Гэр Протез хийх, суулгах Шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатууд онлайн. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд

Протез хийх, суулгах

Шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатууд онлайн. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд

Асуудлын томъёолол. Цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол онгоцтой харьцуулахад.

Шийдлийн төлөвлөгөө.

1. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. . Шулуун шугам нь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байдаг тул онгоцны хэвийн векторыг түүний чиглэлийн вектор болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс шулуун шугамын тэгшитгэл нь байх болно

2. Голыг нь ол шулуун шугамын огтлолцол ба онгоц (13-р асуудлыг үзнэ үү).

3. Цэг цэг байгаа сегментийн дунд цэг юм цэгтэй тэгш хэмтэй цэг юм , Тийм учраас

Асуудал 14. Хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийг ол.

Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь:

Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олъё.

Хаана – шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг нь сегментийн дунд байдаг

Тэдгээр. .

Нэг төрлийн хавтгай координат. Хавтгай дээрх аффины өөрчлөлтүүд.

Болъё М XТэгээд цагт

М(X, цагтМэй (X, цагт, 1) орон зайд (Зураг 8).

Мэй (X, цагт

Мэй (X, цагт ху.

(hx, hy, h), h  0,

Сэтгэгдэл

h(Жишээлбэл, h

Үнэндээ авч үзвэл h

Сэтгэгдэл

Жишээ 1.

б) өнцгөөр (Зураг 9).

1-р алхам.

2-р алхам. өнцгөөр эргүүлнэ

харгалзах хувиргалтын матриц.

3-р алхам. A(a,) вектор руу шилжүүлэх б)

харгалзах хувиргалтын матриц.

Жишээ 3

 x тэнхлэгийн дагуу ба

1-р алхам.

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам.

3-р алхам.

бид үүнийг эцэст нь авах болно

Сэтгэгдэл

[R],[D],[M],[T],

Болъё М- координат бүхий онгоцны дурын цэг XТэгээд цагт, өгөгдсөн шулуун координатын системтэй харьцуулахад тооцоолсон. Энэ цэгийн нэгэн төрлийн координатууд нь өгөгдсөн x ба y тоонуудтай дараах харьцаагаар хамааралтай x 1, x 2, x 3 гэсэн тэгээс бусад тоонуудын дурын гурвалсан тоо юм.

Компьютерийн графикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэгэн төрлийн координатыг ихэвчлэн дараах байдлаар оруулна: дурын цэг хүртэл. М(X, цагт) онгоцонд цэг оноогдсон байна Мэй (X, цагт, 1) орон зайд (Зураг 8).

Эхийг 0(0, 0, 0) цэгтэй холбосон шулуун дээрх дурын цэг байгааг анхаарна уу. Мэй (X, цагт, 1), хэлбэрийн тоонуудын гурвалсан тоогоор (hx, hy, h) өгч болно.

hx, hy координаттай вектор нь 0 (0, 0, 0) ба цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм. Мэй (X, цагт, 1). Энэ шулуун нь z = 1 хавтгайг (x, y, 1) цэг дээр огтолж байгаа бөгөөд энэ нь координатын хавтгайн (x, y) цэгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. ху.

Тиймээс координат (x, y) бүхий дурын цэг ба хэлбэрийн гурав дахин олон тооны тоонуудын хооронд

(hx, hy, h), h  0,

Энэ цэгийн шинэ координат гэж hx, hy, h тоонуудыг авч үзэх боломжийг олгодог (нэг нэгээр нь) захидал харилцаа тогтоогдсон.

Сэтгэгдэл

Проекцийн геометрт өргөн хэрэглэгддэг нэгэн төрлийн координатууд нь зохисгүй гэж нэрлэгддэг элементүүдийг (ялангуяа проекцийн хавтгай нь танил Евклидийн хавтгайгаас ялгаатай) үр дүнтэй дүрслэх боломжийг олгодог. Оруулсан нэгэн төрлийн координатуудын шинэ боломжуудын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг энэ бүлгийн дөрөв дэх хэсэгт авч үзнэ.

