bija tāda, ka studentiem it kā viss jāapgūst, pamatojoties uz pētāmo parādību novērošanu un analīzi, patstāvīgi tuvojoties nepieciešamajiem secinājumiem. Viena un tā pati izpētes metode klasē var nebūt piemērota visām tēmām.
Arī šīs metodes būtība ir tāda, ka skolotājs problemātisku problēmu sadala apakšproblēmās, un skolēni veic individuālus soļus, lai atrastu tās risinājumu. Katrs solis ir saistīts ar radošu darbību, bet problēmai vēl nav vienota risinājuma. Pētījuma laikā studenti apgūst zinātnisko zināšanu metodes un veido pētnieciskās darbības pieredzi. Ar šo metodi apmācīto audzēkņu darbība ir apgūt patstāvīgas problēmu uzstādīšanas paņēmienus, to risināšanas veidu atrašanu, uzdevumu izpēti, problēmu izvirzīšanu un attīstīšanu, ko skolotāji viņiem piedāvā.
Var arī atzīmēt, ka psiholoģija nosaka dažus modeļus ar attīstības psiholoģiju. Pirms sākat strādāt ar studentiem, izmantojot metodes, jums rūpīgi jāizpēta viņu attīstības psiholoģijas izpētes metodes. Šo metožu iepazīšana var sniegt praktisku labumu tieši šī procesa organizētājiem, jo šīs metodes ir piemērotas ne tikai pašu zinātniskiem pētījumiem, bet arī bērnu padziļinātas izpētes organizēšanai praktiskos izglītības nolūkos. Individuāla pieeja apmācībai un izglītībai paredz labas zināšanas un izpratni par studentu individuālajām psiholoģiskajām īpašībām un viņu personības unikalitāti. Līdz ar to skolotājam ir jāapgūst prasme pētīt skolēnus, saskatīt nevis pelēku, viendabīgu skolēnu masu, bet gan kolektīvu, kurā katrs ir kaut kas īpašs, individuāls, unikāls. Šādas mācības ir katra skolotāja uzdevums, taču tās vēl ir pareizi jāorganizē.
Viena no galvenajām organizācijas metodēm ir novērošanas metode. Protams, psihi nevar tieši novērot. Šī metode ietver netiešas zināšanas par cilvēka psihes individuālajām īpašībām, pētot viņa uzvedību. Tas ir, šeit ir jāvērtē skolēns pēc individuālajām īpašībām (darbības, darbiem, runas, izskata utt.), Skolēna garīgā stāvokļa (uztveres, atmiņas, domāšanas, iztēles procesiem utt.) viņa personības iezīmes, temperaments, raksturs. Tas viss ir nepieciešams skolēnam, ar kuru skolotājs strādā, izmantojot mācību pētniecisko metodi, veicot dažus uzdevumus.
Nozīmīgas skolas matemātikas kursa uzdevumu daļas risināšana paredz, ka skolēni ir attīstījuši tādas īpašības kā likumu un darbības algoritmu apguve atbilstoši esošajām programmām un prasme veikt fundamentālos pētījumus. Zinātnes pētniecība nozīmē objekta izpēti, lai noteiktu tā rašanās, attīstības un transformācijas modeļus. Pētījuma procesā tiek izmantota uzkrātā iepriekšējā pieredze, esošās zināšanas, kā arī objektu izpētes metodes un metodes (tehnikas). Pētījuma rezultātam jābūt jaunu zinātnisku zināšanu iegūšanai. Garīgās darbības mācīšanas metodes, spēja veikt pētījumu elementus - šie mērķi pastāvīgi piesaista skolotāja uzmanību, mudinot viņu rast atbildes uz daudziem metodiskiem jautājumiem, kas saistīti ar aplūkojamās problēmas risināšanu. Daudzu programmas jautājumu apgūšana sniedz lieliskas iespējas izveidot holistiskāku un pilnīgāku priekšstatu, kas saistīts ar konkrēta uzdevuma izskatīšanu. Matemātikas mācīšanas pētnieciskā metode dabiski iekļaujas mācību metožu klasifikācijā atkarībā no skolēnu darbības rakstura un kognitīvās neatkarības pakāpes. Lai sekmīgi organizētu studenta pētniecisko darbību, skolotājam ir jāsaprot un jāņem vērā gan viņa personiskās īpašības, gan šāda veida darbības procesuālās iezīmes, kā arī studenta zināšanu līmenis apgūtā kursa materiālā. Nav iespējams pārvērtēt studenta iztēles, intuīcijas, iedvesmas un spēju ietekmi uz viņa pētnieciskās darbības panākumiem.
Uzdevumu formas pētījuma metodē var būt dažādas. Tie var būt uzdevumi, kurus var ātri atrisināt klasē un mājās, vai uzdevumi, kuriem nepieciešama visa stunda. Lielākajai daļai pētniecības uzdevumu vajadzētu būt maziem meklēšanas uzdevumiem, kas prasa visu vai lielāko daļu izpētes procesa posmu. To pilnīgais risinājums nodrošinās, ka izpētes metode pildīs savas funkcijas. Pētījuma procesa posmi ir šādi:
1 Mērķtiecīga faktu un parādību novērošana un salīdzināšana.
Izpētāmo neskaidro parādību identificēšana.
Pieejamās informācijas sākotnējā analīze par izskatāmo jautājumu.
4. Hipotēzes izvirzīšana un formulēšana.
5. Pētījuma plāna sastādīšana.
Plāna īstenošana, noskaidrojot pētāmās parādības kopsakarības ar citiem.
Jaunu rezultātu, modeļu, īpašību formulēšana, uzdotā pētījuma atrastā risinājuma vietas noteikšana esošo zināšanu sistēmā.
Pārbauda atrasto risinājumu.
Praktiski secinājumi par jaunu zināšanu iespējamo pielietojumu.
§ 7 . Spēja veikt pētījumus sistēmāsmums ir īpašas zināšanas
Prasme ir apzināta skolēna zināšanu un prasmju pielietošana, lai veiktu sarežģītas darbības dažādos apstākļos, t.i., risinātu aktuālas problēmas, jo katras kompleksās darbības izpilde skolēnam darbojas kā problēmas risinājums.
Pētniecības prasmes var iedalīt vispārīgajās un specifiskajās. Vispārējās pētnieciskās prasmes, kuru veidošanās un attīstīšana notiek parametru problēmu risināšanas procesā, ietver: spēju saskatīt aiz dotā vienādojuma ar parametru dažādas vienādojumu klases, ko raksturo kopīga skaita un veida klātbūtne. saknes; prasme lietot analītiskās un grafiski-analītiskās metodes.
Speciālās pētnieciskās prasmes ietver prasmes, kas veidojas un attīstās konkrētas klases problēmu risināšanas procesā.
Risinot lineāros vienādojumus, kas satur parametru, veidojas šādas īpašas prasmes:
§ Spēja identificēt īpašas parametru vērtības, pie kurām noteiktajam lineārajam vienādojumam ir:
Viena sakne;
Bezgalīgs sakņu skaits;
3) nav sakņu;
Spēja interpretēt atbildi sākotnējā uzdevuma valodā. Īpašas pētniecības prasmes, kuru veidošanās un attīstība notiek lineāro nevienādību risināšanas procesā, kas satur parametru, ietver:
§ Spēja redzēt nezināmā un brīvā termiņa koeficientu kā parametra funkciju;
§ Spēja identificēt īpašas parametru vērtības, pie kurām noteiktajai lineārajai nevienādībai ir risinājums:
1) Intervāls;
2) Nav risinājumu;
§ Spēja interpretēt atbildi sākotnējā uzdevuma valodā.Īpašas pētnieciskās prasmes, kuru veidošanās un attīstība notiek parametru saturošu kvadrātvienādojumu risināšanas procesā, ietver:
§ Spēja identificēt īpašu parametra vērtību, pie kuras vadošais koeficients kļūst par nulli, t.i., vienādojums kļūst lineārs, un rast risinājumu iegūtajam vienādojumam noteiktajām parametra īpašajām vērtībām;
§ Spēja atrisināt jautājumu par dotā kvadrātvienādojuma sakņu esamību un skaitu atkarībā no diskriminanta zīmes;
§ Spēja izteikt kvadrātvienādojuma saknes caur parametru (ja pieejams);
Starp īpašajām pētniecības prasmēm, kuru veidošanās un attīstība notiek daļēju racionālu vienādojumu risināšanas procesā, kas satur parametru, ko var reducēt uz kvadrātiskiem, ir:
§ Spēja reducēt daļēju racionālu vienādojumu, kas satur parametru, uz kvadrātvienādojumu, kas satur parametru.
Īpašas pētniecības prasmes, kuru veidošanās un attīstība notiek parametru saturošu kvadrātvienādību risināšanas procesā, ietver:
§ Spēja noteikt īpašu parametra vērtību, pie kuras vadošais koeficients kļūst par nulli, tas ir, nevienlīdzība kļūst lineāra, un atrast daudzus risinājumus iegūtajai nevienādībai parametra īpašām vērtībām;
§ Spēja ar parametra palīdzību izteikt kvadrātiskās nevienādības atrisinājumu kopu.
Tālāk ir norādītas izglītības prasmes, kas izpaužas kā mācīšana un pētniecība, kā arī pētniecības prasmes.
6–7 klase:
- ātri izmantot vecās zināšanas jaunu iegūšanas situācijā;
- brīvi pārnest garīgo darbību kompleksu no viena materiāla uz otru, no viena subjekta uz otru;
izplatīt iegūtās zināšanas lielam objektu kopumam;
apvienot zināšanu “sabrukšanas” un “atvēršanas” procesu;
mērķtiecīgi apkopot teksta idejas, izceļot galvenās domas tā segmentos un daļās;
sistematizēt un klasificēt informāciju;
— salīdzināt informāciju par raksturlielumu sistēmām, izceļot līdzības un atšķirības;
- prast saistīt simbolisko valodu ar rakstisku un mutisku runu;
— analizēt un plānot metodes turpmākajam darbam;
ātri un brīvi “savienot” jauno zināšanu sastāvdaļas;
prast īsi izklāstīt galvenās teksta domas un faktus;
- iegūt jaunas zināšanas, pārejot no sistēmu veidojošām zināšanām uz konkrēto ar diagrammu, tabulu, piezīmju uc palīdzību;
ilgstoša klausīšanās procesa laikā izmantot dažādas ierakstīšanas formas;
izvēlēties optimālus risinājumus;
pierādīt vai atspēkot, izmantojot savstarpēji saistītas metodes;
- izmantot dažādus analīzes un sintēzes veidus;
- apsvērt problēmu no dažādiem skatu punktiem;
— izteikt spriedumu domu algoritma veidā.