Нэг төрлийн координатын проекц геометрийн хувьд дараахь тэмдэглэгээг хүлээн авна.

x:y:1, эсвэл ерөнхийдөө x1:x2:x3

(энд x 1, x 2, x 3 тоонууд нэгэн зэрэг тэг болж хувирахгүй байх ёстой гэдгийг санаарай).

Нэг төрлийн координатыг ашиглах нь хамгийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой байдаг.

Жишээлбэл, масштабын өөрчлөлттэй холбоотой асуудлуудыг авч үзье. Хэрэв дэлгэцийн төхөөрөмж зөвхөн бүхэл тоогоор ажилладаг бол (эсвэл та зөвхөн бүхэл тоонуудтай ажиллах шаардлагатай бол) дурын утгын хувьд h(Жишээлбэл, h= 1) нэг төрлийн координаттай цэг

төсөөлөхийн аргагүй. Гэсэн хэдий ч h-ийн боломжийн сонголтоор энэ цэгийн координатууд бүхэл тоо байх боломжтой. Тодруулбал, авч үзэж буй жишээний хувьд h = 10 байна

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье. Өөрчлөлтийн үр дүнг арифметик халилтад хүргэхээс сэргийлэхийн тулд координаттай цэгийн хувьд (80000 40000 1000) жишээ нь h=0.001 гэж авч болно. Үүний үр дүнд бид (80 40 1) авдаг.

Өгөгдсөн жишээнүүд нь тооцоолол хийхдээ нэгэн төрлийн координат ашиглах нь ашигтай болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч компьютерийн графикт нэгэн төрлийн координатыг нэвтрүүлэх гол зорилго нь геометрийн хувиргалтуудад хэрэглэхэд эргэлзээгүй хялбар байдал юм.

Нэг төрлийн координатын гурвалсан ба гуравдахь эрэмбийн матрицуудыг ашиглан хавтгайн ямар нэгэн аффин хувиргалтыг дүрсэлж болно.

Үнэндээ авч үзвэл h= 1, хоёр оруулгыг харьцуулна уу: * тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн ба дараах матриц:

Сүүлчийн харилцааны баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг үржүүлсний дараа бид (*) томьёо болон зөв тоон тэгшитгэл 1=1-ийг хоёуланг нь олж авахыг хялбархан харж болно.

Сэтгэгдэл

Заримдаа уран зохиолд өөр тэмдэглэгээг ашигладаг - баганын тэмдэглэгээ:

Энэ тэмдэглэгээ нь дээрх мөр мөрөөр тэмдэглэгээтэй дүйцэхүйц (мөн шилжүүлэн суулгах замаар түүнээс авдаг).

Дурын аффин хувиргах матрицын элементүүд нь тодорхой геометрийн утгыг агуулдаггүй. Тиймээс, энэ эсвэл өөр зураглалыг хэрэгжүүлэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн геометрийн тодорхойлолтын дагуу харгалзах матрицын элементүүдийг олохын тулд тусгай арга техник шаардлагатай. Дүрмээр бол энэ матрицыг барьж байгуулах ажлыг авч үзэж буй асуудлын нарийн төвөгтэй байдал, дээр дурдсан онцгой тохиолдлуудын дагуу хэд хэдэн үе шатанд хуваадаг.

Үе шат бүрт дээр дурдсан A, B, C эсвэл D тохиолдлуудын аль нэгтэй нь тохирох матрицыг хайдаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой геометрийн шинж чанартай байдаг.

Харгалзах гуравдугаар эрэмбийн матрицуудыг бичье.

A. Эргэлтийн матриц

B. Өргөтгөх матриц

B. Тусгалын матриц

D. Дамжуулах матриц (орчуулга)

Хавтгайн аффин хувиргалтын жишээг авч үзье.

Жишээ 1.

А цэгийн эргэн тойронд эргэлтийн матриц байгуулна (a,б) өнцгөөр (Зураг 9).