Matemātiskajai izglītībai skolēnu domāšanas veidošanās vai garīgās attīstības procesos ir jābūt un tiek piešķirta īpaša vieta, jo matemātikas mācīšanas līdzekļi visefektīvāk ietekmē daudzus holistiskās personības un, galvenokārt, domāšanas pamatkomponentus.
Tādējādi īpaša uzmanība tiek pievērsta skolēna domāšanas attīstībai, jo tieši tas ir saistīts ar visām pārējām garīgajām funkcijām: iztēli, prāta lokanību, domas plašumu un dziļumu utt. Atzīmēsim, ka, ņemot vērā domāšanas attīstīšana uz studentu orientētas mācīšanās kontekstā, jāatceras, ka nepieciešams nosacījums šādas attīstības īstenošanai ir mācību individualizācija. Tieši tas nodrošina, ka tiek ņemtas vērā dažādu kategoriju studentu garīgās aktivitātes īpašības.
Ceļš uz radošumu ir individuāls. Tajā pašā laikā visiem skolēniem matemātikas studiju procesā ir jāsajūt tās radošais raksturs, matemātikas apguves procesā jāiepazīstas ar dažām radošās darbības prasmēm, kas viņiem būs nepieciešamas turpmākajā dzīvē un darbībā. Lai atrisinātu šo sarežģīto problēmu, matemātikas mācīšana jāstrukturē tā, lai skolēns bieži meklētu jaunas kombinācijas, pārveidojot lietas, parādības, realitātes procesus un meklētu nezināmas sakarības starp objektiem.
Lielisks veids, kā iepazīstināt skolēnus ar radošo darbību, mācot matemātiku, ir patstāvīgais darbs visās tā formās un izpausmēs. Ļoti fundamentāls šajā ziņā ir akadēmiķa P. L. Kapicas apgalvojums, ka neatkarība ir viena no radošas personības pamatīpašībām, jo radošo spēju izkopšanas cilvēkā pamatā ir patstāvīgas domāšanas attīstība.
Studentu un mācību grupu sagatavotības līmeni patstāvīgai radošai darbībai var noteikt, atbildot uz šādiem jautājumiem:
Cik efektīvi skolēni var izmantot piezīmes, atsauces piezīmes un lasīt diagrammas un dažāda veida tabulas?
Vai skolēni prot objektīvi novērtēt piedāvātās idejas, skolotājam risinot problēmproblēmu, un ņem vērā to pielietošanas iespēju? 3) Cik ātri skolēni pāriet no viena problēmas risināšanas veida uz citu? 4) Analizēt skolēnu orientēšanas efektivitāti nodarbības laikā uz patstāvīgā darba pašorganizēšanos; 5) Izpētīt skolēnu spēju elastīgi modelēt un risināt problēmas.
2.nodaļa. Tēmas “Vienādojumi un nevienādības ar parametriem” metodiskā analīze un izvēles kursa “Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru” izstrāde.
1. §. Loma Un vieta parametrisks vienādojumi Un nevienlīdzības veidojumā pētījumiem prasmeth studentiem
Neskatoties uz to, ka vidusskolas matemātikas programmā nav tieši pieminētas problēmas ar parametriem, būtu kļūdaini teikt, ka skolas matemātikas kursā nekādi netiek risināts jautājums par parametru uzdevumu risināšanu. Pietiek atgādināt skolas vienādojumus: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, kuros a, b, c, k ir nekas vairāk kā parametri. Bet skolas kursa ietvaros uzmanība netiek pievērsta tādam jēdzienam, parametram, kā tas atšķiras no nezināmā.
Pieredze rāda, ka parametru uzdevumi ir loģiskā un tehniskā ziņā vissarežģītākā elementārās matemātikas sadaļa, lai gan no formālā viedokļa šādu uzdevumu matemātiskais saturs nepārsniedz programmu robežas. To izraisa dažādi viedokļi par parametru. No vienas puses, parametru var uzskatīt par mainīgo, kas tiek uzskatīts par nemainīgu vērtību, risinot vienādojumus un nevienādības, no otras puses, parametrs ir lielums, kura skaitliskā vērtība nav dota, bet jāuzskata par zināmu, parametram var būt patvaļīgas vērtības, t.i., parametram, kas ir fiksēts, bet nezināms skaitlis, ir duāls raksturs. Pirmkārt, pieņemtā zināmība ļauj parametru traktēt kā skaitli, otrkārt, brīvības pakāpi ierobežo tā nezināmība.
Katrā no parametru rakstura aprakstiem ir nenoteiktība - kādos risinājuma posmos parametru var uzskatīt par konstanti un kad tas spēlē mainīgā lomu. Visas šīs pretrunīgās parametra īpašības var radīt zināmu psiholoģisku barjeru skolēnos jau viņu iepazīšanās sākumā.
Šajā sakarā parametra iepazīšanas sākotnējā posmā ir ļoti lietderīgi pēc iespējas biežāk izmantot iegūto rezultātu vizuālu un grafisku interpretāciju. Tas ne tikai ļauj skolēniem pārvarēt parametra dabisko nenoteiktību, bet arī dod iespēju skolotājam paralēli kā propedeitikai mācīt studentus izmantot grafiskās pierādīšanas metodes, risinot uzdevumus. Tāpat nevajadzētu aizmirst, ka vismaz shematisku grafisku ilustrāciju izmantošana dažos gadījumos palīdz noteikt izpētes virzienu un dažkārt ļauj uzreiz izvēlēties problēmas risināšanas atslēgu. Patiešām, noteikta veida problēmām pat primitīvs zīmējums, kas ir tālu no reāla grafika, ļauj izvairīties no dažāda veida kļūdām un vienkāršāk iegūt atbildi uz vienādojumu vai nevienādību.
Matemātisko uzdevumu risināšana kopumā ir vissarežģītākā skolēnu aktivitāšu daļa, mācoties matemātiku, un tas izskaidrojams ar to, ka uzdevumu risināšanai ir nepieciešams diezgan augsts augstākā līmeņa intelekta attīstības līmenis, t.i. teorētiskā, formālā un reflektējošā domāšana u.c. domāšana, kā jau minēts, joprojām attīstās pusaudža gados.
Valsts budžeta izglītības iestāde
Samaras reģiona vidējā vispārējā izglītība
vārdā nosauktā skola Nr. V. Maskiņa dzelzceļš Art. Kļavlino
Klyavlinsky pašvaldības rajons
Samaras reģions
« Vienādojumi
Un
nevienlīdzības
ar parametriem"
pamācība
Kļavlino
Apmācība
"Vienādojumi un nevienādības ar parametriem" klašu skolēniem 10.–11
šī rokasgrāmata ir pielikums izvēles kursa programmai “Vienādojumi un nevienādības ar parametriem”, kas izturējis ārēju eksāmenu (Samāras apgabala Izglītības un zinātnes ministrijas zinātniski metodisko ekspertu padome 2008. gada 19. decembrī ieteica izmantošana Samaras reģiona izglītības iestādēs)
Autori
Romadanova Irina Vladimirovna
matemātikas skolotājs Kļavlinskas vidusskolā
vārdā nosauktā skola Nr. V. Maskina, Kļavļinskas rajons, Samaras apgabals
Serbajeva Irina Aleksejevna
Ievads…………………………………………………………… 3-4
Lineārie vienādojumi un nevienādības ar parametriem………………..4-7
Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametriem……………7-9
Frakcionāli-racionālie vienādojumi ar parametriem……………..10-11
Iracionālie vienādojumi un nevienādības ar parametriem……11-13
Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības ar parametriem.14-15
Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības ar parametriem………16-17
Logaritmiskie vienādojumi un nevienādības ar parametriem......16-18
Vienotā valsts eksāmena mērķi………………………………………………………….18-20
Patstāvīgā darba uzdevumi……………………………21-28
Ievads.
Vienādojumi un nevienādības ar parametriem.
Ja vienādojumā vai nevienādībā dažiem koeficientiem nav dotas noteiktas skaitliskās vērtības, bet tiek apzīmētas ar burtiem, tad tos sauc parametri, un pats vienādojums vai nevienlīdzība parametrisks.
Lai atrisinātu vienādojumu vai nevienādību ar parametriem, jums ir nepieciešams:
Izvēlieties īpaša nozīme- šī ir tā parametra vērtība, kurā vai izejot caur kuru mainās vienādojuma vai nevienādības atrisinājums.
Definējiet derīgas vērtības– tās ir parametra vērtības, pie kurām vienādojumam vai nevienādībai ir jēga.
Vienādojuma vai nevienādības atrisināšana ar parametriem nozīmē:
1) noteikt, pie kādām parametru vērtībām pastāv risinājumi;
2) katrai pieļaujamai parametru vērtību sistēmai atrast atbilstošo risinājumu kopu.
Vienādojumu ar parametru var atrisināt, izmantojot šādas metodes: analītisko vai grafisko.
Analītiskā metode ietver uzdevumu izpētīt vienādojumu, apsverot vairākus gadījumus, no kuriem nevienu nevar palaist garām.
Vienādojumu un nevienādību risināšana ar katra veida parametriem, izmantojot analītisko metodi, ietver detalizētu situācijas analīzi un konsekventu izpēti, kuras laikā rodas nepieciešamība "uzmanīga apiešanās" ar parametru.
Grafiskā metode ietver vienādojuma grafika konstruēšanu, pēc kura var noteikt, kā parametra izmaiņas attiecīgi ietekmē vienādojuma atrisinājumu. Grafiks dažreiz ļauj analītiski formulēt nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus problēmas risināšanai. Grafiskā risinājuma metode ir īpaši efektīva, ja ir nepieciešams noteikt, cik sakņu vienādojumam ir atkarībā no parametra, un tai ir neapšaubāma priekšrocība, ka tas ir skaidri redzams.
§ 1. Lineārie vienādojumi un nevienādības.
Lineārais vienādojums A x = b , rakstīts vispārīgā formā, var uzskatīt par vienādojumu ar parametriem, kur x - nezināms , a , b - opcijas. Šim vienādojumam parametra īpašā jeb kontroles vērtība ir tā, pie kuras nezināmā koeficients kļūst par nulli.
Risinot lineāru vienādojumu ar parametru, tiek aplūkoti gadījumi, kad parametrs ir vienāds ar tā īpašo vērtību un atšķiras no tā.