1-р алхам.Вектор руу шилжүүлэх – A (-a, -b) эргэлтийн төвийг координатын гарал үүсэлтэй зэрэгцүүлэх;

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам. өнцгөөр эргүүлнэ

харгалзах хувиргалтын матриц.

3-р алхам. A(a,) вектор руу шилжүүлэх б)эргэлтийн төвийг өмнөх байрлалд нь буцаах;

харгалзах хувиргалтын матриц.

Матрицуудыг бичсэнтэй ижил дарааллаар үржүүлье.

Үүний үр дүнд бид хүссэн хувиргалт (матрицын тэмдэглэгээ) дараах байдлаар харагдах болно.

Үүссэн матрицын элементүүдийг (ялангуяа сүүлийн эгнээнд) санах нь тийм ч хялбар биш юм. Үүний зэрэгцээ гурван үржүүлсэн матриц бүрийг харгалзах зураглалын геометрийн тайлбараас хялбархан барьж болно.

Жишээ 3

Сунгах коэффициент бүхий сунгах матрицыг байгуул x тэнхлэгийн дагуу ба ординатын тэнхлэгийн дагуу ба төв нь A(a, b) цэг дээр байна.

1-р алхам.Суналтын төвийг координатын эхтэй зэрэгцүүлэхийн тулд -A(-a, -b) вектор руу шилжүүлнэ;

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам. ба  коэффициент бүхий координатын тэнхлэгийн дагуу сунах; хувиргах матриц нь хэлбэртэй байна

3-р алхам.Хүчдэлийн төвийг өмнөх байрлал руу буцаахын тулд A(a, b) вектор руу шилжүүлэх; харгалзах өөрчлөлтийн матриц -

Матрицуудыг ижил дарааллаар үржүүлэх

бид үүнийг эцэст нь авах болно

Сэтгэгдэл

Үүнтэй ижил аргаар тайлбарлах, өөрөөр хэлбэл санал болгож буй өөрчлөлтийг матрицаар дэмжигдсэн үе шат болгон хуваах.[R],[D],[M],[T], Түүний геометрийн тайлбараас дурын аффин хувиргалтын матрицыг байгуулж болно.

Shift нь нэмэх замаар, масштаб болон эргэлтийг үржүүлэх замаар хэрэгжүүлдэг.

Масштабын хувиргалт гарал үүсэлтэй харьцуулахад (өргөжилт) дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл матриц хэлбэрээр:

Хаана Дx,Дyнь тэнхлэгийн дагуух масштабын хүчин зүйлүүд ба

- масштабын матриц.

D > 1 үед тэлэлт 0 үед үүснэ<=D<1- сжатие

Эргэлтийн хувиргалт гарал үүсэлтэй харьцуулахад дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл матриц хэлбэрээр:

Энд φ нь эргэлтийн өнцөг, ба

- эргэлтийн матриц.

Сэтгэгдэл:Эргэлтийн матрицын багана ба мөрүүд нь харилцан ортогональ нэгж векторууд юм. Үнэн хэрэгтээ эгнээний векторуудын уртын квадратууд нэгтэй тэнцүү байна.

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ба (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

мөрийн векторуудын скаляр үржвэр нь байна

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Векторуудын скаляр үржвэрээс хойш А · Б = |А| ·| Б| ·cosψ, хаана | А| - вектор урт А, |Б| - вектор урт Б, ба ψ нь тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага эерэг өнцөг бөгөөд 1 урттай хоёр эгнээний векторын скаляр үржвэрийн 0 тэгшитгэлээс тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 ° байна.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон тодорхой шулуун шугам, координатаар нь (x0, y0) тодорхойлогдсон цэгийг энэ шулуун дээр хэвтэхгүй өгье. Өгөгдсөн шулуун шугамын дагуу өгөгдсөн цэгт тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл, хэрэв онгоц энэ шулуун шугамын дагуу хагас нугалж байвал түүнтэй давхцах цэгийг олох шаардлагатай.