Īpaša parametra vērtība a ir vērtība A = 0.
b = 0 ir īpaša parametra vērtība b .
Plkst b ¹ 0 vienādojumam nav atrisinājumu.
Plkst b = 0 vienādojums būs šāds: 0x = 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš reāls skaitlis.
Formu nevienlīdzības ak> b Un cirvis < b (a ≠ 0) sauc par lineārām nevienādībām. Nevienlīdzības risinājumu kopums ak>b- intervāls
(; +
),
Ja a
> 0
, Un (-;)
, Ja A< 0
. Tāpat par nevienlīdzību
Ak<
b
risinājumu kopums - intervāls(-;),
Ja a
> 0,
Un (; +),
Ja A< 0.
1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu cirvis = 5
Risinājums: Šis ir lineārs vienādojums.
Ja a = 0, tad vienādojums 0 × x = 5 nav risinājuma.
Ja A¹ 0, x =- vienādojuma risinājums.
Atbilde: plkst A¹ 0, x=
a = 0 risinājuma nav.
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu cirvis – 6 = 2a – 3x.
Risinājums:Šis ir lineārs vienādojums, cirvis – 6 = 2a – 3x (1)
cirvis + 3x = 2a +6
Pārrakstot vienādojumu kā (a+3)x = 2(a+3), apsveriet divus gadījumus:
a = -3 Un A¹ -3.
Ja a = -3, tad jebkurš reāls skaitlis X ir (1) vienādojuma sakne. Ja A¹ -3 , vienādojumam (1) ir viena sakne x = 2.
Atbilde: Plkst a = -3, x 
R
;
plkst A
¹
-3, x = 2.
3. piemērs. Pie kādām parametru vērtībām A starp vienādojuma saknēm
2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 ir vairāk sakņu 1 ?
Risinājums: Atrisināsim vienādojumu 2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- lineārais vienādojums
2(a - 2) x = a 2 - 4a +4
2(a – 2) x = (a – 2) 2
Plkst a = 2 vienādojuma atrisināšana 0x = 0 būs jebkurš skaitlis, ieskaitot vienu, kas ir lielāks par 1.
Plkst A¹
2 x = 
.
Pēc nosacījuma x > 1, tas ir >1 un >4.
Atbilde: Plkst A (2) U (4;∞).
4. piemērs . Katrai parametra vērtībai A atrodiet vienādojuma sakņu skaitu ah=8.
Risinājums. cirvis = 8- lineārais vienādojums.
y = a– horizontālo līniju saime;
y = - Grafiks ir hiperbola. Izveidosim šo funkciju grafikus.
Atbilde: Ja a =0, tad vienādojumam nav atrisinājumu. Ja a ≠ 0, tad vienādojumam ir viens risinājums.
5. piemērs . Izmantojot grafikus, noskaidrojiet, cik sakņu ir vienādojumam:
|x| = ak - 1.
y =| x | ,
y = ak - 1– grafiks ir taisna līnija, kas iet caur punktu (0;-1).
Izveidosim šo funkciju grafikus.
Atbilde: Kad |a|>1- viena sakne
plkst | a|≤1 – vienādojumam nav sakņu.
Piemērs 6 . Atrisiniet nevienlīdzību cirvis + 4 > 2x + a 2
Risinājums
:
cirvis + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >A
2
– 4. Apskatīsim trīs gadījumus.
Atbilde. x > a + 2 plkst a > 2; X<а + 2, plkst A< 2; plkst a=2 risinājumu nav.
2. §. Kvadrātvienādojumi un nevienādības
Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums Ak ² + b x + c = 0 , Kur a≠ 0,
A, b , Ar - opcijas.
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus ar parametru, varat izmantot standarta risināšanas metodes, izmantojot šādas formulas:
1
)
kvadrātvienādojuma diskriminants:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ac)
2)
kvadrātvienādojuma sakņu formulas:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
Kvadrātiskās nevienādības sauc
a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)
a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)
Nevienādības (3) atrisinājumu kopu iegūst, apvienojot nevienādības (1) atrisinājumu kopas un vienādojumu , a X 2 + b x + c = 0. Līdzīgi var atrast arī nevienādības (4) risinājumu kopu.
Ja kvadrātiskā trinoma diskriminants
a
X
2
+
b
x + c
ir mazāks par nulli, tad a > 0 trinomāls ir pozitīvs visiem x R.
Ja kvadrātveida trinomālam ir saknes (x 1
< х
2
), tad a > 0 tas ir pozitīvs komplektā(-;
x 2 )
(X 2;
+)
un negatīvs par intervālu
(x 1; x 2 ). Ja< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) un negatīvs visiem x (-;
x 1 )(X 2;
+).
1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ax² — 2 (a – 1) x — 4 = 0.
Šis ir kvadrātvienādojums
Risinājums: Īpaša nozīme a = 0.
Plkst a = 0 iegūstam lineāru vienādojumu 2x – 4 = 0. Tam ir viena sakne x = 2.
Plkst a ≠ 0. Atradīsim diskriminantu.
D = (a-1)² + 4a = (a+1)²
Ja a = -1, Tas D = 0 - viena sakne.
Atradīsim sakni, aizstājot a = -1.
-x² + 4x - 4 = 0, tas ir x² -4x + 4 = 0, mēs to atrodam x=2.
Ja a ≠ - 1, Tas D
>0
. Izmantojot saknes formulu, mēs iegūstam:x= 
;
X 1 =2, x 2 = -.
Atbilde: Plkst a=0 un a= -1 vienādojumam ir viena sakne x = 2; plkst a ≠ 0 un
A ≠ - 1 vienādojumam ir divas saknesX 1 =2, x 2 =-.
2. piemērs. Atrodiet šī vienādojuma sakņu skaitu x²-2x-8-a=0 atkarībā no parametru vērtībām A.
Risinājums. Pārrakstīsim šo vienādojumu formā x²-2x-8=a
y = x²-2x-8- grafiks ir parabola;
y =a- horizontālu līniju saime.
Veidosim funkciju grafikus.
Atbilde: Kad A<-9 , vienādojumam nav atrisinājumu; ja a=-9, vienādojumam ir viens risinājums; plkst a>-9, vienādojumam ir divi risinājumi.
3. piemērs. Pie kā A nevienlīdzība (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 attiecas uz visām x vērtībām?
Risinājums. Kvadrātiskais trinomāls ir pozitīvs visām x ja vērtībām
a-3 > 0 un D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
no kurienes tas izrieta
> 6
.
Atbilde.a > 6
3. §. Daļēji racionālie vienādojumi ar parametru,
reducējams uz lineāru
Daļējo vienādojumu risināšanas process tiek veikts saskaņā ar parasto shēmu: daļu aizstāj ar veselu skaitli, reizinot abas vienādojuma puses ar tā kreisās un labās puses kopsaucēju. Pēc tam tiek atrisināts viss vienādojums, izņemot svešas saknes, tas ir, skaitļus, kas pārvērš saucēju uz nulli.
Vienādojumu ar parametru gadījumā šī problēma ir sarežģītāka. Šeit, lai “likvidētu” svešas saknes, ir jāatrod tā parametra vērtība, kas kopsaucēju pārvērš uz nulli, tas ir, jāatrisina parametram atbilstošie vienādojumi.
1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu 
= 0
Risinājums: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
Atbilde: Plkst a ≠ - 2, x=a
Plkst a = -2 nav sakņu.
2. piemērs
.
Atrisiniet vienādojumu 
- 
= 
(1)
Šis ir daļējs racionāls vienādojums
Risinājums: Nozīme a = 0 ir īpašs. Plkst a = 0 vienādojumam nav jēgas, un tāpēc tam nav sakņu. Ja a ≠ 0, tad pēc transformācijām vienādojums iegūs šādu formu: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- kvadrātvienādojums.
Atradīsim diskriminantu 
= (1 – a)² – (a² – 2a – 3) = 4,
atrodiet vienādojuma saknesX
1
= a + 1, x
2
= a - 3.
Pārejot no vienādojuma (1) uz vienādojumu (2), vienādojuma (1) definīcijas apgabals paplašinājās, kas varētu izraisīt svešu sakņu parādīšanos. Tāpēc pārbaude ir nepieciešama.
Pārbaude. Izslēgsim no atrastajām vērtībām X tie, kuros
x 1 + 1 = 0, x 1 + 2 = 0, x 2 + 1 = 0, x 2 + 2 = 0.
Ja X 1 +1=0, tas ir (a+1) + 1 = 0, Tas a = -2. Tādējādi
plkst a = -2 , X 1 -
Ja X 1 +2=0, tas ir (a+1)+2=0, Tas a = - 3. Tādējādi, kad a = - 3, x 1 - vienādojuma sveša sakne. (1).
Ja X 2 +1=0, tas ir (a – 3) + 1 = 0, Tas a = 2. Tādējādi, kad a = 2 x 2 - vienādojuma (1) sveša sakne.
Ja X 2 +2=0, tas ir ( a – 3) + 2 = 0, Tas a=1. Tādējādi, kad a = 1,
X 2 - vienādojuma (1) sveša sakne.
Saskaņā ar to, kad a = - 3 mēs saņemam x = - 3 - 3 = -6;
plkst a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
plkst a = 1 x = 1 + 1 = 2;
plkst a = 2 x = 2+1 = 3.
Jūs varat pierakstīt atbildi.
Atbilde: 1) ja a = -3, Tas x= -6; 2) ja a = -2, Tas x= -5; 3) ja a = 0, tad nav sakņu; 4) ja a = 1, Tas x=2; 5) ja a=2, Tas x=3; 6) ja a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, tad x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4. Iracionālie vienādojumi un nevienādības
Tiek izsaukti vienādojumi un nevienādības, kuros mainīgais atrodas zem saknes zīmes neracionāli.
Iracionālu vienādojumu risināšana nozīmē pāreju no iracionāla uz racionālu vienādojumu, paaugstinot abas vienādojuma puses vai aizstājot mainīgo. Kad abas vienādojuma puses tiek paaugstinātas līdz vienmērīgai pakāpei, var parādīties svešas saknes. Tāpēc, izmantojot šo metodi, ir jāpārbauda visas atrastās saknes, aizstājot tās sākotnējā vienādojumā, ņemot vērā parametru vērtību izmaiņas.
Formas vienādojums 
=g (x) ir ekvivalents sistēmai 
Nevienādība f (x) ≥ 0 izriet no vienādojuma f (x) = g 2 (x).
Atrisinot iracionālās nevienādības, izmantosim šādas ekvivalentas transformācijas:
≤ g(x) 
≥g(x) 
1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu 
= x + 1 (3)
Šis ir iracionāls vienādojums
Risinājums:
Pēc aritmētiskās saknes definīcijas (3) vienādojums ir ekvivalents sistēmai 
.
Plkst a = 2 pirmajam sistēmas vienādojumam ir forma 0 x = 5, tas ir, tam nav risinājumu.
Plkst a≠ 2 x= 
.
Noskaidrosim, kādās vērtībāsA
atrastā vērtībaX
apmierina nevienlīdzībux ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
kur a ≤ vai a > 2.
Atbilde: Plkst a≤, a > 2 x= ,
plkst < а ≤ 2
vienādojumam nav atrisinājumu.
2. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu 
= a
(4. pielikums)
Risinājums. y
=
y = a– horizontālu līniju saime.
Veidosim funkciju grafikus.
Atbilde: plkst A<0 – nav risinājumu;
plkst A≥ 0 - viens risinājums.
3. piemērs
. Atrisināsim nevienlīdzību(a+1) 
<1.
Risinājums. O.D.Z. x ≤ 2. Ja a+1 ≤0, tad nevienlīdzība attiecas uz visām pieļaujamajām vērtībām X. Ja a+1>0, Tas
(a+1) <1.<
kur X (2- 
2
Atbilde.
X (- ;2pie a (-;-1,
X (2- 2
plkst A
(-1;+).
§ 5. Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības.
Šeit ir formulas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanai:
Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Ja
>1, tad vienādojumam (1) un (2) nav atrisinājumu.
iedegums x = a x= arctan a + πn, n Z,a R
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z,a R
Katrai standarta nevienādībai mēs norādām risinājumu kopu:
1.
grēks x > a arcsin a + 2 πn
Z,
plkst a
<-1,
x R
;
plkst a
≥ 1,
risinājumu nav.
2. . grēks x< a π - arcsin a + 2 πnZ,
a≤-1 nav risinājumu; par > 1,x R
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
plkst A<-1,
x R
; plkst a
≥ 1
, risinājumu nav.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
plkst a≤-1
, nav risinājumu; plksta
> 1,
x
R
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
1. piemērs. Atrast A, kam šim vienādojumam ir risinājums:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Risinājums. Ierakstīsim vienādojumu formā
Aros 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, Atrisinot to kā kvadrātisko, mēs iegūstam cosx = 5-A Un cosx = -a-1.
Vienādojums cosx
= 5-
A
ir sniegti risinājumi -1≤ 5-A
≤1
4≤
A≤ 6 un vienād. cosx
= -
a-1
nodrošināts -1≤ -1-A
≤ 1
-2 ≤
A
≤0.
Atbilde.
A
-2; 0 4; 6
2. piemērs.
Pie kā bir tāda, ka nevienlīdzība 
+
b> 0 attiecas uz visiem x ≠πn
,
n
Z
.
Risinājums. Liekam A= 0. Nevienādība attiecas uz b >0. Tagad parādīsim, ka neviens b ≤0 neatbilst uzdevuma nosacījumiem. Patiešām, pietiek ar x = π /2, Ja A <0, и х = - π /2 plkst A ≥0.
Atbilde.b>0
§ 6. Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības
1. Vienādojums h(x)
f ( x )
=
h(x)
g ( x) plkst h(x) > 0 ir ekvivalents divu sistēmu kopumam 
Un 
2. Īpašā gadījumā (h (x)= a ) vienādojums A f(x) = A g(x) plkst A> 0, ir ekvivalents divu sistēmu kopumam
Un 
3. Vienādojums A f(x) = b , Kur A > 0, a ≠1, b>0, ekvivalents vienādojumam
f (x )= log a b . Notiek A=1 tiek aplūkoti atsevišķi.
Vienkāršāko eksponenciālo nevienādību risinājums ir balstīts uz jaudas īpašību. Formas nevienlīdzībaf(a
x ) > 0, izmantojot mainīgo izmaiņast=
a
x reducējas līdz nevienlīdzību sistēmas atrisināšanai 
un pēc tam atbilstošo vienkāršo eksponenciālo nevienādību atrisināšanai.
Risinot nestingru nevienādību, stingrai nevienādībai ir jāpievieno atbilstošā vienādojuma saknes atrisinājumu kopai. Tāpat kā vienādojumu risināšanā visos piemēros, kas satur izteiksmi A f (x), mēs pieņemam A> 0. Lieta A= 1 tiek aplūkoti atsevišķi.
1. piemērs
.
Pie kā A vienādojums 8 x = 
ir tikai pozitīvas saknes?
Risinājums.
Pēc eksponenciālas funkcijas īpašības, kuras bāze ir lielāka par vienu, mums ir x>0 8
X >1 >1
>0, no kurienesa
(1,5;4).
Atbilde.
a
(1,5;4).
2. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību a 2 ∙2 x > a
Risinājums. Apskatīsim trīs gadījumus:
1.
A< 0
. Tā kā nevienādības kreisā puse ir pozitīva un labā puse ir negatīva, nevienlīdzība attiecas uz jebkuru x R.
2. a=0. Risinājumu nav.
3.
A
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > -log 2
a
Atbilde.
X R plkst A
> 0; nav risinājumu
a
=0; X (-
žurnāls 2
a; +) plksta> 0
.
§ 7. Logaritmiskie vienādojumi un nevienādības
Iesniegsim dažas risināšanā izmantotās ekvivalences logaritmiskie vienādojumi un nevienādības.
1. Vienādojums log f (x) g (x) = log f (x) h (x) ir ekvivalents sistēmai
Jo īpaši, ja A >0, A≠1, tad
žurnāls a
g(x)=log a
h(x) 
2.
Vienādojums žurnāls a
g(x)=b g(x)=a
b (
A
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Nevienlīdzība žurnāls f ( x )
g (x) ≤
žurnāls f ( x )
h(x) ir līdzvērtīgs divu sistēmu kombinācijai: 
Un 
Ja, b ir skaitļi, a >0, a ≠1, tad
žurnāls a
f(x) ≤ b 
žurnāls a
f(x)>b 
1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu 
Risinājums. Atradīsim ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Pārveidojiet vienādojumu
žurnāls 
x – 2 = 4 – žurnāls a
x žurnāls x + žurnāls a
x– 6 = 0, no kurienes žurnāls a
x = - 3
x = A-3 un žurnāls a
x = 2
x = A 2. Nosacījums x = A
4
A
– 3
=
A 4 vai A
2
=
A
4
netiek veikta ODZ.
Atbilde: x = A-3, x = A 2 plkst A
(0; 1) 
(1; ).
2. piemērs . Atrodiet vislielāko vērtību A, kuram vienādojums
2
žurnāls 
-
+
a
= 0 ir risinājumi.
Risinājums.
Mēs veiksim nomaiņu =
tun mēs iegūstam kvadrātvienādojumu 2t 2
–
t +
a
= 0. Atrisinot, mēs atrodamD = 1-8
a
. Apsvērsim D≥0, 1-8
A
≥0 
A
≤.
Plkst A = kvadrātvienādojumam ir saknet= >0.
Atbilde. A =
3. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzībužurnāls(x 2 – 2 x + a ) > - 3
Risinājums.
Atrisināsim nevienlīdzību sistēmu 
Kvadrātveida trinomu saknes x 1,2
= 1 ± 
viņu 3,4
= 1 ± 
.
Kritiskās parametru vērtības: A= 1 un A= 9.
Pieņemsim, ka X 1 un X 2 ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopas
X 1 
X 2
= X – sākotnējās nevienādības atrisinājums.
0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), plkstA> 1 x 1 = (-;+).
0<
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), plkstA≥9 X 2 – risinājumu nav.
Apskatīsim trīs gadījumus:
1. 0<
a
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a≥ 9 X – nav risinājumu.
Vienotā valsts eksāmena mērķi
Augsts līmenis C1, C2
1. piemērs. Atrodiet visas vērtības R, kuram vienādojums
R ∙ ctg 2x+2sinx+ lpp= 3 ir vismaz viena sakne.
Risinājums. Pārveidosim vienādojumu
R ∙ (
- 1) + 2sinx + lpp= 3, sinx = t, t 
, t 
0.
-
lpp+2t+ lpp
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2 t = , 3t 2 – 2t 3 = lpp
.
Ļaujiet f(y) = 3
t 2
– 2
t 3
. Atradīsim funkciju vērtību kopuf(x) ieslēgts 
. plkst /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
Plkst t ,
E(f) =
,
Plkst t ,
E(f) =
, tas ir, kad t ,
E(f) =
.
Uz 3. vienādojumut 2
– 2
t 3
=
lpp
(tātad dotajam) bija vismaz viena nepieciešamā un pietiekama saknelpp
E(f), tas ir lpp
.
Atbilde.
.
2. piemērs.
Pie kādām parametru vērtībāmA vienādojums žurnāls 
(4
x 2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 ir tieši viena sakne?
Risinājums. Pārveidosim vienādojumu par vienu ekvivalentu šim:
4x 2–4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
Ņemiet vērā: ja noteikts skaitlis x ir iegūtā vienādojuma sakne, tad skaitlis – x ir arī šī vienādojuma sakne. Pēc nosacījuma tas nav iespējams, tāpēc vienīgā sakne ir skaitlis 0.
Mēs atradīsim A.
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Pārbaude.
1)
a
1
= 1. Tad vienādojums izskatās šādi:žurnāls (4
x 2
+4) =2. Atrisināsim
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 ir vienīgā sakne.
2)
a
2
= 3. Vienādojums izskatās šādi:žurnāls (4
x 2
+4) =2 x = 0 ir vienīgā sakne.
Atbilde. 1; 3
Augsts līmenis C4, C5
3. piemērs. Atrodiet visas vērtības R, kuriem vienādojums
x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 ir veselas saknes, un šīs saknes ir nevienādības atrisinājumi: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 - 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.
Risinājums.