Зааварчилгаа

1. Өгөгдсөн болон хүссэн цэгүүд хоёулаа нэг шулуун дээр байх ёстой бөгөөд энэ шугам нь өгөгдсөнтэй перпендикуляр байх ёстой. Тиймээс асуудлын эхний хэсэг нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр байх ба нэгэн зэрэг өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох явдал юм.

2. Шулуун шугамыг хоёр аргаар тодорхойлж болно. Шугамын каноник тэгшитгэл дараах байдалтай байна: Ax + By + C = 0, энд A, B, C нь тогтмол байна. Мөн шугаман функцийг ашиглан шулуун шугамыг тодорхойлж болно: y = kx + b, энд k нь өнцгийн илтгэгч, b нь нүүлгэн шилжүүлэлт. Эдгээр хоёр аргыг сольж болох бөгөөд та нэг нэгнээсээ нөгөө рүү шилжих боломжтой. Хэрэв Ax + By + C = 0 бол y = – (Ax + C)/B. Өөрөөр хэлбэл y = kx + b шугаман функцэд өнцгийн илтгэгч k = -A/B, шилжилт b = -C/B байна. Даалгаврын хувьд шулуун шугамын каноник тэгшитгэл дээр үндэслэн үндэслэл гаргах нь илүү тохиромжтой.

3. Хэрэв хоёр шулуун перпендикуляр бөгөөд эхний мөрийн тэгшитгэл нь Ax + By + C = 0 байвал 2-р шугамын тэгшитгэл нь Bx – Ay + D = 0 байх ёстой бөгөөд D нь тогтмол байна. D-ийн тодорхой утгыг илрүүлэхийн тулд перпендикуляр шугам аль цэгээр дамжин өнгөрч байгааг нэмж мэдэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд энэ нь (x0, y0) цэг юм.Иймээс D нь тэгшитгэлийг хангах ёстой: Bx0 – Ay0 + D = 0, өөрөөр хэлбэл D = Ay0 – Bx0.

4. Перпендикуляр шугамыг олж илрүүлсний дараа өгөгдсөн цэгтэй огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Үүний шийдэл нь координат болох тоонуудыг (x1, y1) өгнө. шугамуудын огтлолцлын цэг.

5. Хүссэн цэг нь илэрсэн шугам дээр байх ёстой бөгөөд огтлолцох цэг хүртэлх зай нь огтлолцлын цэгээс (x0, y0) цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байх ёстой. (x0, y0) цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) тэгшитгэлийн системийг шийдэж олно. ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Гэхдээ та үүнийг илүү хялбар хийж чадна. Хэрэв (x0, y0) ба (x, y) цэгүүд (x1, y1) цэгээс ижил зайд байгаа бөгөөд гурван цэг бүгд нэг шулуун дээр оршдог бол: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0.Иймээс x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Эдгээр утгыг эхний системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, илэрхийллүүдийг хялбарчлах замаар түүний баруун тал нь зүүн талтай ижил байх болно. Нэмж дурдахад, (x0, y0) ба (x1, y1) цэгүүд нь үүнийг хангаж, (x, y) цэг нь нэг шулуун дээр байрлах нь тодорхой тул эхний тэгшитгэлийг цаашид авч үзэх нь утгагүй юм. .

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхамуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Энд тооцоолол хийхэд хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:

Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулах:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Би нуухгүй, би өөрөө шулуун шугамуудыг дарааллаар нь сонгодог бөгөөд ингэснээр өнцөг эерэг болж хувирна. Энэ нь илүү үзэсгэлэнтэй, гэхдээ өөр юу ч биш.

Шийдэлээ шалгахын тулд та протектор авч өнцгийг хэмжиж болно.

Хоёр дахь арга

Хэрэв шулуун шугамыг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл ба перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олж болно.

Шулуунуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгддэг бөгөөд үүнээс перпендикуляр шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн хоорондын маш ашигтай хамаарлыг дагаж мөрддөг бөгөөд үүнийг зарим асуудалд ашигладаг.

Шийдлийн алгоритм нь өмнөх догол мөртэй төстэй. Гэхдээ эхлээд шулуун шугамуудаа шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичье.