Ļaujiet x 1,
X 2
– vienādojuma x veselas saknes 2
– (R
+ 3)x + 1= 0. Tad pēc Vietas formulas vienādības x 1
+ x 2
=
R
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. Divu veselu skaitļu x reizinājums 1
, X 2
var būt vienāds ar vienu tikai divos gadījumos: x 1
= x 2
= 1 vai x 1
= x 2
= - 1. Ja x 1
= x 2
= 1, tadR
+ 3 = 1+1 = 2R
= - 1; ja x 1
= x 2
= - 1, tadR
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 R
= - 5. Pārbaudīsim, vai vienādojuma x saknes 2
– (R
+ 3)x + 1= 0 aprakstītajos gadījumos pēc šīs nevienādības atrisinājumiem. Šim gadījumamR
= - 1, x 1
= x 2
= 1 mums ir
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – patiess; šim gadījumam R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 mums ir (- 1) 3 - 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 - 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – pareizi. Tātad problēmas nosacījumi ir izpildīti tikai R= - 1 un R = - 5.
Atbilde.R 1 = - 1 un R 2 = - 5.
4. piemērs. Atrodiet visas parametra pozitīvās vērtības A, kuram skaitlis 1 pieder funkcijas definīcijas domēnam
plkst
= (A 
-
A 
).
Klase: 11
Mērķi:
Izglītības:
- sistematizēt un vispārināt zināšanas par vienādojuma risināšanu ar parametru;
- parādīt šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
Attīstība: paplašināt un padziļināt dažādu paņēmienu izpēti vienādojumu risināšanai ar parametru.
Izglītības: parādīt atbildes atkarības nozīmi uzdevumā ar parametru no izvēlētās parametra vērtības.
Izmantotās mācību metodes – to pielietojums.
- Paskaidrojošs un ilustratīvs.
- Vispārinājumi, analoģijas un salīdzinājumi.
- UDE – galveno uzdevumu izveide, attēlu analoģijas plaknē.
- Integrēta - algebras kartēšana un ģeometriskās interpretācijas, slaidi.
Vispārizglītojošo prasmju veidošana:
- pētāmo objektu būtisku pazīmju identificēšana;
- Praktisko iemaņu attīstīšana;
- Darbā ar auditoriju izmantotās metodes: darbs dialoga režīmā;
- Nodarbības psiholoģiskie aspekti;
- Ērtas darba atmosfēras radīšana;
- Aktīva dialoga veicināšana.
Nodarbību laikā
Ievads. Skolotājas atklāšanas runa.
Vienādojumi ir kļuvuši par ierastu daļu no USE iestājeksāmenu iespējām.
Vienādojumi ar parametru rada nopietnas loģiskas grūtības.
Katrs šāds vienādojums būtībā ir vienādojumu saimes īsa versija. Ir skaidrs, ka nav iespējams pierakstīt katru vienādojumu no bezgalīgas ģimenes, taču, neskatoties uz to, katrs no tiem ir jāatrisina. Tāpēc ir jāapsver jēdzienu sistēma un jāmeklē metodes vienādojumu risināšanai ar parametriem (lineāri, racionāli utt.)
Dots vienādojums F(x;a) = 0. Ja parametram piešķiram kādu fiksētu vērtību, tad šo vienādojumu var uzskatīt par “parastu” vienādojumu ar vienu mainīgo.
Izvirzīsim uzdevumu: Uzziniet, kāda varētu būt situācija ar izvēlēto parametra vērtību?
Darbs ar skolēniem dialoga režīmā.
Apskatīsim galvenās problēmas:
- Izveidot vienādojumu ar parametriem pamatjēdzienus.
- Katram vienādojumu veidam skolas matemātikas kursā izveidojiet vispārīgu metodi atbilstošo vienādojumu risināšanai ar parametriem - vienādi gan vienam, gan diviem parametriem.
- Apsveriet uzdevumu piemērus vienādojumu izpētei.
- Kāda ir vienādojumu sakņu skaita noteikšana.
- Divu vienādojumu kopīgās saknes atrašana - kāda ir tā būtība?
- Ģeometriskās interpretācijas.
esposms – pirmās problēmas risināšana.
Interaktīvs darbs ar skolēniem.
Kādus jautājumus jūs sev uzdosit, lai izveidotu pamatjēdzienus?
|
Parādās slaids un kopsavilkums
II tipa problēmās ir jāatrod visas parametru vērtības, pie kurām ir izpildīti noteikti noteikti nosacījumi. |
Piemēram.
1) Atrisiniet vienādojumu a (a – 1) = a – 1.
Risinājums. Mūsu priekšā ir lineārs vienādojums, kam ir jēga visām a pieļaujamajām vērtībām. Mēs to atrisināsim “kā parasti”: sadalām abas vienādojuma puses ar nezināmā koeficientu. Bet vai sadalīšana vienmēr ir iespējama?
Jūs nevarat dalīt ar nulli. Atsevišķi būs jāapsver gadījums, kad nezināmā koeficients ir vienāds ar o. Mēs iegūstam:
Atbilde: 1) ja a 0, a 1, tad x = ;
2) ja a = 1, tad x ir jebkurš skaitlis;
3) ja a = 0, tad nav sakņu.
2) Atrisiniet vienādojumu (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0.
Risinājums. Apskatīsim divus gadījumus:
Apsveriet diskriminantu: D = (2a - 1) 2 – (a – 1) (4a + 3) = – 3a + 4.
Ja a, tad x 1,2 = 
.
Atbilde: 1) ja a > , tad nav sakņu;
2) ja a = 1, tad x = - 3,5;
3) ja a un a1, tad x 1,2 = 
.
IIposms – otrās problēmas risināšana.
Apskatīsim veidu, kā klasificēt daļējus vienādojumus, izmantojot vispārīgu risinājumu modeli.
Parādās slaids.
Piemēram. Racionālā vienādojumā 
funkcija f 1 (a) = ir vispārīgs risinājums tām parametru vērtībām, kurām 
. Tāpēc ka
vienādojuma vispārīgs risinājums uz A f1 = ).
Funkcija f 2 (a) = ir kopas A f2 = vienādojuma vispārīgs risinājums.
Konstruēsim vispārīgu risinājumu modeli šādā formā
Modelī mēs izceļam visu veidu daļējo vienādojumus: 
; 
; 
.
Tātad, izmantojot piemērus, tiek aplūkoti vienādojumu ar parametriem pamatjēdzieni: pieļaujamo vērtību diapazons; domēns; vispārīgi risinājumi; parametru kontroles vērtības; daļējo vienādojumu veidi.
Pamatojoties uz ievadītajiem parametriem, mēs definējam vispārīgu shēmu jebkura vienādojuma F(a;x) = 0 atrisināšanai ar parametru a (divu parametru gadījumā shēma ir līdzīga):
- ir noteikts parametra pieļaujamo vērtību diapazons un definīcijas apjoms;
- tiek noteiktas parametra kontroles vērtības, sadalot pieļaujamo parametru vērtību apgabalu parciālo vienādojumu līdzības reģionos;
- parametra kontroles vērtībām attiecīgie parciālie vienādojumi tiek pētīti atsevišķi;
- vienādojuma F(a;x) = 0 vispārīgie risinājumi x = f 1 (a), ..., f k (a) ir atrodami attiecīgajās parametru vērtību kopās A f1, ......, A fk ;
- vispārīgo risinājumu un kontroles parametru vērtību modelis ir apkopots šādā formā (slaidā);
- modelis identificē parametru vērtību intervālus ar identiskiem risinājumiem (viendabīguma zonas);
- parametra kontroles vērtībām un izvēlētajām viendabības zonām tiek reģistrēti visu veidu konkrēto risinājumu raksturlielumi.
III posms – uzdevumu piemēri vienādojumu izpētei.
Apskatīsim piemērus problēmu risināšanai ar 2. tipa parametriem.
Īpaši izplatītas ir problēmas, kas saistītas ar kvadrātvienādojuma sakņu atrašanās vietu. Tos risinot, labi darbojas grafiskās ilustrācijas. Sakņu atrašanās vietu attiecībā pret dotajiem punktiem pie plaknes nosaka atbilstošās parabolas zaru virziens, virsotnes koordinātas, kā arī vērtības dotajos punktos.
Piemēram.
1) Kurām parametra a vērtībām vienādojumam (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 ir divas saknes, no kurām viena ir lielāka par 1 un kas ir mazāks par 1?
Risinājums. Pieņemsim, ka f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. Tā kā a 2 + a + 1 >0, tad kvadrātfunkcijai f(x) uzdevuma nosacījums var izpildīt tikai ar nosacījumu f (x)< 1.
Atrisinot nevienādību f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Atbilde: -2 - < а < - 2 + .
2) Pie kādām parametru vērtībāmm saknes vienādojumam (m – 1) x 2 – 2mx +m + 3 = 0 pozitīvs?
Risinājums. Ļaujiet f(x) = (m-1) x 2 - 2 mx + m + 3, tad:
1) ja m = 1, tad -2x + 4 = 0, x = 2 - sakne ir pozitīva;
2) ja m 1, tad, izmantojot skaitli, var iegūt šādas attiecības: 
Apskatīsim 2 gadījumus:
1) ja 1,5 m > 0, tad no pēdējās sistēmas nevienādībām 2 un 3 iegūstam, ka m > 1, t.i. beidzot 1,5 m > 1;
2) ja m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 mēs iegūstam, ka m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Atbilde: m (-; -3)
IVposms - apsveriet uzdevumu noteikt vienādojuma sakņu skaitu.
1. piemērs. Pie kādām parametra vērtībām un vienādojumam 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 nav sakņu.
Risinājums. Pieņemsim, ka y = cosх, tad sākotnējais vienādojums būs 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0, kura saknes ir y 1 = a, y 2 = 4,5. Vienādojumam cosх = 4,5 nav sakņu, un vienādojumam cosх = a nav sakņu, ja > 1.
Atbilde: (- ; -1) (1; ).
2. piemērs.
Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojums 
nav sakņu.
Risinājums. Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: 
.
Vienādojumam nav atrisinājuma divos gadījumos: a = un
3. piemērs
. Pie kādām parametra a vērtībām tiek izpildīts vienādojums 
ir viens risinājums?
Risinājums. Vienādojuma risinājums var būt unikāls tikai tad, ja x = 0. Ja x = 0, tad a 2 -1 = 0 un a = 1.
Apskatīsim 2 gadījumus:
1) ja a = 1, tad x 2 - = 0 – trīs saknes;
2). Ja a = -1, tad x 2 + = 0, x = 0 ir vienīgā sakne.
4. piemērs. Kurām parametra a vērtībām vienādojumam ir 2 saknes?
Risinājums.Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: . Noskaidrosim, kad kvadrātvienādojumam x 2 – x – a = 0 ir 2 nenegatīvas saknes.
Iegūtajam vienādojumam ir divas saknes, ja 1+ 4a > 0; tie nav negatīvi, ja
0 > a > - .
Atbilde: (- ; 0] .
Daudzos gadījumos, nosakot vienādojuma sakņu skaitu, simetrijai ir nozīme.
Vposms - divu vienādojumu kopīgās saknes atrašana.
1. piemērs. Pie kādām parametra a vērtībām vienādojumiem x 2 + 3x + 7a -21 =0 un x 2 +6x +5a -6 =0 ir kopīga sakne?
Risinājums. Izslēgsim parametru a no iegūtās sistēmas. Lai to izdarītu, reiziniet pirmo vienādojumu ar -5, otro ar 7 un pievienojiet rezultātus. Iegūstam: 2x 2 + 27x +63 = 0, kuras saknes ir x 1 = -3, x 2 = -10,5. Aizstāsim saknes vienā no vienādojumiem un atradīsim parametra a vērtību.
Atbilde: 3 un – 8.25.
2. piemērs. Kurām parametra a vērtībām vienādojums x 2 – ax + 2 = 0 un 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 ir ekvivalents?
Risinājums. Kā zināms, vienādojumi ir līdzvērtīgi, ja daudzas to saknes sakrīt. Apskatīsim 2 gadījumus.
1) Vienādojumiem nav sakņu (sakņu kopa ir tukša). Tad viņu diskriminējošie ir negatīvi:
Nevienlīdzību sistēmai nav risinājumu.
2) Vienādojumiem ir kopīgas saknes. Tad 
Līdz ar to šiem vienādojumiem var būt kopīgas saknes tikai tad, ja a = 3 vai a = .
Pārbaudi pats!
VIposms – ģeometriskās interpretācijas.
Problēmu risināšana ar parametriem var ievērojami atvieglot grafiku izmantošanu.
1. piemērs
. Atrisiniet vienādojumu atkarībā no parametra a: 
.
Risinājums. Ir skaidrs, ka par 0:
Vai visas saknes ir piemērotas? Lai to noskaidrotu, uzzīmēsim funkciju a =.
Sakņu skaitu var redzēt attēlā:
- ja< 0, то корней нет;
- ja a = 0 un a > 0, tad ir 2 saknes.
Atradīsim šīs saknes.
Kad a = 0, iegūstam x 2 – 2x – 3 = 0 un x 1 = -1, x 2 = 3; ja a > 4 tās ir vienādojuma saknes x 2 – 2x – 3 – a = 0.
Ja 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Ja a = 4 – trīs saknes:
Atbilde: 1) ja a< 0, то корней нет;
2) ja a = 0, tad x 1 = -1, x 2 = 3;
3) ja 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) ja a = 4, tad x 1 = 1; x 2,3 = 1;
5) ja a > 4, tad x 1,2 = 1.
2. piemērs . Kurām a vērtībām vienādojumam ir vairāk nekā divas saknes?
Risinājums. Ja sākotnējā vienādojumā aizstājam x = 0, mēs iegūstam 6 = 6, kas nozīmē, ka x = 0 ir jebkura a vienādojuma risinājums.
Ļaujiet tagad x 0, tad mēs varam rakstīt 
. Noskaidrosim izteiksmju 2x + 3 un 2x – 3 zīmes.
Izvērsīsim moduļus: a = 
(1)
Plaknē x0a konstruēsim punktu kopu (x;a), kuru koordinātes apmierina sakarību (1).
Ja a = 0, tad vienādojumam intervālā ir bezgalīgs atrisinājumu skaits; citām a vērtībām vienādojuma risinājumu skaits nepārsniedz divus.
Atbilde: a = 0.
Pārbaudes kontrole
1 variants |
2. iespēja |
1) Atrisiniet vienādojumu: 0 x = a Atbildes |
1) Atrisiniet vienādojumu: a x = a. Atbildes: a) ja a ≠ 0, x = 1, ja a = 0, x R b) ja a = 0, x R, a ≠ 0 nav sakņu c) a = 0 nav sakņu, ja a ≠ x = |
2) Atrisiniet vienādojumu: (в – 2) x = 5 + в. Atbildes: |
2) Atrisiniet vienādojumu (b + 1) x = 3 – b. Atbildes: a) ja b = 2 nav sakņu; ja β ≠2, x = ; b) β = -2 nav sakņu, β ≠-2 x = c) ja β = -1 nav sakņu, ja ≠ - 1 |
3) Kurām parametra c vērtībām vienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits? c (c + 1) x = c 2–1. Atbilde: a) ar c = -1, x R, ; |
Izvēles kursa nodarbība
par šo tēmu: "Vienādojumu un nevienādību risināšana ar parametriem"
(Vispārināšanas un atkārtošanas nodarbība)
Mērķis: 1. Atkārtot un vispārināt studentu zināšanas par vienādojumu un parametru nevienādību risināšanas metodēm; nostiprināt prasmi pielietot zināšanas, risinot konkrētus uzdevumus; 2. Attīstīt loģisko domāšanu; 3. Izkopt uzmanību un precizitāti.
Nodarbības plāns: I. Organizatoriskais moments___________________________________2 min.
II. Pamatzināšanu atjaunināšana:
- Atkārtojums______________________________________3 min.
- Mutiskais darbs___________________________________3 min.
- Darbs ar kartēm (1. un 2. laikā)
III. Vingrinājumu risinājums_________________________________________22 min.
IY. Testa izpilde___________________________________8 min.
Y. Rezumēšana, mājasdarbu likšana__2 min.
Nodarbību laikā:
es Laika organizēšana.
Skolotājs: - Sveiki puiši. Prieks jūs visus redzēt, mēs sākam savu nodarbību. Šodien nodarbībā mūsu mērķis ir atkārtot un praktizēt iepriekšējās nodarbībās iegūtās zināšanas, prasmes un iemaņas, apgūstot šo tēmu.
II . Pamatzināšanu atjaunināšana:
1) Atkārtošana.
Skolotājs: - Tātad, atkārtosim.
Kā sauc lineāro vienādojumu ar parametriem?
Kādus gadījumus mēs ņēmām vērā, risinot šādus vienādojumus?
Sniedziet lineāro vienādojumu piemērus ar parametriem.
Sniedziet piemērus lineārām nevienādībām ar parametriem.
2) Mutiskais darbs.
Uzdevums: izveidojiet šo vienādojumu lineārā formā.
Uz galda:
a) 3a x – 1 =2 x;
b) 2+5 x = 5a x;
c) 2 x – 4 = a x + 1.
3) Darbs, izmantojot kartes.
III . Vingrinājumu risinājums.
1. vingrinājums. Atrisiniet vienādojumu ar parametru A.
3 (ass + 1) + 1 = 2 (a – x) + 1.
Uzdevums tiek izpildīts uz tāfeles un burtnīcās.
2. uzdevums. Par kādu vērtību a, taisne y = 7ax + 9, iet cauri
t. A(-3;2) ?
Uzdevumu patstāvīgi pie tāfeles izpilda viens students. Pārējie strādā piezīmju grāmatiņās, pēc tam pārbaudiet valdē.
Fiziskā audzināšana tikai minūti.
3. uzdevums. Par kādu vērtību a, vienādojums 3(ax – a) = x – 1 ir
Bezgala daudz risinājumu?
Skolēni tiek aicināti patstāvīgi atrisināt šo uzdevumu savās piezīmju grāmatiņās. Pēc tam pārbaudiet atbildes.
4. uzdevums. Pie kādas parametra vērtības A , vienādojuma sakņu summa
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 vienāds ar 1?
Uzdevums tiek izpildīts komentējot no vietas.
5. uzdevums. Atrisiniet nevienādību ar parametru R :
р(5х–2)
Šis uzdevums tiek veikts pie tāfeles un piezīmju grāmatiņās.
IY. Testa izpilde.
Studentiem tiek izdalītas individuālas lapas ar uzdevumiem:
1) ir vienādojums6 (ax + 1) + a = 3 (a - x) + 7 lineāri?
A) jā; b) nē; c) var reducēt uz lineāru
2) Vienādojums (2ax + 1)a = 5a – 1 reducēts līdz lineāra vienādojuma formai
A) nē; b) jā;
3) Pie kādas parametra vērtības un cauri iet taisne y = ax – 3
T. A(-2;9) ?
A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.
4) Kādā gadījumā vienādojums 2ax + 1 = x vai sakne ir vienāda ar -1?
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.
5) Ja kvadrātvienādojums ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 ir atkarīgs no
A) vērtības ; b) a vērtības; c) vērtības -v/a;
d) nav risinājumu.
ATBILDES UZ PĀRBAUDU: V; A; V; V; b.
YII. Apkopojot stundu. Mājas darbu iestatīšana.
Skolotājs: - Šodien nodarbībā atkārtojām un nostiprinājām iepriekšējās nodarbībās iegūtās zināšanas, vingrinājām nepieciešamās prasmes, veicot dažādus uzdevumus. Es domāju, ka jūs paveicāt labu darbu, labi padarīts.
Papildus stundai piešķirtajām atzīmēm jūs varat novērtēt vairāku citu skolēnu darbu stundā.
Skolotājs : - Pierakstiet mājasdarbu:
Uz galda:
Atrisiniet nevienlīdzību: x² - 2ax + 4 > 0.
Nodarbība ir beigusies.
Vladimiras apgabala Izglītības departaments
Sudogodskas rajona Izglītības departaments
Pašvaldības izglītības iestāde
"Moshok vidusskola"
«
Risinājums vienādojumi Un nevienlīdzības Ar parametrs»
Izstrādāja: Gavrilova G.V.
matemātikas skolotājs
pašvaldības izglītības iestāde "Moshokskaya medium"
vispārizglītojošā skola"
2009. gads
Vienādojumu un nevienādību risināšana ar parametriem
Paskaidrojuma piezīme
Parametra jēdziens ir matemātisks jēdziens, ko bieži izmanto skolas matemātikā un ar to saistītās disciplīnās.
7. klase - pētot lineāro funkciju un lineāro vienādojumu ar vienu mainīgo.
8. klase - mācoties kvadrātvienādojumus.
Skolas matemātikas kursa vispārējās izglītības programmā nav paredzēts risināt uzdevumus ar parametriem, un iestājeksāmenos augstskolās un Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā ir problēmas ar parametriem, kuru risināšana skolēniem rada lielas grūtības. ar parametriem ir diagnostiska un prognostiska vērtība, kas ļauj pārbaudīt zināšanas par galvenajām sadaļām skolas matemātikas kursu, loģiskās domāšanas līmeni, sākotnējās pētniecības prasmes.