Тиймээс налуу нь:

1) Шулуунууд перпендикуляр байгаа эсэхийг шалгая:
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Томъёог ашиглана уу:

Хариулах:

Хоёрдахь аргыг шулуун шугамын тэгшитгэлийг эхлээд өнцгийн коэффициентээр тодорхойлсон тохиолдолд ашиглахад тохиромжтой. Хэрэв дор хаяж нэг шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байвал томьёог огт хэрэглэхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь ийм шулуун шугамын хувьд налуу нь тодорхойлогдоогүй болно (өгүүллийг үзнэ үү. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл).

Гурав дахь шийдэл бий. Хичээл дээр ярилцсан томъёог ашиглан шугамын чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох санаа юм Векторуудын цэгэн үржвэр:

Энд бид чиглүүлсэн өнцгийн тухай ярихаа больсон, харин "ойролцоогоор өнцгөөр", өөрөөр хэлбэл үр дүн нь эерэг байх болно. Хамгийн гол нь та мохоо өнцөгтэй байж магадгүй юм (хэрэгтэй биш). Энэ тохиолдолд та шулуун шугамын хоорондох өнцөг бага өнцөгтэй байна гэж тэмдэглэж, үүссэн нумын косинусыг "pi" радианаас (180 градус) хасах хэрэгтэй.

Хүссэн хүмүүс гурав дахь аргаар асуудлыг шийдэж чадна. Гэхдээ энэ нь өргөн тархсан учраас би эхний чиг хандлагыг баримтлахыг зөвлөж байна.

Жишээ 11

Шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үүнийг хоёр аргаар шийдэхийг хичээ.

Ямар нэгэн байдлаар үлгэр замдаа унтарсан ... Учир нь үхэшгүй мөнх Кащей гэж байдаггүй. Би байна, би тийм ч ууртай биш байна. Үнэнийг хэлэхэд, нийтлэл нэлээд урт байх болно гэж бодсон. Гэхдээ би саяхан авсан малгай, нүдний шилээ аваад 9-р сард нуурын усанд сэлэх болно. Ядаргаа, сөрөг энергийг төгс арилгана.

Удахгүй уулзацгаая!

Баба Яга цуцлагдаагүй гэдгийг санаарай =)

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3:Шийдэл : Шугамын чиглэлийн векторыг олъё :

Цэгийг ашиглан хүссэн шулууны тэгшитгэлийг байгуулъя ба чиглэлийн вектор . Чиглэлийн векторын координатуудын нэг нь тэг байх тул тэгшитгэл. Үүнийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Хариулах :

Жишээ 5:Шийдэл :
1) Шугамын тэгшитгэл хоёр оноо гаргая :

2) Шугамын тэгшитгэл хоёр оноо гаргая :

3) Хувьсагчдын харгалзах коэффициентууд пропорциональ биш: , энэ нь шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.
4) Нэг цэгийг ол :

Анхаарна уу : энд системийн эхний тэгшитгэлийг 5-аар үржүүлж, дараа нь 2-р тэгшитгэлийг 1-р тэгшитгэлээс гишүүн гишүүнээр хасна.
Хариулах :

Орон зайн шулуун шугамыг хоёр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцох шугам гэж үргэлж тодорхойлж болно. Хэрэв нэг хавтгайн тэгшитгэл нь хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэл бол шулууны тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгнө.

Энд шугаман бус
. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэл орон зайд шууд.

Шугамын каноник тэгшитгэлүүд

Өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших тэгээс бусад векторыг энэ шулууны чиглэлийн вектор гэнэ.