Kursa galvenais mērķis ir iepazīstināt studentus ar vispārīgām pieejām parametru problēmu risināšanai, sagatavot studentus tā, lai viņi konkursa eksāmena gaisotnē varētu sekmīgi tikt galā ar parametrus saturošām problēmām.
Atrisiniet vienādojumu, nosakiet risinājumu skaitu, izpētiet vienādojumu, atrodiet pozitīvas saknes, pierādiet, ka nevienādībai nav atrisinājumu utt. - tas viss ir parametru piemēru iespējas. Tāpēc nav iespējams sniegt universālas instrukcijas piemēru risināšanai, šajā kursā tiek apskatīti dažādi piemēri ar risinājumiem. Kursa materiāls tiek pasniegts pēc šādas shēmas: pamatinformācija, piemēri ar risinājumiem, piemēri patstāvīgajam darbam, piemēri materiāla apguves sekmju noteikšanai.
Uzdevumu risināšana ar parametriem veicina pētniecisko prasmju veidošanos un intelektuālo attīstību.
Kursa mērķi:
Sistematizēt 7. un 8. klasē skolēnu apgūtās zināšanas, risinot lineāros un kvadrātvienādojumus un nevienādības;
Identificēt un attīstīt savas matemātiskās spējas;
Radīt holistisku izpratni par lineāru vienādojumu un parametrus saturošu nevienādību risināšanu;
Radīt holistisku izpratni par kvadrātvienādojumu un parametrus saturošu nevienādību risināšanu;
Padziļināt zināšanas matemātikā, nodrošinot skolēnu ilgtspējīgas intereses veidošanos par mācību priekšmetu;
nodrošināt sagatavošanos profesionālai darbībai, kam nepieciešama augsta matemātiskā kultūra.
Izglītības un tematiskais plāns
|
№ p/p
|
Priekšmets |
Daudzums stundas
|
Darbības |
|
1. |
|
|
Seminārs |
|
2. |
Sākotnējā informācija par uzdevumiem ar parametru. |
Seminārs |
|
|
3. |
Parametrus saturošu lineāru vienādojumu risināšana. |
|
|
|
4. |
Parametrus saturošu lineāru nevienādību atrisināšana. |
Pētnieciskais darbs; prasmju apmācība; patstāvīgs darbs. |
|
|
5. |
Kvadrātvienādojumi. Vietas teorēma. |
3 |
Pētnieciskais darbs; prasmju apmācība; patstāvīgs darbs. |
|
6. |
Sekmīga kursa pabeigšana |
1 |
Noslēguma pārbaude |
1. tēma. Lineāro vienādojumu un nevienādību, kvadrātvienādojumu un nevienādību risināšana, uzdevumu risināšana, izmantojot Vietas teorēmu.
2. tēma. Sākotnējā informācija par uzdevumiem ar parametru.
Parametra jēdziens. Ko nozīmē “atrisināt problēmu ar parametru”? Pamatproblēmu veidi ar parametru. Pamatmetodes problēmu risināšanai ar parametru.
Lineāro vienādojumu risināšanas piemēri ar parametru.
4. tēma. Parametrus saturošu lineāro nevienādību risināšana.
Lineāro nevienādību risināšanas piemēri ar parametru.
5. tēma. Kvadrātvienādojumi. Vietas teorēma.
Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri ar parametru.
Didaktiskais materiāls izvēles kursam
"Vienādojumu risināšana un
nevienādības ar parametru"
1. tēma. Piemēri šai tēmai.
2. tēma. Piemēri, kur studenti jau ir saskārušies ar parametriem:
Tiešās proporcionalitātes funkcija: y = kx (x un y ir mainīgie; k ir parametrs, k ≠ 0);
Apgrieztās proporcionalitātes funkcija: y = k / x (x un y ir mainīgie, k ir parametrs, k ≠ 0)
Lineārā funkcija: y = kh + b (x un y ir mainīgie; k un b ir parametri);
Lineārais vienādojums: ax + b = 0 (x ir mainīgais; a un b ir parametri);
Kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0 (x ir mainīgs; a, b un c ir parametri,
Kas ir parametrs?
Ja vienādojumā vai nevienādībā daži koeficienti ir aizstāti nevis ar konkrētām skaitliskām vērtībām, bet tiek apzīmēti ar burtiem, tad tos sauc par parametriem, un vienādojums jeb nevienādība ir parametrisks.
Parametrus parasti apzīmē ar latīņu alfabēta pirmajiem burtiem: a, b, c, ... vai 1, a 2, a 3, ... un nezināmos ar latīņu alfabēta pēdējiem burtiem x, y, z, ... Šie apzīmējumi nav obligāti, bet, ja nosacījumā nav norādīts, kuri burti ir parametri un kuri nav zināmi -
mi, tad tiek izmantoti šādi apzīmējumi.
Piemēram, atrisiniet vienādojumu (4x – ax)a = 6x – 10. Šeit x ir nezināmais un a ir parametrs.
Ko nozīmē “atrisināt problēmu ar parametru”?
Atrisinot uzdevumu ar parametru, katrai parametra a vērtībai tiek atrasta vērtība x, kas apmierina šo uzdevumu, t.i. tas ir atkarīgs no problēmā uzdotā jautājuma.
Vienādojuma vai nevienādības atrisināšana ar parametriem nozīmē:
Noteikt, pie kādām parametru vērtībām pastāv risinājumi;
Katrai pieļaujamai parametru vērtību sistēmai atrodiet atbilstošo risinājumu kopu.
Kādi ir galvenie parametru problēmu veidi?
1. veids. Vienādojumi, nevienādības, kas jāatrisina vai nu jebkurai parametra vērtībai, vai parametru vērtībām, kas pieder iepriekš noteiktai kopai. Šāda veida uzdevumi ir pamata uzdevumi, apgūstot tēmu “Problēmas ar parametriem”.
2. veids. Vienādojumi, nevienādības, kurām nepieciešams noteikt atrisinājumu skaitu atkarībā no parametra vērtības.
3. veids. Vienādojumi, nevienādības, kurām jāatrod visas tās parametru vērtības, kurām norādītajiem vienādojumiem un nevienādībām ir noteikts atrisinājumu skaits (jo īpaši tiem nav vai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu). 3. tipa problēmas savā ziņā ir apgrieztas 2. tipa problēmām.
4. veids. Vienādojumi, nevienādības, kurām nepieciešamajām parametra vērtībām risinājumu kopa atbilst noteiktajiem nosacījumiem definīcijas jomā.
Piemēram, atrodiet parametru vērtības, kurās:
1) vienādojums ir izpildīts jebkurai mainīgā vērtībai no dotā intervāla;
2) pirmā vienādojuma atrisinājumu kopa ir otrā vienādojuma atrisinājumu kopas apakškopa utt.
Pamatmetodes problēmu risināšanai ar parametru.
1. metode (analītiskā) Šī metode ir tā sauktais tiešais risinājums, atkārtojot standarta metodes atbildes atrašanai uzdevumos bez parametra.
Metode 2. (grafiskā) Atkarībā no uzdevuma tiek aplūkoti grafiki koordinātu plaknē (x; y) vai koordinātu plaknē (x; a).
3. metode (lēmums par parametru) Risinot ar šo metodi, tiek pieņemts, ka mainīgie x un a ir vienādi, un tiek izvēlēts mainīgais, attiecībā uz kuru analītisko risinājumu uzskata par vienkāršāku. Pēc dabiskiem vienkāršojumiem mēs atgriežamies pie mainīgo x un a sākotnējās nozīmes un pabeidzam risinājumu.
komentēt. Būtisks solis problēmu risināšanā ar parametriem ir atbildes pierakstīšana. Tas jo īpaši attiecas uz tiem piemēriem, kuros šķiet, ka risinājums “atzarojas” atkarībā no parametru vērtībām. Šādos gadījumos atbildes sastādīšana ir iepriekš iegūto rezultātu apkopojums. Un šeit ir ļoti svarīgi neaizmirst atbildē atspoguļot visus risinājuma posmus.
Apskatīsim piemērus. 2.1. Salīdziniet -a un 5a.
Risinājums. Jāapsver trīs gadījumi: ja a 5a;
ja a = 0, tad –a = 5a;
ja a > 0, tad –a
Atbilde. Kad a 5a; pie a = 0, –a = 5a; ja a > 0, -a
Atrisiniet vienādojumu ax = 1.
Ja a ≠ 0, tad x = 1/a.
Atbilde. Ja a = 0 nav risinājumu; ja ≠ 0, x = 1/a.
Salīdziniet ar un – 7c.
Atrisiniet vienādojumu cx = 10
3. tēma.
Lineārie vienādojumi
Formu vienādojumi
kur a, b pieder reālo skaitļu kopai un x ir nezināms, ko sauc par lineāru vienādojumu attiecībā pret x.
Shēma lineārā vienādojuma (1) izpētei.
1.Ja a ≠ 0, b ir jebkurš reāls skaitlis. Vienādojumam ir unikāls risinājums x = b/a.
2. Ja a=0, b=0, tad vienādojums būs 0 ∙ x = 0, vienādojuma atrisinājums būs visu reālo skaitļu kopa.
3. Ja a=0, b ≠ 0, tad vienādojumam 0 ∙ x = b nav atrisinājumu.
komentēt. Ja lineārais vienādojums nav uzrādīts formā (1), tad vispirms tas ir jāsaved uz formu (1) un tikai pēc tam jāveic pētījums.
Piemēri. 3.1. Atrisiniet vienādojumu (a -3)x = b+2a
Vienādojums ir uzrakstīts kā (1).
Risinājums: Ja a≠ 3, tad vienādojumam ir risinājums x = b+2a/ a-3 jebkuram b.
Tas nozīmē, ka vienīgā a vērtība, pie kuras vienādojumam var nebūt atrisinājumu, ir a = 3. Šajā gadījumā vienādojums (a -3)x = b+2a iegūst formu
0 ∙ x = b+6. (2)
Ja β≠ - 6, tad vienādojumam (2) nav atrisinājumu.
Ja β = - 6, tad jebkurš x ir (2) risinājums.
Līdz ar to β = - 6 ir vienīgā parametra β vērtība, kurai (1) vienādojumam ir atrisinājums jebkuram a (x=2, ja a ≠3 un x pieder reālo skaitļu kopai, ja a=3).
Atbilde: b = -6.
3.2. Atrisiniet vienādojumu 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Atrisiniet vienādojumu 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Atrisiniet vienādojumu (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Atrisiniet vienādojumu x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Patstāvīgs darbs.
Variants 1. Atrisiniet vienādojumus: a) ievade + 2 = - 1;
b) (a – 1)x = a – 2;
c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.
Variants 2. Atrisiniet vienādojumus: a) – 8 = in + 1;
b) (a + 1) x = a – 1;
c) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
4. tēma.
Lineārās nevienādības ar parametru
Nevienlīdzības
ah > iekšā, ak
kur a, b ir izteiksmes atkarībā no parametriem, un x ir nezināmais, sauc par lineārām nevienādībām ar parametriem.
Atrisināt nevienādību ar parametriem nozīmē atrast risinājumu kopu nevienādībai visām parametru vērtībām.
Shēma nevienlīdzības risināšanai aX > c.
Ja a > 0, tad x > b/a.
Ja
Ja a = 0, tad nevienādība būs 0 ∙ x > b. Ja β ≥ 0, nevienādībai nav atrisinājumu; plkst
Piemēri. 4.1. Atrisiniet nevienādību a(3x-1)>3x – 2.
Risinājums: a(3x-1)>3x – 2, kas nozīmē 3x(a-1)>a-2.
Apskatīsim trīs gadījumus.
a=1, risinājums 0 ∙ x > -1 ir jebkurš reāls skaitlis.
a>1, 3x(a-1)>a-2, kas nozīmē x>a-2/3 (a-1).
un a-2 nozīmē x
2ax +5 > a+10x .
(a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + cirvis +1 > 0.
Patstāvīgs darbs.
1. iespēja. Atrisiniet nevienādības: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;
b) 3x-a > ah – 2.
2. iespēja. Atrisiniet nevienādības: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
b) akh-2v
5. tēma.
Kvadrātvienādojumi, kas satur parametrus. Vietas teorēma.
Formas vienādojums
ax 2 +in + c = 0, (1)
kur a, b, c ir izteiksmes atkarībā no parametriem, a ≠ 0, x ir nezināms, ko sauc par kvadrātvienādojumu ar parametriem.
Shēma kvadrātvienādojuma (1) izpētei.
Ja a = 0, tad mums ir lineārais vienādojums inx + c = 0.
Ja a ≠ 0 un vienādojuma diskriminants D = 2 – 4ac
Ja a ≠ 0 un D = 0, tad vienādojumam ir unikāls risinājums x = - B / 2a vai, kā mēdz teikt, saknes, kas sakrīt x 1 = x 2 = - B / 2a.
Ja a ≠ 0 un D > 0, tad vienādojumam ir divas dažādas saknes X 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Piemēri. 5.1. Visām parametra a vērtībām atrisiniet vienādojumu
(a – 1) x 2 – 2ax + a + 2 = 0.
Risinājums. 1. a – 1 = 0, t.i. a = 1. Tad vienādojums būs -2x + 3 = 0, x = 3/2.
2. a ≠ 1. Atradīsim vienādojuma diskriminantu D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
Ir iespējami šādi gadījumi: a) D 8, a > 2. Vienādojumam nav
b) D = 0, t.i. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Vienādojumam ir viens
sakne x = a / (a - 1) = 2 / (2 - 1) = 2.
c) D > 0, t.i. -4a + 8 > 0,4a
sakne x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a - 1) = (a ± √ 2 - a) / (a - 1)
Atbilde. Kad a = 1 x = 3/2;
kad a =2 x = 2;
a > 2 nav sakņu;
Visām parametru vērtībām atrisiniet vienādojumus:
cirvis 2 + 3ax – a – 2 = 0;
cirvis 2 +6x – 6 = 0;
in 2 – (in + 1)x +1 = 0;
(b + 1)x 2 - 2x + 1 - b = 0.
Patstāvīgs darbs.
1. variants. Atrisiniet vienādojumu ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.
2. variants. Atrisiniet vienādojumu a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Uzdevumi.
. Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām ir kvadrātvienādojums
Risinājums. Šis vienādojums ir kvadrātisks pēc nosacījuma, kas nozīmē
a – 1 ≠ 0, t.i. a ≠ 1. Atradīsim diskriminantu D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4 (4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4 (5a + 4).
Mums ir: 1) Ja a ≠ 1 un D > 0, t.i. 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 vienādojumam ir divi
dažādas saknes.
2) Ja a ≠ 1 un D
3) Ja a ≠ 1 un D = 0, t.i. a = - 4/5 vienādojumam ir viena sakne.
Atbilde. Ja a > - 4/5 un a ≠ 1, tad vienādojumam ir divas dažādas saknes;
ja a = - 4/5, tad vienādojumam ir viena sakne.
.Kādām parametra a vērtībām vienādojumam (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 ir unikāls risinājums?
.Kādām parametra a vērtībām vienādojumam (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 nav atrisinājumu?
.Kādām parametra a vērtībām vienādojumam ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 ir divas dažādas saknes?
Patstāvīgs darbs.
1. iespēja. Atrodiet visas parametru vērtības A, kuram kvadrātvienādojums (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ir divas dažādas saknes; nav sakņu; ir viena sakne.
2. iespēja.. Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām ir kvadrātvienādojums (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 ir divas dažādas saknes; nav sakņu; ir viena sakne.
Vietas teorēma.
Sekojošās teorēmas tiek izmantotas, lai atrisinātu daudzas problēmas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumiem, kas satur parametrus.
Vietas teorēma. Ja x 1, x 2 ir kvadrātvienādojuma saknes ax 2 + bx + c = 0, a≠0, tad x 1 + x 2 = - B / a un x 1 ∙ x 2 = C / a.
1. teorēma. Lai kvadrātveida trinoma ax 2 + bx + c saknes būtu reālas un tām būtu vienādas zīmes, ir nepieciešams un pietiekami izpildīt šādus nosacījumus: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C/A > 0.
Šajā gadījumā abas saknes būs pozitīvas, ja x 1 + x 2 = - B /a > 0, un abas saknes būs negatīvas, ja x 1 + x 2 = - B /a
2. teorēma. Lai kvadrātveida trinoma ax 2 + bx + c saknes būtu reālas un abas nebūtu negatīvas vai abas nepozitīvas, ir nepieciešams un pietiekami izpildīt šādus nosacījumus: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
Šajā gadījumā abas saknes būs nenegatīvas, ja x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, un abas saknes būs nepozitīvas, ja x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.
3. teorēma. Lai kvadrātveida trinoma ax 2 + bx + c saknes būtu reālas un tām būtu dažādas zīmes, ir nepieciešams un pietiekami izpildīt šādus nosacījumus: x 1 ∙ x 2 = C /aŠajā gadījumā nosacījums D = b 2 – 4ac > 0 tiek izpildīts automātiski.
Piezīme.Šīm teorēmām ir liela nozīme problēmu risināšanā, kas saistītas ar vienādojuma ax 2 + bx + c = 0 sakņu zīmju izpēti.
Noderīgas vienādības: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3 x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 ir: a) divas pozitīvas saknes; b) divas negatīvas saknes; c) dažādu zīmju saknes?
Risinājums. Vienādojums ir kvadrātisks, kas nozīmē ≠ 1. Pēc Vietas teorēmas mums ir
x 1 + x 2 = 2a / (a - 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a - 1).
Aprēķināsim diskriminantu D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
a) Saskaņā ar 1. teorēmu vienādojumam ir pozitīvas saknes, ja
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, t.i. (a + 1) / (a - 1) > 0, 2a / (a - 1) > 0.
Tādējādi є (-1; 0).
b) Saskaņā ar 1. teorēmu vienādojumam ir negatīvas saknes, ja
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a - 1)
Tādējādi є (0; 1).
c) Saskaņā ar 3. teorēmu vienādojumam ir dažādu zīmju saknes, ja x 1 x 2
(a + 1) / (a - 1) Atbilde. a) є (-1; 0) vienādojumam ir pozitīvas saknes;
b) є (0; 1) vienādojumam ir negatīvas saknes;
c) є (-1; 1) vienādojumam ir dažādu zīmju saknes.
5.11.
Pie kādām parametra a vērtībām ir kvadrātvienādojums
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 ir: a) divas pozitīvas saknes; b) divas negatīvas saknes; c) dažādu zīmju saknes?
5. 12. Neatrisinot vienādojumu 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, atrodiet x 1 -1 + x 2 -1, kur x 1, x 2 ir vienādojuma saknes.
5.13. Kurām parametra a vērtībām vienādojumam x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 ir saknes, kuru kvadrātu summa ir 4.
Pārbaude.
1. variants. 1. Atrisiniet vienādojumu (a 2 + 4a)x = 2a + 8.
2. Atrisiniet nevienādību (in + 1)x ≥ (in 2 – 1).
3. Pie kādām parametra a vērtībām tiek izpildīts vienādojums
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 ir: a) divas pozitīvas saknes; b) divas negatīvas saknes; c) dažādu zīmju saknes?
2. variants. 1. Atrisiniet vienādojumu (a 2 – 2a)x = 3a.
2. Atrisiniet nevienādību (a + 2)x ≤ a 2 – 4.
3. Pie kādām parametra vērtībām vienādojumā
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 ir: a) divas pozitīvas saknes; b) divas negatīvas saknes; c) dažādu zīmju saknes?
Literatūra.
V.V. Močalovs, V.V. Silvestrovs. Vienādojumi un nevienādības ar parametriem. Ch.: ChSU Izdevniecība, 2004. – 175 lpp.
Jastrebinskis G.A. Problēmas ar parametriem. M.: Izglītība, 1986, - 128 lpp.
Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums. Mācību grāmata vidusskolas 10 – 11 klasēm. M.: Izglītība, 1991. – 351 lpp.
T. Peskova. Pirmais ievads parametros vienādojumos. Izglītības un metodiskais laikraksts "Matemātika". 1999.gada 36.nr.
T. Kosjakova. Parametrus saturošu lineāro un kvadrātvienādību risināšana. 9. klase Izglītības un metodiskais laikraksts "Matemātika".Nr.25 - 26, Nr.27 - 28. 2004.g.
T. Goršeņina. Problēmas ar parametru. 8. klase Izglītības un metodiskais laikraksts "Matemātika". Nr.16. 2004. gads.
Š.Ciganovs. Kvadrātveida trinomi un parametri. Izglītības un metodiskais laikraksts "Matemātika". Nr.5. 1999. gads.
S. Ņedeļajeva. Problēmu risināšanas iezīmes ar parametru. Izglītības un metodiskais laikraksts "Matemātika". Nr.34. 1999. gads.