Хэрэв цэг нь мэдэгдэж байвал
шулуун шугам ба түүний чиглэлийн вектор
, дараа нь шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (9)

Шугамын параметрийн тэгшитгэл

Шугамын каноник тэгшитгэлүүдийг өгье

Эндээс бид шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

(10)

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олоход хэрэгтэй.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл
Тэгээд
хэлбэртэй байна:

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Тэгээд

тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс үүнийг (4) томъёогоор тооцоолж болно:

Зэрэгцээ шугамын нөхцөл:

Онгоцууд перпендикуляр байх нөхцөл:

Шугамаас цэгийн зай

П оноо өгсөн гэж бодъё
ба шулуун

Шугамын каноник тэгшитгэлээс бид цэгийг мэднэ
, шугамд хамаарах ба түүний чиглэлийн вектор
. Дараа нь цэгийн зай
шулуун шугамаас векторууд дээр баригдсан параллелограммын өндөртэй тэнцүү байна Тэгээд
. Тиймээс,

Шугамын огтлолцлын нөхцөл

Хоёр зэрэгцээ бус шугам

огтлолцоно

Шулуун ба хавтгайн харьцангуй байрлал.

Шулуун шугамыг өгье
болон онгоц. Булан тэдгээрийн хооронд томъёогоор олж болно

Асуудал 73.Шугамын каноник тэгшитгэлийг бич

(11)

Шийдэл. Шугамын (9) каноник тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуунд хамаарах дурын цэг болон шулууны чиглэлийн векторыг мэдэх шаардлагатай.

Векторыг олъё , энэ шугамтай зэрэгцээ. Энэ нь эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудтай перпендикуляр байх ёстой тул i.e.

,
, Тэр

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс бид ийм байна
,
. Дараа нь

Гол цэгээс хойш
Шугамын аль ч цэг бол түүний координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг зааж өгч болно, жишээлбэл,
, бид (11) системээс нөгөө хоёр координатыг олно:

Эндээс,
.

Тиймээс хүссэн шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл
.

Асуудал 74.

Тэгээд
.

Шийдэл.Эхний шугамын каноник тэгшитгэлээс цэгийн координатууд мэдэгддэг
шулуунд хамаарах ба чиглэлийн векторын координат
. Хоёрдахь шугамын каноник тэгшитгэлээс цэгийн координатууд бас мэдэгддэг
ба чиглэлийн векторын координатууд
.

Зэрэгцээ шулуунуудын хоорондох зай нь цэгийн зайтай тэнцүү байна
хоёр дахь шулуун шугамаас. Энэ зайг томъёогоор тооцоолно

Векторын координатыг олъё
.

Вектор үржвэрийг тооцоолъё
:

Асуулт 75.Нэг цэг ол тэгш хэмтэй цэг
харьцангуй шулуун

Шийдэл. Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр ба цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичье . Түүний ердийн вектор шиг шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг авч болно. Дараа нь
. Тиймээс,

Нэг цэг олъё
энэ шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг P. Үүний тулд бид тэгшитгэлийг (10) ашиглан шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ.

Тиймээс,
.

Болъё
цэгээс тэгш хэмтэй цэг
энэ шугамтай харьцуулахад. Дараа нь зааж өгнө үү
дунд цэг
. Цэгийн координатыг олохын тулд Бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог ашигладаг.

,
,
.

Тэгэхээр,
.

Асуудал 76.Шулуун дундуур өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бич
Тэгээд

а) цэгээр дамжин
;

б) хавтгайд перпендикуляр.

Шийдэл.Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичье. Үүнийг хийхийн тулд хоёр тэгш байдлыг анхаарч үзээрэй.

Энэ нь хүссэн хавтгай нь генератор бүхий хавтгайн багцад хамаарах бөгөөд түүний тэгшитгэлийг (8) хэлбэрээр бичиж болно гэсэн үг юм.

a) Олъё
Тэгээд цэгээр дамжин өнгөрөх нөхцөлөөс
, тиймээс түүний координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангах ёстой. Цэгийн координатыг орлуулъя
Олон тооны онгоцны тэгшитгэлд:

Үнэ цэнэ олсон
Үүнийг (12) тэгшитгэлд орлуулъя. Бид хүссэн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна.

б) Олъё
Тэгээд хүссэн хавтгай нь хавтгайд перпендикуляр байх нөхцөлөөс. Өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор
, хүссэн хавтгайн хэвийн вектор (багласан онгоцны тэгшитгэлийг үз (12).